KOORREKTUR DES SYSTEMATISCHEN FEHLERS (BIAS) DER BEI DER TRANSFORMATION VON POLAREN IN KARTESISCHE KOORDINATEN BEI TRACKINGVERFAHREN ENTSTEHT

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zum Auswerten von Sensormesswerten gemäß dem Oberbegriff des Patentanspruchs 1.

In vielen überwachungsanwendungen soll der kinematische Zustand (Position, Geschwindigkeit, Beschleunigung) eines Objektes mit Hilfe geeigneter Sensoren bestimmt werden. Die Messungen, die von den jeweiligen Sensoren geliefert werden, sind stets mit Fehlern behaftet. Hier ist hinsichtlich der Messgrößen zwischen einem systematischen Fehler (Bias) und einem statistischen Fehler (mit zufälliger Abweichung der Messungen vom im Mittel zu erwartenden Messwert) zu unterscheiden. Es ist hinreichend bekannt, dass die Unterdrückung systematischer Messfehler durch Eichung der Sensoren erreicht werden kann.

Ein übliches Verfahren zur Zustandsschätzung eines Objektes besteht darin, in zeitlicher Abfolge wiederholt Messungen mittels eines Sensors aufzunehmen, und die darin enthaltene Information (inklusive der Information über eine statistische Messunsicherheit des Sensors) in Verbindung mit einer Annahme über ein mögliches Bewegungsverhalten des Objektes derart zu akkumulieren, dass im Rahmen der zur Verfügung stehenden Information eine möglichst genaue Aussage über den momentanen Zustand des Objektes gewonnen wird. Als Maß für die Verlässlichkeit der im Rahmen dieses (als Tracking bezeichneten) Vorganges gewonnenen Schätzung wird in der Regel der mittlere quadratische Fehler, also die im Mittel zu erwartende quadrierte Abweichung der Schätzung vom wahren Zustand, herangezogen. Ist die Schätzung ohne systematischen Fehler (biasfrei), so stimmt der mittlere quadratische Fehler mit der Schätzfehlervarianz, also der mittleren quadratischen Abweichung der Schätzung von der im Mittel zu erwartenden Schätzung, überein (anstelle der Varianz wird oft auch ihre Wurzel, die Standardabweichung, verwendet), anderenfalls ergibt sich der mittlere quadratische Fehler als Summe aus der Schätzfehlervarianz und dem Quadrat des Biaswertes. Häufig wird verlangt, dass das Verfahren auch die an

gesprochenen Maße für die Verlässlichkeit der Schätzung ermittelt. Dies kann aber problembedingt nur approximativ erfolgen, da der wahre Zustand des Objektes im Rahmen des Schätzprozess ja nicht bekannt ist.

Mit den Messungen unterliegen auch sowohl die Schätzwerte für den Zustand als auch die wiederum geschätzte Varianz unvermeidlichen statistischen Fehlern. Je nach angewendetem Verfahren kann es aber zusätzlich noch zu einem systematischen Fehler in der Schätzung des Zustands kommen (und dies trotz der angenommenen Biasfreiheit der vom Sensor gelieferten Messungen). Damit kann es passieren, dass etwa die Entfernung eines Objektes von einem Sensor durchweg zu groß geschätzt wird, wobei die entstehende Differenz zwischen im Mittel geschätzter und tatsächlicher Entfernung nicht nur von der Güte (der Messungen) des Sensors, sondern auch von der (erst durch das Schätzverfahren zu bestimmenden) Entfernung des Objektes von Sensor abhängen. Weiterhin sind Schätzverfahren als kritisch zu bewerten, bei denen die vom System geschätzte Varianz signifikant von dem tatsächlichen mittleren quadratischen Fehler abweicht. Dies gilt in besonderem Maße bei sogenannten inkonsistenten Schätzverfahren, also dann wenn die geschätzte Varianz im Vergleich deutlich zu klein ist. So wird Tracking häufig im Rahmen komplexer technischer Systeme eingesetzt, deren Ziel es ist, simultan mehrere Objekte zu verfolgen. Dabei stellt die Assoziation, also die Zuordnung der einzelnen Messungen zu den jeweiligen Objekten (oder die Erkennung, dass es sich gegebenenfalls um eine Fehlmessung handelt, die nicht von einem interessierenden Objekt herrührt) eine Kernaufgabe dar. Wird in diesem Zusammenhang ein inkonsistentes Verfahren eingesetzt und kann dann infolge der als zu genau angenommenen Schätzung eine eigentlich dem Objekt zugehörige Messung diesem nicht zugeordnet werden, so führt dies in der Regel zu einem Trackabbruch, d. h., das System kann das Objekt nicht kontinuierlich weiterverfolgen und arbeitet somit fehlerhaft.

Gängige und hier verwendete Sensoren führen polare Messungen durch, liefern also als Messdaten die Entfernung vom Sensor r _m sowie den Azimut a _m (Winkel zwischen

Nord und horizontaler Richtung zum Ziel, gemessen im Uhrzeigersinn). Gängige und hier verwendete Schätzverfahren sollen die kartesischen Größen x = r sinα und y = rcosα mit dem wahren Abstand r und dem wahren Azimut a schätzen. Dabei wird angenommen, dass die normalverteilten Messfehler δr _m = r _m - r und δa = a -a die Varianzen σ ² bzw. σl aufweisen.

Aus dem Stand der Technik, z. B. aus

Longbin, Xiaoquan, Yizu, Kang, Bar-Shalom: Unbiased converted measurements for tracking. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems Bd. 34(3), Juli 1998, S. 1023-1027 oder

Miller, Drummond: Comparison of methodologies for mitigating coordinate transfor- mation bias in target tracking. Proceedings SPIE Conference on Signal and Data Processing of Small Targets 2000, Bd. 4048, Juli 2002, S. 414-426 oder Duan, Han, Rong Li: Comments on "Unbiased converted measurements for tracking". IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems Bd. 40(4), Oktober 2004, S. 1374-1377 sind Vorschläge bekannt, wie polare Messungen in kartesische Pseudomessungen umgerechnet werden können. Dabei werden aus den Messgrößen kartesische Pseudomessungen der Form sowie generiert und die Größen z _m und R _m wie eine kartesische Positionsmessung z _m mit zugehöriger Messfehlervarianzmatrix R _m behandelt. Hierin sind R _n ] und C ² diejenigen jeweils von r _m (nicht aber von a _m ) abhängigen Größen, die das Verfahren als nominale äquivalente Messfehlervarianz in Richtung auf das Ziel (die Varianz R ² in Entfernungsrichtung) beziehungsweise quer dazu (die Varianz C ² ) annimmt. Im Wie

teren wird R* auch als Varianz in Range-Richtung und C _m ² als Varianz in Crossrange- Richtung bezeichnet.

Laut Gleichung (1.1 ) entsteht die kartesische (Pseudo) Positionsmessung z _m durch

Anwendung der üblichen Umrechnung von polaren in kartesische Koordinaten und eine anschließende multiplikative Korrektur, wobei mit dem Skalierungsfaktor ß ein Bias korrigiert werden soll, der aus dem Schätzprozess im Fall ß = 1 resultieren würde. Die kartesische (Pseudo-)Messfehlervarianz R _m nach Gleichung (1.2) definiert eine Ellipse (über z ^r R _m z = konst.), bei der eine der (senkrecht zueinander stehenden) Hauptachsen ebenso wie z _m auf die Messung hin ausgerichtet ist (die angenommene kartesische Kovarianzmatrix ist also gegenüber einer Diagonalmatrix mit den Hauptdiagonalelementen R* und C^ gerade um den gemessenen Winkel a _m gedreht). Der Einsatz der Größen z _m und R _m als kartesische Pseudomessung äußert sich z. B. in dem Fall, dass ein Kaimanfilter als Schätzer zum Einsatz kommt, in einer Aktualisierung der Positionsschätzung gemäß

S = P _{p +} R _m> K = P _p S ¹ , z _u = z _p + K(z _m -z _p ), P _{u =} P _p -KSK ^r (1.3) bei Schätzungen z _p (für die Position) und P _p (für die zugehörige Schätzfehlervarianz) vor bzw. entsprechend z _u und P _u nach Berücksichtigung der Messung.

Fig. 1 veranschaulicht die beschriebene Vorgehensweise. Darin ist die Position eines stationären Zieles 1 durch die Entfernung r = 10km und den Azimut a = 0° gegeben.

Die durchgezogene Linie in der linken Graphik ist das 90%-Vertrauensgebiet der Messungen (also das Gebiet, in dem im Mittel 90% aller Messungen zu erwarten sind) bei einer Standardabweichung von σ _r = 50m für die Entfernungsmessung und σ _a = 15° für die Azimutmessung. Dargestellt sind 3 Messungen 2 mit unterschiedlichem Range- und Azimutfehlern in Form der zugehörigen (unkorrigierten, d. h. mit /7 = 1 gewonnenen) kartesischen Pseudomessungen. Die rechte Graphik zeigt die

Situation im Detail, wobei zusätzlich zu den Pseudomessungen 2 die diesen jeweils zugeordneten, durch R _m spezifizierten 90%-Vertrauensellipsen 2a (also jeweils dasjenige Gebiet, in dem mit 90% Wahrscheinlichkeit das Ziel vermutet wird, gestrichelte Linien), die gewonnene Schätzung 3 sowie die dieser Schätzung durch das Verfahren zugeschriebene 90%-Vertrauensellipse 3a dargestellt sind.

Die Vorteile einer derartigen Vorgehensweise gegenüber anderen bekannten Verfahren bei einem Einsatz in technischen Systemen zur Verfolgung mehrerer Objekte bestehen in einem einfachen Aktualisierungsschritt sowie darin, dass die Berechnung der kartesischen Pseudomessungen keinerlei Kenntnis über den (geschätzten) Zustand des Objektes erfordert und somit nur einmal je Messung (und nicht etwa einmal pro Kombination Objekt / Messung oder sogar Objekt / Bewegungsmodell / Messung) zu erfolgen hat. Insgesamt sind derartige Verfahren also verhältnismäßig wenig rechenintensiv und daher für den Einsatz in Realzeitsystemen besonders geeignet.

Als Varianten von Verfahren, die kartesische Pseudomessungen im Rahmen eines Schätzprozesses für Sensoren verwenden, welche polare Messungen liefern, sind als Stand der Technik aus der Literatur bekannt:

Verfahren 1 (klassisch): ß = \

R _m ² = °? (1 -4)

Verfahren 2 (Longbin et. al. 1998): ß = λ ^' '

R _m ² = A ² ((cosh(σ _α ² ) - 1)(r _m ² ₊ σ _r ² ) ₊ σ _r ² ) + 2(cosh(σ _α ² ) - 1)r _m ² (1.5)

C ² = λ ² sinh(σ _α ² )(r _m ² ₊ σ ² )

Verfahren 3 (Miller & Drummond 2002, Duan et. al. 2004): ß = λ

R ² ^ ² ((cosh(σ ² )- 1)(r _m ² ₊ σ ² ) + σ ² ) (1.6)

C ² = A ² sinh(σf )(r _m ² + σ ² )

mit

A = exp(-σ _α ² /2) (1.7)

All diesen Verfahren ist gemein, dass sie bei Objekten, die stationäre (sich nicht bewegende) oder nicht bzw. kaum manövrierende Ziele (die sich mit exakt bzw. näherungsweise konstanter Geschwindigkeit bewegen) darstellen, zu einem systematischen Fehler (Bias) in Range-Richtung führen. Weiterhin liefert keines dieser Verfahren konsistente Schätzungen für die Varianz in Crossrange-Richtung (und somit weist jedes dieser Verfahren die oben erwähnten Schwächen auf).

Aufgabe der Erfindung ist es, ein Verfahren anzugeben, mit dem die Nachteile des Standes der Technik behoben werden.

Diese Aufgabe wird mit dem Verfahren gemäß den Merkmalen des Anspruchs 1 gelöst. Vorteilhafte Ausführungen der Erfindung sind Gegenstand von Unteransprüchen.

Das erfindungsgemäße Verfahren umfasst folgende Schritte: mittels eines Sensors wird eine Anzahl n > 1 polarer Messungen bezüglich eines zu detektierenden Objekt durchgeführt, die polaren Messungen werden in kartesische Pseudomessungen z _m überführt durch

Umrechnen der polaren Messwerte r _m und a _m in kartesische Koordinaten sowie anschließende Skalierung mittels eines geeignet in Abhängigkeit von der gemessenen Entfernung r _m berechneten Skalierungsfaktors ß , es werden zugehörigen Pseudomessfehlervarianzmatrizen ermittelt jeweils umfassend geeignet in Abhängigkeit von der gemessenen Entfernung r _m bestimmte nominale Messfehlervarianzen R^ in Entfernungsrichtung und C* quer dazu, in einer Schätzeinrichtung werden mit Hilfe der kartesischen Pseudomessungen sowie der Pseudomessfehlervarianzmatrizen eine Zustandsschätzung des Objekts durchgeführt sowie insbesondere eine geschätzte Varianz σ _c ² _ros5 quer zur Entfernungsrichtung ermittelt.

Dabei zeichnet sich das erfindungsgemäße Verfahren durch folgende vorteilhafte Besonderheiten aus: Der Skalierungsfaktor ß wird so gewählt, dass bei der Positionsschätzung aus n > 1

Messungen kein systematischer Fehler entsteht, und die nominale Pseudomessfehlervarianz f? ² in Entfernungsrichtung wird in Abhängigkeit von der nominalen Pseudomessfehlervarianz C ² quer dazu oder umgekehrt derart berechnet, dass die nach der Verarbeitung von n > 1 Messungen geschätzte Varianz σ _c ² _ross quer zur Entfernungsrichtung im Mittel mit der tatsächlichen nach der Verarbeitung dieser n > 1 Messungen zu erwartenden Varianz <τ _c ² _ross des Schätzfehlers quer zur Entfernungsrichtung übereinstimmt.

Die Erfindung wird im Weiteren anhand von Abbildungen näher beschrieben. Es zeigen

Fig. 1 Polare Messungen und kartesische Pseudomessungen mit nominalen Messfehlervarianzen sowie daraus gewonnenen Schätzungen mit 90%- Vertrauensgebieten,

Fig. 2 den systematisches Fehler in Richtung des Objekts (Range-Bias) in Abhängigkeit vom statistischen Winkelmessfehler,

Fig. 3 den mittleren statistischen Fehler in Richtung quer zum Objekt (Crossrange- Standardabweichung) in Abhängigkeit vom statistischen Winkelmessfehler.

Fig. 2 und 3 zeigen relevante Kenngrößen, die die genannten Verfahren für eine typische Situation nach Verarbeitung von beispielhaft 10 Messungen aufweisen. Betrachtet wird ein stationäres Ziel in relativ großer Entfernung (r = 400km ). Die Standardabweichung des Sensormessfehlers für die Entfernung wurde dabei zu σ _r = 50m angenommen, als Parameter dient die Standardabweichung des Sensormessfehlers für den Azimut σ _a . Als typisch sind hier die Tatsachen anzusehen, dass die Standardabweichung σ _r wesentlich kleiner ist als die zu schätzende Entfernung und dass für

realistische Werte von σ _a die Varianz in Crossrange-Richtung (C* ) deutlich größer ist als diejenige in Range-Richtung (R* ) (hierbei stellt die letztgenannte Aussage aber keine Einschränkung hinsichtlich eines vorteilhaften Einsatzes der Erfindung dar).

Die Fig. 2 und 3 zeigen neben den oben genannten drei gängigen, aus der Literatur bekannten Verfahren eines der erfindungsgemäßen Verfahren mit q = 2 (die Bedeutung des Parameters q wird weiter unten erläutert).

Dargestellt sind der zu erwartende systematische Fehler sowie der in Crossrange- Richtung zu erwartende mittlere quadratische Schätzfehler, wobei bei den Schätzfehlern der tatsächliche Fehler (durchgezogene Linie) und der vom Schätzprozess gelieferte Wert hierfür (also die geschätzte Varianz, gestrichelte Linie) gegenübergestellt sind. Der vom statistischen Winkelfehler abhängige Biasfehler aller gängiger Verfahren ist ebenso zu erkennen wie die Tatsache, dass keines dieser Verfahren konsistente Schätzungen in Crossrange-Richtung zu liefern in der Lage ist.

Dagegen sind die Schätzungen des erfindungsgemäßen Verfahrens biasfrei und konsistent (gestrichelte und durchgezogene Linie liegen konstruktionsbedingt übereinander). Darüber hinaus ist die tatsächliche Varianz in Crossrange-Richtung (also der im Mittel zu erwartende quadratische Schätzfehler) kleiner als bei den bekannten Verfahren. Die Anwendung des erfindungsgemäßen Verfahrens ist dabei besonders vorteilhaft, wenn die Entfernung des Zieles vom Sensor und / oder der statistische Fehler der Winkelmessungen groß ist.

Gemäß der Erfindung wird eine systematische Analyse der zu erwartenden Kenngrößen Bias, geschätzte Varianz und tatsächliche Varianz für Schätzprozesse durchgeführt, bei denen aus polaren Messungen kartesische Pseudomessungen der Form (1.1 ) mit angenommener Messfehlervarianz der Form (1.2) verwendet werden.

Dabei wird, im Gegensatz zu allen bisher bekannten Verfahren, nicht das statistische Verhalten einer einzelnen kartesischen (Pseudo-)Messung und der ihr zugeordneten Messfehlervarianz betrachtet, sondern das asymptotische Verhalten der Schätzung inklusive der Varianz des Schätzfehlers sowie der geschätzten Varianz, welches nach Verarbeitung einer Zahl n > 1 derartiger Größen im Schätzprozess im Mittel zu erwarten ist.

Dieses asymptotische Verhalten lässt sich für normalverteilte Sensor-Messfehler mit einer Standardabweichung in Range-Richtung, die deutlich kleiner ist als die zu schätzende Entfernung, in sehr guter Näherung durch analytische mathematische Ausdrücke beschreiben. Aus diesen Ausdrücken lassen sich der Faktor ß zur Bias- kompensation ebenso ermitteln wie Zusammenhänge zwischen den nominalen äquivalenten Messfehlervarianzen R ² und C ² , die konsistente Schätzungen für die

Crossrange-Varianz sicherstellen. Alle diese Größen hängen zunächst außer von den Kenngrößen der Sensoren nur von der zu schätzenden Entfernung ab. Da diese aber nicht vorab bekannt ist, wird erfindungsgemäß in die gefundenen analytischen Zusammenhänge wiederum anstelle der zu schätzenden die gemessene Entfernung eingesetzt.

Zweckmäßig wird gemäß der Erfindung der Faktor ß in Gleichung (1.1) in Abhängigkeit von r zu

ß = λ cosh(σ _β ² ) + sinh(σ _β ² (1.8) gewählt. Diese Wahl gewährleistet die Biasfreiheit der Schätzung in den oben genannten typischen Situationen bei bekannten funktionalen Abhängigkeiten der Größen R ² und C ² von r

Weiterhin wird gemäß der Erfindung die vom Schätzprozess nach n polaren Messungen gelieferte geschätzte Crossrange-Varianz zu

cross (1.9) mit sowie die tatsächlich erwartete Crossrange-Varianz zu

Y ²

(1.11 )

^CTcross n/l ² ß ⁴ mit

und

_λ2 _ sinh(σf) _, cosh(σf) angesetzt, um schließlich aus dem Ansatz

<£» = <£« bzw. Y ² = S ² (1.14) die Größe C ² in Abhängigkeit von R ² (oder umgekehrt) zu berechnen. In Verbindung mit der Festlegung (1.8) gewährleistet diese Wahl die Konsistenz der Crossrange- Varianz-Schätzung bei bekannter funktionaler Abhängigkeit der Größe R ² (bzw. der

Größe C ² ) von r _m .

In vorteilhafter weise können gemäß der Erfindung die Größen R ² und C ² dadurch bestimmt werden, dass man eine gewünschte Bezugsgröße σf _ef für die tatsächliche Crossrange-Varianz in der Form c ^ross nλ ²

vorgibt und dann R* und C ² durch Auswertung der Gleichungen (1.9) bis (1.15) ermittelt.

Vorteilhaft wird der Faktor σ ² _f so gewählt, wie er sich aus den Gleichungen (1.10) bis (1.13) in Verbindung mit (1.15) berechnet, wenn man hierin

R ² = λ ² ((cosh(σ _a ² ) - W ² ₊ σ ² ) ₊ σ ² ), C ² = λ ² s\nh(σ ² )(r ² ₊ σ ² ) (1.16) einsetzt. Dabei wird die Festlegung von R ² und C* gemäß Gleichung (1.16) allein mit dem Ziel, ein geeignetes σ ² _f zu finden, vorübergehend getroffen und ist damit, nachdem dieses Ziel einmal erreicht ist, nicht weiter als gültig anzusehen. Geht man mit dem derart bestimmten Wert σ ² _ef wie im vorigen Absatz beschrieben vor, wertet also die Gleichungen (1.9) bis (1.15) aus, so sind in Abhängigkeit von r _m spezielle, vorteilhafte Werte für R ² und C ² festgelegt, die mit R ² _f und C ² _f bezeichnet werden sollen. Diese erfindungsgemäße Wahl der Werte R^ = R ² _f und C ² = C ² _f definiert ein

Referenzverfahren, welches zwar im Mittel dieselbe Crossrange-Varianz wie das von Miller & Drummond, Duan et al. bekannte Verfahren aufweist (vgl. Gleichung (1.6)), im Gegensatz zu diesem aber biasfreie und konsistente Schätzungen liefert. Hierbei zeichnet sich das Referenzverfahren dadurch aus, dass mit dem Wert R ² _f unter allen biasfreien Verfahren mit konsistenter Schätzung der Varianz quer zur Entfernungsrichtung ein minimaler Wert R ² gegeben ist, für den die Gleichungen (1.9) bis (1.14) stets eine positive Lösung für C* besitzen. Mit anderen Worten, die Wahl σ ² _ef spezifiziert ein biasfreies Verfahren mit konsistenter Schätzung der Schätzfehlervarianz quer zur Entfernungsrichtung bei möglichst kleiner nominaler Varianz R ² der Pseu- domessungen in Entfernungsrichtung.

Ausgehend von diesem Verfahren ist es weiterhin möglich, die Crossrange-Varianz zu verringern. Dazu wird in besonders vorteilhafter weise die nominelle Varianz R ² als Vielfaches der oben bestimmten Varianz R ² _f in der Form R ² = qR ² _f angesetzt

und die Varianz C* dann wieder aus den Gleichungen (1.9) bis (1.14) ermittelt. Der reelle, nicht notwendiger weise ganzzahlige, Parameter q ist dabei vorteilhafter Weise größer als 1 (der Wert q = 1 liefert als Grenzfall gerade obiges Referenzverfahren), ein typischer Wert ist q = 2. Dabei sollte q jedoch nicht zu groß gewählt werden, und daher wird er vorteilhafter Weise durch einen Maximalwert q _max (z. B. QU _« = 10 ) nach oben begrenzt.