以下、添付図面に示す実施の形態に基づい� ��この発明を詳細に説明する。
 図1は、本実施の形態におけるセンサ(検出� �ンサ)10の基本的な構成を説明するための図� �ある。
 この図1に示すセンサ10は、ディスク状で、� ��体として円形、矩形、あるいは適宜他の形� ��を有し、質量を有した分子等の検出対象物� ��付着すると振動周波数が変化する振動子20� �、ディスク状の振動子20を振動させるための 駆動源30と、振動子20における振動特性の変� �を検出する検出部40と、を備えている。

 駆動源30では、外部の図示しないコントロ� �ラで発生する電流によって、静電効果やピ� �ゾ効果(圧電効果)を用い、振動子20を振動さ� ��る。
 また、検出部40も、静電効果やピエゾ効果� �より、振動子20における振動を検出し、電気 信号として出力するようになっている。この とき、振動子20に質量を有した物質が付着す� ��と、その質量の影響を受けて振動子20の振� �数が変化する。検出部40では、検出部40から� ��力される電気的な振動をモニタリングする� ��とで、振動子20への物質の付着の有無、あ� �いは振動子20への物質の付着量を検出するこ とが可能となっている。

 このようなセンサ10において、振動子20には 、その中央部に開口部21が形成されている。� ��して、この振動子20は、外周部の所定の位� �に接続された支持部材22のみによって支持さ れ、残る他の部分は全てフリー状態とされて いる。
 ここで、振動子20の外径をRa、開口部21の径� ��Rbとすると、振動子20は、Rb/Raが以下のよう� ��条件をほぼ満足するように、振動子20の外� �Ra、開口部21の径(振動子20の内径)Rbを設定す� ��のが好ましい。

 ディスク状の振動子20に生じる振動には、(a )Radialモード(径方向(r方向)にのみ振動するモ� ��ド)、(b)Tangentialモード(θ方向にのみ振動す� �モード)、(c)Compoundモード(径方向の振動およ� ��θ方向の振動が複合したモード)、の3通りが ある。
 振動子20におけるCompoundモードにおける共振 周波数の決定式は、以下の式(4)のようになる 。

 ただし、a ₁₁ ~a ₄₄ は以下の通りである。

 なお、σ:振動子材料のポアソン比、E:振� �子材料のヤング率、ρ:振動子材料の密度、ω :角周波数(=2πf)である。

 さて、開口部21を有した振動子20における 2つの境界、すなわち外径部分と内径部分で� �、Free-Free条件であることから、Radial方向の� �留ストレスとTangential方向の残留ストレスが� ��くなり、これにより4つの境界条件が定まる ことが判る。また、モード関数であるRadial方 向の変位U(r,θ)とTangential方向の変位V(r,θ)は、 次式で表すことができる。

 そして、この式(6)に、先に述べた4つの境 界条件を適用することで、以下の関係式が求 まる。

 さらに式(3)の共振周波数の決定式は、式( 7)がいかなるA5,A6,A7,A8においても成り立つこ� �を意味し、これは式(7)の4×4マトリクスのDete rminant=0が条件となる。これは共振周波数を決 定する式(3)である。

 さて、モード関数である式(6)の係数A5,A6,A 7,A8は、未だ未定であり、これが決まらなけ� �ば振動子20の振動状態は定まらない。また共 振条件では式(7)はいかなるA5,A6,A7,A8において� ��成立しているため、共振時における係数A5,A 6,A7,A8は未定でありこのままでは決定できな� �。しかし式(7)のマトリクスを1次式に分解し� ��表せば、次式(8)となる。

 この様にして求めた式(8)の4つの1次式の� �から、任意の3つの式を取り出し、さらにそ� ��中の係数A5,A6,A7,A8のどれか一つに対する比� �してなら、係数を定めることができる。例� �ば、式(8)から例えば上の3つの式を取り出し� ��全てA5で割ると、次式(9)のような連立一次� �程式が得られる。

 この式(9)から、A5を分母とする係数比A6/A5,A7 /A5,A8/A5を求めることができる。この結果を式 (6)に代入すれば、共振時のRadial方向とTangentia l方向の変位、すなわちモード関数を全て決� �できる。なお、ここでは式(8)の上3つの式を� ��いたが、任意の異なる3個の式を用いて同様 に解くことができ、ここでは4組の異なる連� �一次方程式が得られるが、求めた結果は全� �同じである。
 また全てがA5に対して比例関係にあるためA5 =1としてもモード関数に本質的に変化は無い� ��とから、改めてA5=1として、各モードにおけ るRadial方向のr成分をU(r)、Tangential方向のr成� �をV(r)として表せば、式(6)のモード関数は、� ��式(10)となる。

 ここで、U(r)、V(r)は、次式(11)の通りであ� ��。

 さて、この解析は、通常のディスク状の振� ��子と異なり、開口部21を有した円形のディ� �ク状の振動子20に対するものである。この振 動子20においては、この振動子20の外径Raと内 径Rbの比によって、式(11)に示すU(r)とV(r)が大� ��く変わり、振動子20外径Raと内径Rbの比が特� ��の値になったとき、U(r)またはV(r)が0になる� ��とが起こりうる。
 例えば振動子20の外径RaにおいてU(Ra)=0にな� �場合には、振動子20の外径部分での振動がな くなる。したがって、振動子20を、支持部材2 2によってその外径部分で支持する。
 このとき、V(Ra)≠0であっても、式(10)に示す ようにTangential方向の変位は、これにsin(nθ)を かけたものであるから、sin(nθ)=0となる位置� �おいては、式(10)のV(r,θ)では振動が生じない 。n=1の振動モードの場合、V(Ra,0)、V(Ra,π)の位 置で、支持部材22によって振動子20を保持す� �ば、振動子20の振動エネルギは支持部材22を� ��して失われることは無い。
 逆にV(Ra)=0の場合には、U(Ra)≠0であってもRad ial方向の変位はこれにcos(nθ)をかけたもので� ��るからcos(nθ)=0となる位置で、振動子20を保� ��すれば良いことになる。
 なお、ここでは穴あきのディスク状の振動� ��20の外径部分における保持方法を述べたが� �これが内径部分で保持する場合であっても� �様の考え方でその位置を決めることができ� �。

 図2~図4は、それぞれn=1からn=3までの各振動� ��ードにおけるr成分、すなわち式(11)に示し� �U(r)とV(r)の変動の様子を、内径Rbと外径Raの� �Rb/Raを横軸にして図示したものである。なお このとき、振動子20の材料としてSi単結晶を� �定し、ポアソン比をσ=0.28とした。また、nは 振動モードのモード数、mは高調波振動の次� �を示す。
 なお図2~図4では、各モードにおいて最低次� ��共振周波数(m=1)から4番目の共振周波数(m=4)� �で示し、これを通常のモード表現に従い(n,m) と表示している。

 図2~図4を見ると、図3(a)の(2,1)モードと図4(a) の(3,1)モードを除き、U(Ra),U(Rb),V(Ra)およびV(Rb) のいずれかが、適当なRb/Raにおいて0になるこ とが観察される。
 例えば図2(b)に示す(1,2)モードでは、V(Ra)がRb /Ra=0.17において0になっていることが示されて いる。従ってポアソン比0.28の材料(例えば、� ��結晶Si)を用い、(1,2)モードで用いる振動子20 を設計するには、内径Rbと外径Raの比を0.17に� ��び、cosθ=0の角度、すなわちθ=±π/2の位置の 内径部分で振動子20を保持するように設計す� ��ば、振動子20の共振振動になんら影響を与� �ず振動子20を保持することが可能である。

 すなわち、外径Raが100μmで、(1,2)モードで 用いる振動子20の場合、Rb/Ra=0.17となる、開口 部21の径を17μmとしたときに、振動子20の外径 部分におけるTangential方向の振動を0とするこ� ��ができる。そして、このときに、開口部21� �外径部分において、cosθ=0の角度、すなわち� �=±π/2の位置で振動子20を支持することで、� �振振動に全く影響を与えない振動子20の保持 法を実現できる。

 ところで、一般の材料、例えばポアソン� ��がσ=0からσ=0.5の材料では、U(Ra),U(Rb),V(Ra)お� ��びV(Rb)が0になる場合は、いかなるRb/Raの場� �に起こるのかを調べることが非常に重要に� �る。このため式(11)から、次式(12)が成り立つ Rb/Raとポアソン比σの組み合わせを、各モー� �(n=1~3,m=1~4)について調べた。

 その結果を図5~図7に示す。

 なお、ポアソン比だけを変数とすることで� ��ての材料について調べたことになる理由は� ��(6)から、hとkに、
 k=h(2/(1-σ)) ^1/2
という関係があり、hとkを変数として見ると� ��この二つの変数がポアソン比σでのみ関係� �けられていることによる。

 図5~図7では、n=1~3,m=1~4の各モードにおい� �式(12)を満足するポアソン比σ(縦軸)と、振動 子20の内径Rbと外径Raの比Rb/Ra(横軸)との関係� �示した。すなわち振動子材料のポアソン比� �判れば、図5~図7の関係から、振動モードと� �の振動子20を保持する位置や、振動子20の内� ��Rbと外径Raの比を決めることができる。なお 共振周波数は振動子20、例えば大きさ、すな� ��ち外径Raを変えることで決定する。

 このように、図5~図7の関係を予め知るこ� ��により、振動エネルギが保持部を通して逃� ��ることの無い高性能なディスク状の振動子2 0を実現することが可能になる。

 さて、支持部材22は、Tangential方向に振動さ� ��て使用する振動子20の場合、次式(13)で示さ� ��る長さL _R を有するものとするのが好ましい。なお、駆 動源30でピエゾ効果を用いた駆動方式を採用� ��る場合、振動子20はTangential方向に振動させ� ��使用することになるので、この場合、支持� ��材22の長さを、式(13)で表されるL _R にするのが好ましい。

 また、Radial方向に振動させた振動子20の場� �、支持部材22は、次式(14)で示される長さL _S を有するものとするのが好ましい。

 このように、振動子20の内径Rbと外径Raと� ��比Rb/Raを適切に選ぶことにより、振動子20の 外径部分もしくは内径部分においてRadial方向 の変位のr成分すなわちU(Ra)もしくはU(Rb)、な� ��びにTangential方向の変位のr成分すなわちV(Ra) もしくはV(Rb)が0になる不動点が存在する場合 がある。このようなディスク状で開口部21を� ��した振動子20に特有な現象を用い、不動点� �振動子20を保持することで、振動子20の共振� ��動に全く影響を与えず振動子20を保持する� �とが可能となる。その結果、極めてQの高い� ��動子20が提供できる。

 ここで、不動点近傍における振動振幅とそ� ��方向を調べた。
 図8に示すように、振動の様子を調べるため の中心となる座標(Rc,θc)を定める。この振動� ��20の中心からこの座標(Rc,θc)へのベクトルを 位置ベクトルと称す。また、座標(Rc,θc)から� ��さRs、角度θsの位置を示すベクトルを検索� �クトルと呼び、位置(r _CS ,θ _CS )=(Rc+Rs,θc+θs)における振動子の振動振幅と方� ��を、式(1)を用いて計算した。
 ここに図8に示す位置の座標(r _CS ,θ _CS )と位置ベクトルおよび検索ベクトルとの関� �は式(15)に示す通りである。

 また、式(15)より求めた(r _CS ,θ _CS )を式(1)に代入して求めたU _r (r _CS ,θ _CS )およびU _θ (r _CS ,θ _CS )と、振動振幅Adおよび振動方向θdの関係は式 (16)で与えられる。

 さて、この振動振幅Adおよび振動方向θdを� �める例として、以下の5つのモードを挙げて� ��討する。図9は、各条件における振動子20の� ��動振幅の分布を示す解析結果であり、(a)は� ��振動モード(1,2)、Rb/Ra=0.17の場合、(b)は振動� ��ード(1,2)、Rb/Ra=0.31の場合、(c)は振動モード( 2,3)、Rb/Ra=0.41の場合、(d)は振動モード(2,3)、Rb /Ra=0.43の場合、(e)は振動モード(3,1)、Rb/Ra=0.73� ��場合である。なお、振動振幅を最も大きな� ��域を白、最も振動しない領域を黒として10� �階で示している。
 図9に示す例について、位置ベクトルが与え る座標が不動点の位置になるようにし、そこ を中心として検索ベクトルを回転させた場合 の位置での振動振幅Adと振動方向θdを計算し� ��結果を以下に示す。図10(a)は、図9(a)に示す( 1,2)モード、Rb/Ra=0.17の場合について、振動子2 0の外径半径の2%、4%、6%、8%、10%の長さを持つ 5種類の検索ベクトルを用い、検索ベクトル� �角度θsを変えながら、振動方向θdと、全振� �振幅を最大振動振幅で規格化した値Ad/Amaxを� ��示したものである。
 Rb/Ra=0.17における(1,2)モードの不動点は、図9 (a)に示すように、振動子20の外周において、� ��度θb=π/2、3π/2の2個所に存在する。図10(a)は 、角度θs=π/2に位置する不動点周辺での振動� ��幅と振動方向を計算で求めたものである。� ��の様子を、振動ベクトルとして模式的に表� ��すると図10(b)のようになる。
 すなわち図10(a)によれば、振動子20において 、不動点に近ければ近いほど振動振幅(Ad/Amax) は小さくなるが、振動振幅は検索ベクトルの 角度θsによらずほぼ一定になり、振動方向(θ d)は、π/2から3π/2までほぼπだけ変化し、ま� �しく図10(b)に示した状態で振動していること が読み取れる。すなわちこの場合には不動点 近傍では不動点を中心として、ほぼ円運動し ていることがわかる。

 図11(a)は、図9(b)に示す振動モード(1,2)、Rb/Ra =0.31について求めた場合である。
 この例は、振動子20の内径で不動点が生ず� �場合で、計算位置は内径のπの位置に位置す る不動点を中心として、振動子20の外径半径� ��2%、4%、6%、8%、10%の長さをもつ5種類の検索� ��クトルで不動点近傍の振動状態を調べたも� ��である。検索ベクトルの角度θs=π/2では振� �方向もπ/2、検索ベクトルの角度θs=πでは振� ��方向は0、検索ベクトルの角度θs=3π/2では振 動方向も3π/2となっている。この状態を先の� ��10(b)と同様の考え方で図示すると図11(b)のよ うになる。
 すなわち、振動子20において、不動点を挟� �だ内周の2点では互いに反対方向に振動し、� ��の中間の位置はポアソン比の考え方に従い� ��先の2点が引っ張り合うとき(互いに離間す� �方向に変位するとき)には縮み、押し合うと� ��(互いに接近する方向に変位するとき)には� �びる形で運動している。

 図12は、図11(a)に示した(1,2)モード、Rb/Ra=0 .31の振動子20について、振動ベクトルを有限� ��素法によりANSYSでシミュレートした結果で� �る。図11(b)と同様に、不動点の両側が互いに 引っ張る形の場合には、その直角方向の位置 では縮む形、互いに押し合う場合には伸びる 形になっている様子が示されている。

 図13(a)は、図9(c)に示した、振動モード(2,3)� �Rb/Ra=0.41とした振動子20において調べたもの� �ある。この振動子20において、不動点は振動 子20の外径部分のπ/4、3π/4、5π/4および7π/4の 位置にある。
 Rb/Ra=0.41の振動子20における(2,3)モードの不� �点は、図9(c)に示すように、振動子20の外径� �分において、π/4、3π/4、5π/4および7π/4の4個 所に存在する。図13(a)は、π/4の位置にある不 動点近傍での振動振幅と振動方向を求めたも のである。検索ベクトル3π/4では振動方向は� �/4、検索ベクトルの角度θs=5π/4では振動方向 は3π/4、検索ベクトルの角度θs=7π/4では5π/4� �なっている。この状態を先の図10(b)や図11(b)� ��同様の考え方で振動ベクトルとして模式的� ��表現すると図13(b)のようになる。これは基� �的には図10(b)と全く同様の振動で、ここでも 不動点に近くなればなるほど振動ベクトルの 振幅は一定になり、そこでは理想的な回転運 動をしていることが判る。

 図14は、図13(a)に示した(2,3)モード、Rb/Ra=0 .41について振動ベクトルをANSYSを用いてシミ� ��レートした結果である。図13(b)に示したの� �同様の回転が、外径の4個所(π/4、3π/4、5π/4� ��よび7π/4)にある不動点の近傍で、そこを中� ��とした回転運動が示されている。

 図15は、図9(d)の振動子20の例であり、振動� �ードは(2,3)、Rb/Ra=0.43で、不動点は内径の0、� �/2、πおよび3π/2の位置にある。
 この例は振動子20の内径で不動点が生ずる� �合であり、計算位置は内径のπの位置にある 不動点を中心として振動子20の外径半径の2%� �4%、6%、8%、10%の長さをもつ5種類の検索ベク� ��ルで不動点近傍の振動状態を調べたもので� ��る。検索ベクトルの角度θs=π/2では振動方� �は3π/2、検索ベクトルの角度θs=πでは振動方 向はπ、検索ベクトルの角度θs=3π/2では振動� ��向もπ/2となっている。この状態では振動ベ クトルの方向がπだけ違うが、基本的には図1 1(b)と全く同じものである。

 図16は、図9(e)の振動子20の例で、振動モー� �は(3,1)、Rb/Ra=0.73の場合である。不動点は振� �子20の外径部分において、π/6、π/2、5π/6、7� �/6、3π/2および11π/6の位置に6個所ある。
 この例では外径の6個所に生ずる不動点のう ち、振動状態を計算した位置は外径のπ/6に� �る不動点を中心として、外径半径の2%、4%、6 %、8%、10%の長さをもつ5種類の検索ベクトル� �この不動点近傍の振動状態を調べたもので� �る。
 検索ベクトルの角度θs=2π/3のとき、振動方� ��はπ/6、検索ベクトルの角度θs=7π/6では振動 方向は2π/3、検索ベクトルの角度θs=5π/3では� ��動方向も7π/6となっている。この状態は振� �ベクトルの方向がπ/3だけ違うが、基本的に� ��図10(b)と全く同じもので、この場合もきれ� �な回転運動が観測される。

 これまで、穴あきの平面機械型の振動子20� �5種類の振動モードについて、その外周また� ��内周に生ずる不動点の近傍の振動の様子を� ��べてきた。その結果、不動点の近傍には基� ��的に2種類の振動が起こることが示された。 これを改めて図示すると図17のようになる。
 図17(a)は、先に式(1)で示した振動子20のDispla cement、すなわち振動を表す式において、振動 子20の外周又は内周においてTangential方向の振 動振幅が0になる場合がV _r (r)| _r=Ra or Rb ≠0 and V _θ (r)| _r=Ra or Rb =0 のときに起こる。このとき、Radial方向の� �動振幅は、式(1)に示すようにVr(r)にcos(nθ)を� ��けたものであることから、cos(nθ)=0の場合に Radial方向の振動振幅も0になり、この位置に� �動点が生ずる。
 さて、不動点からr=Ra-ε(ε<<Ra)の様に少� ��だけずれると、Tangential成分が現れ、その方 向が図17(a)の場合と反対である場合も起こり� ��る。これを図示すると図17(c)のようになる� �
 これと同様に、V _θ (r)| _r=Ra or Rb ≠0 and V _r (r)| _r=Ra or Rb =0のとき、Radial方向の振動方向が図17(b)と反� �の場合には、図17(d)に示すように不動点を中 心として一方的に膨張する場合も考えられる 。

 このように不動点の近傍では4種類の振動形 態が考えられるが、振動子20の外周又は内周� ��限って考えると、図17(a)と図17(c)の場合((A)� �場合と呼ぶ)には、不動点を中心とするシー� ��ー運動であり、図17(b)と図17(d)の場合((B)の� �合と呼ぶ)には、不動点を中心とする引張(圧 縮)運動の2つの運動に限ることができる。
 さて(A)の場合には、不動点を中心として支� ��として微小な振幅でシーソー運動をしてい� ��ので、この場所に接続した保持部材22の端� �シーソー運動をし、他の端は固定されるこ� �になる。シーソー運動は、一般的な境界条� �で言えば、点の場合には‘Pinned’、線の場� �には‘Simply supported’に相当する。
 すなわち、保持部材22を「棒もしくは同等� �構造物」と考えて設計する場合にはPinned-Clam pedを境界条件とするSingle-span beamがこれに当� ��はまり、「板状もしくは同等の構造物」と� ��えられる場合には、Simply supported-Free-Clamped- Freeを境界条件として保持部材22を設計するこ とになる。これらの構造の概要を図18に示す� ��

 保持部材22をSingle-span beamと考える場合、そ の共振周波数f _i は次式のようになる。

 ここにi:Harmonic Order、L:Length of Beam、E:Young� ��s Modulus、I:Area moment、m:Mass per Unit Length、 ρ:Density、d:Thickness of Beam である。なおλ _i は次式(18)で与えることができる。

 同様に、板状構造物の場合も基本的に同じ� ��え方を用いて振動周波数を求めることがで� ��る。
 このように周波数と振動子20の共振周波数� �等しく設計すれば、互いに干渉することな� �自由振動することになり、定常状態では振� �エネルギのやり取りは非常に少なくなる。

 (B)の場合は、不動点を中心とした引張・� ��縮運動が起っている。この場合の現実的な� ��持構造は、振動子20と保持部材22の接続幅d� �できるだけ狭くすることが現実的であるが� �実際の幅dは、1)製造精度の限界、2)製作イー ルド、3)振動子20を機械的に保持できる機械� �強度等の兼ね合いによって決まる。

 上述したようなセンサ10によれば、振動子20 において、Radial成分とTangential成分の振動の� �い部位である不動点において、振動子20側の 境界条件をPinned、振動子20を支持するアンカ� ��側の境界条件をClampedとして設定されたシン グルスパンビームからなる保持部材22によっ� ��支持することで、振動子20の振動エネルギ� �保持部材22を通じて失われるのを防ぎ、振動 姿態が乱される状態を回避する。その結果、 センサ10の高感度化を実現できる。
 このようにして、センサ10においては高感� �な質量の物体の検出や、質量の検出を行う� �とが可能となる。また、振動子20は、いわゆ るSi単結晶を構造材料として用い、MEMS技術に よって製造することができることから、Si半� ��体と同一チップ内にセンサ10を組み込んで� �ることも可能となる。

 ところで、上記では、振動子の材料としてS i単結晶(ポアソン比σ=0.28)を用いた振動子20の 例を示したが、もちろん、他の材料において も、同様の検討を行うことで、同様の効果を 得ることのできる構成を実現できる。
 これ以外にも、本発明の主旨を逸脱しない� ��り、上記実施の形態で挙げた構成を取捨選� ��したり、他の構成に適宜変更することが可� ��である。