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Patent Searching and Data


Title:
DEVICE FOR ACTIVE CONTROL OF THE READHESION OF A FLOW ON A PROFILE
Document Type and Number:
WIPO Patent Application WO/2018/229442
Kind Code:
A1
Abstract:
A device for penetrating into a fluid, comprising at least one profile (10), a fluid injector (14), a means for measuring the separation of the flow (18) along the profile, downstream of the injector, and an injector activity controller (12) designed to: - store measurements y(t) over time t of the flow separation measurement means, - send, and store instructions u(t)= 0 or 1 over time t of inactivity or activity respectively of the injector, - calculate a quantity σ(t) dependent on quantities y(t), u(t), and on various received parameters, then compare same to a parameter σ* depending on the received parameters and a target value of the flow separation measurement means, and then deduce an activation or deactivation of the injector.

Inventors:
FEINGESICHT, Maxime (38 rue Mourmant, LILLE, 59000, FR)
POLYAKOV, Andrey (56 rue Joséphine, LA MADELEINE, 59110, FR)
KERHERVE, Franck (21 chemin de l'Hypogée, POITIERS, 86000, FR)
RICHARD, Jean-Pierre (24 rue de la Clef, LILLE, 59000, FR)
Application Number:
FR2018/051408
Publication Date:
December 20, 2018
Filing Date:
June 14, 2018
Export Citation:
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Assignee:
INRIA INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE (Domaine de Voluceau, Rocquencourt, LE CHESNAY, 78150, FR)
ECOLE CENTRALE DE LILLE (Cité Scientifique, VILLENEUVE D'ASCQ, 59650, FR)
UNIVERSITE DE POITIERS (15 rue de l'hôtel Dieu, POITIERS, 86000, FR)
International Classes:
F15D1/00; B64C21/04; F15B21/08; G05B13/02
Other References:
FEINGESICHT MAXIME ET AL: "A bilinear input-output model with state-dependent delay for separated flow control", 2016 EUROPEAN CONTROL CONFERENCE (ECC), IEEE, 29 June 2016 (2016-06-29), pages 1679 - 1684, XP033037699, DOI: 10.1109/ECC.2016.7810532
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BRUNTON SL; NOACK BR: "Closed-loop turbulence control: progress and challenges", APPLIED MECHANICS REVIEWS, 2015
VOLINO RJ: "Séparation Control on Low-Pressure Turbine Airfoils Using Synthetic Vortex Generator Jets", ASME TURBO EXPO 2003, COLLOCATED WITH THE 2003 INTERNATIONAL JOINT POWER GÉNÉRATION CONFÉRENCE, 2003, pages 845 - 859
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FEINGESICHT M; RAIBAUDO C; POLYAKOV A; KERHERVE F; RICHARD J-P, A BILINEAR INPUT-OUTPUT MODEL WITH STATEDEPENDENT DELAY FOR SEPARATED FLOW CONTROL, 2016
DANDOIS J; GARNIER E; PAMART P-Y: "NARX modelling of unsteady séparation control", EXPERIMENTS IN FLUIDS, vol. 54, no. 2, 2013, pages 1 - 17
AGARWAL RP; BEREZANSKY L; BRAVERMAN E; DOMOSHNITSKY A: "Nonoscillation Theory of Functional Differential Equations with Applications", 2012, SPRINGER
Attorney, Agent or Firm:
CABINET NETTER (36 avenue Hoche, PARIS, 75008, FR)
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Claims:
Revendications

1. Dispositif de pénétration dans un fluide, comprenant au moins un profil (10), un injecteur (14) de fluide en périphérie du profil, au moins un moyen de mesure (16) de décollement d'un écoulement (18) le long du profil en aval de l' injecteur par rapport à un sens d'écoulement prévu, et un contrôleur (12) d'activité de l' injecteur, caractérisé en ce que le contrôleur est agencé pour effectuer les opérations suivantes :

- recevoir des paramètres a± ; bi ; Cji ; hi ; τ± ; τ'-j, tels que

o le système ( = ~ hl)

y(s) = 0, (s) = 0, pour s≤ 0

ait une solution y(t) positive et vérifie

pour u prenant les valeurs 0 ou 1, u n'étant pas la fonction nulle,

o ∑=\ t + cn < 0

o bi > 0,VZ = 1, ...,N3 W1 „ T 4. W3 yW2 , _ yN3 yN2 , _

o les zéros des quasi-polynômes

Ni W3 W2

c e τ - — s

1=1 j=l

1=1

soient à partie réelle négative,

o le système

) = 0

soit localement asymptotiquement stable, recevoir, et mémoriser pendant une durée minimum Tmax = niax^, ...,TNi,hlt ...,ΚΝ3,τ , ...,τ'Ν2), des mesures y(t) au cours du temps t du moyen de mesure du décollement de l'écoulement le long du profil,

envoyer, et mémoriser pendant une durée minimum Tmax = max^, ...,TNi,hlt ...,ΚΝ3,τ , ...,τ'¾), des instruction u(t)= 0 ou 1 au cours du temps t respectivement d' inactivité ou d'activité de l'injecteur,

calculer une grandeur σ (t) au cours du temps t comme ét moins la somme des termes y(t) ; ai

' a2 i_T2y{s ds ; b f*_hiu(s)ds ; Cuï Ti.+hiy(s)ds ;

comparer à un paramètre σ* comme étant au moins la somme des termes y* ; y*aiTi ; y*a2T2 ; -y*aihi ; y*a2hi ; y*Cnx'i ; -y*Cnhi , y* étant une valeur de consigne cible du moyen de mesure du décollement de g du profil, telle que y* G

o si σ (t) est plus petit que σ* , envoyer un ordre d'activité de l'injecteur,

o si σ (t) est plus grand que σ* , envoyer un ordre d'inactivité de l'injecteur.

2. Dispositif selon la revendication 1, caractérisé en que le contrôleur (12) est agencé pour

- recevoir, et mémoriser pendant une durée minimum Tmaxr les mesures y(t),

- envoyer, et mémoriser pendant une durée minimum Tmaxr les instruction u(t),

- calculer la grandeur σ (t) , puis la comparer au paramètre σ* et

o si σ (t) est plus petit que σ* , envoyer un ordre d'activité de l'injecteur (14),

o si σ (t) est plus grand que σ* , envoyer un ordre d'inactivité de l'injecteur,

à une fréquence d'au moins 20Hz.

3. Dispositif selon l'une des revendications 1 ou 2, caractérisé en ce que le moyen de mesure (16) du décollement de l'écoulement (18) est un capteur par film chaud disposé à la surface du profil (10) dont la tension de sortie sert à calculer la mesure y.

4. Dispositif selon l'une des revendication 1 à 3, caractérisé en ce que les paramètres a± ; bi ; Cji ; hi ;

Xi ; x'j sont choisis à partir d'une méthode d' identification entre

- un modèle bilinéaire à retard

de comportement de la mesure y de décollement de l'écoulement dans le temps t en fonction d'états préalables de la mesure y de décollement et de l'injection u, l'injection u prenant la valeur 0 pour l'état inactif, et la valeur 1 pour l'état actif, - et des enregistrements dans des conditions expérimentales d'écoulement autour du dispositif de la mesure y et de l'injection u.

5. Dispositif selon la revendication 4, caractérisé en ce que la méthode d'identification est réalisée au moyen de la méthode des moindres carrés et d'un algorithme d'optimisation globale, tel que l'algorithme NOMAD ou l'algorithme Genetic. 6. Dispositif selon la revendication 5, caractérisé en ce que l'algorithme d'optimisation globale est configuré pour optimiser les paramètres hi ; τ± ; x'j dits retards, en proposant par itération des jeux de retards soit minimisant le critère d'erreur e= \\y expérimentai ~ ySimuié||Lz soit maximisant cov(yexpérimental'y simulé) . . le critère de corrélation p= , soit

y expérimental "y simulé maximisant l'indicateur Xl00%,

un jeu de paramètres a± ; bi ; Cji , dits coefficients, étant calculé à chaque itération au moyen de la méthode des moindres carrés afin de déterminer ySimuié.

7. Dispositif selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce que le contrôleur (12) est agencé pour faire varier la valeur de consigne cible y* du moyen de mesure du décollement de l'écoulement (18) le long du profil (10) dans le temps en fonction des performances recherchées .

8. Dispositif selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce que le contrôleur (12) est agencé pour faire varier les paramètres a± ; bi ; Cji ; hi ; Xi ; x'j dans le temps en fonction de variations intrinsèques au profil (10) et/ou dans l'écoulement du fluide autour du profil.

9. Dispositif selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce que l'injecteur (14) de fluide comprend une source de gaz comprimé reliée à un tube dont un orifice débouche à la surface du profil.

10. Aéronef comprenant le dispositif selon l'une des revendications précédentes.

Description:
DISPOSITIF DE CONTRÔLE ACTIF DU RECOLLEMENT D'UN ÉCOULEMENT

SUR UN PROFIL

L' invention concerne le domaine de la conception des véhicules et en particulier de l'aménagement des zones de surfaces en contact avec les fluides dans lesquels les véhicules circulent, appelées profils.

Il est bien connu que tout véhicule qui se déplace dans un fluide, gaz ou liquide, très généralement newtonien comme l'air atmosphérique ou l'eau, induit par son déplacement une force de traînée qui va à l' encontre du déplacement du véhicule et qui est issue de l'interaction entre le profil du véhicule et le fluide dans lequel il circule. Cette force de traînée devient une véritable cause de surconsommation d'énergie et de perte de performances à vitesses relatives élevées, et à partir de 50km/h.

De manière générale, la traînée est causée, lors de l'écoulement du fluide autour du profil, aussi appelé flux, par les frottements entre ces derniers ainsi que par les décollements de l'écoulement autour du profil, qui forment des tourbillons aussi appelés vortex, induisant des dépressions en aval de l'écoulement. Bien qu'il soit très difficile de réduire les frottements qui sont inhérents au mouvement relatif du profil et du fluide, il est possible d'adapter le profil pour réduire le plus possible les décollements du flux. Les travaux de diminution de la traînée se sont principalement axés sur la recherche de solutions passives, c'est-à-dire consistant à faire varier la forme du profil dans le but de garder l'écoulement collé au profil. Cependant, ces solutions passives semblent aujourd'hui avoir atteint leurs limites. Plus récemment, l'intérêt s'est porté sur des solutions actives de réduction du décollement, faisant intervenir des contrôleurs divers, comme le décrit Brunton and Noack (2015) . Parmi ces contrôleurs, on retrouve généralement l'utilisation d'injecteurs de fluides, comme le décrit Volino (2003) . Ces injecteurs débouchent à la surface du profil et y injectent un fluide, de même type que celui s' écoulant, possédant une énergie assez élevée pour recoller l'écoulement sur le profil et éviter l'apparition de vortex. Toutefois se pose le problème de contrôler convenablement ces injecteurs afin d'obtenir un résultat fiable et prouvé de recollement, tout en économisant le plus possible l'injection de fluide qui est consommatrice d'énergie.

Une des solutions communément utilisées est d'appliquer un contrôle des injecteurs en boucle ouverte. La conception et l'application d'un tel contrôle est simple, cependant il n'est pas robuste et le moindre changement du profil ou de son environnement peut provoquer des résultats inattendus et potentiellement dangereux. On trouve également dans la littérature des contrôles boucle fermée qui utilisent une mesure de taux de décollement de l'écoulement en aval du profil comme entrée de boucle de contrôle. On pourra ici citer Tian et al. (2006) . Ceux-ci sont dans certains cas basés sur les équations Navier Stokes mais leur complexité empêche une utilisation en temps réel. Le plus souvent, ils sont basés sur des modèles linéaires ou sont des contrôleurs dits sans modèle. On peut citer, notamment, le PID, pour contrôleur Proportionnel Intégral Dérivé, qui est un contrôle très classique de l'automatique bien qu'il ne soit pas bien adapté pour contrôler des relais. Les résultats pour le contrôle des écoulements détachés sont assez mitigés et sa robustesse est limitée. On trouve également depuis quelques années du contrôle fait par Machine Learning. Il s'agit de faire apprendre à l'algorithme par de très nombreux tests quel est le meilleur contrôle à appliquer. Les résultats sont bons et une certaine robustesse est observée expérimentalement, cependant ce type d'algorithmes manque de preuves mathématiques et leurs limites sont difficiles à déterminer.

L' invention vient proposer une solution pour pallier les problèmes ci-dessus évoqués et recoller, avec un contrôle fin, efficace et robuste, l'écoulement du fluide sur le profil.

A cet effet, l'invention propose un dispositif de pénétration dans un fluide, comprenant au moins un profil, un injecteur de fluide en périphérie du profil, au moins un moyen de mesure de décollement d'un écoulement le long du profil en aval de l' injecteur par rapport à un sens d'écoulement prévu, et un contrôleur d'activité de l' injecteur. Le contrôleur est agencé pour effectuer les opérations suivantes :

- recevoir des paramètres a± ; bi ; C j i ; hi ; τ± ; τ'- j , tels que

o le système ( = ~ hl)

y(s) = 0, (s) = 0, pour s≤ 0

ait une solution y(t) positive et vérifie

pour u prenant les valeurs 0 ou 1, u n'étant pas la fonction nulle,

o ∑=\ t + c n < 0

o bi > 0,VZ = 1, ...,N 3

2, ί=1 ΰ ί

o pour y max iWl w 3 w 2

i=1 a i+∑l =1 J=1 c jl y™«(i +∑f=\ a T T T + ∑ CJI T'J) +∑ N M Ù > y * i +

Y w i „ T

αί τ ί 4 T . w 3 yN 2 , _ yN 3 yN 2 , _

L i=1 L j=1 CjiT j Z,i =1 Z.j =1 Cjini

o les zéros des quasi-polynômes i=l

soient à partie réelle négative ,

o le système ¾(t - ¾i)

soit localement asymptotiquement stable, recevoir, et mémoriser pendant une durée minimum i( lt ...,T Ni ,h lt ...,Κ Ν3 ,τ , ...,τ' Ν2 ), des mesures y(t) au cours du temps t du moyen de mesure du décollement de l'écoulement le long du profil,

envoyer, et mémoriser pendant une durée minimum T max = max^, ...,T Ni ,h lt ...,Κ Ν3 ,τ , ... , τ' ¾ ) , des instruction u(t)= 0 ou 1 au cours du temps t respectivement d' inactivité ou d'activité de l'injecteur,

calculer une grandeur σ (t) au cours du temps t comme étant au moins la somme des termes y(t) ;

< . ; b u(s)ds ; cn h 1 )u(s)ds , puis la comparer à un paramètre σ* comme étant au moins la somme des termes y* ; y*aiTi ; y*a2T2 ; -y*aihi ; y*a2hi ; y*Cnx'i ; -y*Cnhi , y* étant une valeur de consigne cible du moyen de mesure du décollement de l'écoulement le long du profil, telle que y * G

∑ί=ι ϋ ί

0,— et

i=1 a l +∑ l=1 j=1 c ]l

o si σ (t) est plus petit que σ* , envoyer un ordre d'activité de l'injecteur,

o si σ (t) est plus grand que σ* , envoyer un ordre d'inactivité de l'injecteur.

La loi de commande selon l'invention est particulièrement fiable et efficace car elle est issue d'une définition du système physique décrit par l'invention au moyen d'un modèle bilinéaire à retards inspiré des équations Navier-Stokes qui décrivent la physique des fluides. Ce modèle décrit dans Feingesicht et al. (2016) est comme suit :

avec y correspondant aux mesures de décollement de l'écoulement au cours du temps t, avec u étant égal à 0 pour une inactivité de l'injecteur, et égal à 1 pour une activité de l'injecteur, avec a± ; bi ; C j i des coefficients, avec hi ; τ± ; x' j des retards.

En considérant que le modèle recoupait suffisamment la réalité d'un système physique d'écoulement autour du profil, la demanderesse a prouvé selon l'annexe A du présent mémoire que si les paramètres a± ; bi ; C j i ; hi ; Ti ; x' j , sont tels que

o le système

Ni N 3 / N 2 \ y( = ^(a f y(t - Ti ) +∑[ b i+∑ (c j iy(t - τ';)) (t - h i=i 1=1 \ j=i )

y(s) = 0, u{s) = 0, pour s < 0

ait une solution y(t) positive et vérifie

N 3 N 2 \ N 3 N 2

at + Z Z c y( ) < Z Z ^( ~ τ ' + ¾I )

t=i j=i =i J=l j =l

pour u prenant les valeurs 0 ou 1, u n'étant pas la fonction nulle,

o ∑=\ t + c n < 0

o bi > 0,VZ = 1, ...,N 3

2, ί=1 ΰ ί

o pour y max Nl « 3 „w 2 '

λ ί=1 αί+λ; =1 λ =1 ε +

o les zéros des quasi-polynômes

N 3 W 2

Ç 1 (s) = ^ a i e + ^ ^ c,- I e T - — s

É=l i=l y=i

Ni

& (s) = ^ ^ - ^ - s

i=l

soient à partie réelle négative

o le système - )¾(t -

soit localement asymptotiquement stable, une loi de contrôle d' activation ou non de l'injecteur selon l'invention, qui est de type par modes glissants, permet de tendre vers une valeur cible y* du décollement mesuré y(t) en un temps fini. Cette valeur cible y* doit être défini telle qu'elle fasse partie des valeurs atteignables par y(t) selon le modèle défini, donc être comprise entre 0 et une grandeur y m ax = -

dépendant des paramètres choisis.

Cette loi de contrôle est décrite dans l'invention dans son mode le plus minimaliste, c'est à dire se reposant au moins sur le modèle tel que . Pour un contrôle gagnant en précision, mais gagnant en complexité, on peut se reposer sur un modèle tel que Ni>2 ; 2>1 ou 3>1. Dans ce cas, les sommes permettant de déterminer σ (t) et σ*, en vue d'effectuer le contrôle, gagneront des termes supplémentaires en plus de ceux décrits a minima dans l'invention. En effet, dans le cas général, c'est à dire pour tout N on exprime : a(t) = y(t) +

et

Ce contrôle par modes glissants qui découle spécifiquement du modèle, si les critères présentés ci- avant sont respectés, asservit l'injection d'air de manière que la valeur y(t) de mesure du décollement de l'écoulement tende vers la valeur de consigne ciblée y* de décollement de l'écoulement n un temps fini. Les résultats expérimentaux ont bien démontré que ce contrôle était assez robuste.

L'annexe A décrit également les conditions à respecter pour les paramètres dans le cas plus simple dans lequel ; N 2 =l et N 3 =l . Si ces conditions sont respectées, alors le dispositif permet de réguler la mesure y(t) de décollement de l'écoulement à une valeur cible y*. Il est possible de simplifier le modèle en choisissant certains paramètres égaux, tels que les retards Xi et h par exemple. Dans ce cas, il en découle pour le contrôleur qu'il peut être configuré pour ne recevoir qu'un seul paramètre au lieu de deux, et simplifier ainsi la loi de contrôle. Il est donc évident que ce cas particulier, qui nécessite au contrôleur de recevoir un paramètre en moins, est en fait couvert par l'invention décrite en tant que cas généralisé .

Afin de calculer la grandeur σ (t) qui fait intervenir des intégrales, le contrôleur effectue des approximations en appliquant une méthode de calcul numérique d' intégrales de grandeurs discrètes, telles que la méthode des rectangles, la méthode des trapèzes, la méthode Simpson, etc .

Ainsi, grâce à l'utilisation d'un modèle prenant en compte les réalités physiques du système, et un contrôle robuste et spécifiquement adapté, l'invention permet de contrôler finement le décollement de l'écoulement autour du profil par 1 ' actionnement des injecteurs, comme le montrent les résultats expérimentaux. Le respect des conditions énoncées dans l'invention apporte l'assurance prouvée mathématiquement que le dispositif pourra toujours être régulé en décollement d'écoulement en un temps fini, ce qui est un réel avantage en sécurité et en performances. De plus, la loi de contrôle est assez simple et économe en moyens de calcul pour être effectuée en temps réel.

Avantageusement, les actions qui consistent à - recevoir, et mémoriser pendant une durée minimum T max , les mesures y(t),

- envoyer, et mémoriser pendant une durée minimum T maxr les instruction u(t),

- calculer la grandeur σ (t) , puis la comparer au paramètre σ* et

o si σ (t) est plus petit que σ*, envoyer un ordre d'activité de l'injecteur,

o si σ (t) est plus grand que σ*, envoyer un ordre d'inactivité de l'injecteur,

sont répétées à une fréquence d'au moins 20Hz.

Cette fréquence permet que les opérations effectuées par le contrôleur s'effectuent à un rythme suffisant pour que la mesure y(t) de décollement ne s'éloigne jamais de la valeur cible y* selon un écart indésirable.

Préférentiellement , le moyen de mesure du décollement de l'écoulement est un capteur par film chaud disposé à la surface du profil dont la tension de sortie sert à calculer la mesure y.

Ce film chaud peut être macrométrique ou micrométrique. Selon le principe de fonctionnement de ce capteur, un film est chauffé par résistance à un courant électrique le parcourant, et l'on mesure son refroidissement causé par son environnement. Dans le cas ici présenté, lorsque l'écoulement est collé au profil, la couche limite d'écoulement reste en contact avec la surface du profil, donc le film chaud. La couche limite d'écoulement présente une viscosité telle qu'elle possède un mouvement relatif faible voir nul au contact du profil. Il y a donc peu d'échanges de chaleur entre le fluide et le film chaud, qui reste donc chaud. Au contraire, lorsque l'écoulement se décolle, il se crée des vortex en mouvement par rapport au film chaud et qui échangent de la chaleur avec ce dernier, le refroidissant ainsi. Un capteur film chaud est donc particulièrement adapté pour mesurer le taux du décollement du flux autour du profil.

On trouve également des capteurs fil chaud qui ont un principe de fonctionnement équivalent à celui des capteurs film chaud, bien qu'un fil soit utilisé à la place d'un film. Bien que le présent mémoire décrive principalement un cas d'usage de l'invention avec des capteurs film chaud, il faut considérer que l'alternative d'usage de capteurs fil chaud est en tous points équivalente. On peut également imaginer utiliser un capteur de pression comme moyen de mesure du décollement de l'écoulement.

On pourra disposer une pluralité de moyens de mesure du décollement de l'écoulement sur le profil, de préférence alignés perpendiculairement au sens d'écoulement du fluide, et recevoir alors des mesures y(t) moyennées sur l'ensemble des moyens de mesure. Le décollement mesuré n'est ainsi pas soumis à certains effets locaux dans l'écoulement, et représente mieux le décollement général de l'écoulement autour du profil.

Afin d'améliorer la convergence de y(t) vers y*, et d'avoir donc un contrôle plus précis du décollement de l'écoulement, les paramètres a± ; bi ; C j i ; hi ; τ± ; x' j sont choisis à partir d'une méthode d'identification entre

- un modèle bilinéaire à retard

de comportement de la mesure y de décollement de l'écoulement dans le temps t en fonction d'états préalables de la mesure y de décollement et de l'injection u, l'injection u prenant la valeur 0 pour l'état inactif, et la valeur 1 pour l'état actif, - et des enregistrements dans des conditions expérimentales d'écoulement autour du dispositif de la mesure y et de l'injection u.

Une méthode d' identification permet de rapprocher le modèle utilisé le plus possible des conditions particulières liées au profil et au type d'écoulement auquel il fait face. La méthode d'identification produit des paramètres optimisés qui permettent une convergence plus rapide des mesures de décollement vers la valeur cible y*, au moyen de la loi de contrôle qui s'appuie sur ce modèle amélioré. Lorsque on utilise la méthode d'identification ici décrite pour choisir les paramètres a± ; bi ; Cji ; hi ; τ± ; x'j, on obtient d'excellents résultats en termes de précision par rapport aux enregistrements expérimentaux, ce qui prouve que le modèle est de très bonne qualité. En effet, on a pu obtenir un critère d'erreur ^= \\y 'expérimentai ~

I Hl . n r cov iyexpérimentahy simulé) -

Ysimuié L 2 < u,45, n critère de corrélation p= >

°y expérimental ^simulé

„ „„ . \\yexpérimental~ysimulé\\,2 „

0,99, et un indicateur FIT=( 1 - — ^-jj— Xl00% >

\ \\y expérimental Vexpérimental W ^

87,10%. Les paramètres issus d'une telle identification peuvent donc être considérés comme permettant au contrôleur selon l'invention de fonctionner correctement pour réguler le décollement de l'écoulement, même s'ils ne vérifient pas toutes les conditions précédemment décrites portant sur ces paramètres. Le seul désavantage est qu'on perd alors la preuve mathématique du bon fonctionnement du contrôleur.

De préférence, la méthode d'identification est réalisée au moyen de la méthode des moindres carrés et d'un algorithme d'optimisation globale, tel que l'algorithme NOMAD ou l'algorithme Genetic.

L'algorithme NOMAD est connu et décrit par exemple dans Audet et al. (2009), Le Digabel (2011). L'algorithme

Genetic est décrit dans Davis, L. (1991), Handbook of genetic algorithms.

Avantageusement, l'algorithme d'optimisation globale est configuré pour optimiser les paramètres hi ; τ± ; x'j dits retards, en proposant par itération des jeux de retards soit minimisant le critère d'erreur ^ = \\y 'expérimentai ~ y S imuié \\ j 2 r soit maximisant le critère de corrélation co '(y 'expérimental^ 'simulé) . . . . . η , . , . . _ _ _ / ,« p= , soit maximisant l'indicateur FIT= 1 σ y expérimental 0 y simulé

\\y expérimental VsimnuuiéII L 2 \

xl00%, un jeu de paramètres a± ; bi

\\y expérimental V expériimmeennttaallll L 2/

C i , dits coefficients, étant calculé à chaque itération au moyen de la méthode des moindres carrés afin de déterminer y simu i é .

L'utilisation de cette méthode d'identification pour le modèle considéré plus haut est détaillée dans Feingesicht et al. (2016) . Elle permet d'obtenir une corrélation très élevée entre le modèle et les mesures expérimentales, avec un FIT>80% et plus élevée de 30 ~6 par rapport au modèle de l'art antérieur décrit dans Dandois et al. (2013) . Dans un mode de réalisation préféré de l'invention, la valeur de consigne cible y* du moyen de mesure du décollement de l'écoulement le long du profil varie dans le temps en fonction des performances recherchées. En effet, il peut être avantageux dans certains cas de recherche un recollement maximal pour favoriser les effets d' aérodynamisme tel que la portance ou la suppression d'un sillage, quitte à sur-solliciter les injecteurs et perdre en performances. Dans d'autres cas, on pourra vouloir minimiser l'énergie totale consommée et ne pas sur ¬ solliciter les injecteurs.

Dans un mode de fonctionnement avantageux de l'invention, les paramètres a± ; bi ; C j i ; hi ; τ± ; x' j varient dans le temps en fonction de variations intrinsèques au profil et/ou dans l'écoulement du fluide autour du profil.

Il est en effet connu, pour des véhicules, de posséder des profils qui peuvent varier de formes au moyen de dispositifs mécaniques. On peut notamment citer les volets des avions ou les ailerons qui se déplacent en fonction des commandes de guidage. Il est en effet courant que les véhicules qui se déplacent dans un fluide rencontrent des conditions d'écoulement variables, en fonction par exemple de la densité du fluide, de sa composition, de sa vitesse d'écoulement, de sa température, etc. Ces conditions varient donc au cours d'une même utilisation du véhicule. Il est donc avantageux de disposer de paramètres de modèle particulièrement adaptés à ces différentes conditions rencontrées, et de les utiliser en temps voulu dans le contrôleur afin de conserver des performances de contrôle homogènes quelles que soient ces conditions.

Selon un mode de réalisation de l'invention, l'injecteur de fluide comprend une source de gaz comprimé reliée à un tube dont un orifice débouche à la surface du profil. La source d'air comprimé peut être une chambre sous pression ou un moteur de mise sous pression. Le gaz peut être de l'air ambiant. De préférence, le tube débouche à la surface du profil selon un angle vers l'aval par rapport à l'écoulement. L'orifice possède typiquement un diamètre compris entre 0,3mm et 2mm et peut posséder par exemple une forme ronde ou en fente.

De préférence, l'injecteur débouche juste en amont d'une cassure de forme dans le profil. C'est à cet endroit qu'il est le plus utile pour recoller l'écoulement au niveau de la cassure en question. Il peut y avoir une pluralité d'injecteur le long du profil, de préférence alignés perpendiculairement par rapport au sens d'écoulement afin d'obtenir une homogénéité de recollement de l'écoulement sur l'ensemble du profil.

L' invention concerne également un aéronef comprenant un dispositif tel que décrit précédemment. L'invention concerne aussi un procédé de contrôle d'un injecteur de fluide en périphérie d'un profil, au moins un moyen de mesure du décollement d'un écoulement le long du profil étant disposé en aval de l'injecteur par rapport au sens d'écoulement prévu. Le procédé de contrôle comprend les étapes suivantes :

- recevoir des paramètres a± ; bi ; C j i ; hi ; τ± ; x' j , tels que

o le système

Wi N 3 / N 2 \

y( = ^(a f y(t - T f )) +∑ +∑ (tyyfr - T 'y)) ~ h i^> i=l 1=1 \ j=l )

y(s) = 0, u{s) = 0, pour s < 0

ait une solution y(t) positive et vérifie

^

10 pour u prenant les valeurs 0 ou 1, u n'étant pas la fonction nulle,

o ∑=\ t + Σ^c n < 0

o bi > 0,VZ = 1, ...,N 3

1 P- 2, ί=1 ΰ ί

-L- 3 ° pour y max Nl «3 „w 2 '

λ ί=1 αί+λ ;=1 λ =1 ε y «(i +∑f=\ ,τ, + Cyi T' y ) +ΣΪ > y * ι +

o les zéros des quasi-polynômes

W 3 W 2

20 <?i(s) = ^ ^e " fi + d,e

i=i i=i j=i

Ç 2 O) = ^^e-^ - s

1=1

soient à partie réelle négative,

o le système - τ';

Zi(s) = φ , s G [-r max , 0] soit localement asymptotiquement stable,

recevoir, et mémoriser pendant une durée minimum

T max = niax^, ...,T Ni ,h lt ...,h N3 ,T' lt ...,τ' Ν2 ), des mesures y(t) au cours du temps t du moyen de mesure du décollement de l'écoulement le long du profil,

envoyer, et mémoriser pendant une durée minimum T max = max^, ...,T Ni ,h lt ...,Κ Ν3 ,τ , ... , τ' ¾ ) , des instruction u(t)= 0 ou 1 au cours du temps t respectivement d' inactivité ou d'activité de l'injecteur,

calculer une grandeur σ (t) au cours du temps t comme étant au moins la somme des termes y(t) ;

< . ; b u(s)ds ; cn h 1 )u(s)ds , puis la comparer à un paramètre σ* comme étant au moins la somme des termes y* ; y*aiTi ; y*a 2 T2 ; -y*aihi ; y*a 2 h y*Cnx'i ; -y*Cnhi , y* étant une valeur de consigne cible du moyen de mesure du décollement de

1 ' écoulement le long du profil, telle que y * G

0, ∑l=i b l

JV 3 JV 2 et

1=1 ^j=l

si σ (t) est plus petit que envoyer un ordre d'activité de l'injecteur,

si σ (t) est plus grand que envoyer un ordre d'inactivité de l'injecteur D'autres caractéristiques et avantages de l'invention apparaîtront mieux à la lecture de la description qui suit, tirée d'exemples donnés à titre illustratif et non limitatif, tirés des dessins sur lesquels : - la figure 1 représente un dispositif de pénétration dans un fluide selon l'invention vu de côté par rapport au sens d'écoulement du fluide, en mode passif,

- la figure 2 représente un dispositif de pénétration dans un fluide selon l'invention vu de côté par rapport au sens d'écoulement du fluide, en mode actif,

- la figure 3 représente l'algorithme de fonctionnement du contrôleur selon l'invention, - la figure 4 représente des mesures expérimentales de décollement de l'écoulement grâce à l'invention.

L'annexe B rassemble les références de publications citées dans le présent mémoire. Les dessins et la description ci-après contiennent, pour l'essentiel, des éléments de caractère certain. Ils pourront donc non seulement servir à mieux faire comprendre la présente invention, mais aussi contribuer à sa définition, le cas échéant.

La présente description est de nature à faire intervenir des éléments susceptibles de protection par le droit d'auteur et/ou le copyright. Le titulaire des droits n'a pas d'objection à la reproduction à l'identique par quiconque du présent document de brevet ou de sa description, telle qu'elle apparaît dans les dossiers officiels. Pour le reste, il réserve intégralement ses droits .

En outre, la description détaillée est augmentée de l'annexe A, qui donne la formulation de preuves mathématiques mises en œuvre dans le cadre de l'invention. Cette Annexe est mise à part dans un but de clarification, et pour faciliter les renvois. Elle est partie intégrante de la description, et pourra donc non seulement servir à mieux faire comprendre la présente invention, mais aussi contribuer à sa définition, le cas échéant.

Dans la figure 1, on représente un profil 10 de pénétration dans un fluide. Le profil 10 est prévu pour pénétrer dans un fluide selon un sens général prédéfini, ici vers la gauche. Le profil 10 possède une zone centrale élargie depuis son extrémité gauche, puis, plus à droite, une rupture 20 de profil 10 depuis laquelle le profil 10 présente un amincissement abrupt vers la droite, jusqu'à son extrémité droite aussi appelée bord de fuite. Ce profil 10 correspond ici à celui d'une aile d'avion qui permet un effet aérodynamique de portance, quand il pénètre dans l'air vers la gauche. On représente par une flèche 18 l'écoulement d'un fluide, ici de l'air, autour du profil. L'origine de l'écoulement correspond à l'amont et la destination de l'écoulement correspond à l'aval. On dispose sur le profil, juste à gauche, ou en amont, de la rupture 20 de profil, des orifices chacun reliés à un tube connectant l'orifice à une source d'air comprimé. L'ensemble source d'air comprimé, tube et orifice forme un injecteur 14. Les orifices des injecteurs 14 possèdent un diamètre d'environ 1 mm, et pouvant aller de 0,2 mm à 1 cm, sont circulaires, bien qu'ils puissent aussi avoir la forme de fentes ou autres, et peuvent être orientés selon des angles variables par rapport à la normale du profil. Alternativement, et selon des modes également fonctionnels, on peut disposer les orifices des injecteurs 14 au niveau de la rupture 20 de profil, ou bien juste en aval de la rupture 20 de profil.

Dans l'exemple ici décrit, les injecteurs 14 d'air comprennent une chambre d'air comprimé. Il est également possible de manière fonctionnelle d'utiliser des moteurs de compression d'air. Dans des cas de profils de pénétration dans un liquide, on utilisera de manière équivalente des injecteurs de liquide.

Il est également possible d'utiliser des injecteurs de gaz pour un profil de pénétration dans un liquide, ou des injecteurs d'eau pour un profil de pénétration dans un gaz.

Les injecteurs 14 comprennent des moyens d' activation ou non de l'injection, représentés sur la figure 1 par des clapets d'ouverture ou non de la chambre sous pression. Dans le cas d'utilisation de moteurs de compression d'air, il pourra s'agir de commutateur de mise en marche des moteurs .

Les injecteurs 14 injectent de l'air à un débit massique à partir de 10 g/s, autour de 25g/s de préférence, ou à une vitesse à partir de 15 m/s. On dispose des moyens de mesure de décollement de l'écoulement du fluide le long du profil. Ces moyens de mesure correspondent ici à des capteurs 16 film chaud disposés à la surface du profil 10 à droite de la rupture 20 de profil, au niveau de l'amincissement du profil. Il est également possible d'utiliser des capteurs fil chaud, des capteurs de pression, etc., comme moyens de mesure de décollement . Un capteur film chaud permet de mesurer le refroidissement d'un film métallique chauffé en continu par asservissement de manière connue. Le film chaud peut posséder plusieurs dimensions, de l'ordre du nanomètre au millimètre .

Selon les lois d'écoulement d'un fluide, lorsque ce dernier adopte un comportement laminaire le long d'un profil selon lequel l'écoulement est recollé au profil, ce qui est recherché pour les effets aérodynamiques tels que la diminution de traînée, l'écoulement présente une couche limite en contact du profil dans laquelle le fluide présente une viscosité telle que le fluide possède une vitesse relative au profil quasi-nul. De ce fait, il y a peu d'échange d'énergie avec le profil et le film chaud du capteur reste chaud. Au contraire, lorsque l'écoulement présente des tourbillons ou vortex en périphérie du profil, caractéristiques d'un décollement de l'écoulement autour du profil et néfastes pour les effets aérodynamiques généralement recherchés, le fluide possède une vitesse relative au profil élevée, et il y a beaucoup d'échange de chaleur avec le film chaud du capteur, refroidissant ainsi ce dernier. Le film chaud est donc bien adapté à la mesure de décollement de l'écoulement le long du profil. Toutefois, il est aussi connu et fonctionnel d'utiliser d'autres types de capteurs, comme des capteurs de pression en surface du profil, des capteurs optiques, des capteurs de débit, vitesse, du fluide, ou autres, pour mesurer ce décollement.

Un contrôleur 12 est agencé dans le dispositif. Il est capable de recevoir l'information de mesure des capteurs 16, et de contrôler la mise en activité ou non des injecteurs 14.

Le contrôleur 12 possède une mémoire 22 de stockage de données. Dans le cadre de l'invention, la mémoire 22 peut être tout type de stockage de données propre à recevoir des données numériques : disque dur, disque dur à mémoire flash (SSD en anglais) , mémoire flash sous toute forme, mémoire vive, disque magnétique, stockage distribué localement ou dans le cloud, etc. Les données calculées par le dispositif peuvent être stockées sur tout type de mémoire similaire à la mémoire, ou sur celle-ci. Ces données peuvent être effacées après que le dispositif a effectué ses tâches ou conservées . Le contrôleur 12 possède également un calculateur 24 accédant directement ou indirectement à la mémoire 22. Il peut être réalisé sous la forme d'un code informatique approprié exécuté sur un ou plusieurs processeurs. Par processeurs, il doit être compris tout processeur adapté aux calculs décrits plus bas. Un tel processeur peut être réalisé de toute manière connue, sous la forme d'un microprocesseur pour ordinateur personnel, d'une puce dédiée de type FPGA ou SoC (« System on chip » en anglais) , d'une ressource de calcul sur une grille, d'un microcontrôleur, ou de toute autre forme propre à fournir la puissance de calcul nécessaire à la réalisation décrite plus bas. Un ou plusieurs de ces éléments peuvent également être réalisés sous la forme de circuits électroniques spécialisés tel un ASIC. Une combinaison de processeur et de circuits électroniques peut également être envisagée.

Dans le cadre de l'exemple ici décrit, on utilise comme contrôleur 12 un système connu sous le nom de Arduino® remarquable par sa simplicité et sa faible utilisation de ressources. Le contrôleur 12 selon l'invention nécessite en effet un processeur fonctionnant à une fréquence de seulement 4MHz, et une mémoire 22 d'une taille totale de seulement quelques kilooctets, ce qui implique une très faible consommation d'énergie et un très faible coût d' implémentation .

Comme montré en figure 3, le contrôleur 12 est programmé pour stocker à une étape 110 dans sa mémoire 22 des paramètres ai ; a2 ; bi ; Ci ; hi ; Xi ; X2 ; x'i, ainsi que pendant une durée x max égale à max (h, Xi, x 2 , x' ) les mesures y(t) de décollement de l'écoulement et les commandes u(t) égales à 1 pour une activation des injecteurs 14 et égales à 0 pour une désactivation des injecteurs 14. Pour t≤0, il est considéré que y(t)=0 et u(t)=0. Une valeur de consigne cible y*, qui correspond à la valeur de mesure y(t) de décollement que l'on souhaite atteindre, est également stockée en mémoire 22.

Lors d'une étape 112 qui suit, le contrôleur 12 est configuré pour calculer deux grandeurs σ (t) et σ* et les comparer entre elles. La grandeur σ* est calculée à partir des paramètres stockés en mémoire 22 et est telle que

σ * = y * + y * a 1 r 1 + γ * α 2 τ 2 - y * h - y * a 2 h 1 + * ^^ - y * ch La grandeur σ (t) est calculée à partir des paramètres, des mesures y(t) et des commandes u(t) stockés en mémoire 22 et est telle que

σ(ί) = y(t) + a 2 y(s)ds + c $_ T , +hi y{s)ds + a y{s)ds + b i i t - hl u(s)ds + Ci f^_ hi y(s - τ' + h)u(s)ds

Si σ (t) < σ*, alors à une étape 116 on attribue 0 à u(t) et on positionne les injecteurs 14 dans un état désactivé à une étape 120. Si σ (t) > σ*, alors à une étape 114 on attribue 1 à u(t) et on positionne les injecteurs 14 dans un état activé à une étape 118.

Puis, on incrémente t selon la fréquence de fonctionnement du contrôleur 12, de préférence supérieure à 25Hz. Les valeurs de y(t) et u(t) pendant la durée d'incrémentation sont stockées en mémoire 22 en répétant l'étape 110, et l'algorithme de contrôle est répété.

Nous allons maintenant expliquer pourquoi cette configuration du contrôleur 12 permet de réguler la mesure y(t) de décollement de l'écoulement à la valeur de consigne ciblée y* avant une durée bornée.

Selon l'invention, les paramètres ai ; a 2 ; bi ; Ci ; hi ; Xi ; 2 ; τ'ι sont choisis tels que

o le système ( - h i

y(s) = 0, (s) = 0, pour s < 0

ait une solution y(t) positive et vérifie

N 3 N 2 \ N 3 N 2

∑ ^ + ∑∑ ^ y ( ) <∑∑ ~ τ ' + ¾i )

^£=1 i=l j=l J 1=1 j=l

pour u prenant les valeurs 0 ou 1, u n'étant pas la fonction nulle,

o bi > 0,VZ = 1, ...,N 3

2, ί=1 ΰ ί

o pour y max Nl «3 „w 2 '

o les zéros des quasi-polynômes

Ni N 3 N 2

QiCs) =∑ +∑∑<cv,-ie T - — s

1=1 i=l j ' =l

soient à partie réelle négative,

o le système

Zi(s) = <p , S E [-T mflp O] soit localement asymptotiquement stable.

Alors, comme prouvé dans l'annexe A, la loi de contrôle décrite ci-avant permet bien de réguler la mesure y(t) de décollement à la valeur cible y* en un temps fini.

Afin de mieux choisir les paramètres ai ; a2 ; bi ; Ci ; hi ; xi ; 2 ; τ'ι, on a en plus procédé à une identification du modèle utilisé

(t) = a ± y{t - + a 2 y(t - τ 2 ) + (_¾ + c^yit - r )u{t - où interviennent ces paramètres, par rapport à des situations expérimentales du profil 10 et de l'écoulement dans lesquelles sont enregistrées les mesures y(t) de décollement de l'écoulement et les états u(t)=0 ou 1 inactifs ou actifs des injecteurs 14.

Plus précisément, afin d'effectuer cette identification, on propose des retards hi ; τ± ; τ'- j . En intégrant alors les valeurs y(t) et u(t) expérimentales au modèle, on détermine les coefficients a± ; bi ; C j i par la méthode des moindres carrés. On calcule alors soit le critère d'erreur e=\\y expérimentai ~ y S imuié || L z soit le critère de

, Λ . . cov (y expérimental^ simulé) . . -, , . , . . _ _ _ / ,« corrélation p= , soit l'indicateur FIT=I1—

σ y expérimental 0 y simulé \

\\y expérimental V expérimental Un algorithme d'optimisation globale, NOMAD ou bien l'algorithme Genetic, est utilisé pour répéter en boucle ces étapes. Il est configuré pour proposer à chaque itération de nouveaux retards hi ; τ± ; x' j qui, après identification des coefficients a± ; bi ; C j i par la méthode des moindres carrés, découleront soit sur une minimisation du critère d'erreur, soit sur une maximisation du critère de corrélation, soit sur une maximisation de l'indicateur FIT. L'algorithme d'optimisation globale est configuré pour s'arrêter quand les critères atteignent une valeur cible ou bien ne varient plus suffisamment à chaque itération.

L'algorithme Genetic est décrit dans Davis, L. (1991), Handbook of genetic algorithms. L'algorithme NOMAD est connu et décrit par exemple dans Audet et al. (2009), Le Digabel (2011) .

Dans la figure 1, le profil 10 se déplace à une vitesse d'environ 40 m/s par rapport à l'air. Le contrôleur 12 est désactivé. Les injecteurs 14 ne fonctionnent donc jamais, et il apparaît dans ces conditions des vortex 20 le long de la zone d'amincissement du profil 10 en aval de la rupture 20. Ces vortex 20 apparaissent à partir d'une vitesse d'écoulement d'environ 10 m/s. Ils créent une dépression en aval du profil 10 qui induit une force de traction du profil 10 vers l'aval, ou traînée.

Dans la figure 2, le contrôleur 12 est activé de manière à réguler la mesure y(t) de décollement de l'écoulement à une valeur cible y*=0,25 , en agissant sur les injecteurs 14. Pour les capteurs 16 film chaud, cette valeur correspond à un bon recollement de l'écoulement. Les injecteurs 14 sont donc activés périodiquement suivant la loi de contrôle décrite précédemment. Grâce à ce contrôle actif des injecteurs 14, l'écoulement 18 reste collé au profil 10 en aval de la rupture 20 de profil, et on ne voit pas apparaître de vortex 20.

La figure 4 fournit les mesures relevées lors des cas expérimentaux représentés en figures 1 et 2. La courbe 210 indique le relevé des mesures y(t) de décollement selon les capteurs 16 film chaud en ordonnée dans le temps t en secondes indiqué en abscisse. La courbe 212 indique le relevé des injections u(t) en ordonnée dans le temps t en secondes indiqué en abscisse. Les deux courbes sont synchronisées dans le temps. De t=7 secondes à t=40 secondes, on active le contrôleur 12 selon l'invention. Le reste du temps, on désactive le contrôleur 12. On voit bien qu'à l'activation du contrôleur 12, la mesure y(t) de décollement passe d'une valeur moyenne de 0, significative d'un mauvais recollement de l'écoulement, à une valeur moyenne régulée de 0,25, significative d'un bon recollement de l'écoulement, et qui correspond à la valeur de consigne cible y* recherchée. De plus, on observe sur la zone agrandie 214 de la courbe u(t) que les injecteurs 14 sont activés à intervalles variables, ce qui évite de surconsommer en moyens d'injection. L'invention est donc bien fonctionnelle et permet bien de réguler le décollement de l'écoulement à une valeur voulue. Annexe A

I Proposition

On note :

b

t( i > ■■■, ' ÎN 1> h lt ...,h N3 ,T lt ...,τ Wz )

Si : les coefficients du modèle sont tels que :

a + c < o (2)

b > 0,Vl = 1, ...,N 3 (3) y max (l + α τ + c T +b h >y * [l + a T + c T >-c h (4)

y * e]o,y max [.

• Condition 1 : le système

Ni N 3 / N 2 \ y(t) = ^(a f y(t - τ,)) + ^ + ^ (c, 7 y(t - τ';)) u(t - h{) (1)

É=l i=l j=l )

y(s) = 0, u{s) = 0, pour s < 0 est positif : pour tout signal d'entrée u G £°° , on a 0 < y(t) .

Condition 2 : les zéros des quasi-polynômes Qi( s ) e t Q 2 {s) sont à partie réelle négative :

=1

• Condition 3 : pour tout signal d'entrée non trivial u G £°° , la solution du système (1) vérifie

N 3 N 2

(à + c)y(t) < ^ ^ c n y{t - r' j + h t )

1=1 j=l

• Condition 4 : le système

est localement asymptotiquement stable ;

alors la loi de contrôle

avec y(t) ds

et et y * E]0,y max [. garantit y(t)→y * lorsque t→∞.

De plus, 0 < y(t) < y max pour tout t>0 et tout it E £°° (Agarwal 2012, Lemme 2.1).

Remarque : La Condition 1 est vérifiée si (voir Agarwal 2012, Théorème 2.6) il existe une constante Λ > 0 telle que :

J i N 3 N 2

t=l i=l j ' =l avec a = max(0, <Z j ) et c. + = max(0, c jt ) .

II Preuve

La surface de glissement choisie est σ(ί) = y(t) + i y(s)di

Sa dérivée est :

N 3 N 2

(3 + c)y(t) + bu(t) + _, _, c A u (ti - i)y(t

1=1 j=l

Prouvons que (σ(ί) - σ * )— (σ(ί) - σ * ) = σ(ί)(σ(ί) - σ * ) <

cit 0

• Si σ(ί)<σ * , alors u(t) = 1 et il faut σ(ί) > 0 :

σ(ί) = (a + c)y(t) + ë

Or, puisque â + c< 0 et 0 < y(t) < y max =— , on a σ(ί) > 0 .

• Si σ(ί)>σ * , alors u(t) = 0 et il faut σ(ί) < 0 :

(Ni N 3 N 2 \ N 3 N 2 t=i Î=I =i 1=1 j=l

ce qui est vrai d'après la Condition 3.

Ainsi, (σ(ί) -σ * )—dt (σ(ί) - σ * ) < 0. De plus, σ(0) = 0.

Pour garantir l'existence des modes glissants, il suffit de prouver que l'état σ(ί) = σ * est atteignable en un temps fini t = t * > 0.

Supposons l'inverse : σ(ί) < σ * pour tout t> 0. Cela signifie que u(t) = 1 pour tout t> 0. Alors :

Si les zéros de Çi( s ) sont à partie réelle négative alors ce système est globalement asymptotiquement stable et converge vers son unique point d'équilibre y m ax tel que lly( -ymaxïïc—t→+∞→o .

On peut alors écrire y(t) = y max + ε(ί) avec ε(ί) >0.

t→+∞ obtient :

Puisque e t) > 0 , alors ε ( +∑^ι ( α ί /^_ τ . ε ( ^ ) +

ô h . Grâce à l'équation (5), on obtient que c mQ x > pour tout y * G ]0, y max [ . Puisque σ(ί) >&πιαχ r alors il existe t→+∞

un temps t * > 0 tel que σ(ί) > σ * pour tout y * G ]0, y max [ .

En utilisant la méthode du contrôle équivalent (V. Utkin, Sliding modes in optimization and control problems . Springer Verlag, New York 1992. ), on obtient :

_∑î*i∑ j =i cjiyjt - T'J + h t ) - (à + c)y(t)

Le système obtenu en remplaçant u(t) par u eq (t) dans (1) doit être asymptotiquement stable pour garantir y(t)→ y * lorsque t→∞ . , ce qui est donné par la Condition 3 de la Proposition.

En remplaçant u par u eq et y par y * dans σ, on obtient σ * :

Nl / t w 3 w 2 t

£=1 ^ t-T i ' j=i =i t-r'j+hi

+ c n j y * (s - τ' · + ii)u eq (s)ds

Ni , N 3 N 2

£=1 ^ t-T i ' i=i j=i t-r'j+hi

Na Nl C ( b \

^ ∑ N n i,(¾+c jiy (s -r > n + h m ^ P- i

τ' Ρ + q ) - (à + c)y(t)

<r * (t) = y * (t)

— τ' ρ + ds

+c)y(t))ds

Si y * est une constante :

Si N 3 = 1 σ y * +

II Cas particuliers

i Ni = 2, N 2 = 1, N 3 = 1 : y(t) = a ± y{t - + a 2 y(t - τ 2 ) + (_¾ + - σ * = y * (1 + α 1 1 - + α 2 2 -h 1 )+ ^ v c 11 (j' 1 - =1

a + a 2 + c 1 < 0

> 0

c u > 0 -L + a 2 + C 1:L

½αι ~~ πΐ3 χ (τ-ι_,τ 2 ,I-L,τ -L)

(l + α 1 1 - h ) + α 2 2 - + (^ΟΊ - h ) > 0

σ(ί) = y(t) + % I y(s) ds + a 2 I y(s) ds + I u(s) ds — τΊ + h 1 )u(s)ds + c I y(s)ds σ * = y * (l + ^Ti - hi) + α 2 2 - + c 11 r - h ) Condition 1 : le système (1) est positif : pour tout signal d'entrée non trivial u G £°° , on a 0 < y(t) .

Condition 2 : les zéros de Qi( s ) et Ç 2 ( s ) sont à partie réelle négative :

Ç 2 (s) = ae ~sx ^ + a 2 e ~ST2 - s

Condition 3 : pour tout signal d'entrée u G £°° , la solution du système (1) vérifie

! + a 2 + C )y(t) < C y(t - τΊ + ½)

Condition 4 : le système

¾(ί) = OiZiCt - Ti) + 2 Z ! (t - τ 2 ) + (-¾ + C ZiCt - r' 1 ))z 2 (t - / )

(¾ + a 2 + c 11 )z 1 (t) + Ô ! Z 2 (t) + c 11 (z 2 (t) - l)z ! (t - τ + ½) = 0

z 1 (s) = ¾p, sE [-î MFLP 0] est localement asymptotiquement stable.

Annexe B

Liste des références : Brunton SL, Noack BR. Closed-loop turbulence control: progress and challenges. Applied Mechanics Reviews 2015

Volino RJ. Séparation Control on Low-Pressure Turbine Airfoils Using Synthetic Vortex Generator Jets, In ASME Turbo Expo 2003, collocated with the 2003 International Joint Power Génération Conférence., Atlanta, Georgia, USA, 2003:845-859

Tian Y, Cattafesta L, Mittal R. Adaptive control of separated flow, 2006. American Institute of Aeronautics and Astronautics ,

Audet C, Jr J. ED, Digabel SL. Globalization stratégies for Mesh Adaptive Direct Search. Computational Optimization and Applications 2009; 46 (2) : 193-215

Le Digabel S. Algorithm 909: NOMAD: Nonlinear optimization with the MADS algorithm. ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS) 2011; 37(4):1-15

Feingesicht M, Raibaudo C, Polyakov A, Kerherve F, Richard J-P. A bilinear input-output model with statedependent delay for separated flow control, 2016 Dandois J, Garnier E, Pamart P-Y. NARX modelling of unsteady séparation control. Experiments in Fluids 2013; 54(2): 1-17 Agarwal RP, Berezansky L, Braverman E, Domoshnitsky A. Nonoscillation Theory of Functional Differential Equations with Applications. Springer New York : New York, NY, 2012.