Bekannte Regelsysteme für dynamische Systeme in der Technik sind entweder rein konventionell auf der Grundlage linearer oder nicht-linearer Systemmodelle aufgebaut oder bestehen aus reinen Fuzzy-Control-Reglern. Jeder der beiden grundverschie¬ denen Ansätze hat dabei seine eigenen typischen Vorteile und Nachteile. Unter den konventionellen Regelsystemen sind die sog. Sliding-Mode-Controller mit Boundary Layer besonders ausgezeichnet, da diese den Forderungen nach Robustheit und Einbeziehung eines Minimums an Syεtemkenntnis am ehesten ge¬ recht werden (J. F. Slotine: The Robust Control of Robot Ma¬ nipulation; The Intern. Journ. of Robotics Research (MIT), Vol.4, No.2, 1985, pp.49-64). Diese Regler sind konventionel¬ le Regler für Systeme höherer Ordnung (n >= 2), die einen Kompensationsanteil für Systemnichtlinearitäten und eine Grenzschicht (Boundary Layer) um die Gleitebene (Sliding Sur- face (SS) ) herum besitzen, um einen kontinuierlichen Vorzei- chenwechsel der Stellgröße zu erreichen. Voraussetzung für einen Reglerentwurf dieser Art ist die Kenntnis der oberen Grenzen der auftretenden Modellunsicherheiten, Parameterfluk- tuationen, Störungen und Frequenzen. Ein Nachteil dieser Reg¬ ler ist, daß für den Entwurf des Kompensationsanteils eine tiefere Kenntnis der nicht-linearen Systemanteile Vorausset¬ zung ist, was die Variabilität eines einmal eingestellten Reglers dieser Art stark einschränkt.

Eine Alternative zu konventionellen Regelprinzipien bilden die Fuzzy Controller, die häufig auf der Grundlage einer zweidimensionalen Phasenebene entworfen werden (Mamdani. E.H. u. Assilian S.; An Experiment in Linguistic Synthesiε with a Fuzzy Logic Controller; In: E.H. Mamdani & B.R. Gaineε, Fuzzy Reasoning and its Applications, London, Academic Press, 1981, pp. 311-323) . Diese arbeiten im Prinzip wie Sliding-Mode-Con¬ troller mit Boundary Layer (S. Kawaji, N. Matsunaga: Fuzzy Control of VSS Type and its Robustness; IFSA 91, Brüssels, July 7-12 1991, preprints vol. "engineering" p . 81-88) und

benötigen ebenso wie diese zu ihrem Entwurf Informationen über obere Grenzen der Modellunsicherheiten Parameterfluk¬ tuationen, Störungen und Frequenzen. Eine Kompensation linea¬ rer oder nicht-linearer Anteile erfolgt nicht; Die Regelung erfolgt ausschließlich über Fuzzy-Regeln, die aus der Phasen¬ ebene auf heuristische Weise abgeleitet werden. Ein Nachteil dieser Regler ist ihre Beschränkung auf reine Fuzzy-Regeln ohne leicht realisierbare Kompensationsanteile zu berücksich¬ tigen bzw. ohne zusätzliche Filter wie z. B. eine Grenz- schicht, einzubeziehen. Des weiteren beschränken sich die meisten Fuzzy Controller auf die Verarbeitung eines Fehlers und dessen zeitlicher Ableitung in Systemen zweiter Ordnung (K.L. Tang, R.J. Mulholland: Compparing Fuzzy Logic with Classical Controller Designs; IEEE Trans, on Syst., Man and Cybernetics, Vol. SMC-17, No. 6, Nov/Dec 1987, pp. 1085- 1087) . Eine Erhöhung der Ordnung führt bei solchen Fuzzy Con¬ trollern zu einer mit der Systemordnung exponentiell wachsen¬ den Erhöhung der Regelanzahl. Ein weiterer Nachteil dieser Regler ist, daß an den Rändern der normierten Phasenebene wie beim Sliding-Mode-Controller ohne Grenzschicht ein diskonti¬ nuierlicher Vorzeichenwechsel (chattering) der Stellgröße stattfinden kann, was zu einer unerwünschten Belastung der Stellantriebe führt. Außerdem tendieren Fuzzy Controller, de¬ ren Zugehörigkeitsfunktionen in der Nähe der Gleitebene nicht fein genug abgestimmt sind, zu unerwünschten Grenzzyklen.

Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, einen Regler für dynamische Systeme n-ter Ordnung anzugeben, der die Vorteile des Sliding-Mode-Controllers mit Grenzschicht mit denen des Fuzzy Controllers verbindet, also einen robusten Regler für eine breite Klasse von nicht-linearen Systemen n-ter Ordnung anzugeben, der auf der Basis von Fuzzy-Regeln einerseits und von konventioneller, scharfer (crisp) Regelung andererseits die Vorteile beider Techniken verbindet.

Diese Aufgabe wird durch ein Verfahren zur Regelung für dyna¬ mische Systeme n-ter Ordnung mit Merkmalen nach Anspruch 1 gelöst.

Bei diesem Regler ergibt sich eine Stellgröße als Summe aus einem linearen Kompensationsterm und einem Produktterm, wobei der Kompensationsterm eine Linearkombination eines Schlepp- fehlers und seiner zeitlichen Ableitungen ist, und wobei der Produktterm durch Multiplikation eines Fuzzy-Control-Terms mit einem Sättigungsterm gebildet wird.

Auf diese Weise wird der Fuzzy Controller mit einem Rege- lungsterm erweitert, der einen bestimmten, leicht zugängli¬ chen linearen Systemanteil kompensiert. Des weiteren wird ei¬ ne Grenzschicht eingeführt, die einen kontinuierlichen Vor¬ zeichenwechsel der Stellgröße im gesamten Arbeitsbereich er¬ möglicht. Schließlich wird hierdurch die Methode der Fuzzy Control auf Systemordnungen > 2 erweitert. Der erfindungsge¬ mäße Reglerentwurf lehnt sich an die Prinzipien des Regler¬ entwurfs für Sliding-Mode-Controller mit Grenzschicht an und garantiert damit die Stabilität des geregelten Systems sowie dessen Robustheit gegenüber unmodellierten Frequenzen.

Vorteilhafte Weiterbildungen der Erfindung ergeben sich aus den Unteransprüchen.

Figur 1 zeigt in schematischer Weise ein einfaches Beispiel für ein dynamisches System, welches durch einen erfindungsge¬ mäßen Regler angemessen geregelt werden kann.

Figur 2 zeigt die Zugehörigkeitsfunktionen eines Demonstrati¬ onsbeispiels der erfindungsgemäßen Regelung des dynamischen Systems aus Figur 1.

Figur 3 zeigt die Verfolgung einer sinusförmigen, geneigten Kontur durch einen kraftsensorbestückten Robotereffektor.

Im folgenden wird die Erfindung anhand eines bevorzugten Aus- führungsbeispiels näher beschrieben.

A. Reglerentwurf

Der Reglerentwurf geht von einem nichtlinearen System n-ter Ordnung aus:

(1) x ⁽ⁿ⁾ = f(x,t) + u + d(t)

mit

2£(t) = (x, CD, ..., χ ⁽ n-D)T

2£(t) -Zustandsvektor; d(t) -Störungen; u-Stellgröße. f(-S. t) -nichtlineare Systemanteile.

Weiterhin sind die oberen Grenzen F(.&,t) ,D(2,t)und v(t)mit

(2) |f(2,t) l<= F~(2C,t); ld|<= D(χ, ) ; x _d < ⁿ - (t) |<=v(t)

mit

x _d -Sollwert

bekannt. Der Schleppfehler (Tracking Error) sei

C3) e = 2£(t) - 2 ϊ(t) = (e, e<D , ..., e^- ¹ *)*

Außerdem sei

(4) s(χ--t) = (d/dt + λ) tn-D e = 0; λ>=0

eine Gleitoberfläche (Sliding Surface (SS)) . Gelingt es, die Stellgröße u durch einen Regler so zu bestimmen, daß

(5) 1/2 d/dt(s ² (2 ,t)) <= - η Isl; η >=0

so verhält sich das System so, daß der Fehlervektor unabhän-

gig von unmodellierten Systemanteilen und Störungen in endli¬ cher Zeit zu Null wird. Mit dieser Bedingung (5) wird der Zu- standsvektor immer in Richtung der SS gezwungen. Befindet er sich auf der SS, so gleitet er in einer endlichen Zeit, die von dem gewählten λ in Gl. (4) und der maximalen Stellgröße l ^u ma _χ l abhängt, in den Nullpunkt der Phasenebene, die von den Komponenten des Fehlervektors e. aufgespannt wird.

Ein Regler, der das leistet, ist

( 6 ) u = - Σ k=l n-1 ( ^" ) ^λ * e < ^n"k > - K _Fuzz (≤, λ) sat ( s/Φ)

mit

Φ > 0 -Stärke der BL ^κ _F uzz -eigentlicher FC.

Der Regler ist stabil für

(7) K _FuzZ|max >= F~ + D + v + η

Um weiterhin unmodellierte Frequenzen v _u zu unterdrücken, muß

(8) ^K( - ^f φ ^)mRY <= λ « v _u

sein. Bei einem AbtastSystem mit einer Abtastfrequenz v _sarnple und einer Zeitkonstanten π _plan des zu regelnden Prozesses muß λaußerdem so gewählt werden, daß

Der eigentliche Fuzzy Control Term K _Fuzz ist dadurch gekenn¬ zeichnet, daß im Bedingungsteil der Fuzzy-Regeln anstelle des Fehlers und seiner Ableitungen der Abstand s _p des Zustands- vektors von der Sliding Surface SS (im 2-dim. Fall von der Schaltgeraden) und der Abstand d von der Richtung des Norma¬ lenvektors des Sliding Surface SS, die eine Schalthyperfläche ist, bewertet wird. Das entspricht der Transformation der n- dimensionalen Phasenebene in eine 2-dimensionale s _p -d-Ebene. Mit dieser Maßnahme vermeidet man das exponentielle Ansteigen von Regeln mit der Erhöhung der Systemordnung. Die einzelnen Regelungsschritte bestehen dann darin, daß

a) aus Sollwerten und Regelgrößen des Prozesses ein Feh¬ lervektor e. gebildet wird; b) der Fehlervektor e. auf einen normierten Fehlervektor e. _N normiert wird, mit der Eigenschaft, daß d _N inner¬ halb eines begrenzten Phasenraumgebietes liegt; c) aus ≤ _N eine normierte Gleitfläche (SS) , die durch S(JC,t) = 0 gegeben ist, gebildet wird, mittels derer das Vorzeichen der anzugebenden Stellgröße u bestimmt wird; d) die Abstände s _p zwischen ≤JJ und s=0 sowie d zwischen ≤N und dem Normalenvektor £ßτ von s=0 gebildet werden, und Sp und d aufgrund vorgegebener Zugehörigkeits- funktionen fuzzifiziert werden; e) mit Hilfe von i Fuzzy-Regeln der Form

IF s _p = s _pi AND d=d _i THEN u _N =u _Ni

der Fuzzy-Vektor μ- _jN der normierten Stellgröße u _N ge¬ bildet wird;

f) durch Defuzzifizierung aus dem Fuzzy-Vektor (0^ eine scharfe normierte Stellgröße u _N gebildet wird;

g) mit Hilfe eines vorher bestimmten Denormierungsfak-

tors aus u _N eine physikalische Stellgröße u~ = - Kp _uzz (e,λ) gebildet wird;

h) ein Kompensationsanteil ^u Komp = - ∑ k=l,...,n-l f _k J λ ^k e< ^n-k > gebildet wird, und die Stellgröße u = uκ ₀ mp ⁺ ~-sat(s/Φ) auf das System geschaltet wird.

Die Normierungsfaktoren werden wie folgt bestimmt:

Die Sliding Surface SS in der normierten Phasenebene lautet

(11) (d/dt + λ _N ) ⁽ n-D e _N = 0

Weiterhin seien N _e , N _e ι, ... die Normierungsfaktoren für e, e ¹ , ... mit

_N = N _e -e; e^ ⁾ _N = e* ¹ * -N _e (l)

Daraus ergibt sich mit Einsetzen des normierten Zustandsvek- tors j£ _N in Gl.(4) und einem Koeffizientenvergleich

N=, (n-2 ) N _e N _e (n-1) N _P (1) = λ/λ ',N

λ _N wird der Einfachheit halber gleich Eins gesetzt, so daß nach der Wahl von λ nach den o. g. Kriterien nur noch die Wahl eines der N _e(k) offen bleibt, um,alle Normierungsgaktoren bestimmen zu können. Dazu bietet sich N _e an, der so bestimmt wird, daß der Arbeitspunkt des Reglers sicher in das nor¬ mierte Intervall von e _N plaziert wird. Eine Verbesserung des Regelungsverhaltens durch Veränderung von N _e kann mittels entsprechender Lernverfahren erfolgen. Innerhalb der normier¬ ten s _p -d-Ebene wird das normierte K _FuzzN durch Regeln der Art

IF s _pN =s _pNi AND d _N =d _Ni THEN K _FuzzN =K _{FuzzN |} _

(12)

berechnet. Schließlich sollen noch die Entwurfsvorschriften für die Formulierung der Regeln in der normierten s _pN -d _N - Ebene bestimmt werden:

1. K _FuzzN soll ansteigen mit steigendem ls _pN | und fallen mit fallendem Is _pN I,

2. K _FuzzN soll ansteigen mit steigendem |d _N | und fallen mit fallendem |d _N I.

Die Wahl des Denormierungsfaktors N _D erfolgt so: Es sei ^κ - _F uzz _N |ιr _ι ax ^ ^er maximal mögliche Output des normierten Fuzzy Controller. Weiterhin sei K _FuzZ|max aus der Abschätzung (7) bekannt. Dann ergibt sich der Denormierungsfaktor zu

B. Demonstrationsbeispiel

Mit Hilfe eines Roboters soll eine Kontur kraftadaptiv ver- folgt werden. Anwendungsfälle hierzu gibt es beim roboterge¬ führten Gußputzen, Bahnschweißen, Kleben usw. Die Aufgabe ist, eine a priori nicht vollständig bekannte Oberflächenkon- tur mit dem Robotereffektor (Werkzeug, Greifer) mit einer konstanten Kraft zu verfolgen. Die zwischen Effektor und Oberfläche wirkenden Kräfte werden mit einem Kraftsensor ge¬ messen. Der Kraftfehler zwischen Soll- und Istwert wird auf den Fuzzy-Regler gegeben, dessen Output (Stellgröße) eine Po¬ sitionskorrektur des Roboterarms ist. Es wird angenommen, daß die gesamte Dynamik sich im Effektor bzw. in der Oberfläche befindet. Eine weitere Vereinfachung ist die Beschränkung der Dynainikberechnung auf eine Koordinatenrichtung. Der Effektor ist ein Feder-Masse-Dämpfungssystem und die Oberfläche sei

als Feder modelliert. Die entsprechende Dgl. lautet dann:

(Bl) m-y< ²⁾ + c y ¹ * - y^o) - m-g-Kl-(y - y ₀ - D)

+ K2• (y - y _c + r + A) = 0

Gleichung (Bl) ist eine Kraftbilanzgleichung folgender Art (siehe Fig. 1) :

F _τ + F _D - F _G + F _F + F ₀ = 0 (B2)

mit

F _τ -Trägheitskraft F _D -Dämpfungskraft F _G -Gewichtskraft F _F -Federkraft F ₀ -Oberflächenkraft.

Die Sensorkraft sei durch die Federkraft F _F repräsentiert. Dann ergibt sich mit

(B3) F _F = Kl- (y - y ₀ - D) ;

F<D _F = Kl- (yd ⁾ - y ⁽ D ₀ ) ; F<2 ⁾ _p = Kl-(y(2) - _y (2) ₀ )

eine Gleichung für die Feder-(Sensor-)kraft F _F :

(B4) F ²⁾ _F = - ≤ - F ⁽ D _{F +} Kl - g - ^-F _F - ^-F ₀ - Kl • y<2 ⁾ _Q

Hierbei ist

(B5) U = - Kl ^• y ⁽²⁾ ₀

die Stellgröße, die durch den Regler erzeugt werden soll

Die konkreten Parameter lauten:

C = 50kg/s m = 0.05kg Kl = 5000kg/s ^{2 τ} sample = 0.0 ls

Der Vergleich von 61. (Bl) in Pkt.3 und Gl. (B4) ergibt

x(t) => F _F (t) x< ⁿ >(t) => F< > _F

f (2 ,t) => - ^• F D _F + Kl - g - ^ . F _F - ^• F ₀

Weiterhin ist

s=λe + e ⁽¹ > e = F _F - F _Fd

Der Regler, der Gl.(6) des vorigen Abschnitts entspricht, hat für den zweidimensionalen Fall die Form

(B6) u = - λ-e' ¹ » - K _Fuzz (e,e< ¹ > _r λ) ^« sat(s/Φ)

Das F~ in 61. (7) des vorigen Abschnitts ist gleich

Kl Kl

^F ~ = " ^F(1) F + Kl ^• g - m Fr, - m

Die Abstände s _pN und ld _N l des Zustandsvektors e von der SS bzw. von der zur SS normalen Geraden in der normierten Pha¬ senebene sind

S > _p p _N N = ( + e ⁽ D _N ) / ^y [2 . (Bl)

und

ld _N | = I (-e _N + e ⁽ D _N ) [ / [_ϊ

(B8 )

Für die normierten Werte s _pN und |d _N l sowie die normierte Steuerung u _N werden die folgenden Fuzzy-Sets definiert:

PSS-positive s _pN small

PSB-positive s _pN big

NSS-negative s _pN small NSB-negative s _pN big

DS-d _N small

DB-d _N big

PUS-positive u _N small

PUB-positive u _N big NUS-negative u _N small

NUB-negative u _N big.

Fig. 2 zeigt die entsprechenden Zugehörigkeitsfunktionen. Die Regeln zur Bildung der Steuerung u _N lauten:

⁵ pN > 0

IF PSS AND DS THEN NUS IF ((PSS AND DB) OR PSB) THEN NUB S _pN <= 0 IF NSS AND DS THEN PUS

IF ((NSS AND DB) OR NSB) THEN PUB.

Für den Regler wurden folgende Parameter gewählt

N = 100 kg-m

_S 3

N _e e(^l)' = ^~ 6 ^V ,"5 ^J kg-m kg-m

N _u = 50 -^r

Φ = 2 . 5m/s Fd = ION v = 0 .2 m/s ( Vorfcrie- sgesc windig.cei )

Fig. 3 zeigt die Verfolgung einer sinusförmigen, geneigten Kontur durch einen kraftsensorbestückten Robotereffektor, der durch das Feder-Masse-Dämpfungssystem nach 61. (Bl) modelliert wurde (siehe Fig. 3a für den PD-Regler und Fig. 3b für den Fuzzy Controller) .