DE TRAÎNÉE L'invention concerne une méthode de correction du calcul d'une caractéristique de vol d'un avion par prise en compte du vent vertical et un procédé de calcul du coefficient de traînée est également présenté à titre d'application de la méthode. Elle est mise en œuvre en aéronautique pour la détermination des caractéristiques des avions.

Parmi les caractéristiques d'un avion, le coefficient de traînée, noté Cx, de l'avion est important car, en fonction de la valeur du Cx, l'avion peut consommer plus ou moins de carburant. C'est donc une caractéristique d'intérêt économique très importante surtout pour des avions commerciaux.

Si on peut envisager de calculer le coefficient de traînée Cx par des moyens de simulation informatique, il n'en reste pas moins que c'est à partir de mesures en vol concrètes sur l'avion lui-même que l'on peut obtenir un résultat le plus proche de la réalité étant donné le nombre d'éléments pouvant influencer la valeur du Cx.

Or, si certaines mesures sont de plus en plus précises grâce aux moyens modernes de mesure, il en est d'autres qui sont plus difficiles à obtenir suffisamment précisément. C'est en particulier le cas pour le vent vertical auquel est soumis l'avion en vol. De plus, la précision des mesures obtenues peut être élevée en relatif et plus faible en absolue, il peut également y avoir des biais de mesure ou même des dérives dans les mesures.

En pratique, jusqu'à présent, du fait de ces limites, on n'a pas pris en compte l'impact du vent vertical dans les calculs des caractéristiques des avions ou, à tout le moins, si on avait pu s'y intéresser, les résultats qui auraient pu être obtenus n'auraient pas été d'une précision suffisante pour être utilisés sereinement.

La présente invention propose de prendre en compte le vent vertical avec une méthode de correction d'au moins un résultat de calcul d'au moins une caractéristique de vol d'un avion, notamment d'un coefficient de traînée Cx de l'avion, ledit calcul étant basé sur des mesures en vol et sur des valeurs calculées à partir desdites mesures, les mesures en vol étant réalisées dans au moins une condition de vol déterminée définissant un point de vol déterminé, chaque condition de vol étant définie par des valeurs particulières de paramètres de vol, chaque point de vol correspondant à une combinaison déterminée de valeurs de paramètres de vol et donc à une condition de vol déterminée, lesdites mesures et valeurs étant notamment : ^mesure l'assiette mesurée de l'avion, a _{mod le} l'incidence de l'avion calculée par résolution d'une équation de sustentation et d'un modèle aérodynamique liant l'incidence a de l'avion à au moins un paramètre de vol qui est le coefficient de portance Cz de l'avion.

On connaît des méthodes de calcul de caractéristiques de vol d'un avion mettant en œuvre des corrections. En particulier l'article « Test and Calibration of the DLR Falcon Wind Measuring System by Maneuvers » XP055207092 propose de corriger l'incidence mesurée par ajustement de telle manière que le vent vertical devienne nul sur un intervalle de vol adapté. Cette méthode nécessite de faire faire des manœuvres spécifiques à l'avion. Pour un autre paramètre, une correction est effectuée par ajustement/décalage temporel des valeurs mesurées.

On connaît également par une thèse « Angle of attack and slideslip estimation using an inertial référence frame » de E Zeis Joseph, XP055206887, la possibilité dans un cas particulier de calculer une incidence. A cette fin, il est proposé un modèle mais qui est adapté au cas particulier considéré et qui est figé.

Selon la méthode de l'invention :

les mesures de l'assiette Q _mesure sont corrigées par un terme de correction d'assiette Δθ ₀ et

les incidences calculées a _modèle sont corrigées par un terme de correction d'incidence Aa(Cz...),

et les termes de correction d'assiette Δθο et d'incidence Aa(Cz...), sont calculés sous contrainte que le vent vertical WZ est en moyenne pratiquement nul.

Le terme « pratiquement nul » signifie que la moyenne du vent doit être amenée à être une valeur nulle ou à tout le moins amenée à être la plus faible valeur possible en tant que contrainte dans les calculs.

Plus précisément, l'objet de l'invention de méthode correspond à la revendication 1 .

Pour l'évaluation des performances d'un avion, un modèle aérodynamique liant d'une part l'incidence de l'avion à d'autres paramètres, notamment au coefficient de portance Cz, et d'autre part le coefficient de traînée Cx à d'autres paramètres, notamment au coefficient de portance Cz, est classiquement utilisé. On utilisera donc le terme « modèle aérodynamique » pour désigner l'ensemble de ces deux modèles, sauf si l'un des deux est précisé explicitement : par exemple, on pourra désigner le premier modèle cité par « modèle de portance » ou « modèle aérodynamique liant l'incidence au coefficient de portance Cz » et le second par « modèle de traînée » ou « modèle aérodynamique liant le coefficient de traînée Cx au coefficient de portance Cz ». Dans divers modes de mise en œuvre de l'invention, les moyens suivants pouvant être utilisés seuls ou selon toutes les combinaisons techniquement possibles, sont employés :

- le calcul est basé sur des mesures en vol par des moyens de mesure et sur des valeurs calculées à partir desdites mesures en vol au cours d'au moins un vol et les moyens de mesure produisant les mesures peuvent avoir un biais,

- le terme de correction d'assiette Δθο est calculé sous la contrainte que pour chaque ensemble de vols de même biais de mesure dans le cas de plusieurs vols, la moyenne du vent vertical WZ pour tous les points de vol déterminés desdits vols est nulle,

- dans le cas de plusieurs vols et où pour tous les vols le biais est le même, le terme de correction d'assiette Δθο est calculé sous la contrainte que pour tous les vols, la moyenne du vent vertical WZ pour tous les points de vol déterminés desdits vols est nulle,

- le terme de correction d'assiette Δθο est une constante commune à plusieurs vols,

- le terme de correction d'assiette Δθο est une constante particulière pour chaque vol,

- le terme de correction d'assiette Δθο est variable,

- le terme de correction d'assiette Δθο comporte au moins une constante particulière pour chaque vol,

- le terme de correction d'assiette Δθο variable est la somme d'une constante particulière pour chaque vol et d'une variable linéaire du temps, la variable linéaire du temps corrigeant une éventuelle dérive des gyroscopes de l'avion,

- on effectue des mesures avion sur un seul vol, N =1 ,

- on répète les vols pour disposer de mesures avion sur un ensemble de N vols, N étant supérieur à un,

- on effectue des mesures avion sous un nombre déterminé M de différentes conditions de vol, M étant supérieur ou égal à un,

- chaque condition de vol correspond à un point de vol, un même point de vol pouvant être retrouvé lors de différents vol,

- une mesure avion correspond à une condition de vol donnée/point de vol donné,

- on enregistre les mesures avion pour les points de vol déterminés du/des vols,

- les calculs du terme de correction d'incidence Δα(Οζ, ...) et du terme de correction d'assiette Δθο sous leurs contraintes respectives de moyenne de vent vertical nul mettent en œuvre un système de résolution d'équations comportant des degrés de liberté et lorsque le nombre de degrés de liberté dans le système est strictement positif, on supprime les contraintes redondantes s'il y en a puis on ajoute aux dites contraintes sur le vent vertical du système le nombre de contraintes supplémentaires concernant les termes de correction d'incidence Δα(Οζ, ...) et/ou d'assiette Δθο permettant d'avoir autant d'équations indépendantes que de variables afin de ramener à zéro le nombre de degrés de liberté dans le système avec la/les contraintes supplémentaires,

- l'incidence de l'avion _modèle est calculée par résolution d'une équation de sustentation et d'un modèle aérodynamique liant l'incidence de l'avion au coefficient de portance Cz de l'avion et, optionnellement (d'où les ... dans les expressions comme par ex. : Aa(Cz, ...) ), à l'un ou à plusieurs des paramètres de vol suivant : une vitesse Mach de l'avion, une masse totale m de l'avion, une position du centre de gravité CG de l'avion,

- le terme de correction d'assiette Δθο est calculé sous la contrainte que pour chaque vol, la moyenne du vent vertical WZ calculé pour tous les points de vol déterminés dudit vol est pratiquement nulle,

- dans le cas où le terme de correction d'assiette Δθ ₀ est la somme d'une constante particulière pour chaque vol et d'une variable linéaire du temps, le terme de correction d'assiette Δθ ₀ est calculé sous les contraintes que pour chaque vol, la moyenne du vent vertical WZ calculé pour tous les points de vol déterminés dudit vol est pratiquement nulle, et que la pente de la régression linéaire du vent vertical WZ en fonction du temps (^ ^) est aussi pratiquement nulle,

- dans le cas où les moyens de mesure comportent des appareils, notamment des gyroscopes, qui présentent une dérive au cours du temps, on utilise un terme de correction d'assiette Δθ ₀ qui est la somme d'une constante particulière pour chaque vol et d'une variable linéaire du temps,

- le terme de correction d'incidence Δα(Οζ, ...) est calculé sous la contrainte que la moyenne du vent vertical WZ calculé pour chaque condition de vol déterminée [Cz, ...] est pratiquement nulle,

- l'incidence de l'avion _modèle est calculée par résolution d'une équation de sustentation et d'un modèle aérodynamique liant l'incidence a de l'avion au coefficient de portance Cz de l'avion et, optionnellement, à l'un ou à plusieurs des paramètres de vol suivant : une vitesse Mach de l'avion, une masse totale m de l'avion, une position du centre de gravité CG de l'avion, et le terme de correction d'assiette Δθο est calculé sous la contrainte que pour chaque vol, la moyenne du vent vertical WZ calculé pour tous les points de vol déterminés dudit vol est pratiquement nulle, et le terme de correction d'incidence Aa(Cz, ...) est calculé sous la contrainte que la moyenne du vent vertical WZ calculé pour chaque condition de vol déterminée [Cz, ...] est pratiquement nulle,

- on calcule un vent vertical WZ subi par l'avion par :

WZ = VZ _géom - TAS ^■ sin (e _mesure - _modèle + (Δ0 _Ο - AaÇCz, ... ))) VZ _géom est la vitesse verticale de l'avion dans le repère terrestre, positive vers le haut,

TAS est la vitesse vraie de l'avion dans le repère aérodynamique,

- dans le cas où un seul vol est effectué et où le nombre de mesures avion est inférieur à un premier seuil, on utilise par défaut un terme de correction d'incidence

Aa(Cz, ...) qui est nul : Aa(Cz, ...) = 0,

- dans le cas où un seul vol est effectué et le nombre de mesures avion est inférieur à un premier seuil, le vent vertical WZ est calculé par :

WZ = VZ _géom - TAS ^■ sin{6 _mesure - _modèle + (Δ0 _Ο ))

où :

v ^z géom ^est la vitesse verticale de l'avion dans le repère terrestre, positive vers le haut,

TAS est la vitesse vraie de l'avion dans le repère aérodynamique,

- dans le cas où un seul vol est effectué, les mesures avions sont effectuées pour une seule condition de vol/point de vol,

- dans le cas où un seul vol est effectué, les mesures avions sont effectuées pour plusieurs conditions de vol/points de vol,

- le premier seuil est compris entre trois et dix mesures avion,

- le premier seuil est compris entre trois et cinq mesures avion,

- le premier seuil est d'environ dix mesures avion,

- le premier seuil est d'environ cinq mesures avion,

- la méthode est mise en œuvre par un utilisateur,

- le nombre de mesures avion sur un vol pour le premier seuil correspond à l'ensemble des mesures avion pour une ou plusieurs conditions de vol,

- dans le cas où au moins un vol est effectué et où le nombre de mesures avion est supérieur à un deuxième seuil, le terme de correction d'incidence Aa(Cz, Mach, masse, CG, ...) est calculé par régression linéaire globalement sur tous les vols et en décomposant par paramètre de vol Cz, Mach, masse, CG, ... avec :

AaÇX^ X^ ... ) = Δα ₀ + - X ^f ) ^■ (^j

i ¹

OÙ

Xi correspond à chaque paramètre de vol Cz, Mach, masse, CG, la contrainte étant alors que (η^ _> qui est la moyenne de , obtenue par régression linéaire de WZ selon chaque paramètre de vol X _t sur l'ensemble des mesures avion, soit pratiquement nulle, et où Aa ₀ est fixé par l'utisateur,

- le Aa ₀ est fixé par l'utisateur pour ramener à zéro le nombre de degrés de liberté du système de résolution d'équations sous contrainte, - le deuxième seuil est supérieur ou égal au premier seuil,

- le deuxième seuil est compris entre dix et cent mesures avion,

- le nombre de mesures avion sur le ou les vols pour le deuxième seuil correspond à l'ensemble des mesures avion pour plusieurs conditions de vol,

- dans le cas où au moins un vol est effectué et où le nombre de mesures avion est supérieur à un troisième seuil, le terme de correction d'incidence Aa(Cz, Mach, masse, CG, ...) est calculé par régression polynomiale multi-variables globalement sur tous les vols et en décomposant par paramètre de vol Cz, Mach, masse, CG, ... avec :

où

chaque instance des indices i et j correspond à chaque paramètre de vol Cz, Mach, masse, CG, et où Δα ₀ est fixé par l'utisateur,

- le troisième seuil est supérieur ou égal au deuxième seuil,

- le troisième seuil est compris entre cent et mille mesures avion,

- le troisième seuil est supérieur à cent mesures avion,

- le nombre de mesures avion sur le ou les vols pour le troisième seuil correspond à l'ensemble des mesures avion pour plusieurs conditions de vol,

- le terme de correction d'incidence Aa(Cz, ...) est calculé par interpolation dans une ou des tables de valeurs,

- les termes de correction d'assiette Δθο et de correction d'incidence Aa(Cz, ...) sont calculés sous contrainte de minimisation de∑ _p WZ _p ² où l'indice p caractérise les différentes mesures avion réalisées sur l'ensemble des vols en se limitant à un domaine de vol déterminé,

- on effectue les mesures avion dans une configuration de vol simplificatrice correspondant à un avion en vol stabilisé avec angle de roulis nul et avec un régime moteur stabilisé.

L'invention concerne également une application particulière de la prise en compte du vent vertical avec un procédé de calcul d'un coefficient de traînée Cx d'un avion basé sur des mesures en vol et sur des valeurs calculées à partir desdites mesures.

Dans ledit procédé, on met en œuvre la méthode de correction de l'invention afin de calculer le coefficient de traînée Cx par une formule de calcul prenant en compte le vent vertical, ladite formule de calcul comportant un terme de pente aérodynamique y _aéro avec y _aéro = (Θ mesure + Δ0 _Ο ) - {^modèle + àa(Cz, ... )) . Cx = - Cz ^■ tan y _aéro )

OU

Yaêro est la pente aérodynamique

Vgéom est le vecteur vitesse dans le repère terrestre,

e ^éro est le vecteur normé colinéaire au vecteur vitesse aérodyna

exh ^ér ° ^es * ' ^e vecteur normé issu de la projection sur le plan horizontal du vecteur e aéro

m est la masse de l'avion

F _G est la poussée brute des moteurs

RD est la traînée de captation des moteurs,

calage est l'angle de calage vertical des moteurs par rapport à l'axe de l'avion,

q est la pression dynamique de référence,

S est la surface de référence de l'avion

acorioiis ^est l'accélération de Coriolis due à la rotation de la Terre.

L'invention concerne également un procédé dans lequel on recale le modèle de portance de l'avion qui lie son Cz à d'autres paramètres de vols, notamment l'incidence, en mettant en œuvre les termes de correction d'assiette Δθο et d'incidence Aa(Cz...) calculés selon l'invention.

On entend par « recaler un modèle » le fait de modifier un modèle pour le rendre le plus cohérent possible avec des mesures réalisées en essais en vol.

L'invention peut également concerner un programme d'ordinateur comportant des instructions de code de programme enregistrées sur un support lisible par un ordinateur et permettant d'effectuer les procédés de l'invention.

Dans le contexte de l'invention, les paramètres de vol sont notamment : une vitesse Mach de l'avion, une masse totale m de l'avion, une position du centre de gravité CG de l'avion, le coefficient de portance Cz. Pour ce qui est de la distinction entre les mesures en vol et les valeurs calculées à partir desdites mesures en vol, par exemple la vitesse Mach est une mesure et le coefficient de portance Cz est une valeur calculée à partir des mesures en mettant en œuvre un modèle de poussée moteur et potentiellement un modèle aérodynamique de traînée de l'avion : le modèle de portance de l'avion n'est pas utilisé à ce stade. Le coefficient de portance Cz est donc calculé à partir des mesures et valeurs calculées obtenues par ces mesures, les termes de correction d'assiette Δθο et d'incidence Aa(Cz...) n'intervenant donc pas à ce niveau. En effet, le Cz est calculé puis « figé » pour la suite, c'est-à-dire que l'on garde le même modèle de poussée et que l'impact d'une modification du modèle de traînée est supposée négligeable et, en outre la méthode de correction de l'assiette et de l'incidence est supposée n'avoir qu'un impact négligeable sur le Cz : il est évidemment possible de réintroduire ces corrections si désiré en effectuant un bouclage, mais en général ces corrections étant de l'ordre de quelques dixièmes de degrés au maximum, leur impact sur le Cz est négligeable. On va donc considérer ici que ce Cz est une donnée d'entrée de la méthode de correction de l'assiette et de l'incidence. Une condition de vol ou un point de vol, ces termes étant équivalents, est défini par un ensemble de paramètres de vol [Cz, Mach, masse, CG, Re, altitude, ... ] ayant des valeurs particulières. Un domaine de vol correspond à des gammes de mesures et valeurs de paramètres de vol [Mach ₀ , Cz ₀ , masse ₀ , CG ₀ , ... ] prédéfinies pour le modèle aérodynamique utilisé lors des calculs, par exemple 0.4≤ Cz≤ 0.5 et 0.8 < Mach ≤ 0.85. Enfin, une caractéristique de vol est une valeur calculée corrigée par mise en œuvre des termes de correction d'assiette Δθο et d'incidence Aa(Cz...), et c'est par exemple le coefficient de traînée Cx de l'avion que l'on cherche à obtenir précisément et donc que l'on corrige. Dans ce cadre, le vent vertical qui peut être calculé avec correction et est donc une valeur calculée peut aussi être considéré comme une caractéristique de vol.

Outre l'utilisation du Cz pour calculer le Cx à chaque instant du vol, il est aussi possible de corriger le modèle de portance Cz=f(incidence, ...) initialement utilisé. Le modèle qui lie le Cz à l'incidence peut ainsi être corrigé. En effet, une fois le Cz calculé, une première estimation de l'incidence est faite en utilisant le modèle Cz=f(incidence, ...) initial puis une correction à cette incidence y est introduite. En effet, la correction sera du type A(incidence)=f(Cz, ...) ce qu'il est possible de transformer en A(Cz)=f(incidence, ...) et ainsi de corriger le modèle Cz=f(incidence, ...) et non les valeurs de Cz pendant le vol, qui elles restent inchangées. Pour cela, on se limitera au domaine de Cz croissant avec l'incidence, c'est-à-dire qu'on ne s'intéressera pas au domaine au-delà de l'incidence de décrochage. La bijectivité de la fonction incidence=f(Cz, ...) selon Cz, l'incidence étant ici la somme de a _modèle et de Aa(Cz...), permet l'inversion de la relation en Cz=f(incidence, ...).

Avec la méthode de l'invention, il est donc possible, dans un premier temps de calculer le coefficient de portance Cz en se basant sur un modèle de poussée moteur et, éventuellement un modèle aérodynamique de traînée de l'avion, puis dans une deuxième temps de calculer les termes de correction d'assiette Δθο et d'incidence Aa(Cz, ...), puis dans un troisième temps de corriger le modèle de portance Cz=f(incidence, ...) en utilisant au moins le terme de correction d'incidence Aa(Cz, ...). Il devient ainsi possible d'obtenir un modèle de portance Cz=f(incidence, ...) corrigé à partir d'un modèle de portance Cz=f(incidence, ...) initial dans lequel après avoir déterminé les termes de correction d'assiette Δθο et d'incidence Aa(Cz...) par la méthode de l'invention, on utilise lesdits termes de correction d'incidence Aa(Cz...) pour corriger le modèle de portance Cz=f(incidence, ...) initial.

La présente invention, sans qu'elle en soit pour autant limitée, va maintenant être exemplifiée avec la description qui suit de modes de réalisation et de mise en œuvre en relation avec :

la Figure 1 qui représente un schéma d'un avion avec différents axes concernant essentiellement des angles et des vitesses en vol ainsi qu'une décomposition du vecteur de vent,

la Figure 2 qui représente un schéma d'un avion avec différents axes concernant essentiellement les forces en jeu lors d'un vol,

la Figure 3 qui représente schématiquement un procédé de l'état de la technique pour obtenir un coefficient de traînée Cx _b mt par application directe de mesures et valeurs obtenues à partir desdites mesures, à une équation de propulsion de l'avion sans prise en compte du vent vertical, ou en prenant en compte le vent vertical à partir uniquement de mesures (assiette et incidence), ces mesures pouvant faire l'objet d'une phase préalable de calibration,

la Figure 4 qui représente schématiquement le procédé de l'invention pour obtenir un coefficient de traînée Cx _meS ure corrigé par application de mesures et valeurs à une équation de propulsion de l'avion, dans ces mesures et valeurs l'assiette mesurée étant corrigée et l'incidence calculée à partir d'un modèle d'incidence étant corrigée, la Figure 5 qui représente schématiquement le procédé permettant successivement de recaler le modèle de sustentation liant le Cz notamment à l'incidence et utilisé ici pour calculer l'incidence à partir du Cz calculé à partir des mesures avion puis de calculer le coefficient de traînée corrigé Cx _m esure à partir des mesures et valeurs obtenues lors des vols,

les Figures 6, 7 et 8 qui illustrent trois exemples de calcul des termes de correction selon des nombres de vols et de conditions de vol différents, et

les Figures 9 et 10 qui illustrent le calcul des termes de correction avec la méthode de minimisation de∑ _p WZ _p ² .

On va maintenant décrire le principe à la base de l'invention avec le calcul du vent vertical WZ puis on décrira une application au calcul du coefficient de traînée Cx. On supposera pour simplifier les explications dans la suite qu'il n'y a pas de dérive des gyroscopes de l'avion pendant le vol et on utilisera donc un terme de correction d'assiette Δθο qui est une constante particulière pour chaque vol. De même, toujours pour simplifier les explications, on supposera le biais d'assiette de chaque vol indépendant des autres. Toutefois, l'invention peut être mise en œuvre soit avec un terme de correction d'assiette Δθο qui est une variable variant linéairement en fonction du temps lors de chaque vol pour tenir compte d'une éventuelle dérive des gyroscopes de l'avion, soit au contraire avec un biais d'assiette constant commun à plusieurs vols.

Le terme « mesure avion » correspond à la mesure d'un ensemble de paramètres de l'avion, par exemple la vitesse géométrique, la vitesse aérodynamique, l'assiette, etc. pendant une certaine durée.

Afin de pouvoir prendre en compte le vent vertical pour pouvoir corriger les mesures avion et/ou les valeurs résultant de calculs à partir des mesures avion, on propose de calculer le vent vertical WZ _ca icuié à partir de mesures d'assiette de l'avion, de mesures de vitesse verticale dans un repère terrestre et d'un modèle aérodynamique liant l'incidence de l'avion à au moins le coefficient de portance Cz de l'avion.

Dans la suite, les notations suivantes sont utilisées :

W_ qui est le vecteur vent,

WX qui est la composante horizontale du vent, positif vers l'avant, en m. s ^"1 ,

WZ qui est la composante verticale du vent, positif vers le haut, en m.s ^"1 ,

E [X] qui est l'espérance de la variable X,

(X) qui est la valeur moyenne de X,

Cz qui est le coefficient de portance de l'avion,

Cx qui est le coefficient de traînée de l'avion,

Θ qui est l'assiette avion en radian,

a qui est l'incidence avion en radian,

Yaéro qui est la pente aérodynamique en radian,

TAS qui est la vitesse vraie de l'avion dans le repère aérodynamique, en m.s ^"1 , Vgéom qui est le vecteur vitesse dans le repère terrestre, en m.s ^"1 ,

VZgéom qui est la vitesse verticale de l'avion dans le repère terrestre, positive vers le haut, en m.s ^"1 ,

VZ _aéro qui est la vitesse verticale de l'avion dans le repère aérodynamique, positive vers le haut, en m.s ^"1 ,

e ^éro qui est le vecteur normé colinéaire au vecteur vitesse vraie aérodynamique

TAS,

eaéro q _U j _es ^ | _{e vec} t _eur normé normal au vecteur vitesse vraie aérodynamique TAS, dans le plan vertical, dirigé vers le haut,

exh ^ér ° qui est le vecteur normé issu de la projection sur le plan horizontal du vecteur e ^ro ,

m qui est la masse totale de l'avion, en kg, F _G qui est la poussée brute des moteurs, en N,

RD qui est la traînée de captation des moteurs, en N,

calage qui est l'angle de calage vertical des moteurs par rapport à l'axe avion, en radian,

q qui est la pression dynamique de référence, en Pa,

S qui est la surface de référence de l'avion, en m ² ,

g qui est l'accélération gravitationnelle, en m. s ^"2 ,

acorioiis qui est l'accélération de Coriolis, en m. s ^"2 ,

CG qui est la position longitudinale du centre de gravité, en m ou % de corde moyenne aérodynamique,

Re qui est le nombre de Reynolds obtenu pour une longueur de référence de un mètre (paramètre sans dimension) correspondant aux conditions de vol de l'avion, et Altitude qui est l'altitude de l'avion, en m.

A noter qu'on mentionne ici le paramètre de vol CG qui est la position du centre de gravité à titre d'information car ce paramètre n'est pas utilisé directement dans les calculs du vent vertical mais il peut cependant intervenir dans le modèle aérodynamique de l'avion notamment en fonction de la précision du modèle ou du choix de sa formulation. Il en est de même pour les paramètres de vol Altitude et Re qui peuvent être utilisés dans le modèle aérodynamique de l'avion.

Les Figures 1 et 2 permettent de visualiser certaines de ces notations en relation avec l'avion dont on cherche à déterminer/calculer des caractéristiques.

Afin de pouvoir calculer le vent vertical, il est nécessaire de connaître précisément l'assiette avion mesurée, et d'avoir un modèle précis qui permet de connaître l'incidence de l'avion à chaque instant. Pour cela, on transforme une hypothèse de vent vertical nul en moyenne, en deux sous-hypothèses : vent vertical nul en moyenne par vol, et vent vertical nul en moyenne pour chaque condition de vol.

A la base de l'invention, on part donc de l'hypothèse que la moyenne du vent vertical WZ _r éei subi par un avion en vol est nulle. On peut alors écrire : E [WZ _réel ] = 0 que l'on transforme en E[WZ _calculé ] = 0.

On peut traduire cette hypothèse de deux manières :

- Pour un vol suffisamment long, dont notamment le parcours n'est pas limité à une zone géographique trop restreinte, on peut supposer que : (WZ) _vol = 0. Ceci peut être étendu à un ensemble de vols : (WZ) _n = 0 avec n un indice dont les instances correspondent à chacun des différents vols.

- Pour un point de vol défini par une combinaison déterminée de valeurs d'un ensemble de paramètres de vol [Mach ₀ , Cz ₀ , masse ₀ , CG ₀ , ... ] , si suffisamment de mesures avion/d'enregistrements dans ces mêmes conditions de vol déterminées ont été réalisés, potentiellement sur plusieurs vols, on peut alors supposer que :

{WZ _calculé (Mach ₀ , Cz ₀ , masse ₀ , CG ₀ , ... )) = 0

Il est aussi possible de traduire l'indépendance du vent vertical et des conditions de vol en imposant par exemple ^ ^WZ ^ ^ALCULÉ ) = Q (χ ^. pouvant être le Mach, dXi

le Cz, ... et ( ^{d w∑} c ^alculé ) correspondant à la pente d'une régression linéaire de dXi

WZ calculé en fonction de X _t )

A partir de ces hypothèses, et en utilisant les mesures en vol de l'avion, notamment l'assiette # et la vitesse verticale VZ _{g 0} m dans le repère terrestre, on peut recaler le modèle aérodynamique permettant d'établir la relation entre le coefficient de portance Cz{a, Mach, masse, CG, ... ) de l'avion et son incidence a. A partir du modèle recalé et en utilisant toujours les mêmes mesures, il est alors possible de calculer le vent vertical, pour chaque instant du vol compatible avec le modèle aérodynamique utilisé. A noter qu'un modèle moteur de l'avion est également utilisé pour le calcul des valeurs de F _G et RD, qui interviennent dans le calcul du coefficient de portance Cz, et surtout dans le calcul du coefficient de traînée Cx.

En prenant en compte ce vent vertical dans l'équation de propulsion servant à calculer le coefficient de traînée Cx _m esure à partir de mesures et valeurs obtenues lors de vols, le calcul de la traînée à partir des mesures est rendu plus précis et plus robuste.

Pour calculer ce coefficient de traînée Cx _mesure corrigé, il est possible d'utiliser toute équation de propulsion que l'on peut trouver dans la littérature (par exemple :

« Fundamentals of Airplane Flight Mechanics » de David G. Hull, page 22, 1 ^ere équation de 2.20) en s'assurant auparavant que les termes négligés ou les simplifications sont adaptées aux conditions de vol.

En appliquant le principe fondamental de la dynamique dans le repère terrestre, dans le plan horizontal et selon le vecteur e _x ^ ^éro , on obtient :

d^géom

m ^{■ ■} e _x f ^ro = F _G ^■ cos(e _mesure + Αθ ₀ + calage) - RD ^■ cos(y _aéro )

■ S ^■ cos(y _{a ro} ) ^■ Cx _mesure ^■ S ^■ Cz ^■ sïn y _a ^ _ro ) ni ^■ aço ious '

Avec r _aéro = (e _mesure + Αθ ₀ ) - (a _moaèle + Aa(Cz, Mach, masse, CG, ... ))

Soit,

C ^x ^mesure

^~ _d ^{~ ~} + a-corioiis J ^■ ¾h ^er ° ^{+ F} G " ^cos ( ^e mesure + Δ0 _Ο + calage) - RD ^■ cos(y _aéro ) q - S ^■ cos(y _aéro )

- Cz ^■ tan(y _aéro ) On va maintenant donner des exemples de calcul du vent vertical qui ne sont pas limitatifs.

Afin de simplifier les explications on suppose ici que l'avion est dans une configuration de vol qui correspond à un vol stabilisé avec un angle de roulis nul et avec un régime moteur stabilisé.

Le vent vertical WZ _ca icuié peut être calculé à partir de mesures en vol et de valeurs calculées à partir desdites mesures, notamment à partir de 0 _mesure , VZ _géom , ^a modèie où a _modèle est l'incidence de l'avion calculée à partir d'une équation de sustentation et d'un modèle aérodynamique reliant le coefficient de portance avion à cette incidence.

A partir des relations suivantes :

VZ _{a ro} = TAS ^■ sin(y _a£ro

et Θ = a + y _aéro

on obtient :

WZ _ca i _cu ié — VZg _0m — TAS ^■ sin(6 _mesure — ct- _m0 d ie)

L'incidence a _modele issue du modèle aérodynamique est obtenue par application d'une équation de sustentation qui peut être choisie en fonction de la précision souhaitée.

Par exem le on eut utiliser l'é uation de sustentation suivante :

, dirigé

vers le haut. Cette équation fait l'hypothèse d'un vent vertical faible typique de ce qui est rencontré en atmosphère calme.

On tire de cette équation de sustentation :

Cz

simplifier de la manière suivante :

dVZg _0m géom\

Cz = m — F _G ^■ sin{_e _mesure + calage) + m - g + a _Cor i ₀ us ¹ £z ) Au contraire, si on ne veut négliger aucun terme, on gardera la formule précédente, en calculant par exemple le Cx par bouclage, en utilisant le modèle de traînée de l'avion pour l'estimer, donc avec Cx = Cx _modèle . Une première estimation du Cz sera réalisée en supposant Cx = 0, puis par itérations successives jusqu'au niveau de convergence désiré, le Cz sera recalculé en utilisant la valeur de Cx obtenue grâce au modèle de traînée initial, et à la valeur du Cz calculée à l'itération précédente.

De même, le modèle permettant d'établir la relation entre le coefficient de portance Cz à l'incidence a de l'avion peut être plus ou moins précis. A titre d'exemple de relation simple, on peut citer : Cz = Cz ₀ + Cz _a ^■ a, et de relation plus complexe : Cz = Cz _Q (CG, Mach) + Cz _a (CG, Mach) ^■ a + ACz _NL (a, Mach) .

Chaque constructeur d'avion prédéfinit son modèle aérodynamique et la/les conditions de vol dans lesquelles il est valide. En pratique les conditions de vol prédéfinies en question permettent de prédéfinir un domaine de vol dans lequel le modèle est valide. On utilisera donc la/les conditions de vol correspondantes pour les mesures avion destinées au calcul des caractéristiques de l'avion . En général, une configuration de vol simplificatrice est associée à ces conditions de vol prédéfinies : avion en vol stabilisé avec angle de roulis nul, régime moteur stabilisé.

On suppose d'expérience que la mesure d'assiette avion 9 _mesure peut-être biaisée et ce biais peut être différent d'un vol à l'autre, mais qu'il reste constant au cours de chaque vol.

L'erreur du modèle Cz{a, Mach, masse, CG, ... ) pour le coefficient de portance est équivalente à une erreur Aa(Cz, Mach, masse, CG, ... ) car le Cz est calculé à partir des mesures avion et le modèle Cz{a, Mach, masse, CG, ... ) est utilisé pour en déduire l'incidence a _moaèle .

La relation y _aéro = 6 _mesure - a _moaèle devient donc

Yaéro = ^mesure + Δ# ₀ ) - {^modèle + a(Cz, Mach, masse, CG, ... )) D'où

WZ _ca i _cu ié— VZg _0m — TAS

^■ sin (dynesure - ^modèle + (Δ# ₀ - àa(Cz, Mach. masse, CG, ... ))) En prenant l'hypothèse que pour chaque vol, le vent vertical moyen rencontré par l'avion est à peu près nul, et le fait que le biais de la mesure d'assiette peut varier d'un vol à l'autre, on déterminera ΑΘ ₀ νοΙ _η ) de manière à avoir (WZ _calculé ) _voln = 0, donc pour chaque vol d'indice n, avec n = [1 ..N] et N>=1 , dans le cas d'un ensemble de N vols.

Selon la densité des mesures avion obtenues/enregistrées dans un domaine de vol correspondant à des valeurs de paramètres de vol [Mach ₀ , Cz ₀ , masse ₀ , CG ₀ , ... ] prédéfinies pour le modèle aérodynamique utilisé, par exemple 0.4 < Cz < 0.5 et 0.8 < Mach < 0.85, on pourra appliquer des méthodes plus ou moins précises pour corriger le modèle d'incidence. On rappelle que la contrainte imposée pour les calculs est d'avoir pour tout point de vol :

(WZ(Cz, Mach, masse, CG, ... )) = 0 ou une formulation équivalente qui traduit l'indépendance du vent vertical et des conditions de vol. Cette dernière condition peut se décliner de différentes manières selon la densité des mesures avion dans le domaine de vol considéré.

Ces déterminations sont effectuées par réglage de l'ensemble des variables (Δ0 _Ο ) N étant le nombre de vols (indice n) et :

■ Δα ₀ et (^-) (Q étant le nombre de variables dont dépend l'incidence) si on opte pour une correction de type linéaire (les mesures avion sont obtenues pour plusieurs conditions de vol/points de vol afin de pouvoir effectuer au moins une régression linéaire),

ou

■ Δα ₀ , (^ , ^a ) etc. (Q étant le nombre de variables dont

¹ ' l≤l≤Q \ ^{1 )} ' l≤i≤Q,l≤j≤Q

dépend l'incidence) si on opte pour une correction de type polynomiale multi- variables

ou

^■ (Aa _k (Cz, Mach, masse, CG, - )) _1<k<R (R étant le nombre de points de données entre lesquelles on interpole) si on choisit une correction obtenue par interpolation dans une ou des tables de valeurs.

Cela se fait typiquement par l'utilisation de méthodes d'optimisation. Diverses méthodes d'optimisation pour résoudre ces problèmes peuvent être utilisées : il sera possible d'utiliser par exemple une méthode de quasi-Newton (par exemple la méthode BFGS (cf. p.72 « Optimization: Algorithms and Applications » de Rajesh Kumar Arora)). Ces méthodes d'optimisation sont déjà disponibles dans un certain nombre de langages informatiques (Matlab, python, etc.). Pour la résolution des systèmes d'équation de la forme νί, / _έ (χ) = 0, il sera possible de transformer le système d'équations en un problème de minimisation de∑ _É ( _É CO) . Le but de ce processus d'optimisation étant d'avoir à la fin :

Vi G l, N], (WZÇvol rî)) = 0

et

Vi G Hl, —) = 0 si une correction linéaire a été choisie. Il faut alors fixer aXi

la valeur de Aa ₀ pour avoir le bon nombre de degrés de liberté permettant de résoudre d'une manière unique le système d'équations sous contraintes.

ou ^■ Vi E Œl, ÇI <^ > = 0, V(ÎJ) G Œ1, ÇF, <^-) = 0, etc. si une correction polynomiale multi-variables a été choisie. Il faut alors fixer la valeur de Aa ₀ pour avoir le bon nombre de degrés de liberté.

ou

■ V/c G Hl, R , (WZ (condition k)) = 0 si une correction par interpolation dans une ou des tables de valeurs a été choisie et suffisamment de mesures avion sont réalisées dans chaque condition de vol

ou

^■ Par minimisation de∑ _p WZ _p ² s\ une correction par interpolation dans une ou des tables de valeurs a été choisie, l'indice p caractérisant les différentes mesures avion réalisées sur l'ensemble des vols en se limitant à un domaine de vol déterminé. Ce choix permet beaucoup plus de souplesse dans la réalisation des vols d'essais que le choix précédent car on n'est pas obligé de se limiter aux conditions de vol des tables de corrections mais on peut parcourir tout le domaine de vol désiré sans contrainte.

En fonction du nombre de variables du modèle de correction (Q+1 variables pour la correction linéaire ( -r-^ ) par exemple), il faut disposer d'un certain nombre de mesures avion réalisées dans des conditions compatibles avec les hypothèses des modèles moteur et aérodynamique donc, en général, avec un angle de roulis nul, et un régime moteur stabilisé, typiquement une dizaine de mesures avion par variable. Ce nombre dépend évidemment de l'incertitude de chaque mesure ainsi que de la précision souhaitée.

Une mesure correspond à une prise/enregistrement de la valeur d'un paramètre donné mesuré. Pour un point de vol donné, au cours d'un même vol ou au cours de différents vols, on peut effectuer une ou plusieurs prises/enregistrements de valeurs des divers paramètres mesurés et donc, pour chaque prise/enregistrement de point de vol on dispose de plusieurs mesures correspondant chacune à une mesure d'un paramètre donné. On rappelle que le terme « mesure avion » correspond à l'ensemble des mesures des paramètres nécessaires à l'application de cette méthode, mesures enregistrées pour chaque phase de mesure.

On comprend que si le nombre de mesures avion pour chaque vol est élevé et la densité de mesures avion dans le domaine de vol est importante, meilleure sera la précision des résultats, toujours en respectant les conditions de vol prédéfinies pour les modèles et notamment le modèle aérodynamique.

Les mesures sont typiquement enregistrées pour utilisation ultérieure avec des calculs différés des caractéristiques de l'avion. Si, de préférence, les calculs sont effectués en temps différé afin de pouvoir collationner les mesures et éventuelles valeurs recueillies lors du vol et de précédents vols, on peut envisager des calculs progressifs, en temps réel, lors de chaque vol, et qui s'affineront donc progressivement au fur et à mesure de chaque vol.

En pratique, les mesures sont obtenues au cours de phases de mesures qui durent chacune un certain temps qui peut dépendre de nombreux facteurs. Une phase de mesure peut ainsi durer entre quelques secondes et quelques minutes.

Les calculs sont effectués dans un calculateur programmable/ordinateur qui reçoit en entrée de données notamment les mesures et éventuelles valeurs calculées enregistrées lors du vol. Ces données sont repérées dans le temps et possiblement par vol, un vol particulier pouvant toutefois être retrouvé en fonction de son repérage temporel. Les conditions de vol peuvent être déterminées à priori, possiblement enregistrées avec les données, ou déterminées à postériori sur les données enregistrées. En effet, les conditions de vol peuvent être déterminées à priori, par exemple le pilote décidant qu'il est entré dans des conditions de vol particulières, ces conditions pouvant éventuellement être enregistrées avec les données correspondantes. Elles peuvent être déterminées a postériori automatiquement à partir des mesures et des valeurs enregistrées correspondant à des paramètres de vol [Mach ₀ , Cz ₀ , masse ₀ , CG ₀ , ... ], le calculateur programmable/ordinateur classifiant les mesures et valeurs par conditions de vol et conservant celles utilisables pour les calculs, notamment celles respectant les conditions de vol prédéfinies pour les modèles et, si nécessaire, la configuration de vol simplificatrice prédéfinie.

Certaines des valeurs calculées peuvent l'être lors des mesures, en temps réel, et être enregistrées et d'autres peuvent être calculées ultérieurement à partir des mesures enregistrées. Ainsi, lorsqu'on indique que l'on enregistre pour des points de vol déterminés du/des vols des mesures et des valeurs calculées à partir desdites mesures on considère cela équivalent à un enregistrement des mesures puis des calculs ultérieurs de valeurs calculées à partir desdites mesures enregistrées.

On peut considérer le cas d'une très faible densité de mesures avion. C'est par exemple le cas si on ne fait qu'un vol, on a alors : N = 1 , et avec seulement quelques mesures avion, que ce soit pour :

- une unique condition de vol/point de vol, soit M = 1 avec par exemple 3 à 5 mesures avion, ou

- plusieurs conditions de vol/points de vol, soit par exemple M = 3 à 5 avec une seule mesure avion par point de vol.

On comprend que cette très faible densité de mesures avion peut correspondre à d'autres combinaisons de nombre de points de vol/conditions de vols et de nombre de mesure(s) avion par point de vol/condition de vol au cours d'un vol unique.

Alors, dans ce cas de très faible densité de mesures avion, on ne corrige que le biais d'assiette Αθ ₀ car dans un tel cas, Aa ₀ et les autres termes correctifs peuvent être considérés nuls. En effet, dans ce cas, il n'y pas suffisamment de mesures avion pour corriger le modèle d'incidence. Il n'y a donc qu'un seul terme de correction : Αθ ₀ à utiliser et la formule du vent vertical devient :

calculé ⁼ VZgéom ^— TAS ¹ SÎn{6 _mesure — CC _mo dèle + (A#o))■

Dans le cas d'une densité de mesures avion moyenne, par exemple entre une dizaine et quelques centaines de mesures avion au total dans le domaine de vol considéré, on peut imposer la contrainte ( ^3iyz ^ ^ÎCUÎé ) = o à l'aide de régressions linéaires, ceci pour chaque X _t qui est ici un paramètre de vol, X _t pouvant donc être le Mach, le Cz, les variables étant les (^r)- On a alors une correction du type :

Aa(X ₁ , X ₂ , ... ) = Δαό + Σ^ - " (¾■

Dans le cas d'une densité de mesures avion élevée, par exemple plusieurs centaines à plusieurs milliers de mesures avion dans le domaine de vol considéré, on peut augmenter la précision des résultats par régression polynomiale multi- variables avec une correction de la forme :

où i et j sont les indices pour les paramètres [Mach, Cz, ....]. Ce calcul est basé sur les contraintes : ( ^dWZcalculé ) = o, ( ^d ^ ^ZcaÎcuÎé = o et ainsi de suite jusqu'à l'ordre voulu, avec Xi et Xj les paramètres de vol Mach, Cz, ... et les variables sont ' ^{es e} ' ^es (a _y -a -) ^e éventuellement d'autres si l'ordre du polynôme est supérieur à 2.

En variante, il est également possible de modifier directement les valeurs des tables de données du modèle Cz{a, Mach, masse, CG, ... ), par minimisation de ∑p WZ _p ² par exemple. La modification de la table de Cz est équivalente à interpoler dans une ou plusieurs tables (A _k (Cz, Mach, masse, CG, - )) _1<k<R

En effet, dans le cas où une seule table est utilisée, et comme expliqué plus haut, le but, avec l'optimisation des N+R termes de correction (Αθ ₀ ) et (Aa _k (Cz, Mach, masse, CG, - )) _1<k<R où N caractérise le nombre de vols et R caractérise le nombre de conditions de vol/points de vol de la table de données, est d'avoir

Vi G l, Nl (WZ _calculé (vol 0) = 0, Vfc G 11, Mj, {WZ _calculé {condition k)) = 0.

Les N+R termes de correction (Δ0 _η et (Aa _k (Cz, Mach, masse, CG, ... )) peuvent être obtenus par minimisation de ∑ _p WZ _p ² sur l'ensemble des mesures, l'indice p caractérisant les différentes mesures avion réalisées sur l'ensemble des vols en se limitant à un domaine de vol déterminé. Dans cette méthode par interpolation dans une ou plusieurs tables de valeurs, les mesures avion sont réalisées dans le domaine de vol défini par les bornes de la table. Ces mesures avion peuvent donc être réalisées en des conditions différentes les unes des autres, l'important étant le nombre des mesures avion par rapport au nombre de variables du calcul. Il faudra cependant s'assurer que tout le domaine de vol considéré a été parcouru réellement par l'avion.

Cette dernière variante revient à transformer les deux conditions que sont la moyenne nulle par vol et la moyenne nulle par condition de vol, en une seule : la minimisation de∑ _p WZ _p ² .

Le vent vertical WZ calculé par la formule :

WZ _calculé =

VZgéom ^~ TAS ^■ sin (e _mesure - a _moaèle + (Δ0 _Ο - àa(Cz, Mach, masse, CG, ... ))) fournit une estimée du vent réel subi par l'avion. On peut donc écrire que

Vt, WZ _réel (t = WZ _calculé (t + e _wz (t

le terme e _wz (t) étant l'erreur due au calcul. Cette erreur dépend d'erreurs de mesures (telles que sur la TAS, l'accélération verticale ^dVz ^ ^om _i | _a vitesse vertical VZ _géom ou la masse de l'avion) et d'erreurs sur Αθ ₀ et Aa(Cz, Mach, masse, CG, ... ) (par exemple due à la discrétisation limitée des modèles et des corrections et donc aux interpolations). Cette erreur n'est dans tous les cas pas liée à la valeur du vent vertical réel WZ _réel t) .

Les principes statistiques nous permettent d'écrire (σ correspond à l'écart type et E[X] à l'espérance de la variable « X ») :

awz _caicuié ^{2 =} E[WZ _calculé ² ]— E[WZ _calculé ²

Soit,

awz _calculé ² = E[WZ _réel ² + e _wz ² - 2 ^■ WZ _réel ^■ e _wz ] - E[WZ _réel - e _wz ] ²

D'où par linéarité de l'espérance :

°wz _calculé ² = E[WZ _réel ² ] + E[e _wz ² ] - 2 ^■ E [WZ _réel ^■ e _wz ] - (E[WZ _réel ] - E[e _wz ]) ² Comme indiqué plus haut, l'erreur e _wz est indépendante de WZ _réel , donc

E[WZ _réel ^■ e _wz ] = E[WZ _réel ] ^■ E[e _wz ]

On obtient alors :

°wz _calculé ² = E[WZ _réel ² ] + E[e _wz ² ] - E[WZ _réel ] ² - E [e _wz ] ²

Soit,

°wz _calcul ² = °wz _réel ² + o _ewz ² Minimiser l'écart type de l'erreur o _ewz revient donc à minimiser l'écart type du vent vertical calculé par l'équation :

WZ _calculé =

VZgéom - TAS ^■ sin {e _mesure - _{mod le} + (Δ0„ - Aa(Cz, Mach, masse, CG, ... )))

Afin d'avoir la meilleure estimation du vent vertical réel, il est donc possible de minimiser :

■ ∑p WZ _p ² , chaque indice « p » correspondant à une « mesure avion » sur une phase de vol, donc chaque WZ _p correspondant à la valeur moyenne de WZ(t) sur la phase de mesure considérée. Cette méthode est pertinente si les phases de mesure ont toutes la même durée approximativement, et l'avion la même vitesse approximativement.

permet de s'affranchir de potentiels problèmes liés à des durées de phases de mesure/vol différentes et/ou des vitesses de vol différentes. Les termes t ^début et tp ⁱⁿ correspondent aux temps de début et de fin de chaque phase de mesure/vol utilisée dans l'application de la méthode.

Dans la méthode présentée qui, on le rappelle, s'appuie sur l'équation :

WZ _ca i _cu i = VZg _0m — TAS ^■ sin (e _mesure — cc _m0 dèie + (A#o ^— A Cz,■■■))) _> on tient donc compte d'une différence Θ - a. Il en résulte qu'une erreur constante e _Q sur l'assiette sera automatiquement compensée par une erreur opposée sur l'incidence e _a = -e _e . Il est donc nécessaire de faire appel à une contrainte supplémentaire lors du processus de calcul des termes de correction d'assiette Δ0 _ο (ι οΖ _£ ) et des termes de correction d'incidence Aa(Cz, Mach, masse, CG, ... ). A part pour la méthode de minimisation de∑ _p WZ _p ² , et uniquement pour la méthode par interpolation dans une ou des tables de valeurs, une des contraintes initiales (par exemple (WZÇvol- ) = 0 ou (WZÇMach = 0.8, Cz = 0.5)) = 0 pourra être supprimée car redondante.

Dans le cas de la méthode par interpolation dans une ou des tables de valeurs, et quelle que soit la méthode de détermination des variables, il faudra rajouter au moins autant de contraintes que de tables de valeurs : on pourra par exemple fixer un des Θ ₀ (νοΙι) à 0, et/ou l'un des Aa(Cz, Mach, masse, CG, ... ) à 0, et/ou encore fixer la moyenne (Aa(Cz, Mach, masse, CG, ... )) à 0. Si le terme de correction AaÇCz, Mach, masse, CG , ... ) n'est fourni que par une table de valeurs, alors une seule contrainte supplémentaire suffit. Au contraire, si le terme de correction Aa{Cz, Mach, masse, CG, ... ) est la somme de plusieurs corrections qui ont des variables communes, par exemple Aa{Cz, Mach) + Aa{Cz, CG) il faudra en plus tenir compte des degrés de libertés supplémentaires en remplaçant une des contraintes sur Aa par d'autres contraintes : ainsi, si les deux tables de corrections utilisent les mêmes valeurs de Cz, par exemple {0.4, 0.5, 0.6}, il faudra rajouter autant de contraintes (par exemple, en plus de AaÇCz = 0A, Mach = 0.8) = 0, fixer trois valeurs de la table Aa{Cz, CG), une pour chaque valeur de Cz : par exemple, Aa{Cz = 0.4, CG = 25%) = 0, A ÇCz = 0.5, CG = 25%) = 0 et A (Cz = 0.6, CG = 25%) = 0) ; avec ces 4 contraintes, les degrés de libertés indésirables seront supprimés.

Pour la méthode qui utilise des corrections linéaires ou polynomiales, comme précisé plus haut, il faudra fixer la valeur de Aa ₀ : on pourra par exemple choisir Aa ₀ nul.

On va maintenant détailler les calculs utilisés dans les méthodes de correction de l'invention. Pour cela on va considérer trois exemples simplifiés et ne prenant pas en compte les possibilités de calcul différents selon le volume de mesures et de vols disponibles. En particulier, on a ici effectué des calculs de correction alors que le nombre de vols et/ou le nombre de conditions de vol est réduit (pour simplifier les explications comme annoncé initialement).

On utilise dans ces exemples des corrections Aa{Cz, Mach) obtenues par interpolation dans une table de valeurs. En fait, dans ces trois cas donnés à titre d'exemples, les interpolations ne sont pas nécessaires car on se place dans un cas idéal où les conditions de vol sont exactement celles des tables de correction. Ces trois cas sont : Cas 1 : 1 vol et 1 condition de vol ; Cas 2 : 1 vol et 2 conditions de vol et Cas 3 : 2 vol et 2 conditions de vol

On définit ici une « condition de vol » par un couple de valeurs (Mach, Cz) (Cz étant le coefficient de portance) : par exemple, {Mach = 0.8, Cz = 0.5}. En condition réelle, une « condition de vol » pourra être définie par plus que 2 « paramètres de vol » (par exemple, Cz, Mach, masse, position du centre de gravité).

- Cas 1 : 1 vol et 1 condition de vol :

Dans le cas 1 qui correspond à la Figure 6, il n'y a qu'un seul « point de vol » qui dure tout le vol. Dans ces conditions, on peut dire que ce « point de vol » correspond à la « condition de vol » {Mach = 0.8, Cz = 0.5} qui est maintenue durant tout le vol. Ce cas 1 revient à n'avoir qu'une seule variable : Αθ^νοΙ^.

Sur la Figure 6, on a représenté le vent vertical réel en trait plein et le vent vertical calculé par WZ _calculé = VZ _geom - TAS ^■ sin(9 mesure ^a modèle ® ⁿ trait discontinu. En haut de la figure 6, on voit un écart dû à l'erreur. Pour corriger cet écart on va calculer les termes de correction d'assiette et d'incidence en utilisant Αθ^νοΙ^ et Aa(Mach = 0.8, Cz = 0.5) et en appliquant les contraintes (WZÇvol-^) = 0 (moyenne du vent vertical nulle) et AaÇMach = 0.8, Cz = 0.5) = 0 avec une des méthodes de résolution sous contrainte présentée précédemment (comme expliqué précédemment, la contrainte (WZÇMach = 0.8, Cz = 0.5)) = 0 a été supprimée car redondante avec la contrainte (WZ vol^) = 0). Une fois les termes de corrections obtenus, on peut corriger le vent vertical calculé par :

- Cas 2 : 1 vol et 2 conditions de vol :

Dans le cas 2 qui correspond à la Figure 7, il y a 2 « points de vol » successifs, chacun durant la moitié du vol. On considère que ces « points de vol » correspondent aux « conditions de vol » suivantes :

Condition de vol n°1 : {Mach = 0.8, Cz = 0.5}.

Condition de vol n°2 : {Mach = 0.8, Cz = 0.6}

La Figure 7, s'apparente à la Figure 6, sauf que cette fois, on doit calculer les termes de correction Αθ^νοΙ^ , Aa^Mach = 0.8, Cz = 0.5) et Aa ₂ (_Mach = 0.8, Cz = 0.6) et que les contraintes sont: (WZÇvol ) = 0, (WZÇMach = 0.8, Cz = 0.5)) = 0 et Aa ₁ + Aa ₂ = 0.

On voit que dans ce cas 2, la correction du vent vertical dépend du « point de vol » à travers les termes A et A ₂ .

- Cas 3 : 2 vols et 2 conditions de vol :

Dans le cas 3 qui correspond à la Figure 8, il y a 2 « points de vol » correspondant aux 2 « conditions de vol » de l'exemple précédent, chacun durant la moitié d'un vol et répétés sur 2 vols, cela correspondant au vol de l'exemple précédent mais réalisé 2 fois.

La Figure 8, s'apparente aux Figures 6 et 7, sauf que cette fois, on doit calculer les termes de correction AG _Q ÇVOI- , Αθ ₀ {νο1 ₂ ) , Aa^Mach = 0.8, Cz = 0.5) et Aa ₂ {Mach = 0.8, Cz = 0.6) avec les contraintes suivantes: (WZÇvol- ) = 0, {WZ(vol ₂ )) = 0, (WZ(Mach = 0.8, Cz = 0.5)) = 0 et Δ¾ + Aa ₂ = 0

Dans ce dernier cas, toujours très simplifié par rapport à la réalité, on voit le caractère imbriqué des corrections d'assiette et d'incidence, chacune dépendant de l'autre. Ceci implique une résolution simultanée du système d'équations correspondant aux contraintes. On va maintenant détailler les calculs utilisés dans la méthode de minimisation de∑p WZ _p ² . Dans cette partie, on ne cherche plus à voir l'effet des corrections sur l'évolution « temporelle » du vent vertical, mais on regroupe les données d'une même phase de vol, par des systèmes de moyenne, pour obtenir une seule valeur par phase pour chaque variable, donc par exemple une valeur moyenne de vent vertical WZ _ca icuié, une valeur moyenne de Cz, ... Cette utilisation de moyennes par phase est schématisée sur la Figure 9.

On garde encore une correction du type « interpolation dans une table de valeurs » mais cette fois-ci uniquement selon « Cz » et on réalise réellement des interpolations linéaires car les conditions de vol ne correspondent pas toutes à celles de la table de correction Aa{Cz) . De plus, on applique cette fois-ci la méthode de minimisation de∑ _p WZ _p ² . Ici et comme schématisé Figure 1 0, on doit calculer les termes de correction Αθ ₀ , Aa _x Cz = 0.5) et Aa ₂ (Cz = 0.6) avec les contraintes suivantes: min(∑p ₌₁ WZ _p ² ) et Aa {Cz = 0.5) = 0 .

Dans une modalité particulière de réalisation, il est possible de tenir compte des durées des phases de mesure/vol.

En effet, les phases de mesure/vol pouvant avoir des durées différentes, il est possible de pondérer les valeurs moyennes par leur durée, ou la distance parcourue selon le type de moyenne utilisée. Ainsi, au lieu d'utiliser une formule du type

(X) = et tÔ ⁿ correspondent aux temps de début et de fin de

chaque phase de mesure/vol, p étant le numéro de la phase et P désignant le nombre de phases), il est possible de calculer la valeur moyenne par la formule

tfin

∑ _P / _t début ^x t)-dt

suivante : (X) =— . Cette formule permet de tenir compte de phases de

∑p début ^dt

rP

durées différentes, en pondérant la valeur moyenne de la variable « X » sur chaque phase par sa durée.

Mais le phénomène du vent vertical étant indépendant de la vitesse de déplacement de l'avion, il peut être préférable d'utiliser une des formules suivantes :

Ces dernières formulations permettent en effet de s'affranchir de vitesses de vol différentes entre les phases. Elles reviennent à pondérer la moyenne de la variable « X » sur chaque phase, non pas par la durée de la phase, mais par la distance parcourue, soit dans la masse d'air (en utilisant la vitesse aérodynamique TAS) soit par rapport au sol (en utilisant la vitesse sol Vgéom).

Ces principes peuvent aussi s'appliquer pour les calculs de régressions linéaires ou polynomiales. Ainsi, pour les contraintes du type Vi G [[1, Qi, ( ^dwz ^ ^alculé ) =

oXi

0, au lieu de calculer la régression linéaire en prenant pour chaque phase de moyenne et de calculer la pente de la régression

linéaire par une formule du type

avec X _i<p =

on préférera une formulation du type :

On comprend que le nombre de mesures et valeurs obtenues à partir de ces mesures sera d'autant plus élevé que le nombre de vols réalisés pour ces mesures est élevé étant donné que les mesures de plusieurs vols peuvent être utilisées.

Dans un cas particulier où les systèmes gyroscopiques, par exemple des systèmes à laser utilisés dans les 1RS (« Inertial Référence System »), conservent le même biais d'un vol à l'autre, il est possible de mettre en œuvre une méthode de calcul particulière dans laquelle la contrainte de moyenne de vent vertical est :

r (WZ(vols nl k n2)) = 0

1νη Ε [[η1 + 1, η2]], Δ0ο _η = Δ0ο _η1

au lieu de Vn G [[η1, η2], (WZÇvol n)) = 0 dans le cas général. Pour la méthode de minimisation de∑ _p WZ _p ² il suffit juste de remplacer les termes A6 _0n Vn G U i + l, nl par Δ0 _Οη1 . Dans les formules précédentes, le biais est supposé constant des vols n1 à n2 avec ni > l, n2 < N, N étant le nombre total de vols. Même sur un avion équipé de systèmes gyroscopiques dont le biais serait constant d'un vol à l'autre, une intervention modifiant leur fixation à la structure entre deux vols pourrait induire une modification du calage de l'instrumentation entre ces deux vols, et donc une impossibilité de considérer le biais identiques entre ces deux vols. De plus, une modification significative du chargement du fuselage de l'avion pourrait entraîner une modification de la déformation du fuselage en vol, et ainsi modifier la différence d'assiette entre l'endroit où elle est mesurée par les gyroscopes, et la section du fuselage au niveau de l'emplanture des ailes. Sur de tels avions, il pourrait donc être envisageable de considérer le biais d'assiette constant sur des séries de vols, ces séries étant séparées par des interventions sur l'instrumentation ou le chargement de l'avion susceptibles d'affecter le biais d'assiette.

Avec les diverses méthodes précédentes on peut donc calculer les corrections à apporter à l'assiette et l'incidence et donc au calcul du vent vertical ou même à des mesures ou valeurs calculées ou d'autres caractéristiques de l'avion en se basant sur les mêmes principes. Ainsi, il devient notamment possible de se fier au vent vertical calculé à chaque instant par la formule :

^^calculé ⁼ ^¾éom ^— TAS

^■ sin (e _mesure - _moaèle + (Δ0 _Ο - Aa(Cz, Mach, masse, CG, ... )))

On va maintenant décrire une application à un calcul d'une caractéristique de l'avion qui est son coefficient de traînée Cx.

Le procédé de recalage d'un modèle de traînée « Cx » consiste à comparer des valeurs de Cx obtenues par des mesures lors d'essais en vol, aux valeurs de Cx prédites/obtenues par application du modèle de traînée de l'avion, puis à corriger ces dernières valeurs prédites pour minimiser les écarts.

L'application à l'avion du principe fondamental de la dynamique dans le repère terrestre, projeté selon le vecteur e _x ^ ^ro donne :

C ^x ^mesure

dVgéom \

~ _d ^{~ ~} + a-corioiis J ^■ ¾ ^{ero + F} G " ^cos ( ^e mesure + Δ0 _Ο + calage) - RD ^■ cos(y _aéro ) q ^■ S ^■ cos(y _aéro

- Cz ^■ tan(y _aéro )

avec :

Yaéro = ^mesure + Δ# ₀ ) - {^modèle + a(Cz, Mach, masse, CG , ... )) .

On peut noter que le terme Cz ^■ tan(y _aéro ) fait intervenir le vent vertical calculé.

Cette formule est donnée à titre d'exemple et on comprend qu'il est possible de calculer ce coefficient de traînée Cx avec d'autres formules basées sur l'application du principe fondamental de la dynamique, notamment dans un repère légèrement différent.

L'approche ci-dessous est fondée sur le fait que l'écart ACx = Cx _mesure -

Cxmodèie obtenu pour chaque mesure provient en partie de l'imprécision des mesures, et en partie de l'erreur de modèle.

Si on suppose que les mesures contiennent du bruit mais sont non biaisées, pour tout point de vol défini par un ensemble de paramètres de vol [Cz, Mach, masse, CG, Re, altitude, ... ] ayant des valeurs particulières et pour lequel suffisamment d'enregistrements ont été effectués, on a alors : (ACx(Cz, Mach, masse, CG, Re, altitude, ... )) = 0

Par le même type d'approche et de logique que pour le réglage de Δθ ₀ et de Aa, il est possible de recaler le modèle de traînée en corrigeant Cx _modè i _e {Cz, Mach, masse, CG, Re, altitude, ... ) pour vérifier l'équation précédente.

On obtient donc au final une base aérodynamique complète (coefficients de portance et de traînée), recalée sur les résultats d'essais en vol.

Afin de bien faire apparaître l'apport de l'invention permettant d'obtenir un coefficient de traînée Cx corrigé par rapport aux procédés traditionnels de calcul dans lesquels le coefficient de traînée Cx est calculé à partir de mesures et valeurs sans correction d'assiette et d'incidence, les Figure 3 et 4 sont présentées,

Ces mesures et valeurs correspondent, comme représenté partie gauche des

Figures 3 et 4, aux mesures d'accélération, d'angles et vitesses, aux valeurs de composantes de poussée moteur(s) F _G et RD calculées sur la base d'un modèle de poussée de moteur à partir de conditions de vol (masse, Mach, pression, régime moteur, etc.) qui sont, pour une partie, mesurées.

Dans le procédé traditionnel, Figure 3, le coefficient de traînée provenant des mesures et valeurs Cxbmt est calculé directement en fonction de l'équation de propulsion de l'avion sans prendre en compte le vent vertical . Il est bien évidemment possible de prendre en compte le vent vertical en utilisant les mesures d'assiette et d'incidence, mais il est très difficile d'avoir une précision suffisante sur cette dernière, ce qui rend le calcul du vent vertical par cette méthode très imprécis.

L'équation de propulsion suivante, exprimée dans le repère aérodynamique, en supposant que l'avion vole en ligne droite et en négligeant l'effet Coriolis, peut être utilisée :

^~m ' ^~ ήϊ ^{~ e} x ^aer ° ^{+ F} G ^cos ( mesure + calage) - RD - m ^■ g ^■ sin(y _aéro ) q ^■ S

Avec sm(y _fléro ) = -^g™ si le vent vertical est négligé, et y _aéro = 9 _mesure - ^mesure si ^une estimation de la pente aérodynamique (qui inclue le vent vertical) à partir des mesures d'assiette et d'incidence est utilisée.

Le coefficient de traînée Cx _m0 dèie provenant de l'application du modèle de traînée de l'avion est obtenu à partir du coefficient de portance Cz, ce dernier provenant d'une application d'une équation de sustentation avec les mesures et valeurs.

Dans le procédé proposé par l'invention, il est mis en œuvre une méthode de correction de l'incidence modélisée (calculée par application d'un modèle d'incidence) et de l'assiette mesurée pour calculer le coefficient de traînée à partir des mesures et valeurs, méthode basée sur des contraintes de vent vertical nul en moyenne. Avec les incidences et assiettes corrigées, le procédé permet de calculer le coefficient de traînée corrigé à partir des mesures et valeurs comme représenté sur la figure 4, l'apport de l'invention avec la correction de l'incidence et de l'assiette correspondant au cadre représenté sur la partie droite de la Figure 4.

Cet apport peut être résumé par la Figure 5 et on voit que la méthode de recalage du modèle de Cz est préliminaire et indépendante de la méthode de recalage du Cx, et peut être utilisée seule dans le seul but d'obtenir un modèle précis qui lie l'incidence à la portance. On voit également qu'une fois les corrections Δ0 _Οη et

Aa(Cz, Mach, CG, ... ) calculées, elles sont figées pour permettre le calcul du vent vertical WZ _ca icuié et donc de la pente aérodynamique y _aéro à chaque instant des vols, terme qui est ensuite réutilisé dans le calcul de Cx _mesure pour le corriger.