Verfahren zur Ableitung eines Zustandsraumes zur Berechnung szenariobedingter, sto- chastischer Kenngrößen

[1] Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Ableitung eines Zustandsraumes zur Berechnung stochastischer Kenngrößen.

[2] Verfahren zur Ableitung eines Zustandsraumes werden unter anderem zur präzisen Beschreibung von dynamischen Handelsstrategien oder handelbaren Derivaten verwendet. Handels Strategien können Strategien auf Finanzinstrumenten, aber auch Kauf- und Verkaufsstrategien auf anderen Gütern, sowie Handlungsalternativen bei Projektplanungen und in der Unternehmenssteuerung sein.

[3] Die Herausforderung besteht dabei in einer präzisen Notation, die für ein weites Publikum verständlich ist und eindeutig den zeitlichen Ablauf der Strategie oder des Derivates beschreibt. Die Darstellung sollte dazu geeignet sein, möglichst alle quantitativen Aspekte zu erfassen, automatisiert zu bearbeiten und zu speichern. Außerdem sollte die Darstellung den manuellen Aufwand minimieren, der bei der Berechnung von Parametern, wie bei- spielsweise Risikokennzahlen, optimalen Mengen eines Handelsgutes oder dem wirtschaftlichen Nutzen der Handelsstrategie erforderlich ist.

[4] Für eine präzise und vollständige Beschreibungssprache von dynamischen Handelsstrategien ist besonders wichtig, dass Entscheidungen basierend auf allen in einem Szenario enthaltenen Informationen möglich sind. Jede mögliche Entscheidung in einem Szenario kann von - bedingt auf dieses Szenario - zukünftigen stochastischen Größen, beispielsweise einem Erwartungswert oder der Korrelation zweier Produkte, abhängen.

[5] Handelsstrategien sind finanzmathematisch betrachtet eine Verallgemeinerung von einzeln handelbaren Finanzderivaten. Die allgemeine Form kann mathematisch eindeutig beschrieben werden. Die derzeitige Notation ist jedoch für diese Anwendung zu komplex und kann nicht automatisiert verarbeitet werden. Es gibt zahlreiche informatorische Lösungs-

versuche, die technisch gut verarbeitet werden können jedoch wenig generisch sind und ständig erweitert werden müssen.

[6] Die Mathematik hat eine sehr mächtige Notation für die Modellierung in der Stochastik und der Finanzmathematik entwickelt. Insbesondere die Einführung von stochastischen Prozessen und Filtrationen darauf erlaubt die Darstellung von Funktionen, die auf beliebigen zukünftigen oder vergangenen Szenarien bedingt sind. Ein Beispiel hierfür ist ein bedingter Erwartungswert. Solch ein Vorgehen kann eine Vielzahl an Derivaten und Handelsstrategien beschreiben [St, Pl].

[7] Diese existierende Notation ist an den Erfordernissen der stochastischen Analysis ori- entiert und bietet eine größere Allgemeinheit, als für tatsächliche Strategien notwendig wäre. Daher ist die Notation relativ komplex und dient nicht als allgemein verständliches Dokumentationsmaterial. Außerdem bietet eine Beschreibung über stochastische Prozesse keinen direkten Weg zur Implementierung: Keine bisherige Programmiersprache bietet die Möglichkeit, allgemeine stochastische Prozesse zu beliebigen Zeiten anzusprechen oder stochastische Größen bedingt auf ein Szenario zu errechnen.

[8] Der informatorische Weg führte zu der Idee, Finanzprodukte mit den Technologien aus der Softwareentwicklung zu beschreiben. Dabei werden einfache Grundtypen von Finanzprodukten vordefiniert und benannt. Kombinationen davon sind nicht oder nur eingeschränkt möglich. Der Industriestandard ISO 15022 für die Computerverarbeitung von De- rivaten wurde über FpML [JE, Fp] realisiert. Hierbei wird die Computerverarbeitung über Namen für jede Ausprägung eines Finanzderivats gelöst.

[9] Dieser Ansatz ist nicht generisch, so dass ein bisher nicht beschriebenes Derivat auch nicht dargestellt werden kann. Auch eine Darstellung dynamischer Handelsstrategien ist auf diese Weise nicht möglich.

[10] Besser sind Sprachen, die erlauben verschiedene generische Derivatetypen miteinander zu kombinieren [Al, L04, Le, PES]). Hierbei können vordefinierte Basisprodukte kombiniert werden. Die Kombinationsmöglichkeiten orientieren sich dabei an dem, was durch

Handelstransaktionen kombiniert werden kann. So kann beispielsweise ein Swap über die Addition zweier Anleihen dargestellt werden.

[11] Sobald dieser Swap jedoch spezielle Eigenschaften besitzt, wie z.B. noch nicht abgebildete Kündigungsrechte, ist eine Zerlegung in vorhandene Produkte nicht mehr möglich. Dieses Vorgehen ist kaum generisch und erfordert eine ständige Erweiterung der abgebildeten Grundprodukte. Viele Finanzoptionen und komplexe dynamische Handelsstrategien können nicht dargestellt werden.

[12] Derzeit werden Finanzprodukte hauptsächlich in Prosa und mit Formeln beschrieben. Eine automatische numerische Behandlung dieser Beschreibung ist nicht möglich und muss manuell in herkömmlichen Programmiersprachen durchgeführt werden. Es stehen dabei verschiedene Bibliotheken zur Verfügung, die Standardverfahren der Derivatebewertung beispielsweise über partielle Differentialgleichungen (PDE) [FV, WVFVC] oder über Least-Squares Monte-Carlo [LS] ermöglichen. über diese numerischen Algorithmen können dynamische Handelsstrategien nicht dokumentiert werden, sondern nur einzelne damit in Verbindung stehende Rechenaufgaben gelöst werden.

[13] Der Erfindung liegt die Aufgabe zu Grunde ein Verfahren zu finden, das die zuvor beschriebenen Nachteile meidet und einfach anwendbar ist.

[14] Diese Aufgabe wird mit einem Verfahren zur Ableitung eines Zustandsraumes gelöst, bei dem das Problem als chronologische Folge von Aktionen in einen Speicher eingegeben wird, anschließend eine Analyse der chronologischen Folge von Aktionen auf Abhängigkeiten der Aktionen voneinander durchgeführt wird und dann die chronologische Folge in mindestens eine sequentiell berechenbare Folge von Aktionen umgewandelt wird und daraus szenariobedingte, stochastische Kenngrößen berechnet werden..

[15] Die hiermit vorgeschlagene technische Lösung ist die Beschreibung von Handelsstra- tegien und Derivaten in einem neuen Programmierstil, bei dem ähnlich der prozeduralen Programmierung eine Liste von Anweisungen sequentiell angegeben wird. Eine Anweisung kann dabei die Berechnung einer stochastischen Kenngröße auf das jeweilige Szenario bedingt sein. Allerdings entspricht die Reihenfolge der Anweisungen nicht der Auswer-

tungsreihenfolge auf einem Computer, sondern folgt der Chronologie der einzelnen Aktionen der Handelsstrategie.

[16] Die Beschreibung von dynamischen Handelsstrategien und Derivaten vereinfacht sich dadurch erheblich und stellt gleichzeitig eine bei minimalen Programmierkenntnissen ver- ständliche Dokumentation dar. Herkömmliche prozedurale oder sequentiell auswertende Programmiersprachen erfordern, dass Variablen mindestens ein Wert zugewiesen wird, bevor sie im weiteren Kontext verwendet werden können.

Richtig: Falsch:

x = 3 y = sin(x)

y = sin(x) x = 3

[17] Das neue Programmierkonzept stellt eine Abkehr von dieser strengen Forderung dar, denn es ermöglicht einen Zugriff auf einen zukünftigen Wert einer Variablen, ohne die ursprüngliche chronologische Ordnung zu verlieren. Das Verfahren umfasst nicht alleine das Umsortieren der Anweisungen in eine sequentiell berechenbare Ordnung, sondern die Nut- zung der ursprünglichen Ordnung für die Berechnung von stochastischen Kenngrößen wie beispielsweise Risikoparametern und Preisen für die beschriebenen Prozesse.

[18] Das folgende Beispiel illustriert die Möglichkeit der Berechnung von bedingten Erwartungsweiten. Es berechnet die Erwartung x die ein Händler zu einer bestimmten Zeit für eine optionale Zahlung y haben kann:

Startwerte bei t=0

S=IOO

Simuliere Aktie S für t=l

x= E(y) => führt zu x= E(y I S , t= 1 )

Simuliere Aktie S für t=2

y= max(S-K, 0)

[19] Normale Programmiersprachen können den Ausdruck für x nicht einfach bezeichnen oder berechnen, da y bei sequentieller Auswertung des Beispieles noch unbekannt ist. Bei einer einfachen Permutation ginge verloren, dass bei der Berechnung von x der erste Wert der Aktie S bereits bekannt ist. Die chronologische Ordnung der Anweisungen bzw. Aktionen in diesem Beispiel erlaubt die automatische Ableitung der Tatsache, dass der für x berechnete Erwartungswert bedingt auf S zum Zeitpunkt 1. ist.

[20] Allgemein werden stochastische Eigenschaften wie der Erwartungswert bedingt auf die Menge aller in dem jeweiligen Szenario bekannten Variablenwerte - oder einer äquiva- lenten Teilmenge dieser - berechnet. Das Verfahren erstreckt sich genau auf die automatische Nutzung dieser chronologischen Information für die Ableitung der zu berechnenden stochastischen Werte. Eine reine Permutation der Reihenfolge, bei der erst y und dann x als Durchschnitt von y gerechnet wird, würde von den Verfahren abweichen.

[21] Hierbei geht es nicht um die bloße Berechnung einer stochastischen Funktion wie des Erwartungswertes, sondern um die Ableitung eines Zustandsraumes, in welche die Kenntnis der chronologischen Ordnung einfließt. Beispiele dafür sind der Beta-Faktor, Varianz, Kovarianz, Value at Risk, Conditional Value at Risk, Sharpe Ratio und ähnliche, wenn diese auf das vorherrschende Szenario des Zustandsraums bedingt werden.

[22] Das erfindungsgemäße Verfahren kann für unterschiedliche Ableitungen von Zu- Standsräumen verwendet werden. Besonders vorteilhaft ist das Verfahren einsetzbar, wenn das Problem ein finanzmathematisches Problem ist.

[23] Außerdem ist es vorteilhaft, wenn die chronologische Folge in eine prozedurale Programmiersprache eingebettet ist. Hierbei gibt die prozedurale Programmiersprache die chronologische Folge der Aktionen als Befehlsfolge an.

[24] Die chronologische Folge kann auch als Markup-Sprache ausgedrückt sein. Hierunter wird jede Markup-Sprache einschließlich XML und XML-Dialekten verstanden.

[25] Weiterhin kann die chronologische Folge als graphische Notation ausgedrückt sein. Eine derartige graphische Notation stellt die chronologische Folge der Aktionen als Flussoder Sequenzdiagramm dar. Schließlich kann die chronologische Folge auch als UML oder UML Dialekt ausgedrückt sein.

[26] Vorteilhaft ist es, wenn die Aktionen folgende Konstrukte umfassen:

- Zuweisung von Werten, Variablen, Funktionen oder Referenzen zu Variablen,

- Operationen zur Steuerung der Modellzeit und

- eine bedingte Ausführung.

[27] Vorteilhaft ist es weiterhin, wenn die Aktionen eine Abbildung einer stochastischen Größe auf einen einzelnen Wert aufweisen. Hierbei können die folgenden Abbildungen verwendet werden:

- Zentrale stochastische Momente (Erwartungswerte, Varianz, ...)

- Schiefe

- Kurtosis

- Quantile

- Kovarianz

- Value at Risk

- Conditional Value at Risk

- Sharpe Ratio.

[28] In einem bevorzugten Ausführungsbeispiel werden in der Analyse stochastische Eigenschaften verwendeter Variablen, die sich aus nicht deterministischen Berechnungen und der chronologischen Ordnung der Aktionen implizit ergeben, untersucht.

[29] Um mehrere Prozessoren gleichzeitig zu verwenden, wird vorgeschlagen, die chronologische Folge in mehrere sequentiell berechenbare Folgen von Aktionen umzuwandeln.

[30] Ein breites Anwendungsgebiet für das Verfahren wird erschlossen, wenn die sequentiell berechenbaren Folgen von Aktionen dazu verwendet werden Preise von Finanzpro- dukten, z. B. Optionspreise, Risikoparameter, optimale Mengen eines Handelsgutes oder den wirtschaftlichen Nutzen einer Handelsstrategie zu berechnen.

[31] Die Umwandlung der chronologische Folge in eine von Computern sequentiell berechenbare Folge von Aktionen enthält in der Regel die folgenden Schritte:

Umsortierung der Aktionen im Speicher durch Vorziehen von direkt bere- chenbaren Aktionen und Aufschieben von Aktionen, die von anderen Aktionen abhängen und

Ableitung des zugehörigen Zustandsraums, auf dem eine Aktion bedingt ist, falls ihre Berechnung eine stochastische Kenngröße einbezieht. Dieser Zu- standsraum umfasst maximal alle Informationen die zur Modellzeit bekannt sind und minimal alle Informationen die notwendig sind diese bedingte stochastische Kenngröße korrekt zu berechnen.

[32] Wichtige Problemstellungen für das Verfahren sind Bewertung handelbarer Derivate, Handelsstrategien auf Finanzinstrumenten, Analyse von Kauf- und Verkaufstrategien auf Gütern, Handlungsalternativen bei Projektplanung und Unternehmens- und Konzernsteue- rung.

[33] Insbesondere bei Problemstellungen aus der Finanzmathematik ist die Zuweisung von Werten, Variablen, Funktionen oder Referenzen an Variablen besonders interessant, sofern sie auch den Zugriff auf Variablen einbezieht, die in der chronologischen Reihenfolge erst später definiert werden.

[34] Das Verfahren erleichtert die Modellierung und Analyse von Problemstellungen aus der Finanzmathematik und das Verfahren zur Nutzung dieser Technologie umfasst in der Praxis folgende Arbeitsschritte:

1. Einlesen des Modells einer finanzmathematischen Problemstellung in einer domänenspezifischen Beschreibungssprache, welche in ihrer Form auf einer sequentiell ausgewerteten Programmiersprache basiert.

2. Zerlegen des Modells in einzelne Aktionen, entsprechend ihrer sequentiellen Ord- nung in der Modellzeit. Die Abhängigkeiten der Aktionen untereinander muss erhalten bleiben. Vorteilhaft kann eine Speicherung als gerichteter Graph (Abhängigkeitsgraph) sein, in dem Aktionen durch Knoten und Abhängigkeiten durch Kanten repräsentiert werden.

3. Suchen einer berechenbaren Aktion. Diese Aktion wird ausgewertet und das Ergeb- nis steht allen im Modell nachfolgenden Operationen als Zustandsraum zur Verfügung. Falls die berechenbare Aktion eine stochastische Funktion einbezieht, dann wird diese als bedingte Größe auf dem zur Modellzeit zur Verfügung stehenden Zustandsraum ausgewertet. Vorteilhaft ist eine Optimierung des Zustandsraumes hinsichtlich der Auswertungskomplexität.

4. Wiederholen der Schritte 3 bis 4 bis alle Aktionen berechnet sind.

[35] Domänen spezifische Beschreibungssprachen in Schritt 1 sind Markup Languages wie XML, graphische Beschreibungssprachen wie UML, sowie Programmiersprachen, die Aktion für Aktion in einer chronologischen Reihenfolge auflisten und dabei diese chronologische Reihenfolge zur Bestimmung der Bedingung von bedingten stochastischen Größen nutzen.

[36] Mögliche Aktionen in Schritt 2 sind Auswertung von Formeln und die Zuweisung des Ergebnisses auf eine Variable, sowie alle anderen Programmierkonstrukte zur Strukturierung der Berechnungssequenz, wie zum Beispiel Modularisierung, Funktionsaufrufe, Schleifen, bedingte Verzweigungen, Parallelisierung und Prozesssynchronisation. Das be- schriebene Verfahren führt zu einer Umsortierung der Berechnungsreihenfolge und der automatischen Bestimmung der Bedingung für stochastische Größen.

[37] Mögliche stochastische Funktion in Schritt 3 sind alle Funktionen, die eine stochastische Größe auf einen messbaren, d.h. zur Modellzeit und unter Berücksichtigung des Zu-

Standsraumes bestimmbaren, Wert abbilden. Beispiele hierfür sind: Alle zentralen sto- chastischen Momente (Erwartungswert, Varianz, ...), Schiefe, Kurtosis, Quantile, Kovarianz, Value at Risk, Conditional Value at Risk und Sharpe Ratio. Die Erfindung bezieht sich auf die automatische Umwandlung in entsprechende bedingte stochastische Größen.

[38] Die Erfindung umfasst die Beschreibung von chronologischen Abläufen, wie zum Beispiel Handelsstrategien, die auf stochastischen Funktionen basieren. Sie umfasst weiterhin die Umsortierung von Berechnungsanweisungen in eine berechenbare Ordnung, bei gleichzeitiger Nutzung der ursprünglichen Ordnung für stochastische Bedingungen. Die Anordnung unsortierter oder in einer für die Berechnung nicht relevanten ursprünglichen Ordnung ist hierbei nicht gemeint.

[39] Bei dem erfindungsgemäßen Verfahren geht es um das automatische Ableiten relevanter Bedingungen für stochastische Maße wie Erwartungswerte oder Korrelationen bedingt auf den jeweiligen Zustandsraum (state-space). Weniger relevant sind Beschreibungen mit stochastischen Funktionen auf explizit angegebenen Bedingungen.

[40] Die Erfindung bietet somit eine Technologie zur Beschreibung von sequentiellen Abläufen in einer Weise, die leicht verständlich und einfach in einen numerischen Algorithmus umgewandelt werden kann.

[41] In der Zeichnung zeigt die

Abbildung 1 ein Ablaufdiagramm der Analyse eines Finanzmodells,

Abbildung 2 ein mögliches Ablaufdiagramm der Berechnung des Zustandsraumes c für die Aktion Z = F (x) mit der stochastischen Funktion F und der stochastischen Größe x zum Zeitpunkt t,

Abbildung 3 ein vollständiger Abhängigkeitsgraph der Modellvariablen,

Abbildung 4 ein Abhängigkeitsgraph für die Berechnung des Wertes der Variab- len Vl, bei dem die zum Zeitpunkt 1 bekannten Variablen grau hinterlegt sind und die anderen Variablen zu diesem Zeitpunkt noch sto- chastisch sind, und

Abbildung 5 ein Abhängigkeitsgraph für die Berechnung des Wertes der Variablen Vl, bei dem die für die Berechnung des Wertes der Variablen Vl notwendige Information sich auf S 1 reduzieren lässt.

[42] Im Folgenden wird die Erfindung am Beispiel der Bewertung einer amerikanischen asiatischen Option beschrieben.

[43] Diese Option bezieht sich auf den Durchschnitt a des betreffenden Aktienkurses S. Der finanzmathematisch faire Wert ergibt sich aus der Betrachtung von sog. risikoneutralen Szenarien mit optimaler Ausübungsstrategie des Optionshalters. Die optimale Strategie ist die Option auszuüben, sobald der erwartete Barwert der Option E(V) kleiner ist als der Barwert bei sofortiger Ausübung max(a - K,0)*EUR.

[44] Die Struktur der Option wird zunächst formal beschrieben. Hier erfolgt die Beschreibung in einer einfachen prozeduralen Programmiersprache, die gegenüber bekannten Programmiersprachen über die Möglichkeit verfügt, stochastische Größen auf später zugewiesenen Variablen zu berechnen. In diesem Beispiel wird die Funktion E() verwendet um den Erwartungswert zu berechnen. Dieses zusätzliche Programmierkonstrukt vereinfacht die Darstellung des Derivates und der damit verbundenen Rechenaufgabe erheblich. Gegenüber einer alternativen Darstellung wird der Code übersichtlicher und kürzer.

[45] Das Modell für die Struktur des Derivates in „ThetaScript"

Model Asian_Ami

import S "Underlying stock" import EUR "Numeraire" import K "Strike price" export P "Option price"

P = E(V) % Berechnung des Preises als Erwartung von V a=S

n=l loop 250 % Schleife über 250 Tage

Theta 0.004 % Synchronisation mit stochastischem Prozess

% Eine Zeitspanne von 0.004 vergeht und S % wird entsprechend simuliert. n=n+l a = ((n-l)/n) * a + (l/n) * S if E(V) < max(a - K,0)*EUR % Bedingte Verzweigung entsprechend % des erwarteten Wertes von V V = max(a- K,0)*EUR end end

V=max(a*EUR - K*EUR,0) % Ausübung der Option zum Fälligkeitstermin end [46] Zusätzlich zur Struktur des Finanzproduktes benötigt man die Struktur des stochasti- schen Modells. Das Finanzprodukt wird mit dem stochastichen Modell in ThetaScript über die Theta-Funktion synchronisiert. Das folgende Beispiel zeigt die Definition der Prozesse zweier Variablen EUR und S. Das stochastische Modell muss nicht notwendiger Weise in der gleichen Programmiersprache wie das Strukturmodell beschrieben werden. Der folgen- de Code zeigt eine Implementierung über die Matlab Funktion Theta.m:

function State = Theta(dt, State)

mu = 0.05; sigma = 0.4; % Black-Scholes Szenarien für den Aktienkurs state.S = state.S .* exp( (mu-0.5*sigma ^λ 2)*dt + ...

sqrt(dt)*sigma*randn(size(state.S))); % Konstanter Zinssatz zum Diskontieren des Numeraires r = 0.05; state.EUR = exp(-dt .* r) .* state.EUR ; end

[47] Das Funktionsargument dt bezeichnet die simulierte Zeitspanne (0.004). Dieses Beispiel zeigt die Implementierung des stochastischen Modells in Monte-Carlo Code. Die Beschreibung des Finanzproduktes ist nicht unbedingt auf eine Auswertung über Monte-Carlo angewiesen. Dieses Beispiel zeigt jedoch eine mögliche Implementierung des geschützten Verfahrens.

[48] Der nächste Schritt ist das Zerlegen in Aktionen und das Suchen einer berechenbaren Aktion.

[49] Umsortieren in eine berechenbare Reihenfolge: Zeile Zeit Aktion

1 1 a[l]=S[l]

2 1 n=l

3 2 Theta 0.004: S[2] = f_S(S[l]); EUR[2] = f_EUR(EUR[l])

4 2 n=n+l

5 2 a[2] = ((n-l)/n) * a[l] + (l/n) * S[2]/EUR[2]

6 3 Theta 0.004: S[3] = f_S(S[2]); EUR[3] = f_EUR(EUR[2])

7 3 n=n+l

8 3 a[3] = ((n-l)/n) * a[2] + (l/n) * S[3]/EUR[3]

9 4 Theta 0.004: S[4] = f_S(S[3]); EUR[4] = f_EUR(EUR[3])

10 4 n=n+l

11 4 a[4] = ((n-l)/n) * a[3] + (l/n) * S[4]/EUR[4]

12

13 250 Theta 0.004: S[250] = f_S(S[249]); EUR[250] = f_EUR(EUR[249])

14 250 n=n+l

15 250 a[250] = ((n-l)/n) * a[249] + (l/n) * S[250]/EUR[250]

16 250 V=max(a[250]*EUR[250] - K*EUR[250],0)

17 249 I = E(V) < max(a[249]*EUR[249] - K*EUR[249],0)

18 249 V(I) = max(a[249]*EUR[249] - K*EUR[249],0)

19 248 I = E(V) < max(a[248]*EUR[248] - K*EUR[248],0)

20 248 V(I) = max(a[248]*EUR[248] - K*EUR[248],0)

21

22 2 I = E(V) < max(a[2]*EUR[2] - K*EUR[2],0)

23 2 V(I) = max(a[2]*EUR[2] - K*EUR[2],0)

24 1 P = V

[50] Darauf folgt das Ableiten des Zustandsraumes für E(V): Wiederholen für alle Aktionen.

[51] V in Zeile 17 hängt ab von: V[250], also von a[250], EUR[250], K, wobei K deterministisch ist. Der Zeitpunkt in Zeile 17 ist 249. Zu diesem Zeitpunkt sind a[250] und EUR[250] noch unbekannt. Zeile 15 verrät, dass a[250] von a[249], S [250] und EUR[250] abhängt. S [250] hängt von S [249] und EUR[250] von EUR[249] ab. Nun sind drei Größen errechnet, die zum Zeitpunkt 249 bekannt sind und für den Zustandsraum benötigt werden. D.h. der zu berechnende bedingte Erwartungswert ist E(Vla[249], S[249], EUR[249]). V in Zeile 19 hängt ab von: V[250] und V[249]. Also hängt es wie Zeile 17 ab von a[250], EUR[250], K, wobei K immer noch deterministisch ist und zusätzlich von a[249] und EUR[249] abhängt, was man an Zeile 18 sehen kann. Der Zeitpunkt in Zeile 19 ist 248. Zu diesem Zeitpunkt sind a[250], a[249], EUR[250] und EUR[249] noch unbekannt. Verfolgen wir alle Zuweisungen bis zum Zeitpunkt 248 zurück, dann erhalten wir als Zustandsraum: a[248], S [248], EUR[248]. D.h. der zu berechnende bedingte Erwartungswert ist E(Vla[248], S[248], EUR[248]). Diese Prozedur muss man solange wiederholen, bis alle bedingten Erwartungswerte mit dem zugehörigen Zustandsraum versehen sind. Eine andere Herangehensweise an die Bestimmung eines Zustandsraumes wäre die Betrachtung aller eingehenden stochastischen Größen. Dann wäre der Zustandsraum für Zeile 17: EUR[I], EUR[2], ..., EUR[249], S[I], S[2], ..., S[249]. D.h. die Berechnung des bedingten Erwar- tungswertes würde sich auf ein 249+249=498 dimensionales Problem hinauslaufen. Dies

ist nicht einfach zu lösen, weshalb die oben beschriebene Vorgehensweise der Betrachtung aller eingehenden stochastischen Größen klar vorzuziehen ist.

17 249 I = E_regress(VI a[249], S[249], EUR[249]) < max(a[249]*EUR[249] -

K*EUR[249],0)

18 249 V(I) = max(a[249] *EUR[249] - K*EUR[249],0)

19 248 I = E_regress(VI a[248], S[248], EUR[248]) < max(a[248]*EUR[248] -

K*EUR[248],0)

20 248 V(I) = max(a[248]*EUR[248] - K*EUR[248],0)

21 :

22 2 I = E_regress( Vla[2], S[2], EUR[2]) < max(a[2]*EUR[2] -

K*EUR[2],0)

[52] Die Funktion E_regress zum Berechnen des Erwartungswertes könnte beispielsweise über eine Matlab-Funktion wie diese dargestellt werden: function E_y=E_regress(x,y) % function E_y=E_regress(x,y)

% Diese Funktion nimmt eine Matrix x von Szenarien eines Zustandsraumes % und einen Vektor mit entsprechenden Samples. Sie liefert eine Schätzung % für den bedingten Erwartungswert E(ylx) zurück. x = [ones(size(x,l),l) x]; B = []; for i=l:size(x,2) for j=i:size(x,2) for k=j:size(x,2)

B = [B x(:,i).*x(:,j).*x(:,k)]; end end end

E_y = B*(B\y); end

[53] Der Optionsweit kann nun über einen Monte-Carlo Szenariogenerator berechnet werden. Dazu werden zunächst die Startwerte gesetzt: K = 100, EUR[I]=I, S[I]=IOO. Jede

Variable enthält denn eine Menge an Szenarios, die Schritt für Schritt mit Werten gefüllt werden:

f_S: S[i+1] = S[i] * exp( (0.05-0.5*0.4 ^λ 2)*0.004) + sqrt(0.004)*0.4*randn( 1000,1) ) f_EUR: EUR[i+l] = exp(-0.004*0.05)*EUR[i]

[54] wobei randn( 1000,1) einen Vektor mit 1000 normal verteilten Zufallszahlen liefert. Diese Schritte sind dabei aus dem stochastischen Modell Theta.m übernommen. Die bedingten Erwartungswerte werden anschließend über Regressionen berechnet ( E_regress(x,y) ), wie im Least-Squares Monte-Carlo Verfahren [LS] üblich. Der Options- wert ergibt sich am Ende der Berechnung zu P = 10.36.

[55] Im Folgenden wird die Erfindung am Beispiel eines typischen Versicherungskontraktes beschrieben.

[56] Bei dem folgenden Versicherungsprodukt handelt es sich um ein einfaches Finanzprodukt, dessen Eigenschaften sich auch in kapitalmarktgebundenen Lebensversicherungen wiederfinden. Das Produkt hat eine Laufzeit von zwei Jahren. Jeweils am Jahres Ende erhält der Kunde eine Gutschrift (Variable P) entsprechend der Kaptialmarktentwicklung (Variable S). Minimal erhöht sich die Gutschrift um 4% des Aktienindices am Jahresanfang. Das vorliegende Modell beinhaltet beide Seiten, sowohl die Zahlungen an den Kunden, als auch den Portfoliowert des Versicherers (Variable V). Um sein Risiko zu minimie- ren investiert der Versicherer in den Kaptialmarkt. Diese Strategie führt zur minimalen Varianz der zu leistenden Zahlungen.

[57] Dieses Beispiel enthält an zwei Stellen eine Referenz auf die stochastische Beta- Funktion die wie folgt definiert ist. COV steht hierbei für die stochastische Kovarianz. VAR für die stochastische Varianz.

Beta(X,Y) = COV(X, Y) / VAR(Y)

[58] Die Beta-Funktion wird hierbei benutzt um den optimalen Anteil des im Portfolios des Versicherers gehaltenen Aktien. Dieser wird multipliziert mit dem Gewinnzuwachs der gehaltenen Aktien. Es gilt [Gr]:

Beta(X, Y) = argmin (VAR(X + δY)) δ

[59] Das Beispiel kann wie folgt als ThetaScript geschrieben werden. Der Prozess für die Variable S sei wie oben definiert.

model test import S "Stock index" export P "Payment to the customer" export V "Insurace hedge portfolio"

P= S r= S * 0.04

V= V ₁₊₁ - Beta(V _t+1 , S ₁₊₁ ) * (S ₁₊ I-S)

theta 1

P= max(S, P + r) r= S * 0.04

V= V ₁₊₁ - Beta(V _t+1 , S ₁₊₁ ) * (S ₁₊₁ -S)

theta 1

P= max(S, P + r) V= -P end

[60] Das in dieser Schrift geschützte Verfahren beschreibt die Ableitung des Zustandsrau- mes für bedingte stochastische Kenngrößen. Dieses Beispiel soll zusätzlich eine mögliche Optimierung des Zustandsraumes enthalten.

[61] Betrachten wir zunächst den vollständigen Abhängigkeitsgraph in Abbildung 3. Jede Aktion vom Typ der Zuweisung enthält einen Eintrag als Knoten. Den Variablen S, P und V werden im Zeitverlauf jeweils 3 verschiedenen Werten zugewiesen und mit 0, 1 und 2 indiziert. Die Variable r hat Werte mit Index 0 und 1. Die Kanten sind gerichtet und zeigen von der unabhängigen zur abhängigen Variable. Z.B. Si zeigt zu τ\, weil Si berechnet sein muss um ri zu bestimmen. Zusätzlich enthält der Graph die Variablen ψi und ψ ₂ . Dabei handelt es sich um die stochastischen Größen. In diesen Beispiel stehen diese Variablen für den Einfluss des in Matlab formulierten stochastischen Prozesses.

[62] Zur Berechnung des bedingten stochastischen Ausdruckes Beta(V2, S2)- Benötigen wir den Zustandsraum zum Zeitpunkt 1. Alle zu diesem Zeitpunkt bekannten Informationen sind in Abbildung 4 grau hinterlegt.

[63] Da die Anzahl der Variablen im Zustandsraum unnötig groß ist, wird nun ein Verfah- ren zu Reduktion auf eines äquivalenten Zustandsraum mit minimaler Anzahl an Variablen vorgeschlagen. Das Ergebnis ist in Abbildung 5 zu sehen, mit S] als einziger im Zustandsraum enthaltener Variable.

[64] Ein möglicher Algorithmus zu Optimierung des Zustandsraumes basiert auf dem Verfahren von Ford-Fulkerson [FF] zur Bestimmung des minimalen Schnittes. Dazu führen wir einen „Target" Knoten am Zielpunkt, also unserer Beta-Funktion ein. Einen zusätzlichen Knoten fügt man als „Source" ein und stellt Verbindungen zu allen stochastischen Variablen ψ her. Der aus dem Algorithmus folgende minimale Schnitt wird den Graphen an den Knoten Teilen, welche zu den Variablen des minimalen Zustandsraumes gehören.