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Title:
METHOD FOR DETERMINING FILTERING COEFFICIENTS OF A MODULATED FILTER BANK, PROTOTYPE FILTER, MODULATED FILTER BANK, TERMINAL AND CORRESPONDING USES
Document Type and Number:
WIPO Patent Application WO/2003/015270
Kind Code:
A2
Abstract:
The invention concerns a method for determining filtering coefficients of a modulated filter bank, based on a prototype filter of length L designed to produce a modulated system with M sub-bands, comprising the following steps: (a) determining, for at least two low values of M, based on a first parameter space P, of a set of first filtering coefficients, for at least a predetermined criterion to be optimised; (b) analysing said set(s) of first filtering coefficients, so as to determine a subset of corresponding filters, with which is associated a second parameter space R, enabling another representation of said filters; (c) optimising a second set of filtering coefficients, for at least two values of M and at least one value of L, using said second parameters space R; (e) storing at least one of said second sets of filtering coefficients.

Inventors:
Pinchon, Didier (Les Lazières, Vieillevigne, F-31290, FR)
Siohan, Pierre (35 rue Maurice Hay, Rennes, Rennes, F-35200, FR)
Siclet, Cyrille (95 rue d'Antrain, Rennes, Rennes, F-35700, FR)
Application Number:
PCT/FR2002/002537
Publication Date:
February 20, 2003
Filing Date:
July 16, 2002
Export Citation:
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Assignee:
France, Telecom (6 Place d'Alleray, Paris, Paris, F-75015, FR)
Pinchon, Didier (Les Lazières, Vieillevigne, F-31290, FR)
Siohan, Pierre (35 rue Maurice Hay, Rennes, Rennes, F-35200, FR)
Siclet, Cyrille (95 rue d'Antrain, Rennes, Rennes, F-35700, FR)
International Classes:
H03H17/02; (IPC1-7): H03H17/02
Other References:
DOBLINGER G: "ENTWURF MODULIERTER DIGITALER FILTERBAENKE" ELEKTROTECHNIK UND INFORMATIONSTECHNIK, SPRINGER VERLAG, WIEN, AT, vol. 115, no. 1, 1998, pages 10-15, XP000767898 ISSN: 0932-383X
Attorney, Agent or Firm:
Vidon, Patrice (Le Nobel, 2 allée Antoine Becquere, BP 90333 Rennes Cedex 7, F-35703, FR)
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Claims:
REVENDICATIONS
1. Procédé de détermination de coefficients de filtrage d'un banc de filtres modulé en sousbandes, basé sur un filtre prototype de longueur L destiné à produire, par modulation, ledit banc de filtres modulé en sousbandes, caractérisé en ce qu'il comprend les étapes suivantes : (a) détermination, pour au moins deux valeurs M inférieures au nombre de sousbandes dudit banc de filtres modulé, en fonction d'un premier espace de paramètres P, d'un jeu de premiers coefficients de filtrage, correspondant à un optimum global du problème correspondant, noté {P, M, L}, pour au moins un critère prédéterminé à optimiser ; (b) analyse du ou desdits jeux de premiers coefficients de filtrage, de façon à déterminer un sousensemble de filtres correspondant auxdits optimums, auquel on associe un second espace de paramètres R, avec card R s card P, permettant une autre représentation, dite compacte, desdits filtres ; (c) optimisation d'un second jeu de coefficients de filtrage, pour au moins deux valeurs de M et au moins une valeur de L, à l'aide dudit second espace de paramètres R, correspondant à un optimum global du problème correspondant, noté {R, M, L} ; (e) stockage d'au moins un desdits seconds jeux de coefficients de filtrage.
2. Procédé de détermination de coefficients de filtrage selon la revendication 1, caractérisé en ce qu'il comprend les étapes de : (d) application pour au moins deux valeurs de M de l'étape (c) ; (f) interpolation rapide d'un jeu de coefficients de filtrage pour une valeur de M correspondant au nombre de sousbandes dudit banc de filtres, à partir du ou desdits seconds jeux de coefficients stockés obtenus à l'étape (d).
3. Procédé de détermination de coefficients de filtrage selon l'une quelconque des revendications 1 et 2, caractérisé en ce que, dans ladite étape (c), ladite optimisation est calculée pour au moins deux valeurs de M qui sont des puissances de 2.
4. Procédé de détermination de coefficients de filtrage selon l'une quelconque des revendications 1 à 3, caractérisé en ce que, dans ladite étape (c), ladite optimisation est calculée en tenant compte d'au moins une valeur fixée pour au moins un paramètre annexe A.
5. Procédé de détermination de coefficients de filtrage selon la revendication 4, caractérisé en ce que le ou lesdits paramètres annexes A comprennent un délai fixé.
6. Procédé de détermination de coefficients de filtrage selon l'une quelconque des revendications là 5, caractérisé en ce que, dans ladite étape (b), ladite analyse tient compte d'au moins une des propriétés appartenant au groupe comprenant : la linéarité de la phase ; la continuité des paramètres d'une composante polyphase à l'autre ; l'appartenance à un intervalle prédéterminé de paramètres angulaires ; des propriétés de continuité et/ou de dérivabilité de courbes limites, lorsque la longueur tend vers l'infini.
7. Procédé de détermination de coefficients de filtrage selon l'une quelconque des revendications 1 à 6, caractérisé en ce qu'il comprend, après ladite étape (c), une étape de : (d) validation des résultats de la résolution dudit second problème, pour au moins une valeur faible de M.
8. Procédé de détermination de coefficients de filtrage selon l'une quelconque des revendications 2 à 7, caractérisé en ce qu'il comprend, après ladite étape (f), une étape de : (g) vérification et/ou optimisation des valeurs interpolées pour le problème correspondant {P, M, L} ou {R, M, L}.
9. Procédé de détermination de coefficients de filtrage selon l'une quelconque des revendications 1 à 8, caractérisé en ce que le ou lesdits critères prédéterminés à optimiser appartiennent au groupe comprenant : la localisation en temps et/ou en fréquence ; la minimisation de l'énergie hors bande.
10. Procédé de détermination de coefficients de filtrage selon l'une quelconque des revendications 1 à 9, caractérisé en ce que, dans ladite étape (b), on met en oeuvre au moins une fonction, dite code, associant à un filtre prototype optimal P (z) une représentation approchée Px (z) dudit filtre prototype optimal P (z), exprimé à l'aide dudit second jeu de paramètres.
11. Procédé de détermination de coefficients de filtrage selon l'une quelconque des revendications 1 à 10, caractérisé en ce que ledit banc de filtres modulé est utilisé pour la mise en oeuvre d'un système de modulation multiporteuse.
12. Procédé de détermination de coefficients de filtrage selon la revendication 11, caractérisé en ce que ladite modulation multiporteuse est une modulation OFDM/OQAM.
13. Procédé de détermination de coefficients de filtrage selon la revendication 12, caractérisé en ce que ledit premier espace P est l'espace des coefficients angulaires : 2 avec card (P) = m*Ml2 où : 2M est le nombre de sousporteuses de ladite modulation ; L = 2mM est la longueur initiale dudit filtre prototype.
14. Procédé de détermination de coefficients de filtrage selon la revendication 13, caractérisé en ce que ledit second espace appartient au groupe comprenant : un espace RKO engendré par les fonctions génératrices des points /),/=0,..., (M/2)l, avec M (Q une bijection de {0, (M/2)1} vers {0, 1/2} ; un espace RKI correspondant au sousespace des polynômes de degré inférieur ou égal à K1, K > 0 ; un espace RK2 correspondant au sousespace des polynômes de degré inférieur ou égal à K1, K > 0, dans la base des polynômes de Chebyshev.
15. Procédé de détermination de coefficients de filtrage selon la revendication 14 et la revendication 10, caractérisé en ce que lesdits codes sont respectivement : pour ledit espace RKO : code n° 0 : p (X) k (X) {lSiX=0M (kl) 1 sinon pour ledit espace RKI : code n° 1 : COS Xk0M (0k) kO pour ledit espace RK2 : code n° 2 : COS (xkTx (4M (1)). ko.
16. Procédé de détermination de coefficients de filtrage selon la revendication 15, caractérisé en ce qu'on utilise ledit code n° 2 avec le degré 8.
17. Procédé de détermination de coefficients de filtrage selon l'une quelconque des revendications 11 à 16, caractérisé en ce que ladite étape (f) d'interpolation met en oeuvre une sousétape de recherche d'un polynôme de degré en log2 M approchant au mieux, au sens des moindres carrés, l'ensemble des valeurs déjà stockées.
18. Procédé de détermination de coefficients de filtrage selon la revendication 11, caractérisé en ce que ladite modulation est une modulation BFDM/OQAM.
19. Procédé de détermination de coefficients de filtrage selon la revendication 18, caractérisé en ce que ledit premier espace P est l'espace des coefficients en échelle tels que avec card (P) = (2m+1) M/2 où : 2M est le nombre de sousporteuses de ladite modulation ; L = 2mM est la longueur initiale dudit filtre prototype.
20. Procédé de détermination de coefficients de filtrage selon la revendication 19, caractérisé en ce que ledit second espace appartient au groupe comprenant : un espace RKI constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à K1, K > 0, représentés par leurs coefficients ; un espace RK2 constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à K1, K > 0, représentés par leur développement de Chebyshev ; un espace RK3 constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à K1, K > 0, vérifiant p(x+1/2)+p(x1/2)=2p(1/2); un espace RK4 constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à K1, K > 0, vérifiant p (x+1/2)+p(x1/2)=2p(1/2), représentés par leur développement de Chebyshev.
21. Procédé de détermination de coefficients de filtrage selon la revendication 20 et la revendication 10, caractérisé en ce que lesdits codes sont au moins l'un des codes suivants : codes0 : les coefficients xl, l=O,..., M, j=0,..., 2m sont les coefficients αj+1l,l=0,...,M/2,j=0,...,2m pour ledit espace RKI : code n° 1 : . i= (f) '=0,... k=O pour ledit espace RK2 : code n° 2 : c=J (4 (Ql) j=0,..., 2 kO pour ledit espace RK3 : code n° 3 : ai. =XQ+ Xjk (o. 2kljo kO pour ledit espace RK4 : code n° 4 : a+, =XQ+ xIT2k1 (2om (P1), j O,... 2m. ko jO.
22. Procédé de détermination de coefficients de filtrage selon l'une quelconque des revendications 18 à 21, caractérisé en ce que ladite étape (c) d'optimisation met en oeuvre un algorithme d'optimisation locale et/ou un algorithme génétique de minimisation globale.
23. Procédé de détermination de coefficients de filtrage selon l'une quelconque des revendications 15 à 22, caractérisé en ce que ladite fonction prototype est décrite à l'aide de représentations en treillis, ou en échelle, sous la forme d'une fonction a (t) telle que : pour le code n° 1 : a (t) =a ti i=o où d est le degré considéré et ai, i = 0,..., d1 les d coefficients correspondants ; pour le code n° 2 : a (t) =2aiTi (4t1) 0 où les T, sont les polynômes de Chebyshev ; pour le code n° 3 :.
24. Procédé de détermination de coefficients de filtrage selon l'une quelconque des revendications 15 à 23, caractérisé en ce que lesdits coefficients de filtrage sont obtenus, pour tout a > 0, à l'aide de l'équation : où H (z) est un filtre de longueur M vérifiant Mmod (H) = 1, #mo étant une fonction délivrant une mesure de localisation discrète d'un filtre ; et a est tel que umod (Po) > 1E.
25. Filtre prototype pour banc de filtres modulé, caractérisé en ce que ses coefficients de filtrage sont obtenus à l'aide du procédé de détermination de coefficients de filtrage selon l'une quelconque des revendications 1 à 24.
26. Banc de filtres modulé, caractérisé en ce qu'il est formé à partir d'un filtre prototype dont les coefficients de filtrage sont obtenus à l'aide du procédé de détermination de coefficients de filtrage selon l'une quelconque des revendications 1 à 24.
27. Terminal de réception d'un signal multiporteuse, caractérisé en ce qu'il met en oeuvre un banc de filtres modulés formé à partir d'un filtre prototype dont les coefficients de filtrage sont obtenus à l'aide du procédé de détermination de coefficients de filtrage selon l'une quelconque des revendications 1 à 24.
28. Application d'un banc de filtres modulé formé à partir d'un filtre prototype dont les coefficients de filtrage sont obtenus à l'aide du procédé de détermination de coefficients de filtrage selon l'une quelconque des revendications 1 à 24 à au moins un des domaines appartenant au groupe comprenant : modulation multiporteuse de type BFDM/OQAM ; modulation multiporteuse de type OFDM/OQAM ; codage en sousbandes.
Description:
Procédé de détermination de coefficients de filtrage d'un banc de filtres modulé, filtre prototype, banc de filtres modulé, terminal et application correspondants.

1. Domaine de l'invention Le domaine de l'invention est celui du filtrage numérique, et plus précisément des bancs de filtres modulés. En particulier, l'invention concerne la détermination de la fonction prototype de tels bancs de filtres modulés.

Les bancs de filtres modulés constituent une famille particulièrement importante de la famille des bancs de filtres. Leurs deux principaux avantages sont : la possibilité d'implantation à l'aide d'algorithmes rapides utilisant des décompositions polyphasés et des transformées rapides de type DCT ("Discrete Cosine Transform", en français : transformée en cosinus discret) pour ce qui concerne les bancs modulés en cosinus, ou de type DFT ("Discrete Fourier Transform", en français : transformée de Fourier discrète) pour les bancs modulés par des exponentielles complexes ; une méthode de design qui pour un type de transformée donnée (DCT ou DFT) ne fait intervenir qu'un ou deux filtres prototypes.

Leurs applications sont potentiellement très nombreuses.

Ils sont en effet adaptés à la réception multiporteuse, aux transmultiplexeurs, au codage en sous-bandes,...

Ainsi, dans le domaine des communications numériques, les déposants de la présente demande de brevet ont mis en évidence le formalisme banc de filtres modulés pour des systèmes de modulation multiporteuse utilisant pour chaque porteuse une modulation d'amplitude en quadrature avec offset (OQAM). Il s'agit dans le cas biorthogonal [1, 2] (pour simplifier la lecture, les différentes références citées sont regroupées en annexe 9), de la modulation BFDM/OQAM, (BFDM : "Biorthogonal Frequency Division Multiplex") et dans le cas orthogonal [3] de l'OFDM/OQAM (OFDM : "Orthogonal Frequency Division Multiplex").

Dans ces différents travaux, il est aussi démontré que le problème de calcul du (ou des) filtre (s) prototype (s) est identique à celui que l'on rencontre pour les systèmes de codage en sous-bande orthogonaux ou biorthogonaux. Une autre application potentielle concerne donc le codage audio à réduction de débit avec éventuellement des possibilités d'amélioration, en orthogonal [4], ou en biorthogonal [5], d'une norme de type MPEG1 (Moving Picture Expert Group) [6].

2. Etat de l'art Les principes de base des bancs de filtres modulés sont notamment décrits dans [7, Chapitre 8]. Il est en particulier montré que le design du filtre prototype conduit à un problème non linéaire dont la complexité croît avec la longueur du prototype.

Dans les exemples présentés dans cette référence, la longueur maximale traitée est de 110. Or on sait bien que, pour des systèmes de transmission multiporteuse, le nombre de porteuses peut être de plus d'une centaine, voire de quelques milliers, et que la longueur du prototype est, en général, un multiple allant de 1 à 4 du nombre de porteuses. Il apparaît donc nécessaire de disposer de méthodes de calcul rapides et efficaces.

On rappelle à présent différentes catégories de solutions qui peuvent être envisagées pour résoudre ce problème. On considère ici le cas le plus fréquent qui est celui où la mise en forme du signal est réalisée par un filtre prototype de type RIF (Réponse Impulsionnelle Finie).

2. 1 Catégorie 1 : Utilisation de fonctions continues Dans ce cas les filtres prototypes sont obtenus par troncature du support en temps puis discrétisation de fonction continues qui vérifient la condition d'orthogonalité en temps continu sur un support de durée infinie.

Un défaut de cette technique est que, en discret, l'orthogonalité n'est vérifiée qu'approximativement, et un prototype considéré comme optimal en temps continu pour un critère donné ne l'est plus nécessairement dans le cas discret.

On a par exemple mis en oeuvre cette technique dans le cadre de l'utilisation de la fonction IOTA (Isotropic Orthogonal Transform Algorithm) [9] pour la réalisation sous forme numérique d'un modem OFDM/OQAM. Dans ce cas, on s'appuie sur des fonctions qui forment une base orthogonale en temps continu et pour lesquelles on conjecture qu'elles constituent un optimum pour la localisation temps-fréquence.

Dans le cas d'un traitement en numérique l'orthogonalité n'est plus vérifiée et la localisation du prototype discret n'est pas directement optimisé.

2. 2 Catégorie 2 : Optimisation de prototvpes à reconstruction quasi parfaite On fait alors en sorte que le banc de filtres dit « dos-à-dos », par exemple le modem pris isolément pour un système de transmission, vérifie approximativement la condition de reconstruction parfaite.

Selon cette approche, la reconstruction n'est donc pas parfaite et le coût d'optimisation des coefficients peut devenir prohibitif pour les grandes longueurs.

Par exemple, en codage audio, le banc de filtres MPEG1, couches 1 et 2, a été calculé selon ce principe [6]. Il ne permet pas d'obtenir une reconstruction parfaite. Dans les normes plus récentes, les bancs de filtres préconisés doivent être parfaitement orthogonaux.

23 Catégorie 3 : Orthogonalisation de prototvpes RIF Le pendant en discret de l'orthogonalisation en continu tel qu'il est réalisé par le procédé IOTA s'appuie sur une transformée dite de Zak. A partir d'un prototype initial de longueur donnée, on obtient un prototype de longueur double qui vérifie les conditions d'orthogonalité.

Cependant, dans ce cas, le calcul ne prend en compte que les contraintes d'orthogonalité et ne permet pas réellement d'optimiser un critère précis.

Cette méthode a été utilisée par exemple par l'ENST pour réaliser la synthèse de prototypes de grande longueur pour des systèmes OFDM/OQAM [10].

2. Catégorie 4 : Optimisation de prototvpes RIF orthogonaux et

biorthogonaux Il s'agit à la fois d'optimiser un critère donné et de vérifier exactement des conditions de biorthogonalité ou d'orthogonalité. Le plus souvent, les bancs de filtres calculés de cette manière utilisent des représentations paramétriques, par exemple sous forme d'échelle (en biorthogonal) ou de treillis (en orthogonal), qui par construction vont garantir que la reconstruction est parfaite.

Il faut alors résoudre un problème d'optimisation non linéaire, avec contraintes si on considère la représentation transversale du prototype et sans contraintes pour des représentations de type échelle ou treillis. La difficulté est liée à la grande taille de certains problèmes, c'est le cas par exemple des systèmes OFDM/OQAM ou BFDM/OQAM à plusieurs centaines ou milliers de porteuses.

On est ainsi confronté à ce problème lors du design des prototypes biorthogonaux et orthogonaux des systèmes BFDM/OQAM [11,2] et OFDM/OQAM [3]. Une paramétrisation plus générale que le treillis, car elle s'applique également aux systèmes orthogonaux suréchantillonnés, est proposée dans la référence [10], mais elle ne simplifie en rien le problème de synthèse dans le cas de l'échantillonnage dit critique.

Un problème similaire se pose également dans le cadre du codage en sous- bande [5], [1].

3. Objectifs de l'invention L'invention concerne plus particulièrement la dernière catégorie de solution. Un objectif de l'invention est de permettre de synthétiser des prototypes à plusieurs centaines ou milliers de coefficients.

Par rapport aux catégories de solutions 1 et 3 qui réalisent déjà cet objectif, il faut rappeler que : - Les solutions de la catégorie 1 entraînent des pertes d'orthogonalité qui sont d'autant plus importantes que l'on essaie de réduire la longueur du prototype pour un nombre de porteuses, ou des sous-bandes, donné.

- Des solutions de la catégorie 3 ne permettent pas d'optimiser précisément un critère donné.

L'invention a notamment pour objectif de pallier ces inconvénients de l'état de l'art.

Plus précisément, un objectif de l'invention est de fournir un procédé de calcul de filtres prototypes, ainsi que des filtres prototypes et des bancs de filtres modulés correspondants, qui soient quasi-optimaux pour des critères d'optimisation prédéterminés.

Un objectif de l'invention est ainsi de fournir de tels filtres prototypes, dont les longueurs sont nettement supérieures aux longueurs pouvant être traitées jusqu'à présent par les méthodes d'optimisation connues.

Par exemple, en OFDM/OQAM, il est nécessaire de calculer des prototypes pour des systèmes comprenant plus de 2048 porteuses. De même, en BFDM/OQAM (où le cap de la longueur 2048 pour un système à 512 porteuses était difficilement atteint selon l'art antérieur), l'invention a notamment pour objectif de permettre le traitement des systèmes de longueur 8192 avec 2048 porteuses, par exemple en un temps de calcul raisonnable.

Un autre objectif de l'invention est d'assurer, pour une longueur de prototype donnée, des temps de calcul incomparablement plus courts qu'avec les méthodes d'optimisation connues.

L'invention a également pour objectif de fournir des tels filtres prototypes, qui puissent être mis en oeuvre aisément et efficacement dans des terminaux.

Ces objectifs, ainsi que d'autres qui apparaîtront par la suite, sont atteints selon l'invention à l'aide d'un procédé de détermination de coefficients de filtrage d'un banc de filtres modulé, basé sur un filtre prototype de longueur L destiné à produire, par modulation, un système modulé à M sous-bandes, comprenant les étapes suivantes : (a) détermination, pour au moins deux valeurs faibles de M, en fonction d'un premier espace de paramètres P, d'un jeu de premiers coefficients de filtrage, correspondant à un optimum global du problème correspondant, noté {P, M, L}, pour au moins un critère prédéterminé à optimiser ; (b) analyse du ou desdits jeux de premiers coefficients de filtrage, de façon à

déterminer un sous-ensemble de filtres correspondant auxdits optimums, auquel on associe un second espace de paramètres R, avec card R ? card P, permettant une autre représentation, dite compacte, desdits filtres ; (c) optimisation d'un second jeu de coefficients de filtrage, pour au moins deux valeurs de M et au moins une valeur de L, à l'aide dudit second espace de paramètres R, correspondant à un optimum global du problème correspondant, noté {R, M, L} ; (e) stockage d'au moins un desdits seconds jeux de coefficients de filtrage.

De cette façon, comme on le verra par la suite, on peut déterminer efficacement des filtres prototypes de très grande longueur (par exemple quelques milliers) en un temps très réduit, par rapport aux techniques connues.

Avantageusement, le procédé de détermination de coefficients de filtrage de l'invention comprend en outre une étape : (f) d'interpolation rapide d'un jeu de coefficients de filtrage pour une valeur quelconque de M, à partir du ou desdits seconds jeux de coefficients stockés.

De façon préférentielle, dans ladite étape (c), ladite optimisation est calculée pour au moins deux valeurs de M qui sont des puissances de 2.

Selon une caractéristique de l'invention, ladite optimisation de ladite étape (c) est calculée en tenant compte d'au moins une valeur fixée pour au moins un paramètre annexe A.

Le ou lesdits paramètres annexes A peuvent notamment comprendre un délai fixé.

De façon avantageuse, dans ladite étape (b), ladite analyse tient compte d'au moins une des propriétés appartenant au groupe comprenant : - la linéarité de la phase ; - la continuité des paramètres d'une composante polyphase à l'autre ; - l'appartenance à un intervalle prédéterminé de paramètres angulaires ; - des propriétés de continuité et/ou de dérivabilité de courbes limites,

lorsque la longueur tend vers l'infini.

Préférentiellement, le procédé de l'invention comprend, après ladite étape (c), une étape de : (d) validation des résultats de la résolution dudit second problème, pour au moins une valeur faible de M.

Le procédé de détermination de coefficients de filtrage de l'invention comprend également, avantageusement, après ladite étape (f), une étape de : (g) vérification et/ou optimisation des valeurs interpolées pour le problème correspondant {P, M, L} ou {R, M, L}.

Le ou lesdits critères prédéterminés à optimiser peuvent notamment appartenir au groupe comprenant : la localisation en temps et/ou en fréquence ; la minimisation de l'énergie hors bande.

De façon avantageuse, dans ladite étape (b), on met en oeuvre au moins une fonction, dite code, associant à un filtre prototype optimal P (z) une représentation approchée Px (z) dudit filtre prototype optimal P (z), exprimé à l'aide dudit second jeu de paramètres.

Selon un aspect préférentiel de l'invention, ledit banc de filtres modulé est utilisé pour la mise en oeuvre d'un système de modulation multiporteuse.

Ladite modulation multiporteuse est une modulation OFDM/OQAM ou une modulation BFDM/OQAM.

Dans le cas d'une modulation OFDM/OQAM, ledit premier espace P est avantageusement l'espace des coefficients angulaires : {#il,0#i#m-1,0#l#M/2-1} avec card (P) = m8M/2 où : 2M est le nombre de sous-porteuses de ladite modulation ; L = 2mM est la longueur initiale dudit filtre prototype.

Dans ce cas, ledit second espace appartient préférentiellement au groupe comprenant : un espace RXo engendré par les fonctions génératrices des points

QM (l), l=0,..., (M/2)-1, avec M (Q une bijection de {0, (M/2)-1} vers {0, 1/2} ; un espace RKI correspondant au sous-espace des polynômes de degré inférieur ou égal à K-1, K > 0 ; un espace RK2 correspondant au sous-espace des polynômes de degré inférieur ou égal à K-1, K > 0, dans la base des polynômes de Chebyshev.

Selon différents modes de réalisation avantageux, lesdits codes sont respectivement : pour ledit espace R., : code n° 0 : pu (X) k (X) {lSiX=0M (kl) sinon pour ledit espace RKI : code n° 1 : COS Xik0M (0k) ko pour ledit espace RK2 : code n° 2 : COS XikTk (40M (0l »- ksO Dans un mode de réalisation particulier, on peut utiliser ledit code n° 2 avec le degré 8.

De façon préférentielle, ladite étape (f) d'interpolation met en oeuvre une sous-étape de recherche d'un polynôme de degré en log2 M approchant au mieux, au sens des moindres carrés, l'ensemble des valeurs déjà stockées.

Dans le cas où la modulation est une modulation BFDM/OQAM, ledit premier espace P est avantageusement l'espace des coefficients en échelle tels que {"j=1,.... 2m+1, 1=0,..., 2M 1}, t 1 52 il avec card (P) = (2m+1) M/2 où : 2M est le nombre de sous-porteuses de ladite modulation ; L = 2mM est la longueur initiale dudit filtre prototype.

Dans ce cas, ledit second espace appartient de façon avantageuse au groupe comprenant : - un espace RKI constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à

K 1, K > 0, représentés par leurs coefficients ; un espace RK2 constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à K-1, K> 0, représentés par leur développement de Chebyshev ; un espace RK3 constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à K-1, K > 0, vérifiant p (x+1/2)+p(x-1/2)=2p(1/2) ; un espace RK4 constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à K-1, K > 0, vérifiant p (x+1/2)+p(x-1/2)=2p(1/2), représentés par leur développement de Chebyshev.

Selon différents modes de réalisation, lesdits codes peuvent être l'un des codes suivants : -code n° 0 : les coefficients xjl,l=0,...,M/2,j=0,...,2m sont les coefficients pour ledit espace RKI : code n° 1 : = (=0... k=O pour ledit espace RK2 : code n° 2 : a ; +i=xTk4cM y-1) J= ..., 2yn jO pour ledit espace RK3 : code n° 3 : OKl+l=X9+2Xjk (+M (02) 2k-1j=° 2m k=O pour ledit espace RK4 : code n° 4 : al.,, =xQ+ xk k-1 (2om (P-1), j--O,... 2m. k=O Avantageusement, ladite étape (c) d'optimisation met en oeuvre un algorithme d'optimisation locale et/ou un algorithme génétique de minimisation globale.

De façon préférentielle, ladite fonction prototype est décrite à l'aide de représentations en treillis, ou en échelle, sous la forme d'une fonction a (t) telle que : pour le code n° 1 : 3 a (t) =l ti i-0 où d est le degré considéré et osi, i = 0,..., d-1 les d coefficients correspondants ;

pour le code n° 2 : a (t) =osiTi (4t-1) i-0 où les Ti sont les polynômes de Chebyshev ; pour le code n° 3 : Selon un aspect particulier de l'invention, lesdits coefficients de filtrage sont avantageusement obtenus, pour tout cet > 0, à l'aide de l'équation : où H (z) est un filtre de longueur M vérifiant #mod(H) = 1, #mo étant une fonction délivrant une mesure de localisation discrète d'un filtre ; et a est tel que d (Pa) > 1-E.

L'invention concerne également : les filtres prototypes pour bancs de filtres modulés, dont les coefficients de filtrage sont obtenus à l'aide du procédé de détermination de coefficients de filtrage décrits ci-dessus ; les bancs de filtres modulés formés à partir d'un filtre prototype dont les coefficients de filtrage sont obtenus à l'aide du procédé de détermination de coefficients de filtrage décrits ci-dessus ; les terminaux de réception d'un signal multiporteuse, mettant en oeuvre un banc de filtres modulés formé à partir d'un filtre prototype dont les coefficients de filtrage sont obtenus à l'aide du procédé de détermination de coefficients de filtrage décrits ci- dessus.

L'invention concerne également les applications d'un banc de filtres modulé formé à partir d'un filtre prototype dont les coefficients de filtrage sont obtenus à l'aide du procédé de détermination de coefficients de filtrage décrit ci- dessus à au moins un des domaines appartenant au groupe comprenant :

modulation multiporteuse de type BFDM/OQAM ; modulation multiporteuse de type OFDM/OQAM ; codage en sous-bandes.

4. Modes de réalisation préférentiels D'autres caractéristiques et avantages de l'invention apparaîtront plus clairement à la lecture de la description suivante de modes de réalisation préférentiels de l'invention, données à titre de simples exemples illustratifs et non limitatifs, et des figures annexées, parmi lesquelles : la figure 1, commentée en annexe 1, illustre les étages de"lifting" et"lifting dual"combinés, sans augmentation du délai, correspondant à une représentation en échelle pour un transmultiplexeur BFDM/OQAM ; la figure 2, également commentée en annexe 1, présente les étages de"lifting"et"lifting dual"combinés, avec augmentation de délai, conservant également la propriété de biorthogonalité ; les figures 3A à 3D présentent les coefficients Oil (en fonction de l+1), pouredlpour M = 32 et respectivement m = 1,..., 4, et 0 s i s m-l pour l'optimisation de coefficients angulaires dans le cas de l'OFDM/OQAM ; les figures 4A à 4D présentent les coefficients Oil (en fonction de l+1), pour , pour M = 128 et respectivement m = 1,..., 4, et 0 i : 5 m-1 pour l'optimisation de coefficients angulaires dans le cas de l'OFDM/OQAM ; les figures 5A à 5D présentent les coefficients Oil (en fonction de L+1), optimaux pour l'énergie hors-bande, pour M = 32 et respectivement m = 1,..., 4, et 0 s i s m-1 pour l'optimisation de coefficients angulaires dans le cas de l'OFDM/OQAM ; les figures 6A et 6B illustrent les réponses d'un filtre prototype filtres optimaux pour le code 2 de degré 8 ; la figure 14, également commentée en annexe 6, montre l'erreur

relative commise sur la meilleure énergie hors-bande avec les filtres prototypes OFDM de longueur L = 2M construits à partir des paramètres des filtres optimaux pour le code 2 de degré 8 ; la figure 15, également commentée en annexe 6, est une représentation à support dans [-1, +1] des 2M coefficients transversaux des filtres optimaux pour la localisation pour M = 32 (croix) et M = 1024 (trait continu) ; la figure 16, également commentée en annexe 6, montre l'erreur relative commise sur la meilleure énergie hors-bande avec les filtres prototypes OFDM de longueur L=2M construits à partir de ##(t); la figure 19, également commentée en annexe 6, montre lerreur relative commise sur la meilleure énergie hors-bande avec les filtres prototypes OFDM de longueur L = 4M (m = 2) construits à partir des paramètres des filtres optimaux pour le code 2 de degré 8, pour M valant 128 et 1024 ; la figure 20, également commentée en annexe 6, montre l'erreur relative commise sur la meilleure énergie hors-bande avec les filtres prototypes BFDM de longueur L = 4M (m = 2) construits à partir des paramètres des filtres optimaux pour le code 2 de degré 8, pour M valant 128 et 512 ; la figure 21, également commentée en annexe 6, montre l'erreur relative commise sur la meilleure énergie hors-bande avec les filtres prototypes BFDM de longueur L = 6M (m = 3) construits à partir des paramètres des filtres optimaux pour le code 2 de degré 8, pour M valant 128 et 512 ; la figure 22 est un organigramme simplifié présentant le principe général du procédé de l'invention.

4. 1 Présentafion générale L'invention concerne donc notamment une méthode de calcul rapide d'un

filtre prototype à coefficients réels, notés p (n), où pour un filtre de longueur L, n est un entier compris entre 0 et L-1. Pour être admissible dans la catégorie de solutions recherchée, les coefficients p (n) doivent optimiser un critère donné et vérifier des conditions de biorthogonalité ou d'orthogonalité.

Dans l'annexe 1 on présente en détail deux critères (localisation temps- fréquence et minimisation de l'énergie hors-bande) pouvant être retenus, ainsi que les conditions de biorthogonalité qui s'appliquent à différentes familles de bancs de filtres modulés.

Pour rappeler le contexte applicatif de ces modes de réalisation préférentiels, on présente brièvement, en annexe 2, le principe d'obtention d'un transmultiplexeur BFDM/OQAM basé sur la modulation d'un prototype p (n).

4. 2 La méthode de réduction de paramètres La méthode de l'invention, dite de réduction de paramètres, s'applique à un très large ensemble de bancs de filtres modulés. Elle peut convenir, en particulier, pour tout système pour lequel les équations (10) à (13) (annexe 1) constituent des conditions suffisantes pour la propriété de reconstruction parfaite : bancs modulés de type DCT II et IV et de type MDFT I et II, modulateurs BFDM/OQAM et BFDM/QAM suréchantillonnés [17], etc.

On peut également envisager de l'appliquer dans le cas où les prototypes des bancs d'analyse et de synthèse différent [5, 16]. Dans un premier temps, on décrit donc le procédé utilisé dans un cadre très général. On explique ensuite la manière dont elle s'applique au BFDM/OQAM et à l'OFDM/OQAM, et on déduit finalement des restrictions qui peuvent éventuellement exister dans des contextes différents de ceux traités.

4. 2. 1. Principe général On prend comme hypothèse de départ que la fonction à optimiser, pour un critère donné, est un filtre prototype de longueur L qui par modulation va produire un système modulé à M sous-bandes.

Pour un tel prototype, on valide la méthode de réduction de paramètres par la succession des étapes qui suivent, illustrée par l'organigramme de la figure 22.

1. Optimisation 11 sur un ensemble de paramètres, noté P, en principe en nombre suffisant, c'est-à-dire card P : nombre de degrés de liberté, pour obtenir l'optimum global du problème, noté {P, M, L}, pour le critère choisi, et analyse des solutions optimales pour de faibles valeurs de M.

2. Interprétation 12 des propriétés des solutions obtenues comme l'appartenance à un sous-ensemble de filtres. Dans ces sous-ensembles, on choisit des sous- espaces approximants de dimension finie où les filtres peuvent être représentés avec un nombre réduit de paramètres.

Cette représentation est appelée « compacte » dans cette demande de brevet. Les propriétés considérées des filtres optimaux obtenus lors de la première étape peuvent être par exemple : - la linéarité de la phase ; - la continuité des paramètres d'une composante polyphase à l'autre ; - l'appartenance à un intervalle restreint de paramètres angulaires (par exemple 10, it]) ; - les propriétés de continuité, de dérivabilité des courbes limites lorsque la longueur tend vers l'infini.

Il en résulte une représentation avec un nouveau jeu de paramètres, noté R, déduit de P et qui est dit réduit quand cardR < cardP.

3. Optimisation 13 du prototype avec le nouveau jeu de paramètres R, pour des valeurs données de L, M (par exemple les puissances de 2 pour les valeurs de M) et, éventuellement, des valeurs fixées également pour un ensemble d'autres paramètres annexes, noté A (incluant par exemple le délai), permettant de couvrir par la suite l'ensemble des solutions possibles du problème. Vérification 131, pour les petites valeurs de M, que la résolution de ce problème, noté {R, M, L}, produit un optimum non dégradé, par rapport à celui obtenu pour le problème {P, M, L}.

4. Stockage 14 des meilleurs résultats obtenus pour un ensemble de valeurs de M, par exemple les puissances de 2, et pour un ensemble de valeurs de A fixées, lors de la résolution des différents problèmes {R, M, LI. Interpolation

rapide 141, sans optimisation, des résultats pour toutes les valeurs de M et vérification 142 des résultats avec optimisation du problème correspondant de type {P, M, L} ou {P, M, L}.

Un ensemble R de paramètres qui permet de valider les étapes 1 à 4 constitue une représentation compacte qui vérifie les conditions exigées pour notre méthode de réduction de l'espace des paramètres.

On illustre à présent cette méthode dans le cas de l'OFDM/OQAM et dans celui du BFDM/OQAM. Les critères d'optimisation utilisés pour ce faire sont ceux de localisation temps-fréquence et d'énergie hors-bande décrits dans l'annexe 1.

Par ailleurs, on notera que, les problèmes à résoudre étant non-linéaires, on a utilisé plusieurs logiciels d'optimisation, locale et globale, pour valider ces résultats.

4. 2.2 Cas de l'OFDMIOQAM Nous présentons tout d'abord le cas de l'OFDM/OQAM pour lequel nous avons déjà validé l'ensemble de la procédure en 4 étapes de la figure 22, pour des prototypes de longueur L = 2mM.

4.2. 2.1 Optimisation des coefficients angulaires dans l'espace P On a choisi un espace de paramètres initial qui est celui le plus habituel pour ce type de problèmes, et qui est introduit en annexe 1 au paragraphe 2.2, c'est-à-dire celui des coefficients angulaires Dans ce cas nous avons card (P) = mxMl2 = nombre de degrés de liberté. Les problèmes d'optimisation à résoudre sont donc sans contraintes et garantissent parfaitement l'orthogonalité ainsi que la linéarité de phase du prototype.

L'observation des paramètres angulaires obtenus lors d'une optimisation directe montre, comme cela est illustré par les figures 3 à 5, que ceux-ci, après réduction par la période 2rc, peuvent être toujours choisis dans l'intervalle [0, a].

D'autre part les paramètres qui se correspondent, c'est-à-dire ceux qui sont associés au même indice i pour un jeu de composantes polyphases 1 donné, évoluent de manière continue.

4. 2. 2. 2 Représentation sous forme compacte L'objectif est d'obtenir une représentation approchée Px (z) du filtre prototype optimal P (z) à l'aide d'un jeu réduit de paramètres {xik,1#k#K,0#i#m-1}. Le filtre prototype P (z) est dit, dans la présente demande de brevet, codé par les (xik)k=0,...,K-1,i=0,...,m-1 et l'application (Xzk) i,k#PX (z) est appelée un code. K est appelé le degré du code.

Les prototypes OFDM ainsi codés le sont à l'aide de nzK paramètres, et on les dit représentés sous forme compacte. Il est en général impossible de représenter un filtre prototype sous forme compacte pour un code donné.

Cependant, l'observation des propriétés des filtres optimaux, pour un critère donné, montre qu'ils appartiennent à des sous-ensembles de filtres prototypes OFDM susceptibles d'être représentés sous forme compacte pour un certain code.

Dans ce cas, la recherche des filtres optimaux, pour des longueurs supérieures, peut se faire dans l'ensemble de filtres représentables sous forme compacte pour ce code. Le nombre de paramètres pour le problème d'optimisation s'en trouve considérablement diminué. Pour un sous-espace donné Rk, le choix d'une base B = (pl,..., pK) détermine le choix des variables dans le problème d'optimisation.

Le comportement des programmes d'optimisation permet de mettre en évidence un éventuel mauvais conditionnement. Il est alors possible de changer de base pour essayer d'améliorer le conditionnement : ceci conduit donc à un nouveau code.

L'annexe 3 présente trois exemples de codes pouvant avantageusement être utilisés. Bien sûr, d'autres codes peuvent être envisagés.

4.2. 2.3 Optimisation de la forme compacte Le choix d'une forme compacte donnée par le code 1 ou 2, avec K<M conduit nécessairement à une réduction de dimension de l'espace des paramètres et donc à une réduction importante du temps de calcul. De nombreuses optimisations de ce type sont décrites dans les documents [14,18]. Le tableau 1 (l'ensemble des tableaux la présente demande de brevet sont regroupés en annexe

8) constitue une illustration d'un ensemble de résultats obtenus, pour le critère de localisation, avec le code 2 et un logiciel d'optimisation locale intitulé CFSQP (Feasible Sequential Quadratic Programming in C) [19].

Dans ce tableau T est le temps d'exécution en secondes sur un RISC6000 à 200 MHz, Nf est le nombre d'appels à la fonction objectif. Il est clair que les gains en rapidité n'existent que pour M s 16, c'est-à-dire à partir du moment où on commence à en avoir besoin.

En comparaison les résultats du tableau 2 obtenus ave le code trivial montrent clairement que, hormis pour les faibles valeurs de M où le nombre d'appel plus réduit favorise ce code, la différence en temps augmente de manière quasi exponentielle avec M, alors que l'espace réduit des paramètres ne pénalise que très peu la qualité des résultats.

Les exemples de figures 6 et 7 illustrent des formes de réponses typiques de solutions optimales respectivement pour les critères de localisation et d'énergie hors-bande.

4.2. 2.4 Interpolation rapide en fonction de M La comparaison de l'efficacité relative de deux codes disponibles pour l'optimisation de la localisation ou de l'énergie montre que les meilleurs résultats sont obtenus globalement pour le code numéro 2 avec le degré 8. Nous avons donc retenu ces valeurs de paramètres pour générer une ensemble {RK, M, LI quasi-optimal de résultats.

Dans cet ensemble, les valeurs de m sont les valeurs entières comprises entre 1 et 4 et celles de M correspondent à toutes les puissances de 2 des nombres entiers compris entre 3 et 12.

L'examen des coefficients angulaires et l'optimum fait apparaître un comportement très régulier des paramètres de la représentation compacte en fonction de M lorsque M décrit un ensemble de puissances de 2 successives. On cherche alors un polynôme de degré fixé en log2M qui approche le mieux, au sens des moindres carrés, l'ensemble des points déjà obtenus, pour chaque paramètre de la représentation compacte. L'optimisation des moindres carrés a pour

variables les coefficients de ce polynôme.

Des exemples de tels polynômes d'interpolation, de degré 5, sont montrés dans les figures 8 et 9 dans le cas m = 1 pour le code numéro 2 de degré 8 et pour les quatre premiers des 8 paramètres, pour la localisation et l'énergie hors-bande respectivement.

Les tableaux 3 et 4 montrent les résultats de l'interpolation pour des valeurs intermédiaires de M. En général l'écart relatif, noté E, est très faible entre les solutions interpolées, qui sont obtenues de manière quasi-instantanée, et les solutions optimales.

Une interpolation sur une échelle en 1/M pourrait améliorer sensiblement les résultats d'interpolation qui sont de moindre qualité.

4. 2. 3 Cas du BFDM/OQAM On se place à présent dans le cas de la situation détaillée au paragraphe 2.1. de l'annexe 1, c'est-à-dire ou L = 2mM et d = 2M-1.

4.2. 3.1 Optimisation des coefficients a L'espace de paramètres initial est alors celui des coefficients en échelle tels que {αji,j=1,...,2m+1,l=0,...,M/2-1}. Nous avons ainsi card (P) = (2m+1) M qui est donc le nombre de degrés de liberté. Les problèmes d'optimisation des coefficients a sont sans contraintes et garantissent parfaitement la biorthogonalité.

L'observation des paramètres oc obtenus lors d'une optimisation directe montre, aux figures 10 et 11, que pour les deux critères d'optimisation considérés ceux-ci présentent des caractères de continuité qui sont également exploitables pour obtenir des représentations compactes.

4. 2. 3. 2 Représentation sous forme compacte En considérant de nouveau l'application définie par (54) (annexe 3), on introduit de nouveau des sous-espaces RK de dimension K de l'ensemble des fonctions continues définies sur l'intervalle [0, 0.5]. RK est muni d'une base B = (Pl,-.., PK) et l'on associe au K-uplets de coordonnées (XJ..) XjK), OÙ j varie entre 1 et 2m+1, des coefficients ai. par l'application : (

avec oNj=xl +-+XJKpK (60) Contrairement au cas de l'OFDM, les coefficients de la représentation en échelle ne sont pas des angles. Ce sont des paramètres réels, sans comportement périodique, et il n'est donc pas nécessaire d'utiliser une fonction comme la fonction 0.

Des codes que l'on peut utiliser sont présentés en annexe 4.

4. 2. 3. 3 Optimisation de la forme compacte BFDM Comme pour l'OFDM les gains en temps de calcul de la forme compacte BFDM apparaissent dès que K < M/2. Par ailleurs les résultats obtenus en BFDM présentent une particularité lorsque l'on considère le critère de la localisation.

A titre d'exemple on peut examiner les résultats obtenus avec"Cfsqp".

"Cfsqp"est un logiciel d'optimisation locale. Ainsi avec une initialisation fournie par un prototype à coefficients tous nuls, et quasiment quelles que soient les bornes de variation autorisées pour a, nous obtenons les résultats reportés au tableau 5.

D'autres essais ont été réalisés avec le logiciel"Dega" (Differential Evolution Genetic Algorithm)."Dega"est un algorithme génétique de minimisation globale d'une fonction définie sur un ensemble de variables continues. Avec ce programme disponible sur le web (http ://http. icsi. berkeley. edtlsorn/codc. htmll, la capacité d'optimisation globale permet d'obtenir les résultats optimaux obtenus au tableau 6. Il faut noter que dans ce tableau et dans celui présenté ensuite (cf. tableau 8) le nombre d'appel à la fonction objectif (Nf) est fixé a priori.

Ces deux types de résultats présentent chacun un intérêt particulier.

- la solution non défective. Les résultats d'optimisation locale (cfsqp) montrent que l'on peut améliorer les résultats de l'OFDM/OQAM, délai et/ou valeur de localisation, sans modifier nettement le comportement fréquentiel. Ainsi à la figure 12, on peut constater que la biorthogonalité permet de réduire le délai, ici s = 0, par rapport à ce que nous obtenons en orthogonal (cf. figure 6). Par

contre les réponses en fréquence restent très proches pour un critère donné.

- la solution défective. Les résultats d'optimisation globale (Dega) conduisent à des solutions proches de l'optimum absolu. Ainsi qu'on le montre dans une section à venir (§ 4.3) cette solution optimale peut être construite de manière formelle sans optimisation d'aucune sorte. Toutefois, le comportement fréquentiel n'est alors pas aussi satisfaisant qu'avec les solutions qui ne sont pas parfaitement optimales.

Ainsi que le montre la référence [14], un seul paramètre permet de réaliser une distinction de type par ses valeurs, soit proche de 0 pour une solution non défective ou proche de 1 pour une solution défective.

Ce comportement particulier lié au critère de localisation ne concerne pas le critère de minimisation hors-bande [14] pour lequel un ensemble de résultats analogue à celui fourni dans les tableaux 5 et 6 est présenté dans les tableaux 7 et 8.

4.2. 3. 4 Interpolation rapide en fonction de M Le principe de base de cette interpolation est le même que celui décrit pour <BR> <BR> l'OFDM/OQAM.<BR> <BR> <P> 43 Cas des solutions BFDMlOQAM dégétaérées à localisation optimale Le cas du phénomène de dégénérescence, souligné au paragraphe 1.1, de l'annexe 1, amène à examiner plus précisément la pertinence du critère de localisation dans le cas biorthogonal. Cet aspect est détaillé en annexe 5.

4. 4 Comportement asvmptotique des représentations comnactes Connaissant les coefficients des représentations compactes de filtres prototypes optimaux OFDM ou BFDM pour différentes valeurs de M, la méthode d'interpolation a consisté à calculer les coefficients pour la même représentation compacte de filtres prototypes pour les valeurs de M intermédiaires.

Selon une autre approche, détaillée en annexe 6, on peut tenter de comprendre le comportement lorsque M tend vers l'infini des coefficients de la représentation compacte de filtres prototype optimaux.

Le nombre de coefficients pour une valeur de M donnée ne dépend pas de la valeur de M. On peut donc se poser une première question : ces coefficients fournissent-ils de bons filtres prototypes pour une valeur de M plus élevée et qui peut être arbitrairement grande ? La réponse attendue est que cela est vraisemblablement le cas si les coefficients optimaux tendent vers une limite lorsque M tend vers l'infini.

45. Fonctions prototvpes Les résultats établis pour le critère d'énergie supposent dans l'expression (8) (annexe 1) que cos=cop=M. Naturellement, les méthodes de réduction de paramètres et d'interpolation peuvent être mises en oeuvre avec d'autre valeurs de ces deux paramètres, mais cela se traduit malgré tout par des temps de calculs qui deviennent très élevés pour les fortes valeurs de M. Ceci est alors naturellement d'autant plus critique que m est aussi élévé.

On propose en annexe 7 une approche intitulée"fonctions prototypes", qui permet une optimisation rapide pour toute variante du critère d'énergie.

Par ailleurs, dans le cas du critère de localisation, la détermination de fonctions de prototypes, a également permis d'établir des limites théoriques, validant les résultats précédents, mais sans permettre de les améliorer [18].

4. 6. Conclusion On a donc décrit une méthode de réduction de paramètres qui permet le calcul rapide de bancs modulés orthogonaux et biorthogonaux optimaux.

Cette méthode permet de traiter des problèmes de dimension, en nombre de sous-bandes et longueur du prototype, jamais atteinte. Elle se caractérise notamment par : - le procédé de réduction de paramètres ; - le procédé d'interpolation rapide ; - les formules analytiques issues des calculs des fonctions limites ; - le procédé de calcul par les fonctions prototypes.

De plus, on a également montré qu'une méthode d'interpolation rapide pouvait permettre d'obtenir des résultats pour un large ensemble de valeurs du

nombre de canaux 2M. Dans certains cas la stabilité de la représentation compacte permet même d'obtenir encore plus directement le résultat, en s'affranchissant de la méthode d'interpolation, et en se basant sur des expressions analytiques simples.

On a illustré ces méthodes avec de nombreux exemples qui correspondent à des systèmes de modulation multiporteuse de type BFDM/OQAM et OFDM/OQAM, qui sont aussi équivalents aux bancs de filtres des systèmes duaux utilisés en codage en sous-bandes.

ANNEXE1 1 Les critères d'optimisation Le choix du critère d'optimisation des filtres prototypes dépend en général du type d'application envisagé. Dans le cas d'un système de transmission dans un canal statique comme celui de l'ADSL (Asymmetric Digital Subscriber Line), un choix usuel est de minimiser l'énergie hors-bande. Pour les canaux de type radio-mobile le modèle de modélisation correspond à un filtre variant dans le temps, le canal est alors dispersif en temps et fréquence. Dans ce cas, où la dimension temporelle et fréquentielle sont également importantes, M. Alard j8j a montré que le critère de localisation temps-fréquence était primordial.

1.1 La localisation temps-fréquence Pour les signaux à temps continu, il est bien connu que la fonction gaus- sienne est la référence en matière de localisation temps-fréquence où elle atteint la borne fixée par le principe d'incertitude.

Toutefois, il a été montré récemment que pour mesurer la localisation des signaux à temps discret, il était préférable d'utiliser des définitions modifiées des moments temporels et fréquentiels d'ordre 2 [l2j.

Ainsi pour un signal discret x dont la norme est définie par les définitions proposées par Doroslovacki [12] pour un signal réel sont les suivantes : - centre de gravité temporel : - moment d'ordre 2 en fréquence : - moment d'ordre 2 en temps :

On peut alors dériver de ces grandeurs une mesure de localisation discrète que nous notons (mod pour la différencier de la mesure déduite dans les références 1131, [3] du cas continu [8] Pour tout signal discret x d'énergie finie, c'est-à-dire tel que x # l2 (Z), on a 0 # #mod(x) # 1. Le maximum de localisation, #mod(x) = l, est atteint pour une fonction #opt dont la transformée de Fourier s'exprime par Xopt(#)= CI cos ###K avec C # C E C et K >-2 La fonction a ; opt, peut donc être considérée comme une fonction homologue en discret de la fonction gaussienne continue. <BR> <BR> <P>Son expression en temps est telle que<BR> Xopt(0) #(K+1)<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> xopt(k+T(xopt))= (6)<BR> 2K #(K/2+1-k)#(K/2+1+k) où r (. ) est la fonction Gamma, avec = 0 si k < 0, & e Z ; Xopt (O) est une constante non nulle et T (xo pt) est le centre de gravité temporel déduit de (2). Pour obtenir une fonction causale dans l'intervalle [0, L-1], on peut poser K = L-1 et T (coût) = t2 Le critère de localisation présente la particularité d'être invariant par trans- lation en temps et fréquence. Cette propriété a des conséquences importantes, ce qui nous permet en particulier de dégager une classe de solutions optimales qui s'obtient directement à partir de la fonction xopt. Ce cas particulier impor- tant est traité dans l'annexe 5.

1.2 La minimisation de l'énergie hors-bande Le second critère que nous considérons est celui de la minimisation de la norme pondérée de l'erreur en fréquence. La fonction de pondération, notée W (w), est définie par Dans les résultats que nous présentons dans ce document, nous prenons tou- jours us = tjp =-n, mais la méthode proposée s'applique pour toute fonction de pondération positive. Pour un filtre prototype p, dont la transformée de Fourier est P (era'), la fonction objectif à minimiser s'écrit Par rapport au critère de localisation, qui pour un prototype de longueur finie se limite à quelques opérations élémentaires dans le domaine temporel,

le critère (8) est nettement plus coûteux en calcul. Pour éviter d'être pénalisé de manière excessive en temps de calcul, nous utilisons une méthode originale de calcul rapide, faisant appel à une seule FFT (Fast Fourier Transform) [14], qui nous garantit néanmoins une grande précision dans les calculs. De plus, dans l'annexe 7, nous présentons, pour toute fonction W d'une variable réelle à valeurs dans [0, 1], un algorithme qui accroît encore davantage la rapidité de calcul de la fonction objectif.

2 Les conditions de reconstruction parfaite Les conditions de reconstruction parfaite d'un système modulé, de type banc de filtres ou transmultiplexeur, peuvent généralement s'exprimer en fonc- tion des composantes polyphasés du filtre prototype, p ( ? T.) de transformée en z, P (z).

Par exemple pour un système BFDM, ou OFDM, à 2M sous-porteuses, P (z) peut s'écrire sous la forme où les Gltz) sont Jes composantes polyphases d'ordre 2AI, en fonction des- quelles il est possible d'écrire les conditions de reconstruction parfaite pour des systèmes orthogonaux ou biorthogonaux.

2.1 Biorthogonalité et représentation en échelle Soient d et s les entiers définis par D = 2sA4+ d, s > 0 et 0 < d < 2 1, on peut alors montrer que les conditions de biorthogonalité des systèmes BFDM/OQAM sont données par 113J

Ces conditions sont exactement les mêmes que celles qui ont également été obtenues pour des bancs de filtres biorthogonaux modulés en cosinus, dits DCT II et DCT IV, ou modulés en exponentielle selon la technique dite MDFT (Modified DFT) 151.

Les conditions à réaliser suivant la valeur de d peuvent être directement satisfaites si on les impose aux coefficients p (n) du filtre prototype. Pour un critère donné, on aboutit alors à un problème d'optimisation sous contraintes.

Il est également possible de profiter d'une structure de réalisation, dite en échelle, qui garantit par construction que le filtre prototype va satisfaire les conditions de biorthogonalité. Dans ce cas on se ramène, pour un critère donné, à un problème d'optimisation sans contraintes. C'est l'approche que nous avons développée.

La construction d'un schéma de réalisation en échelle repose sur une pro- cédure dite de"liftirig scheme", dont on peut trouver, par exemple, une des- cription dans la référence [15j.

A titre d'exemple, choissisons le paramère d tel que d = 2M-1. Ce qui pour un transmultiplexeur BFDM/OQAM va se traduire par un retard de reconstruction a = 2 (s+1) [13]. Si on suppose par ailleurs que le filtre prototype P a une longueur initiale telle que L = 2mM, avec m entier positif, l'équation de reconstruction (12) se reécrit avec s un entier compris entre 0 et m-1 duquel, ainsi que nous l'avons déjà dit, dépend le retard de reconstruction. On peut montrer que grâce au"lifting sche- me", il est possible d'obtenir un filtre prototype P', de composantes polyphases Gí de longueur supérieure 2 (m+1)M, mais tel que le délai de reconstruction ne soit pas modifié et que les conditions de biorthogonalité soient toujours vérifiées. La procédure fait intervenir deux matrices A, B et leurs inverses qui sont telles que où A (z) et B (z) sont des polynômes en z-'. Le passage du prototype P à. Pi se réalise alors si, d'une part, pour chaque paire de cornposantes polyphases

(Gl,GM+1) et, d'autre part, chaque paire de composante (Gd_l, Gd_M_l), on effectue les transformations définies par les schémas de la figure 1.

Si à la figure 1, on prend A (z) = a0z-1 et B (z) = bo, avec ao et bo des quan- tités réelles, on augmente alors la longueur de chaque composante polyphase de 1, sans modifier le délai.

De la même manière on peut conserver la propriété de biorthogonalité en produisant une augmentation du délai, en introduisant des matrices C et D telles que avec co et do des nombres réels. La longueur de P' (z) vaut alors 2 (m + l) M et le retard de reconstruction a'= 2 (s'+ 1) = 2 (s + 3) = a + 4. Les schémas en échelle correspondants sont représentés sur la figure 2.

Ces étapes peuvent être itérées pour obtenir, à partir d'un filtre prototype initial. un prototype final avec la longueur et le délai de reconstruction voulus.

Il est également possible d'écrire directement l'expression des composantes polyphasés en fonction des paramètres liés à cette représentation en échelle dite (AB, CD). Pour simplifier l'écriture nous allons utiliser celle proposée dans [18] avec la notation qui suit

À chaque quadruplet lorsque 1 varie entre 0 et M/2-1 correspondent alors 2m + l paramètres notés jazz k=1,...,2m+ 1 qui permettent d'obtenir les composantes polyphases par la construction suivante.

On introduit les entiers il et jl tels que si s est pair, on a s = 2jl et m. = il + il + 1 et si s est impair s = 2j] + 1 et m = il + j1+2. On pose al 1 0 1 a3 1 Fo 1 0 1 a2 1 0 (27) On a alors, pour s pair [Gl (Z) GA, +z (z)] = 21 jl 1 [1 1] il A (a'i+2) B (a,'i+3) JIC (a'il+2j+2) D (a,'il+2j+3), (28) et et et [G J'M, =/" ) 27+ 2z-+2) i (l 11-g O2i. +3A l 12i-I-2 F'o 1 I 1 J 29) i=ii,-1 L Pour s impair, après avoir défini Fo, on pose G'o = FoC' () B (), (30) de sorte que -iG = . B-) C") . (31) et l'on a [GI (Z), CAfQl (z)] = 1 il j --- [11] Go 11 - (0-5) 11 C' (4,, , ) D (Q. ), (32) ï=i j=1 et et f Ganr--l -1 -p 2 i (t i/t L Gn. r-i-t 4M 11 D a2ii-E-2j+5C'^ 1a2i1-I-2j-I-4 9=7i,-1 1 r 1 x n B- (a) (a) G1. (33) i=il, 1 Dans l'ensemble des articles dont nous avons connaissance les auteurs sup- posent, ou affirment que cette structure est complète, c'est-à-dire qu'elle couvre l'ensemble des solutions biorthogonales de type RIF. Si on se limite strictement aux matrices que nous venons de présenter, ceci n'est pas tout à fait exact car, ainsi que nous le montrons à la référence [181, il existe des cas défectifs, qui néanmoins peuvent être contournés sans dégrader significa- tivement la qualité des résultats. Nous prendrons donc la paramétrisation en échelle comme base de référence.

2. 2 Orthogonalité et représentation en treillis Dans le cas où on impose au prototype d'être orthogonal, ce qui l'oblige alors à être également symétrique, lorsque l'on suppose que le prototype du banc d'analyse est identique à celui de synthèse, les conditions précédentes se simplifient. Les conditions d'orthogonalité se réduisent alors à l'équation qui suit Gi ( Gl (z) + Gl+M(z) #M+(z)=## 0#l#M-1 (34) avec. qui est l'opération de paraconjuguaison, i. e. #l(z)=Gl*(z-1).

Cette condition de reconstruction, dans le cas orthogonal, qui est celle des systèmes OFDM/OQAM à 2A1 sous-porteuses [3] est aussi celle des bancs modulés en cosinus à M sous-bandes [7].

Comme dans le cas biorthogonal, il existe aussi en orthogonal une représen- tation qui, par construction, garantit que la relation (34) est toujours vérifiée.

De plus cette représentation, dite treillis, est complète 17]. Si, pour simplifier l'écriture, nous prenons à nouveau une longueur L = 277iAl, les composantes polyphases vérifient alors pour 0 < 1 < A2 {-1, les relations qui suivent Pour construire la représentation treillis nous définissons les matrices Pour chaque 1 = 0,..., M/2-1, il existe alors tn angles 0-1 tels que les composantes 2M-polyphases Gl(z),GM+1(z),GM-1-l(z) et G2M-1-l(z) s'obtiennent par les relations matricielles : La représentation treillis permet donc également de réduire la dimension de l'espace des paramètres, tout en assurant les propriétés d'orthogonalité et de complétude, nous la prendrons donc comme référence dans le cas orthogonal.

ANNEXE 2 Le contexte d'application BFDM/OQAM Il existe donc plusieurs systèmes basés sur les bancs de filtres modulés et dont la propriété de reconstruction parfaite peut se ramener à des conditions données suivant le cas par l'une ou l'autre des relations (10) à (13), dans le cas biorthogonal, ou encore à la relation (34), dans le cas orthogonal.

A titre d'illustration, nous allons résumer brièvement la manière d'abou- tir aux équations (10) à (13) dans le cas de la modulation multiporteuse BFDM/OQAM. Pour plus de détails sur les calculs on pourra se référer à 12, 11, 16].

1 Description du cas continu Si 2no et vo désignent respectivement la durée d'un temps symbole com- plexe et l'écart entre porteuses, on sait que l'enveloppe complexe d'un signal BFDM/OQAM peut s'écrire sous la forme [161 où #m,n est un terme de phase tel que cp.", 2n+1-#m,2n # #/2 modulo #.

L'efficacité spectrale maximale est alors obtenue pour #0#0 = 1/2. A la démo- dulation les conditions de biorthogonalité réelle sont réalisées si l'on démodule sur une base {#m,n} telle que {γm,n,#m,n} constitue une paire de bases biortho- gonales.

2 Description du cas discret Si on prend un nombre de porteuses K = 2M, la version discrète des équations (43) et (44) se traduit par les relations où p (n) est le prototype causal de longueur L et D est le paramètre entier défini au paragraphe 2.1. A la réception pour retrouver les symboles transmis

on doit projeter le signal BFDM/OQAM modulé sur une base #m,n qui doit être biorthogonale à la base de fonctions m, n, on réalise donc l'opération qui suit où * désigne le complexe conjugué. On peut montrer que #m,n[k] s'écrit 3 Formulation sous forme de transmultiplexeur Les équations de modulation et de démodulation peuvent également se mettre sous forme de bancs de filtres. Ainsi nous avons montré 111], [2] qu'en posant le système de modulation BFDM correspond à un banc de synthèse. De même, à la, réception, si on pose D = aM-b, avec a et b des entiers positifs, on peut définir un ensemble de 2M filtres (0 < 7n < 2M-1), qui correspondent au banc d'analyse que l'on peut utiliser pour la démodulation Dans ce qui suit on se limitera au cas où p = p. Dans ces conditions si nous exprimons les filtres d'analyse et de synthèse en fonction des composantes polyphases G (z) du prototype, nous pouvons, ensuite déterminer les conditions de reconstruction parfaite sous la forme donnée par les équations (10) à (13) [11, 2] Le cas de l'OFDM/OQAM peut se déduire avec le même principe de calcul, ou encore comme un cas particulier du cas biorthogonal.

ANNEXE 3 Codes pour l'OFDM/OQAM Compte tenu du fait qu'à. l'optimum Oi est borné entre 0 et 7r, il est possible de ne considérer que les cosinus de ces paramètres angulaires. Les nouveaux pa- ramètres varient donc dans l'intervalle [0, 1]. Comme certains des programmes d'optimisation ne considèrent que des variables non bornées, nous nous rame- nons à des paramètres réels x auquels correspondent les cosinus d'angles par l'application # définie par <BR> <BR> <BR> #(x) = (53)<BR> #1+x2 Remarquons que si pour 0 dans [0, 7r].

On considère l'application 4 de {0,..., M/2-1} à valeurs dans l'intervalle t. 5l définie par' 49M (l)=###. (56) Les coefficients angulaires dans la base B sont alors donnés par Pour l'instant nous avons utilisé 3 codes. Il est bien entendu possible d'en rajouter de nouveaux.

1. Cette application n'est bien entendu pas le seul choix possible. En particulier on a pu constaté avec un code, le 12, modification du code 2 où #M(l)=####, que l'on retrouvait des résultats identiques à ceux obtenus avec le code 2.

Dans ce cas cos#il=#(xi+1l),l=0,...,M/2-1,i=0,...,m-1.

Code n° 1.- Pour K # 0, 1ZK est le sous-espace des polynômes de degré inférieur ou égal à. K-1. On obtient alors Code n° 2.-Pour K > 0, RK est encore le sous-espace des polynômes de degré inférieur ou égal à K-1, mais la base choisie est celle des polynômes de Chebyshev. On obtient alors ANNEXE 4 Codes pour le BFDM/OQAM

Code n° 0.-Le code trivial. Il correspond à K = A2 et les coefficients xjl, l = 0,...,M/2-1, j = 0,..., 2 ? ? T. sont les coefficients 1+1, 1 =-i, j == 0,..., 2m Code n° 1.- L'espace RK est constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à R1 représenté par leurs coefficients. On obtient Code n° 2.-L'espace 7Zx est toujours constitué des polynômes de de- gré inférieur ou égal à K-1 mais les polynômes sont représentés par leur développement de Chebyshev. On obtient alors où les Tk sont, les polynômes de Chebyshev.

Code n° 3.- L'espace RK est le sous-espace des polynômes p de degré inférieur ou égal à 2K-1 vérifiant p (x+1/2)+p(x-1/2) = 2p (2), c'est-à-dire dont le graphe est symétrique par rapport au point (2, p (1/2)). On obtient alors Code n° 4.- L'espace RK est le même que pour le code 3 mais on choisit une représentation de Chebyshev. On obtient alors

ANNEXE 5 Le théorème suivant montre que l'on peut obtenir un filtre BFDM de locali- sation de Doroslovacki aussi proche que l'on veut de 1, quelles que soient les valeurs des paramètres M, m et s.

Théorème 1.- Soit M pair, m. > 1 entier, s entier dans l'intervalle et e > 0, il existe un filtre prototype BFDM P (z) de parametres M, m et s vérifiant #mod(P) > 1-#.

Démonstration.-Soit H (z) un filtre quelconque de longueur M défini par avec hi + 0, i = 0,..., M-1.

On considère le filtre P (z) défini par Il est facile de voir que les composantes 2M-polyphases de P (z) sont données par Les conditions de biorthogonalité (14) s'écrivent alors hlK2M-1-l(z)+hM-1-lKM+l(z)=1/2M,l=0,...,M/2-1. (68) On peut alors choisir, pour tout 1 de 0.. M/2-1, K2M-1(z) de façon arbitraire, puis déterminer KM+l(z) tel que puisque n'est pas nul.

Pour tout or > 0, le filtre vérifie alors également les relations de biorthogonalité. Grâce à l'homogénéité de la fonction on a.

#mod(Pα)=#mod(1/αPα), (71)

Lorsque a tend vers 0, le filtre (P,) tend vers le filtre H (z) et par continuité de la fonction le second membre de (71) tend vers #mod(H). H suffit alors de choisir pour H (z) le filtre de longueur AI qui vérifie 1 et α suffisamment petit pour que (mod @od(Pα) > 1-E. n Autrement dit il suffit de se reporter au paragraphe 1. 1 et de choisir pour H (z) des coefficients donnés par l'expression (6). Les autres coefficients du prototype se déduisent alors directement grâce à l'expression (70).

II est aussi évidemment possible d'itérer cette construction pour obtenir un support plus petit de la partie significative du filtre. On peut aussi faire en sorte que cette partie significative (H (z)) soit portée par d'autres composantes polyphases adjacentes.

ANNEXE 6 Un premier paragraphe donne une étude détaillée du cas OFDM pour m=1 lorsque la fonction coût est la localisation ou bien l'énergie hors-bande.

Ensuite l'existence d'une limite est étudiée expérimentalement dans le cas OFDM et BFDM pour m > 2.

1 Comportement asymtotique lorsque M- oo dans le cas OFDM pour m = 1 1. 1 Lemmes techniques Pour exploiter pleinement le comportement à la limite des filtres prototypes de longueur 2M lorsque M devient grand (cf. section 1.2), nous utilisons les 2 lemmes qui suivent.

Lemme 1.-Soit p (f,) un polynôme de degré 2k + 1, k > 0 vérifiant la, propriété de symétrie : p (t) + p(1-t)=1, (72) et tel que p (0) = 1 (et donc p (l) = 0). Alors il existe des constantes ai, i = 1,...,k telles que : <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> p(t)=1-t+(2t-1)#aiti(1-t)i.<BR> <BR> t=i Démonstration.- Cf. [18J.

Lemme 2.-Soit # (t) une fonction continue sur [0,1/2] et 2n + 1 fois conti- nuement dérivable sur [0,1/2] avec 1 < n < oo et vérifiant #(0)=#/2, #(1/2)=#/4. (74) Soit h (t) la fonction définie sur [0, 1] par Pour k vérifiant 1 # k # n, h(t) est 2k + 1 dérivable à gauche en t = 1 si et seulement si <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> 0 (si)(1/2)=0,i=1,...,k. (76)<BR> <BR> (#)-@, Démonstration.- Cf. [18].

Corollaire. -Avec un hypothèse supplémentaire, l'analycité de 0 (t) dans un disque du plan complexe centré en t = 2 de rayon supérieur à zu et en supposant également que le degré de 0 (t) est de 2k+1, on obtient l'expression où les ai, i = 1,..., k sont des coefficients.

1.2 Propriétés de convergence Pour une représentation compacte donnée, et quelle que soit la valeur fixée de m, le nombre de coefficients de cette représentation est constant et égal à m, K où K est le degré du code. Dans le cas particulier où in = 1, on constate que les coefficients de la représentation compacte des filtres OFDM optimaux de longueur 2M, pour une fonction coût donnée, convergent vers une limite. On peut donc considérer que cette limite est presque atteinte avec les coefficients d'un filtre optimal de longueur 2M avec M assez grand et considérer les filtres de paramètre M'différent de All et de longueur 2M' avec les mêmes coefficients.

Il est intéressant de comparer la valeur de la fonction coût sur ce résultat à la valeur optimale pour la longueur 2M'. L'ordonnée des courbes de la figure 13 représente le logarithme en base 10 de la valeur absolue de l'erreur relative commise pour la localisation en remplaçant le filtre optimal, pour une valeur de M'donnée en abscisse, par le filtre obtenu par le procédé décrit ci-dessus.

L'opposé de cette ordonnée représente donc, en continu, le nombre de décimales exactes dans l'obtention du coût optimal.

On considère les cinq valeurs M = 128, 256, 1024, 4096 = 212 et 32768 = 215 Les courbes de la figure 13 montrent -qu'il existe bien une limite lorsque M'---> oo puisque les courbes ont une asymptote horizontale, - que les 8 paramètres de la représentation compacte (code 2, degré 8) du filtre optimal pour M = 1024, L = 2048 permettent d'obtenir des filtres de paramètres M', L' = 2M', M'pair, avec la localisation optimale à l0-6 d'erreur relative près si Af'> 27.

La figure 14 reprend des calculs similaires pour la fonction coût énergie hors-bande et permet de tirer des conclusions identiques. Cette propriété peut ensuite être mise à profit pour calculer, comme en section 1. 1, des expressions analytiques pour les coefficients transverses.

1.3 Régularité du filtre limite et formules analytiques simples L'analyse des propriétés des coefficients de la réponse impulsionnelle à l'op- timum révèle des comportements proches de ceux décrits par ces modèles ma- thématiques, ce qui nous permet de déduire ensuite des formule simples des

coefficients transverses qui fournissent, des résultats quasi-optimaux pour de grandes valeurs paires de M.

Nous présentons ici le cas où L = 2M, mais on peut préciser que la méthode se généralise pour de valeurs de m supérieures à 1 [181.

Un filtre prototype OFDM P (z) de paramètres AI pair et de longueur 2M dont les coefficients tranversaux sont hi, i = 0,..., 2M-1, possède une représentation treillis (triviale) avec M/2 angles fJl, l = 0,..., M/2-1 avec, pour l=0,...,M/2-1, hl=h2M-1-l = sin #l, hM-1-l = hA4, = cos#l. (78) Comme les 01 sont les valeurs d'une fonction sur l'intervalle [0, 0. 5] définie en les points ###,l=0,...,M/2-1, alors par composition avec les fonctions sinus et cosinus, et avec des fonctions de translation et de symétrie de l'intervalle [0, 0. 5], les coefficients hl, l = 0,..., 2M-1 peuvent être représentés comme les valeurs d'une fonction définie sur l'intervalle [-1, + Il- Cas du critère de localisation Da, ns le cas du critère de localisation nous obtenons le résultat représenté à la figure 15 dans le cas AI = 32 et M = 1024. Les coefficients du filtre de longueur 64 (M = 32) sont représentés par des points tandis que le tracé est continu pour le filtre de longueur 2048. Les coefficients des filtres sont normalisés de façon à ce que l'énergie totale soit égale à M. On constate que la courbe limite est très régulière.

La fonction 0 (t), t G [0, 0. 5] dépend des 8 paramètres xo, xl,..., x8 de la, représentation compacte pour le code 2, degré 8 par la formule où les Tk sont les polynômes de Chebyshev. Ceci peut encore s'écrire #(t) = arccot (x(t)). (80) Avec les coefficients *k du meilleur filtre optimal pour M = 215, on obtient 0 (0) = 1.570796330362582, ##(0)-#/2# < 3. 57 x 10-9, (81) fl (2) = 0. 7853981805419978, 10 (1/2)-#/4# < 1.72 x 10-8. (82) et l'on constate que la fonction fl (t) est très proche d'une fonction symétrique par rapport au point [1/2,#/4]. Ces observations sont en bonne cohérence avec la régularité de la courbe limite port, ant les coefficients tranversaux du filtre d'après les résultats des lemmes 1 et 2.

On recherche donc une expression plus simple de 0 (t) de la forme (77).

La fonction (9$ (t) définie par<BR> (1-t)<BR> <BR> <BR> #*(t)=(#+t+2t2-12t3+8t4) (83)<BR> 2 correspond, dans l'expression (77), au choix k=2 et aux valeurs a1=-1/#=-0.3183098861, a2=-4/#=-1.273239544. (84) Avec k = 2, on cherche alors des valeurs optimales des paramètres a1 et az de manière à minimiser la distance relative entre la localisation d'un filtre <BR> <BR> calculé avec la fonction fl (t) et le filtre de localisation optimale pour des valeurs de M supérieures à un Mo fixé. L'optimisation est conduite avec Cfsqp en utilisant une fonction coût de type minimax.

Avec Afo = 1024 et en minimisant l'erreur relative sur la localisation pour 27 valeurs de M dont le logarithme à base 2 est équiréparti entre 10 et 15, on trouve les valeurs ao =-0.306324700486135, al =-1.38222431220756, (85) et on désigne par 02 (t) la fonction correspondante.

Avec h= 3, et des conditions de calcul identiques, on trouve a0 = -0.33690242860365, a1 = -0.83833411092749, a2 = -1.99179628625716, (86) et on désigne par #3(t) la fonction correspondante.

Enfin, avec k = 4, on trouve les valeurs ao =-0. 33144646457108, a, =-1. 01784717458737, a2 =-0. 43066697997064, ae = -3.91628703543313, (87) et la fonction correspondante est appelée #4 (t).

La figure 16 représente les erreurs relatives commises lorsque l'on utilise ces fonctions pour calculer les filtres optimaux pour la localisation. On désigne par C* la courbe relative à 0* (t), par Cl la courbe relative à fll (t), etc.

On peut aussi vérifier que pour un filtre PM @(z)=#i=02M-1 hiz-i, prototype OFDM/OQAM de paramétre M et de longueur L = 2M, nous avons la pro- priété suivante oo (PM) > 0. 90560. (88) Cas du critère d'énergie Lorsque la fonction coût est l'énergie hors-bande, on obtient les résultats suivants. La, figure 17 est l'analogue de la figure 15. On remarque que la fonction limite n'est ; pas dérivable à l'origine mais qu'elle est régulière en t = 2.

La fonction 0 (t) déduite de la représentation compacte du meilleur filtre OFDM de longueur 2M pour AI = 2l5 est bien symétrique par rapport au point (1/2,#/4), mais #(0)##/2 et donc #(1)# 0.

Par un ajustement par les moindres carrés, on trouve une fonction Be (t) de la forme : bo =-1. 578661958412621, bi = 0. 7990463095216372. (90) Cependant, comme le montre la figure 18, les résultats ne sont pas aussi bons que pour la localisation. Avec davantage de coefficients, on n'obtient pas mieux car l'erreur commise est constante et liée au défaut de symétrie de la courbe 0 (t) limite. L'introduction d'un nouveau code peut être une façon d'améliorer ce résultat.

2 Le cas m > 2 Les résultats obtenus pour m = 1 qui montrent, pour les critères de loca- lisation et d'énergie, que les filtres optimaux ont une représentation compacte qui devient quasi-indépendante de M pour les fortes valeurs de ce paramètre, ne se généralisent pas pour m > 2. Il apparaît que la, principale distinction à faire concerne alors les critères d'optimisation plutôt que le type, OFDM ou BFDM, du prototype.

2.1 Critère de l'énergie hors-bande Pour l'énergie hors-bande et m > 2, il est possible d'obtenir directement, sans passer par un procédé d'interpolation, un filtre prototype quasi-optimal pour de grandes valeurs de M. Ainsi on constate sur la figure 19 que les co- efficients du filtre optimal pour M = 128 (ou pour M = 1024) permettent de construire un filtre prototype pour All < 215 dont le coût est très proche du coût optimal.

Dans le cas du BFDM les figures 20 et 21 montrent que, sans être aussi probants pour l'instant, les résultats obtenus permettent de garantir, suivant la valeur de M initiale, la. précision de la, 3ème ou 4ème décimale si m, = 2 et de la 2ème ou 3ème décimale si m = 3.

2.2 Critère de localisation Dans le cas OFDM, on a pu constater [18] que pour la localisation et 7-n, = 2 ou m = 3, les coefficients de la représentation compacte (code 12, degré 8) du

filtre optimal pour une valeur fixée lolo de AI fournissent des prototypes de paramètre supérieur M dont le coût s'éloigne du coût optimal On en déduit que l'on ne peut pas identifier le filtre prototype optimal pour une grande valeur de M avec un filtre"limite".

Les coefficients de la représentation compacte des filtres optimaux montrent donc une variation en fonction de M, pour M grand. L'examen de ces coeffi- cients dans le cas m = 2 conduit donc à chercher des représentations dépen- dantes de AI [18].

L'examen des coefficients obtenus dans le cas OFDM pour m = 2 conduit à chercher une représentation compacte dépendant, de la valeur de M. Plus précisément, les paramètres angulaires 00. et 81 sont cherchés sous la forme So (t) = #00(t)-Mγ#11(t), #1(t)=#/2+Mγ#11(t), où γ est un réel négatif et où Une optimisation avec CFSQP de l'erreur commise sur la localisation par comparaison avec l'ensemble des localisations optimales obtenues pour diffé- rentes valeurs de M donne, par exemple pour k = 2, le jeu de coefficients optimaux qui suit <BR> <BR> <BR> <BR> =-0. 289654695596932<BR> <BR> <BR> <BR> ao--0.300851581378120<BR> <BR> <BR> <BR> al--0. 723945110106017<BR> <BR> <BR> <BR> Ce2 =-1. 79709674616421<BR> <BR> <BR> <BR> eo = 0. 713206997358436<BR> <BR> <BR> <BR> i =-2. 02470362855665<BR> <BR> <BR> <BR> ß2 = 2. 25362085753772 Suivant la valeur de M, nous obtenons avec ce jeu de coefficients une pré- cision qui garantit au moins l'exactitude de la deuxième décimale et qui peut même atteindre la 5ième décimale.

Pour traiter le cas des filtres prototypes BFDM, on se heurte actuellement au problème de dégénerescence. L'introduction d'un facteur de gain permettant de ne retenir que les seules solutions non dégénérées devrait permettre de régler ce problème. Dans l'état actuel il est donc préférable dans ce cas d'appliquer simplement la technique de réduction de paramètres et, si nécessaire, celle d'interpolation rapide.

ANNEXE 7 1 Définitions et premières propriétés 1.1 Définitions Pour un entier m > 1, on désigne par Em l'ensemble des fonctions) a sur l'intervalle réel ] - m, + mu telles que sur chaque sous-intervalle de]-m, + 771 [ de la forme ]j/2,###[, j = -2m, - 2m+1,...,2m-1 la restriction de h est deux fois continuement dérivable et h et ses dérivées admettent des limites aux bornes du sous-intervalle. Dans toute la suite de ce chapître, nous dirons qu'une fonction de Em est une fonction prototype de paramètre m.

Exemple. -Pour m = 1, El est l'ensemble des fonctions h continues sur [-1, + 1] deux fois continuement dérivables, sauf éventuellement en -1/2,0,1/2 et h, h', !" ont des limites à gauche et à droite en 0, 2, à droite en-1, à gauche en 1.

Une fonction prototype sera dite continue si elle est continue en les points 2, j =-2m + 1,..., 21n-1 et si h (-m,) = 0 et h (in) = 0.

Définition.- Soit h dans Em et M un entier pair > 2. On désigne par PM(z) le filtre de longueur 2mM dont les coefficients transversaux pM,i sont donnés par et l'on dira que PNr (z) est engendré par h.

Les points en lesquels sont ainsi calculées les valeurs de la fonction h ne sont jamais des demi-entiers et forment une subdivision régulière de l'intervalle ]-m,+m[.

Si la fonction h est paire (resp. impaire), les filtres PM(z) sont symétriques (resp. antisymétriques).

Pour un filtre PM(z) quelconque, on désigne par (PM) son paramètre de localisation au sens de Doroslovacki et par Jl4z (PA-f) son énergie hors-bande.

1.2 Limite à l'infini pour l'énergie Nous supposons, sans perte de généralité pour les problèmes usuels, que la fonction admet une transformée de Fourier inverse et que Lds < Posons également que Wm(#)=W(M#). Alors, lorsque M tend vers l'infini, on peut exprimer l'énergie hors-bande de la fonction prototype à l'aide du théorème qui suit, où, de manière habituelle, les lettres en majuscules corres- pondent aux transformées de Fourier de celles en minuscules, par exemple t désigne la transformée de Fourier inverse de M.

Théorème 2--On a Démonstration.-[18].

2 Fonctions prototypes OFDM Définition.-Soit h une fonction prototype de Erz On dit que h est de classe OFDM si, pour tout M, le filtre PA,,, (z) est un filtre prototype symétrique OFDM.

Le théorème suivant montre comment la représentation en treillis des filtres prototypes OFDM donne une caractérisation de la structure des fonctions pro- totype OFDM de Em à l'aide de m fonctions angulaires.

Théorème 3.-Soit h E Em de classe OFDM. Il existe m fonctions #i(t) définies sur l'intervalle ]0,1/2[, deux fois continuement dérivables et admettant des limites en 0 et 2 et vérifiant la propriété suivante. Pour tout t, 0 < t < or. définit les points xi(t) = -m+i+t,i = 0,..., 2m-1 de l'intervalle]-m,+m[ et les fonctions g0(t) et g2 (t) par où X est une variable. Alors, on a l'égalité matricielle où # et O (0) désignent les matrices et a une constante indépendante de t.

Démonstration.-La démonstration est triviale puisque les angles #i (t) définis par l'égalité (97) dépendent continuement de valeurs variant continue- ment de la fonction h.

3 Optimisation de l'énergie 3.1 Autres subdivisions Pour définir le filtre PS, à partir de la fonction prototype h, nous avons uti- lisé dans (94) les points d'abcisse ######## qui son r(C1-6)gulièrement espacés dans

l'intervalle !-m, + m) et ne sont jamais des demi-entiers. D'autre choix sont possibles. Par exemple, dans les toutes les sections précédentes, nous avons fait #M définie en (56) des points ##########. Les théo-<BR> le choix avec la fonction #M définie en (56) des points ####### rèmes du paragraphe précédent sont également vérifiés pour cette subdivision.

Une autre subdivision est considérée dans la suite. Celle-ci correspond aux abscisses dans les intervalles demi-entiers qui correspondent à la méthode d'in- tégra, tion de Ga, uss-Legendre. Pour cette subdivision, les théorèmes ne sont plus vérifiés. Cependant la construction du filtre Piq correspondant est très utile pour calculer les valeurs de JW(h).

3.2 Calcul de l'énergie On suppose dans cette section que la fonction h est calculée à partir de la donnée de m fonctions #i(t), i = 0,..., m-1 comme décrit dans le théorème 3.

Sous cette forme, #h#22= 1 et donc rm m Jw (h) = j | h (u) 1l (t) u (t-u) dudt. (99) -nt-m Pour calculer numériquement l'intégrale (99), on découpe le carré d'inté- gration en carrés de côté 2 dont les côtés ont des extrémités demi-entières. Sur chacun de ces petits carrés (il y en a dm2), on calcule l'intégrale par le schéma d'intégration de Gauss-Legendre d'ordre n, avec n fixé sur chacune des deux directions u et t.

Rappelons que le schéma de Gauss-Legendre d'ordre n permet d'évaluer l'intégrale d'une fonction f sur l'intervalle [-1, + 1] par la formule : où les xk,k = 1,..., n sont les n racines du polynôme de Legendre de degré n, noté Pn (x,), et pk, k=1,...,n des poids calculés par la formule Avec un tel choix des abscisses et des poids, l'évaluation de l'intégrale de) est exacte si f est un polynôme de degré inférieur ou égal à 2n-1.

Après avoir légèrement transformé la. formule (100) pour l'adapter à un intervalle de longueur zu l'intégrale se met sous la forme

où PLI (ui) et Pje (u) sont des poids de Gauss-Legendre dépendant de la place de ui et de uj dans la subdivision de l'un des intervalles de longueur 1/2. Les ai,j sont les coefficients d'une matrice symétique A d'ordre 2mn qui ne dépend pas de h mais seulement de n et de la fonction poids W(α). On évalue donc une fois pour toute la valeur de ses coefficients avant d'optimiser la fonction coût.

Le vecteur V = (h (u0),h(u1),...,h(u2mn-1) de longueur 277-tn est évalué pour des valeurs données des paramètres du problème d'optimisation et la fonction Jw (h) est donnée par JW(h) # VT AV. (104) Remarque. -Lorsque les paramètres d'un code de représentation com- pacte sont utilisés pour calculer un filtre PM(z), le nombre d'évaluations de la fonction h est de mM (puisque l'on complète les coefficients du filtre Pa+ (z) par symétrie), puis l'énergie est calculée avec deux DFT réelles de longueur > 4maul, plus des opérations arithmétiques (Appendice A). Pour le calcul à la limite avec une fonction h dépendant d'un code de signification analogue, le nombre d'évaluations de h est seulement 2mn, et le calcul de la forme quadra- tique (104) s'effectue avec O (m2n2) opérations arithmétiques Dans la pratique, on choisit n = 6 ou n = 10.

Dans ce calcul à la limite, on assure l'orthogonalité, ou la biorthogonalité, en se ramenant à des représentations en treillis, ou en échelle, qui peuvent s'écrire sous forme d'une fonction a (t) dont l'expression reprend celle déjà vue pour les codes de représentation compacte.

Code 1 : le paramètre a (t) est obtenu par la formule où d est le degré considéré pour ce code et ; aT, 2. = 0,..., d-1 les d coefficients correspondants, Code 2 : le paramètre a (t) est obtenu par la formule où les T, : sont) es polynômes de Chebyshev, Code 3 : le paramètre a (t) est obtenu par la formule

3. 3 Premiers résultats dans le cas OFDM Nous avons optimisé avec CFSQP les coefficients d'une fonction prototype pour la fonction de coût énergie. Le programme CFSQP se révèle extrêmement sensible aux bornes données pour les coefficients, aux degrés des codes et aux valeurs initiales.

Les meilleurs résultats obtenus le sont avec le code 1 pour tous les coeffi- cients et sont donnés dans la table 9 avec la liste des degrés. Cette table fournit la valeur de Eoo qui désigne l'énergie hors-bande optimale pour la fonction pro- totype.

3.4 Premiers résultats dans le cas BFDM Une optimisation avec CFSQP a aussi été utilisée pour optimiser l'énergie hors-bande des fonctions prototypes de type BFDM.

La table 10 donne les meilleurs résultats obtenus pour m = 1,..., 4, s = 0,..., m-1. Les prototypes limites sont alors utilisés pour construire des filtres de paramètre M = 128 et les résultats sont comparés avec le meilleur résultat obtenu pour le code 2 de degré 5(E128old). E# désigne l'énergie hors-bande optimale pour la fonction prototype, Eus l'énergie hors-bande du filtre de longueur 2 x 120M que l'on en déduit, et Elld l'optimum trouvé par une optimisation directe sur la représentation compacte du filtre.

ANNEXE 8 Tableaux

L = 2M L = 4M L = 6M L = 8M M = 4 Nf 480 2445 1290 4566 T 0.01 0.08 0.06 0.29 (mod 0.95604756 0.98134765 0. 98512417 0.98516308 Ad =8 Nf 421 2549 3193 7613 T 0.01 0.14 0.26 0.83 (mod 0.93097304 0. 97416613 0.98110911 0. 98135807 M = 16 Nf 409 571 1G58 3212 T 0.03 0.06 0.25 0. 62 #mod 0.91807895 0. 96978054 0. 97976118 0.98030807 M = 32 Nf 630 625 1105 2486 T 0.06 0.11 0.29 0.9 (mod 0.91176140 0. 9G554457 0. 97929344 0.98000702 M =64 Nf 300 972 1515 33G9 T 0. 05 0.32 0.76 2.33 0. 90866781 0. 96070293 0. 97909043 0.97988190 M = 128 Nf 590 898 1845 4373 T 0.18 0.57 1.79 5.99 . d 0. 90714177 0. 95525650 0.97892141 0. 97978463 Ai 256 nif 322 640 3474 5652 T 0.2 0.8 6. 72 15.4 0. 90638451 0.94947153 0. 97867580 0. 97968326 M = 512 Nf 416 985 3701 4243 T 0.47 2.43 14.38 26. 31 0. 90600740 0. 94366501 0.97825119 0. 97818195 M = 1024 Nf 278 1051 4096 5740 T 0. 64 5.39 40. 29 86. 28 #mod 0.90581923 0.93810774 0.97752077 0.97947747 TAB. 1 - Meilleure localisation #mod obtenue pour le code 2, degré 5, par le programme cfsqp_kofdm.

L=2M L=4M L=6M L=8M M=4 nif 45 119 405 895 T 0 0. 01 0. 01 0.03 d 0.95604756 0.98134765 0. 98512417 0.98516308 M = 8 Nf 262 418 1342 2114 T 0 0.02 0.06 0.11 0. 93097304 0.97416613 0.98110911 0. 98135807 M = 16 Nf 415 1186 3747 6872 T 0.02 0.06 0.27 0. 76 (mod 0. 91808152 0. 96978110 0. 97982131 0.98030906 All = 32 Nf 1168 4249 10594 30570 T 0. 06 0. 45 1.85 7. 73 (mod 0. 91177048 0. 96554672 0.97935831 0.98000940 M = 64 Nf 3777 9509 26087 59254 T 0. 4 2.41 11. 14 55.45 d 0.90868212 0. 96070686 0.97913373 0.97988565 M = 128 Nf 11509 34523 91891 253010 T 2.82 31.21 176. 1 943. 35 #mod 0.90715924 0. 95526221 0. 97894676 0.97978944 M = 256 Nf 33964 123705 330580 528428 T 30.78 467. 01 2929.41 > 3 h. #mod 0.90640369 0. 94947898 0.97868978 0. 97968606 TAB. 2 - Meilleure localisation #mod obtenue pour le code 0 par le programme cfsqp_kofdm.

L=2M L=4M L=6M L=8M M = 48 #MOD 0. 90970558 0. 96279769 0. 97908736 0.97984632 # -0. 109 x 10-7 -0. 872 x 10-6-0. 948 x 10-4-0. 847 x 10-4 #MOD 0.90766516 0. 95758099 0.97898587 0. 97982508 E 0 -0.522 # 10-7 -0.143 # 10-4 -0. 454 # 10-5 Al = 192 #MOD 0. 90665509 0. 95189868 0. 97873054 0.97945047 0-0. 102 x 10-5-0. 659 x 10-4-0. 287 x 10-3 #MOD 0. 90615277 0. 94606686 0.97845660 0.97951285 E 0-0.147 x 10-6 -0. 14 x 10-5 -0. 12 x 10-3 M = 768 #MOD 0.90590231 0. 94037685 0.97761748 0. 97520089 # 0-0. 333 x 10-5 -0. 259 x 10-3 -0.44@ x 10-2 Af = 1536 #MOD 0. 90577725 0. 935063010. 97686969 0. 97680666 # 0 -0.663 x 10-6 -0. 256 x 10-4 -0. 268 x 10-2 M = 3072 #MOD 0. 90571477 0.93024393 0.97509817 0.79610305 0-0. 157 x 10-4 -0. 309 x 10-3 -0.187 x 10° TAB. 3-Vérification avec cfsqp des performances de l'interpolation rapide pour la localisation #MOD. L = 2M L = 4M L = 6M L = 8M M = 48 J 1.8968990 # 10-2 2.0369473 # 10-3 3.1732626 # 10-4 8.6231606 # 10-5 e 0.158 x 10-6 0. 358 # 10-5 0.207 # 10-4 0. 72 # 10-4 M = 96 J 1. 8979757 x 10-2 2. 0372893 x 10-3 3.1802581 x 10-4 8. 6314095 x 10-5 e 0. 526 x 10-7 0.147 x 10-6 0. 66 x 10-6 0.217 x 10-5 AI = 192 J 1. 8982450 x 10-2 2.0373785 x 10-3 3. 1820437 x 10-4 8.6337971 x 10-5 e 0. 526 # 10-7 0. 112 # 10-5 0.641 # 10-5 0.224 x 10-4 AI= 384 J 1.8983123 x 10-2 2.0373982 x 10-3 3. 1824668 x 10-4 8. 6341719 x 10-5 e 0. 526 x 10-7 0.981 # 10-7 0.502 x 10-6 0.174 x 10-5 M = 768 J 1. 8983292 x 10-. 2.0374055 x 10-3 3.1825934 x 10-4 8.6344623 # 10-5 0.526 # 10-7 0. 981 # 10-6 0.556 # 10-5 0.193 # 10-4 M = 1536 J 1.8983333 x 10-2 2. 0374051 x 10-3 3. 1826051 x 10-4 8.6343466 x 10-5 # 0 0.147 # 10-6 0.565 # 10-6 0. 195 # 10-5 M = 3072 J 1.8983345 # 10-2 2. 0374077 x 10-3 3. 1826322 x 10-4 8. 6345459 x 10-5 0. 105 x 10-6 0. 122 x 10-5 0. 691 x 10-5 0.24 x 10-4 TAB. 4 - Vérification, avec le critère d'énergie, des performances de l'interpo- lation rapide.

L=4M L=6M L=8M f = 4 Nf 997 3518 94145 T 0.04 0. 16 6. 24 #mod 0. 98134765 0.98311206 0.98329853 M = 8 Nf 723 223G 13382 T 0.04 0. 16 1.26 d 0. 97408002 0. 97721012 0. 97741087 M = 16 Nf 674 1773 8799 T 0. 05 0.2 1.32 d 0.96942291 0.97387771 0.97408999 M = 32 Nf 760 2617 13028 T 0. 1 0.51 3.39 (mod 0.96502414 0.97099214 0.97120973 TAB. 5 - Meilleure localisation #mod obtenue pour s = 1 et le code 2, degré 3, par le programme cfsqp_kbfdm. L=4M L=6M L=8M M = 4 Nf 3000061 3000061 3000061 T 71. 46 91.32 112. 69 1. 00000000 1.00000000 1.00000000 M = 8 Nf 3000061 3000061 3000061 T 114. 39 153. 61 195.12 #mod 1. 00000000 1.00000000 1. 00000000 Al = 16 Nf 3000061 3000061 3000061 T 200.59 278. 28 358.65 #mod 0.99999606 1.00000000 1.00000000 M = 32 Nr 3000061 3000061 3000061 T 372.44 525. 51 685. 65 #mod 0.99995021 0.99998090 0.99999982 TAB. 6-Meilleure localisation #mod obtenue pour s = 1 et le code 2, degré 3, par le programme dega kbfdm.

L=4M Z=6M L=8M Af = 4 Nf 671 1982 10643 T 0. 06 0.22 1. 36 E 1. 9624535 x 10-3 1. 4848357 x 10-3 3. 2321321 x 10-4 M = 8 Nf 1342 2584 11954 T 0. 15 0.48 2. 66 E 2.0206358 x 10-3 1. 5377920 x 10-3 4.6730159 x 10-4 M = 16 Nf 920 2533 10723 T 0.19 0.91 4.44 E 2. 0343188 # 10-3 1.5713923 # 10-3 7. 3284228 x 10-4 M = 32 Nf 942 2643 5987 T 0.38 1. 86 4.81 E 2.0377072 x 10-3 1. 5787295 x 10-3 7. 8751671 # 10-4 TAB. 7-Meilleure énergie hors-bande (#/M,#) obtenue pour s = 1 et le code 2, degré 3, par le programme cfsqp_kbfdm. L = 4M L = 6M L = 8M M = 4 Nf 3000061 3000061 3000061 T ]13.85 182.7 205.7 E 3. 5291260 x 10-2 1. 7559622 # 10-2 1.1731641 # 10-2 Al = 8 Nf 3000061 3000061 3000061 T 204. 13 332.42 382. 27 E 3.8384568 x 10-2 2. 1841209 x 10-2 2.1785398 x 10-2 M = 16 Nf 3000061 3000061 3000061 T 380.34 674.61 753.68 E 3. 7891304 x 10-2 2. 0787967 x 10-2 1. 8569596 x 10-2 32 Nf 3000061 3000061 3000061 T 763.93 1343.73 1501. 16 E 3. 7885664 x 10-2 2.1318771 x 10-2 1. 7818542 x 10-2 TAB. 8 - Meilleure énergie hors-bande (#/M,#) obtenue pour s = 1 et le code 2, degré 3, par le programme e dega kbfdm.

? 7t Degrés des codes Eoo 1 4 1. 89834 x 10-2 2 8, 8 2. 037405 x 10-3 3 6,3, 6 3.189792 # 10-4 4 6, 3,3, 4 8.69177 x 10-5 5 5,4, 3,2, 3 1.838493 x 10-5 6 4, 4,2, 2,3, 5 5.72311 x 10-6 TAB. 9-Meilleure optimisation de l'énergie hors-bande pour des fonctions prototypes OFDM de pararnètre m. m = 1 m = 2 m = 3 m = 4 s = 0 E128old 1. 8981327 x 10-2 2.9223829 # 10-3 1. 4497043 x 10-3 1. 3165505 x 10-3 Eoo 1. 8983347 x 10-2 2.9230531 x 10-3 1. 3G94251 x 10-3 1. 0332733 x 10-3 E128 1. 8981327 x 10-2 2.9223829 x 10-3 1.3692782 x 10-3 1. 0330880 x 10-3 s = 1 El28d 2.0373402 x 10-3 1. 5282759 x 10-3 3. 1559744 x 10-4 E. A 2.0374056 x 10-3 4. 8348134 x 10-4- E128 2. 0373402 x 10-3 5.5106813 x 10-'- s = 2 E128old 1. 1072554 x 10-3 4.9753911 x 10-4 E# # # 3. 1843398 x 10-4 1.0671547 # 10-4 E128 3.1829879 x 10-4 1.0667812 x 10-4 s = 3 E128old 5.0282284 x 10-4 E# # # # - Eizs- TAB. 10-Meilleure énergie hors-bande (#/M,#) obtenue pour les fonctions prototypes BFDM par le programme cfsqp_ener.

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