PROCEDE ET DISPOSITIF POUR AMELIORER LA BANDE PASSANTE D'UN SYSTEME PHYSIQUE

L'invention concerne un procédé et un circuit électronique pour améliorer la bande passante d'un dispositif qui, pour des raisons physiques, possède une bande passante inférieure à celle que l'on souhaiterait.

On sait que tout système électronique réalisé à partir d'éléments physiques possède une bande passante limitée due aux caractéristiques non idéales du système. C'est le cas en particulier de tous les systèmes d'acquisition électronique de grandeurs physiques (capteurs) mais aussi de tous les systèmes de traitement de signaux électroniques ou de transmission de signaux électroniques ou optiques. II résulte de cette limite des systèmes non idéaux que tout système physique se comporte, vis-à-vis d'une grandeur d'entrée, comme un filtre qui est en général un filtre passe-bas, mais qui pourrait être plus sophistiqué qu'un simple filtre passe-bas. Cela se traduit en pratique par le fait que la sortie du système ne parvient pas à suivre les variations trop rapides d'une grandeur d'entrée du système. Quand on parle ici de variation, ce peut être surtout une variation temporelle mais aussi une variation spatiale.

Par exemple, pour un capteur d'image, la variation d'entrée peut être une variation temporelle de lumière et la variation de sortie est une variation temporelle de tension électrique qui représente cette variation de lumière ; on s'aperçoit alors que, du seul fait que le capteur est un capteur réalisé à partir d'éléments physiques (photodiodes, circuits de recueil de charges électriques, amplificateurs, circuits de transmission, etc), le signal électronique ne peut pas suivre instantanément une variation très brusque de lumière à l'entrée ; la réponse du capteur inclut une fonction de filtrage temporel passe-bas. De même, si on considère un capteur matriciel comportant de nombreux pixels très rapprochés, éclairé par un motif d'image spatiale très fin, on s'aperçoit que le capteur ne peut pas engendrer un signal électronique variant spatialement aussi brusquement que le motif d'image qui l'éclairé ; là encore le capteur produit une certaine fonction de filtrage, mais cette fois dans le domaine spatial donc en fonction d'une variable spatiale.

La bande passante dans le domaine spatial peut être aussi importante que dans le domaine temporel et les principes de correction selon la présente invention s'appliquent dans les deux cas.

Pour analyser le comportement du capteur aussi bien en réponse temporelle qu'en réponse spatiale, on peut essayer de déterminer sa fonction de transfert temporelle ou spatiale. Plusieurs sortes de fonction de transfert, utilisant des variables de temps ou de fréquence, ou encore la variable de Laplace p des systèmes analogiques ou la variable z des systèmes échantillonnés, sont classiquement utilisées pour représenter des fonctions de transfert de systèmes physiques.

Lorsqu'on sait qu'un système physique présente une fonction de transfert limitée en fréquence, on sait qu'on peut améliorer la réponse globale du système en incluant dans celui-ci un filtre inverse qui tend à compenser la fonction de filtrage naturelle du système. Ainsi, si le système agit comme filtre temporel passe-bas, ce qui est presque toujours le cas, on peut lui incorporer un filtre passe-haut qui tend à compenser l'effet de filtrage passe-bas qu'on a préalablement identifié.

Si on connaît la fonction de filtrage passe-bas du système physique, on essaye dans ce cas de réaliser un filtre analogique ou digital qui possède une fonction de filtrage à peu-près inverse. Les fonctions de filtrage sophistiquées qui en résultent en général sont très difficiles à réaliser de manière analogique ; elles ne peuvent guère être exécutées autrement que par calcul et en utilisant de puissants processeurs. On peut par exemple déterminer la fonction de transfert du système physique dans l'espace fréquentiel par une transformation de Fourier ; cette transformation établit une courbe de réponse dans le domaine fréquentiel. Puis on calcule la fonction de filtrage inverse ; dans le domaine fréquentiel la fonction inverse est tout simplement l'inverse de la fonction de transfert initiale du système physique. Lors de l'utilisation du système, on applique une transformation de Fourier au signal de sortie du système physique pour définir des composantes dans le domaine fréquentiel, on lui applique la fonction de filtrage inverse dans le domaine fréquentiel, et on repasse dans le domaine temporel par une transformation inverse de Fourier pour obtenir un signal électronique temporel filtré, ayant une bande passante meilleure que celle du système physique non corrigé. Ce type de procédé requiert des puissances

de calcul très élevées pour effectuer la transformée de Fourier et la transformée inverse à chaque instant.

L'invention propose une solution beaucoup plus simple pour augmenter la bande passante d'un système physique. Dans cette solution, on utilise un filtre à réponse impulsionnelle finie qui est calculé de la manière suivante, à partir du comportement (observé ou connu) du système physique : on détermine la réponse impulsionnelle du système physique selon une variable temporelle ou spatiale ; la réponse impulsionnelle est la réponse à une impulsion d'entrée normalisée de durée tendant vers zéro et à fronts de montée et descente verticaux ; on calcule échantillon par échantillon une réponse impulsionnelle de forme semblable mais comprimée selon l'échelle de la variable dans un rapport correspondant à une augmentation de bande passante désirée et dilatée en amplitude dans le même rapport, et on calcule les coefficients d'un filtre à réponse impulsionnelle finie apte à fournir à sa sortie une succession d'échantillons de la réponse comprimée lorsqu'on applique à son entrée une succession d'échantillons correspondants de la réponse du système physique. Ce filtre à réponse impulsionnelle finie est incorporé au système physique, en sortie (de préférence) ou en entrée ou à l'intérieur du système, pour en améliorer la bande passante dans un rapport n.

Ainsi, on ne recherche pas un filtre qui tente de compenser intégralement la fonction de transfert du système physique mais on recherche un filtre qui donne au système physique corrigé une réponse impulsionnelle de même forme générale que sa réponse naturelle mais comprimée selon l'échelle de la variable temporelle ou spatiale et dilatée en amplitude.

Plus précisément, le procédé selon l'invention est un procédé de réalisation d'un système comprenant un ensemble d'éléments physiques limitant la bande passante du système, caractérisé en ce qu'on détermine la réponse impulsionnelle a(t) du système en fonction d'une variable t au moins entre une valeur 0 et une valeur T, on détermine au moins N échantillons successifs ai d'indice i variant de 1 à N (N entier supérieur à 1 ) dont la succession représente la forme de la réponse impulsionnelle a(t), répartis avec un pas T/N depuis la valeur t=T/N jusqu'à la valeur t=T, ainsi qu'une valeur initiale d'échantillon arbitraire a ₀ et des valeurs d'échantillons,

éventuellement nuls, représentant approximativement cette courbe entre l'instant T et un instant n.T où n est un coefficient représentant un facteur d'augmentation de bande passante désirée, on détermine une courbe b(t) = n.a(n.t) qui est une réplique approximative de la courbe a(t), dilatée en amplitude dans le rapport n et comprimée selon l'échelle de la variable t dans le même rapport n, on établit une valeur initiale d'échantillon b ₀ = n.aO et on prend N échantillons bj dont la succession représente cette courbe b(t), répartis avec un pas T/N depuis la valeur t=T/N jusqu'à la valeur t=T, on réalise un filtre à réponse impulsionnelle finie à N+1 coefficients, ayant une entrée et une sortie et apte à fournir sur sa sortie les valeurs successives bj de b ₀ à b _N des échantillons bj lorsque les échantillons successifs ai de a ₀ à a _N sont appliqués à son entrée, et on incorpore ce filtre au système.

Lorsqu'on utilise ensuite le système, on recueille en sortie du système corrigé un signal de bande passante améliorée dans un facteur n. Le choix de l'intervalle [0,T] est tel qu'il englobe la partie la plus significative de la réponse impulsionnelle a(t), par exemple toute la partie de la réponse pour laquelle l'amplitude de la réponse est supérieure à au moins 5% du maximum de l'amplitude de la réponse. Les échantillons compris dans l'intervalle [T, nT] peuvent très bien être pris arbitrairement à zéro, même si les valeurs de a(t) ne sont pas nulles dans cet intervalle, car ces valeurs sont faibles. Il peut en résulter un moins bon résultat mais un résultat tout-à-fait acceptable.

Les coefficients du filtre sont de préférence des coefficients Ci où i est l'indice variant de 0 à N, la valeur du coefficient Ci étant définie par l'itération suivante :

C ₀ = b _o /a _o ou une valeur de préférence égale à n ou proche de n, et

Ci = (bi - ai. C ₀ - ai-i Ci .. .. - aμj.Cj .. ..- a-ι Ci--ι )/a ₀ ,

Si la valeur de la courbe a(t) au temps 0 est nulle ou proche de zéro, elle est remplacée par une valeur arbitraire a ₀ non nulle, de préférence inférieure ou égale à a^, par exemple a-ι/2.

Outre le procédé de réalisation, l'invention concerne un système électronique comportant un ensemble d'éléments physiques dont la nature induit une limitation de bande passante du système, et un filtre électronique

de compensation permettant de donner au système une bande passante n fois plus grande que celle qu'aurait le système sans ce filtre, n étant un nombre supérieur à 1 , dans lequel le système dépourvu du filtre possède une réponse impulsionnelle a(t) en fonction d'une variable t, caractérisé en ce que le filtre de compensation est un filtre à réponse impulsionnelle finie à N+1 coefficients Ci où i est un indice variant de 0 à N, la valeur du coefficient Ci étant définie par l'itération suivante :

Co = bo/ao et

Ci = (bi - ai. C ₀ - aμi Ci .. .. - aμj.Cj .. ..- ai Ci-i )/a ₀ , dans lequel ai est une valeur d'échantillon d'indice i variant de 1 à

N prise parmi N échantillons successifs de la réponse impulsionnelle a(t), répartis avec un pas T/N entre une valeur t= T/N et une valeur t=T, a ₀ étant remplacé par une valeur arbitraire non nulle si a(t) est nulle pour t=0, et dans lequel bi est une valeur d'échantillon égale à n fois la valeur d'un échantillon a _n i = a(n.i.TVN) de la réponse impulsionnelle a(t).

Là encore, si a ₀ est nul, on choisit pour a ₀ une autre valeur non nulle, de préférence comprise entre 0 et a-i.

Le facteur n est de préférence un nombre entier. Il est de préférence égal à 2, 3 ou 4. II peut également être non entier et dans ce cas l'indice n.i peut ne pas être entier de sorte qu'il n'existe pas véritablement d'échantillon a _n i. On attribue alors à l'échantillon fictif a _n i qui sert pour le calcul de l'échantillon bi = n.a _n i une valeur interpolée entre deux échantillons réels encadrant cet échantillon fictif.

D'autres caractéristiques et avantages de l'invention apparaîtront à la lecture de la description détaillée qui suit et qui est faite en référence aux dessins annexés dans lesquels :

- la figure 1 représente symboliquement un système physique recevant une grandeur d'entrée e et fournissant une grandeur de sortie F(e) ;

- la figure 2 représente la réponse impulsionnelle F[x(t)] du système physique ;

- la figure 3 représente le principe d'une compensation de réponse en fréquence par une fonction de transfert inverse dans le domaine des fréquences ;

- la figure 4 représente le principe d'établissement d'une réponse impulsionnelle désirée à partir de la réponse impulsionnelle réelle du système ;

- la figure 5 représente le principe selon l'invention de correction de la bande passante par un filtre à réponse impulsionnelle finie associé au système physique à corriger ;

- la figure 6 représente la structure générale d'un filtre à réponse impulsionnelle finie ;

- la figure 7 représente le détail de l'élaboration de la réponse impulsionnelle désirée b(t) à partir de la réponse naturelle a(t) du système ;

- la figure 8 représente le comportement en fréquence d'un système physique non corrigé en présence d'une grandeur d'entrée e(t) en créneaux de fréquence croissante ;

- la figure 9 représente le comportement du système physique corrigé, dans les mêmes conditions qu'à la figure 8.

La figure 1 représente sous une forme symbolique (un simple rectangle) un système physique quelconque SP qui, lorsqu'on lui applique une grandeur d'entrée e en entrée fournit une grandeur de sortie F(e) en sortie. Par exemple, la grandeur d'entrée e est un signal électronique et la grandeur de sortie F(e) est un autre signal électronique. Ou bien, la grandeur d'entrée e est une luminance et la grandeur de sortie F(e) est un signal électronique, un capteur de luminance étant présent dans le système.

Dans beaucoup d'applications, on souhaiterait que le système se comporte de manière idéale, c'est-à-dire que la grandeur F(e) varie selon une fonction déterminée de e aussi bien lorsque e varie lentement que lorsque e varie rapidement. Par exemple on veut que le capteur de lumière produise un signal électronique d'amplitude proportionnelle à la luminance avec le même coefficient de proportionnalité lorsque la luminance varie lentement et lorsqu'elle varie rapidement. Mais le système est un système physique et a des limitations propres à tout système physique, en particulier des limitations d'aptitude à répondre instantanément à une variation instantanée de la grandeur d'entrée e. Il introduit des déformations de fonction F(e) lorsque e varie trop rapidement.

Lorsqu'on parle ici de variation rapide, il faut comprendre qu'on peut parler de rapidité dans le temps ou dans l'espace. En effet, on doit considérer les problèmes de limitation des systèmes physiques aussi bien en termes de variation dans le temps que de variations dans l'espace comme on le détaillera plus loin.

La plupart du temps les systèmes physiques se comportent comme des filtres passe-bas, c'est-à-dire qu'ils ont une bande passante temporelle ou spatiale limitée vers le haut. Leur courbe de réponse en fréquence temporelle ou spatiale est plate depuis les fréquences basses puis chute fortement au-delà d'une certaine fréquence, alors qu'on souhaiterait idéalement qu'elle reste plate pour des fréquences bien supérieures. Mais ils peuvent avoir aussi une bande passante limitée à la fois vers le haut et vers le bas, et même avoir une courbe de réponse en fréquence qui n'est plate nulle part. Une manière de représenter le comportement de filtre du système physique consiste à déterminer sa courbe de réponse impulsionnelle, c'est-à- dire d'appliquer une impulsion normalisée de Dirac à l'entrée du système et d'observer la déformation de cette impulsion à la sortie du système. Quelle que soit la qualité du système, il y a toujours une déformation. La courbe d'amplitude de réponse en fonction du temps (si le temps est la variable concernée) ou d'une variable spatiale est une représentation du comportement général du système physique.

La figure 2 représente en 2a l'impulsion d'entrée normalisée (amplitude unitaire, durée tendant vers zéro, fronts de montée et de descente verticaux), représentée comme une fonction x(t), et en 2b la réponse impulsionnelle a(t) du système ; la réponse a(t) est la courbe F[x(t)] produite par le système lorsqu'on lui applique le signal d'entrée e=x(t). La variable considérée pour la réponse impulsionnelle est le temps t mais le raisonnement serait le même si la variable était spatiale ; ceci est d'autant plus vrai que la variable spatiale peut être ramenée à une variable temporelle par exemple lorsque les signaux variant spatialement sont lus séquentiellement. On considérera donc ici et dans toute la suite que le terme variable temporelle t est générique et est transposable directement ou indirectement à une variable spatiale.

Sur la figure 3 on a représenté cette même réponse impulsionnelle dans l'espace des fréquences, où l'impulsion d'entrée x(f) a un spectre normalisé uniforme en amplitude sur toute la bande de fréquences positives et négatives (figure 3a) ; le système physique est par exemple un filtre passe-bas (figure 3b) de fonction G(f) en fonction de la fréquence, plate pour les fréquences basses, chutant pour les fréquences plus hautes ; on sait alors tracer une courbe inverse de celle de ce filtre, figure 3c, correspondant à une fonction de transfert inverse H(f) = 1 /G(f). En plaçant dans le système physique, en amont, en aval, ou au cœur du système, un filtre de compensation ayant la fonction de transfert H(f) dans l'espace des fréquences, donc une courbe de filtrage comme celle de la figure 3c, le système global aura pour fonction de transfert le produit des fonctions de la transfert du système physique G(f) et de la fonction de transfert du filtre H(f). Ce produit (figure 3d) est égal à 1 et on devrait retrouver l'impulsion d'entrée normalisée en sortie du système ainsi compensé.

La réalité n'est pas si simple car il est très difficile de réaliser un tel filtre inverse de fonction de transfert H(f) = 1 /G(f) connaissant seulement la forme de la courbe de réponse G(f). On peut faire alors un filtrage par le calcul en faisant la transformée de Fourier à chaque instant du signal électronique, en l'inversant, et en faisant la transformée de Fourier inverse, mais cela ne peut être fait qu'avec des processeurs très puissants et très rapides.

Selon l'invention on va utiliser la connaissance de la courbe de réponse impulsionnelle temporelle (ou spatiale mais, comme on l'a dit, le principe est le même) du système physique pour calculer un filtre à réponse impulsionnelle finie qui va faire correspondre à cette réponse impulsionnelle une autre réponse impulsionnelle améliorée ; la forme de la réponse améliorée correspond à une fonction de filtrage semblable à celle du système physique initial mais de bande passante plus large. La forme de réponse impulsionnelle améliorée est obtenue en dilatant l'amplitude de la réponse initiale a(t) mais en comprimant d'autant l'échelle des temps.

La figure 4 représente en 4a l'impulsion d'entrée x(t) (comme à la figure 2a), en 4b la réponse impulsionnelle a(t) du système physique initial (comme à la figure 2b), et en 4c une réponse impulsionnelle b(t) désirée,

semblable en forme à celle de la figure 4b mais comprimée selon l'échelle des temps et dilatée selon l'échelle des amplitudes. La largeur à mi-hauteur de la réponse b(t) est celle de la courbe a(t) mais divisée par un facteur n. La hauteur maximale de la réponse b(t) est celle de la courbe a(t) mais multipliée par n.

Selon l'invention on détermine donc la réponse impulsionnelle du système physique, on en déduit une réponse impulsionnelle améliorée qui est une réponse semblable à la réponse initiale, dilatée en amplitude et comprimée selon l'échelle des temps, et on calcule les caractéristiques d'un filtre de compensation qui, lorsqu'il reçoit à son entrée la réponse impulsionnelle initiale produit à sa sortie la réponse impulsionnelle améliorée. Le filtre est un filtre à réponse impulsionnelle finie dont les coefficients sont faciles à calculer dès lors qu'on connaît la réponse de sortie souhaitée pour une forme de signal d'entrée donnée. La figure 5 représente le système physique SPC corrigé ayant pour réponse impulsionnelle la réponse impulsionnelle de la figure 4c. Ce système comporte le système physique initial SP et un filtre à réponse impulsionnelle finie FIR dont la fonction est de convertir la forme d'onde a(t) de la figure 4b en la forme d'onde b(t) de la figure 4c, et du même coup d'améliorer la bande passante de toute forme d'onde F(e) sortant du système physique SP.

On rappelle ce qu'est un filtre à réponse impulsionnelle finie : c'est un circuit qui traite un signal analogique échantillonné à une fréquence d'échantillonnage F, et qui fait de manière cyclique l'addition d'une série d'échantillons successifs pondérés par des coefficients individuels choisis en fonction de la fonction de filtrage à obtenir. Le nombre d'échantillons dans la série peut être d'une dizaine ou plusieurs dizaines, voire même plusieurs centaines selon la complexité de la fonction de filtrage à réaliser. L'échantillonnage du signal à traiter par le filtre peut être fait dans le filtre ou en amont du filtre selon que le système physique délivre des signaux non échantillonnés ou échantillonnés.

La figure 6 représente un filtre à réponse impulsionnelle finie. Le signal à filtrer est un signal u(t), appliqué sous forme d'échantillons successifs à la fréquence F et le signal de sortie du filtre est un signal u'(t) sortant sous forme d'échantillons. Le filtre est représenté sous forme d'un

ensemble de circuits à retard représentés par les boîtes z ^"1 et d'un ensemble de circuits multiplicateurs permettant d'appliquer de multiplier le signal par un coefficient de pondération d propre à ce circuit. La lettre z est la variable servant classiquement à la représentation mathématique des systèmes échantillonnés et la fonction z ^"1 représente un retard unitaire appliqué à un échantillon, donc un retard 1/F si la fréquence d'échantillonnage est F.

Le filtre comporte encore un additionneur ADD. Comme on le comprend aisément en regardant la figure 6, le signal de sortie u'(t) du filtre est un signal échantillonné qui est la somme pondérée de la série des N+1 derniers échantillons successifs reçus. u'(t) = U ₀ -C ₀ + u-i. Ci + U ₂ -C ₂ +.... U _N -C _N s'il y a N+1 échantillons en comptant l'échantillon U ₀ . Les échantillons successifs U ₀ , u-ι, U ₂ , etc jusqu'à u _N représentent respectivement l'échantillon courant u(t ₀ ) à un instant t ₀ et les échantillons précédents u(t _o -dt), u(t _o -2dt), etc. jusqu'à u(t _o -N.dt). Les coefficients du filtre FIR sont calculés selon l'invention à partir de la connaissance de la réponse impulsionnelle a(t) du système physique SP. Cette réponse impulsionnelle est mesurable ou calculable à partir de la constitution connue du système physique. Le calcul des coefficients du filtre est fait en déterminant quels coefficients doivent être utilisés dans le filtre pour qu'un signal d'entrée échantillonné ayant la forme de la réponse impulsionnelle a(t) de la figure 4b sorte du filtre avec la forme échantillonnée de la réponse b(t) de la figure 4c.

Le calcul va être exposé d'abord dans un exemple simple où on souhaite multiplier par un nombre n, entier et supérieur à 1 , la bande passante du système physique SP. Typiquement, n peut être égal à 2 ou 3. Les figures qui suivent maintenant se réfèrent à un exemple dans lequel n est égal à 2.

On considère une durée T sur laquelle la réponse impulsionnelle a(t) est significative ; elle s'étend théoriquement à l'infini, mais en pratique elle tend toujours vers zéro et on ne s'intéresse pas à la zone où elle devient très faible. A titre d'exemple, la durée T peut être la durée pendant laquelle la réponse impulsionnelle est au moins égale à 5% de sa valeur maximale.

On échantillonne cette courbe par pas de T/N, N étant un nombre entier choisi arbitrairement, qui est d'autant plus élevé qu'on veut représenter plus finement la réponse impulsionnelle b(t). N peut être compris par

exemple entre 10 et 100, et un choix de N=15 ou 31 ou 63 est particulièrement indiqué, pour que le nombre N+1 soit une puissance de deux.

On note a ₀ , , a ₂ , ....ai, ... a _N les valeurs de la réponse impulsionnelle à des instants respectifs 0, T/N, 2T/N, etc. séparés par des intervalles de temps égaux à T/N, à partir du début (temps zéro) de la réponse (qui est l'instant d'application de l'impulsion d'entrée normalisée qui donne lieu à cette réponse). L'indice i représente le numéro de l'échantillon entre 0 et N. Les valeurs de ces échantillons doivent être précisément mesurées ou calculées car ce sont ces échantillons qui constituent la base de la représentation de la réponse du système physique et aussi de la réponse améliorée comme on va le voir. L'échantillon a ₀ d'indice i=0 est traité différemment comme on le verra et n'est pas forcément égal à la valeur a(t) pour t=0, en particulier dans le cas fréquent où cette valeur est nulle, de sorte que la succession d'échantillons de la courbe a(t) entre les instants t=0 et t=T peut être considérée comme composée d'une valeur arbitraire d'échantillon initial a ₀ et de N valeurs d'échantillons a _\ dont la succession représente la courbe a(t). On détermine aussi des échantillons a _n i de la courbe a(t) entre le temps T et le temps n.T. Mais les échantillons au-delà du temps T peuvent aussi être mis arbitrairement à zéro car la queue de la réponse impulsionnelle, au delà du temps T n'est pas significative. Ces échantillons au-delà du temps T seront utilisés pour déterminer la réponse impulsionnelle améliorée, même si leur valeur est nulle.

A partir de la courbe a(t) on construit une courbe b(t) qui est la réponse impulsionnelle améliorée désirée.

Pour que la courbe b(t) soit une réponse impulsionnelle semblable à la courbe a(t) mais dilatée en amplitude dans le rapport n et comprimée en temps dans le même rapport n, il faut que la valeur b(t) à un instant t soit n fois la valeur de la courbe a(t) à l'instant n.t.

Par conséquent, à partir d'un échantillon a _n i qui est la valeur de la courbe a(t) à l'instant t=n.i.T/N, on établit un échantillon bj qui est la valeur de la courbe b(t) à l'instant i.T/N en prenant pour valeur bj la valeur: bi = n.a _n i

La figure 7 illustre cette constitution de la courbe b(t) à partir d'échantillons de la courbe a(t) dans le cas où n=2 et N=1 6. La réponse initiale a(t), connue initialement, est en traits pleins ; elle comporte un échantillon initial arbitraire a ₀ à l'instant t=0 et N échantillons entre TVN et T et d'autres échantillons entre T et nT, ces derniers pouvant être mis à zéro éventuellement ; la réponse améliorée b(t) est en traits pointillés : c'est une courbe établie par lissage à partir des N+1 échantillons bj calculés selon la formule ci-dessus. A partir des échantillons ai et bj on calcule les coefficients du filtre à réponse impulsionnelle finie qui permet d'obtenir à sa sortie la réponse b(t) lorsqu'on applique à son entrée un signal dont la variation temporelle est celle de la réponse a(t). Lorsqu'on utilisera un tel filtre en lui appliquant non plus un signal a(t) mais un signal F[e(t)] provenant de la sortie du système physique, ce filtre délivrera un signal F'[e(t)] de bande passante améliorée dans le rapport n.

Le calcul des coefficients C ₀ , C-i , ...C ₁ , ... C _N du filtre est un calcul itératif reposant sur le fait que la sortie b(t) du filtre est fonction de la série d'échantillons successifs aj appliqués à l'entrée : b(t) = a _o .C _o + a-ι.C-1 + a ₂ .C ₂ +.... a _N .C _N

Avant l'instant 0, les échantillons d'entrée sont tous nuls. Il en résulte les égalités suivantes : b _o = a _o C _o + O + 0 + 0 + 0

bj = ai. C ₀ + aj.-i .Ci + +a _o .Cj + 0 +0

b _n = a _n .C ₀ + a _n -i .Ci + a _o .C _n

et par conséquent :

C ₀ = b _o /a _o cette valeur est en principe égale à n du fait de la dilatation de la courbe dans le rapport n. C'est parce qu'on ne pourrait pas calculer b _o /a _o si a ₀ était nul ou trop proche de zéro qu'on donne alors à l'échantillon a ₀ une valeur arbitraire ou qu'on choisit tout simplement pour le

premier coefficient du filtre la valeur C ₀ = n (ou à la rigueur une valeur proche de n) sans avoir même besoin de choisir une valeur d'échantillon a ₀ .

Ci = (bi - a-|.C ₀ )/a ₀ = (2.a ₂ - a-|.C ₀ )/a ₀ dans le cas où n=2 d'après la formule bi = n.a _n i

Ci = (n.a _n i - ai. C ₀ - ai.-i .Ci - ai .Ci-i)/a ₀

CN = (n.a _n N - aN-Co - aN-i .Ci - ai.Cι\ι-i)/ao

On rappelle que pour ce calcul les échantillons ai au-delà du temps T peuvent être arbitrairement pris à zéro si on ne souhaite pas utiliser les échantillons réels de la courbe a(t) qui sont de toutes façons faibles puisque la partie significative de la réponse se situe entre les instants 0 et T.

Il peut arriver que la valeur de la courbe a(t) à l'instant t=0 soit nulle ou très proche de zéro. Dans ce cas, on forcera la valeur d'échantillon a ₀ à une valeur différente de zéro, par exemple à la valeur aV2 qui est une valeur intermédiaire entre 0 et ai. Et on prendra encore b ₀ = n fois la valeur forcée de a ₀ pour conserver le rapport b _o /a _o égal à n.

On aboutit ainsi à un filtre de compensation à réponse impulsionnelle finie à N+1 coefficients qui augmente dans un facteur n la bande passante du système physique initial. En fonctionnement, ce filtre reçoit la sortie F[e(t)] du système physique dont on veut augmenter la bande passante, et il fournit une sortie F'[e(t)] à bande passante augmentée. On pourrait envisager aussi que le filtre de compensation FIR soit placé dans le système physique plutôt qu'à la sortie de celui-ci, c'est-à-dire qu'on peut éventuellement placer le filtre en amont des éléments physiques qui tendent à réduire la bande passante.

Dans ce qui précède n a été considéré comme étant un entier, de préférence égal à 2 ou 3 ou 4. On pourrait envisager aussi que n soit une valeur non entière, par exemple 2,5 ou 3,5 (ou même un nombre quelconque bien que cela ait en pratique peu d'intérêt).

On conserve le même principe d'établissement d'une courbe b(t) correspondant à la courbe a(t) mais dilatée en amplitude d'un facteur n et comprimée dans le temps du même facteur n. La différence réside dans

l'obtention des échantillons bj qui vont servir à constituer la courbe b(t) et qui vont servir au calcul des coefficients du filtre.

On ne dispose plus de valeurs d'échantillons a _n i lorsque n.i n'est pas un nombre entier. Dans ce cas, on pourra utiliser comme valeur d'échantillon a _n i une valeur interpolée entre les deux échantillons réels les plus proches de l'échantillon inexistant de rang n.i

Par exemple, si n=2,5 et i = 3, on établira un échantillon fictif a _7,5 qui sera une interpolation entre l'échantillon a ₇ et l'échantillon a ₈ , par exemple simplement la moyenne a ₇ , ₅ = (a ₇ + a ₈ )/2 des deux échantillons connus adjacents. Par conséquent, dans cet exemple, on trouvera b ₃ =

2,5(a ₇ + a _s )/2 et, dans le calcul des coefficients du filtre, on utilisera les valeurs d'échantillons connus de rang i = 0 à N pour les échantillons ai comme pour les échantillons bj.

La figure 8 représente une simulation effectuée pour un système physique SP dont la fonction de transfert est assimilée à un filtre passe-bas du premier ordre. Une forme d'onde en créneau rectangulaire d'entrée (en trait plein), à une fréquence qui est supérieure à une fréquence de coupure du filtre et qui est variable dans le temps (la durée des créneaux va en diminuant) est appliquée comme grandeur e(t) à l'entrée du système physique SP. La sortie du système est une grandeur F[e(t)] qui est représentée par une courbe tiretée. Du fait du filtrage passe-bas, on voit que la sortie n'arrive pas à suivre fidèlement les fronts de variations en créneau. La figure 9 représente la sortie F'[e(t)] du système corrigé par le filtre FIR calculé de la manière expliquée précédemment, les mêmes créneaux e(t) étant appliqués à l'entrée. On voit que cette sortie suit beaucoup mieux les créneaux et ne se détériore que pour les créneaux les plus brefs.

Le filtre FIR qui sert dans l'exemple de la figure 9 a été calculé pour n=10, avec N=15 (filtre à 16 coefficients). Les coefficients calculés sont les suivants :

C ₀ = I O C ₈ = - 0.0000176

C ₁ = -6.376 C ₉ = -3.917x10 ^"5

C ₂ = -1 .422 C ₁₀ = -8.741 x10 ^"6

C ₃ = -0.317 C ₁₁ = -1 .950 x10 ^"6 C ₄ = -0,070 C ₁₂ = -4.352x10 ^"7

C ₅ = -0.0158 C ₁₃ = -9.710x10 ^"8

C ₆ = -0.00353 C ₁₄ = -2.1 67x10 ^"8

C ₇ = -0.000786 C ₁₅ = -4.835x10 ^"9

Ce filtre n'est donné qu'à titre d'exemple illustratif montrant bien l'amélioration considérable qu'on peut obtenir sur la bande passante. Dans la pratique le système physique ne sera pas aussi simple qu'un filtre du premier ordre, le nombre de coefficients N du filtre sera plutôt de 32 ou 64 et le facteur n d'augmentation de bande passante sera plutôt compris entre 2 et 4.