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Title:
METHOD AND DEVICE FOR PRODUCING HOLLOW-WALLED, COMPLEX COMPONENTS
Document Type and Number:
WIPO Patent Application WO/2001/020415
Kind Code:
A2
Abstract:
The invention relates to a method and a device for producing hollow-walled, complex components using a 3D computer model. According to said method, the 3D computer model is sampled for re-entrant angles, using intersection points which are found on the surface boundaries by Voxel rays that are sent at any angle through the component. Said intersection points are combined to form intersection planes (3). The 3D model is divided into slices (1a, 1b) on these intersection planes, whereby there is no longer a re-entrant angle on said intersection planes.

Inventors:
GLATZ DIETMAR (DE)
Application Number:
PCT/DE2000/003159
Publication Date:
March 22, 2001
Filing Date:
September 11, 2000
Export Citation:
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Assignee:
GLATZ DANIELA (DE)
GLATZ DIETMAR (DE)
International Classes:
G05B19/4099; (IPC1-7): G05B19/4099
Domestic Patent References:
WO2000031599A12000-06-02
WO2000031600A12000-06-02
WO2000062137A12000-10-19
Foreign References:
US5872714A1999-02-16
DE4340646A11995-06-01
US5351196A1994-09-27
EP1067479A12001-01-10
DE19625425A11998-01-02
Other References:
XUE Y ET AL: "A review of rapid prototyping technologies and systems" , COMPUTER AIDED DESIGN,GB,ELSEVIER PUBLISHERS BV., BARKING, VOL. 28, NR. 4, PAGE(S) 307-318 XP004022719 ISSN: 0010-4485 das ganze Dokument
Attorney, Agent or Firm:
Gihske, Wolfgang (Eduard-Schloemann-Strasse 55, Düsseldorf, DE)
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Claims:
Patentansprüche
1. Verfahren zur Herstellung hohiwandiger, komplexer Bauteile mit Hilfe eines 3D Computermodells, dadurch geken nzeic h net, daß das 3DComputermodell auf Hinterschnitte geprüft wird, indem Schnittpunkte, die mit Hilfe von Voxelstrahlen, welche unter einem beliebigen Winkel durch das Bauteil geschickt werden, an den Flächengrenzen gefunden und zu Schnittebenen zusammengefaßt werden, das 3DModell an diesen Schnittebenen in Scheiben zerteilt wird, womit an den Schnittebenen kein Hinterschnitt mehr vorhanden ist.
2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß entsprechend dem virtuelle Modell aus einem plattenförmigen Vollmaterial die für das Zusammensetzen des fertigen Bauteils benötigten einzelnen Scheiben herausgefräst werden.
3. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, daß Schnittpunkte mit Hilfe frei wählbarer Grenzwinkel gefunden werden und zu Schnittebenen zusammengefaßt werden.
4. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, daß die Dicke der gefundenen Scheiben mit einer freiwählbaren Plattenhöhe übereinstimmt und diese nicht überschreitet.
5. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, daß die Position der einzelnen Scheiben beim späteren Zusammenbau durch in Anzahl und Größe freiwählbarer Positionierelemente, vorzugsweise Bohrungen, bestimmbar ist, die während des Bearbeitungsprozesses an den in situ zueinander komplementären Schnittebenen der einzelnen BauteilScheiben eingebracht werden.
6. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, daß Bauteile auf Plattenhöhe abgeprüft, gegebenenfalls geschnitten und gefräst werden.
7. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 6, dadurch gekennzeichnet, daß die einzelnen Scheiben zum Fräsen der Schnittflächen bzw.ebenen in Rahmen eingelassen werden.
8. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 7, dadurch gekennzeichnet, daß Abstandselemente, vorzugsweise Stege, welche in Form, Größe und Lage freiwählbar sind, zwischen Scheibe und Rahmen stehen bleiben, die nach dem Fertigfräsen der Scheiben herausgetrennt werden.
9. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 8, dadurch gekennzeichnet, daß die Schnittebenen der Scheiben an der zuerst zu fräsenden Seite bündig mit der Rahmenoberfläche verlaufen, um nach dem Umdrehen des Rahmens auf die andere Seite ein Abstützen beim Fräsen dieser Gegenseite zu verbessern.
10. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 9, dadurch gekennzeichnet, daß der mit Scheiben versehene Rahmen auf der Fräsmaschine ausgerichtet wird, um ein versatzfreies Bauteil nach dem Umspannen zu erhalten.
11. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 10, dadurch gekennzeichnet, daß als Anschläge zwei in der Symmetrieachse liegende Bohrungen gewähit werden.
12. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 11, dadurch gekennzeichnet, daß der Rahmen mittels CNCProgramm von beiden Seiten gefräst wird.
13. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 11, dadurch gekennzeichnet, daß nur die BauteilScheibe und nicht der Rahmen gefräst wird.
14. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 13, dadurch gekennzeichnet, daß die Abstandselemente im letzten Arbeitsgang bis auf eine kleine Verbindung entfernt werden.
15. Vorrichtung zum Durchführen des Verfahrens nach Anspruch 1 zur Herstellung hohlwandiger, komplexer Bauteile mit Hilfe eines 3DComputermodells, dadurch gekennzeichnet, daß ein einzelne BauteileScheiben (1a, 1b) aufweisender Rahmen (4) auf einer auf einem Fräsmaschinentisch befestigten Spannplatte (11) angeordnet und die Spannplatte (11) mit einem Bohrungsraster (13) versehen ist, alle Rasterbohrungen (14) mit einer Spannhülse (15) bestückt sind und jeweils die in Deckungslage mit Systembohrungen (8) des Rahmens (4) liegenden Spannhülsen (15) zur Halterung des Rahmens (4) in die Systembohrungen (8) eingreifen.
16. Vorrichtung nach Anspruch 15, dadurch gekennzeichnet, daß die Rasterbohrungen (14) als Stufenbohrungen ausgebildet sind.
Description:
Verfahren und Vorrichtung zur Herstellung hohlwandiger, komplexer Bauteile Die Erfindung betrifft ein Verfahren und eine Vorrichtung zur Herstellung hohlwandiger, komplexer Bauteile mit Hilfe eines 3D-Computermodells.

Um komplexe Gebilde/Bauteile aufzubauen, hat man in der Technik immer versucht, die Komplexität auf elementare, einfach zu handhabende und erstellbare Bauteile/Elemente zu zerlegen. Seit Mitte der 80er Jahre haben sich neue Verfahren etabliert, welche ein komplettes 3D-Modell direkt, ohne Werkzeug, aus den Computerdaten mittels Laserstrahlen in ein physikalisches Objekt u. a. umsetzen.

Primär sind für diese Entwicklung zwei Dinge besonders signifikant : 1.) Die Zerteilung komplizierter, mit Hinterschneidung versehener Körper in kleine und kleinste Schichten von 0,05-0,5 mm Schichtdicke.

2.) Die Möglichkeit, mit UV-Lasern UV-empfindliche Polymere zu belichten und auszuhärten. Diese Erstellung von Bauteilen wurde verfeinert und im Laufe der Zeit auch auf andere Verfahren bzw. Materialien adaptiert.

Unter anderem kamen mit der Zeit neue maschinelle Lösungen und neue Materialien hinzu. Beim SLS (Selektiv Laser Sintern) werden an Stelle der lichtempfindlichen Polymere, Polymere-Puder oder Metall-Puder verwendet, deren Partiel durch einen Laser miteinander verschweißt werden.

Beim FDM (Fused Depositing Modeling) wird ein Thermomere in schmelzflussigem Zustand aufgetragen, d. h. ein kleiner Extruder trägt ähnlich einer HeiRklebepistole Schicht für Schicht Polymere-Raupen auf. Beim LOM (Laminated Object Modeling) schneidet ein Laserstrahl Papierbahnen aus, die miteinander verklebt werden.

Ein weiteres Verfahren druckt eine Zuckerlösung auf ein Stärkebett, um einen Verband zwischen den Partikeln zu erzeugen.

Allen Verfahren sind gemein : -Sie arbeiten schichtorientiert.

-Sie besitzen meist nur eine begrenzte Materialauswahl (in den einzelnen Verfahren meist nur ein Material).

-Sie können keine Materialien mit speziellen Eigenschaften, wie besonderer Festigkeit, chemischem oder physikalischem Verhalten oder besonderer Optik verarbeiten.

-Sie beschränken die Sinterverfahren beim Einsatz von Metallen auf zwei Klassen a) MetalIpulvergemische b) Metali/Polymerpulvergemische.

Ein anderes altbekanntes Verfahren ist das Fräsen. Obwohl das Fräsen in der Technik zur Erstellung und Bearbeitung von Werkstücken und Bauteilen am weitverbreitetsten ist und bei allen numerisch gesteuerten Verfahren den ersten Rang einnimmt, ist bei komplexen, hohlwandigen Bauteilen die Grenze der 5achs-Fräsmaschinen und erst recht der 3achs-Fräsmaschinen schnell erreicht.

Durch Fräsen lassen sich allerdings nicht nur verschiedene Materialien bearbeibearbeiten, sondern auch die Genauigkeit der erzielten Bauteile ist um ca. eine 10er Potenz besser als bei den oben beschriebenen generativen Verfahren.

Ausgehend hiervon entstand das später noch beschriebene erfindungsgemäße Verfahren, welches erlaubt, hochkomplexe, hohfwandige Gebilde in einem automatischen Prozeß mit anschließender Fräsbearbeitung und manueller Nacharbeit zu erstellen, wobei die maschinellen Anlagen und einzusetzenden Materialien ein Bruchteil der anderen Verfahren kosten. Ein Verfahren dieser Art ist aus dem US- Patent 5 872 714 bekannt.

Zusammenfassend kann gesagt werden : Fräsen ist : -fast materialneutral -in der Genauigkeit besser als generative Verfahren -der Fräsprozess ist lange bekannt, akzeptiert und eingeführt -die Anlagen sind vergleichsweise preiswert numerisch gesteuerte Fräsmaschinen sind weit verbreitet.

Bei 3achsigen Fräsanlagen darf die Komplexität quasi nur in der Ansicht der Z-Achse verlaufen. 5achsige Anlagen erlauben einen höheren Schwierigkeitsgrad in der X-und Y-Achse. Dennoch sind in einer Aufspannung nur einfache Hohiteile zu erstellen.

Um aber an die unbearbeitete Seite zu gelangen, muß aufwendig, unter Zuhilfenahme von komplizierten Stützen, das Werkstück umgespannt werden. Dieser Fertigungsschritt steht unter Umständen in keinem Verhältnis zum eigentlichen Fräsprozess.

Der Erfindung liegt daher die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren und eine Vorrichtung der eingangs genannten Art zu schaffen, mit denen sich die beschriebenen Nachteile vermeiden lassen.

Diese Aufgabe wird mit einem Verfahren erfindungsgemäß dadurch gelöst, daß das 3D-Computermodell auf Hinterschnitte geprüft wird, indem Schnittpunkte, die mit Hilfe von Voxelstrahlen, welche unter einem beliebigen Winkel durch das Bauteil geschickt werden, an den Flächengrenzen gefunden und zu Schnittebenen zusammengefaßt werden, das 3D-Modell an diesen Schnittebenen in Scheiben zerteilt wird, womit an den Schnittebenen kein Hinterschnitt mehr vorhanden ist, und anschließend entsprechend diesem virtuelle Modell aus einem plattenförmigen Vollmaterial die für das Zusammensetzen des fertigen Bauteils benötigten einzelnen Scheiben herausgefräst werden. Unter einem Voxel-Strahl wird hierbei ein dimensionsloser Strahl (bzw. eine Gerade) verstanden, der dort wo er auftrifft Schnittpunkte zurückgibt.

Die Erfindung besteht somit darin, daß ein 3D-Körper in ein beliebig kleines Raster (X, Y-Raster) unterteilt wird. Pro Rasterpunkt wird ein Voxelstrahl in Z-Richtung durch das Bauteil geschickt und mit den Grenzflächen des Bauteils verschnitten ; wenn sich nur zwei Schnittpunkte pro Strahl ergeben, so ist das Bauteil hinterschneidungsfrei. Es ist jedoch auch möglich, den Hinterschnitt mittels Überprüfung der Grenzwinkel benachbarter Flächen oder Facetten zu überprüfen, wobei jeder zusätzlich gefundene Schnittpunkt ein Indiz für eine Hinterschneidung ist. Ergeben sich in einer Ebene mehrere Schnittpunkte, kann das Teil an dieser Schnittebene geteilt werden. Die Schnittebenen können gegebenenfalls auch versetzt sein.

Wenn mit Hilfe der Voxel-Strahlen ein Hinterschnitt vorteilhaft erst bei einer Winkelabweichung, die frei wählbar ist und z. B. 10 Grad betragen kann, von der Vertikalen festgelegt wird, können gewisse Abweichungen toleriert werden und es liegt nicht jedes Mal eine Hinterschnitt-Meldung vor.

Die Erfindung wird anhand der ein ungeschnittenes Bauteil zeigenden Figur 1 und der schematisch die Zerlegung und Anordnung in einem Rahmen zeigenden Figur 2 näher erläutert. Die Figur 3 zeigt für einen Rahmen gemäß. Fig. 1 alternative Ausbildungen von Abstandselementen. In Fig. 4 ist als Einzelheit eine System-bzw. Spannplatte zur Aufnahme der Rahmen nach Fig. 2 bzw. 3 als Draufsicht und gemäR Fig. 5 perspektivisch dargestellt. Die Fig. 6 zeigt in vergrößertem Maßstab einen Schnitt entlang der Linie VI-VI von Fig. 4. Die Fig. 7 zeigt einen Befestigungsvorgang mit Hilfe einer Spannhülse in mehreren aufeinanderfolgenden Schritten. Die Figur 8 in der Abfolge nach a bis f das Ermitteln einzelner Bauteile-Scheiben und virtuelle Setzen der Bauteile-Scheiben in einem dem späteren Fräsprozeß vorgebenden Rahmen Ein auf Hinterschnitte durch Voxel-Strahlen geprüftes Bauteil B-im Ausführungsbeispiel nach Fig. 1 der Einfachheit halber ein Quader mit einem kugelförmigen Hohiraum 10 mit Zerlegung in zwei Bauteile-Scheiben 1a, 1b-wird in BauteilScheiben 1a, 1b zerteilt, die beidseitig fräsbar sind, da die erzielten Scheiben 1a, 1b keinen Hinterschnitt mehr haben. In wieviele Einzelscheiben das Bauteil zerteilt wird, richtet sich nach der Komplexität des Bauteils und der ermittelten Hinterschnitte.

Die Dicke der Scheiben 1 a, 1 b ist abhängig a.) von einem Hinterschnitt/Hohlraum, b.) von der Möglichkeit, das Teil beidseitig zu fräsen, und c.) von der gewähiten bzw. von der zur Verfügung stehenden Dicke der im Materiallager bevorrateten, beispielsweise Stahlplatten als Ausgangsmaterial ; d.) selbstverständlich lassen sich auch alle anderen durch Fräsen zu bearbeitenden Materialien verwenden.

Damit die gefrästen, einzelnen Scheiben 1 a, 1 b später richtig positioniert zusammengesetzt werden können, werden an beliebigen, freiwählbaren Stellen mindestens zwei Positionierbohrungen 2 mit freiwählbarem Durchmesser-alternativ Nut und Feder-auf die Schnittebenen 3 gesetzt bzw. dort später eingearbeitet, wobei die gleiche Position für die Positionierbohrungen 2 wie auf der Schnittfläche bzw.- ebene 3 der in Fig. 2 dargestellten Bauteil-Scheibe 1 a auch auf der gegenüberliegenden, untenliegenden bzw. komplementären Schnittebene der Bauteile-Scheibe 1b vorliegt. Beim Zusammenfügen der Bauteile-Scheiben 1a, 1b zu dem Bauteil B, wobei in die fluchtenden Bohrungen Paßstifte eingebracht werden, ergibt sich folglich eine exakte Zuordnung.

Damit man einzelne Scheiben dieser Bauelemente ohne komplizierte Aufspanneinrichtung fräsen kann, liegt folgender weiterer Gedanke zugrunde : Die mit dem Computermodell bestimmten, geschnittenen einzelnen Scheiben 1a, 1b werden entsprechend dem Computermodell virtuel zunächst in einen vorher in den Lange-, Breiten-und Höhenabmessungen dimensionierten Rahmen 4 der Rahmenplatte 9 (vgl. Fig. 2) plaziert, wobei der Abstand zum Rand 5 und der Abstand 6 der Scheiben 1a, 1b untereinander beliebig wählbar ist. Vorzugsweise werden die Schnittflächen bündig mit dem Rahmen 4 verlaufen bzw. abschließen, damit beim zweiten Fräsgang die flächigen Schnittebenen unten am Frästisch aufliegen und somit die Bauteil-Scheiben, wenn die andere Seite bzw. Gegenseite des Rahmens 4 gefräst wird, stabilisiert werden. Damit die einzelnen Bauteil-Scheiben 1a, 1b in dem Rahmen 4 fest orientiert sind, können an beliebigen Stellen, in beliebiger Anzahl, mit beliebiger Breite Abstandselemente in Form von Stegen 7-oder gemäß Fig. 3 alternativ ausgebildet als Platte 7a, Kugel 7b, Zylinder 7c oder Kegel bzw. Pyramide 7d-mit beliebigen Abstandsmaßen zwischen Rahmen 4 und Bauteil 1 gesetzt werden, wobei die Stege sinnvollerweise an Stellen plaziert werden, die später nicht hinderlich sind und dennoch ausreichend stabilisieren. Es ist möglich, daß auch Teile, welche keine Hinterschneidung aufweisen, in den Rahmen vorgesehen, mit Stegen versehen und somit prozessicher gefräst werden können.

Der so nun vorliegende Rahmen 4 mit den einzelnen geschnittenen Bauteilelementen bzw.-scheiben 1a, 1b läßt sich hinterschneidungsfrei von beiden Seiten problemlos auf einer nicht gezeigten, hinlänglich bekannten 3achs-Fräsmaschine fräsen. Um die Position des Rahmens 4 beim Umspannen/-drehen von Oberseite zu Unterseite toleranzfrei sicherzustellen, werden zwei Systembohrungen 8 auf der Mittelachse in einem bestimmbaren Durchmesser und einem bestimmten Abstand gesetzt, welche ein Umdrehen des Rahmens 4 um 180°, d. h. von seiner Oberseite zur Unter-bzw.

Gegenseite in der Achse der Bohrungen ermöglichen, so daß dieselben Bohrungen 8 dann zur erneuten Fixierung des Rahmens 4 verwendet werden können. Eine dieser Bohrungen könnte ein Langloch sein. Es ist auch möglich, die Platten/Rahmen über Anschläge zu führen, z. B. wenn ein Schaumstoffblock als Ausgangsmaterial verwendet wird. Der Anschlag hat unter Umständen aber den Nachteil, daß bei nicht exakt winkelig zugerichteten Rahmen dies zu Winkelfehlern und damit zu Versatz zwischen Ober-und Unterseite führt. Bei zwei Bohrungen ist die kürzeste Verbindung eine Gerade, welche sich als Drehachse eignet und damit versatzfreie Bauteile ermöglicht, ungeachtet des äußeren Zuschnittes, welcher nun sogar"sägerauh"sein kann.

Zur Fräsbearbeitung und damit Herstellung der körperlichen Bauteile-Scheiben 1a, 1b wird der virtuel vorliegende Rahmen 4 mit den darin zwischen den Abstandselementen 7 ; 7a bis 7d angeordneten Bauteile-Scheiben 1a, 1b entsprechend dem Computermodell bzw. Fräsprogramm auf eine gemäß den Figuren 4 und 5 auf einer Spannplatte 11 festgelegten Vollmaterialplatte 9 gesetzt und daraus herausgearbeitet. Die Spannplatte 11 ist auf dem-nicht gezeigten- Fräsmaschinentisch durch Verschrauben und Verstiften befestigt, wozu sie mit Paßbohrungen 12 versehen ist. Außerdem weist sie ein Bohrungsraster 13 auf, dessen einzelne Rasterbohrungen 14 einen bestimmten Abstand zueinander einnehmen. Die Platten-Abmessungen X bzw. Y können beliebig sein, wobei das Bohrungsraster 13 allerdings bei Y/2, d. h. in Plattenmitte verlaufen sollte. Jede der ais Stufenbohrung (vgl. Fig. 6) ausgebildeten Rasterbohrungen 14 ist mit einer Spannhülse 15 (vgl. Fig. 7) bestückt.

Die erste Rasterbohrung 14a des Bohrungsrasters 13 definiert den Nullpunkt für den aufgesetzten Rahmen 4. Es ist damit ein versatzfreies Befestigen auf der Spannpiatte 11 möglich, wie sich das der den Befestigungsvorgang in mehreren Betriebsstellungen zeigenden Fig. 7 deutlich entnehmen iäßt. Denn nach dem Einziehen-mittels eines Gewindestiftes 16-der für den vorliegenden Rahmen 4 und damit der Vollmaterialplatte 9 wirksam zum Einsatz kommenden Spannhülsen 15 in die Systembohrungen 8 liegt diese aufgrund eines Preßsitzes der Hülsen in den Systembohrungen 8 fest und wird dann durch abschiießendesAufschrauben einer Mutter 17 befestigt. Da alle Rasterbohrungen 14 mit solchen Spannhülsen 15 bestückt sind, können Platten 9 verschiedener Größe problemlos aufgespannt werden. Aus der solchermaßen lagesicher fixierten Platte 9 können sodann entsprechend dem Computermodell die für das fertige Bauteil B benötigten einzelnen Scheiben 1a, 1b mit den in den Rahmen 4 zur an den Schnittebenen 3 beidseitigen endgültigen Fräsbearbeitung durch die Stege 7,7a bis 7d gehaltenen Bauteil-Scheiben 1a, 1b herausgearbeitet werden.

Zur Fräszeitverkürzung wird der Fräsprozeß vorzugsweise so ausgeführt, daß nur der Bereich um das Bauteil bzw. die Bauteile-Scheiben, nicht aber der komplette Rahmen gefräst wird.

Mit modernen Fügetechniken sind durch dieses Verfahren Prototypen und u. U.

Kleinserien herzustellen, welche eine volle Funktionstüchtigkeit bis hin zu hochbeanspruchten Bauteilen zufassen, wie Motorengehäuse.

Ein weiterer Vorteil dieser Technik besteht darin, Einlegeteile aus anderen Materialien z. B. Metalle, Keramik, Glas, etc. vor dem Fügen der gefrästen Bauteile bzw. Bauteile- Scheiben 1a, 1b mit einzubauen.

Der wesentliche Unterschied zu dem eingangs genannten Stand der Technik liegt somit darin, daß das erfindungsgemäße Verfahren die Hinterschneidungen in einem Bauteil selbst sucht, entsprechend in die zur Verfügung stehenden, zu fräsenden Platten aufteilt, in einem Positionierrahmen plaziert, mit in der Stärke einstellbaren Stegen zur Befestigung im Rahmen versieht, Positionierbohrungen beidseitig der Schnittebenen anbringt, den Werkstücknullpunkt wahlweise auf einen einzustellenden Nullpunkt berechnet, die Drehachse für das versatzfreie Fräsen nach Bedarf hinzufügt, die Fräsbahnen gemäß freiwählbarer Strategie berechnet und den erzeugten Werkzeugweg zur Bearbeitung abspeichert, die entsprechend diesen virtuelle Vorgaben des Fräsprogramms auf einer Fräsmaschine durchgeführt wird. Die Fig. 8 zeigt in den Einzeldarstellungen a bis f ausgehend von dem Bauteil B (vgl. a) die Abfolge des Ermittelns der Schnittebene 3 (vgl. b), Zerteilens in die Bauteile-Scheiben 1a, 1b (vgl. c), Anordnens der Bauteile-Scheiben 1a, 1b nach Teilschnitt e) in einen gemäß Darstellung d) ausgewähiten Rahmen 4 und die Zuordnung von Abstandselementen 7, die die Bauteile-Scheiben 1a, 1b in dem Rahmen 4 halten (vgl. f ; entspricht Fig. 2).