PROBST, Reinhard (Rheinring 4B, Braunschweig, 38120, DE)
Patentansprüche
1. Verfahren zur Selbstkalibrierung eines Teilkreises (1 , 6) für die Winkelmessung eines um eine Achse drehbar gelagerten Objektes, bei dem der Teilkreis (1 , 6) in eine Anzahl N im Wesentlichen gleichmäßiger Teilungsintervalle (7) geteilt ist, gekennzeichnet durch folgende Schritte: g) Der Teilkreis (1 , 6) wird in einen ersten und einen zweiten Unterteilkreis zu den ganzzahligen, teilerfremden Faktoren R bzw. S , mit N = R- S , faktorzerlegt; h) Für jedes Teilungsintervall (7) wird eine Teilungsabweichungs-Differenz d k ermittelt; i) Die Teilungsabweichungs-Differenzen d k werden bezüglich des ersten
Unterteilkreises vom Ortsraum in den Frequenzraum transformiert; j) Aus dem Transformationsergebnis werden Transformations- Koeffizienten F n k von Teilungsabweichungen f k bezüglich des ersten Unterteilkreises berechnet; k) Die Transformations-Koeffizienten F n ^ der Teilungsabweichungen f k bezüglich des ersten Unterteilkreises werden bezüglich des zweiten Unterteilkreises vom Ortsraum in den Frequenzraum transformiert, wodurch Transformations-Koeffizienten F n n der Teilungsabweichungen f k bezüglich des Teilkreises (1 , 6) erhalten werden; I) Die Transformations-Koeffizienten F n n der Teilungsabweichungen f k bezüglich des Teilkreises werden vom Frequenzraum in den Ortsraum transformiert, wodurch die Teilungsabweichungen f k erhalten werden.
2. Verfahren nach Anspruch 1 , dadurch gekennzeichnet, dass die Teilungsab- weichungs-Differenzen mit einem Abtastkopf ermittelt werden, der an dem Teilkreis (1 , 6) angeordnet ist, wobei R Teilkreisumläufe mit einem gegenseitigen Winkelabstand des Abtastkopfes von 36( % und ein Teilkreisumlauf
mit einem Winkelabstand des Abtastkopfes von 360 % in Bezug auf einen der anderen Teilkreisumläufe durchgeführt werden.
3. Verfahren nach Anspruch 1 , dadurch gekennzeichnet, dass die Teilungsab- weichungs-Differenzen mit R gleichmäßig um den Teilkreis (6) angeordneten Abtastköpfen (AK 0 , AKi, AK 2 ) und wenigstens einem Referenz- Abtastkopf (AKs) ermittelt werden, wobei der Referenz-Abtastkopf (AKs) an dem Teilkreis (6) in einem Winkelabstand von 360 % von einem der Abtast- köpfe (AK 0 , AKi, AK 2 ) angeordnet ist.
4. Verfahren nach einem der vorstehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass die Teilungsintervalle (7) vor der Faktorzerlegung durch einen Index k und nach der Faktorzerlegung durch ein Indexpaar {k 0 , k x ) indiziert werden, für die gilt:
k = (R-R s k 0 + S-S R k ι )moάN t O≤k≤N-l mit k 0 =kmoάS, O≤k o ≤S-\ k λ = kmoάR, 0<k λ <R-\ und den Bestimmungsgleichungen
S-S R =\moάR, S R <R
R-R s =lmoάS, R S <S.
5. Verfahren nach einem der vorstehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass die Teilungsabweichungs-Differenzen d k aus den Teilungsabweichungen f k definiert werden durch:
6. Verfahren nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, dass die Teilungsab- weichungs-Differenzen d k nach der Faktorzerlegung wie folgt dargestellt werden: d — f — f
•
7. Verfahren nach Anspruch 6, dadurch gekennzeichnet, dass die Teilungsab- weichungs-Differenzen nach folgender Vorschrift bezüglich des ersten Unterteilkreises in den Frequenzraum transformiert werden:
8. Verfahren nach Anspruch 7, dadurch gekennzeichnet, dass die Transformations-Koeffizienten der Teilungsabweichungen f k bezüglich des ersten Unterteilkreises wie folgt definiert werden:
9. Verfahren nach Anspruch 8, dadurch gekennzeichnet, dass die Transformationskoeffizienten der Teilungsabweichungen f k bezüglich des ersten Unterteilkreises nach folgender Vorschrift bezüglich des zweiten Unterteilkreises in den Frequenzraum transformiert werden:
10. Einrichtung zur Selbstkalibrierung eines Teilkreises (6) für die Winkelmessung eines um eine Achse drehbar gelagerten Objektes, die eingerichtet ist, das Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 9 auszuführen, aufweisend wenigstens einen Abtastkopf (AK 0 , AKi, AK 2 X einen Datenspeicher und eine Auswerteeinheit. |
Verfahren und Einrichtung zur Selbstkalibrierung von Teilkreisen
Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Selbstkalibrierung von Teilkreisen für die Winkelmessung eines um eine Achse drehbar gelagerten Objektes, bei dem der Teilkreis in eine Anzahl N im Wesentlichen gleichmäßiger Teilungsintervalle geteilt ist.
Ferner betrifft die Erfindung eine Einrichtung zur Selbstkalibrierung von Teilkreisen für die Winkelmessung eines um eine Achse drehbar gelagerten Objektes.
Teilkreise sind Winkelmaßverkörperungen, bei denen ein Kreis in eine definierte Anzahl N von Teilungsintervallen gleichmäßig und messbar geteilt ist. Sie bilden die Grundlage der Winkelmesstechnik durch Rückführung auf den Vollwinkel 2π rad=360° und sind überwiegend als radiale Gitterteilscheiben in Winkelencodern und in Messgeräten, wie z. B. Theodoliten, gebräuchlich. Auch durch Flächenkreisteilungen wie Spiegelpolygone oder Zahnräder werden Teilkreise gebildet.
Die herstellungs- und montagebedingten Teilungsabweichungen in Folge von Unregelmäßigkeiten der Teilungsintervalle, Exzentrizität der Teilscheibe und Rundheitsabweichungen der Drehachse führen zu einer nur im Wesentlichen gleichmäßigen Teilung des Teilkreises in Teilungsintervalle. Die Teilungsabweichungen lassen sich durch Anbringen von mehreren, im Allgemeinen mindestens 2 diametral angeordneten Abtastköpfen auf dem Umfang des Teilkreises mehr oder weniger kompensieren. Hierzu wird die Summe über die diskreten Messwerte der Abtastköpfe gebildet und somit bestimmte Komponenten der Teilungsabweichung eliminiert. Es gilt die mathematische Gesetzmäßigkeit, dass eine Anzahl von R gleichmäßig über dem Tei- lungsumfang angeordnete Abtastköpfe in ihrer Messwertsumme alle Fourierkoeffi- zienten oder Harmonischen der Teilungsabweichungen auslöschen, bis auf diejenigen der Ordnung R,2R,3R,... , die aus dem diskreten Fourierspektrum herausgefiltert werden. Diese Technik wird bei genauen kommerziellen Winkelmessgeräten bis zu höchstens R = A Abtastköpfen angewandt. Bei Verwendung herkömmlicher Amplitudengitter wird hiermit eine Genauigkeit der Winkelmessung von etwa 0,5" erreicht.
Die Anforderungen an die Genauigkeit von Winkelmessungen nehmen auf vielen Gebieten wie der Astronomie, der Optik und der Lasertechnik sowie der Mikro- und Nanotechnik ständig zu. Mit Phasengittertechnik oder holografisch hergestellten Gittern können heute Winkelmessgeräte mit wesentlich höherer Teilungszahl, verbesserter Signalqualität und höherer elektronischer Interpolation hergestellt werden, mit denen im Prinzip eine Verringerung der Messunsicherheit auf weniger als 0,1" erreichbar ist. Allerdings gelingt dies nur mit aufwendigen Kalibrierverfahren und dem Einhalten sehr enger Montagetoleranzen. Zur Selbstkalibrierung dieser Teilkreise werden so genannte Selbstkalibrierverfahren eingesetzt. Bei diesen handelt es sich um Kalibrierverfahren, bei denen sich die Teilkreise durch eine bestimmte Anordnung von Abtastköpfen selbst kalibrieren. Hierzu werden Differenzen und Summen der Messwerte der Abtastköpfe bestimmt und ausgewertet. Diese Verfahren sind jedoch aufwendig und unwirtschaftlich, so dass sie sich für eine industrielle Anwendung nicht eignen.
Ein Verfahren zur Selbstkalibrierung von Teilkreisen, das auf dem vorgenannten Prinzip beruht, ist in dem Artikel „Six Nanoradian in 2π Radian - A Primary Standard for Angle Measurement" von R. Probst und M. Krause, in Proc. of 2 nd euspen International Conference - Turin, Italy - May 27 th - 31 st , 2001 , beschrieben. Bei dem dort vorgestellten Verfahren sind 16 Abtastköpfe um den Teilkreis angeordnet, von denen 8 Abtastköpfe für die Winkelmessung und weitere 8 Abtastköpfe allein für die Selbstkalibrierung zusammen mit den ersten 8 verwendet werden. 16 Abtastköpfe sind für einen industriellen Einsatz nicht geeignet.
Aufgabe der vorliegenden Erfindung ist es daher, ein Selbstkalibrierverfahren für Teilkreise in der Winkelmesstechnik und für verwandte Anwendungen bereitzustellen, das mit einer relativ geringen Anzahl von Abtastköpfen auskommt und mit dem sich die Teilungsabweichungen schnell und effizient ermitteln lassen. Ferner ist es Aufgabe der vorliegenden Erfindung, eine Einrichtung für die Selbstkalibrierung von Teilkreisen in der Winkelmesstechnik und für verwandte Anwendungen bereitzustellen, das mit einer relativ geringen Anzahl von Abtastköpfen auskommt und mit dem sich die Teilungsabweichungen schnell und effizient ermitteln lassen.
Die Aufgabe wird durch ein eingangs erwähntes Verfahren erfindungsgemäß durch folgende Schritte gelöst:
a) Der Teilkreis wird in einen ersten und einen zweiten Unterteilkreis zu den ganzzahligen, teilerfremden Faktoren R bzw. S , mit N = R -S , faktorzerlegt; b) Für jedes Teilungsintervall wird eine Teilungsabweichungs-Differenz d k ermittelt; c) Die Teilungsabweichungs-Differenzen d k werden bezüglich des ersten
Unterteilkreises vom Ortsraum in den Frequenzraum transformiert; d) Aus dem Transformationsergebnis werden Transformations- Koeffizienten F n k von Teilungsabweichungen f k bezüglich des ersten
Unterteilkreises berechnet; e) Die Transformations-Koeffizienten F n k der Teilungsabweichungen f k bezüglich des einen Unterteilkreises werden bezüglich des zweiten Unterteilkreises vom Ortsraum in den Frequenzraum transformiert, wodurch Transformations-Koeffizienten F n n der Teilungsabweichungen f k bezüglich des Teilkreises erhalten werden; f) Die Transformations-Koeffizienten F n n der Teilungsabweichungen f k bezüglich des Teilkreises werden vom Frequenzraum in den Ortsraum transformiert, wodurch die Teilungsabweichungen f k erhalten werden.
Das erfindungsgemäße Verfahren zur Selbstkalibrierung von Teilkreisen für die Winkelmessung ermöglicht es, mit einer relativ geringen Anzahl von Abtastköpfen (unter einem Abtastkopf ist auch ein Sensor zu verstehen) in nur einem Teilkreisumlauf die Teilungsabweichungen in einer relativ hohen Teilungszahl schnell und effizient zu ermitteln. Die Kalibrierung und Rekalibrierung von Teilkreisen kann zudem im Einbauzustand erfolgen. Es ist somit kein Ausbau des Teilkreises erforderlich, der dann in einem Labor durch herkömmliche Kalibrierverfahren, wie z. B. Rosettenverfahren, kalibriert wird. Das erfindungsgemäße Selbstkalibrierverfahren vermeidet Unsicherheiten, die bei herkömmlichen Vergleichsmessgeräten durch die mechanische An-
kopplung an die gemeinsame Drehachse unvermeidlich sind. Damit ist das erfindungsgemäße Verfahren für den industriellen Einsatz besonders geeignet.
Bevorzugt sollte R eine möglichst kleine Zahl (z. B. R =2 oder 3) sein, während S deutlich größer sein kann, aber keinen gemeinsamen Teiler >1 mit R aufweisen darf.
In einer Ausführungsform werden die Teilungsabweichungs-Differenzen aus mehreren aufeinander folgenden Teilkreisumläufen mit nur einem Abtastkopf ermittelt, der an dem Teilkreis angeordnet ist, wobei R Teilkreisumläufe mit einem gegenseitigen
Winkelabstand des Abtastkopfes von 360 % und ein Teilkreisumlauf mit einem Win¬
kelabstand des Abtastkopfes von 360 % in Bezug auf einen der anderen Teilkreis- umlaufe durchgeführt werden.
Bei dieser Ausführungsform werden die Teilungsintervalle von dem Abtastkopf für jeden Teilkreisumlauf ausgelesen und zwischengespeichert. Neben dem Auslesen einer Gitterteilscheibe mit dem Abtastkopf können beispielsweise Zahnflanken eines Zahnrades mit einem Messtaster als Sensor oder die Flächen eines Spiegelpolygons mit einem Autokollimator als Sensor gemessen werden. Der gegenseitige Winkelabstand der Teilkreisumläufe wird durch eine entsprechende Winkeländerung zwischen Teilkreis und Abtastkopf mit Hilfe eines Verstellmechanismus erzielt. Die einzelnen Teilkreisumläufe müssen zum Auslesen der Teilungsintervalle nur im Winkel reproduzierbar sein, können jedoch unbekannte systematische Winkelfehler enthalten, da diese bei der Berechnung der Teilungsabweichungs-Differenzen eliminiert werden. Diese Ausführungsform hat den Vorteil, dass sie mit nur einem Abtastkopf auskommt. Damit kann das Verfahren Platz sparend und mit geringem Geräteaufwand durchgeführt werden.
In einer weiteren Ausführungsform werden die Teilungsabweichungs-Differenzen mit R gleichmäßig um den Teilkreis angeordneten Abtastköpfen und wenigstens einem Referenz-Abtastkopf ermittelt, wobei der Referenz-Abtastkopf an dem Teilkreis in einem Winkelabstand von 360 % von einem der anderen Abtastköpfe angeordnet ist.
Bei dieser Ausführungsform werden alle Teilungsintervalle in einem einzigen Teilkreisumlauf von allen Abtastköpfen gleichzeitig ausgelesen und daraus die Teilung- sabweichungs-Differenzen ermittelt. Damit lässt sich das erfindungsgemäße Verfahren in sehr kurzer Zeit durchführen.
Die Auslesungen der Teilungsintervalle liefern diskrete Messwerte. Deshalb werden die Transformationen vom Ortsraum in den Frequenzraum zweckmäßig mittels diskreter Fouriertransformation und die Transformationen vom Frequenzraum in den Ortsraum mittels inverser diskreter Fouriertransformation durchgeführt.
Vorzugsweise wird für die Fouriertransformation eine FFT-Variante (FFT: Fast Fou- rier Transform) von L. H. Thomas „Using a Computer to solve problems in physics" in Application of Digital Computers, Boston, Mass.: Ginn, 1963, und I. J. Good „The in- teraction algorithm and practical Fourier analysis" in J. Roy. Statist. Soα, ser. B, vol. 20. pp.361 - 372, 1958; Addendum, vol.22, 1960, pp.372 - 375, verwendet. Diese Variante beruht auf folgender eineindeutiger Zerlegung eines Index k in ein Indexpaar (k o ,k,) :
k = (R-R s k 0 + S-S R k ι )moάN, 0≤k≤N-l mit k 0 =kmoάS, O≤k o ≤S-l k^kmoάR, O≤^≤R-l und den Bestimmungsgleichungen
S S R =lmodR, S R <R
R R s =lmoάS, R S <S.
Werden die Teilungsintervalle zunächst durch den Index k indiziert, so führt die vorstehende Zerlegung des Index k in das Indexpaar (Jt 0 , £,) zu einer für das erfindungsgemäße Verfahren besonders vorteilhaften Faktorzerlegung des Teilkreises N in den ersten Unterteilkreis S zu dem Index k 0 und den zweiten Unterteilkreis R zu dem Index A 1 .
Die Teilungsabweichungs-Differenzen d k können gegen einen Mittelwert von Teilungsabweichungen ermittelt und wie folgt definiert werden:
wobei f k die Teilungsabweichungen und f k ein arithmetischer Mittelwert über R gleichverteilte Teilungsabweichungen sind.
Die Faktorzerlegung nach Thomas und Good führt zu der folgenden für die Berechnungen vorteilhaften Indizierung für die Teilungsabweichungs-Differenzen d k :
i r r ö '^i ^ kQ +R,Kγ -' ftQ
R-I
_ 1
Jk 0 R 2-, Jk 0 ^ 1 ■
Ar 1 =O
Die Teilungsabweichungs-Differenzen d kι> kχ werden vorzugsweise nach folgender
Vorschrift bezüglich des ersten Unterteilkreises S in den Frequenzraum transformiert:
S-I D' k = Y d k k - W" llCo 0 < U 1 ≤ S - 1
Ar 0 =O
mit W s = e /s .
Hierbei wurde die Faktorzerlegung von Thomas und Good ausgenutzt und die diskrete Fouriertransformation für periodische Funktionen angewandt.
Der Index n im Frequenzraum ist entsprechend dem Index k im Ortsraum nach folgender Vorschrift in ein Indexpaar (n o ,n λ ) zerlegt:
n = (S-n 0
+ R-n ι
)moάN, O≤n≤N-l n o
=n mod R, O≤n o
≤R-l
Diese Zuordnung ist ebenfalls eineindeutig, wodurch auch die inverse diskrete Fou- riertransformation vom Frequenzraum in den Ortsraum eindeutig definiert ist.
Mit dieser Zerlegung lassen sich die Transformations-Koeffizienten der Teilungsabweichungen bezüglich des ersten Unterteilkreises S wie folgt schreiben:
R-I Ar 1 =O
Eine weitere Transformation der so gewonnenen Transformations-Koeffizienten der Teilungsabweichungen bezüglich des ersten Unterteilkreises S in den Frequenzraum bezüglich des zweiten Unterteilkreises R führt in einfacher Weise unmittelbar zu den folgenden Transformations-Koeffizienten der Teilungsabweichungen bezüglich des Teilkreises:
■ w/" >
, o ≤ « 0
< R - 1
Unter Berücksichtigung der Kreissymmetriebedingung
k % R [R, furn o = O
und der Definition der diskreten Fouriertransformierten der Teilungsabweichungs- Differenzen
R-I a — V D' . W "oK
"0 >"l
Ar 1 =O
ergibt sich die folgende Fallunterscheidung für die Transformations-Koeffizienten der Teilungsabweichungen bezüglich des Teilkreises, die eine einfache Auswertung ermöglicht:
F n ^ n ^ D n ^ - W^ für ^n 1 ≠ O
F 0 0 = O für W 09 W 1 = O .
Die letzte Zeile gilt wegen der sog. Kreisschlussbedingung, die besagt, dass sämtliche Teilungsabweichungen eines Teilkreises zusammen den Wert Null ergeben.
Mit den vorstehenden Gleichungen sind alle Transformations-Koeffizienten F n n der absoluten Teilungsabweichungen f k k aus den Transformations-Koeffizienten D n n der gemessenen Differenzen d k k eindeutig bestimmt: Der Koeffizient
M) 9W1 in vorstenender
Bestimmungsgleichung ist für alle
Werte 0 < nγ ≤ S - 1 definiert, da der Nenner (l - W£ x J nicht Null werden kann, da
R und S teilerfremd sind. Das bekannte Polstellenproblem bei der diskreten Fou- riertransformation von Messdifferenzen kann deshalb hier nicht auftreten.
Man erhält hieraus schließlich die gesuchten Teilungsabweichungen f k durch die
inverse diskrete Fouriertransformation f k
=
Die Aufgabe wird ferner gelöst durch eine Einrichtung zum Kalibrieren eines Teilkreises für die Winkelmessung eines um eine Achse drehbar gelagerten Objektes, die eingerichtet ist, das Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 9 auszuführen, aufweisend wenigstens einen Abtastkopf, einen Datenspeicher und eine Auswerteeinheit.
Mit der erfindungsgemäßen Einrichtung lässt sich ein Teilkreis im Einbauzustand einfach selbstkalibrieren. Gute und für die meisten industriellen Anwendungen ausreichende Ergebnisse lassen sich bereits mit einer sehr geringen Anzahl an Abtastköpfen erzielen. Die Berechnungen für das Verfahren sind einfach und nicht sehr rechenintensiv, so dass die Einrichtung mit einem einfachen und kostengünstigen Datenspeicher und einer einfachen und kostengünstigen Auswerteeinheit, beispielsweise einem MikroController oder einem Prozessor, realisiert werden kann.
Die Erfindung wird anhand der folgenden Figuren näher beschrieben. Es zeigen:
Figur 1 einen ersten Teilkreis;
Figur 2 einen weiteren Teilkreis;
Figur 3 den Teilkreis aus Figur 2 im Ortsraum und
Figur 4 den Teilkreis aus Figur 2 im Frequenzraum.
In Figur 1 ist ein Teilkreis 1 dargestellt.
Der Teilkreis 1 weist eine Winkelteilung 2 mit sechs Teilungsintervallen 3 auf. Die Teilungsintervalle 3 würden im Idealfall jeweils einen Kreisbogen 4 zu einem Mittelpunktswinkel von 2 ^/ = 60° bilden. Aufgrund von herstellungs- und montagebedingten Toleranzen ist dieser Idealfall jedoch nicht erreichbar. Daher weichen die tatsäch-
liehen Teilungsintervalle 3 von den idealen Kreissegmenten 4 ab. Hierdurch entstehen Teilungsabweichungen φ k (0 < k < 5), die zu unterschiedlich großen Teilungsintervallen 3 führen. Die Teilungsabweichungen φ k (0 < k < 5) treten sowohl im Uhrzeigersinn als auch im Gegenuhrzeigersinn auf, was durch die unterschiedlich orientierten Pfeile entlang des Kreisumfangs angedeutet ist. Die unterschiedlich großen Teilungsintervalle 3 führen bei einer Winkelmessung zu Messabweichungen vom tatsächlichen Winkel. Um diese Messabweichungen entweder bereits während der Messung berücksichtigen oder die Messergebnisse nachträglich korrigieren zu können, ist es erforderlich, den Teilkreis 1 zu kalibrieren, also die φ k (0 < k < 5) zu bestimmen. Die Teilungsabweichungen führen zu Messabweichungen in der Form diskreter Zahlenwerte f k , die proportional zu den Werten φ k (0 < k < 5) sind.
Figur 2 zeigt schematisch eine erfindungsgemäße Einrichtung 5 zum Kalibrieren eines Teilkreises 6. Die Faktorzerlegung N = R -S ist hier mit R = 3 und S =4 realisiert.
Der Teilkreis 6 weist zwölf Teilungsintervalle 7 auf. Auf dem Umfang des Teilkreises 6 sind drei Abtastköpfe AK 0 , AKi und AK 2 in gleichem Winkelabstand zueinander angeordnet. Die Winkel zwischen benachbarten Abtastköpfen AKo, AKi und AK 2 betragen 120°.
Auf dem Umfang des Teilkreises 6 ist ferner ein Referenzabtastkopf AKs in einem
Winkelabstand von 360 %4 ' - = 90° im Gegenuhrzeigersinn von dem Abtastkopf AK 0 angeordnet.
Die Messwerte der Abtastköpfe AK 0 , AKi und AK 2 und des Referenzabtastkopfes AKs werden über eine geeignete drahtgebundene oder drahtlose Datenverbindung an eine nicht dargestellte Rechnereinheit übermittelt. Die Rechnereinheit umfasst einen Datenspeicher zum Speichern der Messwerte und weiterer Daten, wie zum Beispiel Zwischenergebnisse, sowie eine Auswerteeinheit, die die Messwerte nach dem erfindungsgemäßen Verfahren verarbeitet. Darüber hinaus ist die Rechnerein-
heit 16 zur Ansteuerung der Drehung des Teilkreises 6 eingerichtet. Dies kann beispielsweise über einen nicht dargestellten Elektromotor erfolgen.
Die Selbstkalibrierung des Teilkreises 6 wird im Folgenden näher erläutert.
In einem vollständigen Teilkreisumlauf werden die drei Abtastköpfe AK 0 , AKi und AK 2 jeweils in Differenz zu dem Referenzabtastkopf AKs ausgelesen, wodurch Messwertdifferenzen erhalten werden. Der Referenzabtastkopfes AKs dient dabei als Taktgeber. Bei jedem Takt wird der arithmetische Mittelwert der Messwertdifferenzen gebildet. Der Mittelwert beschreibt einen Dreiecksteilkreis mit seiner Lage in Bezug auf den Referenzabtastkopf AKs.
In Figur 3 ist zu erkennen, dass gemäß der Teilkreiszerlegung mit N = 12, R = 3 und S = 4 in einem Teilkreisumlauf eine Anzahl von genau 4 Dreiecken 8a, 8b, 8c, 8d mit ihren Lageabweichungen ausgelesen werden, die zusammen den vollständigen Teilkreis 6 bilden.
Die Auswertung dieser zwölf gemittelten Teilungsabweichungen erfolgt nun nach dem erfindungsgemäßen Verfahren, das einen zweistufigen Fourieralgorithmus darstellt.
Zunächst wird der Index k im Ortsraum nach Thomas und Good in ein Indexpaar (k o ,k λ ) zerlegt. Die Werte des Index k sind in Figur 3 innen am Kreisumfang 9 im
Gegenuhrzeigersinn dargestellt und die Werte der zugeordneten Indexpaare (k o ,k λ ) außen am Kreisumfang 9. Entsprechend sind die Werte des Index n im Frequenzraum und die Werte der zugeordneten Indexpaare (« 0 ,«,) in Figur 4 dargestellt an einem Kreisumfang 10 dargestellt.
Die Zerlegungen führen zu folgenden Zuordnungstabellen:
Tabelle 1 Tabelle 2
Der Tabelle 1 ist beispielsweise zu entnehmen, dass dem Index £ = 11 das Indexpaar (£ < ,,£,) = (3,2) und dem Index n - 4 das Indexpaar (W 01 W 1 ) = (1,0) zugeordnet sind. Es ist auch zu erkennen, dass die Zuordnungen eineindeutig sind.
In der ersten Stufe führt die Fouriertransformation der Teilungsabweichungs- Differenzen
D nι A = ∑d koA - W W;P n,k K n °
Ic 0 =O
Diese Funktion stellt bezüglich des Index i\ eine Funktion im Frequenzraum und bezüglich des Index k x eine Funktion im Ortsraum dar.
Durch Auswerten und Umformen erhält man hieraus die Funktion
In der zweiten Stufe führt die Fouriertransformation dieser Funktion über den zweiten Unterteilkreis (zu dem Faktor R = 3 ) zu Transformations-Koeffizienten der Teilungsabweichungen, die durch folgende Vorschrift dargestellt werden:
Die Auswertung dieser Funktion führt zu folgender Fallunterscheidung:
F 0 0 = O für W 05 H 1 = O .
Man erhält hieraus schließlich die gesuchten Teilungsabweichungen f k durch die
inverse diskrete Fouriertransformation
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