STATISTIQUE DU BRUIT L'invention concerne notamment un procédé et son système associé permettant d'estimer le nombre de sources incidentes dans un réseau comportant C capteurs ou antennes sur lesquels N observations sont exploitées.

Pour la description qui va suivre, les notations suivantes vont être utilisées :

• C nombre de capteurs de réception,

• N nombre d'observations non redondantes exploitées, par exemple, N=C si on considère uniquement les statistiques d'ordre 2 du signal reçu, N=f(C ^q ) où f(.) est une fonction polynomiale de N d'ordre Ent(q/2) si on considère les statistiques d'ordre q,

• K le nombre d'échantillons de signal pour chaque observation,

• M est le nombre de sources à estimer,

• x(t) est le signal reçu sur le réseau de capteurs, vecteur de taille C. Le problème de l'estimation du nombre de sources présentes dans un mélange constitue une étape cruciale dans les systèmes d'écoute passive avant la mise en œuvre de traitements de localisation à haute résolution, de techniques de séparation, ou encore de démodulation conjointe. Il s'agit de détecter (M) sources avec M compris entre 0 et N-1 où N est le nombre d'observations non redondantes exploitées sur les C capteurs de l'antenne de réception.

Dans un contexte électromagnétique, les capteurs sont des antennes et les sources radioélectriques se propagent suivant une polarisation. Dans un contexte acoustique les capteurs sont des microphones et les sources sont sonores. Les méthodes classiques d'estimation du nombre de sources présentes dans un mélange reposent par exemple sur des tests statistiques basés sur les valeurs propres (VP) de la matrice de covariance du signal reçu sur les capteurs de l'antenne de réception. Ces tests sont basés sur la connaissance de la loi de probabilité de la fluctuation des valeurs propres de bruit sachant que la matrice de covariance du signal est estimée à partir de K échantillons statistiquement indépendants et que le bruit est supposé blanc et gaussien.

Les valeurs propres les plus fortes de la matrice de covariance correspondent aux valeurs propres de signal tandis que les valeurs les plus faibles de la matrice correspondent en général au bruit. En asymptotique (K tend vers l'infini) et en présence d'un bruit blanc les valeurs propres de bruit sont toutes identiques. Pour un nombre fini K d'échantillons, on observe des fluctuations qui rendent la séparation entre les valeurs propres de signal et les valeurs propres de bruit non immédiate. Pour faire face à ces fluctuations statistiques, les tests les plus classiques sont les tests du chi-deux, AIC et MDL qui vont être détaillés ci-après et qui exploitent la statistique supposée gaussienne du bruit blanc.

Test du chi-deux

Ce test consiste à estimer le rapport de vraisemblance des valeurs propres de bruit et à tester de façon croissante différentes hypothèses sur le nombre N-M de valeurs propres de bruit

où g{N-M) et a{N-M) représentent les moyennes géométriques et arithmétiques des (N-M) plus petites valeurs propres de la matrice de covariance B de l'observation, K étant le nombre d'échantillons observés. Le rapport de vraisemblance suit asymptotiquement une loi du chi-deux de (N-M) ² -1 degrés de liberté car le bruit est supposé blanc et gaussien, ce qui permet de fixer un seuil de détection lorsque le nombre d'échantillons K est élevé (K>30). Test AIC (critère d'information d'Akaike) et MDL (Minimum Distance Length)

Ce critère a été initialement développé par H.Akaike pour déterminer l'ordre d'un modèle [1 ]. Il est basé sur le calcul du rapport de vraisemblance des valeurs propres de bruit avec ajout d'un terme correctif qui permet de prendre en compte les situations où la valeur de K est faible (par exemple K<30). Le nombre de sources est alors déterminé comme étant le nombre entier qui minimise la quantité suivante :

AIC(M) = -K(N -M) + m(2N - m)

où g{m) et a(m) représentent les moyennes géométriques et arithmétiques des m=N-M plus petites valeurs propres de la matrice de covariance B d'une observation, K étant le nombre d'échantillons observés.

Un autre test a été proposé pour faire face au problème de consistance du test AIC, il s'agit du critère de la longueur de distance minimum ou MDL qui introduit un terme correctif modifié.

Une méthode de l'art antérieur [2] est proposée pour détecter le nombre de sources en présence de bruit coloré. Cette méthode repose sur l'hypothèse d'un réseau linéaire et de signaux non corrélés.

Critères empiriques à seuil

Les critères statistiques précédents sont basés sur une structure blanche d'un bruit additif qui est Gaussien. Dans la pratique, le bruit n'est ni blanc, ni gaussien. Dans ces conditions, lorsque le nombre d'observations K tend vers l'infini, les valeurs propres de bruit ne sont plus toutes identiques. C'est ainsi que des critères purement empiriques visant à classer les « petites » et les « grandes » valeurs propres ont été proposés. Ces méthodes présentent notamment comme inconvénient de faire des hypothèses fortes soit sur la structure de la matrice de covariance soit sur celle de la matrice de covariance du bruit soit sur celle de la matrice de covariance du signal sans bruit. Décroissance du spectre des valeurs propres

Lorsque des signaux incidents présentent de fortes corrélations ou de faibles écarts angulaires, certaines valeurs propres de l'espace signal deviennent proches de celles du bruit, ce qui conduit à une sous-estimation du nombre de sources. Des méthodes ont été développées pour pallier ce problème, en postulant une loi de répartition empirique des valeurs propres de l'espace bruit. La modélisation de la décroissance peut être linéaire ou exponentielle. L'estimation du nombre de sources repose alors sur la recherche d'un saut significatif dans la décroissance des valeurs propres. Toutefois, il est nécessaire de régler une valeur de seuil de détection qui repose sur l'hypothèse d'un bruit additif et gaussien circulaire.

Réseaux de neurones

D'autres méthodes ont été développées autour de réseaux de neurones pour estimer un faible nombre de sources présentes. Ces méthodes imposent une structure sur la matrice de covariance du bruit et présentent une complexité de mise en œuvre assez importante.

Filtrage de Wiener

Des méthodes ont aussi été proposées, basées sur le filtre de Wiener multi-étages [3]. Elles permettent d'éviter la phase de calcul de la matrice de covariance du signal de même que la décomposition en valeurs propres. Il est supposé que le bruit additif est un bruit blanc et que les sources sont générées par un filtre à 3 coefficients et sont incidentes à un réseau linéaire equiespacé. Le test de détection du nombre de sources exploite alors cette structure. Dans la pratique, on ne connaît pas l'étalement temporel des sources et le bruit n'est pas forcément à structure blanche. D'autres méthodes supposent que le bruit est gaussien et spatialement corrélé, deux hypothèses qui ne sont pas forcément vérifiées en situation réelle.

La méthode empirique décrite dans [4] repose sur la modélisation de décroissance exponentielle des valeurs propres de bruit soit

où est le nombre de valeurs propres de bruit, ( Λ _ι ≥· · ·≥Α _Ν ) sont les valeurs propres de la matrice de covariance et K est le nombre d'observations utilisées pour estimer la matrice de covariance. Le test de décision bruit ou signal est alors le suivant

Cette méthode, malgré son efficacité présente l'inconvénient de ne pas fonctionner lorsque le nombre d'observations utilisées pour estimer la matrice covariance tend vers l'infini. Elle suppose une structure blanche du bruit et ne fonctionne donc pas en présence de bruit corrélé et coloré.

Il est aussi connu de l'art antérieur le document de : KRITCHMAN S ET AL : "Nonparametric détection of the number of signais and random matrix therory" SIGNALS, SYSTEMS AND COMPUTERS, 2008 42 ND ASILOMAR CONFERENCE ON, IEEE, PISCATAWAY, NL, USA, 26 Octobre 2008 (2008-10-26), Pages 1680-1683, XP031475587 - ISBN 978-1 -4244- 2940-0. Et celui de : CHEN W ET AL: "Détection of the number of signais : a predicted eigne-threshold approach" IEEE TRANSACTIONS ON SIGNAL PROCESSING, IEEE SERVICE CENTER, NEW YORIK, NY, US LNDK- DOI : 10.1 109/78.80959, vol.39, n °5, 1 mai 1991 (1991 -05-01 ), pages 1088- 1098; XP002506761 ISSN 1053-587X.

D'un point de vue général l'objectif technique est d'estimer le nombre M de composantes du mélange linéaire suivant :

M

r _k =∑a _m s _m (k) +n _k P ur l≤k≤K (1) m=l Où r _k vecteur de dimension Nx1 est une transformation plus ou moins linéaire de l'observation x _k reçue sur les C capteurs, n^ est un vecteur bruit additif. Chaque source s _m (k) est associée à la signature a _m . Si on considère les statistiques d'ordre 2 l'objectif est de détecter M à partir de la matrice de covariance suivante :

D'un point de vue tout à fait général la détection du nombre M est effectuée à partir des N valeurs propres λ, de la matrice B.

L'objet de la présente invention concerne un procédé permettant notamment de prendre en compte les signaux mélangés dans le cas de bruit corrélé et/ou coloré, ou encore de bruit non Gaussien, non circulaire, et sans particularité de géométrie particulière de réseau de capteurs. Le procédé fonctionne en présence de sources corrélées et/ou présentant un fort gradient de puissance. Par une extension aux ordres supérieurs, le procédé peut détecter un nombre de sources supérieur au nombre C de capteurs de l'antenne de réception.

L'invention concerne un procédé pour déterminer le nombre de sources incidentes dans un réseau comportant C capteurs recevant N observations caractérisé en ce qu'il comporte au moins les étapes suivantes :

Etape 1 : Calcul de la matrice B de dimension NxN observée sur N composantes et obtenue à partir d'un signal reçu sur C capteurs.

Etape 2 : Calcul des valeurs propres {À _y , ..., À _N } ûe la matrice B

Etape 3 : Classement des valeurs propres de la matrice B du signal pour obtenir À _l ≥...≥À _N et initialisation du nombre de sources reçues à M= M _max Etape 4.0 : Initialisation de i à i=M+1

Etape 4.1 : i = i - 1

Etape 4.2 : Calcul de la moyenne et de l'écart type des valeurs propres de bruit → Calcul de la moyenne des N- i plus petites valeurs propres de la matrice B

1 ^N

→ Calcul de l'écart type des N- i plus petites valeurs propres de la matrice B

Etape 4.3 : Si Α^ Α^ +ησ alors cette valeur propre appartient à l'espace signal et le nombre de sources présentes dans le mélange est égal à i, où η est un seuil qui permet de contrôler la probabilité de fausse alarme. Le procédé est terminé.

Etape 4.4 : Si À _t < λ _ηογ +ησ , cette valeur propre appartient à l'espace bruit, retourner à l'étape 4.1 .

L'invention concerne aussi un système pour déterminer le nombre de sources incidentes dans un réseau comportant C capteurs recevant N observations caractérisé en ce qu'il comporte au moins un récepteur comprenant un processeur adapté pour exécuter les étapes du procédé explicitées précédemment.

D'autres caractéristiques et avantages du procédé et du système selon l'invention apparaîtront mieux à la lecture de la description qui suit d'un exemple de réalisation donné à titre illustratif et nullement limitatif annexé des figures qui représentent :

• La figure 1 , un exemple de système de traitement d'antennes, et

• La figure 2, un exemple d'un réseau de capteurs de position (x _n> y _n ).

La figure 1 montre un exemple de système de traitement d'antenne qui est composé d'un réseau 1 de capteurs ou d'antennes 4i recevant des signaux issus de différentes sources avec des angles d'arrivée Q _ip {i est l'indice de l'émetteur et p celui du trajet ) différents et d'un récepteur 3. Le récepteur comprend un processeur adapté pour exécuter les étapes du procédé selon l'invention. Le réseau peut également comporter des obstacles 2 sur lesquels les signaux sont réfléchis avant d'être reçus sur les antennes. Les capteurs 4i élémentaires du réseau reçoivent les signaux émis par les sources avec une phase et une amplitude dépendant en particulier de leurs angles d'incidences et de la position des capteurs. Les angles d'incidences sont paramétrés en une dimension ou 1 D par l'azimut 0 _m et en deux dimensions 2D par l'azimut 0 _m et l'élévation A _m . La figure 2 schématise un exemple d'un réseau de 6 capteurs recevant les signaux de P=2 sources distinctes.

Le procédé selon l'invention a notamment pour objet de déterminer le nombre M de sources incidentes dans un réseau comportant C capteurs recevant N observations. Pour cela les étapes suivantes vont être exécutées au niveau du récepteur 3.

Etape 1 : Calcul de la matrice B de dimension NxN observée sur N composantes et obtenue à partir d'un signal reçu sur C capteurs,

Etape 2 : Calcul des valeurs propres {Ày , ..., À _N } ûe la matrice B,

Etape 3 : Classement des valeurs propres de la matrice B du signal pour obtenir ≥...≥ À _N et initialisation du nombre de sources reçues à M= M _maXi

Etape 4.0 : Initialisation de i à i=M+1

Etape 4.1 : i = i - 1

Etape 4.2 : Calcul de la moyenne et de l'écart type des valeurs propres de bruit

→ Calcul de la moyenne des N- i plus petites valeurs propres de la matrice B

1 ^N

→ Calcul de l'écart type des N- i plus petites valeurs propres de la matrice B

Etape 4.3 : Si λ^ λ^ +ησ alors cette valeur propre appartient à l'espace signal et le nombre de sources présentes dans le mélange est égal à i, où η est un seuil qui permet de contrôler la probabilité de fausse alarme. Le procédé est terminé.

Etape 4.4 : Si À _t < λ _ηογ +ησ , cette valeur propre appartient à l'espace bruit, retourner à 4.1 .

Le procédé dépend notamment de deux paramètres M _max et η. M _max peut typiquement être égal à Λ//2 selon un exemple non limitatif, η est un coefficient donnant la sensibilité du procédé et dépendant d'une probabilité de fausse alarme. Il peut par exemple être choisi tel que 2<η<6.

Selon une variante de mise en œuvre, l'étape 3 du procédé ordonne les valeurs propres de la matrice par ordre décroissant, l'objectif étant d'obtenir les valeurs propres correspondant au bruit de façon contiguë.

Selon un mode de réalisation, la matrice B correspond à la matrice de covariance de l'observation r _k = x{t _k ) . La matrice B s'écrit alors :

^Β = ^ =^ Λ- Σ k=l ( ^χ (0 (2) x(t) correspond au signal reçu sur le réseau de capteurs et s'écrit

_Xl (t)

M

χ( = =∑P _m a(¾) s _ffi (i)+n(i) = A s(i) +n(i)

m=l (3) ½(

Où

x _n (t) est le signal reçu sur le n-ième capteur,

s(t) correspond au signal temporel émis par la source • Pm, Qm, X sont respectivement l'amplitude, et la direction d'arrivée de la m- ième source.

• a(<9) est la réponse du réseau de capteurs à une source de direction Θ

• n(f) est le bruit additif, les composantes de bruit sont indépendantes entre voies de réception et ont pour puissance σ ² . Le bruit comporte également les interférences éventuelles

• s _M {t)] ^T , vecteur des signaux temporels des sources

• A matrice des vecteurs directeurs pour les différents trajets m, A=[ a(6>i)... a(0 _M )]

Dans ce cas N=C.

Selon un autre mode de mise en œuvre du procédé de l'invention, la matrice considérée B correspond à la matrice de covariance spatiotemporelle du signal. r _k = x _f (t _k ) est un vecteur observation contenant L décalages temporels différents de l'observation x(t) définie par l'équation (3).

1 ^K

B = R

x/ ^x / où s (t) et s ( f ,t) sont les entrée/sortie d'un filtre de bande finie centré en f _m . Dans ce cas N=LC et M représente le nombre de composantes spatio- fréquentielles présentes dans le signal. En présence de porteuses pures, le nombre de composantes spatio-fréquentielles est égal au nombre de sources de l'observation x(t) définie par l'équation (3)

Selon un autre exemple de mise en œuvre, la matrice considérée B est une estimation de la matrice des inter-cumulants d'ordre 2q des signaux pour K observations du vecteur x(t _k ) de dimension Cx1 . Le procédé estime alors le nombre M de composantes indépendantes de l'espace signal de cette matrice, lequel correspond au nombre de sources reçues lorsque celles-ci sont statistiquement indépendantes. Le modèle de signal s'écrit : x(i) =∑a(0 _m )s _m (i) + n(i)

m=l

où P est le nombre de sources présentes et M le nombre de composantes indépendantes du mélange.

Sachant que x _n (t) est la n-ième composante de x(t), l'intercumulant est défini par :

cum(x. (ί),...,*. (ί),^(ί) (ί) ,x _iq+i (t),...,x _iq+i (t),x _iq+i+i (t) ,...,x _i2g {t) ) pour ï≤i _q ≤C et où cum(.) désigne le cumulant. Les intercumulants estimés sur K échantillons sont rangés dans la matrice B=R^ de la manière suivante :

R J(nJ. (nJH,(¾>- ^» >¾)

/ (Ω_ ) =∑ V ^~k (i _k - 1) + 1 avec Ω_ = {i, ,...,i _q )

k=l k=l

où c _x (¾,...,¾) est une estimée sur K échantillons de cum _x i ₁ ,...,i _2q ) . La matrice R _M s'écrit : = ( A- ® ( A^> )' ) R„ ( A" ® ( A^> )' ₊ R„„ A ^¾? =Α®···®Α

q fois

Où a(0p)] est la matrice des vecteurs directeurs pour les différents trajets indicés par p et où ® désigne le produit de Kronecker et R _ss , R„„ sont respectivement les matrices composées des intercumulants d'ordre 2q du signal source s(t) et du bruit additif n(t) .

Dans ce mode de réalisation, la matrice R _n est de dimension

NxN où N=C ^q . Le nombre M de composantes indépendantes à détecter par le procédé est compris entre 0 et M=f(P ^q ) selon l'équation (1 ) car la matrice

R _ss est de dimension P ^q x P ^q (P est le nombre de sources du signal x(t)). En présence de P sources indépendantes, le rang de R _n à déterminer vaut

M=P. Notons que la détermination du rang de la matrice R _n est à la fois valable pour des algorithmes de goniométrie et pour des algorithmes d'identification aveugle.

Selon un autre mode de réalisation, le procédé comporte les étapes décrits ci-après. En présence de M émetteurs (ou clusters), un système de localisation mesure au cours du temps un ensemble de paramètres caractérisés par les vecteurs _k pour 1 </ < Les vecteurs ξκ peuvent être composés par l'azimut <¾ et le rapport signal sur bruit SNR/c d'un des émetteurs à l'instant ξ^=[ <% SNF ] ¹ ( ^T désigne la transposée d'un vecteur). Ces vecteurs peuvent aussi être composés du vecteur directeur a(<¾) d'une des sources avec son rapport signal sur bruit : _k =[ a(<¾) ^T

SNR/(] ^T . De façon plus générale la /< ^ieme mesure % _k est entachée d'une erreur et est associée au m' ^eme émetteur de la façon suivante :

ζ _Ιζ = l,m + Gk pour λ < <Κ et 1 <m<M (4)

Où e _k est le vecteur bruit associé à la /c ^ieme mesure et _m le vecteur de paramètre associé au m' ^eme émetteur.

A partir de % _k il est possible de construire une observation fl£ _k ) de dimension plus grande. En particulier pour un système de goniométrie qui produit des azimuts <¾ au cours du temps, il est possible de construire % _k =[ <¾ SNR _/ (] ^T et d'effectuer la transformation non linéaire suivante :

en construisant alors l'observation suivante

r _{i =} ( Û® ( Û (6) qui obéit à l'équation (1 ), avec la signature a _m = f{ C, _m )®f{ C, _m ), il est possible d'estimer le nombre M de clusters à partir des valeurs propres de la matrice de covariance suivante

R= = ∑ ®f(L )] [f(L )®f(l )] ^H (7)

Λ- k=l

Pour tous les exemples de mise en œuvre décrits précédemment, dans le cas où la matrice B n'est pas de rang plein, le procédé considère les R valeurs propres non nulles de la matrice B.

Le procédé selon l'invention permet notamment d'estimer le nombre de sources présentes dans un mélange pour une structure de bruit quelconque, le bruit pouvant être de statistique et de corrélation quelconque. Le procédé offre une robustesse par rapport au nombre d'échantillons de signal disponibles. Il est robuste par rapport à un comportement asymptotique où le nombre d'observations est grand. Le procédé peut aussi être utilisé dans le cas d'un nombre d'échantillons de signal disponibles peu élevé. Le procédé fonctionne en présence de sources corrélées ou encore présentant un fort gradient de puissance. Le procédé fonctionne pour des géométries quelconques de réseau.

Le procédé peut également estimer un nombre de sources supérieur au nombre de capteurs C de l'antenne par une extension aux ordres supérieurs.

Références

[1 ] H.Akaike, « A new look at the statistical model identification

Trans on Aut. Control, 19, N °6, Dec 1974 [2] Lu Gan; Xin Qi; Liping Li; Huaguo Zhang, "Estimation of the number of signais in the présence of color noise", ICCCAS.2009

[3] An, Zhijuan; Su, Hongtao; Bao, Zheng; ,"A New Method for Fast Estimation of Number of Signais", IEEE 2008

[4] O.Michel, P.Larzabal, H.CIergeot, "Critères de détection du nombre de sources corrélées pour les méthodes HR en traitement d'antenne", GRETSI91 Juan-les-Pins