DOMAINE TECHNIQUE GENERAL

L'invention concerne l'analyse de propagation de fissure dans des pièces mécaniques. Ces pièces sont essentiellement destinées à des aéronefs, mais peuvent être n'importe quel composant mécanique. La propagation est définie dans un cadre de propagation par fatigue, avec une série de cycles de chargement.

En particulier, l'invention concerne les méthodes et systèmes de simulation, de détermination et d'interpolation de facteur d'intensité des contraintes (appelé FIC par la suite) d'une pièce modélisée numériquement que l'on souhaite analyser. L'invention concerne aussi les méthodes et systèmes de calcul de durée de vie de la pièce à analyser.

Le FIC se décompose en trois grandeurs, notées Kl, KII et KIII, correspondant aux modes respectivement d'ouverture de la fissure, de cisaillement plan et de cisaillement anti-plan.

La présente description sera faite pour Kl mais reste applicable aux autres grandeurs.

Les méthodes numériques de propagation de fissure sont performantes. Par exemple, les méthodes des éléments finis étendus (XFEM) ou de fissuration conforme permettent la prévision des trajets de propagation de fissure de manière fiable ainsi que le calcul des FIC le long d'un front de fissure.

Cependant, le calcul de la durée de vie en propagation de fissure n'est généralement pas intégré dans les codes du commerce ou incompatible avec les exigences industrielles.

C'est pourquoi il est usuel que les industries de l'aéronautique développent leur propre code de calcul de la durée de vie dont le fonctionnement se fonde sur des post-traitements particuliers des résultats issus des simulations numériques de propagation de fissure.

Pour une dimension de fissure donnée et en un point donné du front de fissure, le FIC est la grandeur caractérisant l'intensité du chargement au voisinage de la pointe de fissure. Selon l'amplitude de cette grandeur au cours d'un cycle de chargement de fatigue, la fissure va se propager plus ou moins vite.

C'est le rôle des simulations numériques de propagation de fissure de fournir les valeurs du FIC le long du front de fissure et pour différentes longueurs de fissure.

A partir de cette liste de valeurs, les codes de calculs de la durée de vie doivent être en mesure de prédire la durée de vie en propagation de fissure.

Néanmoins, pour des raisons de capacité de calcul, les pas de propagation, c'est-à-dire d'itération du calcul des simulations numériques, ne sont pas pris trop petits, ce qui signifie que toutes les longueurs de fissure ne sont pas simulées.

Afin de mener à bien le calcul de durée de vie, les FIC doivent donc être interpolés entre les pas de propagation simulés. Il est donc essentiel d'avoir une méthode d'interpolation efficace afin que les durées de vie prédites soient pertinentes.

ETAT DE L'ART

On rappelle que l'on se place dans le cadre d'une modélisation de fissure par fatigue, c'est-à-dire une modélisation de l'évolution d'une fissure lorsque plusieurs cycles de charge sont appliqués.

Les méthodes de fissuration 3D, généralement obtenues par éléments finis, permettent d'obtenir les FIC le long d'un front de fissure à chaque pas de propagation ainsi que les informations géométriques qui la caractérisent (coordonnées des nœuds du front de fissure et faces et nœuds associés à l'une des faces de la fissure). En pratique, seul le FIC maximum le long du front de fissure pour chaque pas de propagation (voir en figure 1 l'unique point PI, P2, P3, P4 sur chacun des traits courbes qui représente chaque front de fissure Fl, F2, F3, F4 à un pas de propagation différent) intervient dans le calcul de la durée de vie. Pour pouvoir utiliser ces valeurs de FIC, il est utile de les mettre en correspondance avec une longueur de fissure correspondante. Par la suite, les points entre chaque valeur tabulée sont obtenus à l'aide d'une interpolation linéaire entre les points de la tabulation.

Il y a deux inconvénients majeurs concernant cette méthode d'interpolation des FIC.

Le premier concerne le fait que le FIC renseigné dans le formulaire est le FIC maximum le long du front de fissure pour chaque pas de propagation. En d'autres termes, ce n'est pas forcément le FIC correspondant au même point du front qui est renseigné (les points sur la figure 1 concernent différents endroits du front de fissure). On ne tient ainsi pas compte, avec cette méthode, de la géométrie tridimensionnelle de la fissure et de son évolution au cours du temps qui impacte nécessairement l'évolution du FIC.

Le second inconvénient concerne le fait que cette méthode ne permet pas de vérifier si le pas de propagation est suffisamment fin. Il a été montré que si le pas de propagation est trop grossier, les durées de vie en propagation de fissure peuvent ne plus être conservatives.

Il y a en outre une dernière faiblesse à cette approche relative à la géométrie de la fissure qu'il faut considérer, qui peut être complexe (bifurcation par exemple). En effet, la fissure est une construction intrinsèquement tridimensionnelle et se pose le problème de la définition de la « longueur de la fissure ». Cela limite fortement l'applicabilité de cette méthode. Il existe des méthodes théoriques pour calculer la propagation de fissures.

Par exemple, la méthode des fonctions de poids permet de calculer des facteurs d'intensité des contraintes FIC à partir du champ de contrainte de la structure non-fissurée et de la géométrie de fissure (références [1], [2] et [3] par exemple - les références sont données en fin de description). Néanmoins, cette méthode est limitée à des cas simples ce qui la rend inutilisable en règle générale.

Les méthodes dites « perturbatives » sont plus complexes mathématiquement parlant, mais permettent de déterminer semi- analytiquement le comportement en fissuration ainsi que la stabilité du front (voir référence [4]). Cependant, la majeure partie des développements ne s'applique que sous l'hypothèse de milieu au moins semi-infini.

PRESENTATION DE L'INVENTION

L'invention propose ainsi un procédé d'estimation du facteur d'intensité des contraintes dans une pièce modélisée numériquement, dans le cadre d'une modélisation de propagation de fissure par fatigue, comprenant les étapes suivantes :

- (E2) : obtention, à partir d'une modélisation numérique de la pièce à analyser, d'une pluralité de valeurs simulées en différents points de la pièce à analyser,

ladite pluralité de valeurs simulées comprenant, pour différents pas de propagation simulés d'une fissure tridimensionnelle qui apparaît sur la modélisation numérique de la pièce, un ensemble des valeurs simulées du facteur d'intensité des contraintes en des points associés, la position de ces points, et des données relatives à la surface fissurée (coordonnées des nœuds et faces des éléments tridimensionnels définissant l'une des faces de la fissure, les faces des éléments pouvant être stockées sous la forme d'une table de connectivité),

- (E3) : détermination, pour chaque pas de propagation et pour l'ensemble de valeurs simulées pour celui-ci, d'une part d'une valeur convertie d'amplitude du facteur d'intensité des contraintes efficace global équivalent correspondant à celui d'une fissure plane à front droit et d'autre part d'une longueur convertie de la fissure équivalente considérée, lesdites valeurs converties étant déterminées par égalisation de l'énergie dissipée dans la fissure tridimensionnelle de la modélisation numérique et de l'énergie dissipée dans la fissure d'un modèle standard de fissure plane à front droit, les énergies étant elles-mêmes déterminées en fonction des facteurs d'intensité des contraintes,

- (E4) : Interpolation de valeurs converties d'amplitude de facteur d'intensité des contraintes efficace global équivalent entre deux longueurs de fissure converties (a) successives,

- (E5) : Stockage des valeurs converties d'amplitude de facteur d'intensité des contraintes efficace global équivalent ainsi interpolées avec les longueurs de fissure associées.

Ainsi, on se rapporte à un procédé global « thermodynamiquement » équivalent à celui d'une fissure plane à front droit. Une notion de longueur possédant un sens physique est générée, ce qui permet de s'affranchir des limitations citées précédemment.

Le procédé présenté est mis en œuvre par un système comprenant une unité de traitement de données.

L'invention concerne aussi les caractéristiques suivantes, prises seules ou en combinaison :

- l'étape d'interpolation met en œuvre une interpolation linéaire par morceaux, -l'étape d'interpolation met en œuvre une interpolation par minimisation de l'énergie de courbure,

- l'étape d'interpolation comprend les sous-étapes suivantes :

interpolation à l'aide d'une interpolation linéaire,

interpolation à l'aide d'une interpolation par minimisation de l'énergie de courbure, les deux interpolations étant interchangeables, calcul d'au moins une grandeur représentative d'une différence de valeurs d'amplitude du facteur d'intensité des contraintes entre les deux interpolations, ladite différence étant calculée strictement entre deux valeurs de longueurs de la fissure correspondant à deux pas successifs,

comparaison de ladite grandeur représentative de la différence avec un seuil prédéterminée,

si la grandeur représentative de la différence est supérieure au seuil, génération d'une consigne d'instruction de calcul à partir de la simulation numérique de la pièce à analyser des valeurs du facteur d'intensité des contraintes (FIC) le long du nouveau front simulé et des valeurs de la position de la fissure, entre les deux pas successifs,

- le procédé comprend préalablement à l'étape d'obtention (E2), une étape de calcul (El) mettant en œuvre la simulation par éléments finis

(ou éléments finis étendus) à des pas successifs de l'évolution de la fissure dans la pièce à analyser, ladite simulation étant effectuée par l'unité de traitement,

- les données numériques récupérées à d'obtention (E2) des données sont obtenues au moyen d'une simulation par éléments finis ou d'une simulation par éléments finis étendus,

- pour l'étape de détermination (E3), le premier sous-ensemble de données permet de connaître l'amplitude efficace du taux de restitution d'énergie AG par les relations suivantes :

Où sont, respectivement, les coefficient de FIC

correspondant aux modes d'ouverture de la fissure, de cisaillement dans le plan et de cisaillement anti-plan, est l'amplitude du facteur

d'intensité des contraintes efficace, est l'amplitude du taux de

restitution d'énergie efficace, s est l'abscisse curviligne le long du front de fissure, E est le module de Young, μ est le module de cisaillement, E* est le module de Young équivalent, v est le coefficient de Poisson,

deuxième sous-ensemble de données permet de connaître l'incrément de surface fissuré par unité de longueur de front de fissure dSurf,

ces formulations permettent d'obtenir la valeur de l'énergie dissipée :

dans lequel cette énergie dissipée est égalisée avec l'énergie dissipée de la fissure d'un modèle standard de fissure plane à front droit, s'exprimant sous la forme :

Où la notation glob est relative à ce modèle standard, et L _front est la longueur du front de fissure,

dans lequel, grâce à une modélisation par une loi de Paris avec les paramètres de fermeture de fissure d'Elber, le lien entre dSurf ^glob et est effectué

Où C et n sont des coefficients de Paris,

dans lequel, en égalisant les deux énergies dissipées, on obtient dans lequel, au moyen des relations entre et on détermine et dans lequel on détermine c'est-à-dire la

longueur a convertie de la fissure équivalente.

En particulier, le premier sous-ensemble de données contient les valeurs du facteur d'intensité des contraintes en des points associés sur le front de fissure et leur position respective associée, et le deuxième sous- ensemble de données contient les données relatives à la surface fissurée.

L'invention concerne également un procédé d'évaluation de la durée de vie d'une pièce modélisée numériquement, dans lequel on met en œuvre un calcul de la durée de vie de la pièce faisant intervenir les valeurs converties d'amplitude de facteur d'intensité des contraintes efficace global équivalent interpolées en fonction d'une longueur de fissure équivalente selon un procédé tel que décrit précédemment.

L'invention concerne également un système comprenant une unité de traitement comprenant des moyens de calcul et une mémoire, l'unité étant configurée pour mettre en œuvre un procédé d'estimation ou un procédé d'évaluation de durée de vie en propagation de fissure par fatigue tel que décrit précédemment.

L'invention concerne également un produit programme d'ordinateur configuré pour être mis en œuvre par un système tel que décrit précédemment, et comprenant des instructions pour provoquer la mise en œuvre d'un procédé d'estimation ou un procédé d'évaluation de durée de vie tel que décrit précédemment.

PRESENTATION DES FIGURES D'autres caractéristiques, buts et avantages de l'invention ressortiront de la description qui suit, qui est purement illustrative et non limitative, et qui doit être lue en regard des dessins annexés, sur lesquels : - La figure 1 illustre un front de fissure pour différents pas de propagation,

- La figure 2 illustre un système permettant de mettre en œuvre l'invention,

- La figure 3 illustre une pièce à analyser,

- La figure 4 illustre deux procédés et des modes de réalisation associés selon l'invention,

- La figure 5 illustre des points convertis en équivalence avec une fissure plane à front droit, à partir d'une fissure tridimensionnelle, selon une théorie d'équivalence énergique par analyse thermodynamique,

- La figure 6 illustre ces mêmes points avec deux méthodes d'interpolation : linéaire par morceaux et par minimisation de l'énergie de courbure,

- La figure 7 illustre l'évolution de l'interpolation polynomiale avec le degré du polynôme,

- La figure 8 illustre schématiquement une fissure plane à front droit,

- Les figures 9a à 9c illustrent des fonctions de forme 1D issues d'une généralisation des éléments finis et servant à calculer l'énergie de courbure,

- Les figures 10 à 10c illustrent un changement de représentation pour lisser les métriques. DESCRIPTION DETAILLEE

En référence à la figure 2, on a représenté un système 10 d'interpolation de valeur de facteurs d'intensité des contrainte (FIC) K d'une pièce à analyser 20, qui est modélisée numériquement. Comme indiqué en introduction, le FIC K se décompose en trois données Kl, KII, KIII. La description sera donnée pour Kl uniquement.

La pièce à analyser 20 est une pièce destinée à l'aéronautique, pour laquelle la durée de vie doit pouvoir être estimée. La pièce 10 est typiquement une aube fan de compresseur ou de turbine, un disque moteur, une bride, une attache moteur, un carter telle qu'illustrée en figure 3. Cette liste est donnée à titre illustratif, puisque, pour la mise en œuvre du procédé, le type de pièce n'intervient cependant pas.

Le système 10 comprend une unité de traitement de données 12, par exemple un ordinateur ou un serveur, disposant de moyens de calcul 14 configurés pour mettre en œuvre un procédé qui sera décrit plus en détail ci-après et, disposant avantageusement, d'une mémoire 16. Les moyens de calcul 14 peuvent par exemple être un calculateur de type processeur, microprocesseur, microcontrôleur, etc. La mémoire 16 peut être par exemple un disque dur, une mémoire « flash », ou un espace de stockage délocalisé, de type « cloud ». L'unité de traitement de données 12 peut également être adaptée pour mettre en œuvre des simulations numériques, telles qu'éléments finis, de la pièce à analyser 20. La simulation par éléments finis permet d'obtenir, pour chaque pas de simulation, des données relatives à ladite pièce et à la propagation de fissure.

En particulier, il est possible d'obtenir pour chaque pas de propagation, les valeurs du FIC en des points associés et la position de ces points, généralement le long du front de fissure. Les positions comprennent par exemple les coordonnées des nœuds du maillage définissant le front de fissure. Il est possible d'obtenir des données relatives à la surface fissurée : outre les coordonnées de nœuds, les faces des éléments tridimensionnels définissant une parmi les faces de la fissure. Ces données sont stockées sous la forme d'une table de connectivité, classiquement connues en éléments finis. D'autres données, telles que le maillage de la surface fissurée ainsi que du front peuvent aussi être obtenues. En référence à la figure 4, un procédé 100 d'interpolation des valeurs d'un FIC d'une fissure tridimensionnelle simulée par éléments finis va être décrit.

Ce procédé 100 est aussi avantageusement utilisé pour améliorer l'interpolation du FIC. Cela sera décrit par la suite.

Dans une première étape El, une simulation numérique est effectuée sur la pièce à analyser 10. Cette simulation permet d'obtenir les données précitées.

Dans un mode de réalisation préférée, cette simulation est faite par éléments finis ou par éléments finis étendus.

Cette étape El est effectuée soit par l'unité de traitement 12 du système, soit par un autre système.

Dans les deux cas, une étape E2 de réception desdites données (générées durant l'étape El) par l'unité de traitement 12 du système est mise en œuvre. Plus précisément, on définit pour chaque front de fissure simulé un premier sous-ensemble de données qui contiennent les valeurs du FIC en des points associés sur le front de fissure et leur position respective associée, et un deuxième sous-ensemble de données qui contient les données relatives à la surface fissuré (les coordonnées des nœuds définissant le front de fissure ainsi que le maillage surfacique d'une des faces de la fissure, par exemple la table de connectivité des faces des éléments tridimensionnels concernés) telles qu'elles ont été définies précédemment. Ayant une pluralité de fronts simulés à des pas différents, on obtient ainsi une pluralité de premiers et de deuxièmes sous-ensembles de données.

Il s'agit de la première étape du procédé d'interpolation à proprement parler, dans la mesure où l'étape de simulation El n'est pas nécessairement mise en œuvre expressément pour une interpolation ultérieure. Dans l'étape E3, la problématique de la géométrie de la fissure en trois dimensions est ramenée à une problématique de fissure plane à front droit. La fissure plane à front droit est un modèle standard connu de l'homme de l'art. Pour cela, une équivalence thermodynamique fondée sur une égalité de l'énergie dissipée entre les deux modélisations est effectuée. Le fondement physique est expliqué ci-dessous.

Le premier principe de la thermodynamique, pour une

transformation du front de fissure infinitésimale donne, exprimée en densité d'énergie par unité de longueur de front de fissure :

Le second principe de la thermodynamique permet d'exprimer l'irréversibilité de la transformation :

La densité d'énergie dissipée est toujours positive. Le terme dSurf représente l'incrément de surface fissurée par unité de longueur de front de fissure au cours de la transformation infinitésimale. Cette quantité est homogène à une longueur : il s'agit en quelque sorte d'un incrément de longueur de fissure au sens « thermodynamique » du terme. Il apparaît ainsi une grandeur « physique » que l'on pourra considérer pour effectuer une interpolation qui présente un sens physique.

Les éléments précédents permettent de rendre le problème de fissuration tridimensionnel initial équivalent à un problème de propagation de fissure plane à front droit en élasticité plane. Pour plus de généralité, nous nous plaçons dans le cas de l'élasticité adaptée, c'est-à-dire que le matériau a déjà pu subir une déformation plastique initialement, mais la propagation de fissure se fait sous un chargement cyclique de fatigue en élasticité.

Le champ de température peut évoluer au cours du temps mais le champ de température ne varie pas spatialement. Par conséquent, à un cycle de fatigue est associée une température. Une hypothèse de modélisation consiste à considérer que la loi de propagation de fissure est une loi de Paris avec correction d'Elber (références [5], [6]), donnée par l'équation suivante : dN

avec C(T) et n(T) sont les coefficients de la loi de Paris et a(T) et b(T) sont les paramètres de la loi de fermeture de fissure d'Elber, ΔΚ est l'amplitude du FIC, qui permet de s'affranchir du rapport de charge, (c'est-à-dire du rapport R= Kmin/Kmax) et est l'amplitude efficace du FIC, qui prend en compte l'effet de fermeture de la fissure. Le lien entre ΔΚ et a été établi par Elber.

L'incrément de surface dSurf fissuré par cycle est maintenant relié à l'amplitude du facteur d'intensité de contrainte efficace

Il existe une relation entre K (ou AK _eff , par équivalence) et le taux de restitution d'énergie G (ou l'amplitude dudit taux efficace

par équivalence), donné par les relations suivantes :

en déformations planes

où E est le module de Young, est le module de Young équivalent, μ est le module de cisaillement, v est le coefficient de Poisson.

Le FIC est connu en chaque point du front de fissure et pour chaque pas de propagation à l'aide de la simulation numérique de l'étape El et récupéré à l'étape E2.

En remplaçant les valeurs par leur amplitude dans les relations précédentes, on obtient, par définition, une relation entre le taux de restitution d'énergie et l'amplitude du facteur d'intensité des contraintes efficaces (s étant l'abscisse curviligne le long du front de fissure) :

L'énergie dissipée au cours du processus de fissuration s'obtient par la relation suivante (en restant dans l'hypothèse de transformation infinitésimale, donc en ne considérant qu'un cycle de chargement) :

Le dSurf est connu à l'aide des données relatives à la surface fissurée calculées par la simulation numérique à l'étape El et récupérées à l'étape E2.

En faisant le postulat d'une équivalence du problème de fissuration 3D avec un problème de fissuration plane à front droit, on peut égaliser les énergies dissipées et les longueurs de front de fissure. Par conséquent, il est légitime d'écrire :

La notation « glob » signifie que la donnée est propre à la modélisation en fissuration plane à front droit.

La fissuration plane à front droit respecte elle aussi la loi de propagation de Paris. On obtient par conséquent que

En égalisant les deux énergies dissipées et en réécrivant l'équation, on obtient la relation suivante

Or d ici, puisqu'on ne considère

qu'un seul cycle) est homogène à une longueur de fissure. Par conséquent, son intégration au cours du temps entre le premier cycle et le dernier cycle permet d'obtenir une longueur de fissure équivalente Surf ^glob , notée longueur a, au sens thermodynamique. On obtient bien une longueur qui a un sens physique.

La relation précédente établie entre permet

d'injecter l'amplitude du FIC efficace dans l'équation précédente. On obtient ainsi une relation reliant l'amplitude du FIC efficace global équivalent dans la modélisation en fissure plane à front droit en fonction de la longueur de la fissure c'est-à-dire la longueur a.

Ces données-là pourront ensuite être interpolées.

Cette construction physique est valide en toute généralité.

Cependant, elle nécessite de connaître toutes les informations du problème pour chaque cycle de chargement ce qui est généralement trop coûteux en termes de temps de calculs et d'espace mémoire pour la sauvegarde de l'intégralité des résultats (au moins un millier de cycle devraient être simulés). Les calculs par éléments finis se font souvent à pas de propagation maximal fixe le long du front de fissure, ou préintègrent sur un nombre de cycles donné (10, 100 ou 1000 par exemple). Cela revient à dé-raffiner la discrétisation en pas de propagation pour réduire le temps de calcul .

Par conséquent la loi de propa ation est remplacée par :

où coeff est le coefficient qui permet la pré-intégration de plusieurs cycles.

Cela revient à modifier les coefficients de la loi de Paris C et n par les coefficients

Le lien entre et est donc le suivant :

De plus, le terme est remplacé par la surface incrémentée entre

deux pas de propagation simulés (donc non infinitésimale).

En conclusion, le raisonnement précédent s'applique approximativement en effectuant les remplacements précédents et la longueur de fissure équivalente se déduit toujours de la même manière.

Ainsi, dans l'étape E3, à partir de la pluralité de premiers et de deuxièmes sous-ensembles de données récupérées à l'étape E2, c'est-à- dire les données du FIC le long des différents fronts de fissures simulées à des pas différents et des données relatives aux surfaces fissurées, et au moyen de ce qui a été expliqué précédemment, on détermine l'amplitude efficace globale du FIC et la longueur a de la fissure

plane à front droit associée. Cette détermination est mise en œuvre par l'unité de traitement 12.

Pour un front de fissure donné, les données du FIC simulées permettent de connaître K (premier sous-ensemble de données) et au moyen des équations précédentes permettent de calculer le et les données de la surface fissurée (deuxième sous-ensemble de

données) permettent de calculer la longueur a . Du fait de la pluralité de données correspondant à chaque front, on obtient une pluralité de couple

L'équivalence obtenue peut aussi être appliquée à une fissure plane à front droit. La relation suivante montre que le système reste invariant :

De cela découle le fait que les surfaces fissurées sont les mêmes, donc le système final est identique au problème initial . Ceci prouve la cohérence de la méthode fondée sur une analyse thermodynamique du problème.

La figure 5 illustre dans le plan la représentation des couples (a, Les références Fl, F2, F3, F4 sont données en référence à la figure 1, pour signifier à quel front de la fissure d'origine correspondent les points du graphe. Il s'agit d'un abus d'écriture.

On rappelle à présent que le but est de pouvoir déterminer des FIC pour des états de fissure qui n'ont pas été simulés numériquement, c'est-à-dire pour des états qui se produisent strictement entre deux pas successifs.

A cette fin, dans une étape E4, une interpolation des en fonction de la longueur a est effectuée. L'interpolation est effectuée par les moyens de calcul 14 de l'unité de traitement 12.

L'interpolation peut être effectuée selon plusieurs méthodes. On privilégie les interpolations qui ne créent pas d'informations au problème ou qui en ajoute un minimum . Pour cela, une interpolation linéaire par morceaux IL ou une interpolation par minimisation de l'énergie de courbure IMC conviennent. Les deux interpolations peuvent aussi être effectuées, dans la mesure où elles peuvent avoir des applications différentes.

La figure 6 illustre ces deux interpolations.

L'interpolation par minimisation de l'énergie de courbure globale peut être vue comme une méthode fondée sur des considérations physiques propres au problème de fissuration . En effet, la littérature scientifique sur le sujet montre que si une fissure se propage sans brancher, alors l'évolution du facteur d'intensité des contraintes avec l'extension de fissure peut être représentée par une fonction infiniment dérivable. Cela signifie que le fait de calculer la courbure d'une telle fonction présente un sens.

De plus, minimiser une énergie de courbure intervient dans quelques situations physiques comme, par exemple, dans la physique des bulles de savons ou plus généralement dans la physique des membranes.

La figure 7 illustre une interpolation linéaire entre trois points. Cet exemple nous montre qu'il est possible d'approximer de mieux en mieux une interpolation par des polynômes. L'approximation sera d'autant meilleure que le degré du polynôme sera élevé. Il est aussi possible de démontrer que l'écart maximum entre l'interpolation linéaire et l'approximation polynômiale tend vers zéro lorsque le degré du polynôme tend vers l'infini. Ainsi, l'interpolation linéaire peut être vue comme le passage à la limite à l'infini que l'on appliquerait à une fonction infiniment dérivable.

Cette approche confère un caractère aussi « physique » à l'interpolation linéaire par morceaux qu'à l'interpolation fondée sur la minimisation de l'énergie de courbure.

Réaliser une interpolation consiste à compléter l'information manquante à l'aide d'un principe qui doit au minimum respecter la « physique » du problème considéré, c'est-à-dire ne pas introduire d'éléments qui violeraient certaines équations fondamentales auxquelles le problème obéit.

C'est pour cette raison que l'interpolation par minimisation de l'énergie de courbure est une méthode « physique » car elle ne contredit pas la théorie de la mécanique de la rupture. La méthode consistant en des interpolations linéaires par morceaux n'est pas physique au premier abord mais peut être vue comme le passage à la limite d'une méthode d'interpolation polynômiale globale qui, elle, serait physique et qui par extensions rendrait la méthode d'interpolation linéaire par morceaux presque « physique » également.

Un autre point de vue concernant la méthode d'interpolation linéaire serait de la voir comme une méthode de minimisation de la distance entre des points. Cette manière de voir les choses la place alors dans la catégorie des méthodes optimales. L'interpolation linéaire minimise la distance tandis que l'autre minimise l'énergie de courbure sous les contraintes des positions des points à relier. La minimisation des distances peut être vue comme un moyen de relier des points sans introduire d'informations supplémentaires au problème initial et cela résulte en un champ continu. Dans le cas de la seconde méthode, on introduit au moins une information supplémentaire qui est que le champ est régulier. Dans ce cas, la minimisation de l'énergie de courbure est une méthode optimale au sens où on minimise l'information physique à introduire alors que la méthode de l'interpolation linéaire est optimale au sens où on minimise l'information purement mathématique.

Enfin, dans une étape E5, après l'étape d'interpolation, les données interpolées sont stockées, afin de pouvoir y avoir accès pour d'autres applications. Le stockage se fait typiquement dans la mémoire 16. On parle généralement de « formulaire ». Le formulaire est un tableau qui donne les facteurs d'intensité des contraintes en fonction de la longueur de la fissure.

Par conséquent, l'étape d'interpolation E4 génère un fichier, sous forme d'un format texte ou d'un tableau contenant le formulaire, c'est à dire regroupant les données converties et les données converties interpolées. L'étape E5 consiste à stocker ce fichier. En effet, comme indiqué en introduction, l'obtention du formulaire est généralement utilisée pour calculer la durée de vie d'une pièce. Par conséquent, en référence à la figure 4, un procédé 200 de détermination de durée de vie de la pièce à analyser 20 est décrit.

Dans une étape E'1, l'unité de traitement 12 reçoit le formulaire calculé à l'étape E4 et/ou stocké à l'étape E5 du procédé précédent. Cette étape de récupération peut simplement consister à avoir accès à la mémoire 16.

Dans une étape E'2, un procédé de calcul de la durée de vie en propagation de fissure par fatigue de la pièce est mis en œuvre. Le document [7] décrit un tel procédé.

Il suffit d'utiliser un code existant et de remplacer le formulaire de FIC par celui proposé dans cette invention pour déterminer la durée de vie en propagation de fissure.

Ce procédé 200 peut être mis en œuvre par un autre système que celui décrit précédemment.

Raffinement de l'erreur Lorsque l'on dispose de la totalité des informations concernant le problème à résoudre, le résultat de l'interpolation sera toujours le même quelle que soit la méthode d'interpolation utilisée et qui respecte la totalité des contraintes « physiques » du problème. Typiquement, sur les intervalles II de la figure 6, l'interpolation apparaît intuitivement comme étant de qualité ; sur les intervalles 12, elle apparaît intuitivement comme de moins bonne qualité.

Il est ainsi possible de voir les écarts entre deux interpolations optimales dites « physiques et ou mathématiques » comme un moyen d'identifier un manque d'information qui serait utile pour améliorer l'interpolation ou le degré de confiance en l'interpolation.

Cette considération permet de mettre en place une étape de vérification de la pertinence, illustré en figure 6.

Dans deux sous-étapes E41 et E42 interchangeables de l'interpolation, on effectue une interpolation linéaire par morceaux et une interpolation par énergie de courbure.

On remarque que strictement entre deux valeurs de longueur correspondant à deux pas successifs simulés, c'est-à-dire strictement en zone interpolée, il existe des différences δ de valeur entre les

deux interpolations.

Dans une sous-étape E43, on calcule au moins une de ces différences δ, que l'on compare, dans une sous-étape E44, à une valeur seuil prédéterminée VSP.

Le seuil prédéterminé VSP est choisi en fonction de la qualité de l'interpolation souhaitée.

Il est aussi possible de comparer une valeur de ces différences pour chaque zone entre deux pas successifs, ou de comparer une moyenne, ou une valeur maximale, etc. On parlera donc plus généralement d'une grandeur 5r représentative de la différence. Cette grandeur 5r indique qu'il existe un écart que l'on a pu quantifier par les fonctions citées précédemment.

Enfin, une sous-étape de comparaison E45 entre la grandeur 5r représentative et le seuil VSP est effectuée. Si la grandeur représentative est inférieure au seuil VSP, on peut considérer que les deux interpolations sont de qualité et que les données, si elles avaient été simulées, seraient proches des deux valeurs d'interpolation.

Si la grandeur représentative est supérieure au seuil VSP, alors on peut considérer qu'il y a une incertitude trop grande sur l'interpolation, et que l'obtention de nouvelles valeurs simulées est utile, voire nécessaire. A cette fin, on génère une consigne d'instruction de calcul à partir de la simulation numérique, typiquement par éléments finis (ou éléments finis étendus) de la pièce à analyser 20 d'au moins une valeur du facteur d'intensité des contraintes FIC et la position du front de fissure entre les deux pas successifs. En d'autres termes, l'unité de traitement 12 envoie une consigne pour effectuer une partie de l'étape El, avec un pas réduit pour au moins une simulation.

On parle ainsi de raffinement de la discrétisation en longueur de fissure.

A titre d'exemple, une valeur seuil prédéterminée VSP de 2% peut convenir. Le critère dépend du cahier des charges.

On peut par exemple décider que et que dès que

parmi interpolation linéaire et courbure) > 2% pour une

valeur de longueur a donnée, une consigne de re-calcul de la simulation est générée.

Enfin, l'étape de stockage E5 peut comprendre le stockage des deux interpolations et des grandeurs représentatives des différences 5r et/ou des différences δ.

ANNEXE 1 : exemple d'interpolation par minimisation de l'énergie de courbure L'interpolation par minimisation de l'énergie de courbure ne donne des prédictions physiques cohérentes que dans le cadre d'une fissure plane à front droit en élasticité plane, telle qu'illustré en figure 8, où σ représente la contrainte et a la longueur de la fissure. Or, le procédé décrit précédemment permet de considérer thermodynamiquement toute fissure tridimensionnelle comme une fissure vérifiant ces propriétés-là. Pour effectuer cette interpolation, il faut déterminer l'énergie de courbure.

On définit la fonction f de la manière suivante (x est la longueur de fissure « virtuelle », appelé a auparavant) :

La nécessité d'introduire des longueurs de fissure « virtuelles » est explicitée en ANNEXE 2

La fonction f s'écrit comme une combinaison linéaire des fonctions polynomiales par morceau (de degré 5 pour assurer une régularité C2 sur toute la plage d'évolution de la longueur de fissure « virtuelle », il s'agit d'une généralisation des éléments finis classiques) de référence données ci-dessous :

Le premier indice indique le numéro du nœud sur lequel la valeur nodale est prise.

Le deuxième indice indique la nature de la valeur nodale :

1 : Valeur nodale du facteur d'intensité des contraintes (FIC)

2 : Valeur nodale de la dérivée par rapport à la variable z du FIC

3 : Valeur nodale de la dérivée seconde par rapport à la variable z du FIC L'élément unidimensionnel associé à ces fonctions de forme est définit de manière à ce que le premier nœud soit situé à z = -1 et le deuxième à z = 1. L'abscisse curviligne associée à la courbe donnant l'évolution du facteur d'intensité des contraintes en fonctions de la longueur de fissure

« virtuelle » est donnée par :

On notera :

On notera que les degrés de liberté sont connus.

L'optimisation portera sur les autres degrés de liberté. 'où l'on obtient (où L _x est la longueur de l'élément virtuel)

Le vecteur unitaire tangent s'obtient comme suit :

Les figures 9a à 9c illustrent les valeurs des fonctions de formes et leur dérivée et dérivée seconde. On remarque que ces courbes vérifient leurs contraintes spécifiques (0 ou 1) au niveau des nœuds.

Nous pouvons désormais calculer le vecteur unitaire tangent à la courbe Kj. Les formules données précédemment conduisent à :

Il ne reste plus que le calcul de la courbure. Pour cela, la dérivée de t _x par rapport à l'abscisse curviligne est calculée : Pour déterminer les termes en dérivées par rapport à l'abscisse curviligne, les formules de passage différentielles de la coordonnée curviligne à la coordonnée virtuelle sont exprimées :

Cette équation matricielle est inversible ce qui permet d'obtenir

On remarque que ce qui permet de déterminer

facilement. Finalement, on trouve:

Avec

La courbure s'en déduit automati uement

La matrice D doit désormais être explicitée. Pour cela, la

formule classique suivante d'inversion de matrice 2x2 est utilisée:

On a donc

La fonctionnelle que l'on cherche à minimiser est la suivante (si le maillage est constitué de n-1 élément) : du

On utilise préférablement alors un algorithme de Newton pour déterminer les paramètres qui minimisent cette fonctionnelle. Il est

ainsi nécessaire de connaître les vecteurs gradients et matrices

Hessiennes (par rapport aux variables inconnues) des grandeurs intervenant dans le problème d'optimisation.

Cet algorithme peut être mis en œuvre par l'unité de traitement

EXE 2 : Méthode des métriques variables La figure 10a illustre les points du front à différents pas de propagation. On remarque que la distance entre deux mêmes points du front n'est pas constante entre deux pas, ce qui signifie que l'échelle de longueur associée à chaque élément est différente. On parle alors de métriques différentes.

Le fait d'avoir des éléments avec des métriques différentes

(discontinue donc au point d'intersection) tout en imposant un raccord de régularité C2 entre les éléments conduit à des instabilités

numériques.

Un autre point de vue consiste à dire que les éléments n'ont pas les mêmes contributions à la fonctionnelle (du fait de leurs dimensions différentes) alors qu'ils véhiculent tous la même quantité d'information. Quel que soit le point de vu, cela peut induire un biais numérique qu'il faut avantageusement traiter.

Pour résoudre ce problème, il suffit de se placer dans un espace de représentation virtuel dans lequel les éléments d'interpolation ont tous les mêmes dimensions. Par exemple, si les longueurs de fissure discrétisées sont x e {0,1; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8), on prendra

Pour passer de la représentation virtuelle à la représentation réelle, on utilise une bijection entre les deux repères (voir figure 10b).

On utilise les mêmes fonctions d'interpolation que précédemment. La correspondance entre les deux espaces de représentation se fait en imposant les degrés de liberté à chaque nœud. Puis, pour avoir une métrique qui évolue de manière « douce » entre chaque élément, le procédé présenté précédemment est mis en œuvre. Cela permet d'obtenir une correspondance lisse entre les deux espaces de représentation comme représenté sur la figure 10c. Références :

[1] Bueckner HGZ (1970), "A novel principle for the computation of stress intensity factors", Angew, Math. Mech , Vol. 50, p. 529-546.

[2] Rice J.R. (1972), "Some remarks on elastic crack-tip stress fields", Int. J. Solids and Structures, 8, 751-758.

[3] Rice J.R. (1989), "Weight function theory for three-dimensional elastic crack analysis", Fracture Mechanics : Perspectives and Directions (Twentieth Symposium), ASTM STP 1020, R. P. Wei and R.P. Gangloff, Eds., American Society for Testing and Materials, Philadelphia, pp. 29- 57. [4] Lazarus V. (1997), "Quelques problèmes tridimensionnels de la mécanique de la rupture fragile", Thèse Université Paris 6.

[5] W. Elber. "The significance of fatigue crack closure". ASTM STP, 486 : 230-242, 1971.

[6] PC. Paris, F. Erdogan, 1963, "A critical analysis of crack propagation laws". J Basic Eng 85, pp 528-534.

[7] « Nasgro - Fracture Mechanics and Fatigue Crack Growth Analysis Software - Référence Manual», Version 6.2, 2011.