Verfahren zum Einmessen von Bauteilen

Gebiet der Erfindung

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zum Einmessen von Bauteilen in einer kartesischen Mess- oder Werkzeugmaschine, welches dazu geeignet ist, die exakte Lage eines Bauteils in einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem festzustellen.

Verfahren zum Einmessen von Bauteilen werden unter anderem dann angewendet, wenn Bauteile mittels CNC- Werkzeugmaschinen gefertigt werden. Hierzu muss vor dem Beginn der Bearbeitung die Lage eines Halbzeugs möglichst genau bestimmt werden. Ebenso werden derartige Verfahren angewendet, wenn ein Bauteil, wie beispielsweise ein Frästeil, vor oder nach der Fertigung vermessen werden soll. Die Vermessung dient dabei beispielsweise der überprüfung der Fertigungsqualität und somit der Bestimmung des Fertigungsfehlers. Je geringer dieser ausfällt, desto höher ist die Fertigungsqualität. Um die Abweichung zwischen der Ist- und der Sollform des Bauteils zu bestimmen, muss vor dem Beginn der eigentlichen Messung zunächst die Istlage des Bauteils möglichst exakt bestimmt werden. Gegebenenfalls kann dann die Lage des Bauteils sukzessive so lange nachkorrigiert werden, bis eine möglichst gute übereinstimmung der Körpergrenzen von Soll- und Istbauteil bzw. eine übereinstimmung der Soll- und Istlage erreicht wird. Dann erst kann die eigentliche Bestimmung des Fertigungsfehlers erfolgen.

Die Bestimmung der Lage eines Bauteils wird im oben beschriebenen Zusammenhang auch als Einmessen bezeichnet.

Stand der Technik

Eine häufig eingesetzte Möglichkeit zur Erreichung hoher Fertigungsgenauigkeiten oder einer korrekten Kontrolle derselben unter Vermeidung des erneuten Ausrichtens des eingespannten Bauteils bietet die Verwendung hoch genauer Spannvorrichtungen. In diesem Fall wird davon ausgegangen, dass die Spannvorrichtung selber eine so hohe

Genauigkeit aufweist, dass das Bauteil in dieser jederzeit hinreichend genau gelagert ist und nicht erneut ausgerichtet werden muss, bevor beispielsweise eine Weiterbearbeitung oder eine Qualitätskontrolle erfolgt.

Solche Verfahren verbieten jedoch im Normalfall ein Aus- und Wiedereinspannen des Bauteils, weil hierdurch eine direkt nach der Fertigung erzeugte Istlage des Bauteils, welche naturgemäß nah an die durch die CNC-Steuerung vorgegebene Solllage heranreicht, verändert wird. Beim Wiedereinlegen des Bauteils wird die vorherige Lage dann nicht erneut getroffen. Daraus ergibt sich der Nachteil, dass die Fertigungs- und die Messspannvorrichtung identisch sein müssen und das Bauteil jederzeit in der Spannvorrichtung verbleiben muss. Im Falle der Unvermeidbarkeit eines Wechsels der Spannvorrichtung, beispielsweise zur Rückseitenbearbeitung des Bauteils, muss die geometrische Qualität der Spannvorrichtung sehr hoch sein, wodurch entsprechende Kosten entstehen.

Alternativ können jedoch auch einfach konstruierte Spannvorrichtungen genutzt werden, wobei die Fertigungs- und die Messspannvorrichtung getrennt vorliegt. Die

Bestimmung der Lage eines eingespannten Bauteils erfolgt dann zumeist mit Hilfe von dreidimensional aufzeichnenden Messsystemen, beispielsweise 3D-Messtastern.

Innerhalb des Arbeitsraumes erfolgt die Aufnahme einer festgelegten Anzahl von

Messpunkten, welche an der Werkstückoberfläche des zu vermessenden Bauteils liegen. In der Praxis hat sich eine Anzahl von sechs Messpunkten als vorteilhaft erwiesen; bei besonders einfach oder besonders komplexen Geometrien kann jedoch eine andere

Anzahl ausreichend bzw. notwendig sein.

Zur Bestimmung der Lage der Messpunkte dienen hierzu die sechs Freiheitsgrade eines Körpers im Raum, also die Translation in X-, Y- und Z-Richtung sowie Rotation um die X-, Y- und Z- Achse. Bei Kenntnis der Lage von einer ausreichenden Anzahl bekannter Punkte der im Raum angeordneten Werkstückoberfläche lässt sich die Lage des zugehörigen Körpers exakt bestimmen. Ein Kriterium bei der Auswahl der Lage dieser Punkte ist unter anderem die Entfernung der Punkte voneinander. Je größer der Abstand ist, desto geringer ist der Messfehler, der während der Einmessung des Bauteils auftritt.

Auch dürfen drei Punkte, die eine Ebene aufspannen, welche eine Parallelebene zur Koordinatenebene aufspannt, nicht kollinear sein. Die Festlegung der Messpunkte wird im Allgemeinen vom Konstrukteur oder einem Qualitätsingenieur in Abhängigkeit der jeweiligen Bauteilgeometrie festgelegt. Aus dieser, oftmals anhand von CAD- Zeichnungen oder CNC-Steuerdatensätzen zugänglichen, Bauteilgeometrie sind die entsprechenden n Sollpunkte p,s _o ιι bekannt, wobei i von 1 bis n läuft und n die Anzahl sei, die mindestens erforderlich ist, um die Bauteillage eindeutig zu beschrieben.

Mittels des Messtasters werden dann an der Oberfläche des Bauteils, die zugehörigen n Istpunkte p,i _st bestimmt. Auch hierbei läuft i von 1 bis n.

Um die erforderlichen Sollpunkte p,s _o iι mit den Istpunkten p,i _st in übereinstimmung zu bringen, wird ein Algorithmus verwendet, welcher die Translationen und Rotationen berechnet, die das Bauteil zur Erzielung einer bestmöglichen übereinstimmung erfahren muss.

Dieser Algorithmus ist im Allgemeinen von den Herstellern der entsprechenden Gerätesteuerungen fest in das jeweilige Steuerungsprogramm implementiert und von

Außen weder zugänglich noch änderbar und wird oftmals auch nicht exakt bekannt gemacht. Das bedeutet, dass der Benutzer keine genaue Kenntnis über den Algorithmus zur Bestimmung der Lagekorrektur besitzt, so dass er auch keine Informationen über möglicherweise aus dem Algorithmus resultierende Mess- oder Berechnungsfehler erhält. Ebenso ist es dem Benutzer vorenthalten, eigene Ergänzungen oder Algorithmen zur Bestimmung der Lagekorrektur zu implementieren.

Des Weiteren sind die bekannten Verfahren zur Lagebestimmung relativ zeitaufwändig, da die Berechnungsverfahren komplex sind und/oder die Anzahl der Iterationen aus Messen und Verfahrbewegung zu hoch ist, welche zur Erzielung einer ausreichend geringen Soll-Ist-Lageabweichung notwendig sind.

In der Arbeit „Automatisierte Vermessung von geometrisch komplexen Turbinenschaufeln zur effizienten Laserbearbeitung" von W. Schmidmayr wird ein Verfahren vorgestellt, welches sich aus zwei Schritten, einer Grob- und einer

Feinausrichtung, zusammensetzt. Das Verfahren bedient sich dabei der vektorbasierten Koordinatentransformation, wobei zunächst nur die Abweichung eines kartesischen Soll- und eines Ist-Koordinatensystems bestimmt wird. Vor dem Beginn der Berechnung wird zunächst der programmierbare Soll-Nullpunkt des Messkoordinaten- Systems manuell ungefähr auf den Ist-Nullpunkt des Bauteils gelegt. Im ersten Schritt des eigentlichen Verfahrens, der Grobausrichtung, werden nun drei Punkte auf der Werkstückoberfläche angefahren. Eine Winkelberechnung und Ausgleichsrotation findet noch nicht statt. Nur die Lage des Werkstück-Istnullpunktes wird bestimmt. Im zweiten Schritt, der Feinausrichtung, werden die zuvor angefahrenen Messpunkte, sowie drei weitere Messpunkte angefahren und deren Koordinaten bestimmt. Ggf. werden bereits nach der Messung eines bestimmten Punktes und noch vor Messung sämtlicher Punkte entsprechende Translationen und/oder Rotationen auf das Werkstückkoordinatensystem angewendet, so dass sich dieses schrittweise in Richtung des Soll-Koordinatensystems bewegt. Zwei bestimmte Messpunkte werden ggf. mehrmals hintereinander angefahren und weitere Korrekturen für das Ist- Koordinatensystem berechnet. Im Allgemeinen reichen für eine Abweichung von wenigen Mikrometern zwei Durchgänge der Feinausrichtung aus. Nach erfolgreicher Abarbeitung der beschriebenen Verfahrensschritte werden die Abweichungen von SoIl- und Ist-Koordinatensystem des Bauteils an eine Werkzeugsteuerung übergeben, die dann die notwendigen Bewegungen der Spannvorrichtung durchführt, oder welche die Daten in die Qualitätsbestimmung mit einfließen lässt. Es sei in diesem Zusammenhang angemerkt, dass dabei die hier beschriebene Lageabweichung, welche durch das erneute Einspannen des Werkstücks in die Messeinrichtung hervorgerufen wird, nicht mit der durch die herstellungsbedingten Fertigungstoleranzen hervor gerufene Formabweichung verwechselt werden darf. Die Formabweichung kann durch das beschriebene Verfahren nicht kompensiert werden, sondern wird durch eine anschließende Messung bestimmt.

Es hat sich im Betrieb gezeigt, dass das vorgestellte Verfahren die Lagekorrekturen suboptimal ermittelt.

Aufgabe der Erfindung

Die Aufgabe der Erfindung ist demnach die Bereitstellung eines Verfahrens zum Einmessen von Bauteilen unter Verwendung eines offenen Algorithmus, wobei das Verfahren schnell und möglichst exakt aus der Soll- und Istlage eines Bauteils die zur bestmöglichen übereinstimmung beider Lagen notwendigen Bewegungen translatorischer und rotatorischer Art bestimmt.

Die Aufgabe wird durch das in Anspruch 1 vorgeschlagene Verfahren gelöst. Dementsprechend wird ein implizites, überbestimmtes, nichtlineares Gleichungssystem aufgestellt, dessen Lösung die gesuchte Lagekorrektur in sehr guter Näherung bereitstellt.

Weitere bevorzugte Ausfuhrungsformen sind den abhängigen Ansprüchen sowie der nachfolgenden detaillierten Beschreibung zu entnehmen.

Beschreibung

Das Verfahren zum Einmessen von Bauteilen in einer kartesischen Mess- oder Werkzeugmaschine beruht auf der Lösung eines Gleichungssystems von n Gleichungen mit fünf Unbekannten, wobei dieses Gleichungssystem implizit, (im Falle von n ≥ 6) überbestimmt und nichtlinear ist. Unter ausreichender Berücksichtigung kinematischer Randbedingungen stellt die Lösung des Gleichungssystems die gesuchte Lagekorrektur in sehr guter Näherung bereit.

Die nachfolgende Beschreibung gibt eine bevorzugte Reihenfolge der durchzuführenden Schritte an. Es ist jedoch offenkundig , dass auch andere Reihenfolgen oder auch die parallele Abarbeitung von bestimmten Schritten denkbar und insbesondere beispielsweise zur Zeitersparnis auch sinnvoll sein können. Es ist lediglich sicher zu stellen, dass ein bestimmter Verfahrensschritt jeweils nur dann abgearbeitet werden kann, wenn sämtliche erforderlichen Daten, die zu seiner Abarbeitung vorliegen müssen, auch vorhanden sind.

Zur Durchführung des erfindungsgemäßen Verfahrens werden zunächst n Sollpunkte Pi _So ii beispielsweise aus einer Zeichnung, einem CAD-Programm oder einem NC- Datensatz eingelesen. Ein Index i läuft dabei von 1 bis n und jeder Punkt besitzt drei Koordinaten ; je eine für die Lage in JC-, in y- und in z-Richtung.

Anschließend werden n Istpunkte p,{ _St eingelesen, welche zuvor mittels einer geeigneten Messeinrichtung wie zum Beispiel einem 3 D-Messtaster erfasst wurden. Der Index i läuft wiederum von i=\...n. Die Zuordnung erfolgt analog zum vorigen Schritt.

Nun wird ein Satz von Koordinaten q^ ermittelt, welcher eine kartesische Mess- oder Werkzeugmaschine eindeutig beschreibt. Vorzugsweise werden diese die Maschine eindeutig beschreibenden Koordinaten derart ausgewählt, dass ihre Anzahl möglichst gering ist (Minimalkoordinaten). Im Falle einer fünfachsigen Maschine ergeben sich demnach maximal fünf Koordinaten oder Parameter.

Danach wird ein erster Term der Form q ₂ , q$) aufgestellt, welcher die Translation in x, y- und z-Richtung beschreibt.

Anschließend und analog zum vorigen Schritt werden ein zweiter bzw. ein dritter Term f ₂ =Rot(q ₄ ) bzw. f ₃ =Rot(qs) ermittelt, welcher die Rotation um eine B- bzw. C- Achse beschreibt. Es ist zu beachten, dass die B- und die C-Achse dabei nicht zwangsläufig identisch mit der JC-, y- oder z- Achse bzw. -Richtung sein müssen.

Im Falle eines Fehlens entsprechender Bewegungsmöglichkeiten der Maschine können die jeweiligen Koordinaten oder Parameter beispielsweise dauerhaft auf Null gesetzt werden. Besitzt die Maschine zum Beispiel nur translatorische Achsen, so könnte ^ und qs auf Null gesetzt werden.

Alsdann kann ein Gleichungssystem aufgestellt werden, bei welchem zur korrekten Positionierung des Bauteils gilt:

pjsou = Transfö/, q ₂ , q ₃ ) +Rot(q ₄ ) Rotf^ VjUt

O)

Dabei läuft j wieder von 1 bis n, so dass sich 3*n Gleichungen mit fünf Unbekannten, nämlich qj bis qs, ergeben.

Die gewünschte überführung durch Translation und Rotation des Bauteils in die Solllage könnte man nun durch Lösen des Gleichungssystems mit 3*w Gleichungen und 5 Unbekannten erhalten. Unter ausreichender Berücksichtigung kinematischer Randbedingungen stellt die Lösung des Gleichungssystems dann die gesuchte Lagekorrektur in sehr guter Näherung bereit.

Nach einer besonders bevorzugten Ausführungsform des Verfahrens gemäß Anspruch 2 folgen nach der Ermittlung der Sollpunkte p _j s _o iu sowie der Istpunkte p _jlst zwei Zwischenschritte (Z ₁ , Z ₂ ) zur Generierung zweier Koordinatenvektoren ! ^■ & _> // und TM , die durch Elimination überzähliger Koordinaten aus den Vektoren pß _o ii und pß _st generiert werden. Die Bedingungen für die möglichen Reduzierungen leiten sich dabei aus kinematischen, konstruktiven, qualitätsorientierten und/oder bauteilspezifischen Merkmalen ab. Im Regelfall repräsentieren r$ _o u und rj _sl 6x1 -Vektoren. In dieser Ausgestaltungsform ergibt sich analog zu (1 ) das reduzierte Gleichungssystem:

rsoii = υram(qi, q ₂ , q ₃ )+Rot(q ₄ )-Rot(q ₅ ) rι _s , (2)

Für den häufigen Fall, dass n = 6 oder größer ist, handelt es sich hierbei um ein mindestens einfach überbestimmtes Gleichungssystem (sechs oder mehr Gleichungen, fünf Unbekannte). Weiter handelt es sich um ein nichtlineares Gleichungssystem, da wegen der Rotationsgleichungen Sinus- und Kosinusterme auftreten. Schließlich handelt es sich um ein implizites Gleichungssystem, welches durch eine Form entsprechend F(x, y(x)) = 0 gegeben ist, und welches daher in der Regel nicht explizit nach den Unbekannten q _t bis qs aufgelöst werden kann.

Nach einer bevorzugten Ausführungsform des Verfahrens gemäß Anspruch 3 erfolgt nach dem Aufstellen des Sollkoordinaten-Vektors rs _o ii, sowie des Istkoordinaten- Vektors r _Isl ein weiterer Zwischenschritt (z ₃ ), in welchem die überzähligen Koordinaten in rsoii oder r _Ist auf Null gesetzt werden. Nach einer besonders bevorzugten

Ausführungsform werden sowohl die überzähligen Koordinaten in rs _o ιi und ri _st auf Null gesetzt.

Nach einer weiteren bevorzugten Ausführungsform des erfindungsgemäßen Verfahrens erfolgt die Zuordnung der oben genannten Mess- oder Werkzeugmaschinenkoordinaten gemäß folgender Regel:

(i) qi = Translation in die x-Richtung

(ii) q ₂ = Translation in die ^-Richtung

(iii) q3 = Translation in die z-Richtung

(iv) q ₄ = Rotation um die B- Achse (v) qs = Rotation um die C- Achse

Da die B- und die C- Achse nicht mit den Achsen der x-, y- oder z-Richtung identisch sein müssen, reichen zur Beschreibung der Transformation fünf anstelle von sechs Unbekannten (beispielsweise die Rotation um eine A -Achse, welche mit der x-Richtung identisch ist) aus.

Nach einer weiteren bevorzugten Ausführungsform werden die Terme / _/ , / ₂ und / ₅ derart gebildet, dass der q2, qs) in Form einer 3x1 -Matrix, und die Terme / ₂ =Rot(q ₄ ) sowie f ₃ =Rot(qs) jeweils in Form einer 3x3 -Matrix notiert werden. Nach einer besonders bevorzugten Ausführungsform wird nun die Lageverschiebung aus den entsprechenden Daten berechnet. Nach einer weiteren besonders bevorzugten Ausführungsform werden in einem zusätzlichen Schritt (i) die Gleichungssysteme (1) oder (2) in ein anderes Gleichungssystem überführt, welches die Anzahl der Unbekannten auf die Anzahl der Gleichungen reduziert. Dadurch ist das zu lösende Gleichungssystem nicht mehr überbestimmt und demgemäß leichter lösbar.

Nach einer anderen bevorzugten Ausführungsform erfolgt die in dem zusätzlichen Schritt (i) zu erzielende Reduktion der Anzahl der Unbekannten derart, dass die Forderung nach einer Minimierung des Gausschen Fehlerquadrates gemäß den folgenden Gleichungen aufgestellt wird:

(i) residuum/ = (Transfqi, q ₂ , q3)+Rot(q4) -Rot(q ₅ ) -pß _st )-pjSoiι (ii) residuum/ residuum^∑^;, q ₂ , q3, q* q5)-PjSoii) ² =:F(q) üJDurch partielles Ableiten der obigen Gleichungen und Nullsetzen gemäß der Formel

öF(q)/d( _qι ) = 0 wird nun ein System von fünf Gleichungen mit fünf Unbekannten q _t mit i=1...5 erzeugt, welches nach Lösung die gesuchten Translationen qj bis qs und Rotationen ^ und qs liefert.

Nach einer weiteren Ausfuhrungsform wird nun das System der resultierenden fünf Gleichungen über einschlägige numerische Verfahren gelöst. Nach einer weiteren Ausführungsform wird das Gleichungssystem analytisch gelöst, sofern eine derartige Lösung gefunden werden kann.

Nach einer weiteren bevorzugten Ausführungsform erfolgt die in dem zusätzlichen Schritt (i) zu erzielende Reduktion der Anzahl der Unbekannten derart, dass die Forderung nach einer Minimierung des Gausschen Fehlerquadrates gemäß den folgenden Gleichungen aufgestellt wird:

(i) residuum = (Trans fa _/ , q ₂ , q ₃ )+Rot(q ₄ ) ^: Rot(q ₅ )-r _Ist )-r _So ιι

(ii) q ₂ , q3, q4,

Durch partielles Ableiten der obigen Gleichungen und Nullsetzen gemäß der Formel

dF(q)/d( _qi ) = 0 wird nun ein System von fünf Gleichungen mit fünf Unbekannten q _t mit i=1...5 erzeugt, welches nach Lösung die gesuchten Translationen q _t bis # ₅ und Rotationen <^ und qs liefert.

Nach einer weiteren Ausführungsform wird nun das System der resultierenden fünf Gleichungen über einschlägige numerische Verfahren gelöst. Nach einer weiteren

Ausfiihrungsfbrm wird das Gleichungssystem analytisch gelöst, sofern eine derartige Lösung gefunden werden kann.

Nach einer bevorzugten Ausführungsform des Verfahrens werden die Daten der errechneten Ist-Lage an eine Mess- oder Werkzeugmaschinensteuerung übergeben. Dann wird anhand dieser Daten eine Lagekorrektur des Werkstücks durch Verändern der Werkstücklage oder eine Lagekorrektur des Werkzeugs bewirkt, so dass sich das Werkstück anschließend in möglichst optimaler übereinstimmung mit der Ist-Lage befindet.

Nach einer anderen Ausfuhrungsform des Verfahrens werden anstelle von kartesischen Koordinaten Zylinderkoordinaten benutzt und das Verfahren sinngemäß verwendet.

Nach einer weiteren Ausführungsform beträgt die Anzahl der Soll-Koordinaten und der Ist-Koordinaten genau 6. In diesem Fall erhält man gemäß dem erfindungsgemäßen Verfahren zunächst ein einfach überbestimmtes Gleichungssystem, welches in ein Gleichungssystem mit fünf Gleichungen und fünf Unbekannten überfuhrt wird.

Nach wieder einer anderen Ausführungsform ist die Anzahl der Soll-Koordinaten und der Ist-Koordinaten kleiner oder größer als 6. Dies kann insbesondere dann sinnvoll sein, wenn die Lage besonders einfacher oder besonders komplexer Geometrien vermessen werden soll, und/oder wenn die zu erwartende Lageabweichung nur in ganz bestimmte Richtungen und/oder Winkel erfolgen kann, bzw. wenn die Lageabweichungen besonders groß sind.

Nach einer weiteren Ausführungsform des Verfahrens werden einige oder alle derjenigen Schritte, die parallel abarbeitbar sind, auch parallel abgearbeitet. Hierdurch kann ein weiterer Zeitvorteil erzielt werden, der insbesondere bei langen Einzelmesszeiten zum Tragen kommt.

Durch Anwendung des erfindungsgemäßen Verfahrens können in der Praxis bis zu ca. 30% Zeitersparnis gegenüber herkömmlichen Einmessverfahren erreicht werden. Der Grund hierfür liegt vor allem darin begründet, dass die Abarbeitung des

erfindungsgemäßen Verfahrens sequenziell und nicht iterativ erfolgt, sofern man von den durch die Anzahl der Messpunkte vorgegebenen Iterationen absieht. Daneben bzw. zusätzlich können durch eine Verwendung des erfindungsgemäßen Verfahrens einfache Spannvorrichtungen benutzt werden; die Verwendung komplexer Vorrichtungen ist nicht mehr notwendig. Hierdurch ist eine signifikante Kostenersparnis erzielbar.

Schließlich ist der hier vorgeschlagene Algorithmus frei zugänglich und kann leicht vom Benutzer durch Korrekturfaktoren angepasst, anderweitig ergänzt oder weiterentwickelt werden.

Bevorzugt ist das erfindungsgemäße Verfahren in Form eines Computerprogramms hinterlegt. Ein Rechner, welcher die entsprechenden Daten, insbesondere die Soll- und Istkoordinaten erhält, wird damit in die Lage versetzt, die erfindungsgemäßen Berechnungen durchzuführen.

Besonders bevorzugt ist das entsprechende Programm auf einem Datenträger wie einer Compactdisc (CD), einer Diskette oder einem Magnetband abgelegt. Dementsprechend umfasst dieser Datenträger ein Programm nach dem erfindungsgemäßen Verfahren.

Figurenbeschreibung

Die einzige Figur zeigt schematisch ein Flussdiagramm einer bevorzugten Ausfuhrungsform des erfindungsgemäßen Verfahrens.

Zunächst erfolgt das Einlesen der Soll- und Istpunkte p,s _o ιι bzw. p,i _st . (Schritt (a) und Schritt (b).

Die Schritte (a) und (b) sind nebeneinander dargestellt. Dies bedeutet, dass die entsprechende Verfahrensschritte parallel abzuarbeiten sind. Die Sollpunkte p,s _o ιι sowie die Istpunkte p,ι _s t werden zeitlich parallel eingelesen bzw. gewonnen. In einer alternativen, nicht dargestellten Ausführungsform werden diese und/oder alle Schritte ausschließlich sequenziell abgearbeitet.

Das Diagramm umfasst weiter auch einen ersten und zweiten Zwischenschritt (zi und Z ₂ ) zum Generieren eines Soll- bzw. Istkoordinatenvektors rs _o ii _bzw . λ _f o- Auch einen dritten Zwischenschritt Z ₃ zum Nullsetzen überzähliger Koordinaten dieser Vektoren sind dargestellt. Während die Schritte Z ₁ und Z ₂ wahlweise durchgeführt werden können, ist dies für Z ₃ nur dann sinnvoll, wenn zuvor Zi und Z ₂ ausgeführt wurden. Daher verzweigt sich die gestrichelte Linie unterhalb von Z ₂ nach links und rechts.

Es folgt in jedem Fall die Ermittlung der eine Mess- oder Werkzeugmaschine beschreibenden Koordinaten qu (Schritt c).

In den Schritten (d) bis (f) werden die Terme ermittelt, die die Translation bzw. die Rotationen der Maschinenkoordinaten beschreiben.

Schließlich erfolgt das Bilden eines Gleichungssystems (Schritt (g)), welches dann in Schritt (h) beispielsweise mittels eines Computers gelöst wird.

Nach einer bevorzugten Ausfuhrungsform wird hier zusätzlich eine Funktion wie in Schritt (i) beschrieben eingesetzt (Minimierung des Gausschen Fehlerquadrats).

Zur Verdeutlichung der Ein- und Ausgabedaten sind die entsprechenden Diagrammteile dick umrandet gezeichnet. Es sind dies die Soll- und Istkoordinaten sowie die gesuchten Translationen und Rotationen qι bis qs.