L'invention concerne en général les procédés de caractérisation non destructifs et sans contact des structures multicouches à géométrie sphérique ou sensiblement sphérique avec au moins deux couches, comme par exemple les particules de combustible nucléaire, notamment pour réacteur à haute température. Ces particules comportent typiquement cinq couches. Par la suite, on désignera par le terme particule de telles structures multicouches. Plus précisément, l'invention concerne, selon un premier aspect, un procédé de caractérisation non destructif et sans contact d'une structure multicouche à géométrie sensiblement sphérique comprenant au moins deux couches séparées par des interfaces.

Dans le cas de particules de combustible nucléaire pour réacteur nucléaire à haute température, celles-ci comprennent un noyau fissile enrobé par des couches de pyrocarbone dense ou poreux, et de céramique telle que du carbure de silicium ou du carbure de zirconium. La détermination de la densité, de l'épaisseur, du coefficient de Poisson et du module d'Young du noyau et de chaque couche composant la particule de combustible est essentielle pour la qualification de ce combustible.

La méthode la plus couramment utilisée pour déterminer la densité est une méthode de flottation. Plusieurs particules témoins sont échantillonnées dans un lot de particules à caractériser. Cette particule est découpée, et des morceaux de chaque couche sont séparés en vue d'effectuer les mesures de densité. Ces morceaux sont placés tour à tour dans un liquide dont la densité varie fortement en fonction de la température. On fait ensuite varier la température du liquide, et on note à quelle température les morceaux se retrouvent « entre deux eaux ». La densité du matériau constituant le morceau correspond à la densité du liquide à ladite température. Cette méthode présente le défaut d'utiliser des liquides toxiques. Par ailleurs, cette méthode de caractérisation est lente, et entraîne la destruction des particules à caractériser Enfin, sa mise en œuvre s'avère extrêmement lourde puisque les morceaux de chaque couche doivent être séparés et identifiés un à un.

Elle ne donne aucune information relative au coefficient de Poisson et au module d'Young. Il est cependant possible d'évaluer ces coefficients par des méthodes qui ont le désavantage d'être destructives (comme par exemple la microindentation) et nécessitant de réaliser les mesures sur des morceaux de chaque couche séparés et identifiés un à un.

Dans ce contexte, l'invention vise à proposer un procédé de caractérisation applicable aux particules, non destructif, respectueux de l'environnement, plus rapide à mettre en œuvre, et qui permet d'accéder en une seule mesure à plusieurs caractéristiques.

A cette fin, l'invention porte sur un procédé de caractérisation non destructif et sans contact d'une structure multicouche à géométrie sensiblement sphérique comprenant au moins deux couches, séparées par des interfaces, le procédé comprenant les étapes suivantes :

- à l'aide d'un laser, chauffer localement en régime thermoélastique la structure de telle sorte que la structure est mise en vibration de manière non destructive ;

- mesurer les fréquences de résonance des modes de vibration de la structure ;

- déduire des fréquences de résonance de la structure au moins une caractéristique relative à l'intégrité, ou à la géométrie ou au comportement mécanique de la structure.

Le procédé peut également comporter une ou plusieurs des caractéristiques ci-dessous, considérées individuellement ou selon toutes les combinaisons techniquement possibles :

- la mesure des fréquences de résonance est effectuée avec un dispositif de mesure optique,

- le dispositif de mesure optique comprend un dispositif interférométrique, - on déduit des fréquences de résonance la présence ou l'absence de fissure dans la structure, la présence de fréquences de résonance dans au moins une bande de fréquence prédéterminée étant caractéristique de la présence d'une fissure dans la structure, et l'absence de fréquence de résonance dans la ou chaque bande de fréquence prédéterminée étant caractéristique de l'absence de fissure dans la structure,

- on déduit des fréquences de résonance de la structure au moins une caractéristique géométrique ou mécanique recherchée d'au moins une des couches choisie parmi la densité, l'épaisseur, le module d'Young et le coefficient de Poisson,

- ladite caractéristique géométrique ou mécanique recherchée est déduite par une méthode inverse en : a/ calculant des fréquences de résonances théoriques à partir de jeux respectifs de valeurs théoriques ou mesurées des caractéristiques géométriques et mécaniques pour la ou chaque couche, y compris des premières valeurs de la ou de chaque caractéristique géométrique ou mécanique recherchée, le jeu de valeurs théoriques ou mesurées comprenant pour la ou chaque couche la densité, l'épaisseur, le module d'Young et le coefficient de Poisson ; b/ calculant l'écart entre les fréquences de résonance théoriques et les fréquences de résonance mesurées ; c/ choisissant une nouvelle valeur pour la ou chaque caractéristique recherchée dans le jeu de valeurs théoriques ou mesurées correspondant, et en itérant les étapes a/, b/ et c/ jusqu'à ce que l'écart calculé à l'étape b/ soit inférieur à une limite prédéterminée,

- les fréquences de résonance théoriques sont calculées à l'étape a/ à l'aide d'un modèle vibratoire analytique de la structure,

- on initialise la méthode inverse en calculant des valeurs initiales théoriques pour les caractéristiques recherchées en inversant un modèle vibratoire linéaire de la structure, à partir des fréquences de résonance mesurées,

- à l'étape c/, les nouvelles valeurs de la ou de chaque caractéristique recherchée sont calculées à l'aide d'un modèle vibratoire linéaire de la structure, à partir des premières valeurs de la ou de chaque caractéristique géométrique ou mécanique recherchée considérées à l'étape a/ et des écarts entre les fréquences de résonance théoriques et les fréquences de résonance mesurées calculés à l'étape b/,

- la structure est une particule de combustible nucléaire comprenant un noyau et au moins deux couches entourant le noyau, - la particule de combustible nucléaire comprend, de l'intérieur vers l'extérieur, un noyau de matière fissile, une couche de pyrocarbone poreux, une première couche de pyrocarbone dense, une couche de céramique, et une seconde couche de pyrocarbone dense, les caractéristiques géométriques ou mécaniques recherchées comprenant au moins deux des caractéristiques choisies parmi le module d'Young de la couche de pyrocarbone poreux, le module d'Young de la première couche de pyrocarbone dense, le module d'Young de la couche céramique et la densité de la couche de pyrocarbone poreux,

- le laser est un laser modulé en intensité, par exemple un laser à impulsion délivrant une énergie comprise entre 1 μJ et 1 mJ par impulsion, chaque impulsion ayant une durée comprise entre 0,5 et 50 nanosecondes,

- le procédé comprend les étapes suivantes :

- mesurer la période des échos résultant des réflexions des ondes élastiques au niveau des interfaces entre les couches ; - déduire de ladite période au moins une caractéristique relative à la géométrie ou au comportement mécanique de la structure,

- on déduit de la période des échos la vitesse de propagation des ondes élastiques dans une des couches, en fonction de l'épaisseur de ladite couche,

- le module d'Young de ladite couche est déterminé en fonction de la vitesse de propagation et de la densité de ladite couche.

Selon un second aspect, l'invention concerne une installation de caractérisation d'une structure multicouche adaptée pour mettre en œuvre le procédé ci-dessus, l'installation comprenant :

- un laser apte à chauffer localement en régime thermoélastique la structure de telle sorte que la structure est mise en vibration de manière non destructive;

- un dispositif de mesure des fréquences de résonance des modes de vibration de la structure ;

- des moyens pour déduire des fréquences de résonance de la structure au moins une caractéristique relative à l'intégrité, ou à la géométrie, ou au comportement mécanique de la structure. D'autres caractéristiques et avantages de l'invention ressortiront de la description détaillée qui en est donnée ci-dessous, à titre indicatif et nullement limitatif, en référence aux Figures annexées, parmi lesquelles :

- la Figure 1 est une coupe équatoriale schématique illustrant un exemple de structure d'une particule de combustible nucléaire pour réacteur à haute température ;

- la Figure 2 est une vue schématique illustrant une installation de mise en œuvre du procédé de caractérisation selon l'invention ;

- la Figure 3 illustre un signal expérimental recueilli lors de la mise en œuvre du procédé de l'invention pour la mesure de la période des échos ;

- la Figure 4 illustre un signal expérimental recueilli lors de la mise en œuvre du procédé de l'invention pour la mesure du signal vibratoire de la particule;

- la Figure 5 est une représentation graphique du spectre vibratoire déduit de la courbe de la Figure 4, montrant les fréquences de résonance de la particule excitée ;

- la Figure 6 est un diagramme d'étape illustrant les principales étapes du procédé de l'invention ; et,

- la Figure 7 est une représentation graphique montrant les fréquences de résonance mesurées à l'aide de l'installation de la Figure 2, pour des particules avec des fissures débouchantes, des particules avec des fissures non débouchantes et des particules saines.

Des fissures débouchantes sont des fissures donnant sur la surface extérieure de la structure multicouche. Des fissures non débouchantes sont des fissures non ouvertes au niveau de la surface extérieure de la structure multicouche, le défaut étant donc à l'intérieur de la structure.

La Figure 1 illustre schématiquement une particule 1 de combustible nucléaire pour réacteur à haute ou très haute température (HTR/VHTR).

De manière classique, cette particule 1 est de forme générale sphérique et comprend successivement de l'intérieur vers l'extérieur :

- un noyau de matière fissile 2, par exemple à base d'UO ₂ (il peut s'agir d'autres types de matière fissile telle que de l'UCO, i.e. mélange d'UO ₂ et d'UC ₂ et/ou d'autres matières fissiles telles que des composés à base de plutonium, thorium,... ₎ ,

- une couche 3 de pyrocarbone poreux,

- une première couche 4 de pyrocarbone dense, - une couche 5 de carbure de silicium (ou d'autre céramique telle que du carbure de zirconium), et

- une deuxième couche 6 de pyrocarbone dense.

Lors de l'utilisation d'une telle particule, le pyrocarbone poreux sert de réservoir pour les gaz de fission, le carbure de silicium sert de barrière contre la diffusion des produits de fission, et le pyrocarbone dense assure la tenue mécanique de la couche de carbure de silicium.

Le noyau 2 a par exemple un diamètre d'environ 500 μm, le diamètre pouvant varier de 100 μm à 1000 μm, et les couches 3, 4, 5 et 6 des épaisseurs respectives de, par exemple, 95, 40, 35 et 40 μm. On observera que les dimensions relatives du noyau 2 et des couches 3, 4,

5 et 6 n'ont pas été respectées sur la Figure 1.

Les couches, notamment les couches de pyrocarbone 3, 4, 6, sont déposées par exemple par un procédé de dépôt chimique en phase vapeur (Chemical Vapor Déposition) mis en œuvre dans un four à lit fluidisé. L'installation représentée sur la Figure 2 permet :

- de détecter une fissure dans la particule représentée sur la Figure 1 ;

- et/ou d'évaluer une ou plusieurs caractéristiques géométriques ou mécaniques du noyau et/ou de l'une des couches 3 à 6.

Dans la suite du texte, on désignera par « couche » indifféremment le noyau ou l'une des couches qui l'entoure.

Les caractéristiques géométriques ou mécaniques qui peuvent être évaluées sont : la densité, l'épaisseur, le coefficient de Poisson, le module d'Young.

L'installation comprend : - un dispositif 7 optique d'excitation de la particule 1 ;

- un support 8 sur lequel est placée la particule ; - un dispositif de mesure 9 apte à détecter les vibrations de la particule 1 excitée par le dispositif 7, et à mesurer les fréquences de résonance de la particule 1 excitée par le dispositif 7 ;

- des moyens de calcul pour détecter une éventuelle fissure et/ou pour évaluer les caractéristiques recherchées, à partir des fréquences de résonances mesurées.

Le support 8 est prévu pour maintenir la particule 1 en position pendant la mesure, avec une zone de contact minimum entre la particule et le support de manière à ne pas affecter le comportement vibratoire de la particule. De préférence, le contact est ponctuel ou selon un cercle de petit diamètre. De préférence, le support 8 comporte des moyens de refroidissement de la particule, de manière à ce que des instabilités thermiques ne perturbent pas la mesure.

Le dispositif d'excitation 7 comporte un laser modulé en intensité 1 1. Le laser 1 1 délivre des impulsions de très courte durée, comprise entre 0,5 ns et 50 ns, et par exemple des impulsions ayant une durée de 0,9 ns.

Le laser 1 1 délivre à chaque impulsion une puissance comprise entre 1 μJ et 1 mJ, par exemple 5 μJ

Le laser 1 1 travaille à une longueur d'onde comprise entre 200 nm et 15000 nm, et valant par exemple 1047 nm. Le dispositif 7 comporte un ensemble de composants opto-mécaniques permettant l'acheminement et la mise en forme du faisceau 13 du laser 1 1 jusqu'à la particule 1.

Le laser 1 1 est par exemple de type Nd:YAG.

Le laser 1 1 est réglé de manière à chauffer localement la particule 1 de telle sorte que celle-ci soit excitée en régime thermoélastique. L'énergie délivrée par le laser 1 1 est déposée avec une densité de puissance inférieure à 1 GW/cm ² dans le cas de la particule 1 de combustible de la Figure 1.

En effet, il est connu que, en fonction de la densité de puissance d'irradiation, la particule 1 peut être excitée soit en régime thermoélastique soit en régime d'ablation de matière. La densité de puissance limite entre les deux régimes est fonction des matériaux constituant la particule 1. Pour être en régime thermoélastique c'est-à-dire contrôle non destructif il faut que la densité de puissance soit inférieure au seuil d'ablation I _s (en W/cm ² ) qui dépend des données thermophysiques ci-après du matériau et qui est défini par la relation : avec K conductivité thermique ; p masse volumique ; C capacité thermique massique ; Θ _v température de vaporisation ; Θ, température initiale ; τ _L durée de l'impulsion laser.

En régime thermoélastique, le matériau constituant la particule 1 absorbe au moins partiellement l'énergie délivrée par le faisceau laser. La puissance délivrée est variable dans le temps du fait de la modulation du laser 1 1. Ceci provoque une modulation de l'expansion thermique du matériau constituant la particule 1 , ce qui provoque à son tour une variation des contraintes mécaniques au sein du matériau. De ce fait, il se produit une vibration mécanique au sein de la particule 1. Ces vibrations vont être détectées par le dispositif de mesure 9.

Quand la densité de puissance d'irradiation du laser 1 1 dépasse une valeur limite, les impulsions du faisceau laser provoquent l'arrachage de la matière constituant la particule 1. On se trouve alors en régime d'ablation.

Le dispositif de mesure 9 comporte un dispositif interférométrique 17 et un calculateur 19. Le dispositif interférométrique 17 comporte un laser 21 produisant un faisceau 22, une séparatrice 23 divisant le faisceau 22 en deux ondes optiques 24 et 25, et un détecteur 27. La première onde optique 24 est l'onde de référence qui est envoyée vers le détecteur 27 soit directement soit indirectement au moyen de composants opto-mécaniques. La phase optique et la polarisation de l'onde de référence 24 peuvent être modifiées par l'un de ces composants opto- mécaniques.

La deuxième onde optique 25 éclaire la particule 1 directement ou indirectement au moyen de composants opto-mécaniques. Elle éclaire la particule 1 soit en un point soit en une zone étendue. L'onde 25, après avoir été réfléchie ou diffusée par la particule, forme une onde réfléchie 29 dirigée vers le détecteur 27 au moyen de composants opto-mécaniques, où elle interfère avec l'onde de référence 24. L'un de ces composants opto-mécaniques peut modifier la phase optique et la polarisation de cette onde 29.

Les vibrations de la surface de la particule 1 modifient la phase optique de l'onde 25 quand celle-ci est réfléchie ou diffusée par la particule 1. Cette modification de la phase se traduit par une variation de l'intensité lumineuse qui est enregistrée par le détecteur 27.

Le laser 21 du dispositif interférométrique est un laser continu possédant une longueur de cohérence comprise entre 15cm et 300m. Il possède une puissance variable comprise entre 5 mW et 5 W, par exemple 10 mW. Le détecteur 27 est apte à recueillir la vibration de la surface de la particule soit en un point soit sur une zone étendue de la particule. L'information recueillie est transmise au calculateur 19.

Le dispositif interférométrique 17 peut-être par exemple un interféromètre de Michelson homodyne stabilisé. Le signal recueilli par le détecteur 27 est représenté sur la Figure 3. Dans cet exemple de réalisation, la particule 1 est une particule de combustible nucléaire qui comporte un noyau et les couches 3 à 5, mais pas la seconde couche de pyrocarbone dense 6.

La courbe de la Figure 3 comporte plusieurs pics 51 de grandes amplitudes, régulièrement espacés, et un grand nombre d'autres pics d'amplitudes plus faibles.

La courbe de la Figure 3 représente la réponse vibratoire de la particule à une impulsion du laser 1 1. L'énergie déposée par l'impulsion sur la surface extérieure de la particule se convertit en générant des ondes élastiques se propageant vers l'intérieur de celle-ci. Arrivée à l'interface entre la couche la plus extérieure et la couche sous-jacente, une partie se réfléchit et une partie est transmise à la couche sous-jacente. L'onde élastique réfléchie, en arrivant à la surface extérieure de la particule, va produire un déplacement de la surface qui apparaît comme un pic sur la Figure 3, ainsi qu'une réflexion d'une partie de l'onde vers l'intérieur de la couche. Ces ondes élastiques vont ainsi faire plusieurs allers et retours dans la couche la plus extérieure de la particule, générant des échos. A chaque fois que les ondes élastiques arrivent à la surface extérieure de la particule, le déplacement de la surface qu'elle produit est détecté. A chaque fois que les ondes élastiques arrivent à l'interface avec la couche sous-jacente, une partie de l'énergie de l'onde est transmise à cette couche sous-jacente.

Le même phénomène se reproduit dans la couche sous-jacente, et dans chacune des autres couches de la particule. On détecte ainsi sur la courbe de la Figure 3 un grand nombre de pics. Les quatre pics 51 clairement marqués correspondent aux ondes élastiques détectées après respectivement un aller et retour de l'onde élastique dans la couche la plus extérieure de la particule, deux allers et retours de l'onde élastique dans ladite couche la plus extérieure de la particule, et trois allers et retours de l'onde élastique dans la couche la plus extérieure de la particule et quatre allers et retours de l'onde élastique dans la couche la plus extérieure de la particule.

La période séparant les pics 51 les uns des autres correspond donc à la durée pour que l'onde élastique parcourt deux fois l'épaisseur de la couche la plus extérieure de la particule. On déduit de cette durée, encore appelée période des échos, la vitesse de propagation de l'onde élastique dans la couche la plus extérieure de la particule si l'épaisseur de la couche la plus extérieure est connue par ailleurs. De cette vitesse pourra être déduit le module d'Young de la couche considérée si sa densité est connue, ou inversement sa densité si le module d'Young est connu. Si la vitesse de l'onde élastique est connue, alors il est possible de déterminer l'épaisseur de cette couche. Les épaisseurs et les densités peuvent être connues grâce à un procédé de radiographie tel que celui décrit dans la demande de brevet de la Demanderesse ayant pour numéro de dépôt FR0606950.

Le calculateur 19, à partir du signal temporel détecté par le détecteur 27 (Figure 4), peut calculer le spectre des fréquences de résonnance des modes de vibrations de la particule 1. Ce spectre est illustré sur la Figure 5, et correspond au signal de la Figure 4. Il est obtenu par le calcul de la transformée de Fourier rapide du signal temporel numérisé de la Figure 4, réalisé par le calculateur 19.

Chaque groupe de fréquences du spectre de la Figure 5 correspond à des fréquences de résonance d'un mode de vibration de la particule 1 , mesurées expérimentalement.

En effet, une particule parfaitement sphérique possède des modes de vibrations sphéroïdaux notés nSL, où L est un nombre entier appelé nombre orbital et n est un autre nombre entier désignant l'ordre d'apparition des modes sphéroïdaux SL. Les modes de type nSL possèdent une fréquence de résonance qui est dégénérée 2L+1 fois, le mode de type nS2 ayant par exemple une fréquence de résonance qui est dégénérée (2x2)+l = 5 fois. Comme les particules ont une géométrie sensiblement sphérique (défauts de sphéricité), la théorie des groupes prévoit une levée de dégénérescence des fréquences de résonance d'un mode de vibrations de type nSL. Par conséquent ces fréquences de résonance pourront être distinctes sur un intervalle, comme montré sur la Figure 5. On a noté 1 S1 à 1 S4 sur la Figure 5 les fréquences de résonance de quatre modes de vibration 1 S1 à 1 S4.

Le calculateur 19 va ensuite considérer plusieurs modes de vibration de la particule 1 et déterminer par calcul, à partir des fréquences de résonance mesurées expérimentalement, pour les modes de vibration considérés, une ou plusieurs caractéristiques géométriques ou mécaniques de la particule, suivant la procédure illustrée sur la Figure 6 (résolution du problème inverse).

Ces caractéristiques sont choisies parmi l'épaisseur, la densité, le module d'Young et le coefficient de Poisson de chacune des couches qui constituent la particule 1 , par exemple du noyau 2 et/ou de chacune des couches 3 à 6 pour la particule 1 de la Figure 1. Pour une particule à N couches, les caractéristiques sont choisies parmi 4N possibilités.

Pour la particule de combustible nucléaire de la Figure 1 , le calculateur va considérer certains modes de vibrations, comme par exemple les modes 1 S1 à 1 S4. Il va déterminer, parmi les vingt caractéristiques possibles, par exemple les modules d'Young E ₃ et E ₅ de la couche de pyrocarbone poreux 3, et de la couche de céramique 5.

Pour ce faire, le calculateur 19 va considérer pour chaque mode de vibration nSL considéré une fréquence de résonance dite expérimentale. Cette fréquence peut par exemple être choisie dans l'intervalle d'étalement des fréquences de résonance correspondant à la levée de dégénérescence du mode nSL. La méthode de Monte Carlo est utilisée pour tirer aléatoirement cette fréquence expérimentale dans un intervalle d'étalement des fréquences de résonance correspondant à la levée de dégénérescence du mode nSL. Cette fréquence est retenue si elle permet la convergence de la méthode de calcul pour les caractéristiques à déterminer. La méthode de Monte Carlo permet aussi d'évaluer les incertitudes sur les caractéristiques recherchées. Les fréquences expérimentales choisies pour les différents modes de vibration considérés constituent le vecteur des fréquences expérimentales. Puis le calculateur 19 calcule, à partir de valeurs estimées des caractéristiques des couches de la particule 1 , par exemple du noyau 2 et des quatre couches 3 à 6 de la particule de la Figure 1 , des fréquences de résonance calculées pour les modes de vibration considérés.

Le calculateur 19 part de valeurs estimées pour l'épaisseur, la densité, le coefficient de Poisson et le module d'Young de chacune des couches constituant la particule 1 , soit par exemple dans le cas du combustible nucléaire au total vingt valeurs. En particulier dans ce cas, le calculateur 19 considère pour les modules d'Young des couches 3 et 5, que l'on cherche à déterminer, des premières valeurs obtenues à partir des fréquences de résonance expérimentales, comme décrit plus loin. Les autres valeurs estimées sont des valeurs réalistes, ayant été mesurées ou estimées par calcul pour des particules de combustibles nucléaires de structures proches de celle à caractériser.

La méthode la plus couramment utilisée pour calculer directement les modes de vibration des objets multicouches est l'utilisation de logiciels de simulation par élément finis. Cette méthode qui a l'avantage de simuler des objets avec des géométries proches de la réalité (possédant des défauts) a un inconvénient majeur qui est le temps de calcul qui les exclut d'une caractérisation en temps réel dans un contrôle industriel.

Dans l'invention, au contraire, les fréquences de résonance des modes de vibration sont calculées à l'aide d'un modèle vibratoire analytique des particules.

Ce modèle vibratoire analytique permet de résoudre l'équation des ondes élastiques dans le cas d'une structure multicouche de symétrie sphérique constituée de N domaines et comprenant un cœur sphérique et N- 1 couches, séparées par /V- 7 interfaces sphériques. Les N domaines sont considérés comme étant des milieux continus, élastiques, isotropes et homogènes. Chaque domaine numéroté (h) est caractérisé par son module d'Young E _n , son épaisseur ep _n , sa masse volumique p _n et ainsi que son coefficient de Poisson V _n . On suppose que l'adhésion est parfaite entre deux domaines adjacents. La couche externe (n = N) a sa surface extérieure libre, formant une interface avec le milieu externe. Par exemple pour les particules de combustible nucléaire N = 5. Les paramètres physiques nécessaires à la résolution du problème sont la masse volumique/> _n , la vitesse longitudinale c _Ln et transversale c _{τ n} des ondes élastiques dans les différents domaines qui constituent la particule (avec n=1,2,..., N). L'expression de ces deux vitesses en fonction des caractéristiques mécaniques de chaque couche est :

L'équation de propagation des ondes élastiques (appelée également équation du mouvement) dans chaque couche n est : où w _n (r,t) représente le champ de déplacement dans le domaine n. Dans un domaine n, le champ de déplacement U _n qui résout l'équation des ondes pour des objets de symétrie sphérique {r,θ,φ) s'exprime en fonction d'un potentiel scalaire Ψ _ln et de potentiels vecteurs Ψ _2n et Ψ _3n comme :

M _B (r,O = VΨ _liB +VΛ(VΛΨ ₂ J+VΛΨ _3>II

Les potentiels vecteurs sont radiaux s'exprimant Ψ _2n =rΨ ₂ / _r et Ψ _3n =rΨ _Xn ë _r avec e _r le vecteur unitaire selon la direction radiale. Les potentiels Ψ _;n vérifient l'équation de d'Alembert avec des vitesses différentes

avec y = 1, 2, 3.

L'expression des vitesses s'exprime par c = ,3 Une solution particulière de l'équation de d'Alembert pour une géométrie sphérique dans chaque domaine est de la forme (en coordonnées sphériques) pour une vibration sinusoïdale de pulsation ω s'écrit : où ω = k _{] n} xc _{; n} est la pulsation Y^{θ,φ)=Y^ ^c {θ,φ)+iY^{θ,φ) est la fonction des harmoniques sphériques de degré d'harmonique L ≥ O et d'ordre azimutal m {- L ≤ m ≤ L). A^ et B^ sont des constantes.

La partie angulaire Y™ ^c {θ,φ) correspond à la partie réelle des harmoniques sphériques non normalisées définie par:

F _L ^{m c} {θ, φ) = Re[F _L ^m (θ, φ)] = Re[p] ^m| (cos θ)x exp(im φ)] = p] ^m| (cos θ)x cos{mφ)

La partie angulaire Y™- ^S {θ,φ) correspond à la partie imaginaire des harmoniques sphériques non normalisées définie par:

F _L ^{m s} (θ, φ) = Im[Ff (θ, φ)] = Im[p] ^m| (cos θ)x &xp{imφ)] = p] ^m| (cos θ)x ήn{mφ)

La partie radiale s'exprime à partir des fonctions de Bessel sphérique 1 è ^θ r ^r e ^θ espèce

•«ndθ et 2 ^παe espèce

La dégénérescence 2L + 1 fois de la fréquence de résonance du mode nSL permet de ne considérer que le mode correspondant à m = 0 pour le calcul de la fréquence de résonance. Les modes m = 0 (mode à symétrie de révolution) ne dépendent pas de φ comme : car F _L °' ^S {θ, φ) = if ¹ (cos θ)x sin(θ x φ) = 0 . La solution dans le domaine central (n = 1), correspondant au cœur doit être bornée en son centre d'où B^° = 0 car n _L {θ) = ∞ est de la forme suivante :

Ψjr,θ,t) = A): j _L {k _hn r)γr{θ)xcos{ωt)

Pour trouver les modes propres de vibrations, nous devons considérer des conditions limites aux interfaces et sur la surface libre : il faut donc, résoudre l'équation des ondes à l'intérieur de la sphère multicouche, satisfaisant les conditions de continuité du déplacement et de contrainte aux interfaces (parfaite adhésion), à l'exception de la surface libre, où il y a annulation de la contrainte. Etant donné la symétrie sphérique de l'objet, la normale en tout point de l'interface est dans une direction radiale c'est-à-dire suivant ή = (n _r ,n _θ , n _φ ) = (1,0,0) . Les composantes de la contrainte en coordonnées sphériques se calculent par :

_J

Les composantes de déplacement sont :

La sphère comprend N domaines et donc N-1 interfaces. Aux interfaces et au cœur (domaine 1 )

avec i = 1 ,..., N-1 le numéro de la couche et R, son rayon extérieur. A la surface libre

rθ La traduction des conditions aux limites conduit à une équation aux valeurs propres. La résolution de l'équation aux valeurs propres donne la fréquence propre de chaque mode.

Le modèle vibratoire analytique permet de déterminer, pour les modes de vibration considérés, le vecteur des fréquences de résonance calculées F _ca ic, correspondant au vecteur des fréquences de résonance expérimentales F _exp . Par exemple dans le cas de la particule de combustible nucléaire de la Figure 1 , on peut identifier sur la Figure 5 au moins quatre modes de vibration, et les vecteurs des fréquences expérimentales et calculées ont chacun quatre composantes. Pour la résolution du problème inverse, le calculateur 19 évalue si l'écart quadratique entre les fréquences de résonance expérimentales et les fréquences de résonance calculées est inférieur à une limite L prédéterminée. Pour cela, le calculateur utilise la formule suivante :

|| ^F exp ~ ^F _C ak | ^{< L} où L est la limite prédéterminée, | | désigne la norme euclidienne d'un vecteur. Les deux vecteurs de fréquence ont le même nombre de composantes qui est le nombre de modes de vibration considérés.

Si l'écart quadratique est inférieur à L, alors le calculateur considère que les premières valeurs des caractéristiques recherchées (par exemple modules d'Young E3 et E5), utilisées pour évaluer les fréquences de résonance calculées, sont satisfaisantes et les retient comme valeurs finales.

Au contraire, si l'écart quadratique est supérieur à la limite L, le calculateur 19 fait une itération supplémentaire.

Dans ce but, le calculateur 19 génère de nouvelles valeurs des caractéristiques recherchées (par exemple modules d'Young E3 et E5). Ces nouvelles valeurs des caractéristiques sont générées à l'aide des routines standard de minimisation d'erreur qui existent dans les différents logiciels de calcul.

Ces routines standard nécessitent généralement plusieurs dizaines d'itérations ce qui demande un temps de calcul excessif. L'invention utilise une fonction linéaire qui calcule de manière approchée les fréquences de résonance et sera nommée modèle vibratoire linéaire par la suite.

Ce modèle vibratoire linéaire permet un calcul rapide des fréquences de résonance de la particule pour les modes de vibration considérés.

Dans ce modèle, le vecteur F des fréquences de résonance est écrit sous la forme d'une somme d'une fonction linéaire F ₀ +S- X et d'un vecteur d'erreur E soit F = F ₀ + S - X + E , avec F = (Z ₁ ) _{ι=ι m} vecteur à m composantes des fréquences de résonances des modes de vibration obtenues expérimentalement ou obtenues avec le modèle de vibration analytique (fréquences cibles) ; F ₀ vecteur constant à m composantes; X = {x _a ) _{a=i n} vecteur à n composantes des caractéristiques recherchées ; S matrice des sensibilités de dimension nxm ; E vecteur d'erreur à m composantes. Cette formalisation permet d'accélérer la convergence de la fonction de minimisation d'écart quadratique.

L'utilisation de la méthode des moindres carrés (régression multilinéaire) sur la relation F _exp = F ₀ + S - X + Econduit aux premières valeurs (estimations) des caractéristiques recherchées X ₁ . X ₁ = ( ¹ S - S)T ¹ - ¹ S - (F^ - F ₀ ) où F _exp correspond au vecteur des fréquences de résonance déterminées expérimentalement.

A partir de la valeur de X ₁ , on calcule à l'aide du modèle vibratoire analytique le vecteur des fréquences de résonance. Ces fréquences calculées F ₁ s'expriment de la manière suivante à l'aide du modèle linéaire :

F ₁ = F ₀ + S - X ₁ + E ₁

L'écart entre les fréquences expérimentales et les fréquences calculées s'exprime de la manière suivante : (F _6x -F ₁ J = S - (X - Xj ₊ (E -E ₁ ) A chaque itération le vecteur d'erreur E i = E-E ₁ diminue. La deuxième estimation des caractéristiques recherchées est calculée par

X ₂ = X _{1 +} AX = X _{1 +} ( ¹ S - S) ^"1 - ¹ S - (F^ - F ₁ )

A chaque estimation ou itération l'écart entre les fréquences expérimentales et calculées se réduit.

De la même manière, la valeur du vecteur X considérée à l'itération i + l ( X ₁₊₁ ) se déduit de la valeur du vecteur X utilisé à l'itération / ( X ₁ ) en utilisant l'équation suivante (méthode des moindres carrés):

X ₁₊₁ = X _{1 +} Os - S) ^"1 - ¹ S - (F^ - F ₁ ) où F ₁ est un vecteur à m composantes correspondant aux fréquences de résonances obtenues avec le modèle vibratoire analytique en partant des caractéristiques X ₁

Cette relation de récurrence conduit à deux suites convergentes : une suite convergente X ₁ convergeant vers la limite X _calc des caractéristiques recherchées, et une suite convergente F ₁ des fréquences, convergeant vers une limite F _calc telle que 1IF _6xP - F ₀₃₁ JI < L . Les valeurs constituant X ₀₃₁₁ . sont alors retenues par le calculateur comme valeurs finales.

Dans l'exemple de la particule de combustible nucléaire de la Figure 3, m vaut quatre (nombre de modes propres identifiés expérimentalement) et n vaut deux (nombre de caractéristiques à rechercher).

Le calculateur 19 effectue plusieurs itérations, en considérant à chaque itération de nouvelles valeurs des deux modules d'Young E ₃ et E ₅ recherchés, estimées à l'aide de l'inversion du modèle linéaire, jusqu'à ce que l'écart quadratique entre les fréquences calculées et les fréquences expérimentales soit inférieur à la limite prédéterminée.

En pratique, considérer quatre fréquences de résonance expérimentales est suffisant pour déterminer au moins deux caractéristiques parmi les vingt évoquées ci-dessus.

Si on considère cinq fréquences de résonance expérimentales, il est possible de déterminer au moins trois ou quatre des vingt caractéristiques. Si on considère un nombre encore plus grand de fréquences de résonance, il est possible de déterminer plus de quatre des vingt caractéristiques. Pour déterminer si la particule 1 comporte des fissures, le calculateur 19 considère le spectre des fréquences de résonance de la particule 1 , et détermine s'il comporte des fréquences de résonance dans certains intervalles de fréquences prédéterminés.

On a rassemblé sur la Figure 7 des résultats expérimentaux correspondant à des mesures effectuées sur différents types de particules. Chaque ligne horizontale correspond au spectre d'une particule. Ces spectres ont été obtenus avec une installation telle que celle illustrée sur la Figure 2. Dans chaque ligne, les symboles (rond, croix, signe plus, etc..) sont placés à chacune des principales fréquences de résonance des modes de vibration, mesurées expérimentalement.

La ligne supérieure correspond à une particule ayant une fissure débouchant sur la surface extérieure de la particule. La ligne intermédiaire correspond à une bille saine, c'est-à-dire ne présentant pas de fissures.

La ligne du bas correspond à une particule ayant un défaut non débouchant, c'est-à-dire une fissure qui n'est pas ouverte au niveau de la surface extérieure de la particule. Par ailleurs, on a matérialisé par des rectangles allongés verticalement des plages de fréquences dans lesquelles se trouvent les fréquences de résonance des billes saines. Entre ces plages de fréquences se trouvent d'autres plages référencées BM à BI5 (Bande Interdite) sur la Figure 7, dans lesquelles on ne trouve jamais de fréquence de résonance pour les particules saines. Ainsi, de manière à déterminer si la particule comporte ou non des fissures, le calculateur détermine si certaines des fréquences de résonance des modes de vibration mesurées expérimentalement pour la particule se trouvent dans l'un des intervalles BM à BI5. Les intervalles BM à BI5 sont des intervalles prédéterminés, en fonction du type de billes, de la nature des couches, de l'épaisseur des couches, etc.. Ces intervalles sont déterminés expérimentalement, en considérant un grand nombre de particules comportant des défauts et également en considérant un grand nombre de particules saines. Le procédé décrit ci-dessus n'est pas limité à la détection de fissures débouchantes ou non débouchantes dans la particule 1. Selon le même principe, il est possible de détecter des décohésions entre couches, des porosités anormales dans certaines couches, des défauts de sphéricité. On entend par décohésion des zones où deux couches contiguës ne présentent pas, à leur interface mutuelle, une bonne adhérence l'une à l'autre. On entend par porosité une zone d'une couche où le matériau est anormalement poreux, du fait de l'existence de micro cavités au sein du matériau.

Le procédé décrit ci-dessus présente de multiples avantages. Le fait de chauffer localement la structure multicouche à caractériser en régime thermoélastique, à l'aide d'un laser et de déduire des fréquences de résonance des modes de vibration de la structure au moins une caractéristique relative à l'intégrité ou à la géométrie ou au comportement mécanique de la structure, permet de caractériser cette structure sans contact, de manière non destructive, rapide. Le procédé permet d'accéder à certaines caractéristiques comme le module d'Young ou la densité d'une ou plusieurs des couches de la structure ou du noyau, ce qui est extrêmement difficile avec d'autres méthodes.

La présence de fissures dans la structure peut être détectée de manière simple et rapide, en recherchant si le spectre vibratoire de la particule comporte des fréquences de résonance dans une ou plusieurs bandes de fréquences prédéterminées. Le procédé permet de détecter des fissures débouchantes aussi bien que non débouchantes. Ce procédé est simple, rapide, fiable et sans contact.

L'utilisation d'un modèle vibratoire analytique pour calculer les fréquences de résonance d'une particule contribue à réduire le temps de calcul nécessaire pour déterminer les caractéristiques recherchées de la particule par la méthode des moindres carrés. En effet, calculer les fréquences de résonance de la particule à l'aide d'un tel modèle analytique est beaucoup plus rapide que calculer lesdites fréquences de résonance par un modèle aux éléments finis.

De même, l'utilisation du modèle vibratoire linéaire décrit ci-dessus pour la détermination des nouvelles valeurs à prendre en compte à l'itération suivante permet de raccourcir grandement le temps de calcul et d'accélérer la convergence. Le procédé peut également être utilisé pour déterminer, à partir de la période des échos résultant des réflexions des ondes élastiques au niveau des interfaces entre les couches, la célérité des ondes élastiques dans au moins une des couches et/ou le module d'Young de ladite couche. Le procédé décrit ci-dessus peut présenter de multiples variantes.

Dans le cas d'une particule combustible nucléaire, le nombre de caractéristiques géométriques ou mécaniques à rechercher peut être de 2, 3 ou plus de 3 en fonction du nombre de fréquences de résonance expérimentales considérées. Le nombre de fréquences de résonance expérimentales utilisables dépend de la qualité du signal détecté par le dispositif interférométrique. Ainsi, en considérant cinq fréquences de résonance, on peut déterminer avec une bonne précision les combinaisons de quatre caractéristiques parmi les épaisseurs, les modules d'Young, les densités et les coefficients de Poisson.

Il est possible de ne pas utiliser de modèle vibratoire linéaire pour déterminer les valeurs des caractéristiques recherchées à prendre en compte au cours de l'itération suivante. Dans ce cas les routines standard (Nelder-Mead,

Quasi-Newton, Gradient-Conjugué, etc.) de minimisation qui existent dans la plupart des logiciels de calcul peuvent réaliser cette opération.

De même, il est possible d'utiliser un modèle différent du modèle vibratoire analytique décrit ci-dessus pour déterminer les fréquences de résonance telles que les modèles par éléments finis utilisés dans la plupart des logiciels de simulation.

Si le nombre de fréquences de résonance obtenues expérimentalement est inférieur au nombre de paramètres de l'objet dès que le nombre de couche N > 2, la résolution du problème inverse devient sous-déterminé. Pour que le problème inverse admette une solution, il faut sélectionner les paramètres qu'il est possible de déterminer de manière robuste et ceux que l'on peut connaître a priori. Cette sélection dépend de la structure de l'objet multicouche.

Dans ce contexte, l'invention propose une résolution du problème inverse qui utilise la sensibilité (ou effet) de chaque paramètre sur chacune des fréquences de résonance 99

S _ιa =^-^ est une composante de la matrice des sensibilités

OX _n

S = ,m ; où f _t est une fréquence de résonance composante du vecteur des fréquences F = (/; ) _{î=1 m} et χ _a est l'une des 4N caractéristiques de l'objet composante du vecteur des caractéristiques à rechercher X = (x _a ) _{a=ι n} . L'utilisation de la matrice de corrélation (degré de ressemblance) entre les vecteurs des effets S _ιa d'un paramètre x _a sur la fréquence /, permet une sélection optimale des paramètres qui peuvent être déterminés d'une manière robuste par exemple les modules d'Young E ₃ et E ₅ de la particule de la Figure 1.

L'utilisation de la méthodologie des plans d'expérience permet de calculer les sensibilités S _ιa ei de fournir ensuite une fonction linéaire approchée qui sera utilisée pour résoudre le problème inverse.

Il est à noter que pour la détermination de la période des échos, le faisceau 13 du laser 1 1 et la deuxième onde optique 25 produite par le laser 21 sont appliqués au même point de la particule 1. Ce n'est pas nécessairement le cas pour la détermination du spectre des fréquences de résonance des modes de vibrations de la particule, les points d'application du faisceau 13 et de l'onde optique 25 pouvant être différents.