本发明属于卫星重力场测量技术领域， 涉及解析计算低低星星跟踪卫星重 力场测量性能， 用于低低星星跟踪重力场测量卫星系统的参数 设计。

背景技术

重力场是地球的基本物理场， 在地球科学研究、 国土资源勘探和地质灾害 预报等方面具有重要应用， 历来是大地测量学研究的核心问题。 随着航天技术 的发展， 卫星重力场测量以其全球高覆盖率、 全天候、 不受地缘政治和地理环 境影响等独特优势， 受到了越来越多的重视， 在理论研究和工程实践上均取得 了长足发展， 已成为获取全球重力场模型的最有效手段 ^[1 ， ^2] .

根据观测数据的不同， 卫星重力场测量可以分为轨道摄动、 低低星星跟踪 和重力梯度三种原理 ^[3] 。 其中， 轨道摄动原理适宜于低阶重力场测量， 它的主 要观测数据是卫星摄动轨道； 低低星星跟踪原理适宜于中高阶重力场测量， 它 的主要观测数据是两个低轨卫星之间的距离及 其变化率； 重力梯度原理适宜于 高阶重力场测量， 它的主要观测数据是重力梯度值。 已成功实施或正在研制的 重力卫星均采用了以上测量原理或其组合， 如 CHAMP卫星利用轨道摄动原理恢 复低阶重力场， GRACE、 GRACE Fol low-on, NGGM卫星同时利用了轨道摄动和低 低星星跟踪原理恢复中高阶重力场， G0CE卫星分别利用轨道摄动和重力梯度原 理恢复低阶和高阶重力场。 虽然这三种原理适宜于不同的重力场测量频段 ， 但 是重力场测量有效阶数和精度最终要取决于重 力卫星的载荷指标。 在针对中高 阶重力场测量的低低星星跟踪和重力梯度方式 下， 以目前的载荷性能指标分析 可知， 低低星星跟踪测量完全可以达到甚至超过重力 梯度的测量水平。 为此，

2007 年在荷兰召开的 "未来重力卫星测量" 专题研讨会上决定， 目前国际重力 更正页 （细则第 91条） ISA/CN 卫星继续采用低低星星跟踪重力场测量方式， 同时考虑提高改善系统参数以提 高重力场测量性能。

针对低低星星跟踪重力场测量系统轨道参数和 载荷指标设计， 传统上主要 采用数值模拟法分析系统参数对重力场测量性 能的影响， 进而确定系统设计参 数。 但是， 重力场测量数值模拟对计算机性能要求非常高 ， 计算时间非常长， 不利于分析系统参数对重力场测量的影响规律 ， 不便于进行系统参数的优化设 计。 为克服这一缺陷， 本发明从能量守恒原理出发， 建立了分析低低星星跟踪 重力场测量性能的解析方法， 可以快速获取重力场测量有效阶数、 大地水准面 误差和重力异常误差等重力场测量性能， 确定系统参数对重力场测量的影响规 律 , 对低低星星跟踪重力卫星系统参数设计具有重 要指导意义。

引用的文献

[1] 宁津生. 跟踪世界发展动态致力地球重力场研究. 武汉大学学报信息科学 版， 2001, 26 (6) : 471-474.

[2] 宁津生. 卫星重力探测技术与地球重力场研究. 大地测量与地球动力学，

2002, 22 (1) : 1-5.

[3] 谷振丰， 刘红卫， 王兆魁， 张育林. 基于引力位系数相对权重的卫星重力 场测量分析. 地球物理学进展， 2013, 28 (1) : 17-23.

发明内容

本发明的目的在于， 针对低低星星跟踪重力场测量卫星系统， 建立了重力 场测量有效阶数、 大地水准面误差和重力异常误差等重力场测量 性能与卫星轨 道高度、 星间距离、 星间距离变化率测量精度、 定轨精度、 非引力干扰、 测量 更正页 （细则第 91条） ISA/CN 数据采样间隔、 任务周期等卫星系统参数之间的解析关系， 可以快速计算低低 星星跟踪重力场测量性能， 分析系统参数对重力场测量性能的影响规律， 指导 低低星星跟踪重力场测量卫星系统参数优化设 计。

为了实现上述目的， 本发明采用的技术方案如下： 一种低低星星跟踪卫星重力场测量性能解析计 算方法， 包括步骤如下： 步骤 1 : 获取低低星星跟踪重力卫星系统参数；

步骤 2 : 根据低低星星跟踪重力卫星系统参数， 计算重力卫星载荷测量误差 对地球引力非球形摄动位功率谱的影响， 进而得到反演重力场模型的位系数阶 误差方差；

步骤 3:将得到的反演重力场模型位系数阶误差方差� �� Kaul a准则给出的位 系数阶方差比较； 随着重力场模型阶数的增加， 位系数阶误差方差逐渐增加， 而位系数阶方差则逐渐减小， 当阶误差方差等于阶方差时， 认为达到重力场测 量的最高有效阶数；

步骤 4 : 根据反演重力场模型的阶误差方差， 计算反演重力场模型的大地水 准面阶误差及其累积误差、 重力异常阶误差及其累积误差；

步骤 5: 将计算得到的重力场测量有效阶数、 大地水准面阶误差及其累积误 差、 重力异常阶误差及其累积误差汇总， 即为低低星星跟踪重力场测量性能。 优选的， 步骤 1 中的所述低低星星跟踪重力卫星系统参数， 包括但不限于 重力卫星系统轨道参数和所述重力卫星系统载 荷指标；

所述卫星重力场测量性能指标包括重力场反演 的最高有效阶数 N _max 阶对 应的大地水准面阶误差 Δ„、 ·π阶对应的大地水准面累积误差 、 /]阶对应的重力 异常误差 和/ ί阶对应的重力异常累积误差 A _g 中的一种或几种；

所述重力卫星系统轨道参数， 包括重力卫星轨道高度 和两星的地心矢量 夹角 Θ。-,

所述重力卫星系统载荷指标， 包括星间距离变化率测量误差 (Δ ^、 卫星定 轨位置误差（Ar) _m 、 非引力干扰 、 星间距离变化率数据采样间隔^；^、 卫星 更正页 （细则第 91条） ISA/CN 轨道位置数据采样间隔 、非引力干扰数据间隔 和重力场测量任务寿命 T。 优选的， 步骤 2具体包括：

建立关于低低星星跟踪重力场测量位系数阶误 差方差 σ„ ² 满足的解析关系

其中，

B ₂ (r ₀ ,n,k,e ₀ ) = \ ^- Α -(η θ _α ) + [^- ("， 。μ„("+ι, ，ί in歸

fsr (") =∑ (cos0)] ² cos ² (Θ + ξ )sin ² θάθ = (2" + \)π δσ„ ² 是反演重力场模型位系数的阶误差方差， r。是卫星的地心距， Θ。是两星 地心矢量的夹角， a _f 是地球平均半径， 是万有引力常数和地球质量的乘积， h 是卫星的轨道高度， r _are 是积分弧长， 是非引力干扰， （ 是非引力干扰数 更正页 （细则第 91条） ISA/CN 据间隔， （Ar) _m 是卫星定轨的位置误差， （ ) 是卫星轨道数据的采样间隔， （△ )„, 是星间距离变化率测量误差， （Δ/)^是星间距离变化率数据采样间隔， Γ是重力 场测量的任务寿命。 优选的， 系数 和相位 的取值分别为:

优选的， 对于非引力干扰数据间隔（Δί^.， 如果低低星星跟踪重力卫星系统 对非引力千扰进行测量， 那么（Δ/^.指非引力干扰的测量间隔； 如果低低星星跟 踪重力场测量系统对非引力干扰进行抑制，那 么（Δ/^..指非引力干扰的抑制间隔。

优选的， 步骤 3具体包括建立的关于重力场测量最高有效阶� � AL满足解析 关系式：

„ , 1 1.6 x 10— ¹⁰

优选的， 步骤 4具体包括：

建立的关于 阶对应的大地水准面阶误差为：

Δ,, = α^(2 + ΐ)<5σ„ ²

和 /或

建立的关于 η阶对应的大地水准面累积误差为：

Δ = ^∑(Δ, ) ² 和 /或

建立的关于 /2阶对应的重力异常阶误差为：

更正页 （细则第 91条） ISA/CN 和 /或

建立的关于 n阶对应的重力异常 :

本发明 "一种低低星星跟踪卫星重力场测量性能解析� �算方法" 包括四部 分， 分别是获取低低星星跟踪重力卫星系统参数、 计算重力场测量的有效阶数、 确定大地水准面阶误差及其累积误差、 确定重力异常阶误差及其累积误差。 其 中， 获取低低星星跟踪重力卫星系统参数， 就是得到低低星星跟踪重力卫星系 统的轨道高度、 星间距离、 星间距离变化率测量精度、 定轨精度、 非引力干扰、 测量数据采样间隔、 任务寿命等参数， 为重力场测量性能计算提供输入参数； 计算重力场测量的有效阶数， 就是根据所得到的低低星星跟踪重力卫星系统 参 数， 利用重力场测量性能解析分析公式计算反演重 力场模型位系数的阶误差方 差， 然后将阶误差方差与 Kaula 准则给出的位系数阶方差比较， 当阶误差方差 等于阶方差时认为达到重力场测量的最高有效 阶数； 确定大地水准面阶误差及 其累积误差， 就是根据上一步得到的反演重力场模型的位系 数阶误差方差， 利 用大地水准面计算公式得到有效阶数范围内的 大地水准面阶误差及其累积误 差； 确定重力异常阶误差及其累积误差， 就是根据反演重力场模型的位系数阶 误差方差， 利用重力异常计算公式得到有效阶数范围内的 重力异常阶误差及其 累积误差。 本发明 "一种低低星星跟踪卫星重力场测量性能解析� �算方法" 实施步骤 ^口下： 更正页 （细则第 91条） ISA/CN 步骤 1 : 获取低低星星跟踪重力卫星系统参数， 包括轨道高度、 星间距离、 星间距离变化率测量精度、 定轨精度、 非引力干扰、 测量数据采样间隔、 任务 寿命等；

步骤 2 : 根据低低星星跟踪重力卫星系统参数， 计算重力卫星载荷测量误差 对地球引力非球形摄动位功率谱的影响， 进而得到反演重力场模型的位系数阶 误差方差；

步骤 3:将得到的反演重力场模型位系数阶误差方差� �� Kaul a准则给出的位 系数阶方差比较。 随着重力场模型阶数的增加， 位系数阶误差方差逐渐增加， 而位系数阶方差则逐渐减小， 当阶误差方差等于阶方差时， 认为达到重力场测 量的最高有效阶数；

步骤 4 : 根据反演重力场模型的阶误差方差， 计算反演重力场模型的大地水 准面阶误差及其累积误差、 重力异常阶误差及其累积误差；

步骤 5 : 将计算得到的重力场测量有效阶数、 大地水准面阶误差及其累积误 差、 重力异常阶误差及其累积误差汇总， 即为低低星星跟踪重力场测量性能。 本发明的优点在于：

建立了低低星星跟踪重力卫星测量性能与系统 参数之间的解析关系， 可以 快速、 定量评估重力场测量效果， 获取重力卫星系统参数对重力场测量性能的 影响规律， 避免了卫星重力场测量数值模拟所带来的计算 时间长、 无法获取系 统参数影响规律等缺陷。 附图说明

图 1 低低星星跟踪重力场测量卫星编队； 更正页 （细则第 91条） ISA/CN 图 2 星间距离变化率幅值与 r。和 ^的关系； 图 3 GRACE系统参数下的重力场测量位系数阶误差方� ��曲线； 图 4 GRACE重力场测量的大地水准面阶误差及其累积� ��差； 图 5 GRACE重力场测量的重力异常阶误差及其累积误� ��。 附表说明 表 1 不同轨道高度和星间地心矢量夹角下的星间距 离变化率幅值（m/s)； 表 2 低低星星跟踪重力场测量中的物理参数； 表 3 GRACE卫星系统参数。

具体实施方式 为了使本发明所解决的技术问题、 技术方案及有益效果更加清楚明白， 以 下结合附图及实施例， 对本发明进行进一步详细说明。 应当理解， 此处所描述 的具体实施例仅仅用以解释本发明， 并不用于限定本发明。 如图 1-图 5所示的一种低低星星跟踪卫星重力场测量性� �解析计算方法， 包 括步骤如下：

步骤 1 : 获取低低星星跟踪重力卫星系统参数；

步骤 2: 根据低低星星跟踪重力卫星系统参数， 计算重力卫星载荷测量误差 对地球引力非球形摄动位功率谱的影响， 进而得到反演重力场模型的位系数阶 误差方差；

步骤 3:将得到的反演重力场模型位系数阶误差方差� �� Kaula准则给出的位 系数阶方差比较； 随着重力场模型阶数的增加， 位系数阶误差方差逐渐增加， 而位系数阶方差则逐渐减小， 当阶误差方差等于阶方差时， 认为达到重力场测 更正页 （细则第 91条） ISA/CN 量的最高有效阶数；

步骤 4 : 根据反演重力场模型的阶误差方差， 计算反演重力场模型的大地水 准面阶误差及其累积误差、 重力异常阶误差及其累积误差；

步骤 5 : 将计算得到的重力场测量有效阶数、 大地水准面阶误差及其累积误 差、 重力异常阶误差及其累积误差汇总， 即为低低星星跟踪重力场测量性能。 在更加优选的是实施例中：

步骤 1 中的所述低低星星跟踪重力卫星系统参数， 包括但不限于重力卫星 系统轨道参数和所述重力卫星系统载荷指标；

所述卫星重力场测量性能指标包括重力场反演 的最高有效阶数 N _max 、 2阶对 应的大地水准面阶误差△„、 73阶对应的大地水准面累积误差 、 阶对应的重力 异常误差 和 n介对应的重力异常累积误差 中的一种或几种；

所述重力卫星系统轨道参数， 包括重力卫星轨道高度 和两星的地心矢量 夹角 0。；

所述重力卫星系统载荷指标， 包括星间距离变化率测量误差（A» _m 、 卫星定 轨位置误差（Ar) _m 、 非引力干扰 A 、 星间距离变化率数据采样间隔（Δ/) _Δ ^、 卫星 轨道位置数据采样间隔（Δ ^、非引力干扰数据间隔 ^.和重力场测量任务寿命 Τ 。 步骤 2具体包括：

建立关于低低星星跟踪重力场测量位系数阶误 差方差 δσ„ ² 满足的解析关系

其中，

更正页 （细则第 91条） ISA/CN n-\,k,e ₀ )A„(n+[,k,

A _n (/ k,0 _o ) = 5 _k J" (cos (e+e _Q ))-P _lk (cos 0)] P _nk (cos Θ ) sin θάθ

fsr (") =∑ όθ = -(2» + Ι)π

δσ„ ² 是反演重力场模型位系数的阶误差方差， r。是卫星的地心距， Θ。是两星 地心矢量的夹角， 是地球平均半径， 是万有引力常数和地球质量的乘积， h 是卫星的轨道高度， r _arc 是积分弧长， 是非引力千扰， （Δ/^..是非引力千扰数 据间隔， （Ar) _m 是卫星定轨的位置误差， （At ) 是卫星轨道数据的采样间隔， （Δ ), _η 是星间距离变化率测量误差， （Δ/^是星间距离变化率数据采样间隔， Γ是重力 场测量的任务寿命。

系数 Κ和相位 ξ的取值分别为：

^ = 1.3476xlO ⁿ m ² , ξ = --

步骤 3具体包括建立的关于重力场测量最高有效阶� � AL满足解析关系式：

1 1.6x10

δσ

2N +1 U

更正页 （细则第 91条） ISA/CN 步骤 4具体包括：

建立的关于 2阶对应的大地水准面阶误差为：

Δ _π = α^(2η + \) δσ _π ²

和 /或

建立的关于 ?阶对应的大地水准 差为：

和 /或

建立的关于 /1阶对应的重力异常阶误差为：

和 /或

建立的关于 n阶对应的重力异 ：

在更加优选的实施例中：

对于非引力干 υ数据间隔 ， 如果低低星星跟踪重力卫星系统对非引力 干扰进行测量， 那么（At 指非引力干扰的测量间隔； 如果低低星星跟踪重力场 测量系统对非引力干扰进行抑制， 那么（Δ ^指非引力干扰的抑制间隔。

下面举例"^细说明：

低低星星跟踪重力卫星系统由两颗低轨卫星沿 迹向形成跟飞编队， 通过测 量两星之间的距离及其变化率来恢复地球重力 场。 为使测量数据精度尽可能一 致， 同时便于卫星姿态和轨道控制， 通常选取卫星轨道为圓轨道或近圓轨道。 为满足全球覆盖测量要求， 通常选取卫星轨道为极轨道或近极轨道。 为此， 在 更正页 （细则第 91条） ISA/CN 12 建立低低星星跟踪重力场测量性能解析分析方 法的过程中， 假设卫星轨道偏心 率为 0, 轨道倾角为 90 ⁿ 。

1低低星星跟踪重力场测量的能量守恒方程 设组成低低星星跟踪重力场测量卫星编队的两 个卫星分别为 和^ 如图 1 所示。 其中， 为引导星， 4为跟踪星。 卫星 4和卫星 5之间存在如下能量守恒 关系

v

在（1)式中， 左边项为卫星 ^和卫星 s的引力位差。 已知引力位的球谐展开 式为

¥(Γ,θ,λ) = 1 + ΣΣ C _nk o k + S _nk sm k )P _nk (cosQ) 其中， （/%0，λ)是地球固连坐标系中的球坐标， 是地球引力常数， ^是地球 半径， ^和 ^分别是 阶 次引力位系数的余弦项和正弦项， (co _S 0)是完全 规格化的締合勒让德多项式。 引力位 (r， ，A)可以分为中心引力位 ^和非球形摄 动位； ?Ο，0,λ)两部

(3) r

R(r,9, ) = ^- _{J i} (C _nk cos k + S _nk si k ) P _nk (cos Θ) (4)

(1)式的左边项可以表示为 更正页 （细则第 91条） ISA/CN 在 α)式中， 等式右边第一项是卫星 和 s的动能差。 设 e是卫星 4指向卫 星 s的单位向量

e = ^-. (6) 卫星^ 1和 的动能差可以表示为 + [r _M - (r _M - e) e]} (7)

考虑到卫星 1和 S的距离很近， 它们的平均速度近似沿两星连线方向， 即 [r _AB - (r _AB - e) e] (8)

所以， （8)式可以近似表示为

其中， 是卫星 · 和 S之间的距离变化率， 等于/ ^在单位向量 e上的投影。 由于假设卫星 和 的轨道为圆轨道， 同时考虑到 4和 S的地心距基本相等， 设其平均值为 r。， 则（9)式可以进一步表示为

在（1 )式中， 等式右端第二项是由于地球自转引起的卫星 /1和 S能量差， 数 值计算表明该项比动能差小 4个数量级， 在解析分析中可以忽略不计。 （1)式等 式右端第三项是非引力干扰引起的卫星 ^ 和 S能量差。 在重力场测量中， 非引 力干扰通过时间累积引起卫星轨道偏移纯引力 轨道， 同时引起星间距离变化率 偏移纯引力作用下的星间距离变化率。 其中， 纯引力轨道偏移量与定轨误差共 同决定了对纯引力轨道的获取能力， 星间距离变化率偏移量和测量误差共同决 定了对纯引力星间距离变化率的获取能力。 这样非引力干扰的影响可以在分析 纯引力轨道误差和纯引力星间距离变化率误差 时引入。 （1)式等式右端第四项是 更正页 （细则第 91条） ISA/CN 三体引力、 潮汐摄动等引起的卫星 和 S能量差。 三体引力、 潮汐摄动等具有 高精度模型， 可以满足静态重力场测量要求， 对重力场测量的影响可忽略。 （1) 式右端第五项是积分常数， 对重力场测量无影响。

将（5)和（1 0)式代入（1)式， 得到

对上式变分， 得到

其中， 为纯引力轨道的位置误差， 包括定轨误差和非引力干扰引起的纯 引力轨道偏移量； φ为纯引力轨道星间距离变化率误差， 包括星间测距误差和 非引力干扰引起的星间距离变化率偏移量。 下面建立纯引力轨道位置误差 <5r和 纯引力轨道星间距离变化率误差 φ之间的关系。

2 两星地心距之差与星间距离变化率之间的几何 关系 已知卫星 和 3的星间距离变化率为

采用极坐标推导两星地心距差 r _s - 与星间距离变化率 / 之间的几何关系。 在由 ·和 /^决定的平面内， 如图 1 所示， 设直线 L ₂ 平分 /·和 ^的夹角， 直线 L, 垂直于 L ₂ 。 选取地心为极点， 直线 为极轴， 逆时针方向为角度正方向， 则卫 星 yl和 S的位置矢量可以表示为

w ² ( ^{1 5} ) 其中， 0。是卫星 ^ 和 S的地心矢量夹角。 卫星 和 S的速度矢量可以表示 更正页 （细则第 91条） ISA/CN 2π-θ ₀

2π+θ _ν

W 一

于是， 可以得到卫星 4和 S的位置矢量差和速度矢量差为

2π+θ _ϋ 2π-θ _ϋ 在地球非球形引力摄动下， 卫星 ^ 4和 S的地心距会产生周期性变化。 设在 时刻 ί卫星^ 1的地心距为 r。， 卫星 S的地心距为 r。+Ar。。 下面计算矢量 e的幅角， 将（18)式代入（6)式， 得到 r _AB _ (^o + Ar ₀ )e ² -r ₀ e ²

e = (20)

P

其中， p为卫星 和 S的星间距离。 整理（20)式， 得到

Q Q

(2r ₀ + ΔΓ ₀ ) sin f + iAr ₀ cos

e = (21)

P

从而得到 e的幅角为 arg (β) = (22)

下面计算/^的幅角。 在圆轨道假设条件下， 卫星 1和 S的速度大小可近似

μ

(24) r ₀ +Ar ₀ 将（23)和（24)式代入（19)式， 得到 更正页 （细则第 91条） ISA/CN

整理（25)式， 得到

从而， 得到 ^虚部和实部的比为

从而， 得到! ^的幅

(28)

由（22)和（28)式， 得到 e和!^之间的夹角为

(r _AB ,e) = aTg(r _AB )-arg(e) 于是， cosW = cos arctan (30) 化简， 得到

4r ₀ tanf

由（13)和（31)式， 得到

更正页 （细则第 91条） ISA/CN 由（26)式,

由（32)和（33)式， 得到两星地心距之差 Ar。和星间距离变化率 ^之间的关系

将（34)式代入（12)式， 得 低低星星跟踪重力场测量的能量守恒关系满足

5R ,— SR。 (35)

为了计算（35)式右端项的功率谱密度， 需要得到 β随时间的变化规律。

3 星间距离变化率的数学表示 由于地球引力的摄动影响， 卫星轨道半长轴会出现周期性变化， 导致星间 距离变化率也出现周期性变化。 其中， Λ项摄动是主要摄动项， 其影响可以分为 长期项和短周期项。 / ₂ 摄动的长期项对轨道半长轴无影响，短周 期项对半长轴的

cos2(/ + ω) (36)

其中， a是半长轴， i是轨道倾角， r是卫星地心距， e是轨道偏心率， 是 真近点角， ω是近地点角距。 对于低低星星跟踪重力卫星而言， 有

« 90'

(37) a « r

(36)式可以近似表示为 更正页 （细则第 91条） ISA/CN r ₅ (t) = ^cos(20 ₊ ^) (38) 其中， 0是余纬， 是初始相位角。 从而， 低低星星跟踪的两个卫星之间的 瞬时地心距之差为

ΔΓ ₀ = ^-[cos(20 + 2^ _o +^)-cos(2^ + ^)] (39) 可知， 两星地心距之差变化的幅值正比于 ， 其中 6»。是两个卫星地心矢

0 量的夹角。 考虑到（34)式， 可知

其中， Am( )表示幅值。 星间距离变化率的变化周期应当与轨道周期相 同 从而

其中， 是待定系数， 是轨道角速度， ξ =-π/2是初始相位。 考虑到卫星 轨道为极轨道， 所以有 θ _η

cos- ρ(θ) = Κ ~ p-sin¾cos(0 + ^) (42) 为了得到系数 在不同的轨道高度和星间距离下， 进行纯引力轨道积分， 根据积分轨道得到星间距离变化率随时间振荡 的幅值， 如表 1所示。 表 1

更正页 （细则第 91条） ISA/CN 1.2° 1.4° 1.6° 1.8° 2.0°

200km 5.08769221x10"' 5.93621975x10"' 6.78081254xl0 ^_1 7.62879389x10"' 8.47098944x10"'

250km 4.99688820x10-' 5.82412568x10"' 6.65497074 10"' 7.48424917 10"' 8.31446183x10"'

300km 4.90153499x10"' 5.71442505x10"' 6.53303618x10"' 7.34316987x10·' 8.15750088x10"'

350km 4.80516090x10"' 5.60716101x10"' 6.40541874x10"' 7.20322030x10"' 8.00195000x10"'

400km 4.71103131x10"' 5.49539036x10"' 6.28048672x10 ^_l 7.06380954x10"' 7.84346464x10"'

以^ _ _sin 0。为橫坐标， 以表 1中的星间距离变化率幅值为纵坐标， 得到 图 1 所示直线， 说明（42)式给出的星间距离变化率表达式是合 理的， 拟合得到 系数 为

将（42)式代入（35)式， 得到低低星星跟踪的能量变分方程为

下面将基于（44)式， 建立低低星星跟踪重力场测量的阶误差方差， 进而得 到重力场测量的有效阶数、 大地水准面误差和重力异常误差等重力场测量 性能。

4 低低星星跟踪重力场测量的阶误差方差 由（44)式， 得到第 阶上的阶误差方差关系为

对于（45)式， 由功率谱定义得到

其中， 更正页 （细则第 91条） ISA/CN (47) co kX k≥0

a (A)： (48) 由于低低星星跟踪的两个卫星沿均极轨道运行 ， 并且在同一个轨道面内， 所以它们的非球形摄动引力位可以分别表示为

L、"

R _A (r,9, ) = ^∑∑ ^ (C _nk cos + S _nk sin )^, _t (cos(0+0 _o )) (49)

R _B {r,6, ) = ^∑∑ C _nk cos kX + S _flk sin k ) P _nk (cos Θ ) (50)

r «=2 0 将（49)和（50)式代入（46)式， 得到

F„ _t (0.A)sin歸 cU

∑ 5(i)(5Q) j ^(cos(0 ₊ e _o ))-¾(cos0)]P„ _t (cos0)sin0d0 (cos (Θ + θ ₀ )) - ¾ (cos Θ )] „ ₍ (cos Θ ) sin 0d0

(51) 其中，

A _n (/, k,e ₀ ) = 5 _k J[¾ (cos (e + d ₀ ))-P _lk (cos 0)] P _nk (cos 0) sin θάθ (53) 则（51)式变为

(54) 更正页 （细则第 91条） ISA/CN 下面计算（54)式中第一个中括号中的表达式， 将平方项展开并利用不等式 关系， 可得

、 ⁵

μ _η ("-ΐΛ0(, (" ₊ ，0。)卜 μ("， 。)Α("+ Α)| ro J ^r J

则（55)式可以表示为

' ) ² ~^ [8' '"， ， ⁰ 。） ⁺ 4 '"' 。)]

同理， 得到（54)式中第 2个中括号的表达式为

将（57)和（

(59) 下面推导（45)式的右端部分。 设 更正页 （细则第 91条） ISA/CN

根据功率镨密度的定义， 得到（45)式右端部分为

D

(θ +ξ)δ Ϋ _η ,(θ,λ) ηθάθάλ 'δρΫ _η ,{θ,λ) ηθάθάλ (61)

J

。

(61)式中的各项分别为

2π：

J Jcos (Θ + ξ)δνΫ _ηί (Θ, )sin θάθάλ

(62)

( D ² 2nS S.r

V 4π T 2 ^P _nk (cos0)] ² cos ² (0+^)sin ² 歸

*=00

(63) 其中， 是纯引力轨道位置误差 的功率谱密度， 是纯引力作用下的星 间距离变化率误差 的功率谱密度， Γ是重力场测量总时间。为便于表示，在（62) 和（63)式中设 (") =∑ „ _k (cos^)] ² cos ² (θ ₊ ξ)8ϊη ² θάθ (64) k=00

4(") =∑ ^c 。 ^s0 )] ^2sin2 , (65)

0 ο 由（61)_(65)式， 得到

已知纯引力轨道位置误差 <5r和纯引力星间距离变化率误差 的方差与功率 更正页 （细则第 91条） ISA/CN 谱密度的关系为

其中， 最高频'率/ 和 通常取为 Nyquist频率

其中， （Δ 和 分别是纯引力轨道位置误差和纯引力星间距离 变化率的 数据采样间隔。 将（67)— (70)式代入（66)式， 得到

cos(0+<^)5r- ¾

由（45)、 （59)和（71)式， 得到低低星星跟踪重力场测量的阶误差方差为 ） + β; (;·。,", ,0。)] ₍₇₂ )

2"

在（72)式中， 纯引力轨道位置误差 包括纯引力轨道定轨误差（Ar) 和非 引力干扰引起的纯引力轨道偏移 ^. ² 。 同样， 纯引力作用下的星间距离变化率 误差 σ 包括星间距离变化率测量误差 (A ) _m ² 和非引力干扰引起的星间距离变化 率偏移 即

(73) 更正页 （细则第 91条） ISA/CN

其中， 是非引力干扰数据间隔， （Δ/ ) 是卫星轨道数据的采样间隔， (Δ/) _Δ 是星间距离变化率数据的采样间隔。 需要说明的是， 如果低低星星跟踪重 力卫星系统对非引力干扰进行测量， 那么 指非引力干扰的测量间隔； 如果 低低星星跟踪重力场测量系统对非引力干扰进 行抑制， 那么^ L指非引力干扰 的抑制间隔。

非引力干扰 (5F引起纯引力轨道位置累积误差和星间距离变 化率累积误差， 其最大值对应勾加速直线运动条件下的累积误 差， 其平均累积误差为

(75)

( ^ ( t (76)

^ arc 0 厶 其中， 为重力场反演中的积分弧长。 将式（73)— (76)代入（72)式， 得到阶 误差方差为 kA, ) + Β'— (/·。,"' k, θ ₀ ) + Β, (/·。.". k£ _v )] (77)

I 2(" + l ) r。:

2« + l πμ—Τα, 36 4 (" 其中，

更正页 （细则第 91条） I SA/CN

f _Sr (n) = j[ _nJt (cos0)] ² cos ² (0 + )sin ² θάθ = 2.3562" + 1.1781

(82)

( 1、

(") =∑JR( ^c 。 ^s0 )] ^2sin2 歸 n + - π (83)

*=00 V 2y

(84) π

: = 1.3476xl0"m , ξ=—— (85) 上述公式中的物理参数说明如表 2所示,

表 2

更正页 （细则第 91条） ISA/CN 5 低低星星跟踪重力场测量性能计算 由阶误差方差可以确定重力场测量的有效阶数 、 大地水准面误差和重力异 常误差。 根据 Kau l a准则， 地球重力场模型的阶方差为 阶误差方差 σ _π ² 是重力场模型阶数 η的增函数， 阶方差 σ„ ² 是 "的减函数。 随着 /2的增加， 当 σ„ ² 等于 σ 时， 认为达到重力场反演的最高有效阶数 AL, 即

CO

由（87)式得到 n阶大地水准面的阶误差为 进而得到 阶大地水准面的累积误差为

Δ = ^∑(Δ, ) ² (89) 由（87)式得到 阶重力异常的阶误差为

(90) 进而得到 η阶重力异常的累积误差为

6低低星星跟踪重力场测量性能解析分析方� �的验证 由于 GRACE 重力卫星采用了低低星星跟踪重力场测量原理 ， 所以可以根据 GRACE卫星的系统参数， 利用本发明 "一种低低星星跟踪卫星重力场测量性能解 析计算方法" 计算 GRACE重力场测量性能， 然后与 GRACE重力场测量数值模拟 结果对比， 可以^ r证本发明的正确性。

更正页 （细则第 91条） ISA/CN 已知 GRACE重力卫星系统参数如表 3所示， 利用本发明给出的低低星星跟 踪重力场测量性能解析分析方法计算得到重力 场测量的阶误差方差、 大地水准 面误差和重力异常误差， 如图 3 所示。 可知， 基于本发明得到的 GRACE重力 场测量有效阶数为 146， 对应的大地水准面累积误差是 11. 73cm, 重力异常累积 误差是 2. 51mGa l , 与 GRACE重力场测量性能数值模拟结果基本吻合， 从而验证 了本发明 "适用于低低星星跟踪原理的卫星重力场测量� �能解析计算方法" 的 正确性。 表 3

以上通过具体的和优选的实施例详细的描述了 本发明， 但本领域技术人员 应该明白， 本发明并不局限于以上所述实施例， 凡在本发明的精神和原则之内， 所作的任何修改、 等同替换等， 均应包含在本发明的保护范围之内。

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