PROCEDE DE TRAJECTOGRAPHIE PASSIVE PAR MESURES D'ANGLES

Le domaine de l'invention est celui de la trajectographie passive par mesure d'angles. Il s'agit de déterminer ia trajectoire d'une cible mobile en fonction d'angles mesurés à partir d'un porteur mobile.

On va illustrer le problème en se reportant à la figure 1. Pour simplifier la présentation, toutes les trajectoires sont représentées dans un seul plan. Le porteur (ou observateur) a une trajectoire connue représentée par la courbe 10 ; la cible a une trajectoire inconnue comportant a priori des manœuvres et représentée par la courbe 20. Le porteur n'a accès à tout instant qu'aux mesures de direction de la ligne de visée c'est-à-dire la ligne qui joint le porteur à la cible, mais n'a pas de mesure de distance. Sur la figure 1 ne sont représentées que 3 lignes de visée, soit 3 mesures, mais leur nombre est généralement beaucoup plus grand. Les courbes en pointillés donnent des exemples de trajectoires 31 , 32 dites compatibles, c'est-à-dire telles que des cibles suivant ces trajectoires donneraient la même séquence de mesures angulaires que la cible. L'ensemble des trajectoires compatibles est extrêmement vaste, puisque à chaque instant, on peut prendre n'importe quel point de la ligne de visée ; Ia vraie trajectoire n'est pas discernable sans hypothèses supplémentaires.

Ce qui vient d'être dit s'applique en l'absence de bruit de mesure, celui-ci ne venant que compliquer ie problème.

Il existe actuellement différentes techniques pour déterminer la trajectoire de la cible.

Lorsque la trajectoire d'une cible est un mouvement rectiligne uniforme ou « MRU », il est connu de la déterminer en utilisant par exemple une technique d'estimation paramétrique. Un inconvénient important de cette technique, dû au caractère non linéaire et incomplet de la mesure, est sa très grande sensibilité à de petites perturbations de la trajectoire à estimer : une petite perturbation autour du MRU peut fournir comme résultat une trajectoire très éloignée de la trajectoire réelle de la cible. Plus généralement, l'estimation paramétrique est applicable lorsque la trajectoire de la cible peut être représentée par un nombre fini de paramètres, et ses performances (en termes de précision de la trajectoire calculée) sont acceptables en présence de bruit de mesure si le nombre de paramètres est assez petit.

Dans tous ces cas, la performance est soumise à des conditions dites d'observabiiité. Si par exemple la cible est en MRU et si le porteur l'est également, alors il existe une infinité de trajectoires MRU compatibles ; il est alors nécessaire que le porteur effectue une manœuvre pour que le problème devienne observable, c'est-à-dire que la seule trajectoire MRU compatible soit celle de la cible, en absence de bruit de mesure.

Lorsque la trajectoire d'une cible est constituée d'une succession de MRU ou de mouvements pouvant être représentés par un nombre assez petit de paramètres, il est connu de déterminer sa trajectoire à partir d'IMM, acronyme de l'expression anglo-saxonne « Interacting Multiple Models », Plusieurs modèles paramétriques existent en parallèle et le meilleur est sélectionné au cours du temps. Comme dans le cas précédent, cette technique présente l'inconvénient de sensibilité à de petites perturbations autour des mouvements modélisés. Un autre inconvénient est qu'il ne s'applique qu'à des cibles dont la trajectoire est conforme au modèle.

Pour des cibles manoeuvrantes c'est-à-dire dont les trajectoires présentent une accélération non nulle, il est connu d'utiliser un filtrage particulaire. Il s'agit d'un filtrage statistique qui construit un nuage de "particules" (des réalisations de trajectoires), où chacune vit selon la dynamique supposée et est affectée d'une vraisemblance. Ce filtrage présente plusieurs inconvénients, il s'adresse à des dynamiques de cibles à transition markovienne, c'est-à-dire que la probabilité de transition vers l'état à l'instant n+1 ne dépend que de l'état à l'instant n. En outre il présente un comportement très dépendant de l'initialisation, c'est-à-dire en particulier de la connaissance a priori de la distance de la cible, qui est justement l'information manquante.

On peut encore mentionner des cas spécifiques. H est connu de déterminer la trajectoire d'un mobile 'balistique' à partir d'un capteur fixe ne mesurant que des angles : en effet, on peut montrer que Ia connaissance du vecteur accélération, en l'occurrence la pesanteur, entraîne la possibilité de reconstituer la totalité de la trajectoire.

Le but de i'invention est de pouvoir traiter des trajectoires de cibles aussi diverses que possible et avec très peu d'informations a priori sur la distance.

La solution de l'invention repose sur une hypothèse : la trajectoire de la cible satisfait une contrainte. Par exemple sa vitesse est constante en module, ou encore la projection de sa vitesse selon une direction donnée est constante. La solution consiste à déterminer un ensemble de N trajectoires de cible dites compatibles et qui satisfont la contrainte, puis à choisir parmi ceiles-ci celle qui est la moins "corrélée" avec celle du porteur.

Plus précisément l'invention a pour objet un procédé de trajectographie passive d'une cible au moyen d'un porteur mobile de trajectoire connue, qui comprend une étape d'acquisition d'un signai comportant une séquence de mesures angulaires entre le porteur et la cible établies à des instants successifs, il est principalement caractérisé en ce qu'il comprend en outre les étapes suivantes :

- calcul de N trajectoires de cibles compatibles avec ladite séquence de mesures angulaires, dites trajectoires compatibles, N étant prédéterminé et les cibles compatibles respectant une contrainte prédéterminée,

- pour chaque trajectoire compatible, établissement de sa corrélation avec la trajectoire du porteur, - sélection de la trajectoire compatible la moins corrélée.

De cette façon, il n'y a plus d'hypothèse paramétrique sur la trajectoire de la cible ; la question de la sensibilité ne se pose donc pas. La trajectoire déterminée via ce procédé est proche de celle de la cible, quelles que soient ses évolutions, pourvu que celles-ci respectent la contrainte. La contrainte est par exemple déterminée par un module de vitesse constant, ou par une projection de la vitesse selon une direction prédéfinie, constante, N pouvant être défini en fonction d'un domaine d'incertitude en distance et en vitesse de la cible et en fonction de la finesse d'échantillonnage desdits domaines d'incertitude. Les performances du procédé sont meilleures si en outre les manœuvres du porteur et celles de la cible sont indépendantes.

De préférence, il comprend préalablement au calcul des trajectoires compatibles, une étape de débruitage du signal, par exemple par décomposition du signal par des ondelettes, ou par techniques de noyaux ou par techniques de projection orthogonale.

Selon une caractéristique de l'invention, le calcul des trajectoires compatibles satisfaisant la contrainte est obtenu par résolution d'équations différentielles.

Selon une autre caractéristique de l'invention, l'établissement de la corrélation est basé sur une décomposition par des ondelettes de 2 signaux respectivement définis à partir desdites trajectoires, ou sur une représentation de ces 2 signaux comme des processus aléatoires.

De préférence, le porteur et la cible ont des capacités équivalentes en vitesse et/ou accélération latérale. Le porteur est par exemple un aéronef.

D'autres caractéristiques et avantages de l'invention apparaîtront à la lecture de la description détaillée qui suit, faite à titre d'exemple non limitatif et en référence aux dessins annexés dans lesquels : la figure 1 déjà décrite illustre schématiquement le problème posé, la figure 2 est un organigramme décrivant les principales étapes du procédé selon l'invention, les figures 3a et 3b décrivent schématiquement la mesure de la direction de la ligne de visée pour des trajectoires situées dans un espace 3D ₁ les figures 4a et 4b décrivent schématiquement la mesure de la ligne de visée pour des trajectoires situées dans un même plan, la figure 5 illustre le calcul itératif pour la détermination de la trajectoire d'une cible ambiguë, la figure 6 illustre la décomposition en ondelettes du signal constitué de la séquence θ _b des mesures bruitées, la figure 7 illustre schématiquement un exemple de décomposition en ondelettes d'une fonction à dérivée discontinue, en utilisant une ondelette dB2 (Daubechies 2).

Dans le cas général d'une mesure dans l'espace 3D, montré figure 3a, l'orientation de la ligne de visée est donnée par les deux angles θ et φ qui répondent aux formules (on a pris ici la convention dite "circulaire / élévation" qui dit que pour passer de l'orientation de l'axe Ox à celle de la ligne de visée, on applique successivement un angle de circulaire θ dans le

plan horizontal Oxy et un angle d'élévation φ dans le plan situé à la verticale de la ligne obtenue après la rotation de circulaire) : θ = arctg (Y / X) φ ≈ arctg (Z / sqrt (X ² + Y ² )) où sqrt symbolise la fonction « racine carrée », X = x _c - x _p Y = y _c - y _p et Z = Z ₀ - Zp où X ₀ , y _c , z _c respectivement x _p ,y _p , z _p sont les coordonnées de la cible respectivement le porteur dans l'espace, et arctg représente la fonction mathématique 'arc tangente'.

Si le capteur qui mesure l'angle est sensiblement orienté vers la cible (figure 3b), alors θ et φ sont petits, Y et Z sont petits devant X et l'on a approximativement :

θ = Y / X φ = Z / X

Dans ia suite pour simplifier la description, on considère que les trajectoires du porteur, de la cible et des cibles compatibles sont comprises dans un même plan.

Comme on le voit figure 4a, la direction de la ligne de visée est donnée par la formule : θ = arctg (y _c -y _p ) / (x _c -x _P ) où x _c ,y _c respectivement x _p ,y _p sont les coordonnées de la cible respectivement le porteur dans le plan. Si l'on pose x _c - x _p = X et y _c - y _p = Y, alors on obtient : θ = arctg (Y / X)

Généralement, le capteur qui mesure l'angle est sensiblement orienté vers la cible, si bien que θ est petit, et l'on a (figure 4b) :

θ = Y / X

La mesure angulaire bruitée θ _b , la seule observable par le porteur, est égale à θ plus un terme d'erreur inconnu.

Pour une durée de traitement donnée, les données accessibles au système sont :

1 ) les fonctions du temps x _p et y _p qui définissent la trajectoire du porteur, 2) la séquence des mesures angulaires bruitées θbi, ... θbk , où k est Se nombre de mesures accessibles.

Le procédé selon l'invention est décrit en relation avec la figure 2. Pour pouvoir mener à bien ia suite du procédé, il est préférable de

débruiter ces mesures (étape 1 ). Les erreurs de mesure étant par définition inconnues, on ne peut retrouver la séquence des θ (non bruités), mais on peut s'en approcher. Diverses techniques existent ; on peut citer : - le débruitage par ondelettes qui consiste, dans Ie cas de signaux échantillonnés, à :

- décomposer le signal, c'est-à-dire ia séquence des θ _b , sur une base orthogonale d'ondelettes au moyen d'une transformée discrète. On rappelle (voir références [1] ^e * [2] ci-dessous) que la décomposition en ondelettes est une opération linéaire qui consiste à déterminer, pour plusieurs échelles temporelles du signal, la partie 'approximation' et la partie 'détail' du signal, l'approximation étant obtenue par un filtrage passe-bas et le détail par un filtrage passe-haut. Un exemple de choix classique pour les échelles temporelles est le suivant : - au niveau du signal de départ (dit niveau 0), l'échelle de temps est la cadence d'échantillonnage dudit signal, par exemple 20 ms pour des mesures angulaires provenant d'un capteur optique fonctionnant à la cadence 'video ¹ de 50 Hz - puis chaque fois que le niveau est augmenté de 1 (voir suite du texte et figure 6), l'échelle de temps est multipliée par 2 : 40 ms pour le niveau 1 , 80 ms pour le niveau 2, etc. Les signaux ai et d1 décrits ci-dessous sont donc échantillonnés à 40 ms, les signaux a2 et d2 à 80 ms, etc. Précisément, selon la figure 6, on calcule, pour le niveau d'échelle 1 , l'approximation a ₁ et le détail d ₁ à partir du signal échantillonné, ia somme des deux signaux a ₁ et di étant égale au signal de départ ; pour le niveau d'échelle 2, on calcule l'approximation a ₂ et le détail d ₂ à partir de a -i, la somme de ces deux signaux étant égale à a ₁ , et ceci jusqu'à un niveau d'échelle donné n, la somme des signaux a _n et d _π étant égale à l'approximation a _n -i de niveau d'échelle n-1 ; ainsi, il est visible sur la figure 6 que le signal d'origine (ici la séquence des θ _b ) est égale à θ _b = a _n + d n + d n-i + ... + d j + ... + d i

Ainsi les signaux a _n , d _n , d _n -i , • •• , d ₁ constituent la transformée en ondelettes de θ _b au niveau n. Si l'on avait, à chaque niveau, calculé

l'approximation et le détail pour chacun des deux signaux obtenus, on aurait obtenu un "paquet d'ondetettes".

Deux décompositions en ondelettes se dîfférentient par ce qu'il est convenu d'appeler rondelette analysante, qui est une fonction du temps et qui possède, selon sa forme, des propriétés dans le domaine temporel et dans le domaine spectral.

Si par exemple, le signal θ _b est constitué de la somme d'une fonction linéaire et d'un bruit blanc, alors il est connu, compte tenu des propriétés de linéarité de la décomposition en ondelettes, que si l'on utilise une ondelette analysante possédant deux moments nuls (par exemple rondelette dB2 : Daubechies 2), alors on trouvera à tous les niveaux d'échelle : pour l'approximation la somme d'une fonction linéaire et d'un bruit blanc et pour le détail un bruit blanc. Ces propriétés sont vraies dans un segment temporel qui est plus petit que la durée totale du signal d'origine, à cause des effets "de bord".

- sélectionner une partie des coefficients par seuillage, en gardant intacts les coefficients d'approximation de niveau convenablement choisi. Dans la réalité, et c'est Ia difficulté du débruitage, le signal utile peut présenter des irrégularités qui s'apparentent à du bruit : on souhaite garder ces irrégularités, tout en supprimant le maximum de bruit. Dans la décomposition en ondelettes décrite ci-dessus, ces irrégularités apparaîtront dans les coefficients de détail, mais seront d'amplitude plus grande que la partie bruit dans ces mêmes coefficients de détail. Or le niveau de bruit dans les coefficients de détail est soit connu (si par exemple la variance du bruit de mesure est connue) soit estimé en faisant une hypothèse de propriétés statistiques du bruit (par exemple un bruit blanc).

Ainsi, si l'on ne conserve que les coefficients de détail qui dépassent un seuil, on supprimera dans les détails le bruit tout en conservant les irrégularités du signal utile, et par ailleurs on sait qu'on trouve dans les coefficients d'approximation la partie

"régulière" du signal. Le signal débruité se retrouve donc intégralement, dans les coefficients d'approximation pour sa partie régulière, et dans les coefficients de détail seuillés pour sa partie irrégulière.

- et reconstruire Iθ signal à partir des coefficients seuillés, en leur appliquant ia transformée discrète inverse, c'est-à-dire l'algorithme qui réalise l'opération : θ _d = a n + d _n , _s ⁺ d _n-1iS + ... + d _iiS + ... + d _1ιS où θ _d représente le signal débruité et d j _ιS les coefficients de détail seuillés.

Cette technique fait l'objet de descriptions détaillées dans de nombreux ouvrages. Nous en citons deux :

- [1] "Les ondelettes et leurs applications", par Michel Misiti, Yves Misiti, Georges Oppenheim, Jean-Michel Poggi, Editions Lavoisier

Hermès / Science Traitement du Signal et de l'Image'. Voir en particulier les pages 212 à 237, où les principes de débruitage sont décrits, ainsi que les stratégies de seuillage applicables en fonction de divers critères. - [2] "Une exploration des signaux en ondelettes", par Stéphane

Mallat, Les Editions de l'Ecole Polytechnique.

Cette technique est suffisamment développée pour faire l'objet de modules de bibliothèques dans des logiciels de mathématiques, on la trouve par exemple dans la bibliothèque "Wavelets" de Matlab (créée par les auteurs, membres du Laboratoire de Mathématique de l'Université Paris Sud, de la première référence ci-dessus) sous le nom générique "wden" (wavelet denoising) avec un paramétrage qui permet de mettre en œuvre les diverses stratégies de seuillage :

- l'estimation de fonctions par noyaux, qui consiste à calculer le produit de convolution de la fonction bruitée θ _b par une fonction appelée noyau, choisie de façon à satisfaire certaines conditions de régularité sur la fonction estimée. Cette technique largement répandue est décrite dans la référence [1] pages 214-215,

- l'estimation de fonctions par des méthodes de projection orthogonale, décrite également dans la même référence.

On appelle θ _d la séquence des mesures débruitées.

L'étape suivante {étape 2) consiste à calculer N trajectoires

'compatibles' (c'est-à-dire donnant la séquence des mesures angulaires débruitées θ _d i, ... θ _dk ) qui satisfont la contrainte, et qui sont comprises dans un domaine plausible de distance et de vitesse. Par exemple si la contrainte

est un module vitesse constant, on montre que pour une distance initiale et une vitesse donnée, il n'existe qu'un nombre fini N de telles trajectoires, qu'on calcule par résolution d'équations aux dérivées partielles. Le nombre N dépend de deux paramètres : le domaine d'incertitude en distance et en vitesse de la cible, et la finesse d'échantillonnage de ce domaine d'incertitude. Par exemple, si l'on sait que ia distance initiale est comprise entre 50 km et 150 km, et la vitesse entre 700 et 900 m / s, et si l'on veut échantillonner la distance avec un pas de 1 km et la vitesse avec un pas de 10 m / s, N sera égal à : [<150-50)/1] ^* [<900-700)/10] = 2000

Selon les techniques classiques de recherche de minimum de fonctions, si l'on considère que le pas d'échantillonnage utilisé n'est pas assez fin et que cela limite la précision du résultat, il est possible d'affiner ce pas au voisinage du minimum ainsi trouvé. On souhaite par exemple accéder à un pas d'échantillonnage de 100 mètres en distance et de 1 m / s en vitesse dans un domaine de 2 kilomètres en distance et de 20 m / s en vitesse autour du minimum trouvé ; dans ce cas, il faut calculer N' nouvelles trajectoires, avec N' = [2 / 0.1 ] * [20 / 1] = 400 et prendre en compte ces trajectoires supplémentaires dans la détermination du minimum de corrélation. Dans le cas de la contrainte de module vitesse constant, on montre qu'il faut en fait doubler le nombre N qui vient d'être calculé, pour des raisons géométriques explicitées dans la suite du texte.

Selon un autre exemple, si la projection de sa vitesse selon une direction donnée, par exemple i'axe Ox, est constante, N est défini en fonction des mêmes paramètres que précédemment. Dans ce cas, le doublement de N n'est pas nécessaire.

La résolution des équations différentielles est obtenue de la façon suivante, illustrée figure 5, dans le cas où la contrainte est que le module de la vitesse de la cible est constant et pris égal à V dans la suite du texte. Cette figure fait apparaître que la mesure débruitée θ _< j est affectée d'une erreur : en effet, les droites θ _d r-i et θ _d i ne passent pas par les positions CM et Ci de la cible.

A un instant t j donné, on dispose : - de la position de la cible compatible à l'instant précédent CCi _-1 (XCCi-I ₁ YCC i-I)

- du module du vecteur vitesse V

- de Ia position Pi du porteur à l'instant t _\ (xp ,, yp ,)

- et de la mesure débruitée θ _d i à l'instant t i et l'on veut calculer la position de la cible compatible Ce, à l'instant 1 ₁ , soit xcc i et ycc j.

On peut écrire deux équations :

- la première équation traduit le fait que la cible compatible est située à l'instant i sur la droite qui passe par le porteur et qui a la direction θdj, soit : (ycc i-yp i) / (xcc _r xp 0 ≈ θ _d ι

- la deuxième équation traduit le fait que la cible a parcouru, entre les instants t M et t ,, une distance égale à V*(t i - 1 M), soit :

(xcc i-xee i- ₁ ) ² + (ycc _r ycc M) ² = V ² (t _r t _J-1 ) ²

La résolution de ces équations conduit à une équation du deuxième degré en xcc ι et / ou ycc i, et montre qu'il y a plusieurs cas possibles :

- Le discriminant de l'équation du deuxième degré est négatif, l'équation n'a pas de solution. Dans ce cas, le calcul pour la cible compatible considérée s'arrête et cette cible n'est pas retenue dans la suite du calcul. Géométriquement, ce cas correspond à une longueur V*(t j - 1 M) inférieure à la distance entre Cc M et la droite appelée de façon simplifiée θ _d i.

- Le discriminant de l'équation du deuxième degré est positif, et l'équation a deux solutions. Géométriquement, ce cas correspond à une longueur V*(t i - 1 M) supérieure à la distance entre Cc M et la droite θ _d ι- Les deux positions possibles Cc π et Cc _i2 sont symétriques par rapport à la projection de Cc M sur θ _d s . Il apparaît donc qu'à chaque itération, on peut choisir entre deux positions (les deux signes possibles dans la résolution de l'équation du deuxième degré), ce qui conduit à une combinatoire inacceptable : un nombre de cibles ambiguës égal à 2 ^π pour chaque couple de position et de vitesse initiales. Par ailleurs, un changement de signe à un instant inopportun conduit à une irrégularité dans la trajectoire de la cible. En réalité, on démontre qu'une cible réelle, si sa trajectoire est régulière, correspond à un signe constant, sauf dans des cas excessivement rares, où la trajectoire de

la cible subit une inflexion de façon simultanée avec un autre événement, qui est que le vecteur vitesse de la cible est orthogonal à la ligne de visée- La stratégie consiste donc à maintenir, pour une cible ambiguë donnée, le "signe" constant, ce qui conduit à deux trajectoires possibles pour chaque couple de distance et vitesse initiales, une pour le signe 'plus' et une pour Ie signe "moins". Ceci conduit donc à doubler le nombre de trajectoires compatibles à calculer, par rapport au nombre N explicité ci-dessus. Ce doublement est nécessaire pour la contrainte de module de vitesse cible constant. Par contre, il n'est pas nécessaire pour l'autre exemple de contrainte cité précédemment, qui est que la projection de la vitesse cible sur un axe donné, par exemple l'axe Ox, est constante.

L'étape suivante consiste à calculer pour chacune de ces trajectoires sa 'corrélation' avec celle du porteur (étape 3 ), puis à sélectionner celle qui est la moins corrélée (étape 4). Les performances du procédé sont meilleures si en outre les manœuvres du porteur et celles de la cible sont indépendantes. Cette indépendance peut être illustrée, de façon non limitative, sur plusieurs exemples : a. les trajectoires des deux mobiles ou au minimum celle du porteur, présentent des discontinuités ou des variations fortes dans leurs dérivées d'un certain ordre, par exemple elles sont constituées de successions de MRU et de MCU ; alors l'indépendance porte sur les instants auxquels se produisent ces discontinuités. Ce cas englobe celui d'une cible en MRU qui ne présente pas de telles discontinuités, avec un porteur qui présente des discontinuités, b. les trajectoires des deux mobiles ou au minimum celle du porteur, peuvent être modélisées comme des processus aléatoires, auquel cas l'indépendance est définie au sens de l'indépendance entre deux processus aléatoires, c. les trajectoires des deux mobiles ou au minimum celle du porteur, sont des combinaisons des deux cas décrits précédemment.

En effet, tout changement dans la trajectoire du porteur, qui par hypothèse ne se produit pas en même temps qu'un changement dans la trajectoire de la cible, se transmet à la trajectoire des cibles compatibles via la contrainte, et ceci de façon d'autant plus intense que la cible compatible

est plus éloignée de la cible, alors qu'un changement dans la trajectoire du porteur n'induit pas de changement dans celle de la cible réelle. Pour calculer les corrélations, on utilisera des techniques adaptées au type de changement que l'on souhaite détecter, ce type de changement étant connu puisque la trajectoire du porteur est connue. On indique ci-dessous deux exemples :

- la trajectoire du porteur présente des discontinuités d'un certain ordre. Par exemple, le porteur passe instantanément d'un MRU à un MCU (Mouvement Circulaire Uniforme), alors la dérivée de l'orientation de son vecteur vitesse présente une discontinuité à cet instant-là, ou encore, ce qui revient au même, sa dérivée seconde passe d'une valeur nulle à une valeur non nulle. La réalité physique est autre, car ce changement se fait en un temps non pas nul, mais petit, mais le raisonnement qui suit s'applique. Il est connu (se reporter à [1]) que si l'on applique à l'orientation du vecteur vitesse une décomposition en ondelettes, avec une ondelette qui présente deux moments nuls (par exemple rondelette dB2 ), alors les coefficients de détails de la décomposition sont nuls partout, sauf au voisinage de la discontinuité.

La figure 7 illustre cette propriété : rondelette dB2 présente deux moments nuls : le moment d'ordre 0 et le moment d'ordre 1 , en d'autres termes l'intégrale de dB2 est nulle (moment d'ordre 0) et l'intégrale de dB2 multipliée par t est nulle (moment d'ordre 1 ). Ainsi toute fonction linéaire "analysée" par dB2 (c'est-à-dire précisément convoluée avec cette fonction) donne une réponse identiquement nulle dans les coefficients de détail. En revanche, et comme cela est visibie sur la figure 7, si la fonction analysée est partout linéaire, sauf en un point où la dérivée est discontinue, alors les coefficients de détail sont partout nuls, sauf au voisinage de la discontinuité. On voit également sur la figure 7 que, quand le niveau d'échelle va en augmentant, les coefficients de détail sont non nuls sur une durée plus longue. Le choix du niveau d'échelle le mieux adapté dépend d'un compromis entre la finesse d'analyse (la capacité à détecter deux discontinuités proches) et la capacité à détecter des 'petites' discontinuités. La corrélation s'établit donc en calculant des coefficients de corrélation de détails d'ondelettes sur les deux trajectoires considérées, c'est-à-dire celle du porteur et celle de la cible compatible. Précisément, la suite des

opérations à effectuer est : décomposition en ondelettes de l'orientation du vecteur vitesse du porteur et de celle de la cible compatible, élévation au carré des coefficients de détail d'un certain niveau, multiplication des deux fonctions obtenues et sommation sur la durée d'observation. - la trajectoire du porteur peut être modélisée comme un processus aléatoire stationnaire, par exemple l'orientation de son vecteur vitesse est un processus ARMA (Auto Régressive Moving Average). Ce type de modèle est extrêmement répandu et décrit dans une abondante littérature (voir par exemple [3] Time Séries : Theory and Methods par Peter J. Brockwell et Richard A. Davis, Springer Séries in Statistics), alors la cible compatible présentera des caractéristiques voisines, avec des coefficients différents et une certaine corrélation avec le porteur si la cible compatible n'est pas confondue avec la cible réelle.

Etablir la corrélation entre ces deux processus consiste à extraire de chacun d'eux la partie bruit blanc dite résidu et à calculer le coefficient de corrélation entre les deux séquences de bruit blanc extraites. Pour extraire le résidu d'un processus stationnaire, on peut par exemple le modéliser comme un processus ARMA(p,q), où l'acronyme ARMA signifie "Autoregressive Moving Average". On dit qu'un processus X _t est un ARMA(p, q) s'il est stationnaire et s'il satisfait la relation

X _t = φ 1 X t-1 + • .. + φ p X t-p + Z _t + θ 1 Z _t -1 + -. - + θ _q Z _t -q où les φ et θ sont des nombres réels satisfaisant des conditions pour la stationnante du processus et Z est un bruit blanc de variance V _z . Extraire le résidu consiste à retrouver les valeurs de Z à partir de la seule observation des X, ce qui nécessite les opérations suivantes :

- "identification du processus" : trouver les ordres p et q, ainsi que les coefficients φ et θ et la variance V _z

- "prédiction" : pour tout t, prédire X _t à partir de toutes les valeurs précédentes de X, par une opération linéaire - "Extraction du résidu" : la séquence des erreurs de prédiction (soit

X t prédit - X _t ) constitue un estimateur de ia séquence Z _t

La corrélation entre deux séquences Zn et Z ₂ t , dont on a ramené la moyenne à 0 par translation, est donnée par la formule : R ≈ ∑ (Z ₁ Z ₂ ) / sqrt [∑ (Z ₁ ² ) ^* ∑ (Z ₂ ² ) ]

où les sommes ∑ sont indicées par t et "sqrt" symbolise la racine carrée.

Ces techniques classiques sont décrites aux chapitres 5 (Prédiction of stationary processes), 8 (Estimation for ARMA modeis) et 11 (Multivariate Time Séries) de la référence [3]. Si la trajectoire de la cible présente des variations modérées par rapport à la contrainte, par exemple dans ie cas d'une contrainte de module de vitesse constant, si Ie module du vecteur vitesse cible présente des variations modérées autour d'une valeur constante, il peut en résulter une erreur supplémentaire modérée sur la détermination de la trajectoire de la cible.

La performance peut être optimisée en agissant sur la trajectoire du porteur. En effet, tout changement brusque sur la trajectoire du porteur, appliqué selon un axe perpendiculaire à la ligne de visée porteur-cible, entraîne un changement comparable sur la trajectoire des cibles compatibles, changement dont l'amplitude est proportionnelle à ia distance entre la cible compatible et la cible réelle. On peut donc décider de commander des manœuvres du porteur à des instants opportuns (étape 5) pour provoquer volontairement de teis changements brusques sur sa trajectoire. On démontre que l'efficacité maximale d'une manœuvre (du point de vue du changement induit sur la cible compatible) est atteinte si cette manœuvre se fait selon un axe perpendiculaire à la ligne de visée (i.e. la droite qui joint le porteur à la cible), on voit ainsi que si le porteur a essentiellement des capacités de manœuvres latérales (ce qui est généralement le cas d'un aéronef par exemple), alors l'efficacité maximale sera atteinte si le porteur se dirige vers la cible.