Die Erfindung betrifft ein Verfahren zum Ausführen einer Simulation auf einem Quantensimulator, ein Verfahren zum Bestimmen eines Satzes von Steuersigna- len für den Quantensimulator, ein Computerprogrammprodukt mit derartigen Steu- erbefehlen sowie ein System mit einem solchen Quantensimulator.

In einer Vielzahl unterschiedlicher technischer Anwendungsgebiete werden heute technische, insbesondere physikalische und/oder chemische Systeme, die experi- mentellen Untersuchungen nicht, nur schwer oder nur sehr kostenintensiv zugäng- lich sind, im Computer simuliert. Dies betrifft Untersuchungen zur Baustatik, Unter- suchungen zur thermischer oder mechanischer Belastung von verschiedenen Bauteilen aber auch Untersuchungen zur chemischen Syntheseprozessen, phar- mazeutische Eigenschaften von Wirkstoffen oder Materialeigenschaften. Dabei sind insbesondere Systeme, in denen quantenmechanische oder quantenphysika- lische Phänomene eine Rolle spielen, von immer größerem Interesse.

Die Simulation derartiger Quantensysteme auf klassischen Computern ist jedoch problematisch, da die Größe der zu handhabenden mathematischen Objekte ex- ponentiell mit der Größe des zu simulierenden Systems ansteigt. So ist der Hil- bert-Raum der möglichen Zustände eines physikalischen Systems aus drei Ele- menten, die jeweils zwei Zustände aufweisen, beispielsweise Spin-1/2-Elemente, acht-dimensional. Der Hilbert-Raum für ein System aus zehn halbzahligen Spins ist bereits 1024-dimensional.

Die Simulation quantenmechanischer Systeme auf einem klassischen Computer ist also nur für sehr kleine quantenmechanische Systeme sinnvoll möglich. Um auch größere quantenmechanische Systeme simulieren zu können, wurde vorgeschlagen, als Simulator selbst Quantenobjekte zu verwenden. Diese bringen die benötigte Komplexität natürlicher weise mit, so dass auch für große Systeme ein beherrschbares Maß an Ressourcen benötigt wird. Die Schwierigkeit besteht jedoch darin, derartige Quantensysteme so zu präparieren, dass sie als Simulator für andere Quantensysteme verwendet werden können. Insbesondere die zeitliche Stabilität der einzelnen Zustände, die der Dekohärenz unterworfen sind, ist dabei problematisch. Es ist notwendig, die einzelnen Quantenobjekte, die den Quanten- simulator bilden, die sogenannten "Qubits" so zu präparieren, dass sie gezielt ma- nipuliert werden können ohne gleichzeitig eine zu starke Wechselwirkung mit der Umgebung aufzuweisen.

Zwischenzeitlich wurden eine Reihe unterschiedlicher Qubit-Realisationen vorge- schlagen und experimentell ihre Machbarkeit nachgewiesen. Dies betrifft ultrakalte Atome, supraleitende Qubits oder in Quantenpunkten gefangene Einzelelektronen.

Alle diese physikalischen Realisierungen der Quantenelemente verfügen über zwei Zustände, die dem quantenmechanischen Analogon zum Zustand "eins" und "null" des klassischen Bits entsprechen.

Um den Quantensimulator nutzen zu können, ist es notwendig, diese Zustände durch logische Operatoren manipulieren zu können. Die dafür notwendigen ele- mentaren Operationen werden "Quantengatter" genannt. Während die logischen Effekte eines Quantengatters unabhängig von der physikalischen Realisierung des Quantensimulators sind, ist die technische Realisierung des jeweiligen Quan- tengatters stark von der physikalischen Umsetzung des Quantensimulators abhän- gig. Um in einem Quantenpunkt gefangene Elektronen zu manipulieren sind an- dere physikalische Einwirkungen nötig, als beispielsweise zur Manipulation supra- leitender Qubits oder andere Realisierungen. Ein Anwender, der ein quantenme- chanisches System auf einem Quantensimulator simulieren möchte, benötigt folg- lich nicht nur Informationen über die auszuführende Simulation sondern auch und insbesondere über den Quantensimulator selbst und darüber, wie die einzelnen Quantengatter tatsächlich umgesetzt werden sollen. Dabei verfügen die einzelnen Realisierungen von Quantensimulatoren über unterschiedliche Fehleranfälligkeiten beispielsweise die Kohärenzmechanismen oder Anfälligkeiten für Kopplungen mit der Umgebung.

Der Erfindung liegt daher die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren anzugeben, mit dem ein möglichst optimaler Satz Steuersignale bestimmt werden kann, um ein Quantensimulator zu betreiben.

Die Erfindung löst die gestellte Aufgabe durch ein Verfahren zum Ausführen einer Simulation auf einem Quantensimulator, wobei das Verfahren folgende Schritte aufweist:

• Übermitteln von Informationen über die Simulation und über den Quantensi- mulator an eine klassische Datenverarbeitungseinrichtung,

• Bestimmen eines Satzes von Steuersignalen durch

o Ermitteln verschiedener Sätze von Steuersignalen mittels der klassi- schen Datenverarbeitungseinrichtung,

o Bestimmen eines Qualitätsparameters für die verschiedenen Sätze von Steuersignalen unter Berücksichtigung der Informationen über die Simulation und den Quantensimulator und

o Auswählen eines Satzes von Steuersignalen aus den verschiedenen

Sätzen von Steuersignalen auf der Grundlage des Vergleiches der Qualitätsparameter.

Dann wird der ausgewählte Satz von Steuersignalen an eine Quantensimulations- Steuerung übermittelt und die Steuersignale werden durch die Quantensimulator- steuerung ausgeführt. Durch das Ausführen der Steuersignale wird der Quantensi- mulator betrieben.

Um einen möglichst optimalen Satz von Steuersignalen zu ermitteln, mit denen die gewünschte Simulation auf dem gewünschten Quantensimulator ausgeführt wer- den kann, müssen zunächst Informationen über die Simulation und über den Quantensimulator selbst vorhanden sein, die in eine klassische Datenverarbei- tungseinrichtung, vorzugsweise also einen Computer, eingepflegt und diesem übergeben werden. Aus den Informationen über die auszuführende Simulation können nun unterschiedliche Sätze von Steuersignalen ermittelt werden, die je- weils zum gewünschten Ergebnis führen. Da es sich um ein gegebenenfalls kom- plexes quantenmechanisches System handelt, können bereits bei diesem Schritt erste Fehler auftreten, da das exakte zu simulierende System nur näherungsweise simuliert werden kann. Die bei dieser Näherung auftretenden Fehler sind in aller Regel berechenbar und bekannt.

Die unterschiedlichen Sätze von Steuersignalen sind beispielsweise Operatorfol- gen, die in Form von Quantengattern auf das System des Quantensimulators an- gewendet werden, um die gewünschte Simulation auszuführen. Aufgrund der Un- terschiedlichkeit der verschiedenen physikalischen Realisierungen des Quantensi- mulators sind nicht alle Operationen gleich sicher, gleich gut oder gleich kohärent auf dem jeweiligen Quantensimulator ausführbar. Die Anwendung der Steuersig- nale oder der aus diesen folgenden physikalischen Manipulationen des Quantensi- mulators auf den Quantensimulator kann folglich neben dem gewünschten Effekt des Operators Störeffekte, Fehler und Dekohärenzen zur Folge haben, die das System und damit die Berechnung und Simulation stören. Auch diese Fehler kön- nen in aller Regel abgeschätzt oder errechnet werden. Für jeden der verschiede- nen Sätze von Steuerparametern wird ein Qualitätsparameter bestimmt, der insbe- sondere die zu erwartenden Fehler durch die mathematische Annäherung des auszuführenden Operators und die durch die tatsächliche technische Umsetzung der Quantengatter hervorgerufenen Fehler und Abweichungen berücksichtigt. Je größer die Fehler, Abweichungen oder Störelemente und Mechanismen sind, desto schlechter sollte der Qualitätsparameter sein. Durch Vergleich der unter- schiedlichen Qualitätsparameter kann auf diese Weise der beste Satz von Steuer- signalen aus den unterschiedlichen Sätzen von Steuersignalen ausgewählt wer- den. Ist dieser Satz von Steuersignalen einmal bestimmt worden, wird er an eine Quantensimulatorsteuerung übergeben, die die Steuersignale ausführt und auf diese Weise die einzelnen Quantenelemente oder Qubits in gewünschter Weise, also durch die vorgegebenen Quantengatter, beeinflusst und manipuliert und auf diese Weise die Simulation auf dem Quantensimulator ausführt.

Vorteilhafterweise beinhalten die Informationen über die Simulation einen Liou- ville-Operator Fl oder einen Flamilton-Operator Fl des zu simulierenden Systems. Durch den Operator wird das System, das simuliert werden soll, eindeutig be- schrieben und alle Wechselwirkungen der einzelnen Quantenelemente, die das zu simulierende Quantensystem bilden, beschrieben. In aller Regel beinhaltet der Ha- milton-Operator Wechselwirkungsterme zwischen zwei in selten Fällen auch drei oder gar vier unterschiedlichen Qubits. Diese sind in aller Regel direkt nebenei- nander angeordnet, also direkte Nachbarn. Auch Wechselwirkungen zwischen übernächsten Nachbarn sind möglich, ihre Stärke ist jedoch in aller Regel deutlich geringer, als die Wechselwirkungsstärke zwischen benachbarten Qubits. Die Wechselwirkungen im zu simulierenden System, die durch den Liouville-Operator oder den Hamilton-Operator beschrieben werden, sind folglich in aller Regel kurz- reichweitig.

Vorteilhafterweise wird beim Ermitteln der verschiedenen Sätze von Steuersigna- len ein Zeitentwicklungsoperator U = exp(-t H t/h) durch eine Suzuki-Trotter-Zer- legung angenähert. Es ergibt sich

Die einzelnen H _k sind dabei vorteilhafterweise derart gewählt, dass sie mit Quan- tengattern des Quantensimulators realisierbar sind und untereinander kommutie- ren. Zwei Terme H _k und H _t heißen kommutierend, wenn gilt H _k H _t - H _t H _k = 0. Die Einzelterme H _k sind also Quantengatter, die auf einem oder zwei Qubits wirken. Sie sind durch physikalische Manipulation des tatsächlichen Quantensimulators auf dem Quantensimulator anwendbar. Die Suzuki-Trotter-Zerlegung ist für be- grenzte k jedoch keine exakte Zerlegung, sondern lediglich eine Näherung. Die Qualität wird insbesondere durch die Länge des Zeitschritts t bestimmt. Je mehr Terme bei der Suzuki-Trotter-Zerlegung mitgeführt werden und je kleiner das Zeit intervall t ist, desto besser ist die Näherung und desto kleiner ist der entstehende Fehler, der vorzugsweise durch den Qualitätsparameter abgebildet und berück- sichtigt wird.

Die Suzuki-Trotter-Zerlegung ist jedoch nicht eindeutig. Vorteilhafterweise unter- scheiden sich die verschiedenen Sätze von Steuersignalen daher durch die ge- wählten H _k . Die einzelnen Terme können beispielsweise durch einen Basiswech- sel der zugrundeliegenden Zustandsbasis ineinander überführt und ineinander umrechnet werden. Da ihnen jedoch physikalische Manipulationen des Quantensi- mulators zugrunde liegen, ist der Basiswechsel, der mathematisch selbstverständ- lich keinen Einfluss außer der Darstellung hat, bei dem physikalischen System durchaus von Bedeutung. Unterschiedliche Quantengatter können mit unter- schiedlicher Reinheit, Qualität oder Fehleranfälligkeit auf den Quantensimulator angewendet werden. Durch die Wahl der Basis und damit die Wahl der H _k lässt sich daher vorteilhafterweise der Satz von Quantengattern auswählen, der beson- ders gut, besonders einfach oder besonders sicher auf den Quantensimulator an- gewendet werden kann.

In einer bevorzugten Ausgestaltung beinhalten die Informationen über den Quan- tensimulator daher ein Fehlermodell des Quantensimulators. Dies beinhaltet bei- spielsweise Anfälligkeiten des Quantensimulators für Kopplungen mit der Außen- weit, beispielsweise durch Temperatur, Strahlung, mechanische Beeinflussung o- der elektromagnetische Felder, sowie Informationen über Dekohärenzzeiten der einzelnen Zustände, sowie Verteilungen und Dichtematrizen der Zustände, in die die Dekohärenz einen vorher festgelegten Zustand überführt. Dieses möglichst vollständig vorhandene Fehlermodell wird bei der Ermittlung des Qualitätsparame- ters vorteilhafterweise verwendet. Je vollständiger das Fehlermodell ist, desto bes- ser erlaubt der Qualitätsparameter eine Einschätzung darüber, welcher Satz von Steuersignalen die optimale Wahl darstellt.

Vorzugsweise ist der Qualitätsparameter ein Maß für eine erwartete Abweichung der Simulation von einem exakten Ergebnis, insbesondere eine Fidelity

Dabei beschreibt p _Fehier die Dichtematrix der Zustände des Systems am Ende der fehlerhaften Simulation, während p _exa kt die Dichtematrix des Systems bei exakter und fehlerloser Simulation darstellt. Die einzelnen Fehler, die berücksichtigt wer- den, können beispielsweise durch das Fehlermodell des Quantensimulators und/oder durch die bei der Näherung des Zeitentwicklungsoperators durch die Suzuki-Trotter-Zerlegung hervorgerufene Näherungsfehler beinhalten. In einer bevorzugten Ausgestaltung wird der Satz Steuersignale ausgewählt, der die geringste erwartete Abweichung der Simulation vom exakten Ergebnis auf- weist. Das Verfahren zum Bestimmen des Satzes von Steuersignalen kann dabei voll- ständig in einem klassischen Computer, also einer herkömmlichen klassischen Datenverarbeitungseinrichtung durchgeführt werden. Die so ermittelten Steuersig- nale werden dann benutzt, um den Quantencomputer, der eine separate Vorrich- tung darstellen kann, zu betreiben und ein möglichst optimales Ergebnis der Simu- lation zu erreichen.

Vorzugsweise werden die Informationen über die Simulation und über den Quan- tensimulator von einem Übermittlungscomputer an die klassische Datenverarbei- tungseinrichtung übermittelt. Dieser Übermittlungscomputer ist ein klassischer Computer und befindet sich an einem ersten Ort. Die klassische Datenverarbei- tungseinrichtung, an die die Informationen übermittelt werden und die die ver- schiedenen Sätze von Steuersignalen ermittelt, befindet sich an einem zweiten Ort. Dieser zweite Ort kann mit dem ersten Ort identisch sein, muss es aber nicht. Es ist durchaus möglich, dass der Übermittlungscomputer und die klassische elektronische Datenverarbeitungseinrichtung an zwei unterschiedlichen Orten auf der Erde positioniert sind. Insbesondere kann die elektronische Datenverarbei- tungseinrichtung Teil einer "Cloud", sein, so dass es unerheblich ist, an welcher Stelle auf der Erde die klassische Datenverarbeitungseinrichtung angeordnet ist. Die Quantensimulatorsteuerung und/oder der Quantensimulator befinden sich vor- zugsweise an einem dritten Ort. Dieser dritte Ort kann mit dem ersten Ort und/o- der dem zweiten Ort identisch sein, muss es jedoch nicht. Der dritte Ort kann sich sowohl vom ersten Ort als auch vom zweiten Ort gegebenenfalls deutlich unter- scheiden. Es ist sogar denkbar, die Quantensimulatorsteuerung an einem anderen Ort anzuordnen, als den Quantensimulator selbst. Vorteilhafterweise sind die drei Orte durch ein Kommunikationsnetz, beispielsweise das Internet, miteinander ver- bunden. Auf diese Weise können die Informationen über die Simulation und über den Quantencomputer von dem Übermittlungscomputer an die klassische Daten- verarbeitungseinrichtung und/oder der ausgewählte Satz von Steuersignalen von der klassischen Datenverarbeitungseinrichtung an die Quantensimulatorsteuerung übermittelt werden.

Die Erfindung löst die gestellte Aufgabe zudem durch ein Verfahren zum Bestim- men eines Satzes von Steuersignalen für einen Quantensimulator, wobei das Ver- fahren folgende Schritte aufweist:

• Bereitstellen von Informationen über eine Simulation und über den Quantensimulator,

• Ermitteln verschiedener Sätze von Steuersignalen mittels der klassi- schen Datenverarbeitungseinrichtung,

• Bestimmen eines Qualitätsparameters für die verschiedenen Sätze von Steuersignalen unter Berücksichtigung der Informationen über die Simulation und den Quantensimulator und

• Auswählen eines Satzes von Steuersignalen aus den verschiedenen Sätzen von Steuersignalen auf der Grundlage des Vergleiches der Qualitätsparameter.

Dieses Verfahren zum Bestimmen des Satzes von Steuersignalen ist Teil des bis- her beschriebenen Verfahrens zum Ausführen einer Simulation auf einem Quan- tensimulator. Das Verfahren zum Bestimmen des Satzes von Steuersignalen muss jedoch nicht in räumlicher Näher zum Quantensimulator stattfinden. Es müs- sen lediglich die Informationen über die Simulation und den Quantensimulator be- reitgestellt werden. Die Ermittlung der Steuersignale, die zu verwenden sind, kann auf einem entfernt davon stehenden klassischen Computer, beispielsweise in ei- nem Rechenzentrum oder in der "Cloud" durchgeführt werden.

Die Erfindung löst die gestellte Aufgabe zudem durch ein Computerprogrammpro- dukt mit Steuerbefehlen, die eingerichtet sind, einen Satz von Steuersignalen zu bestimmen, wenn das Computerprogrammprodukt auf einer klassischen Datenver- arbeitungseinrichtung ausgeführt wird. Zudem löst die Erfindung das Problem durch ein System mit einem Quantensimu- lator, einer Quantensimulatorsteuerung und einer klassischen Datenverarbeitungs- einrichtung, die eingerichtet ist, einen Satz von Steuersignalen der hier beschrie- benen Art zu bestimmen und diese an die Quantensimulatorsteuerung zu übermit- teln, wobei die Quantensimulatorsteuerung eingerichtet ist, den Quantensimulator durch Ausführen der Steuersignale zu steuern. Dabei werden die zur Manipulation des Quantensimulators nötigen Quantengatter ausgeführt.

Allgemein wird in einem Quantensimulator die logische Beschreibung eines Quan- tensystems in eine Sequenz physikalischer Vorgänge, beispielsweise Laserpulse, Spannungsimpulse oder sonstige physikalische Vorgänge, übersetzt. Die logische Beschreibung basiert auf der mathematischen Formulierung aus der Quantenphy- sik, wonach die Dynamik eines Systems nach Festlegung eines Anfangszustan- des durch den jeweiligen Liouville-Operator oder Hamilton-Operator eindeutig fest- gelegt wird.

Dabei wird der das zu simulierende System beschreibende Liouville-Operator oder Hamilton-Operator vorzugsweise hierarchisch geordnet. Zunächst wird ein Vektor an die Steuereinheit übertragen, der alle Einteilchen-Operatoren mit einer fest de- finierten Codierung enthält. Als nächster Schritt wird die Matrix aller Zweikörper- Wechselwirkungen übertragen. Falls Dreikörperkräfte benötigt werden, wird eine entsprechender Tensor übertragen. Noch höhere Wechselwirkungen können ähn- lich übertragen werden. Durch diese Darstellung und die Verwendung von sparsen Datentypen steigt der Ressourcenaufwand nur polynominal mit der Anzahl der zu simulierenden Teilchen im Quantensystem und nicht exponentiell.

Die klassische Datenverarbeitungseinrichtung bestimmt die für die zu simulierende Fragestellung optimierte Anordnung der jeweiligen physikalischen Vorgänge, also der Quantengatter, die verwendet werden. Als Zielfunktion wird beispielsweise die bereits genannte Fidelity verwendet, welche angibt, wie genau die Dynamik des zu stimulierenden Systems unter Verwendung eines geeigneten Fehlermodels für den konkreten Quantensimulator erreicht wird. Die Fidelity wird unter Berücksichti- gung der im Quantensimulator realisierbaren Wechselwirkungen maximiert, wobei beispielsweise ein Verfahren der "Quantum optimal control theory" verwendet wer- den kann, um die geeignete Suzuki-Trotter-Zerlegung zu finden und zu optimieren.

Mithilfe der beigefügten Figur wird nachfolgend ein Ausführungsbeispiel der vorlie- genden Erfindung näher erläutert. Es zeigt:

Figur 1 - eine schematische Darstellung eines Verfahrens nach einem Ausfüh- rungsbeispiel der vorliegenden Erfindung.

In einem ersten Verfahrensschritt 2 werden im gezeigten Ausführungsbeispiel In- formationen über eine auszuführende Simulation und über den zu verwendenden Quantensimulator bereitgestellt. Die Informationen über die Simulation beinhalten in diesem Beispiel den Hamilton-Operator des Systems

Es handelt sich bei diesem Beispiel um das antiferromagnetische XY-Modell auf einem Dreiecksgitter. Drei Spin-1/2-Elemente sind auf den mit dem Index "i" ge- kennzeichneten Positionen angeordnet und wechselwirken miteinander. Es gelten zyklische oder periodische Randbedingungen, so dass gilt: Die Kopp- lungskonstante J gibt die Stärke der Kopplung an. Die s _a sind Pauli-Matrizen.

Im nächsten Verfahrensschritt 4 werden verschiedene Sätze von Steuersignalen bestimmt. Dazu werden Sätze aus Termen H _k bestimmt, die miteinander kommu- tieren und jeweils durch ein Quantengatter realisiert werden können. Für die Zerle- gung des Zeitentwicklungsoperators

ergeben sich im gezeigten Ausführungsbeispiel zwei unterschiedliche Zerlegun- gen und damit Sätze der Terme H _k .

Der erste Satz besteht aus den drei Termen

Für die verwendeten Spin-Flip-Operatoren gilt s+ = ( s _c ± ia _y )/2. Diese Zerlegung des Flamilton-Operators Fl kommt mit drei Termen aus.

Der zweite Satz weist sechs Terme auf:

Auch wenn diese zweite Zerlegung mehr Terme aufweist, und daher nachteilig wirkt, ist die Realisierung der Quantengatter der zweiten Zerlegung beispielsweise für einen Quantensimulator in Form von drei supraleitenden Qubits einfacher, da die für die zweite Zerlegung zu verwendenden Quantengatter durch ein SWAP- Gatter oder ein Controlled-Z-Gatter und lokale Gatter, die nur auf eines der betei- ligten Qubits wirken, realisiert werden. Die Gatter für die zweite Zerlegung können auf dem beschriebenen Quantensimulator schneller realisiert werden, was dieser Zerlegung einen Vorteil verschafft.

Im dritten Verfahrensschritt 6 wird für jede Zerlegung und damit für jeden Satz Quantengatter und somit für jeden Satz von Steuersignalen, durch die die Quan- tengatter realisiert werden, wenigstens ein Qualitätsparameter berechnet, in den die durch die Suzuki-Trotter-Zerlegung entstandenen Näherungsfehler und die Fehler des Quantensimulators, beispielsweise durch Inkohärenz der Zustände o- der Kopplungen an die Umgebung, einfließen.

Dazu hat es sich als vorteilhaft erwiesen, wenn ein Teil des quantenmechanischen Systems klassisch simuliert wird. Der Teil muss dabei so klein gewählt sein, dass eine Simulation auf einem klassischen Computer in angemessener Zeit möglich ist. Die Idee besteht darin, dass eine optimale Zerlegung für ein kleines und somit klassisch noch simulierbares System auch für das große klassisch nicht mehr si- mulierbare System eine gute oder sogar optimale Zerlegung ist.

Im gezeigten Beispiel soll die Zententwicklung des Zustands |TU) bei dem der erste Spin im "up"- und die beiden anderen Spins im "down"-Zustand präpariert sind, bis zum Zeitpunkt t = ² ^/’j berechnet werden. Es zeigt sich, dass die Suzuki- Trotter-Zerlegung in vier Zeitschritte ausreichend ist und mehr Zeitschritte den

Wert für den Qualitätsparameter nicht nennenswert weiter verbessern. Geht man davon aus, dass die Fehlerrate bei der zweiten Zerlegung bei 0.01 pro Gatter liegt, ist die erste Zerlegung vorteilhaft und auszuwählen, wenn bei ihr ein Fehler von weniger als 0.018 pro Gatter erreicht werden kann. Die optimale Zerlegung, die die optimalen Quantengatter beinhaltet und somit zu den optimalen Steuersigna- len führt, hängt jedoch auch von dem betrachteten System ab. Geht man statt der angenommenen periodischen Randbedingungen von offenen Randbedingungen aus, verschiebt sich der Punkt, ab dem die erste Zerlegung besser ist als die zweite Zerlegung zu einem Fehler von 0.021 pro Gatter.