PARASTIGMÁTICAS DESCRIPCIÓN DE LA INVENCIÓN:

Campo de la Invención

La presente invención se ubica en el campo de la óptica y de la oftálmica; específicamente se refiere a un conjunto de lentes y superficies ópticas asféricas "parastigmáticas" y el método para producirlas con diversas aplicaciones industriales.

Antecedentes de la Invención

Se presenta a continuación la descripción de las superficies ópticas especiales (parastigmáticas: Donde Para es un prefijo griego indicando alrededor de término astigmatismo, que se desea crear, como se mostrará mas adelante) que hacen parte de una "lente parastigmática", con base en una nueva trigonometría, que permite describir una torsión del plano polar. Estas superficies permiten corregir el astigmatismo apical con meridianos principales no-ortogonales, con una única superficie refractora. Con la definición canónica estas superficies estrictamente no son astigmáticas en el vértice ya que este siempre es un punto irregular.

En forma canónica, las superficies astigmáticas son las superficies que tienen en todos sus puntos regulares , dos curvaturas principales normales u ortogonales diferentes: máxima y mínima, c _x y c _y , tales que satisfacen la fórmula de Euler en un punto regular, para determinar la curvatura c _e en cualquier dirección Θ con:

c _e =c _x cos ² 9 +c _y sm ² 0 (1)

La realidad biológica del sistema ocular humano presenta curvaturas principales no siempre normales. Para diferenciar estas superficies irregulares en el vértice, es decir, que no siempre satisfacen la formula de Euler (1) , con meridianos apicales principales no-ortogonales y que tienen un ángulo entre meridianos, menor que 90°, se pretende definir el nombre de superficies parastigmáticas, creando así un nuevo vocablo en el amplio diccionario óptico. Las superficies astigmáticas han sido ampliamente estudiadas de muchas maneras por numerosos científicos como Malacara y Malacara ^{1) (1971) y J. García, D. Malacara D. y D. Malacara H. ^<2> ( 1996) .

Existen infinitas superficies apicalmente astigmáticas, pero solo pocas tienen interés oftálmico, especialmente aquellas que tienen al menos dos planos meridionales de simetría; e infinitos planos transversales de simetría. Las más conocidas son las superficies tóricas, con la característica forma de doughnut con o sin agujero central, que matemáticamente pueden ser expresadas con ápice en el o

con radios e curvatura principales r _x y r _y , o curvaturas principales respectivas c _x y c _y .

Las superficies astigmáticas más populares en la industria óptica y oftálmica son las superficies esfero-cilíndricas, que difieren sutilmente de las ideales superficies tóricas. Estas superficies pueden ser representadas por la formula cartesiana {Menchaca y Malacara 1986) ^{3> :

E inclusive otros cientos de autores ^{1 1} las aproximan y simplifican con

c _x x ² +c y ²

z = . = (5)

\ + ^-(c _x ² x ² +c _y ² y ² )

para usarla en el diseño lentes con software, aumentando el error con relación al toroide ideal, ya que no todas las secciones cortadas que contienen el eje Z son círculos.

Si las curvaturas son iguales en (4) , la formula se reduce a la expresión canónica

c(x ² +y ² ) cr ²

z = = = (6) l + s]l-c ² (x ² +y ² ) 1+ Vl-cV También, con el desarrollo tecnológico ha surgido la posibilidad de fabricar superficies asfero-cilíndricas, que se pueden representar de manera aproximada por C _2l (c _x x ^2j +c _y y ² ') _. (8)

donde K _x y K _y son las constantes cónicas de las curvas primitivas principales, de acuerdo con el modelo estándar según (6) , siguiendo el canon establecido en la norma ISO para las superficies cónicas de revolución.

También algunos autores {Einighammer 2008) ⁽⁴⁾ proponen una fórmula más simple semejante a:

Actualmente existen numerosas patentes de lentes astigmáticas . que usan las fórmulas anteriores en la descripción de sus invenciones. En las patentes y aplicaciones US5455641, US7621635B2, US7036931B2, US6923540B2, US6582076B1, US6305800B1, US6789896B2, US6241355B1, US5796462, US5767939, US5479220, US5061058, US20090262301A1, US20100079723A1, US20090279048A1, US20090040458A1 , US20080013043A1 , US20090323020A1, US20110037944A1, US20100315589A1 , US20020067463A1, US20110205486A1, US20090132041A1 , US20020089642A1, US20020036748A1 y WO/1997/034185 se detalla la invención de lentes astigmáticas, generalmente tóricas o bitóricas. Este tipo de lentes "siempre presentan meridianos principales ortogonales con una variación armónica (Senoidal o _. cosenoidal) de las curvaturas entre ellos", sinembargo "nunca presentan meridianos principales con ángulos diferentes de 90°, ni tampoco presentan una variación anarmónica (No armónica pero si periódica, que se rigen con trigonometría elíptica con e > 0) de las curvaturas entre ellos". Para clarificar el amplio universo de superficies ópticas y conceptos, se dan a continuación, algunas definiciones y redefiniciones que facilitan la comprensión de esta solicitud de patente. Para clarificar varios de estos conceptos se presenta la fig. 1.

• Superficies astigmáticas: Superficies que tienen en todos sus puntos "regulares", dos "diferentes" curvaturas normales u ortogonales principales, es decir, presentan astigmatismo, y además, presentan dos meridianos apicales ortogonales de máximas y mínimas curvaturas a los que se denomina meridianos principales. •Astigmatismo regular: Astigmatismo con los meridianos principales (de mayor y menor curvatura) alineados con los ejes canónicos en el plano cartesiano, X y 7, u horizontal, naso-temporal o temporo- nasal, y vertical respectivamente, desde el punto de vista clínico. Si este concepto es bien comprendido, se puede deducir a cual ojo del paciente corresponde la topografía en la fig. 1.

•Astigmatismo directo o con la regla: Astigmatismo con el meridiano principal de curvatura mas alta, alineado con el eje canónico vertical Y.

•Astigmatismo inverso o indirecto o contra la regla: Astigmatismo con el meridiano principal de curvatura mas alta, alineado con el eje canónico horizontal X.

•Astigmatismo oblicuo: Astigmatismo con meridianos principales no alineados con los ejes canónicos.

•Astigmatismo regular armónico: Astigmatismo regular que presenta una variación polar y armónica de las curvaturas entre los meridianos principales. En este tipo de astigmatismo las secciones transversales son elípticas, y las secciones meridionales son simétricas .

•Astigmatismo regular anarmónico: Definición que se pretende crear para describir superficies con astigmatismo apical regular y que presentan una variación polar y anarmónica de las curvaturas entre los meridianos principales. En este tipo de astigmatismo las secciones transversales pueden ser o no ser simétricas, pero las secciones meridionales siempre son simétricas.

•Anarmónico: Vocablo que se pretende crear. Dícese de las oscilaciones continuas con perfil de amplitud estable y con periodo constante que pueden ser o no ser simétricas en el tiempo, que se rigen con trigonometría elíptica. En mecánica cuántica tiene un significado ligeramente diferente, en la modelación del oscilador anarmónico, de vital importancia para la modelación física en óptica no-lineal.

•Astigmatismo irregular: "Astigmatismo" con meridianos apicales principales no-ortogonales. También se refiere a superficies que no presentan secciones transversales ni meridionales simétricas. El astigmatismo irregular es bastante frecuente en la córnea humana. Casi todas las córneas humanas estrictamente son irregulares, pero su manifestación extrema, se presenta en los queratoconos, y también como resultado de procesos traumáticos o quirúrgicos desastrosos. De manera estricta, se sugiere usar la segunda definición .

• Parastigmatismo: Vocablo que se pretende crear para describir las superficies que presentan dos meridianos apicales principales ortogonales o no-ortogonales. Bajo este concepto, el astigmatismo es un subconjunto del parastigmatismo. Desde un punto de vista óptico, correspondería al estudio de las aberraciones ópticas producidas por la refracción o reflexión de la luz en superficies parastigmáticas .

Actualmente no se producen lentes parastigmáticas oftálmicas con bases esféricas o asféricas mono o multifocales . Por lo tanto, es un objetivo de la presente invención brindar un conjunto de superficies y lentes que permite prescribir el "astigmatismo" oblicuo con dos meridianos principales no-ortogonales. y así, aumentar la precisión de la industria oftálmica, para mejorar la salud visual; así como también, se crea una única superficie canónica que permite describir las superficies anterior y posterior de la córnea humana con una única fórmula, en lugar de todos los modelos canónicos generalmente usados, para su uso en la producción de anteojos, lentes de contacto, lentes infraoculares, cirugías refractivas e instrumentos ópticos. Para corregir el astigmatismo armónico o anarmónico, o también, para corregir parcialmente el parastigmatismo anarmónico (Con meridianos principales no- ortogonales) , muchos fabricantes de lentes oftálmicas y lentes de contacto han diseñado lentes bitóricas, es decir, lentes sencillas o lenticulares donde ambas superficies, tanto la anterior como la posterior, son superficies tóricas o cuasi-tóricas , es decir, esfero-cilindricas o asfero-cilindricas .

Cuando ambas superficies tóricas se acoplan en la lente, los planos meridionales que contienen simultáneamente los radios de curvatura principales (Los radios de curvatura máximo y el mínimo de una superficie continua cartesiana, pueden ser obtenidos analíticamente buscando los vectores propios del discriminante (Matriz Hessiana) de la función explícita de z, para particionar la curvatura gaussiana total en dos curvaturas principales no necesariamente ortogonales, salvo que los versores propios formen una base ortonormal) y el eje Z, de ambas superficies, pueden coincidir (Sincronismo, para corregir refractivamente el astigmatismo oblicuo armónico) , o no coincidir, para corregir el astigmatismo oblicuo anarmónico, pero nunca el parastigmatismo oblicuo anarmónico no- ortogonal .

Caracterizar una lente bitórica es simple, pero tiene la gran limitación de dificultar la corrección simultánea de otras discapacidades visuales, como la presbicia. Las prescripciones usuales incluyen la potencia esférica y cilindrica aditiva (Negativa o positiva) indicando la posición del meridiano o "eje" del cilindro equivalente, de cada superficie.

Con esta invención de las superficies asféricas parastigmáticas , que sustituye las dos superficies astigmáticas por una única superficie que hace la misma función, y que además permite controlar el ángulo entre meridianos principales, es muy exitoso, ya que posibilita usar la otra superficie "libre" de la lente, para corregir otras discapacidades refractivas, mejorando así la salud visual, al aumentar la resolución y precisión de las prescripciones optométricas, porque la mayoría de las córneas humanas presentan meridianos apicales de curvatura principales con ángulos generalmente diferentes de 90°. (En la práctica profesional se han observado casos donde el ángulo entre meridianos principales, mal llamados en la práctica oftálmica "ejes cilindricos", es menor de 60 ^o .) Con relación a esta necesidad se presenta a continuación el proceso deductivo y creativo que permite caracterizar y obtener las superficies, y que además, permite modelar también varios tipos de parastigmatismo . Para resolver el problema de crear una superficie parastigmática, se debe crear primero una función matemática especial, que denominamos seno parastigmático . A continuación se .presenta el proceso deductivo realizado {Valencia y Bedoya 2010 - Tesis de Maestría .) ⁽⁵⁾ , del cual se reproducen varias líneas con algunas adaptaciones, modificaciones y redefiniciones; que se indican con (V.B) :

(V.B) Considerando una torsión del plano polar se necesitan crear unas funciones especiales que sean equivalentes a las funciones trigonométricas circulares e hiperbólicas que surgen de los triángulos rectángulos formados por el origen de coordenadas, los diferentes puntos de un círculo e hipérbola unitaria y los puntos de las respectivas proyecciones normales a los ejes principales X e Y; donde la hipotenusa siempre es unitaria y los catetos son x e y. De este concepto se aclara que las funciones trigonométricas circulares surgen de

x ² +y ² =l (10) para crear las funciones trigonométricas de la misma manera que Thomas Fincke en 1583 creo la trigonometría (Book 14: Geometría rotundí. El uso de las abreviaturas para las funciones trigonométricas proviene de Fincke.) con la notación moderna que se usa canónicamente, que fue refinada por William Oughtred en 1632 con : sin « = ', cos a = ;c tan « =— , cot <¾ =— , sec α =— , esc α =—. (11) x y x y

(V.B) Las anteriores funciones trigonométricas circulares, muy diferentes de las funciones trigonométricas esféricas que surgen de los triángulos rectángulos sobre la superficie de una esfera, permiten describir fácilmente la naturaleza cíclica de orden cuatro que surge de la rotación del radio unitario cuando se conmuta de cuadrante. Estas funciones describen la naturaleza del tiempo real si el ángulo es de la misma manera en que funciona un reloj .

(V.B) La trigonometría hiperbólica fue creada por Vincenzo Riccati

(1707-1775) , pero la notación moderna ¹⁶¹ fue impulsada por Johann

Heinrich Lambert en 1768 para describir el comportamiento equivalente de las funciones trigonométricas circulares cuando los ángulos o el tiempo son imaginarios. La geometría de las hipérbolas canónicas unitarias corresponden a:

+ x ² ±y ² =\ (12) con las respectivas funciones trigonométricas hiperbólicas:

sin ia

sinh a = = y, cosh a = eos ia = x,

(V. B) Posteriormente, Leonhard Euler (1707-1783) descubrió la representación exponencial para ángulos reales e imaginarios, gracias a las representaciones en series de potencias descubiertas por James Gregory en 1668:

±ict

e = eos α ± i sin α y e ^± = cosh α ± sinh α (14)

(V. En el plano cartesiano canónico, considerando las funciones trigonométricas esféricas, la función seno adquiere sus valores extremos unitarios en α = ±π/2 con el valor ±1 respectivamente.

(V.B) Si se efectúa una torsión del plano cartesiano canónico conservando el eje X en la posición canónica y posicionando el eje Y con un ángulo de parastigmatismo β ≠ π/2, la función seno correspondiente a la torsión debe adquirir sus valores extremos unitarios en β y β + π.

(V.B) En las representaciones polares de las funciones trigonométricas los radios negativos no existen, ya que los radios negativos son conceptualmente "imaginarios" y matemáticamente representables . Para clarificar este concepto se considera la función r = Vsin ² , como se observa en la fig. 2; esta curva es llamada rhodonea, denominación dada por el matemático italiano Guido Grandi entre 1723 y 1728, ya que se parece a los pétalos de las rosas. Si la función fuese r = sin a, para 0 < α < 2π, se obtiene solamente la gráfica en el primer semiplano (Cuadrantes I y II), ya que los radios negativos no existen, así, por convención de signos se establece que los radios son positivos si están en el primer semiplano (superior) y negativos si están en el segundo semiplano (inferior) (Cuadrantes III y IV) .

(V.B) Considerando una torsión del plano polar que permita establecer una nueva familia de funciones trigonométricas con las mismas razones fundamentales usadas en (11) y (13) , se obtiene una distorsión del circulo que degenera en una elipse rotada como se muestra en la fig. 3. Esta función debe cumplir con r _max = ± 1 para el ángulo de torsión β y poseer un parámetro de excentricidad e, según la función seno equivalente, creándose asi la Función seno parastigmático psinct, con parastigmatismo β y excentricidad e para un ángulo a.

(V.B) A continuación se presenta todo el método matemático que permite caracterizar la elipse rotada:

(V.B) Se construye una elipse canónica en coordenadas cartesianas (x,y) con semiejes mayor unitario y menor b, donde 0 < b < 1 y centro en el origen, mediante la representación explícita

y = ±b l-x ² (15) que también puede ser expresada en coordenadas polares para el primer semiplano

(V.B) Para rotarla un ángulo Θ:

(V.B) Y luego determinar el punto mínimo, donde la recta cartesiana tangente tiene pendiente cero:

(V. B) Evaluando únicamente el numerador y simplificando:

(b ² + 1) cos^ + (b ² - 1) cos(y - 29) = 0 (19) (V. B) Cuyas soluciones validas para los puntos críticos máximo y mínimo, que determinan el eje que contiene el punto mínimo, con un ángulo y, son: y si la excentricidad e es conocida, b , el valor del ángulo y también puede ser calculado con: y

(V. B) Cuando se necesita determinar el ángulo de rotación Θ, si se prescribe el eje principal que contiene el punto mínimo (y, r(y)) para una elipse con semieje mayor unitario y semieje menor b o en su defecto con excentricidad e , se obtiene de la solución para Θ en

(19) :

+ cos Y^ ⁺ ^ eos )) / 2 = {γ + cos ^x (^—^— osy )) / 2 (22)

\ - b ^l

(V.B) Para definir la nueva función psin a se debe escalar la elipse rotada de manera que la cuerda elíptica máxima sea unitaria. Como el parastigmatismo es invariante con el escalado las expresiones en términos de la excentricidad son invariantes.

(V.B) El vector columna que indica las coordenadas polares del punto mínimo es y el que indica sus coordenadas cartesianas, como función de la excentricidad es:

(V.B) Trasladando la función elíptica rotada de forma que el origen coincida con el punto mínimo, de acuerdo a la construcción propuesta, se obtiene la función en coordenadas polares. Reemplazando los valores de h y k respectivos:

que como función de la excentricidad se puede expresar con:

(V. B) Diferenciando la expresión (17) para determinar el radio máximo para un ángulo de parastigmatismo β se obtiene: 2 /2 b ² (2(b ² + 1) cosfi +(b ² - 1)(3∞s(β-2θ)-∞ β -2Θ))) = 0 ( 27 ;

de la cual se puede obtener fácilmente el ángulo de rotación Θ de elipse, para un ángulo oblicuo β predeterminado, considera únicamente la raíz válida, que caracteriza el parastigmatismo :

0-+COS-Y- ¹³ - ^7¿2 -(4- &> ² ) cosí2/7 - (¿> ² +1) cosí4/?;-8J2~yi--3¿> ² +b* -φ ⁴ -b ² +1) cos(lfi) sin ³ /? _{( 2 g )} - +cos (l -6 ² )(5 -3cosf2y2 )

donde el signo depende del cuadrante del parastigmatismo y es equivalente a sgn ( /2 -¾) .

(V.B) El ángulo de rotación expresado como función de la excentricidad es invariante con el escalado:

-6- 7e ² + 4(-l + le ¹ ) cos(2β)-(-2 + e ² ) cos(4β)+S-j2^¡-1 + e ² + +(-1 + e ² - e") cos(2β) sxxífi ( 29 )

6> = cos ^~ Y—Re .,

le 3 cosf2/?;- 5

Cuando β tiende a π/2 y e tiende a cero, la ecuación ( 29 ) puede converger erróneamente en un numero complejo con una insignificante, parte imaginaria, como subproducto del los errores de máquina en los cálculos numéricos con mantisa y punto flotante. Por dicha razón se le adiciona la función Re, para indicar la parte real. La ecuación ( 29 ) tiene un discriminante que garantiza una solución válida y real si

(V. B) Definiendo el seno parastigmático con parámetros predeterminados e y β verificados según ( 30 ) , usando el ángulo de rotación Θ según ( 2 9 ) :

para todo α en el primer semiplano usando el signo positivo, la cual es válida en ciertos dominios. A continuación se muestra la fig. 4 usando las funciones anteriores con diferentes valores de excentricidad.

(V.B) También se muestra en la fig. 5 la representación temporal con algunos parámetros de la fig. 4, comparados con la función canónica seno .

(V.B) Como caso particular es importante resaltar que si β = ηπΙ2 la solución tiende al limite: 2(1 -e ² ) s a

(32: -e ² +e ² cos(2a )

(V.B) Se observa en la fig. 6 la descripción de la función psin para diferentes excentricidades, función que puede ser útil para modelar "astigmatismos" apicales regulares excéntricos, es decir, algunos tipos de parastigmátismos apicales regulares anarmónicos.

(V. B) Usando el mismo argumento utilizado para construir la función psin se establecen todas las demás funciones trigonométricas parastigmáticas , como:

^' Vcos 2( ? - #) +e ² - 2 Λήη(α-β)

pcos^a = + (33)

W∞s(2(a-β +θ))+ε ² - 2) sin/?

y si β = π/2

2(1 -e ² ) cosa

2-e -e cos(2a )

(V. B) Conocidas las funciones fundamentales psin a y pcos a se puede calcular la función generadora con

(V.B) Se ilustra esta función en la fig. 7 para un parastigmatismo particular, donde

psin^ _e or = l - cos^ _e a si y solo si r = \ (36) BIBLIOGRAFIA.

(1) Z. alacara y D. Malacara Hernández. "Handbook of Optical Design". Marcel Dekker, Inc. Apéndice 2. (2004) . ISBN 0-8247- 4613-9

(2) J. García Márquez, D. Malacara Doblado y D. Malacara Hernández, "Axially astigmatic surfaces : different types and their properties" . Optical Engineering 12, 3422-3426 (1996) .

ISSN 0091-3286

(3) C. Menchaca y D. Malacara, "Toroidal and sphero-cylindrical surfaces". Appl. Opt. 25, 3008-3009. (1986) .

(4) J. Einighammer The Individual Virtual Eye, Disserta tion . ²⁰ Der Fakultat fur Informations-und Kognitionswissenschaften der

Eberhard-Karls-Universitat Tubingen zur Erlangung des Grades eines. Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.) vorgelegt von aus Tubingen. 33-34. (2008) . Tübingen.

(5) C. Valencia y A. Bedoya. "Modelo matemático de la cámara anterior del ojo humano." Tesis Maestría. Matemáticas aplicadas. Universidad EAFIT. (2010) . Colombia.

(6) Johann Heinrich Lambert. Histoire de 1 ^' académie Royale des sciences et des belles-letres de Berlín". Vol. XXIV, página 327. (1768) . Breve Descripción de las Figuras de la Invención

La fig. 1 se refiere a una topografía corneal computarizada realizada con el sistema Pentacam ^® de Oculus GMBH, de una córnea humana, donde se observa la curvatura sagital con un ligero parastigmatismo oblicuo.

La fig. 2 muestra la representación polar de la función r = Vsin ² , para 0<α<2π.

La fig. 3 muestra la representación polar de la figura que representa r = psinj^a , para 0 < < 2π; con la convención de signos para los radios, con β = π/4 y e = 1/2 Se observa que el radio máximo no coincide con la cuerda mayor.

La fig. 4 muestra la representación polar de la función r = psin^a , para 0<α<2π, con la convención de signos para los radios, con β = π/3 y e = 0,7, 0,75, 0,8, 0,85, 0,9, 0,95 y 0,98.

La fig. 5 muestra la representación temporal de la función psin , para 0<α<4π; con la convención de signos para los radios, con β = π/3 y e = 0,8, 0,9 y 0,999. Cuando e = l , la función converge en una función impulso de amplitud nula.

La fig. 6 muestra la representación temporal de la función psin a, para 0< <2π con la convención de signos para los radios, con β = πΙ2 y e = 0,45, 0,55, 0,65, 0,75, 0,85, 0,92 y 0,98.

La fig. 7 muestra la representación tridimensional de la función de la función generadora r = ^psin^a H- pcos^a en coordenadas paramétricas, con parastigmatismo ? = π/3, 0 < α < 2π y la excentricidad e en el intervalo real menor que la unidad.

La fig. 8 muestra la región de parastigmátismos elípticos validos. La zona de excentricidades permitidas para el parastigmatismo anarmónico se presenta resaltada en gris. Para un parastigmatismo β en grados sexagesimales se puede debe elegir la anarmonía con una excentricidad válida.

Las figuras 9a, 9b y 9c, muestran tres ejemplos de astigmatismo seno-anarmónico en tres sectores apicales de toros parastigmáticos, respectivamente. Todos los sectores tienen un parastigmatismo β = π/2, con los mismos radios de curvatura r _x = 10 y r _Y = 8 , pero con diferentes excentricidades: En la fig. 9a ( e = 0,45), en la fig. 9b ( e = 0,9) y en la fig. 9c ( e = 0,98). El meridiano de mayor curvatura está a 90° del eje horizontal.

Las figuras 10a, 10b y 10c muestran tres ejemplos de parastigmatismo seno-anarmónico con β = 70° , de tres sectores apicales de toros parastigmáticos , con los mismos radios de curvatura rx = 10 y _Y = & , pero con diferentes excentricidades: En la fig. 10a ( e = 0,45), en la fig. 10b (e = 0,9) y en la fig. 10c { e = 0,98). El meridiano de mayor curvatura está a 70° del eje horizontal .

La figuras lia, .11b y 11c se muestran tres ejemplos de astigmatismo coseno-anarmónico, con un parastigmatismo β = π/2, de tres sectores apicales de toros parastigmáticos, con los mismos radios de curvatura r _x = 10 y , pero con diferentes excentricidades: En la fig. lia ( e = 0,45), en la fig. 11b ( e = 0,9) y en la fig. 11c (e = 0,98). El meridiano de mayor curvatura está a 90° del eje horizontal.

La figuras 12a, 12b y 12c se muestran tres ejemplos de parastigmatismo coseno-anarmónico con β = 70° de tres sectores apicales de toros parastigmáticos, con los mismos radios de curvatura τχ=\0 y r _Y =8, pero con diferentes excentricidades: En la fig. lia ( e = 0,45), en la fig. 11b (e = 0,9) y en la fig. 11c {e = 0,98). Se puede inferir la posición de los meridianos principales con el patrón de distorsión, así como también la anarmonía entre ellos. El meridiano de mayor curvatura está 70° del eje horizontal.

La figuras 13a, 13b y 13c muestra tres topografías cornéales simuladas con parastigmatismo coseno-anarmónico, con parámetros c _x = 41/337,5 mm ¹ , c _Y = 44/337,5 mm K _x =-0,06, K _Y = -0,1 , φ = 10° y e = 0,7 , para tres valores diferentes de β: En la fig. 13a ( = 70°) , en la fig. 13b (β = 80°) y en la fig. 13c ( ? = 90°) respectivamente. Cada contorno se indica en pasos de media dioptría.

Las figuras 14a y 14b muestran la superficie y la topografía simulada de la curva base (anterior) de una lente de anteojo. En la fig. 14b se muestran las zonas de igual curvatura en rangos de 0.25 dioptría s con el mismo tono de gris. Parastigmatismo coseno- anarmónico esférico, con parámetros <¾·= 6/523 mm ^'1 , c _Y = 4,75/523 mm ^' ' , K _X = K _Y = 0, 0 = 0, e = 0,75 , y β = 90°. La figuras 14c y 14d muestran la lente y la topografía simulada de los espesores (Paquimetría) de una lente de anteojo usando la misma curva base. La fig. 14c muestra la lente cortada indicando las diferencias de espesores entre meridianos principales. En la figura 14d se muestran las zonas de igual espesor en rangos de 0,1 mm , partiendo de un espesor central de 3 mm y disminuyendo hacia la periferia.

La figuras 15a, 15b y 15c muestran la superfice (15a) y la topografías simuladas respectivas: Con tonos de gris (Fig. 15b) y con curvas de nivel (Fig. 15c) , de la curva base de una lente de contacto dura con parastigmatismo coseno-anarmónico, con parámetros c _x = 44,25/337,5 mm ^'1 , c _y = 47,50/337,5 mm ^' ' , ^" = -0,34, _K = -0,17, ø = 0, e = 0,7 y β = 75° . No se muestran los detalles de las curvas periféricas y del borde. En las fig. 15d esta una vista en 3D de una sección cortada de la lente de contacto, que muestra los cortes en los meridianos principales de la curva base de la lente. En la figuras 15e y 15f se muestra una imagen topográfica de los espesores de la misma lente: Con tonos de gris (Fig. 15e) y con curvas de nivel (Fig. 15f) . El espesor central es de 0,1 mm y se muestran todos los espesores topográficamente con paso de 0,01 mm hacia el borde. Es importante recordar que el espesor aumenta hacia el borde, ya que es una lente negativa.

Las figuras 16a, 16b y 16c muestran las topografías simuladas de la zona óptica de una lente infraocular (Vista anterior) . Las figuras 16a y 16b muestran las topografías de la superficie posterior con parastigmatismo coseno-anarmónico, con parámetros cx = - 1/20,87 mm ¹ , c _r = - 1/28,47 mm -' , K _x = -16,5 , K _Y = -14,5 , 0= 12°, e = 0,84 y β = 92° . La fig. 16c muestra las zonas de igual espesor de la zona óptica de la lente. La fig. 17 muestra una topografía simulada de la superficie base de una lente de anteojo progresiva, para presbicia, con parastigmatismo inferior. En esta superficie el primer semiplano es totalmente esférico. Descripción Detallada de la Invención

De acuerdo con el modelo estándar establecido en los antecedentes y el modelo matemático de dominio publico "adaptado", nosotros, los inventores, presentamos a continuación muchas superficies ópticas parastigmáticas que permiten corregir muchos tipos de parastigmatismo refractivo o ergonómico, usando varias transformaciones, con las condiciones de torsión, usando las definiciones establecidas en los antecedentes.

Si se desea conservar la posición del meridiano horizontal, con una anarmonia atrasada:

c _e = c _x ]l - ps ^{' 2} a + c _y psin ² o; (37) o con una anarmonia adelantada,

Y si se desea conservar la posición del meridiano vertical con una anarmonia atrasada: psm ^{' 2} a [39; o con una anarmonia adelantada

c _e = c _y pcos ² a + c _x jl - pcos ² a (40)

A continuación se presenta el desarrollo para la fijación del meridiano horizontal, únicamente:

SUPERFICIES SENO-PARASTIGMATICAS :

Fijando el meridiano horizontal:

Al conservar el meridiano horizontal en la posición original, se usa la siguiente transformación en las funciones (2) a (9) :

x = r eos

y = rsina

Que pueden ser fácilmente especificadas con una transformación cartesiana, para obtener las funciones cartesianas parastigmáticas seno-anarmónicas :

(-2 + e ² + e ² cos (2{9 - tan ^" 7% )) )) sin/?

con el valor de Θ según (29) para un parastigmatismo β y una excentricidad e valida, de acuerdo con la fig. 8, que corresponde a la condición (30) .

Como caso particular se presenta también la formula que caracteriza el as tigma tismo seno-anarmónico, es decir, cuando β es π/2 o 90°, el parámetro Θ según (29) converge en π/2, permitiendo caracterizar la superficie con cualquier anarmonia en el rango completo, donde las expresiones (42) y (43) se reducen a x = ±X V( ² + Y ² ) (X ² + (l-e ⁴ ) r ² )

(44)

X + (l - e ² ) Y ²

Y además, si hacemos que el astigmatismo sea armónico, es decir, e = 0 las expresiones (44) y (45) se reducen a x = X y y = Y.

Si reemplazamos estas funciones en las funciones canónicas estándar de las superficies astigmáticas, comenzamos a observar resultados gráficos como se observa en los tres ejemplos de la fig. 9.

Y si reemplazamos las funciones (42) y (43) en las funciones canónicas estándar de las superficies parastigmáticas , comenzamos a observar más resultados gráficos, como se observa en los tres ejemplos de la fig. 10.

SUPERFICIES COSENO-PARASTIGMÁTICAS :

Fijando el meridiano horizontal.

Al conservar el meridiano horizontal en la posición original, se usa la siguiente transformación en las funciones (2) a (9) :

y = l - cos a <=> y = R l - pcos a = X + Y Jl - pcos tan (γχ))

Que pueden ser fácilmente especificadas con una transformación cartesiana, para obtener las funciones cartesianas coseno- parastigmáticas anarmónicas: (-2 + e ² + e ² cos (2{β - θ) ))(X - Y oX β )

x (47) ~ - 2 + e ² + e ² cos (2(fi - 0 - tan- ^l ( ^Y / _Y )))

Como caso particular se presenta también la formula que caracteriza el astigma tismo coseno-anarmónico, es decir, cuando β es π/2 o 90°, el parámetro Θ según (29) converge en π/2, permitiendo caracterizar la superficie con cualquier anarmonia en el rango completo, donde las expresiones (37) y (38) se reducen a

Se puede observar la simetría con las ecuaciones (44) y (45) .

Y además, si hacemos que el astigmatismo sea armónico, es decir, e = 0 las expresiones (49) y (50) se reducen a x = X y y = Y.

Si reemplazamos estas funciones en las funciones canónicas estándar de las superficies astigmáticas, comenzamos a observar resultados gráficos sorprendentes y correlacionados con la realidad geométrica de las estructuras anatómicas del ojo humano, como se observa en los tres ejemplos de la fig. 11.

Y s reemplazamos las funciones (47) y (48) en las funciones canónicas estándar de las superficies parastigmáticas, comenzamos a observar resultados mejores, como se observa en los tres ejemplos de la fig. 12.

Ejemplos prácticos

Ejemplo 1 : La superficie corneal .

A continuación se presenta una aplicación de esta invención para describir la córnea humana, para su uso en oftalmología y optometría :

Usando el modelo parastigmático para describir, con una única fórmula, la geometría exterior y/o posterior de la córnea humana, se usa el coseno parastigmático en la formula fundamental (7) , en lugar de la formula fundamental (9) (También se puede usar la expresión (9) , pero los resultados prácticos serán de menor calidad y requerirán más tiempo de cómputo) , ya que presenta una solución más simple y exacta: con: x según (47), y según (48), valores de Θ según (29) con la condición (30) para un ángulo entre meridianos principales β, y una excentricidad e predeterminados.

Al sustituir estos valores en la fórmula corneal (46) resulta una expresión extensa en coordenadas cartesianas, que tiene una sucinta expresión en coordenadas cilindricas {r, a,∑} :

r (c _Y +(c _x -c _Y )w _(a) )

'(r,a ) (52)

\ + ^¡l-r ² (c _x ^K _x +l w _(a) +c _Y ^K _r +l(l-w _(a) )) ²

(Se detallan los subíndices de las curvaturas en mayúsculas, indicando las curvaturas principales en los meridianos principales no-ortogonales ), con la variable recursiva w _{a) según

(-2 + e ² + e ² cosf2( ? - θ))) ún(a - β -φ)

w. (a ) (53) (- 2 + e ² + e ² cos(2(-a + β - θ + φ))) sin/7

con valores de Θ según (29) , con la condición (30) para un ángulo entre meridianos principales β , un ángulo de rotación total φ y una excentricidad e predeterminados. Así la curvatura sagital, necesaria para realizar una topografía, para un ángulo fijo a satisface con r en milímetros, K en dioptrías e índice keratométrico estándar 1 ,3375 .

Substituyendo (52) en (54) se obtiene

337,5 (c _Y +(c _x -c _Y )w _(a) )

^K (r) - (55)

(l-r ² (c _Y ² K _Y (w _(a) - l) ² -2c _x c _r ^(K _x + 1)(^ + 1) - 1 ) w _(a) (w _(a) -l) _{+ cx} ² K _x w _(a) ² también con valores de Θ según (29) con la condición (30) para un ángulo entre meridianos principales β , un ángulo de rotación total y una excentricidad e predeterminados. Usando la expresión anterior se presentan tres ejemplos topográficos en la fig. 13.

Ejemplo 2: Lentes para anteojo:

Se muestra a continuación un ejemplo práctico para el diseño de una lente esfero-parastigmática, con la siguiente prescripción optométrica :

Material : CR39 (n = 1 ,523 )

Base : Coseno-parastigmática (e = 0,75)

6,00 D PAR -1 ,25 D ¿.90°

Geometría Base: Esférica/Esférica

Geometría Anterior Esférica

Poder apical: +1,50 D X +0,25 D ¿.90°

+1,50 D PAR -1,25 D ¿.90°

Diámetro : 76 mm

Espesor mínimo: 1 mm

Si se usa un esferómetro de Ginebra con índice de diseño 1 ,523 para el material CR39, las curvaturas principales de la superficie anterior son: 61523 mm ^'1 y 4,75/523 mm ^' ' , con un ángulo entre meridianos principales de β =90° con referencia a 0 = 0° .

Considerando la fórmula del fabricante de lentes gruesos en óptica paraxial con poder P en dioptrías , radio anterior r _a en mm . , radio de curvatura posterior apical τ¾ en mm , índice de refracción relativo al aire n y espesor central / también en mm . :

y resolviendo r¿ para ambos poderes apicales y un espesor central calculado de 2 mm, se verifica:

Detalles de esta lente se pueden observar en las figuras 14a, 14b 14c y 14d.

Ejemplo 3: Lentes de contacto. Considerando la siguiente prescripción para el diseño de una lente de contacto dura para corregir el parastigmatismo miópico corneal con datos obtenidos mediante la regresión y correlación de una topografía corneal computarizada .

Material : PMMA («= 1,4875 )

Curva Base: Coseno-parastigmática (e = 0,63 )

44,25 D X 47,50 D ¿.75°

Geometría Base: Elíptica/Elíptica

K= -0,34 X -0, 17

Geometría Anterior Esférica

Poder apical: -5,25 D X -10,00 D ¿75°

-5,25 D PAR -4,75 D ¿.75°

Diseño : Sencillo

Diámetro : 9,8 mm

Espesor central: 0,1 mm

Calculando las curvaturas apicales de la base, usando el índice keratométrico estándar del sistema simplificado de Javal: c _x = 44,25/337,5 mm ^'1 , c _Y = 47,50/337,5 mm ^' ', con A = -0,34 , Κγ =-0,\7, É? = 0,63 , 0 = 0 y β = 75°.

Considerando la fórmula del fabricante de lentes gruesos (56) y resolviendo r _a para ambos poderes apicales, se verifica:

* - « 8,38 mm . :58;

P

1 + n

1000 (w - l)

Detalles de esta lente se pueden observar en las figuras 15a, 15b, 15c, 15d, 15e y 15f.

Es importante declarar que un procedimiento equivalente también es aplicable a la zona óptica de lentes de contacto blandas y duro- blandas.

Ejemplo 4: Lentes intraoculares .

Las lentes intraoculares de cámara posterior o anterior también pueden tener superficies parastigmáticas . A continuación se presenta un ejemplo de diseño para un material acrílico hidrofílico de alto índice de refracción, con la siguiente prescripción para un paciente particular:

Material: Copolímero hidratable de PMMA

(«=1 ,46 ) Radio apicales Posteriores: Coseno-parastigmática (e = 0,84 )

-20,87 mm L \2° X -28,47 mm ¿.104°

Geometría Posterior: Hiperbólica/Hiperbólica

K= -16,5 X -14,5

Geometría Anterior: Elíptica = -0,5

Poder apical: 1 1,50 D Ll2° PAR -1,25 D .75 ^o

Zona Óptica: 6,3 mm

Diámetro : 10,8 mm

Espesor en el borde min. 0,3 mm

Ángulo háptico: 0 ^o

Donde «,= 1,46/1,336 = 1,0928 , β = 92°, c _x = - 1/20,87 mm ^'1 y c _Y = - 1/28,47 mm .

Considerando la fórmula del fabricante de lentes gruesos resolviendo r _a para ambos poderes apicales 1 1,50 D £.12° 1 1.50D - 1,25 D = 10,25 ¿75° con un espesor central calculado t= 0,96 mm , se verifica:

r _b + t/ n

12,7 mm [ 59 )

1 + · P n

1000 (/i - l)

Detalles de esta lente se pueden observar en la figuras 16a, 16b y 16c.

Ejemplo 5: Instrumentos ópticos.

Como ejemplo practico, se puede diseñar y construir un topógrafo corneal computarizado que obtenga el ángulo entre meridianos principales y mida la anarmonía entre ellos mediante la excentricidad elíptica que caracteriza el parastigmatismo usando un modelo de regresión y correlación en tres dimensiones con las curvaturas de la topografía, minimizando el error de curvatura o de los radios de curvatura.

Ejemplo 6: Lentes progresivas.

Como ejemplo practico, para darle soporte a la última reivindicación se muestra la fig. 17 usando el mismo ejemplo de lente para anteojo del ejemplo 1, donde el primer semiplano (Cuadrantes I y II) se caracterizan con una superficie esférica y los cuadrantes (III y IV) se caracterizan con una superficie parastigmática .