Cette invention s'inscrit dans le cadre du développement et de l'application de méthodes de statistique et de traitement du signal aux techniques de la mesure. Elle est basée sur la notion classique de prédiction linéaire d'une fonction aléatoire Z, qui consiste à extraire le maximum d'information des mesures effectuées en des sites S, et en particulier d'estimer une densité de probabilité du processus mesuré, en des points X situé en dehors des points mesurés.

La prédiction linéaire d'une fonction aléatoire Z, consiste à calculer sa densité de probabilité conditionnelle, conditionnée par les valeurs de Z connues par mesurage en un certain nombre de points.

L'intérêt est d'estimer ses valeurs probables en tout point où Z n'a pas été mesurée.

La prédiction linéaire est utilisée dans de nombreux domaines des sciences : biologie, économétrie, sciences sociales, physique appliquée, géostatistique... La prédiction temporelle concerne celle de fonctions du temps, en général en extrapolation (cours en bourse, évolution de la démographie etc.). La prédiction spatiale vise l'affinage de l'information apportée par un échantillonnage d'une fonction dont la variable est spatiale (dimension 1 à 3). Ces aspects sont notamment décrits dans les références bibliographiques [1], [4], [9], [11]. En ce qui concerne la métrologie des surfaces fabriquées en génie mécanique et génie optique, la mise en oeuvre de la prédiction a fait l'objet de travaux

récents effectués par le présent déposant ayant fait l'objet des publications [5] à [7].

Les figures suivantes sont représentatives de l'état de la technique dans ce domaine : -la figure 1 représente un défaut de forme (en mécanique) ou"Pic à Vallée" (en optique) ; -la figure 2 illustre un exemple d'évolution de l'espérance conditionnelle Ec (X) ; -la figure 3 illustre un exemple d'évolution de la variance conditionnelle Vc (X) ; -la figure 4 illustre un exemple d'évolution des bornes des intervalles de confiance de (Z (X) IZ (S)) ; -la figure 5 représente une variation de la prédiction d'un profil 2D ; -la figure 6 est une représentation graphique d'un fichier de 100x100 points mesurés ; -la figure 7 est une représentation graphique d'un fichier échantillonné 33x33 puis prédit.

La métrologie des surfaces fabriquées industrielles est surtout orientée vers le contrôle des spécifications. Celles-ci sont en général constituées de limites imposées à certaines grandeurs de la surface.

Pour la plupart, ces grandeurs seraient nommées, en mathématiques, des normes()))),M,jjjj).

En mécanique, la norme 11 est le défaut de forme au sens de la norme ISO 1101, en référence à la figure 1.

En rugosimétrie des pièces mécaniques, ce défaut est le paramètre d'indice t : Pt, Rt. En optique, il est appelé « défaut Pic à Vallée » (P-V) ou plus souvent Peak to Valley (PTV).

La norme || 112 est définie comme l'écart quadratique moyen par rapport à une surface moyenne, en général la surface des moindres carrés estimée sur les points mesurés. Appelée ici « modèle », elle dépend d'un paramètre vectoriel p, et notée Mp.

Cet écart quadratique moyen est le « Mean Square », sa racine carrée est le « Root Mean Square » (RMS) c'est à dire l'écart-type. C'est une spécification usuelle pour les surfaces ; en rugosimétrie des surfaces mécaniques, il fournit les paramètres d'indice q : Pq, Rq.

On connaît déjà une méthode d'estimation du défaut de forme à partir des bornes des intervalles de confiance de la surface, ce qui ne permet pas de déterminer les intervalles de confiance du défaut de forme.

La référence bibliographique [7] propose une estimation du modèle des moindres carrés Mp à partir de toute la densité de probabilité conditionnelle, c'est à dire de (ZXIZS) et pas seulement partir de Zs comme le font toutes les méthodes classiques.

On peut ensuite estimer l'espérance et la variance du MS conditionnées par Zs La précision obtenue sur 1'estimation du MS est grandement améliorée par rapport aux méthodes non statistiques qui ne peuvent prendre en compte que les données Zs, et ne fournissent pas de variance (c'est à dire pas d'incertitude).

Soit Z une fonction aléatoire gaussienne stationnaire, de moyenne nulle. Z est à valeurs dans Rp. Z dépend d'une variable «événement»# appartenant à un ensemble Q de possibles, ainsi que d'une variable « spatiale » x appartenant à un domaine Der-".

Par exemple, Z représente une surface d'une pièce <BR> <BR> <BR> <BR> mécanique fabriquée en série. cl est le numéro de la pièce dans la série. La variable spatiale est un point <BR> <BR> <BR> <BR> (x, y) de t2 et D représente les limites matérielles de la surface. Z (x, y) est l'altitude de la surface au point considéré.

Z est mesurée en S points de D, appelés ici sites de mesure, et S= (S1,, Ss) ltensemble de ces sites. Soit

X= (X,,..-, Xx) un ensemble de X points où Z est inconnue et doit être estimée. Pour alléger les notations, on écrira « Zx » pour Z (x) Appelons Cor :] RL-JRL, sa fonction d'auto- corrélation. On rappelle que la covariance de deux vecteurs aléatoires réels A et B est Cov (A, B)=E[A.tB], où E désigne l'espérance et t la transposée. lacovarianceCZX,ZX=Cov(ZX,ZX)=(E[ZXi.ZXj])i,j=1...Xest (non conditionnelle) de Z sur 1'ensemble X.

On définit les vecteurs et matrices de covariance suivants : CZX,ZS=Cov(ZX,ZS)=(E[ZXi.ZSj])i=1..X,i=i..S CZS,ZX=Cov(ZS,ZX)=(E[ZSi.ZSj])i=1..S,j=1..X=tCZX,ZS<BR> ; (1.1)CZS,ZS=Cov(ZS,ZS)=(E[ZSi.ZSj])i=1..S,j=1..S(équations Un résultat classique de mathématique, illustré par la référence [3] pp. 69 sq.) énonce que les deux premiers moments conditionnels du vecteur aléatoire inconnu conditionné par le vecteur aléatoire connu ZS=(ZS1,..,ZS@), sont :<BR> <BR> <BR> l'espérance conditionnelle E (X) : EC(X)=E[ZX|ZS]=CZX,ZS.CZS,ZS-1.ZS(1.2) et la variance conditionnelle Vc (X) : VC(X)=V[ZX|ZS]=E[ZX2|ZS]=CZS,ZX-CZX,ZS.CZS,ZS-1.CZS,ZX(1.3)

Le vecteur aléatoire Zx étant gaussien, sa densité de probabilité est entièrement déterminée par ces deux premiers moments.

Dans la suite, « prédire Zx » aura le sens « exprimer ces deux moments conditionnels » (1.2) et (1.3), définis par les relations de covariance (1.1).

Il est à noter que les équations (1.2) et (1.3) ne sont pas définies sans les relations de covariance (1.1), qui en constituent le coeur.

La figure 2 et la figure 3 illustrent le résultat de la prédiction d'une fonction réelle de deux variables réelles connue par ses valeurs aux points d'un maillage carré 3) et inconnue ailleurs.

L'espérance conditionnelle est une interpolation qui passe effectivement par les points mesurés. Cette espérance EC (X) représente la position la plus probable de Z (X). En cela, c'est une « reconstruction » de la surface, meilleure qu'une interpolation polynomiale arbitraire. La variance conditionnelle Vc (X) exprime l'incertitude sur la position de Z (X) par rapport à Ec(X)- A partir de ces deux premiers moments conditionnels qui définissent entièrement la variable aléatoire gaussienne Z (X), on peut déduire des intervalles de <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> confiance Eg (x) +kaHt qui contiennent Z (X) au taux de confiance a, en référence à la figure 4.

Comme premier exemple, la figure 5 représente la prédiction d'un relevé rugosimétrique 2D d'une pièce mécanique, connue par un échantillonnage de 9 points.

Comme second exemple, voici un fichier de 100x100 points mesurés sur un miroir avec un interféromètre Zeiss à contraste de phase (Figure 6). On en a extrait 33 x 33 points, seuls connus de la méthode prédictive.

La figure 7 est la reconstruction de la surface par

prédiction à partir de cet échantillonnage du fichier de référence.

Le but de la présente invention est de proposer un procédé de reconstruction plus performant que les procédés d'estimation actuels.

Cet objectif est atteint avec un procédé pour reconstruire une surface connue par un ensemble de mesures en des sites, mettant en oeuvre une prédiction linéaire en des points situés en dehors des sites, comprenant une utilisation de mesures de variables géométriques [Y (S)] associées à ladite surface (Y), et procurant une estimation optimale de caractéristiques desdites variables géométriques [Y (S)].

Suivant l'invention, ce procédé comprend en outre une estimation optimale des caractéristiques des pentes (Y' (S)) à partir d'une utilisation des seules mesures de pentes (Y' (S)).

On dispose ainsi d'un procédé de reconstruction de mise en oeuvre notablement plus simple qu'avec les méthodes prédictives connues à ce jour telles que celle décrite en [12] qui requiert à la fois une utilisation de valeurs des altitudes et de valeur des pentes.

Le procédé de reconstruction selon l'invention peut en outre être mis en oeuvre pour la prédiction des altitudes Z (X) conditionnées par des pentes Z' (S) mesurées. Dans cette version de l'invention, on adapte aux pentes, selon la référence bibliographique [7], une solution des moindres carrés généralisée : p=tfS. Q. fs)'fs. Q. Ys Dans une mise en oeuvre du procédé selon l'invention pour la prédiction des pentes Z' (X) conditionnées par des pentes Z' (S) mesurées, celui-ci comprend en outre une détermination d'un vecteur complet des pentes mesurées et prédites.

Lorsque ce procédé est mis en oeuvre pour la prédiction de Z (X) conditionné par des altitudes Z (S) mesurées, il comprend en outre un affinage de 1'estimation de la fonction d'auto-corrélation et de la fonction de variogramme de la fonction aléatoire Z, cet affinage comprenant une utilisation de la prédiction effectuée à partir d'une première estimation grossière desdites fonctions d'auto-corrélation et de variogramme.

Une première application du procédé de reconstruction selon l'invention concerne la rugosimétrie tridimensionnelle de pièces mécaniques.

Dans cette application, on réalise une reconstitution visuelle par tirage aléatoire d'une réalisation de Z (X) avec comme densité la densité de probabilité conditionnelle de (ZxIZS). Un second domaine d'application du procédé de reconstruction selon l'invention concerne la métrologie tridimensionnelle de pièces mécaniques.

Une autre voie d'application préférée du procédé selon l'invention concerne sa mise en oeuvre dans un système d'analyse de surface d'onde par interférométrie, ce système comprenant une analyse de réseaux de franges d'interférences conduisant à un nuage de points tridimensionnel S, un traitement de ces points S par prédiction pour la reconstruction d'un front d'onde et une estimation des caractéristiques de ce front d'onde.

Le traitement mis en oeuvre dans ce procédé comprend alors : -une égalisation d'histogramme adaptative, -Une squelettisation des franges, -une recherche des niveaux, -une recherche optimisée des extrema des franges, et

-un traitement par prédiction.

D'autres particularités et avantages de l'invention apparaîtront encore dans la description ci-après. Aux dessins annexés donnés à titre d'exemples non limitatifs : -la figure 8 représente un maxi et un mini de l'espérance conditionnelle ; -la figure 9 représente un exemple de disposition des points de simulation ; -la figure 10 illustre le concept de pente maximale sur l'espérance conditionnelle ; -la figure 11 illustre une disposition des points de simulation ; -la figure 12 illustre une prédiction de Z (X) conditionné par Z' (S) ; -la figure 13 illustre une prédiction de Z (X) conditionné par Z' (S) ; -la figure 14 illustre une disposition des points pour la simulation d'un pavé n°1 ; -la figure 15 illustre une disposition des points pour la simulation d'un pavé n°2 ; -la figure 15 illustre un exemple de relevé rugosimétrique tridimensionnel 5x10 mm : 100 profils espacés de 0,05 mm ; -la figure 17 illustre un exemple de relevé rapide, avec 17 profils espacés de 0,3 mm ; -la figure 18 illustre un exemple de reconstruction par prédiction, avec 100 profils ; -la figure 19 représente un cercle usiné, mesuré sur machine de circularité de type"Talyrond" ; -la figure 20 illustre une comparaison de l'ajustement d'un modèle des moindres carrés avec et sans prédiction ; -la figure 21 illustre une comparaison des estimations avec et sans prédiction de l'écart quadratique moyen (MS) ;

-la figure 22 illustre une comparaison des estimations avec et sans prédiction du défaut de forme macro-géométrique (PTV) ; -la figure 23 représente un exemple de réseau complexe de franges d'interférences ; -la figure 24 représente un exemple de squelettisation des franges sombres ; -la figure 25 illustre une technique d'insémination ; -la figure 26 illustre un exemple d'ajustement d'un polynôme à une frange claire pour la détermination du sommet ; -la figure 27 illustre un exemple de disposition des points de prédiction X pour la commande par la méthode de Shack-Hartmann ; -la figure 28 illustre une comparaison des erreurs de reconstruction montrant les améliorations procurées par le procédé de reconstruction selon l'invention ; -la figure 29 illustre une prédiction locale et un couplage de zones pour un dispositif de Shack- Hartmann, dans le cadre du procédé de reconstruction selon l'invention ; et la figure 30 représente l'amélioration d'une optique adaptative utilisée en statique, obtenue par mise en oeuvre du procédé de reconstruction selon l'invention.

On va maintenant décrire plusieurs exemple de mise en oeuvre du procédé de reconstruction selon l'invention, en référence aux figures 8 à 30.

On se propose tout d'abord de mettre en oeuvre une prédiction de Z (X) conditionné par les altitudes Z (S) mesurées.

On propose ici d'utiliser une méthode expérimentale d'estimation de la densité de probabilité de grandeurs (telles que PTV ou RMS) issues d'une réalisation de la

fonction aléatoire Z. C'est une méthode de type Monte- Carlo, consistant en un grand nombre de tirages au <BR> <BR> <BR> <BR> hasard m de « trajectoires » En fait, on fait, limite à un tirage de vecteurs aléatoires Z (X)=(Z(X1),...,Z(XX' )), où X est le plus grand nombre possible, compatible avec les moyens de calcul (capacité mémoire et temps de calcul).

Dans les relations (1.2) et (1.3), les matrices d'indice X ont un nombre de lignes ou de colonnes égal à X. Si X = 1000, Czxzx est une matrice 1000x1000. Or 1000 points forment un quadrillage 33x33, ce qui est peu. D'où la nécessité d'une répartition judicieuse des points. Le tirage aléatoire de Z (X) se fait en tirant une réalisation d'une variable aléatoire vectorielle gaussienne de dimension de matrice de covariance Czs. zs (que l'on ne calcule qu'une seule fois), et de moyenne EC (X) En référence à [7], on définit g comme le signal résiduel g (X) =Z (X)-Ec (X).

Sur la figure 8, on a représenté les zones au voisinage du maxi et du mini de l'espérance conditionnelle. C'est dans ces zones que la probabilité d'extrema de Z est la plus forte, et que l'on choisit les points X de simulation de Monte-Carlo, comme indiqué sur la figure 9, et on répartit les points de simulation X= (Xi,---, Xx) simultanément sur les deux zones 1 et 2.

Pour chaque tirage aléatoire (Z (X1),--, Z (XX)) |Zs, on obtient un PTV du PTV=maxZ(Xi)-: min Z(Xi). i=1..Xi=1..X série statistique de ces PTV donne un histogramme H.

Une variante consiste à simuler séparément en zone 1 <BR> <BR> <BR> <BR> (donnant un histogramme H,) et en zone 2 (donnant un histogramme H2). Comme PTV=max-min, l'histogramme H du PTV est la convolution H=H1*H2. Ceci suppose que les

zones 1 et 2 soient assez éloignées pour que Z dans l'une et dans l'autre soient décorrélés.

On en tire un histogramme représentant la densité de probabilité de la variable aléatoire PTV. Cette densité fournit une espérance (la valeur estimée) et des intervalles de confiance.

En référence à [7], la décomposition de Z (X) =E (X) +g (X) permet d'écrire Comme le signal résiduel g est « tiré au hasard » dans la simulation, c'est lui qui représente la composante aléatoire de la fonction a posteriori (Zx | Zs).

Pour chaque, on obtient une « trajectoire » 9 et donc une valeur MS. On en tire un histogramme représentant la densité de probabilité de la variable aléatoire MS.

Ici également, cette densité fournit une espérance (la valeur estimée) et des intervalles de confiance. Comme la densité est connue, on peut aussi en déduire des intervalles de confiance du RMS qui est la racine carrée du MS.

La difficulté réside dans la non-stationnarité du terme Ec (X). gco (X), imposant de simuler X sur tout le domaine D, avec un gros volume de calcul.

Si on veut calculer la variance du MS, non à partir d'une simulation de Monte-Carlo, mais selon la référence [7], on se heurte à la méconnaissance de la covariance de g2. Des approximations, bien confirmées par expérimentation sur des miroirs, conduisent à : VarMS#4.Ec2.Vc sont les

moyennes respectivement de la variance et du carré de l'espérance conditionnelle.

On va maintenant, dans le cadre du procédé de reconstruction selon l'invention, estimer la fonction d'auto-corrélation et le variogramme.

On rappelle les définitions classiques : Si Z est stationnaire, sa covariance Covz (X, X+T=E[ZX.ZX+T] est indépendante de X et ne dépend que du « pas » T ; elle prend alors le nom de fonction d'auto-corrélation et est notée ici Corz (T). <BR> <BR> <BR> <BR> rt<BR> Par ailleurs, le variogramme VarZ (T) =E [(ZX+T-Zx)] est la fonction de variance des incréments au pas T (ou « fonction de structure »), et est reliée à la fonction d'auto-corrélation Cor par la relation : Varz (T) =2 (corz (o)-corz (T)) Les notions de fonction d'auto-corrélation (probabiliste) et de d'auto-corrélation spatiale se confondent sous l'hypothèse d'ergodicité, qui est expérimentalement bien vérifiée si Z est stationnaire, et en pratique si les basses fréquences sont retirées avant prédiction.

Par la suite, on définit donc Corz (T) comme la moyenne spatiale : Corz (T) = J zx ZX+T dX XED z et Varz (T) comme : Varz (T) = J (ZX+T-ZX) dX eD Corz (T) et Varz (T) sont donc des variables aléatoires<BR> <BR> qui dépendent du « tirage » m et dont on cherche à exprimer les densités de probabilité, ou au moins les deux premiers moments.

Par la décomposition Z (X) =EC (X) +g (X), ltespérance conditionnelle de la variable aléatoire Corz (T) est :

Après calculs : <BR> <BR> <BR> <BR> cCor z (T) = Ec (X). Ec (X + T) + g (X). g (X + T)<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> c'est à dire la somme des fonction d'auto-<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> corrélation spatiales de Ec et de g.

ECCorZ (T) = CorE. (T) + Cor g (T) Comme g n'est pas stationnaire, et qu'elle n'est de plus pas toujours connue (sauf les cas où l'on peut faire une mesure zoom sur la surface), on peut prendre comme fonction Corg (T) une fonction affine décroissante, égale à Vc (X) pour T=0 et nulle pour T=To (X), la distance inter-sites locale. En effet, g apparaît comme décorrélée pour T>To (X).

La variance conditionnelle de Corz (T) est : Vc Cor z (T) =VCZX.ZX+T=EC((ZX.ZX+T)2)-(EC(ZX.ZX+T))2 Les calculs conduisent, après approximation, à majorer cette variance par Var MS qui est aussi Var(CorZ(0)). On peut utilement se référer à [7] pour le calcul de Var MS. Or ce dernier a pour valeur approchée <BR> <BR> <BR> VarMS4. E. Ve.<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <P> Les intervalles de confiance de Corz (T) sont donc définis par : ECCorZ(T)=CorEc(T)+Corg(T) Vc Cor z (T) < 4-Ec. Vc

que l'on utilise dans l'inégalité de Bienaymé- Tchebytchev.

L'estimation du variogramme Varz (T) =2. (Corz (0)-Corz (T)) s'en déduit immédiatement. En particulier, la variance de Varz (T) est inférieure à 8. E. VC et son espérance est EcVarz (T) =VarEc (T) +Varg (T).

On va maintenant estimer le PTV et le RMS des "pentes au pas T".

En optique, l'une des spécifications sensibles est le PTV des pentes au pas T, c'est à dire des incréments (ou différences finies) de Z au pas T : AZT (X)=ZX+T-ZX.

Le MS de ces pentes n'est autre que Varz (T)/T2 que l'on estime comme précédemment.

On choisit les sites S et les points de simulation X dans les zones 1 et 2 définies sur les figures 10 et 11 de telle sorte que la plus grande pente de l'espérance conditionnelle s'y observe.

La simulation de Monte-Carlo de ce PTV peut se faire par la méthode suivante : Pour chaque tirage aléatoire # des (Zxilz"), on prend toutes les différences fines Zv-Zv telles que #Xm-Xn#=T, puis le maximum de ces différences. De ces maxima, on tire un histogramme du PTV des pentes qui converge vers la densité de probabilité du PTV. On en déduit l'espérance et des bornes des intervalles de confiance du PTV des pentes du signal résiduel g. On rajoute alors la plus grande pente de l'espérance conditionnelle.

On va maintenant prédire les altitudes Z (X) conditionnées par les pentes Z'(S) mesurées.

On suppose ici que la technologie de mesurage fournit en chaque site de mesure S, (x, y) les pentes

Z=- (x, y) et Z2'=##(x,y). Z est ici supposée définie sur D # R2, à valeursdans R, et de classe Cl.

Dans des situations pratiques dans lesquelles Z peut n'être dérivable en aucun point comme une fractale, on considère le phénomène physique réel, filtré passe-bas par le procédé de mesurage, de sorte que les dérivées partielles soient définies.

Dans l'hypothèse où l'on s'intéresse à la densité de probabilité du signal non filtré, il faut appliquer la démarche suivante : on effectue une convolution de la densité de probabilité issue de prédiction avec 1'histogramme expérimental du signal de haute fréquence, obtenu par un zoom (rugosimétrie, ou une sous-pupille en optique).

Il s'agit maintenant de prédire Z (X) à partir des pentes Z'(S) mesurées.

Définissons les vecteurs aléatoires supposés gaussiens : <BR> <BR> <BR> <BR> Z(X)=t(Z(X1),...,Z(Xx)).Z'(S)=t(Z1'(S1),Z2'(S1),...,Z1'(S#), Z2'(S#))et <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> #Z(X)#<BR> Considérons le vecteur aléatoire :<BR> (Z'(S)J et exprimons la densité de probabilité de Z (X) conditionnée par Z' (S).

Les relations (1.2) et (1.3) s'appliquent : E[ZX|ZS']=CZX,ZS'.CZ'S,Z'S-1.ZS'(1.4) et la variance conditionnelle Vc (X) : V[ZX|Z'S]=E[ZX2|ZS']=CZX,ZX-CZX,ZS'.CZS',ZS'-1.CZS',ZX(1.5) Ces relations ne seraient en rien novatrices si elles se suffisaient à elles-mêmes. Mais sans les relations précises de covariance, elles sont vides de

sens. Les termes « C » de (1.4) et (1.5) sont définis de la façon décrite ci-après.

Une démarche appropriée est de choisir une fonction d'auto-corrélation de Z (notée comme précédemment Cor 7), et d'en déduire les corrélations entre Z et Z' (notée CorZ,Z' ) et entre Z'et Z' (notée CorZ,). Au niveau de l'estimation, on cherchera à estimer directement Corzen fonction des données Zs On sait par la référence [8], tome 2 page 32, que la <BR> <BR> <BR> covariance de la dérivée f' (, x) d'une fonction aléatoire<BR> <BR> <BR> <BR> d'une variable spatiale f (#, x), est la dérivée seconde de<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> la covariance de f :<BR> #2Covf<BR> <BR> Covf,(u,v)=E(f'(u).f'(v))=(u,v)<BR> #u#v Pour deux fonctions aléatoires f et g, notons leur covariance Covf, (u, v) =E (f (u). g (v)).

Soient deux points X1= (x1, y1) et X2=(x2,y2 de D.

Ici, Z et Z'sont à 2 variables réelles, et les covariances à 4 variables réelles.

Par exemple, CovZ,Z1'(X1,X2)=CovZ,Z1'((x1,y1),(x2,y2)). Après calculs, on trouve les résultats suivants, toutes les covariances étant fonctions des variables : <BR> <BR> <BR> #CovZ #CovZ<BR> Cov@@@ Cov@@@=<BR> <BR> 9xi9yi<BR> #CovZ #CovZ<BR> <BR> <BR> CovZ,Z1' = CovZ,Z2' =<BR> #x2#y2<BR> <BR> COV7.7,=-----"=-COV7,=-----<BR> <BR> axz ay2<BR> #2CovZ#2CovZ<BR> <BR> CovZ1',Z1' = CovZ1',Z2' =<BR> #x1.#x2 #x1.#y2<BR> #2CovZ #2CovZ<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> CovZ2',Z2'=CovZ2',Z1'= <BR> #y1.#x2#y1.#y2 Équations (1.6) Cor z est la forme prise par CovZ dans le cas stationnaire.

On remarque que Covz doit être de classe c2 pour que ces dérivées soient définies et continues.

Avec ces fonctions de covariance (1.6), les matrices de covariance des équations (1.4) et (1.5) s'expriment par : <BR> <BR> <BR> <BR> CZX,Zx=CovZ,Z(X,X)=(CovZ,Z(Xi,Xj))i,j=1...x<BR> CZX,ZS'=CovZ,Z'(X,S)=(CovZ,Z'(Xi,Sj))i-1...x,j=1...#<BR&g t; CovZ,Z1'(X1,Sj) oùunbloc(2,1)égalà##est <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> CovZ,Z2'(Xi,Sj)<BR> CZ'S,ZX=CovZ'Z,(S,X)=(CovZ',Z(Si,Xj))i=1...#,j=1...x où unbloc(1,2)égalàest (CovZ1',Z(Si,Xj)CovZ2',Z(Si,Xj)) CZS',ZS'=CovZ',Z'(S,S)=(CovZ',Z'(Si,Sj))i,j=1...# où CovZ',Z'(Si,Sj) est un bloc (2,2) égal à <BR> <BR> <BR> <BR> CovZ1',Z1'(Si,Sj)CovZ1',Z2'(Si,Sj)<BR> # #<BR> <BR> <BR> CovZ2',Z1'(Si,Sj)CovZ2',Z2'(Si,Sj) (Equations (1)) Cette méthode de prédiction reconstitue donc directement Zx à partir des pentes mesurées Zs Une validation expérimentale pour une fonction Z d'une variable, est aisée à effectuer : On se donne par exemple Z'(S)=(1, 0,1,0,-1) pour S= (0,1,2,3,4), ainsi qu'une fonction d'auto-corrélation Corz (T) dont l'allure est indiquée en figure 12.

La figure 13 résume le test : Z (X) est entièrement estimé (à une constante verticale près) à partir des seules données Z'(S)=(1, 0,1, 0,-1) et Corz (T). La courbe Z' (X) est la dérivée de Z (X). Le test consiste à constater que, pour X eS, les valeurs de cette dérivée sont bien

égales aux pentes Z' (S) données. Pour X (0,1,2,3,4), Z' (X) est une interpolation des pentes Z' (S).

Pour 1'estimation de Corz (T), la démarche est classique, en référence à [2]. On choisit une famille de fonctions d'auto-corrélation paramétrée par un paramètre vectoriel que l'on estime au maximum de vraisemblance en fonction des données Z' (S).

La méthode de Monte-Carlo permet des tirages aléatoires de Z (X) conditionné par Z' (S) à partir des relations (1.4) et (1.5).

L'estimation de Cor et Var et de leurs intervalles de confiance est formellement identique à ce qui a été décrit précédemment. En effet, cette estimation ne fait intervenir que la densité de probabilité conditionnelle, dans laquelle (ZxlZs) est remplacé par (ZjZg).

On va maintenant prendre en compte les non- stationnarités. Comme dans la référence [7], on suppose que la fonction étudiée, nommée ici Y, et dont sont <BR> <BR> <BR> issues les pentes mesurées Ys est de la forme Y=Z+Mp OÙ Z est une fonction aléatoire définie comme précédemment, <BR> <BR> et Mp un modèle déterministe dépendant linéairement d'un<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> paramètre vectoriel p : Mp (X) =f (X). p avec p=t (p1,...,pn) et f(X)=(f1(X),...,fn(X)).

La méthode courante est d'estimer p à partir des pentes mesurées Ys par une « estimation modale », en référence à [10].

On obtient une solution des moindres carrés : n-f'f'fv' On propose, dans le cadre du procédé de reconstruction selon l'invention, d'adapter aux pentes une solution des moindres carrés généralisée de même forme que [7] : P= (fs Q fs) fs-Q Ys

Il est à noter que, avec ou sans prédiction, p est <BR> <BR> <BR> linéaire par rapport à Ys, de la forme p=U. Ys. Alors<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> Mp (X) =f (X). p=f (X). U. YS' . On pose F (X) =f (X). U. Alors Mp (X) est<BR> <BR> <BR> <BR> de la forme Mp (X) =F (X). YS où F (X) ne dépend que de f et S, ainsi que de Cor9 si on utilise la prédiction comme en <BR> <BR> <BR> référence [7]. On en déduit Mp (X)=FX'.YS' et<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> M#'(S)=FS'.YS'.

On définit les résidus de Y'après avoir retranché le modèle : =YS'-MP'(S).

On prédit ensuite les (ZX|ZS'), puis on rajoute le modèle pour obtenir : E [YxJYg] =Mp (X) +E E[ZX+ZS'] =MP(X)+CZX,ZS'.CZS',ZS'-1.ZS' =MP(X)+CZX,ZS'.CZS',ZS'-1.(YS'-MP(S)') =FX.YS'+CZX,ZS'.CZS',ZS'-1.(YS'-FS'.YS') E[Y|YS']=#FX+CZX,ZS'.CZS'.ZS'-1.(I-FS')#.YS'(1.8)d'où: On va maintenant considérer la prédiction des pentes Z' (X) conditionnées par les pentes Z' (S) mesurées.

E[ZS'|ZS']=CZX',ZS'.CZS',ZS'-1.ZS'(1.9) V[Zx)z,]=E[zz,]=C-C.C.C,,,,(i.io) Dans les équations précitées, les matrices de covariance sont définies par : CZS',ZX'=CovZ',Z'(X,X)=(CovZ',Z'(Xi,Xj))i,j=1...x

CZX',ZS'=CovZ',Z'(X,S)=(CovZ',Z'(Xi,Sj))i=1...x,j=1...#<B R> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> CZS',ZS'=CovZ',Z'(S,X)=(CovZ',Z'(Si,Xj))i=1...#,j=1...x<B R> <BR> CZS',ZS'=CovZ',Z'(S,S)=(CovZ',Z'(Si,Sj))i,j=1...#<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> où tous les termes Covz,, (Aj. Bj) sont des blocs (2,2)<BR> <BR> égaux à CovZ1',Z1'(Ai,Bj)CovZ1',Z2'(Ai,Bj) # # (1.11) CovZ2',Z1'(Ai,Bj)CovZ2',Z2'(Ai,Bj) On notera les différences par rapport aux équations (1.4), (1.5) et (1.7).

E[YX'|YS']=MP'(X)+E[ZX'|ZS'] =MP'(X)+CZX',ZS'.CZS',ZS'-1.ZS' =MP'(X)+CZX',ZS'.CZS',ZS'-1.(YS'-MP'(S)) =FX'.YS'+CZX',ZS'.CZS',ZS'-1.(YS'-FS'.YS') Le vecteur complet des pentes mesurées et prédites estalors : où W est définie par la relation (1.3) et 2.,, est la matrice identité d'ordre 2. #.

On va maintenant présenter plusieurs applications du procédé selon l'invention. Une première application

concerne la rugosimétrie tridimensionnelle de pièces mécaniques.

La rugosimétrie tridimensionnelle des pièces mécaniques suppose le déplacement mécanique d'un capteur mécanique (à stylet) ou optique (à laser) au dessus de chaque point de la surface à mesurer. Le balayage se fait par un relevé de profils 2D parallèles. La durée du mesurage actuelle est de plusieurs dizaines de minutes à plusieurs heures. Ceci interdit le contrôle « en ligne », c'est à dire de chaque pièce à la sortie de la chaîne de production. Par contre la rugosimétrie 3D a des avantages importants par rapport à la rugosimétrie 2D.

La prédiction linéaire permet donc de diminuer le temps de mesurage et d'optimiser l'information apportée par la mesure en espaçant les profils mesurés et en reconstituant les profils manquants. On améliore donc : -la visualisation des états de surface l'estimation des paramètres d'Etat de Surface : Pt, Rt, Pq, Rq etc.

La reconstitution visuelle se fait par tirage aléatoire d'une réalisation de Z (X) avec comme densité, la densité de probabilité conditionnelle de (ZxlZs) Le tirage se fait de proche en proche : On commence par simuler avec des points X disposés à l'intérieur d'un pavé bordé par deux profils mesurés, en référence à la figure 14. Puis on simule dans un pavé n° 2, limitrophe du n°l, avec comme points-conditions ceux des profils mesurés qui bordent le pavé 2, ainsi que ceux des points de 1, simulés à l'étape précédente, et qui bordent aussi le pavé 2, en référence à la figure 15.

La reconstruction visuelle par prédiction est illustrée par la figure 16 représentant un relevé rugosimétrique tridimensionnel de SxlO mm avec 100 profils espacés de 0.05 mm. La figure 17 illustre un relevé rapide sur la même surface de 17 profils espacés

de 0.3 mm, tandis que la figure 18 représente un exemple de réalisation d'une reconstruction visuelle par prédiction.

Des validations de 1'estimation des paramètres d'état de surface ont été effectuées en prenant un relevé de grand nombre de points (par exemple 2562), extrayant un profil sur 6 (temps de mesurage : 10 mn au lieu d'une heure) et en comparant les intervalles de confiance des paramètres avec la valeur de référence du relevé complet. Les résultats sont satisfaisants puisque toutes les valeurs de référence sont dans les intervalles de confiance, au taux de confiance choisi.

Une seconde application industrielle du procédé selon l'invention est la métrologie tridimensionnelle de pièces mécaniques.

L'ajustement d'un modèle des moindres carrés à un ensemble de points mesuré est beaucoup plus efficace avec prédiction linéaire que sans prédiction linéaire.

Par exemple, la figure 20 est un relevé de 1000 points sur un cercle usiné, avec une amplitude des défauts radiaux de l'ordre du um. On en a extrait n points répartis régulièrement, qui constituent les sites de mesure S fournis à la méthode prédictive. Le cercle des moindres carrés ajusté avec prédiction linéaire selon les résultats de la référence [7], est beaucoup plus proche du cercle"réel"ajusté aux 1000 points, que le cercle des moindres carrés sans prédiction, en référence à la figure 21. Le défaut de forme est également bien mieux estimé avec le procédé de reconstruction selon l'invention, en référence à la figure 22.

Le procédé selon l'invention peut également être mis en oeuvre dans des systèmes d'analyse de surface d'onde par interférométrie.

On décrit ci-après une analyse de réseaux de franges d'interférences simples ou complexes (à franges fermées ou ramifiées) conduisant à un nuage de points

tridimensionnel S. Ce paragraphe décrit ensuite le traitement de ces sites S par prédiction pour la reconstruction du front d'onde et l'estimation de ses caractéristiques (PTV, RMS etc.) La figure 23 représente un réseaux de franges complexe (ici un point-selle). Le traitement décrit ici est le suivant : -une égalisation d'histogramme adaptative, -Une squelettisation des franges, -une recherche des niveaux, -une recherche optimisée des extrema des franges, -un traitement par prédiction.

L'égalisation d'histogramme adaptative peut être mise en oeuvre de la façon suivante : aux points d'un quadrillage (par exemple 10x10) couvrant la pupille, on calcule un histogramme local sur une fenêtre carrée dont le coté est calculé suivant la distance interfranges locale : par exemple 2 fois cette distance. On trouve un coefficient d'égalisation d'histogramme local. En chaque point de la pupille, on applique alors une correction d'histogramme à partir d'une interpolation des coefficients calculés en chaque point du quadrillage.

L'interpolation peut être effectuée par prédiction linéaire avec une fonction d'auto-corrélation choisie arbitrairement, et bien « lissante » c'est à dire de dérivée nulle en 0, puis décroissante.

On réalise ensuite une squelettisation des franges d'un type, sombre ou clair, en référence à la figure 24.

Il est également possible de traiter les deux types successivement.

La recherche des niveaux, c'est à dire des altitudes, de chaque frange est effectuée par un algorithme original dit « par insémination », comme l'illustre la figure 25.

On choisit deux franges voisines. On affecte arbitrairement le niveau 0 à l'une (appelée frange des

appuis), et le niveau 1 à l'autre (appelée frange des pivots).

Pour chaque point pivot, on prend la tangente à la frange, puis la normale, orientée de l'appui vers le pivot. On envoie une « graine de niveau 2 » suivant la normale.

Si cette graine atteint un squelette de frange voisine, elle insémine cette frange avec un niveau 2 : l'un de ses points possède un « poids » égal à 2, et une « force » inversement proportionnelle à la distance parcourue par la graine.

A la fin de l'insémination par le pivot considéré, on fait le bilan de l'insémination de chaque frange. Si l'une d'elles est majoritairement inséminée avec des niveaux 2 (moyenne des « poids » de chaque point multiplié par sa « force »), et minoritairement par des niveaux 0, on décide que son niveau est 2.

On propage ensuite l'insémination : chaque frange nouvellement inséminée peut devenir appui ou pivot, et dans ce dernier cas inséminer ses voisines. Cet algorithme est appliqué dans un logiciel de réseaux de franges.

On effectue alors une recherche optimisée des extrema des franges, une fois les niveaux reconnus.

Cette opération est délicate et cruciale pour la précision du résultat. Comme les franges ont en général un profil asymétrique dans un plan normal vertical, on ajuste à la coupe de l'interférogrammw par un tel plan, un polynôme du 3sème degré Avec un traitement par prédiction, on obtient alors un nuage tridimensionnel de points mesurés, que l'on traite par prédiction linéaire pour obtenir la densité de probabilité conditionnelle, et pour 1'estimation des caractéristiques du front d'onde, en particulier le PTV, le RMS et le MTF qui est égal à la corrélation normalisée Cor (T)/Cor (O).

Une autre application possible est de partir d'un front d'onde déjà reconstruit sur un maillage de nxp valeurs et d'en raffiner 1'estimation des caractéristiques en prédisant un réseau plus fin de (kn) x (kp) valeurs.

Le procédé selon l'invention trouve aussi une application dans l'optimisation de la mesure et de la commande par la méthode de Shack-Hartmann.

En mesure, cette méthode connue d'analyse de surface d'onde [10] utilise une matrice de micro-lentilles. Pour un front d'onde plan, chaque lentille focalise la lumière en son centre Sj. Si le front d'onde n'est pas plan, le déplacement du barycentre de la tache focale est réputé représenter la pente locale du front d'onde.

En commande, le miroir possède un nombre a d'actionneurs et un nombre c de capteurs (chaque capteur est constitué d'une micro-lentille et d'une sous-pupille du CCD). Les quantités c et a doivent respecter la condition c>a.

La relation entre le vecteur U des tensions de commande des actionneurs et le vecteur Y'des pentes mesurées, est linéaire : Y'=L. U (l. 15) où L est une matrice rectangulaire dite d'interaction.

Les colonnes Lk de L sont les vecteursYk de pentes mesurées pour des vecteurs de commande Uk égaux aux vecteurs de la base canonique (1,0,0,...), (0, 1, 0,...), (0, 0, 1,...) etc. La mesure de ces pentes Lk, pour déterminer la matrice L, est effectuée une fois pour toutes.

En utilisation, on mesure un vecteur de pentes Ys et on commande le miroir par un vecteur de tensions U qui est solution des moindres carrés de l'équation (1.15) : U=L+. Y' (1.16) où L+ est l'inverse généralisée de L.

Il est à noter qu'en l'absence de prédiction, l'équation (1. 15) prend la forme : US=Ls+. Ys) Le procédé de reconstruction selon l'invention dans son application à la prédiction des altitudes Z (X) conditionnées par les pentes Z' (S) mesurées, peut être mis en oeuvre pour optimiser l'utilisation de la méthode de Shack-Hartmann en mesure. En particulier pour la reconstruction du front d'onde et pour l'estimation des caractéristiques PTV et RMS du front d'onde et de ses « pentes au pas T », ZT.

Pour optimiser l'utilisation de la méthode de Shack- Hartmann en commande des miroirs déformables, on propose de prédire les pentes Y'du front d'onde sur un maillage X plus fin que celui (noté S) des micro-lentilles, en référence à la figure 27.

En utilisant les résultats précédents de prise en compte des non-stationnarités, on exprime Y'dans l'équation (1.16) par : w (1.17) Dans le terme W, la corrélation Corz doit être estimée en fonction des données Ys. Pour une commande rapide, en particulier pour l'optique adaptative, il est possible de n'estimer Corz qu'en temps différé et à de grands intervalles de temps, par exemple toutes les minutes. En effet, chaque trajectoire Z (#) est la réalisation d'une fonction aléatoire Z considérée comme stationnaire, au moins sur des intervalles de temps grands par rapport à la période de commande.

Dans L, les colonnes Lk s'expriment alors par <BR> <BR> <BR> <BR> L (I) y,<BR> i#<BR> <BR> <BR> <BR> Lk=# #.Yk'<BR> Wk<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> où Wk ne dépend que de S, X f ,et (CorZ)k. Il est en effet raisonnable d'estimer Corz pour chacune des mesures k, et donc des surfaces d'onde, ce qui ne pose pas de

problème de temps de calcul puisque L est estimé une fois pour toutes, hors utilisation.

Alors en écrivant un partitionnement de L+ en L= (L"s. Lx) (1.18) et d'après (1.17) et : <BR> <BR> <BR> I#<BR> U=L+.Y'=(L+s , L+x).# #.YS'<BR> W on obtient enfin : u= (L+S+L+X W) Y' (1.19) La commande avec prédiction linéaire ajoute à la matrice de commande classique L+s le terme correctif <BR> <BR> <BR> <BR> L+x. W, ce qui ne modifie pas le temps de calcul du vecteur U des tensions de commande du miroir déformable.

Le procédé de reconstruction selon l'invention peut avantageusement être appliqué dans les domaines suivants : -la métrologie tridimensionnelle des pièces mécaniques ; -la diminution du temps de mesurage en rugosimétrie des pièces mécaniques ; l'optimisation de reconstruction de la surface et de l'estimation des paramètres ; -l'optimisation de la mesure des surfaces d'onde par interferométrie et l'estimation, de leur PTV, RMS et MTF ; -l'optimisation de la mesure des surfaces d'onde par méthode de Shack-Hartmann ; -l'optimisation de la commande des miroirs déformables dans une chaîne d'asservissement dont le capteur est un dispositif de Shack-Hartmann.

Dans cette application particulière, on va maintenant décrire, notamment en référence à la figure 29, un exemple de mise en oeuvre du procédé selon l'invention pour la reconstruction d'une surface Z (X) conditionnée par les pentes Z' (S).

Étant donné un ensemble de sites de mesure S où l'on connaît les pentes Z' (S), l'ensemble Z (X) des valeurs prédites est obtenu à une constante près. Par ailleurs, l'ordre de la matrice de covariance Css est 2N. Dès que le nombre N de sites S est assez grand, Css tend à être mal conditionnée : N=50 commence à poser des problèmes. Or un dispositif de Shack-Hartmann peut très bien comporter 24x24, voire 64x64 sous-pupilles. Ceci incite à réaliser systématiquement une prédiction locale, avec peu de sites voisins des points X. Ceci est bien connu et facile pour prédire Z (X) à partir de Z (S).

Dans le cadre du procédé de reconstruction selon l'invention, on propose d'appliquer une prédiction locale, glissante, au voisinage de sous-ensembles Sk de sites. Chaque sous-ensemble Sk fournit donc des Z (X) conditionnés par Z' (Sk) caractérisés par des constantes arbitraires, toutes différentes. Ces constantes sont alors calculées par une méthode ordinaire des moindres carrés, en référence à la figure 29. Ces moindres carrés doivent être appliqués simultanément à toutes les zones de recouvrement comme dans un interféromètre à couplage de zones.

Cette méthode des moindres carrés étant linéaire, elle peut être incluse dans une seule matrice calculée une fois pour toutes et servir également en temps réel dans une commande d'optique adaptative.

L'optique adaptative constitue un autre domaine privilégié du procédé de reconstruction selon l'invention. On va ainsi tout d'abord considérer une optimisation de l'optique adaptative utilisée de façon statique. On suppose que l'on mesure un front d'onde incident déformé de façon statique, c'est à dire invariant au cours du temps. On se place dans un cas de laser de puissance où les tirs sont espacés de plusieurs

minutes, et où le front d'onde déformé varie peu entre l'instant de la mesure, celui de la correction et enfin celui du tir.

On se propose d'améliorer les méthodes classiques de correction de surface d'onde dans lesquelles on exprime le vecteur des commandes à l'aide de la matrice de commande, inverse généralisée de la matrice d'interaction, en référence à l'équation 1.16 de la présente demande.

Dans cette application particulière du procédé de reconstruction selon l'invention, on exécute les étapes suivantes : 1/Reconstruire la surface d'onde Z (X) par prédiction à partir des pentes Z' (X).

2/Projeter par simple produit scalaire cette reconstruction sur la base orthonormée des modes du miroir. Le vecteur des projections est le vecteur de commande modale que l'on peut appliquer directement au miroir.

Des simulations montrent que l'on approche ainsi à quelques % près l'optimum ultime de correction réalisable par le miroir, alors que la correction classique par matrice d'interaction-matrice de commande s'en éloigne de 20 à 50 %, en référence à la figure 30.

Le procédé de reconstruction selon l'invention peut également être mise en oeuvre dans le cadre de l'optimisation de 1'optique adaptative utilisée de façon dynamique.

On suppose maintenant que l'on mesure un front d'onde incident déformé de façon dynamique, c'est à dire variant rapidement au cours du temps. On se place dans un cas d'optique adaptative pour l'astronomie : fréquence d'échantillonnage et de correction : 100 à 500 Hz.

Dans l'état actuel de la technique, on acquiert les mesures à l'instant t, on effectue les calculs à l'instant t+T (où T est la période d'échantillonnage) et on applique les corrections à t+2T. Ce retard est incompressible ; on tend par ailleurs à l'augmenter lorsque l'on observe des objets peu lumineux, afin d'augmenter le temps de réception des photons et de diminuer le bruit.

Or ce retard a un effet très défavorable sur l'efficacité de correction de 1'optique adaptative, allant même, pour certains modes, jusqu'à détériorer l'image au lieu de l'améliorer. Il est donc avantageux d'appliquer une commande prédictive dans le domaine temporel.

Le procédé de reconstruction selon l'invention permet de reconstituer par prédiction simultanément spatiale et temporelle, la surface d'onde Z (X, t) à l'instant t où les commandes sont appliquées. Cette prédiction a comme points-conditions les pentes Z' (S, t- 2T), Z' (S, t-3T) etc.., c'est à dire les pentes mesurées à 1'endroit des sous-pupilles S, et aux instants d'échantillonnage précédant la correction. La fonction d'auto-corrélation (FdAC) spatiale et temporelle choisie est le produit de la FdAC spatiale précédemment décrite, et d'un terme temporel pur calculé à partir du spectre de Kolmogorov de l'atmosphère. On sait que ce spectre fournit la fonction de structure, et donc la FdAC. Puis le vecteur des commandes modales est obtenu comme décrit précédemment par projection de la surface d'onde prédite sur la base des modes du miroir.

Il est à noter que le procédé de reconstruction selon l'invention peut être appliqué avec d'autres technologies de mesure des pentes d'un front d'onde, par exemple l'interférométrie différentielle (ou méthode de Nomarski, en microscopie), ou la méthode des franges de moiré.

Bien sûr, l'invention n'est pas limitée aux exemples qui viennent d'être décrits et de nombreux aménagements peuvent être apportés à ces exemples sans sortir du cadre de l'invention.

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