Bedingt durch das dynamische Verhalten und durch den konstruktiven Aufbau eines Messsystems ist im Allgemeinen das ausgegebene Messsignal nicht i- dentisch mit der zu messenden Größe. Bei vielen Anwendungen ist jedoch die- ser durch das Messsystem systematisch bedinge Fehler nicht tolerierbar.

Dieser Fehler kann bei der Kenntnis des dynamischen Verhaltens und/oder des konstruktiven Aufbaus des Messsystems kompensiert werden, so dass das vom Messsystem ausgebebene Messsignal exakt der zu messenden Größe ent- spricht. Allerdings ist dies nur bei einer bestimmten Klasse von Messsystemen möglich.

In der Patentschrift DE 44 29 517 wird ein Verfahren zur Berechnung einer in- versen Übertragungsfunktion bzw. zur Korrektur von Messsignalen beschrie- ben. Hierbei wird ein von einem Messsystem aufgenommenes Messsignal kor- rigiert durch Addition eines hochfrequenten Anteils des Messsignals, der durch eine approximative Entfaltung ermittelt wird, zu einer Lösung einer Differential- gleichung des tieffrequenten Anteils des Messsignals, wobei deren Integrati- onskonstanten durch die messtechnischen oder durch den wahren Signalverlauf gegebenen Randbedingungen bestimmt sind. Dieses Verfahren ist jedoch ma- thematisch aufwendig und stellt nicht für alle Aufgabenstellungen einen zielfüh- renden Lösungsansatz dar. Desweiteren handelt es sich um ein Näherungs- verfahren, bei dem das originale Messignal nur näherungsweise/approximativ rekonstruiert wird.

Es ist daher Aufgabe der Erfindung, ein Verfahren zur Rekonstruktion von Ori- ginalsignalen aus Relativmessungen anzugeben, bei dem die geschilderten Nachteile des Standes der Technik gelöst werden.

Diese Aufgabe wird in Verbindung mit dem Oberbegriff des Hauptanspruches erfindungsgemäß durch die in Anspruch 1 angegebenen Merkmale gelöst.

Vorteil der Erfindung gegenüber dem Stand der Technik ist, dass

- die Verzerrung der Amplitude des Messsignals exakt (mathematisch nach- weisbar) kompensiert wird, es handelt sich somit nicht um ein Näherungs- verfahren, - das Kompensationsfilter einfach zu realisieren ist.

- nur einfache Numerik (wenige Multiplikationen und Additionen) verwendet wird und daher das Verfahren auch für Echtzeitanwendungen geeignet ist.

-das Kompensationsfilter eindeutig zu bestimmen ist, es ist somit kein Opti- mierungsverfahren notwendig.

Ansprüche 2 bis 6 geben vorteilhafte Anwendungsbeispiele des erfindungsge- mäßen Verfahrens an.

Nach Anspruch 2 wird das Verfahren aus Anspruch 1 zur Rekonstruktion von Signalen nach einem Wandersehnenmessverfahren verwendet.

Nach Anspruch 3 wird bei dem Wandersehnenmessverfahren eine symmetri- sche Sehnenteilung verwendet. Hierdurch ergibt sich eine symmetrische Im- pulsantwort. Die symmetrische Impulsantwort hat einen linearen Phasengang und damit eine konstante Gruppenlaufzeit zur Folge. Aus der Kenntnis des Phasenganges bzw. der Gruppenlaufzeit wird vorteilhaft zusätzlich die Phasen- verzerrung des Messssystems exakt kompensiert.

Nach Anspruch 4 wird das Verfahren aus Anspruch 1 und/oder 2 zur Rekon- struktion von Gleislagesignalen verwendet.

Die Erfindung wird nachstehend anhand zweier Ausführungsbeispiele und den Figuren 1 bis 13 näher erläutert. Die Figuren zeigen in - Fig. 1 ein prizipielles Schaltbild mit einem originalen Signal g (x), das von einem Messsystem mit einer Impulsantwort h (x) erfasst und als Messsignal m (x) ausgegeben wird, - Fig. 2 wie Fig. 1, jedoch in einem ortsdiskreten System, - Fig. 3 eine Impulsantwort hd (z) des Messsystems des Ausführungsbeispiels im ortsdiskreten System, - Fig. 4 eine Übertragungsfunktion Hd (z) des Messsystems des Ausführungs- beispiels im ortsdiskreten System, - Fig. 5 wie Fig. 2, jedoch ergänzt um ein Kompensationsfilter mit der inver- sen Impulsantwort hc [n], so dass sich ein rekonstruiertes originales Signal g [n] ergibt,

- Fig. 6 Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion Hd (z) des Messsys- tems des Ausführungsbeispiels in der komplexen Ebene, - Fig. 7 Pole und Nullstellen der minimalphasigen Übertragungsfunktion Hdmin (z) des Ausführungsbeispiels in der komplexen Ebene, - Fig. 8 Pole und Nullstellen der Allpass-Übertragungsfunktion Hap (z) des Ausführungsbeispiels in der komplexen Ebene, - Fig. 9 eine minimalphasige Übertragungsfunktion Hdmin (z) des Ausführungs- beispiels nach Gleichung (2.20) im ortsdiskreten System, - Fig. 10 eine Allpass-Übertragungsfunktion Hap (z) des Ausführungsbeispiels nach Gleichung (2.20) im ortsdiskreten System, - Fig. 11 Pole und Nullstellen der inversen Übertragungsfunktionen Hc (z) des Kompensationsfilters des Ausführungsbeispiels in der komplexen Ebene, - Fig. 12 eine inverse Übertragungsfunktionen Hc (z) des Kompensationsfilters des Ausführungsbeispiels im ortsdiskreten System, - Fig. 13 eine kanonische Realisierung einer Übertragungsfunktion mittels digitaler Filter nach Gleichung (2.29).

In dem ersten Ausführungsbeispiel wird ein Gleismesstriebzug (GMTZ) der Deutschen Bahn AG betrachtet, der das Messverfahren des Wandersehnen- messverfahrens verwendet. Es wird beschrieben, wie eine Verzerrung der Amplitude des Messsignals des GMTZ exakt kompensiert wird.

Das Messsystem des GMTZ gibt hierbei nicht die exakten physikalischen Gleislage bzw. die Gleislageabweichungen wieder. Diese Verzerrung beruht auf einem durch das Messverfahren bedingten systematischen Fehler. Für die Gleislageinstandhaltung und insbesondere zur Beurteilung der Gleislageabwei- chungen anhand formtreuer Gleislagesignale ist es zwingend erforderlich die- sen systematischen Fehler exakt zu kompensieren.

Das Messsystem des GMTZ kann als lineares zeitinvariantes System (LTI- System) beschrieben werden. Die Gleislage g (x) ist hierbei die Eingangsgröße für das LTI-System. Das LTI-System wird vollständig durch die Impulsantwort h (x) bzw. Übertragungsfunktion H (jw) beschrieben. Hierbei ist H (jcv) die Fou- riertransformierte der Impulsantwort h (x). m (x) ist das vom Messsystem gelie- ferte Signal, siehe Fig. 1 :

Beim Messsystem GMTZ sind die Impulsantworten h (x) und die Übertragungs- funktionen H (j) eindeutig aufgrund der Geometrie des Wandersehenmessver- fahrens gegeben. Es ist zu berücksichtigen, dass für die Messung der Längs- höhen-und Richtungsabweichungen jeweils unterschiedliche Impulsantworten und Übertragungsfunktionen existieren. Des Weiteren ist auch die Messrichtung - Fahrtrichtung des GMTZ zu berücksichtigen. Somit ergeben sich für die Mes- sung der Längshöhen-und der Richtungsabweichungen insgesamt vier unter- schiedliche Impulsantworten bzw. Übertragungsfunktionen.

Die Impulsantworten h (x) und die Übertragungsfunktionen H (jw) des GMTZ sind durch folgende Gleichungen vollständig beschrieben : <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> a b<BR> h(x) = #(x)- #(x-b)- #(x+a) (2.3)<BR> a+b a+b<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> a+b a+b Die Parameter a und b bezeichnen die Sehnenteilungen.

GMTZ Impulsantwort im ortsdiskreten Fall Für die Berechnung der inversen Übertragungsfunktion wird von der z- Transformation Gebrauch gemacht, so dass bereits an dieser Stelle die konti- nuierlichen Übertragungsfunktionen als ortsdiskrete Funktionen dargestellt werden.

Für den Übergang von der kontinuierlichen zur diskreten Funktion müssen fol- gende Parameter ersetzt werden : xon Ax n : Abtastwert (2. 5) Ex : Abtastrate Zu beachten ist hierbei, dass auch die Sehnenteilungen diskretisiert werden müssen : a b = d1; = d2 #x #x

dz ; d2 # Z (2.6) Die diskreten Sehnenteilungen ad und bd können direkt berechnet werden : ad = a/#x (2.7) bd = b/#x ad;bd # Z (2.8) Die ortsdiskrete Impulsantwort des Messsystems lautet : <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> a b<BR> hd[n]=#[n]- #[n - b]- #[n + a] (2.9)<BR> a+b a+b<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> (die Diskretisierung wird zusätzlich durch eckige Klammern kenntlich gemacht).

In Gleichung (2.9) bezeichnen die Parameter a und b die diskreten Sehnentei- lungen.

Das Messsignal m [n] ergibt sich aus der ortsdiskreten Faltung der Gleislage g [n] mit der Impulsantwort hd [n], siehe Fig. 2 : Die diskrete Impulsantwort hd [n] kann durch die diskrete Fouriertransformation (DFT) auch im Frequenzbereich dargestellt werden. In Fig. 3 ist die Impulsant- wort und in Fig. 4 die Übertragungsfunktion dargestellt.

Die Sehnenteilungen betragen in diesem Beispiel 2,6 m und 6 m, die Abtastrate wurde auf 0,2 m festgelegt : Ax = 0, 2m a =2,6m/#x =13 (2.11) b = 6m=30 #x Kompensation des Übertragunqsverhaltens Die zu lösende Aufgabe besteht darin, ein Kompensationsfilter hc [n]-zusätzli- ches LTI-System-zu entwerfen, welches das Übertragungsverhalten des GMTZ kompensiert.

In Fig. 5 ist das Gesamtsystem inklusive Kompensationsfilter dargestellt mit den Bezeichnungen : g*[n]#g[n] Berechnung des Kompensationsfilters hcRnl Für die Berechnung des Kompensationsfilters hc [n] wird die Impulsantwort hd [n] mittels der komplexen z-Transformation transformiert. Der Vorteil dieser Heran- gehensweise liegt darin, dass wesentliche Eigenschaften von LTI-Systemen in der komplexen z-Ebene in einfacher Weise darstellbar sind. hd[n]# z Hd(z) (2.15) Unter Berücksichtigung der Eigenschaften der z-Transformation und der Ver- wendung bekannter z-Transformationspaare kann Hd (z) direkt aus hd [n] be- stimmt werden : hd + a] (2. 16) <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> Hd (z) =l-a Z-b_ b za (2. 17)<BR> <BR> a+b a+b Durch algebraische Umformung kann Gleichung (2.17) auch in der Form <BR> <BR> <BR> <BR> (a+b)-a.z-b-b.za Z(z)<BR> <BR> Hd(z) = = (2.18)<BR> a+b N(z) dargestellt werden.

Allgemein gilt : - Die Nullstellen von Hd (z) sind die Nullstellen von Z (z) -Die Polstellen von Hd (z) sind die Nullstellen von N (z) - Damit das LTI-System Hd (z) kausal und stabil ist müssen alle Pole von Hd (z) im Inneren des Einheitskreises in der komplexen z-Ebene liegen - Soll das System auch invertierbar sein, so müssen auch die Nullstellen von Hd (z) im Inneren des Einheitskreises in der komplexen z-Ebene liegen

- Liegen alle Pol-und Nullstellen von Hd (z) im Inneren des Einheitskreises in der komplexen z-Ebene nennt man Hd (z) minimalphasig. <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <P>Die zu Hd (z) inverse Systemfunktionen Hc (z) minimalphasiger Systeme kann<BR> <BR> <BR> <BR> wie folgt angegeben werden :<BR> 1 N(z)<BR> <BR> <BR> Hc(z) = Hd-1(z)= = (2.19)<BR> <BR> <BR> <BR> Hd(z) Z(z) In Fig. 6 sind die Pole und Nullstellen von Hd(z) entsprechend der Gleichung (2.18) in der komplexen z-Ebene eingezeichnet. Da Nullstellen von Hd (z) au- ßerhalb des Einheitskreises liegen ist dieses System nicht minimalphasig.

Da Hd (z) nicht minimalphasig ist kann Hc (z) auch nicht entsprechend der Glei- chung (2.19) berechnet werden.

Zur Berechnung von Hc (z) muss Hd (z) in zwei Systemfunktionen aufgeteilt wer- den.

Hd(z) = Hdmin(z)#Hap (Z) (2. 20) Eigenschaften von Hdmin (z) und Hap (z) : Hdmin (Z) - Alle Pole und Nullstellen von Hdmin (z) liegen im Inneren des Einheits- kreises - Hdmin (z) und Hd (z) haben die gleiche Amplitudenverzerrung, den glei- chen Amplitudengang jedoch unterschiedlichen Phasengang - Hdmin(z) ist minimalphasig - Hap(z) - Hap (z) ist ein Allpasssystem - Amplitudengang konstant eins, jedoch Phasengang, Phasenverzer- rung

Berechnung von Hdmin(z) und Hap(z): <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> Hd(z) = (a+b)-a.z-b-b.za = -a-b.z(a+b)+(a+b).zb = Z(z) (2.21)<BR> <BR> <BR> a + b (a + b). zb N(z) - Berechnen der Nullstellen von Hd (z) : Z (z) = 0 # -a-b#z(a+b)+(a+b)#zb = 0 (2. 22) - Berechnen der Polstellen von Hd (z) : N (z) = 0 = (a + b) zb = 0 (2. 23) <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> - Z (z) von Hd (z) umformen :<BR> a+b a<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> Z(z) = -b#(z(a+b)- #zb+ )=-b[(z-N1)(z-N2)(z-N3)...(z-N(a+b)] (2.24)<BR> <BR> <BR> b b - Alle Nullstellen Nx Von Z(z) die au#erhalb des Einheitskreises liegen werden am Einheitskreis gespiegelt. Spiegelung der entsprechenden Nullstellen an ihre konjugiert reziproke Position innerhalb des Einheitskreises. <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <P> |Nx| > 1 # z (2. 25)<BR> <BR> <BR> <BR> Z* - Aus den Nullstellen innerhalb des Einheitskreises und den gespiegelten Nullstellen ergibt sich das Zählerpolynom Z' (z) für Hdmin (z).

Alle Pole und Nullstellen von Hdmin(z) liegen im Inneren des Einheitskreises. <BR> <BR> <BR> <P> Hdmin (z) ist minimalphasig.<BR> <P>Z'(z)<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> Hd min(z)= (2.26) N(z) - Hap (z) besteht aus allen Nullstellen von Hd (z) die außerhalb des Einheits- kreises liegen zusammen mit den Polen die die gespiegelten konjugiert re- ziproken Nullstellen von Hdfn ! n (z) wieder aufheben.

In Fig. 7 und Fig. 8 sind die Pole und Nullstellen von Hdmin (z) und Hap (z) einge- zeichnet. <BR> <BR> <BR> <P> Fig. 9 und Fig. 10 stellen die Übertragungsfunktionen von Hdmin(j#) und Hap (j#) dar.

Berechnung von H (z) :<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> Da Hdmin (z) minimalphasig ist kann Hc (z) entsprechend der Gleichung (2.19)<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> berechnet werden<BR> 1 N(z)<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> Hc(z) = Hd min-1(z) = =<BR> Hd min(z) Z'(z)<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> (2. 27) In Fig. 11 und Fig. 12 sind die Pole und die Nullstellen sowie die Übertra- gungsfunktionen von Hc (jC3) dargestellt.

Übertragungsverhalten Hges(z) des gesamten Systems : Das Übertragungsverhalten des gesamten Systems Hges (z) lautet : <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> H (z) = Hd(z)#Hc(z)=Hd(z)#########=Hd(z)#######=Hap(z) (2.28)<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> Der Amplitudengang von Hd (z) wird exakt kompensiert. Der Phasengang des gesamten Systems ist gleich dem Phasengang von Hap (z).

Bestimmung der Filterkoeffizienten a. b aus Hc(z) Zur Realisierung der Übertragungsfunktion mittels digitaler Filter bietet sich die Realisierung mit einer kanonischen Grundstruktur an. Der Vorteil besteht darin, dass die Filterkoeffizienten a und b direkt aus der Systemfunktion abgelesen werden können. Gegebenenfalls ist ein linearer Faktor zu berücksichtigen.

Allgemeine Form, siehe Fig. 13 : <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> b1+b2#z-1+b3#z-2+b4#z-3+###++bn+1#z-n<BR> H(z)= (2.29)<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> a1+a2#z-1+a3#z-2+a4#z-3+###++am+1#z-m Das Übertragungsverhalten des Kompensationsfilter Hc (z) kann entsprechend der Gleichung (2. 29) dargestellt werden. Somit können auch für Hc (z) die Filter- koeffizienten a und b direkt abgelesen werden.

Im zweiten Ausführungsbeispiel wird der mechanische Aufbau eines Messsys- tems nach dem Wandersehnenverfahren betrachtet. Dieses Messystem weist eine freie Sehnenlänge und eine freie Sehnenteilung auf. Durch eine geeignete Wahl der Sehnenlänge und der Sehnenteilung wird die lmpulsantwort h (x) bzw.

Übertragungsfunktion H (je » bzw. Systemfunktion H (z) des Messsystems so

optimiert, dass sich ein minimales Kompensationsfilter Hc (z) ergibt. Bei diesem Kompensationsfilter weisen alle Nullstellen von H (z) einen großen Abstand vom Einheitskreis auf oder befinden sich bereits ohne Spiegelung innerhalb des Einheitskreises nahe am Mittelpunkt des Einheitskreises.

Hierdurch wird erreicht, dass sich das Kompensationsverfahren wesentlich ver- einfacht bzw. eine optimale Rekonstruktion erhalten wird.

Verzeichnis der verwendeten Formeizeichen m (x) Messsignal h (x) Impulsantwort des Messsystems g (x) originales Signal g* (x) rekonstruiertes Signal m [n] Messsignal im diskreten System h [n] Impulsantwort des Messsystems im diskreten System g [n] originales Signal im diskreten System g* [n] rekonstruiertes Signal im diskreten System M (jazz Fouriertransformierte von m (x) H (j) Fouriertransformierte von h (x), Übertragungsfunktion G (j o) Fouriertransformierte von g (x) M (z) z-Transformierte von m (x) H (z) z-Transformierte von h (x), Systemfunktion G (z) z-Transformierte von g (x) x Ort imaginäre Einheit Kreisfrequenz 8 (x) Dirac-Funktion a, b Parameter der Sehnenteilung bzw. Filterkoeffizienten n Abtastwert Ax Abtastrate z Ort der komplexen z-Ebene, komplexe Zahl z* konjugiert komplexe von z d Index des ortsdiskreten Systems Z (z) Zählerpolynom N (z) Nennerpolynom Hc (z) Systemfunktion des Kompensationsfilters Hmin (z) minimalphasige Systemfunktion zu Hd (z) Hap (z) Allpass-Systemfunktion Nx Nullstelle Hges (z) Systemfunktion des gesamten Systems