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Title:
THIN-LAYER SENSOR ELEMENT FOR A RESISTANCE THERMOMETER
Document Type and Number:
WIPO Patent Application WO/2017/178463
Kind Code:
A1
Abstract:
The invention relates to a thin-layer sensor element (1) for determining and/or monitoring temperature. To this end, a resistor structure (4) is provided that is arranged on a substrate (2) in a resistor area (3). The resistor structure (4) is structured such that a first section (5) of the resistor structure (4) branches into two paths (51, 52) at a first reference point (53), and that a second section (6) of the resistor structure branches into two further paths (61, 62) at a second reference point (63). In a contact area (7), the four paths are connected to four intermediate conductors (81, 82, 83, 84) in four contact pads (71, 72, 73, 74) that are insulated from one another. Therefore, the thin-layer sensor element (1) is a genuine four-conductor sensor element, the reference points (53, 63) of the four-conductor circuit being situated within the resistor area (3). The resistance thermometer (13) having the thin-layer sensor element (1) according to the invention is highly accurate.

Inventors:
HOLOUBEK JIRI (CZ)
Application Number:
PCT/EP2017/058631
Publication Date:
October 19, 2017
Filing Date:
April 12, 2017
Export Citation:
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Assignee:
INNOVATIVE SENSOR TECH IST AG (CH)
International Classes:
G01K7/18
Foreign References:
EP0446667A21991-09-18
US3781749A1973-12-25
DE102012204817A12013-09-12
EP2261624A12010-12-15
DE102007023434A12008-11-20
Attorney, Agent or Firm:
ANDRES, Angelika (DE)
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Claims:
Patentansprüche

1. Dünnschichtsensorelement (1 ) zur Bestimmung und/oder Überwachung der

Temperatur,

wobei das Dünnschichtsensorelement (1 ) ein Substrat (2) aufweist,

wobei in einem ersten Bereich des Substrats (2) ein Widerstandsbereich (3) mit einer Widerstandsstruktur (4) vorgesehen ist,

wobei die Widerstandsstruktur (4) einen temperaturabhängigen elektrischen Widerstand aufweist, wobei die Widerstandsstruktur (4) so strukturiert ist,

- dass durch eine Verzweigung eines ersten Abschnitts (5) der Widerstandsstruktur

(4) in einen ersten Zweig (51 ) und in zumindest einen weiteren, zum ersten Zweig (51 ) parallelen geschalteten zweiten Zweig (52) ein erster Referenzpunkt (53) im Widerstandsbereich (3) gebildet wird und

- dass durch eine Verzweigung eines zweiten Abschnitts (6) der

Widerstandsstruktur in einen ersten Zweig (61 ) und in zumindest einen weiteren, zum ersten Zweig parallelen geschalteten Zweig (62) ein zweiter Referenzpunkt (63) im Widerstandsbereich (3) gebildet wird,

wobei auf dem Substrat zumindest ein an den Widerstandsbereich (3) angrenzender Bereich als Kontaktbereich (7) mit gegeneinander elektrisch isolierten Kontaktflächen (71 ;..) vorgesehen ist, wobei im Kontaktbereich (7)

der erste Zweig des ersten Abschnitts (51 ) der Widerstandsstruktur (4) mit einem ersten Zwischenleiter (81 ) in einer ersten Kontaktfläche (71 ),

der zweite Zweig des ersten Abschnitts (52) der Widerstandsstruktur (4) mit einem zweiten Zwischenleiter (82) in einer zweiten Kontaktfläche (72),

- der erste Zweig des zweiten Abschnitts (61 ) der Widerstandsstruktur (4) mit

einem dritten Zwischenleiter (83) in einer dritten Kontaktfläche (73) und

der zweite Zweig des zweiten Abschnitts (62) der Widerstandsstruktur (4) mit einem vierten Zwischenleiter (84) in einer vierten Kontaktfläche (74) verbunden ist.

2. Dünnschichtsensorelement (1 ) nach Anspruch 1 ,

wobei der erste und/oder der zweite Referenzpunkt (53,63) in einem dem Kontaktbereich (7) zugewandten Endbereich (9) des Widerstandsbereichs (3) angeordnet sind. 3. Dünnschichtsensorelement (1 ) nach Anspruch 1 ,

wobei der erste und/oder der zweite Referenzpunkt (53,63) in einem Bereich angeordnet sind,

welcher Bereich zwischen einem dem Kontaktbereich (4) abgewandten Endbereich (10) des Widerstandsbereichs (3) und einem dem Kontaktbereich (7) zugewandten

Endbereich (9) des Widerstandsbereichs (3) liegt.

4. Dünnschichtsensorelement (1 ) nach Anspruch 2 oder 3,

wobei die Widerstandstruktur (4) ein metallischer Kaltleiter, vorzugsweise aus Platin und/oder Nickel ist. 5. Dünnschichtsensorelement (1 ) nach Anspruch nach zumindest einem der vorherigen Ansprüche,

wobei im Widerstandsbereich (3) eine erste Abdeckungsschicht (1 1 ) zur Abdeckung der Widerstandsstruktur (4) vorgesehen ist. 6. Dünnschichtsensorelement (1 ) nach zumindest einem der vorherigen Ansprüche, wobei im Kontaktbereich (7) eine zweite Abdeckungsschicht (1 1 ) zur Abdeckung der Kontaktflächen (71 ,72,73,74) vorgesehen ist.

7. Dünnschichtsensorelement (1 ) nach zumindest einem der vorherigen Ansprüche, wobei die Schichtdicke (d1 ) des Dünnschichtsensorelements (1 ) im Widerstandsbereich (3) kleiner als die Schichtdicke (d2) des Dünnschichtsensorelements (1 ) im

Kontaktbereich (7) ist.

8. Dünnschichtsensorelement (1 ) nach zumindest einem der vorherigen Ansprüche, wobei die Gesamtheit aus Substrat (2), Widerstandsstruktur (4) und Abdeckungsschicht (1 1 ) im Widerstandsbereich (3) einen effektiven thermischen Ausdehnungskoeffizienten (TCEeff ) aufweist und wobei der effektive thermische Ausdehnungskoeffizient (TCEeff) größer oder gleich dem thermischen Ausdehnungskoeffizienten des Materials der Widerstandsstruktur (4) als Bulk-Metall ist.

9. Dünnschichtsensorelement (1 ) nach zumindest einem der vorherigen Ansprüche, wobei das Substrat (2) ein zumindest teilweise keramisches Substrat (2) ist.

10. Dünnschichtsensorelement (1 ) nach zumindest einem der vorherigen Ansprüche, wobei das Substrat (2) Aluminiumoxid und/oder Zirkonoxid aufweist.

1 1. Dünnschichtsensorelement (1 ) nach zumindest einem der vorherigen Ansprüche, wobei die Oberflächenschicht des Substrats (2) nicht-leitend ist,

wobei die nicht-leitende Oberflächenschicht des Substrats (2) eine minimale Schichtdicke (diso) von 1 Mikrometer aufweist.

12. Dünnschichtsensorelement (1 ) nach zumindest einem der vorherigen Ansprüche, wobei die Zwischenleiter (81 ,82,83,84) aus dem gleichen Material sind.

13. Dünnschichtsensorelement (1 ) nach zumindest einem der vorherigen Ansprüche, wobei die Widerstandsstruktur (4) eine Schichtdicke von

0.1-10 Mikrometer aufweist. 14. Dünnschichtsensorelement (1 ) nach zumindest einem der vorherigen Ansprüche, wobei die Abdeckungsschicht (1 1 ) im Widerstandsbereich (3) eine maximale Schichtdicke von 50 Mikrometer aufweist,

und wobei die Abdeckungsschicht (12) im Kontaktbereich (7) eine maximale Schichtdicke von 2.0 Millimeter aufweist.

15. Widerstandsthermometer (13), aufweisend ein Dünnschichtsensorelement (1 ) nach zumindest einem der vorherigen Ansprüche sowie eine Regel-/Auswerteeinheit (14), wobei die Zwischenleiter (81 ,82,83,84) des Dünnschichtsensorelements (1 ) mit der Regel-/Auswerteeinheit verbunden sind,

und wobei die Regel-/Auswerteeinheit (14) dazu ausgestaltet ist,

mittels der zumindest vier Zwischenleiter (81 ,82,83,84) das Dünnschichtsensorelement (1 ) in einer Vierleiterschaltung zu betreiben und den Widerstand der Widerstandsstruktur (4) zwischen dem ersten Referenzpunkt (53) und dem zweiten Referenzpunkt (63) zu ermitteln,

und aus dem ermittelten Widerstand die an der Widerstandsstruktur (4) vorliegende Temperatur zu bestimmen.

Description:
Dünnschichtsensorelement für ein Widerstandsthermometer

Die Erfindung betrifft einen Dünnschichtsensorelement zur Bestimmung und/oder Überwachung der Temperatur, sowie ein Widerstandsthermometer mit dem

erfindungsgemäßen Dünnschichtsensorelement.

Für Widerstandsthermometern haben sich als Kaltleiter bezeichnete Materialen als besonders geeignet erwiesen, da bei Kaltleitern mit steigender Temperatur der

Widerstand in erster Ordnung linear zunimmt. Unter den Kaltleitern ist wiederum Platin ein bevorzugtes Material, da Platin eine insgesamt höchstens quadratische Abhängigkeit des Widerstands von der Temperatur aufweist. Widerstandsthermometer sind

üblicherweise darauf ausgelegt, dass sie bei einer Referenztemperatur von 0°C einen bestimmten nominellen Widerstand aufweisen. Hierbei sind die als Pt100 (100 Ohm) und Pt1000 (1 kOhm) bezeichneten Widerstandsthermometer weit verbreitet.

Aufgrund ihrer Miniaturisierbarkeit und der schnellen Ansprechzeit haben in den letzten Jahren auf Dünnschichtsensorelementen basierende Widerstandsthermometer gegenüber gewickelten Widerstandsthermometern an Bedeutung gewonnen. Die Dünnschichtsensorelemente bestehen dabei aus einer dünnen Widerstandsstruktur mit einer Dicke von einigen Mikrometern, welche auf einem elektrisch isolierenden Substrat (beispielsweise einer Keramik) angeordnet ist. Üblicherweise ist die Widerstandsstruktur durch eine Abdeckungsschicht (beispielsweise aus Glas) isoliert und geschützt. Der Widerstand wird im Wesentlichen über die Länge der Widerstandsstruktur eingestellt. Dabei weist die Widerstandsstruktur auf dem Substrat in der Regel einen

mäanderförmigen Verlauf auf, um so die benötigte Länge für einen messbaren

Widerstandswert zu erreichen. Derartige Dünnschicht-Widerstandsthermometer werden von der E+H Gruppe in unterschiedlichen Ausgestaltungen hergestellt und zum Einsatz in vielfältigen Anwendungen vertrieben. Bei der Auslegung des Dünnschichtsensorelements wird die Widerstandsstruktur mit einer bestimmten Länge zunächst durch eine grobe Strukturierung aus einer

Widerstandsschicht gewonnen. Für die Fein- Einstellung auf einen bestimmten

Widerstandswert sind Trimmschleifen vorgesehen. Die Widerstandsschicht wird beispielsweise durch Ätzen oder Lasern strukturiert. In der Praxis ist diese genaue Auslegung sehr anspruchsvoll, schon alleine weil die Kontrolle über die Temperatur schwierig ist. Oftmals wird daher die Widerstandsstruktur auch bei einer anderen, von der nominellen Temperatur verschiedenen Temperatur ausgelegt und mit einer

entsprechenden Korrektur rechnerisch nachkorrigiert. Aufgrund der anspruchsvollen Auslegung können Produktionsschwankungen in der Fertigung von Widerstandsthermometern zu Temperaturabweichungen führen. Dabei sollte der Hersteller ein Widerstandsthermometer einer genormten Genauigkeitsklasse zuordnen können. So klassifiziert die europäische Norm DIN EN 60751 :2009-05 die Pt Widerstandsthermometer anhand von einer erlaubten maximalen Grenzabweichung tg des gemessenen Temperaturwert vom wahren Temperaturwert: tg = tO + δ |t|

Dabei ist |t| durch den Betrag der Umgebungstemperatur vorgegeben, während tO und δ innerhalb der Genauigkeitsklasse definiert sind. In der häufig verwendeten Klasse B ist beispielsweise tO = 0.3°C und δ = 0.005, so dass bei einer Umgebungstemperatur von 100° C eine maximale Grenzabweichung von tg = ±0.8°C erlaubt ist. In der Klasse AA (welche der früheren 1 /3 DIN Norm entspricht), ist dagegen mit tO = 0.1°C und δ = 0.0017 nur noch eine maximale Grenzabweichung von tg = ±0.27°C erlaubt. Der anspruchsvollen Auslegung stehen also sehr hohe Anforderungen an die Genauigkeit des Widerstandsthermometers gegenüber.

Werden Kaltleiter für Tieftemperaturanwendungen, d.h. bei Umgebungstemperaturen von kleiner als 0°C, eingesetzt, so bedeutet eine hohe Genauigkeitsanforderung an die Temperaturmessung, dass eine hohe Genauigkeit der Widerstandmessung bei insgesamt sehr kleinen Widerständen erreichen werden muss. Insbesondere in diesem Fall ist daher die genaue Temperaturmessung sehr anspruchsvoll.

Typischerweise erfolgt die elektrische Kontaktierung der in einem Widerstandsbereich verlaufenden Widerstandsstruktur eines Dünnschichtsensorelements über zwei

Zwischenleiter, d.h. in einer Zweileiterkontaktierung. Dabei ist in einem Kontaktbereich in jeweils zwei voneinander isolierten Kontaktflächen ein erster Abschnitt der

Widerstandsstruktur mit einem ersten Zwischenleiter und ein zweiter Abschnitt der Widerstandsstruktur mit einem zweiten Zwischenleiter verbunden. Die zwei

Zwischenleiter führen dann außerhalb des mit einer Abdeckungsschicht geschützten Kontaktbereichs. An diese beiden, außerhalb des Kontaktbereichs geführten

Zwischenleiter ist jeweils eine Verbindung mit zwei Anschlussleitern vorgesehen. Durch die Verbindung der insgesamt vier Anschlussleiter mit den beiden nach außen führenden Zwischenleitern des Dünnschichtsensorelements werden so zwei Referenzpunkte einer Vierleiterschaltung ausgebildet. Die so gebildete Vierleiterschaltung eignet sich für sehr genaue Widerstandsmessungen, da im Fall einer konstanten Stromquelle und eines Spannungsmessgeräts mit einem sehr hohen Innenwiderstand nur der zwischen den Referenzpunkten vorliegende Widerstand gemessen wird, ohne dass ein Einfluss der Anschlussleiter berücksichtigt werden müsste. Im Fall der oben beschriebenen üblicherweise verwendeten Vierleiterschaltung liegen die beiden Referenzpunkte der Vierleiterschaltung allerdings außerhalb der

Widerstandsbereichs und des Kontaktbereichs, da die Referenzpunkte der

Vierleiterschaltung erst durch die Verbindung der beiden nach außen führenden

Zwischenleiter mit den jeweils zwei Anschlussleitern gebildet werden. Der gemessene

Widerstand zwischen den Referenzpunkten setzt sich daher aus dem Gesamtwiderstand der Widerstandsstruktur, der Verbindung der Widerstandsstruktur mit den Zwischenleitern in den Kontaktflächen, sowie dem Widerstand der Zwischenleiter zusammen. Für eine derartige Zweileiterkontaktierung übersetzten sich daher hohe Anforderungen an die Genauigkeit der Widerstandsmessung automatisch in hohe Anforderungen an die Genauigkeit bei der Auslegung des gesamten Widerstands, bestehend aus der

Widerstandsstruktur, der Verbindung der Widerstandsstruktur mit den Zwischenleitern in den Kontaktflächen, sowie den Zwischenleitern. Eine kleine Schwankung in der

Beschaffenheit der Zwischenleiter (z.B. deren Länge) kann daher eine große Auswirkung auf den Widerstand der Widerstandsmessung und damit letztendlich auf die Genauigkeit des Widerstandsthermometers haben.

Ein weiterer Einfluss auf die Genauigkeit kann auch aufgrund der Verkapselung der Widerstandsstruktur zwischen dem Substrat und der Abdeckung vorliegen. Dies liegt daran, dass die Kombination aus Substrat, Widerstandsstruktur bzw. Kontaktflächen und Abdeckungsschicht einen unterschiedlichen Wärmeausdehnungskoeffizienten als die Widerstandsstruktur selbst aufweist. Starke Temperaturschwankungen führen damit zwangsläufig zu starken mechanischen Spannungen, welche auf die Widerstandsstruktur wirken. Da kaltleitende Materialen wie beispielsweise Platin immer auch starke piezoresistive Eigenschaften aufweisen, können diese mechanischen Spannungen wiederum auf den Widerstand der Widerstandsstruktur rückwirken. Dadurch werden letztendlich unkontrollierbare Hystereseeffekte in der Widerstand/Temperatur

Widerstandskennlinie verursacht. Die Hystereseeffekte können zu einem gewissen Grad dadurch reduziert werden, dass das verkapselte Dünnschichtsensorelement nach der Fertigung mehreren Heiz- und Kühlzyklen ausgesetzt wird.

Eine andere Möglichkeit besteht darin, derartige mechanische Spannungen im Vorfeld auszuschließen. Dafür müssen die thermischen Ausdehnungskoeffizienten des Substrats und der Abdeckung an den thermischen Ausdehnungskoeffizienten dem der

Widerstandsstruktur angepasst werden. Dieser Ansatz wird in der DE 00 10 2007 02 34 34 A1 verfolgt. Eine derartige Anpassung der thermischen Ausdehnungskoeffizienten ist allerdings aufwendig. Dabei ist festzuhalten, dass insbesondere im Kontaktbereich der Einfluss von unterschiedlichen Wärmeausdehnungskoeffizienten besonders groß ist. Dies ist durch die große Dicke des Dünnschichtsensorelements im Kontaktbereich bedingt. Die Dicke im Kontaktbereich ist beispielsweise aufgrund der Schweißstellen zur Verbindung der Widerstandsstruktur mit den Zwischenleitern in den Kontaktflächen erforderlich. Sie ist insbesondere im Verhältnis zur Dicke des Dünnschichtsensorelements im

Widerstandsbereich groß.

Zusammenfassend wird die Genauigkeit eines Widerstandsthermometers mit einem Dünnschichtsensorelement nicht nur durch die Auslegung der Widerstandsstruktur selbst, sondern auch durch die Zwischenleiter sowie der Verkapselung der Widerstandsstruktur zwischen Substrat und Abdeckungsschicht maßgeblich bestimmt. Dies ist im

Wesentlichen durch die Kontaktierung des Dünnschichtsensorelements bedingt, die dazu führt, dass die Referenzpunkte der Vierleiterschaltung außerhalb der Widerstandsstruktur des Dünnschichtsensorelements selbst liegen. Dadurch wird ein Großteil einer hohen theoretischen Genauigkeit, welche durch eine sehr sorgfältige Auslegung der

Widerstandsstruktur selbst erreicht werden könnte, wieder zunichtegemacht.

Der Erfindung liegt daher die Aufgabe zugrunde, ein Dünnschichtsensorelement und ein Widerstandsthermometer zur Bestimmung und/oder Überwachung der Temperatur von großer Genauigkeit bereitzustellen. Die Aufgabe wird gelöst durch ein Dünnschichtsensorelement zur Bestimmung und/oder Überwachung der Temperatur, wobei das Dünnschichtsensorelement ein Substrat aufweist,

wobei in einem ersten Bereich des Substrats ein Widerstandsbereich mit einer

Widerstandsstruktur vorgesehen ist, wobei die Widerstandsstruktur einen

temperaturabhängigen elektrischen Widerstand aufweist, wobei die Widerstandsstruktur so strukturiert ist,

dass durch eine Verzweigung eines ersten Abschnitts der Widerstandsstruktur in einen ersten Zweig und in zumindest einen weiteren, zum ersten Zweig parallelen geschalteten zweiten Zweig ein erster Referenzpunkt im Widerstandsbereich gebildet wird und

- dass durch eine Verzweigung eines zweiten Abschnitts der Widerstandsstruktur in einen ersten Zweig und in zumindest einen weiteren, zum ersten Zweig parallelen geschalteten Zweig ein zweiter Referenzpunkt im Widerstandsbereich gebildet wird,

wobei auf dem Substrat zumindest ein an den Widerstandsbereich angrenzender Bereich als Kontaktbereich mit gegeneinander elektrisch isolierten Kontaktflächen vorgesehen ist, wobei im Kontaktbereich

der erste Zweig des ersten Abschnitts der Widerstandsstruktur mit einem ersten

Zwischenleiter in einer ersten Kontaktfläche,

der zweite Zweig des ersten Abschnitts der Widerstandsstruktur mit einem zweiten Zwischenleiter in einer zweiten Kontaktfläche, der erste Zweig des zweiten Abschnitts der Widerstandsstruktur mit einem dritten Zwischenleiter in einer dritten Kontaktfläche und

der zweite Zweig des zweiten Abschnitts der Widerstandsstruktur mit einem vierten Zwischenleiter in einer vierten Kontaktfläche verbunden ist.

Das Dünnschichtsensorelement, welches zur Bestimmung und/oder Überwachung der Temperatur eingesetzt werden kann, zeichnet sich also dadurch aus, das durch die Verzweigung des ersten und des zweiten Abschnitts der Widerstandsstruktur in die jeweils zumindest zwei zueinander parallel geschalteten Zweige zwei Referenzpunkte gebildet werden, welche innerhalb des Widerstandsbereichs (d.h. des Bereichs, in dem die Widerstandsstruktur verläuft) angeordnet sind. Da die insgesamt mindestens vier Zweige in jeweils voneinander isolierten Kontaktflächen im Kontaktbereich mit mindestens vier Zwischenleitern verbunden sind, handelt es sich bei dem erfindungsgemäßen Dünnschichtsensorelement um ein echtes Vierleitersensorelement.

Über zwei der mindestens vier Zwischenleiter, welche jeweils anhand einer der beiden Zweige mit dem ersten und zweiten Abschnitt der Widerstandsstruktur verbunden sind, kann die Widerstandsstruktur des Dünnschichtsensorelements mit einem konstanten Strom beaufschlagt werden. Anhand der zwei weiteren Zwischenleiter, welche mit den zwei weiteren Zweigen des ersten und zweiten Abschnitts der Widerstandsstruktur verbunden sind, kann mit einem Spannungsmessgerät die über die beiden

Referenzpunkte abfallende Spannung gemessen werden. Damit kann das

erfindungsgemäße Dünnschichtsensorelement in einer echten Vierleiterschaltung betrieben werden. Echt bedeutet im Rahmen der Anmeldung, dass mit dem

erfindungsgemäßen Dünnschichtsensorelement nur der Widerstand der

Widerstandsstruktur zwischen dem ersten und zweiten Referenzpunkt gemessen werden kann, wobei die beiden Referenzpunkte der Vierleiterschaltung Bestandteil der

Widerstandsstruktur selbst sind. Die Referenzpunkte werden also nicht wie üblich erst durch die Verbindung von zwei außerhalb des Dünnschichtsensorelements angeordneten Zwischenleitern mit jeweils zwei Anschlussleitern gebildet. Somit sind im Wesentlichen auch die Einflüsse der Zwischenleiter auf das Spannungssignal der Vierleiterschaltung ausgeschlossen. Ferner ist für das erfindungsgemäße Dünnschichtsensorelement auch der Einfluss des Kontaktbereichs, etwa durch mechanischen Spannungen im Bereich der Kontaktflächen, auf das Spannungssignal der Vierleiterschaltung minimiert. Dies wird aufgrund der vier voneinander isolierten Kontaktflächen ermöglicht, in denen die verschiedenen, zueinander parallel geschalteten Zweige der Widerstandsstruktur mit den Zwischenleitern kontaktiert sind. Aus diesen Gründen sind bei dem erfindungsgemäßen Dünnschichtsensorelement die oben genannten Einflüsse auf die Genauigkeit der Widerstandsmessung im Vorhinein eliminiert. Somit wird ein Dünnschichtsensorelement bereitgestellt, welches auf einfache Art und Weise eine Temperaturmessung von hoher Genauigkeit ermöglicht.

Gegebenenfalls sind im Rahmen der Erfindung noch weitere Zweige des ersten und zweiten Abschnitts der Widerstandsstruktur vorgesehen, welche jeweils zu den zwei Zweige parallel geschaltet sind. Die weiteren Zweige können in weiteren Kontaktflächen mit weiteren Zwischenleitern verbunden sein. Dadurch können beispielsweise mehrere gleichzeitige Spannungsmessungen durchgeführt werden.

Die Verzweigung des ersten und des zweiten Abschnitts der Widerstandsstruktur in parallele Zweige und Ausbildung der Referenzpunkte kann im Rahmen der Strukturierung der Widerstandsschicht erfolgen. Dabei gibt es im Prinzip keine Einschränkung an die Anordnung der beiden Referenzpunkte innerhalb des Widerstandsbereichs. Je nach Art des Dünnschichtsensorelements bzw. Anzahl der Schichten, deren Dimensionierung und den verwendeten Materialen kann es dabei eine bevorzugte Anordnung der

Referenzpunkte geben. In einer Weiterbildung der Erfindung sind der erste und/oder der zweite Referenzpunkt in einem dem Kontaktbereich zugewandten Endbereich des Widerstandsbereichs angeordnet. In dieser Weiterbildung können die Referenzpunkte also beispielsweise nahe an der Verbindung des Widerstandsbereichs mit dem angrenzenden Kontaktbereich angeordnet sein.

In einer alternativen Weiterbildung der Erfindung sind der erste und/oder der zweite Referenzpunkt einem Bereich angeordnet sind,

welcher Bereich zwischen einem dem Kontaktbereich abgewandten Endbereich des Widerstandsbereichs und einem dem Kontaktbereich zugewandten Endbereich des Widerstandsbereichs liegt. Beispielsweise ist es möglich, die Referenzpunkte mittige zwischen dem dem Kontaktbereich abgewandten Endbereich des Widerstandsbereichs und dem dem Kontaktbereich zugewandten Endbereich des Widerstandsbereichs anzuordnen. Diese Anordnungen können beispielsweise von Vorteil sein, wenn im Übergangs zwischen Widerstandsbereich und Kontaktbereich hohe mechanische Spannungen vorliegen. Eine andere Möglichkeit ist, zwei verschiedene Kontaktbereiche vorzusehen, welche an sich gegenüberliegenden Endbereichen des Widerstandsbereich angrenzen. In einer Weiterbildung der Erfindung besteht die Widerstandsstruktur aus einem kaltleitendem Material. Bevorzugt ist dieser Kaltleiter im Wesentlichen aus Platin und/oder Nickel. In einer weiteren Weiterbildung der Erfindung ist im Widerstandsbereich eine erste

Abdeckungsschicht zur Abdeckung der Widerstandsstruktur vorgesehen ist. Hierbei ist es auch möglich, dass die Abdeckungsschicht aus verschiedenen Schichten gebildet ist, wobei die die Widerstandsschicht abdeckende Abdeckungsschicht aus einem im

Wesentlichen nicht-leitenden bzw. isolierenden Material ist, beispielsweise ein Glas und/oder eine Keramik.

In einer Ausgestaltung der Erfindung ist für den Kontaktbereich eine zweite

Abdeckungsschicht vorgesehen. Auch diese Abdeckungsschicht kann aus

unterschiedlichen Schichten bestehen

In einer weiteren Ausgestaltung der Erfindung ist die Dicke des

Dünnschichtsensorelements im Widerstandsbereich kleiner als im Kontaktbereich. Dabei ist typischerweise die Dicke im Widerstandsbereich um einen Faktor 14-4 kleiner als im Kontaktbereich.

Durch die Lage der Referenzpunkte des erfindungsgemäßen Dünnschichtsensorelements sind Einflüsse durch mechanische Spannungen im Kontaktbereich im Wesentlichen ausgeschlossen. Es gibt allerdings noch verbleibende mechanische Spannungen im Widerstandsbereich. Werden diese auch noch ausgeschlossen, kann mit dem

erfindungsgemäßen Dünnschichtsensorelement ein besonders genaues

Widerstandsthermometer gebildet werden. Daher beinhaltet eine besonders bevorzugte Weiterbildung der Erfindung, dass die Gesamtheit aus Substrat, Widerstandsstruktur und Abdeckungsschicht im Widerstandsbereich einen effektiven thermischen

Ausdehnungskoeffizienten TCE eff aufweist, der größer oder gleich dem thermischen Ausdehnungskoeffizienten des Materials der Widerstandsstruktur als Bulk-Metall ist.

Der effektive Wärmeausdehnungskoeffizient TCE eff ist im Wesentlichen durch folgende Formel näherungsweise gegeben jTCE i * d i * E i * F i

TCE eff = ^ wobei N die Anzahl der Bestandteile des Dünnschichtsensorelement ist, wobei die Laufzahl i die einzelnen Bestandteile bezeichnet, wobei TCE, den

Wärmeausdehnungskoeffizienten, di die Dicke und Ei die Elastizität der

einzelnen Bestandteile bezeichnet, und wobei Fi einen geometrischen Faktor berücksichtigt. Das Substrat kann auch aus mehreren Schichten bestehen, solange zumindest die Oberfläche des Substrats nicht-leitend ist.

Die Bestandteile des Dünnschichtsensorelements sind in dieser Weiterbildung der Erfindung also derartig ausgestaltet und aufeinander abgestimmt sind, dass der resultierende effektive thermische Ausdehnungskoeffizient TCE eff einem vorgebbaren Wert entspricht. Der effektive thermische Ausdehnungskoeffizient kann durch die Wahl der Materialen sowie die Anzahl und Dimensionierung der Schichten eingestellt werden. Das Substrat hat in dieser Weiterbildung einen thermischen Ausdehnungskoeffizienten, der im Wesentlichen größer als 10,5 ppm/K ist. Hierbei sei auf den Offenbarungsgehalt der DE 00 10 2007 02 34 34 A1 verwiesen.

In einer Weiterbildung der Erfindung ist das Substrat ein zumindest teilweise keramisches Substrat. In einer weiteren Weiterbildung der Erfindung weist das Substrat Aluminiumoxid und/oder Zirkonoxid auf.

In einer Ausgestaltung der Erfindung ist die Oberflächenschicht des Substrats nichtleitend, wobei die nicht-leitende Oberflächenschicht des Substrats eine minimale

Schichtdicke von 10 Mikrometer aufweist.

In einer weiteren Ausgestaltung des Dünnschichtsensorelement sind die Zwischenleiter alle aus dem gleichen Material. Beispielsweise können in dieser Ausgestaltung die Zwischenleiter aus dem gleichem Material wie dem der Widerstandsschicht sein. Der Vorteil dieser Ausgestaltung ist, dass auf diese Art keine bzw. minimale

Thermospannungseffekte im Kontaktbereich auftreten.

In einer anderen Ausgestaltung kann für das Material der Zwischenleiter ein anderes als das der Widerstandsschicht gewählt werden. In Betracht kommen hierbei beispielsweise Nickel, Silber, oder einige Metalllegierungen wie Neusilber, die man für

Kompensationsleitungen bei Platinthermoelementen verwendet. Auf diese Weise werden nur geringe Thermospannungen erzeugt. Insbesondere kann weiter das Material für die Zwischenleiter so gewählt werden, dass es dem der Anschlussleiter entspricht. Als Anschlussleiter werden im Rahmen der Erfindung diejenigen Leiter bezeichnet, welche zum Betreiben des Dünnschichtsensorelements in Vierleiterschaltung an die nach außen führenden Zwischenleiter des Dünnschichtsensorelements angeschlossen werden. Diese Ausgestaltung ist weiter vorteilhaft zur Minimierung der Thermospannungseffekte, da der Temperaturgradient in der Regel im Kontaktbereich geringer ist als im Bereich der Anschlüsse zwischen den Zwischenleitern und den Anschlussleitern. In einer weiteren Ausgestaltung weist die Widerstandsstruktur eine Schichtdicke von 0.1 Mikrometer-10 Mikrometer auf.

Typischerweise erfordern die Schweißstellen der Kontaktflächen eine gewisse Dicke der Abdeckungsschicht des Kontaktbereich, so dass die Abdeckungsschicht im

Kontaktbereich wesentlich größer als die Abdeckungsschicht im Widerstandsbereich ist. In einer weiteren Ausgestaltung der Erfindung weist daher die Abdeckungsschicht im Widerstandsbereich eine maximale Schichtdicke von 50 Mikrometer auf,

während die Abdeckungsschicht im Kontaktbereich eine maximale Schichtdicke von 2.0 Millimeter aufweist.

Die Erfindung beinhaltet weiter ein Widerstandsthermometer mit dem erfindungsgemäßen Dünnschichtsensorelement. Dabei weist das Widerstandsthermometer eine Regel- /Auswerteeinheit auf, wobei die Zwischenleiter des Dünnschichtsensorelements mit der Regel-/Auswerteeinheit verbunden sind, und wobei die Regel-/Auswerteeinheit dazu ausgestaltet ist, mittels der zumindest vier Zwischenleiter das Dünnschichtsensorelement in einer Vierleiterschaltung zu betreiben, den Widerstand der Widerstandsstruktur zwischen dem ersten Referenzpunkt und dem zweiten Referenzpunkt zu ermitteln, und aus dem ermittelten Widerstand die an der Widerstandsstruktur vorliegende Temperatur zu bestimmen.

Die Erfindung betrifft zusammenfassend ein Dünnschichtsensorelement zur Bestimmung und/oder Überwachung der Temperatur. Dazu ist eine Widerstandsstruktur vorgesehen, die auf einem Substrat in einem Widerstandsbereich angeordnet ist. Die

Widerstandsstruktur ist so strukturiert ist, dass sich ein erster Abschnitt der

Widerstandsstruktur in einem ersten Referenzpunkt in zumindest zwei Zweige verzweigt, und dass sich ein zweiter Abschnitt der Widerstandsstruktur in einem zweiten

Referenzpunkt in zumindest zwei weitere Zweige verzweigt. In einem Kontaktbereich werden die vier Zweige mit vier Zwischenleitern in vier voneinander isolierten

Kontaktflächen verbunden. Daher ist das Dünnschichtsensorelement ist ein echtes Vierleitersensorelement, wobei die Referenzpunkte der Vierleiterschaltung innerhalb des Widerstandsbereichs liegen. Das Widerstandsthermometer mit dem erfindungsgemäßen Dünnschichtsensorelement ist von großer Genauigkeit.

Die Erfindung wird anhand der nachfolgenden Figuren näher erläutert. Es zeigt: Fig. 1 a-c: eine Aufsicht auf ein Dünnschichtsensorelement gemäß dem Stand der Technik und gemäß der Erfindung

Fig. 2: eine Seitenansicht des erfindungsgemäßen Dünnschichtsensorelements

Fig. 3: eine Aufsicht auf das erfindungsgemäße Widerstandsthermometer

Fig. 4: die Genauigkeit des erfindungsgemäßen Widerstandsthermometers In Fig. 1 a ist eine schematische Aufsicht auf ein Dünnschichtsensorelement 1 gemäß dem Stand der Technik gezeigt. Das Dünnschichtsensorelement 1 umfasst die auf dem Substrat 2 angeordnete, im Widerstandsbereich 3 mäanderförmig verlaufende

Widerstandsstruktur 4. Deutlich erkennbar sind auch die Trimmschleifen im rechten Randbereich des Widerstandsbereichs 3. An den Widerstandsbereich 3 grenzt der Kontaktbereich 7 an, in dem der erste Abschnitt 5 der Widerstandsstruktur 4 mit dem ersten Zwischenleiter 81 in der ersten Kontaktfläche 71 verbunden ist, und in dem der zweite Abschnitt 6 der Widerstandsstruktur 4 mit dem zweiten Zwischenleiter 82 in der zweiten Kontaktfläche 72 verbunden ist. Der Widerstandsbereich 3 ist mit der ersten Abdeckungsschicht 1 1 zur Abdeckung der Widerstandsstruktur 4 und der Kontaktbereich mit der zweiten Abdeckungsschicht 12 zur Abdeckung der Kontaktflächen 71 ,72 geschützt. Außerhalb des Kontaktbereichs 3 sind die beiden Zwischenleiter 81 ,82 in den beiden Referenzpunkten 53, 63 mit jeweils zwei Anschlussleitern 53a, 53b, 63a, 63b verbunden. In diesem Dünnschichtsensorelement 1 gemäß dem Stand der Technik setzt sich der Gesamtwiderstand zwischen den Referenzpunkten 53,63 aus dem Widerstand im Widerstandsbereich 4, dem Widerstand im Kontaktbereich 7 und dem Widerstand der Zwischenleiter 81 ,82 zusammen.

In Fig. 1 b ist eine schematische Ansicht auf ein weiteres Dünnschichtsensorelement 1 gemäß dem Stand der Technik gezeigt. Im Gegensatz zu dem

Dünnschichtsensorelement 1 aus Fig. 1 a weist hier das Dünnschichtsensorelement 1 einen Vierleiteranschluss auf. Der Vierleiteranschluss wird allerdings durch die

Verbindung des ersten Abschnitts 5 der Widerstandsstruktur 4 mit einem ersten Paar Zwischenleiter 81 ,82 und durch die Verbindung des zweiten Abschnitts 6 der

Widerstandsstruktur 4 mit einem zweiten Paar Zwischenleiter 83,84 gebildet, wobei die Referenzpunkte 53,63 der Vierleiterschaltung auch in den Kontaktflächen 71 ,72 des Kontaktbereichs 7 angeordnet sind. Damit trägt für dieses Dünnschichtsensorelement auch der im Kontaktbereich verlaufende Teil der Widerstandsstruktur zum

Gesamtwiderstand zwischen den beiden Referenzpunkten 53,63 bei. Eine Aufsicht auf ein Ausführungsbeispiel des erfindungsgemäßen

Dünnschichtsensorelements 1 ist in Fig. 1 c gezeigt. Im Gegensatz zu den

Dünnschichtsensorelementen 1 aus dem Stand der Technik ist die Widerstandsstruktur 4 im Widerstandsbereich 3 folgendermaßen strukturiert: Der erste Abschnitt 5 verzweigt sich in einen ersten Zweig 51 und in einen zweiten Zweig 52, wobei der zweite Zweig 52 zum ersten Zweig 51 parallel geschaltet ist. Auch der zweite Abschnitt 6 verzweigt sich in einen ersten Zweig 61 und in einen zweiten Zweig 62, wobei der zweite Zweig 62 zum ersten Zweig 61 parallel geschaltet ist. Alle Zweige 51 ,52,61 ,62 im Kontaktbereich 7 mit Zwischenleitern 81 ,82,83,84 in voneinander isolierten Kontaktflächen 71 ,72,73,74 jeweils verbunden. Die mit den zueinander parallel geschalteten Zweigen 51 ,52 (bzw. 61 ,62) Zwischenleiter 81 ,82 (bzw. 83,84) sind dabei in den Referenzpunkten 53,63 parallel geschaltet. Dadurch ist die Widerstandsstruktur 4 anhand der Zwischenleiter 81 ,82,83,84 in einer Vierleiterschaltung kontaktierbar, wobei im erfindungsgemäßen

Dünnschichtsensorelement 1 der Gesamtwiderstand nur der Widerstand der

Widerstandsstruktur 4 im Widerstandsbereich 3 zwischen den beiden Referenzpunkten 53,63. Sowohl die Zwischenleiter 81 ,82,83,84, als auch der Kontaktbereich 7 tragen nicht zum Gesamtwiderstand bei. Dies liegt daran, dass im erfindungsgemäßen

Dünnschichtsensorelement 1 die Referenzpunkte 53,63 im Widerstandsbereich 3 liegen. In diesem Ausführungsbeispiel der Erfindung sind die Referenzpunkte 53,63 in einem dem Kontaktbereich 7 zugewandten Endbereich 9 des Widerstandsbereichs 3

angeordnet. Im Rahmen der Erfindung ist es aber auch möglich, einen oder beide Referenzpunkte 53,63 im einem dem Kontaktbereich 7 abgewandten Endbereich 10 des Widerstandsbereichs 3 anzuordnen. Weiter ist es möglich, mehrere Kontaktbereiche 7, weitere parallel geschaltete Zweige und gegebenenfalls weitere Kontaktflächen vorzusehen.

In Fig. 2 ist eine Seitenansicht des Dünnschichtsensorelements 1 gezeigt. Der Einfachheit halber sind hier die Zwischenleiter 81 ,82,83,83 nicht dargestellt. Die Figur ist zwar keineswegs maßstabsgetreu, zeigt aber, dass die Schichtdicke d1 des

Dünnschichtsensorelements 1 im Widerstandsbereich 3 kleiner als die Schichtdicke d2 des Dünnschichtsensorelements 1 im Kontaktbereich 7 ist. Aufgrund der Schweißstellen in den Kontaktflächen 71 ,72,73,74 ist die zweite Abdeckschicht 12 im Kontaktbereich 7 wesentlich größer als die erste Abdeckschicht 1 1 im Widerstandsbereich 3. Aus diesem Grund liegen bei Temperaturänderungen in der Regel im Kontaktbereich 7 stärkere mechanische Spannungen als im Widerstandsbereich 3 vor.

Durch die erfindungsgemäße Anordnung der Referenzpunkte 53,63 im

Widerstandsbereich haben diese mechanischen Spannungen allerdings einen

vernachlässigbaren Einfluss auf die Widerstandsmessung, so dass nur noch die wesentlich kleineren mechanischen Spannungen im Widerstandsbereich 3 im Falle einer Widerstandstruktur 4 aus einem Material mit piezoresistiven Eigenschaften die

Widerstandsmessung beeinflussen können. In der Variante der Erfindung, in der der effektive thermische Ausdehnungskoeffizient

TCE e größer oder gleich dem der Widerstandsstruktur als Bulk-Metall ist, werden durch die Anpassung der thermischen Ausdehnungskoeffizienten piezoresistive Effekte im Vorfeld ausgeschlossen, da sich bei starken Temperaturschwankungen die Verkapselung (Substrat 2, erste und zweite Abdeckungsschicht 1 1 , 12) der Widerstandsstruktur 4 zumindest im gleichen Maße wie die Widerstandsstruktur 4 selbst ausdehnt. Dazu kann das Substrat 2 und/oder die Abdeckungsschicht 1 1 ,12 aus mehreren Schichten bestehen. Dabei sollte in einer Variante der Erfindung die nicht-leitende Oberflächenschicht des Substrats 2 eine minimale Schichtdicke diso von 1 Mikrometer aufweisen. In Fig. 3 ist eine Aufsicht auf das erfindungsgemäße Widerstandsthermometer 13 gezeigt. Zusätzlich zu dem Dünnschichtsensorelement 1 mit der Widerstandstruktur 4 weist das Widerstandsthermometer 13 noch eine Regel-/Auswerteeinheit 13 aus. Die Regel- /Auswerteeinheit 14 weist dabei Elektronikkomponenten auf, die das

Dünnschichtsensorelement 1 ansteuern, dessen elektronischen Signale auswerten und daraus eine Temperatur ermitteln. Dazu sind die Zwischenleiter 81 ,82,83,84 mit der Regel-/Auswerteeinheit 14 verbunden. In diesem Ausführungsbeispiel ist eine

Stromquelle 15 vorgesehen, welche die Widerstandsstruktur 4 über die beiden

Zwischenleiter 81 ,83 mit einem Strom beaufschlagt. Es ist weiter ein

Spannungsmessgerät 16 vorgesehen, welches anhand der beiden weiteren

Zwischenleiter 82,84 über die Widerstandsstruktur 4 abfallende Spannung zwischen den Referenzpunkten 53,63 bestimmt. Der Einfachheit halber sind der Widerstandsbereich 3 und der Kontaktbereich 7 hier nicht gezeigt; die Referenzpunkt liegen aber auch hier erfindungsgemäß im Widerstandsbereich. Die Regel-/Auswerteeinheit 14 bestimmt anhand des beaufschlagten Stromes der Stromquelle 15 und dem Spannungsabfall den Widerstand der Widerstandsstruktur 4 zwischen den Referenzpunkten 53,63. Anhand in der Regel-/Auswerteeinheit 14 hinterlegter Widerstandskennlinien kann so die

Temperatur bestimmt werden.

Fig. 4a-4c zeigen experimentelle Untersuchungen bezüglich der Genauigkeit des erfindungsgemäßen Widerstandsthermometers 13, wobei einmal die Ausführungsform Pt100 (gefüllte Punkte) und einmal die Ausführungsform Pt1000 (ungefüllte Punkte) untersucht wurde. Es handelt sich jeweils um experimentelle Untersuchungen an einer Reihe von Widerstandsthermometern 13 gleicher Bauart. In den Figuren 4a-d sind verschiedene Gütekriterien für die Genauigkeit dieser Reihe von

Widerstandsthermometern 13 dargestellt. Dabei ist auf der x-Achse jeweils die Abweichung von einem Sollwert aufgetragen. Auf der y-Achse ist die Häufigkeit bzw. die Anzahl von Widerstandsthermometern 13 aufgetragen, bei denen eine gewisse

Abweichung festgestellt wurde. Anhand dieser Häufigkeitsverteilungen kann so über die Untersuchungen bezüglich kann der Fertigungstoleranz gleichartiger

Widerstandsthermometers 13 die Güteklasse des erfindungsgemäßen

Widerstandsthermometers 13 geschätzt werden.

In Fig. 4a ist dabei die Häufigkeitsverteilung der Abweichung des Widerstandswerts des Widerstandsthermometers 13 vom nominellen Widerstandswert R so n (d.h. 100 Ohm und 1000 Ohm) in Prozent gezeigt. Die experimentellen Untersuchungen zeigen, dass ein Großteil der erfindungsgemäßen Widerstandsthermometer 13 um weniger als 0.02 % von nominellen Widerstandswert R soN abweicht.

In Fig. 4b ist die Häufigkeitsverteilung der Abweichung des mittleren.

Temperaturkoeffizienten (TCR-Wert) von einem Sollwert TCR so n gezeigt. Der mittlere Temperaturkoeffizient ist dabei definiert als die Differenz der Widerstände geteilt durch den Widerstand bei 0°C und geteilt durch die Differenz der Temperaturen in der Spanne zwischen 0°C und 100°C also: wobei gilt: T-i = 100 °C, T 2 = 0 °C, und wobei R T i der Widerstand bei T-i und R T 2 der Widerstand bei T 2 sind. Es zeigt sich, dass für das erfindungsgemäße Widerstandsthermometer 13 eine

Abweichung des TCR-Werts von einem Sollwert TCR so n von unter 5 ppm K "1 vorliegt.

Der vom Widerstandsthermometer 13 ermittelte Widerstandswert wird im

Temperaturbereich 0° < T < 200°C anhand einer Widerstandskennlinie von quadratischer Ordnung beschrieben.

R(T) = R T=0 ° C (1 + a x T + b x T 2 )

In Figur 4c und 4d ist die Häufigkeitsverteilung der Abweichung des linearen Koeffizienten (Fig. 4c) und des quadratischen Koeffizienten (Fig. 4d) der Widerstandskennlinie aufgetragen. Es zeigt sich, dass der lineare Koeffizient a der Widerstandskennlinie um weniger als 10 "5 °C "1 von einem Sollwert a so n abweicht (siehe Fig. 4c) und dass der quadratische Koeffizient b der Widerstandskennlinie um weniger als 10 "7 °C "2 von einem Sollwert b so n abweicht. Die experimentellen Untersuchungen zeigen, dass das erfindungsgemäße

Widerstandsthermometer 13 von sehr großer Genauigkeit ist. Erfahrungsgemäß bedeutet dies, dass unter üblichen Produktionsbedingungen ein Widerstandsthermometer 13 mit dem erfindungsgemäßen Dünnschichtsensorelement 1 in über 50% der Fälle in der Genauigkeitsklasse 1/5 B nach DIN EN 60751 :2009-05 liegt.

In der besonders vorteilhaften Ausgestaltung des erfindungsgemäßen

Dünnschichtsensorelement 1 , in der die thermischen Ausdehnungskoeffizienten TCE eff aneinander angepasst sind, ist aufgrund der verschwindenden Hystereseeffekte sogar eine Widerstandsthermometer 13 mit einer normentreuen Kennlinie zu erwarten, so dass ein Großteil der derartigen Widerstandsthermometer 13 in der Genauigkeitsklasse 1/10 B nach DIN EN 60751 :2009-05 liegt.

Bezugszeichenliste

1 Dünnschichtsensorelement

2 Substrat

3 Widerstandsbereich

4 Widerstandsstruktur

5 erster Abschnitt

51 erster Zweig

52 zweiter Zweig

53 erster Referenzpunkt

53a, b Anschlussleiter

6 zweiter Abschnitt

61 erster Zweig

62 zweiter Zweig

63 zweiter Referenzpunkt

63a, b Anschlussleiter

7 Kontaktbereich

71-74 erste-vierte Kontaktfläche

81-84 erster-vierter Zwischenleiter

9 dem Kontaktbereich zugewandter Endbereich

10 dem Kontaktbereich abgewandter Endbereich

1 1 erste Abdeckungsschicht

12 zweite Abdeckungsschicht

13 Widerstandsthermometer

14 Regel-/Auswerteeinheit

15 Stromquelle

16 Spannungsmessgerät d1 Schichtdicke im Widerstandsbereich

d2 Schichtdicke im Kontaktbereich

diso Schichtdicke der nicht-leitenden Schicht des Substrats

TCE e effektiver thermischer Ausdehnungskoeffizient

TCR Temperaturkoeffizient

a linearer Koeffizient der Widerstandskennlinie b quadratischer Koeffizient der Widerstandskennlinie