L'invention concerne le domaine du traitement numérique du signal, et porte plus particulièrement sur la réalisation d'un interpolateur à rang élevé permettant le traitement temps réel à haut débit.

L'interpolation d'un signal numérique est une opération courante dans une chaîne de traitement numérique du signal. Elle consiste à amener la fréquence d'échantillonnage d'un signal d'une première fréquence à une deuxième fréquence, plus élevée, en calculant des échantillons intermédiaires entre chaque échantillon du signal d'origine. C'est le cas par exemple lorsqu'un signal doit être porté à une fréquence d'échantillonnage précise à des fins de traitements, ou lorsque deux signaux ou plus échantillonnés à des fréquences très différentes font l’objet d’un traitement commun, ce qui nécessite au préalable l'harmonisation de leur fréquence d’échantillonnage. Ce deuxième cas de figure se produit par exemple lorsqu'un signal ayant une bande de fréquence très élevée, et donc échantillonné à une fréquence très élevée, doit être modulé par un signal modulant de bande étroite et dont la fréquence d’échantillonnage est optimisée pour cette bande. Les deux signaux présentent alors un rapport de fréquences d’échantillonnage important. Pour réaliser la modulation, c’est-à- dire le produit des deux signaux, il est nécessaire d'amener au préalable les deux signaux à une fréquence d'échantillonnage commune.

L’interpolation d'un signal se fait généralement en deux étapes :

- le signal est d'abord sur-échantillonné, c’est-à-dire que (n - 1) zéros sont intercalés entre chaque échantillon d’origine, n étant le rapport des fréquences d’échantillonnage, pour obtenir un signal dont le spectre présente n périodes identiques dans le domaine spectral de sortie, et - le signal sur-échantillonné est filtré de façon à atténuer les (n - 1) périodes parasites du spectre pour ne conserver que la période utile, mais il existe de nombreuses autres formes d'interpolateurs.

Par la suite, lorsqu’il s’agit d’une interpolation, on désignera par "rapport" la valeur correspondant au rapport de la fréquence d'échantillonnage de sortie à la fréquence d'échantillonnage d'entrée d'un interpolateur ou d'un étage d'interpolation. Le terme rapport est équivalent au terme "facteur", "ratio" ou "ordre", que l'on peut trouver dans la littérature. Dans le cadre de l'invention, le rapport de fréquences d’échantillonnage est entier, factorisable et élevé (typiquement, de l'ordre d'une ou plusieurs dizaines).

Une interpolation efficace présente les atouts suivants :

- elle maximise l’utilisation de la bande utile du signal d’origine. Bien que la bande utile du signal d’entrée soit faible par rapport à celle du signal de sortie, la fréquence d’échantillonnage du signal d'entrée doit être la plus faible possible tout en respectant le critère de Shannon, afin de limiter au maximum les ressources nécessaires à l'élaboration du signal, qu'il s'agisse : · des ressources de calcul en cas de calcul en temps réel, ces ressources étant d'autant moins sollicitées que la fréquence d'échantillonnage est basse, ou

• des ressources de mémoires en cas de signal tabulé sur une longue durée, la quantité de stockage nécessaire étant proportionnelle à la fréquence d'échantillonnage.

- elle maîtrise la pureté spectrale du signal interpolé. Un but de l'interpolation est d'atténuer suivant un gabarit spécifié les périodicités du spectre dues au sur-échantillonnage, tout en modifiant le moins possible le spectre de la partie utile du signal interpolé,

- elle maximise la fréquence du signal de sortie de l'interpolation. Il s’agit d’utiliser une architecture de calcul parallélisable de façon à obtenir une fréquence d'échantillonnage de sortie élevée pouvant même être supérieure à la fréquence d’horloge maximale du composant numérique utilisé pour implémenter les calculs,

- elle minimise les ressources de calcul nécessaire. Il s’agit de minimiser le coût de calcul, afin de minimiser la consommation du composant numérique utilisé pour l'implémentation, et de permettre d'implémenter le plus possible de fonctions dans le composant numérique utilisé.

La problématique de l’interpolation est abondamment traitée dans les publications de traitement du signal. De nombreuses techniques de calcul existent. On connaît par exemple à ce sujet l’article de Chao Cai et al. «A digital sampling rate synchronization scheme for fully digital relay protection », Transmission and distribution conférence and exposition, 2010 IEEE PES, ou le brevet US 5.732.107A

Suivant la technique utilisée, l'interpolation peut s'avérer coûteuse en temps de calcul, et donc difficile à implémenter sur une plateforme logicielle ayant une puissance de calcul limitée, comme par exemple un DSP (sigle anglais pour Digital Signal Processor, ou processeur de signal numérique), un FPGA (sigle anglais pour Field Programmable Gâte Array, ou réseau de portes programmable), un ASIC (acronyme anglais pour Application-Specific Integrated Circuit, ou circuit intégré propre à une application), ou n'importe quelle cible matérielle permettant d'exécuter les traitements nécessaires, tel qu'un processeur, en particulier lorsque les traitements doivent être exécutés en temps réel et que le rapport d'interpolation est élevé. Elle peut également s'avérer peu coûteuse à implémenter mais peu performante spectralement. Un objectif que l'invention cherche à résoudre consiste à réaliser une fonction d’interpolation dans une chaîne de traitement numérique du signal qui soit à la fois peu coûteuse à implémenter, ce qui lui permet d'être portée par une plateforme temps réel à une fréquence d'échantillonnage de sortie élevée voire supérieure à la fréquence de fonctionnement du dispositif, tout en respectant des contraintes de gabarit spectral.

Pour ceci, l'invention porte sur un interpolateur de signal réalisé sous la forme d'une cascade structurée d'interpolateurs de différents types. En effet, si des structures d'interpolations cascadées sont connues de l'état de l'art afin d'interpoler un signal d'un rang élevé, ces structures sont constituées d'interpolateurs d'un même type, généralement des FIR (acronyme anglais pour Finite Impulse Response ou filtre à réponse finie), ce qui peut poser des problèmes en particulier pour les derniers étages où la longueur des filtres dépend de la fréquence d'échantillonnage et de la pureté spectrale recherchée.

L'invention part du principe que le coût d'implémentation des étages d'interpolation augmente avec la fréquence d'échantillonnage, et propose d'utiliser des interpolateurs dont la complexité va décroissante au fil de l'interpolation. Avantageusement, les rapports d'interpolation des différents étages tiennent compte des propriétés spectrales de l'étage qui les suit afin de limiter leur complexité et de respecter un gabarit spectral contraignant.

A cet effet, l’invention décrit un interpolateur, pour l'interpolation par un rapport n de la fréquence d'échantillonnage d'un signal dit signal d'entrée. L’interpolateur selon l’invention comprend successivement : - un premier étage d'interpolation comprenant un sur-échantillonneur configuré pour sur-échantillonner le signal d'entrée d'un rapport ¾, n _x étant un sous-multiple de n, et un filtre pour filtrer le signal sur-échantillonné, et

- un deuxième étage d'interpolation comprenant un interpolateur linéaire configuré pour interpoler d’un rapport n ₂ le signal issu du premier étage d'interpolation, n ₂ étant un sous-multiple de n, et

- un troisième étage d'interpolation comprenant un interpolateur bloqueur configuré pour interpoler d’un rapport n ₃ le signal issu du deuxième étage d'interpolation, n ₃ étant un sous-multiple de n ,

avec n = n ₂ n ₃ .

Avantageusement, le filtre utilisé par le premier étage d'interpolation est un filtre Fl R ou un filtre 11 R (sigle anglais pour Infinité Impulse Response, ou réponse impulsionnelle infinie).

Dans l’interpolateur selon l’invention, l’interpolateur linéaire du deuxième étage d’interpolation est configuré pour réaliser une interpolation linéaire équivalente au sur-échantillonnage du signal issu du premier étage d’interpolation d’un rapport n ₂ par insertion d’échantillons nuis puis au filtrage dudit signal sur-échantillonné par un filtre ayant une réponse fréquentielle en (sin(7r. fe ₂ )/ (p. /e ₂ )) ² , avec fe ₂ la fréquence d’échantillonnage du signal en sortie du deuxième étage d’interpolation, ladite réponse fréquentielle en (sin(7r. fe ₂ )/ (p. /e ₂ )) ² présentant (n ₂ - 1) zéros périodiques autour de chacun desquels se trouve une bande de fréquence dont l’atténuation est supérieure à un niveau minimal donné. L’interpolateur est configuré pour que chacune de ces bandes de fréquence ait une largeur supérieure à la bande utile du signal d'entrée.

En effet, interpoler linéairement un signal revient à le sur-échantillonner par insertion d’échantillons nuis, puis à le filtrer par un filtre dont la réponse fréquentielle est en (sin(7r. fe ₂ )/( . fe ₂ )) ² . Le sur-échantillonnage réalisé par le deuxième étage d'interpolation crée naturellement n ₂ répliques périodiques du spectre du signal issu du premier étage d’interpolation. La réponse fréquentielle en (sin( . fe ₂ )/( .fe ₂ )) ² comprend (n ₂ - 1) zéros périodiques (points d’atténuation théorique infinie) situés au niveau des répliques périodiques du spectre du signal sur-échantillonné. Autour de chaque zéro se trouve une bande de fréquence dans laquelle l’atténuation est supérieure à une atténuation minimale donnée. Les rapports d’interpolation des deux premiers étages d’interpolation sont choisis de manière à ce que chacune des bandes de fréquences ait une largeur supérieure à la bande utile du signal d'entrée. Ainsi, les répliques du signal utile dues au sur-échantillonnage d’un rapport n ₂ dans l’interpolateur linéaire sont atténuées d’un niveau minimal garanti. Dit autrement, le rapport entre la puissance des répliques du signal utiles dues au sur-échantillonnage d’un rapport n ₂ dans l’interpolateur linéaire en sortie du filtre équivalent dont la réponse fréquentielle est en ( sin( .fe ₂ )/( .fe ₂ )) ² et la puissance de ces mêmes répliques en entrée du filtre est inférieur à un rapport donné dans toute les bandes de fréquences mentionnées ci-dessus.

Dans l’interpolateur selon l’invention, l’interpolateur bloqueur du troisième étage d’interpolation est configuré pour réaliser une interpolation par blocage, équivalente au sur-échantillonnage du signal issu du deuxième étage d’interpolation d’un rapport n ₃ par insertion d’échantillons nuis puis au filtrage dudit signal sur-échantillonné par un filtre ayant une réponse fréquentielle en sin(n. fe ₃ /(n. fe ₃ , avec fe ₃ la fréquence d’échantillonnage du signal en sortie du troisième étage d’interpolation, ladite réponse fréquentielle en sin(n.fe ₃ /(n.fe ₃ présentant (n ₃ - 1) zéros périodiques autour de chacun desquels se trouve une bande de fréquence dont l’atténuation est supérieure à un niveau minimal donné. L’interpolateur est configuré pour que chacune de ces bandes de fréquence ait une largeur supérieure à la bande utile du signal d'entrée. En effet, interpoler par blocage un signal revient à le sur-échantillonner par insertion d’échantillons nuis, puis à le filtrer par un filtre dont la réponse fréquentielle est en sin(n. fe ₃ /(n. fe ₃ . Le sur-échantillonnage réalisé par le troisième étage d'interpolation crée naturellement n ₃ répliques périodiques du spectre du signal issu du deuxième étage d’interpolation. La réponse fréquentielle est en sm(n. fe ₃ /(n. fe ₃ comprend (n ₃ - 1) zéros (points d’atténuation théorique infinie) qui sont situés au niveau des répliques périodiques du spectre du signal sur-échantillonné. Autour de chaque zéro se trouve une bande de fréquence dans laquelle l’atténuation est supérieure à une atténuation minimale donnée. Les rapports d’interpolation des trois étages de l’interpolateur sont choisis de manière à ce que chacune de ces bandes de fréquence ait une largeur supérieure ou égale à la bande utile du signal d'entrée. Ainsi, les répliques du signal utile dues au sur échantillonnage d’un rapport n ₃ dans l’interpolateur bloqueur sont atténuées d’un niveau minimal garanti. Dit autrement, le rapport entre la puissance des répliques du signal utiles dues au sur-échantillonnage d’un rapport n ₃ dans l’interpolateur linéaire en sortie du filtre équivalent dont la réponse fréquentielle est en sin(n. fe ₃ /(n. fe ₃ et la puissance de ces mêmes répliques en entrée du filtre est inférieur à un rapport donné dans toute les bandes de fréquences mentionnées ci-dessus.

Avantageusement, le rapport d'interpolation d'au moins un étage d'interpolation est une puissance de deux, ce qui donne la possibilité de paralléliser au mieux les calculs.

L’invention porte également sur un procédé d'interpolation par un rapport n de la fréquence d'échantillonnage d'un signal dit signal d'entrée. Le procédé comprend successivement : une première étape d'interpolation comprenant le sur-échantillonnage dudit signal d'entrée par un rapport ¾, où est un sous-multiple de n, et le filtrage du signal sur-échantillonné, et une deuxième étape d'interpolation comprenant l'interpolation linéaire du signal résultant de la première étape d'interpolation par un rapport n ₂ , où n ₂ est un sous-multiple de n, et une troisième étape d'interpolation par interpolateur bloqueur du signal résultant de la deuxième étape d'interpolation par un rapport n ₃ , où n ₃ est un sous-multiple de n ,

avec n n- n ₂ n ₃ .

Enfin, l’invention porte sur un procédé de dimensionnement d'un interpolateur tel que celui décrit ci-dessus. Le dimensionnement de l’interpolateur comprend :

- une première étape de détermination du rapport d'interpolation n _x du premier étage de l'interpolateur à partir d'une largeur de bande utile du signal d'entrée et d'une atténuation minimale des répliques du signal entrant dans le deuxième étage d’interpolation dues à l’interpolation d’un n ₂ , et

- une étape de détermination du rapport d'interpolation n ₂ du deuxième étage de l'interpolateur. Cette détermination est faite à partir d'une largeur de bande utile du signal à transmettre et d'une atténuation minimale de répliques du signal entrant dans le troisième étage d’interpolation dues à l’interpolation d’un rapport n ₃ , et

- une étape de détermination du rapport d'interpolation du dernier étage de l'interpolateur à partir du ou des rapports d'interpolation des étages le précédant. L’invention sera mieux comprise et d’autres caractéristiques et avantages apparaîtront mieux à la lecture de la description qui suit, donnée à titre non limitatif, et grâce aux figures annexées parmi lesquelles :

• La figure 1 représente un interpolateur selon deux modes de réalisation de l'invention ;

• La figure 2 représente, à titre d'exemple, la réponse fréquentielle normalisée équivalente à un interpolateur bloqueur interpolant le signal d'un rapport 8 ;

• La figure 3 représente, à titre d'exemple, la réponse fréquentielle normalisée équivalente à un interpolateur linéaire interpolant le signal d'un rapport 8 ;

• La figure 4 représente trois niveaux de zoom de la réponse en fréquence normalisée d'un signal interpolé par un interpolateur selon un mode de réalisation de l'invention ;

• La figure 5 représente un mode de réalisation d'un dispositif destiné à moduler deux signaux ayant une fréquence d'échantillonnage différente comprenant deux interpolateurs selon des modes de réalisation de l'invention ;

• La figure 6 représente les étapes d'un procédé d'interpolation d'un signal selon l'invention ;

• La figure 7 représente les étapes d'un procédé de dimensionnement d'un interpolateur selon l'invention.

La figure 1 représente un interpolateur selon deux modes de réalisation de l'invention.

L'interpolateur prend en entrée un signal échantillonné à la fréquence fe. Il est composé d'une pluralité d'interpolateurs cascadés dont les derniers étages présentent une simplification maximale des calculs, facilitant ainsi sa réalisation à une fréquence de sortie très élevée pouvant même être supérieure à la fréquence d'horloge maximale du composant numérique utilisé pour implémenter l'interpolateur, tout en maîtrisant la pureté spectrale du signal interpolé et en maximisant l'utilisation de la bande du signal d'entrée. Il prend en entrée un signal échantillonné à la fréquence fe , et délivre le même signal échantillonné à la fréquence Fe = n - fe.

L'interpolateur selon l'invention comprend un premier étage d'interpolation 101 classique, c'est-à-dire réalisant le sur-échantillonnage du signal d'entrée par l'insertion de (¾ - 1) zéros entre chaque échantillon de ce signal, n _x étant le rapport de sur-échantillonnage du premier étage de l'interpolateur. La fréquence d'échantillonnage après sur-échantillonnage étant relativement faible, un filtre II R est utilisable dans le cas où la fréquence de sortie est compatible avec la fréquence d’horloge du composant numérique utilisé. Toutefois, lorsqu'il est souhaitable d'avoir une phase linéaire ou lorsque les traitements doivent être parallélisés dès le premier étage de l'interpolateur, l'utilisation d'un filtre FIR se révèle avantageuse.

La technique de l'interpolation par filtrage permet de maîtriser la pureté spectrale et d'optimiser l'exploitation de la bande utile du signal d'origine. Cependant, lorsque le rapport de fréquence est très élevé, la bande de transition du filtre est très étroite, ce qui conduit à un ordre de filtre trop élevé et donc trop complexe à implémenter (dans le cas d’un filtre passe-bas, la bande de transition correspond à la zone entre la fin de la bande passante et le début de la bande rejetée). Pour minimiser la complexité de cet étage d'interpolation, le rapport d'interpolation n _x doit donc être choisi le plus faible possible. Il doit en outre prendre en compte le domaine fréquentiel utilisable de l'étage suivant, comme détaillé plus loin.

Le signal sortant du premier étage d'interpolation 101 est un signal interpolé échantillonné à la fréquence fe ₁ = n _x fe. L'interpolateur selon l'invention comprend également un deuxième étage d'interpolation 102 sous la forme d'un interpolateur linéaire. Il s'agit là d'une technique d'interpolation parmi les plus simples, qui consiste à calculer les échantillons intermédiaires sur une droite qui passe par deux échantillons adjacents. On parle parfois de "bloqueur d'ordre 1 sur n cycles", mais ce terme n'est pas totalement exact car il n'y a pas de blocage du signal à proprement parler. Le deuxième étage d'interpolation 102 réalise l'interpolation du signal issu du premier étage d'interpolation par un rapport n ₂ .

Dans le cas où n ₂ est de la forme 2 ^W , l'interpolateur linéaire peut être réalisé très simplement, en calculant la demi-somme des échantillons adjacents sur N couches successives, jusqu'à l'obtention des ( n ₂ - 1) couches intermédiaires.

Ainsi, pour chaque cycle à la fréquence d’échantillonnage d’entrée, les échantillons i et i + 1 correspondent aux échantillons n ₂ i et n ₂ (i + 1) à la fréquence d’échantillonnage de sortie. Par la suite, ces échantillons de sortie serons nommés m(0 ) et m(n ₂ ). Le calcul des échantillons intermédiaires est le suivant :

- couche 1 : 1 calcul : o 0,5

(m( 0) + m(n ₂ ))

- couche 2 : 2 calculs : o 0,5 (m(0) +

m(n ₂ /2)) o 0,5 (

m(n ₂ /2 ) + m(n ₂ ))

- couche 3 : 4 calculs : o 0,5 (m( 0) + 7n(n ₂ /4))

o (¾ ^{= 0,5 '} < ( ³ ¾/4) + m(n ₂ )) etc, couche /c : 2 ^(fc ^ calculs

La complexité d'implémentation d'un interpolateur linéaire est plus faible que celle de l'interpolateur dit "classique" du premier étage, ce qui lui permet de pouvoir être mis en oeuvre à des fréquences d'échantillonnage plus élevées. En outre, la structure de l'interpolateur linéaire, en particulier lorsque n ₂ est une puissance de 2, est hautement parallélisable. Un tel interpolateur est donc particulièrement adapté pour la génération et l'interpolation d'un signal en temps réel, et peut permettre de générer un signal de sortie du deuxième étage d'interpolation à une fréquence d'échantillonnage supérieure à la fréquence de fonctionnement maximale du composant sur lequel l'interpolateur est implémenté. Avantageusement, lorsqu’il est suivi par un troisième étage d’interpolation d’un rapport d’interpolation n ₃ , le rapport d'interpolation n ₂ est choisi aussi faible que possible tout en respectant le domaine fréquentiel utilisable du troisième étage. De cette manière, le rapport d’interpolation n ₃ est le plus grand possible, l’interpolateur du troisième étage étant celui dont l’implémentation est la moins complexe. Les performances spectrales de l'interpolation linéaire sont très faibles et ne permettent pas de maximiser l'utilisation de la bande du signal d'origine, c'est pourquoi une telle interpolation ne peut pas être utilisée par le premier étage de l'interpolateur.

Le signal sortant du deuxième étage d'interpolation 102 est un signal interpolé échantillonné à la fréquence fe ₂ = h _c · h ₂ · fe.

Selon un mode de réalisation, l'interpolateur comprend uniquement le premier étage 101 d'interpolation par sur-échantillonnage et filtrage, et le deuxième étage 102 d'interpolation linéaire. Dans ce cas, h = h ₁ · n ₂ .

Dans un autre mode de réalisation, l'interpolateur comprend en outre un troisième étage d'interpolation 103, permettant d'interpoler le signal sortant du deuxième étage d'interpolation par un rapport n ₃ .

Cet étage, placé en dernier dans la chaîne, ne nécessite aucun calcul. Le principe de l'interpolateur bloqueur est de répéter n ₃ fois le même échantillon, d’où l’appellation bloqueur. On parle parfois de "bloqueur d’ordre 0 sur n cycles". En termes de réalisation, c’est la solution la plus simple car elle ne nécessite pas de calculs, c'est pourquoi elle peut être implémentée pour des fréquences d'échantillonnage très élevées. En contrepartie, les performances spectrales sont très limitées.

Le signal sortant du deuxième étage d'interpolation est un signal interpolé échantillonné à la fréquence Fe = h ₁ · h ₂ · h ₃ · fe.

En ce qui concerne les performances spectrales des différents étages de l'interpolateur selon l'invention, l’interpolateur bloqueur du troisième étage 103 réalise une interpolation équivalente au sur-échantillonnage du signal d’un rapport n ₃ par l'insertion de n ₃ 1 échantillons nuis entre chaque échantillon, puis à son filtrage par un filtre FIR comprenant n ₃ coefficients égaux à 1. Le sur-échantillonnage dans un rapport n ₃ génère naturellement (n ₃ - 1). répliques du signal entrant dans l’interpolateur bloqueur. Ces (n ₃ - 1). répliques ont un niveau de puissance élevée sur une largeur de bande qui correspond à la largeur du signal utile à interpoler. Il est donc nécessaire que le filtrage de ces répliques atténue fortement les (n ₃ - 1). répliques. La transformée de Fourier d’une réponse impulsionnelle rectangle

(bloqueur d’ordre 0) correspond à une réponse en fréquence en sin(x) / x. La figure 2 représente, à titre d'exemple, la réponse fréquentielle normalisée d'un filtre Fl R comprenant n ₃ coefficients égaux à 1 lorsque n ₃ = 8. On constate que :

- le spectre utile, autour de / = 0 ou autour de Fe (soit ici pour

/ = 8 avec / la fréquence normalisée par Fe/n ₃ et n ₃ = 8), est peu dégradé car le sommet du lobe central du sin( f)/( f) est plat et égal à 1 ,

- les répliques périodiques de spectre liées au sur-échantillonnage du signal par n ₃ (soit pour / = 1, 2, ... , n ₃ - 1.) sont fortement atténuées car elles tombent au niveau des zéros du sin(7r/)/(7r/), (ici autour de / = k, avec k entier de 1 à 7).

Afin de garantir la pureté spectrale du signal interpolé, il convient de limiter la bande utilisable du signal entrant dans l'interpolateur bloqueur en fonction de l’atténuation procurée par la fonction sin( f)/( f) autour de ses zéros, pour que les répliques périodiques de spectre liées au sur-échantillonnage par insertion de zéros ne dépassent pas un niveau maximal donné. Ainsi, la bande fréquentielle utilisable du signal entrant dans l'interpolateur par blocage est limitée par la largeur de la bande de fréquence la plus étroite pour une atténuation donnée autour des zéros de la fonction sin(7r/)/(7r/), soit dans l'exemple de la figure 2 autour de / = 1.

Posons / de la forme f = 1 - e, avec e la bande utilisable du signal entrant dans l'étage d'interpolation par blocage. Lorsque la valeur de n ₃ est élevée (dans l’exemple, n ₃ = 8), et pour deux valeurs d’atténuation minimale recherchée (40 dB et 50 dB), la bande relative utilisable vaut :

- e = 1% de Fe/n ₃ utilisable pour 40dB d’atténuation ;

- e = 0,3% de Fe/n ₃ utilisable pour 50dB d’atténuation.

Lorsque n ₃ est supérieur à 8, on constate que les variations du gabarit de la fonction sin( f)/( f) normalisée sont négligeables. Ainsi, la largeur de la bande de fréquence utilisable du signal reste stable pour les valeurs de n ₃ supérieures à 8.

Lorsque n ₃ est faible (par exemple pour n ₃ < 8), la largeur de la bande de fréquence utile garantissant une atténuation donnée autour des zéros de la fonction sin( f)/( f) diminue . Pour n ₃ = 2., la bande relative utilisable vaut alors :

- e = 0,6% de Fe/n ₃ utilisable pour 40dB d’atténuation ;

- e = 0,2% de Fe/n ₃ utilisable pour 50dB d’atténuation.

A titre d’illustration, les points 202 et 203 de la figure 2 correspondent aux bornes d’une bande de fréquence 304 dans laquelle l’atténuation est supérieure à 20dB autour du premier zéro 201 de la réponse fréquentielle en sin(7r/)/(7r/). La valeur seuil de 20dB est donnée ici à titre d’exemple.

La largeur de bande relative du signal utile utilisable avec un interpolateur bloqueur est donc faible (inférieure à 1 % de la bande de fréquence du signal de sortie du bloqueur). Toutefois, elle est suffisante avec l’architecture proposée car les deux premiers étages d'interpolation permettent de limiter le rapport de la bande utilisable du signal à interpoler à la fréquence d’échantillonnage du troisième étage d'interpolation au ratio maximal autorisé par cet étage pour la pureté spectrale choisie. En outre, la très faible atténuation autour du spectre utile le rend particulièrement adapté pour une mise en oeuvre en tant que dernier étage d'un interpolateur à rang élevé. L’interpolateur linéaire du deuxième étage 102 réalise une interpolation équivalente au sur-échantillonnage du signal entrant d’un rapport n ₂ par insertion de (n ₂ - 1) échantillons nuis entre chaque échantillon, puis à son filtrage par un filtre FIR comprenant (2 n ₂ - 1) coefficients en triangle. Le sur échantillonnage dans un rapport n ₂ génère naturellement ( n ₂ - 1) répliques du signal entrant dans l’interpolateur linéaire. Ces ( n ₂ - 1). répliques ont un niveau de puissance élevée sur une largeur de bande qui correspond à la largeur du signal utile à interpoler. Il est donc nécessaire que le filtrage de ces répliques atténue fortement ces (n ₂ - 1). répliques.

La réponse impulsionnelle en triangle correspond à la convolution de deux rectangles identiques de n ₂ points. Ainsi, la transformée de Fourier d’une réponse impulsionnelle triangle (bloqueur d’ordre 1 ) correspond à celle d’une réponse impulsionnelle rectangle élevée au carré, soit une réponse en fréquence en La figure 3 représente, à titre d'exemple, la réponse fréquentielle normalisée d'un filtre FIR comprenant (2n ₂ - 1) coefficients en triangle avec n ₂ = 8 _.

On y retrouve les propriétés du filtre de la figure 2, c'est-à-dire une réponse impulsionnelle plate autour de / = 0 (on mesure ici moins de 0,25dB de variation de gain dans la bande passante), et des zéros positionnés au centre des périodes du signal modulant. Grâce à l’élévation au carré de la pondération, l’atténuation en dB est doublée par rapport à l'interpolateur bloqueur, d’où un élargissement de la bande de fréquence garantissant une atténuation donnée autour des zéros, améliorant ainsi le ratio de bande utilisable par rapport à ce dernier.

A titre d’illustration, les points 302 et 303 de la figure 3 correspondent aux bornes d’une bande de fréquence 304 dans laquelle l’atténuation est supérieure à 40dB autour du premier zéro 301 de la réponse fréquentielle en (sin(7r/)/(7r/)) ² . La valeur seuil de 40dB est donnée ici à titre d’exemple. De la même façon que pour la figure 2, la bande utilisable pour la transmission du signal utile est donnée par la largeur, pour une atténuation donnée, de la bande de fréquence la plus étroite autour des zéros de la fonction (sin(nf)/(nf)) ² pour une atténuation donnée, soit dans l’exemple de la figure 3 autour de / = 1. Pour n ₂ = 8, on a :

- e = 9% de fe ₂ /n ₂ utilisable pour 40dB d’atténuation, et

- e = 5% de fe ₂ /n ₂ utilisable pour 50dB d’atténuation.

On constate ici aussi que pour n ₂ ³ 8. , le gabarit normalisé en (sin(7r/)/ (p/)) ² varie peu. Ainsi la largeur de la bande de fréquence utilisable du signal reste stable pour les valeurs de n ₂ supérieures à 8.

Lorsque n ₂ est petit, la largeur des bandes de fréquence garantissant une atténuation donnée autour des zéros de la fonction (sin(7r/)/(7r/)) ² diminue, ce qui diminue la bande relative utilisable. Pour n ₂ = 2., obtient :

- e = 6,3% de fe ₂ /n ₂ utilisable pour 40dB d’atténuation, et

- e = 3,5% de fe ₂ /n ₂ utilisable pour 50dB d’atténuation.

Avec l’architecture proposée, le premier étage d'interpolation est dimensionné pour limiter le rapport de la bande du signal utile à la fréquence d’échantillonnage fe ₂ au ratio maximal autorisé par le deuxième étage d'interpolation linéaire pour la pureté spectrale choisie.

L'interpolateur cascadé selon l'invention permet donc l'implémentation à coût limité d'un interpolateur de rang élevé sur des composants logiques (par exemple un FPGA), en utilisant des étages de complexité décroissante et hautement parallélisables, qui facilitent sa mise en oeuvre en temps réel à haut débit. L'interpolateur selon l'invention a les caractéristiques suivantes : - un rang d’interpolation entier élevé et factorisable (de préférence de la forme 2 ^N ),

- une maîtrise de la pureté spectrale du signal interpolé,

- une utilisation maximale de la bande utile du signal d’origine, et - une fréquence d'échantillonnage de sortie pouvant être supérieure à la fréquence d’horloge maximale du composant numérique utilisé.

Pour cela, il combine, successivement et de façon optimisée, des techniques d’interpolation connues que sont :

- le sur-échantillonnage et filtrage, par un filtre pouvant être un filtre Fl R ou IIR,

- l’interpolation linéaire, et selon le mode de réalisation,

- l'interpolation par blocage.

Le rapport d’interpolation de chaque étage est déterminé pour maîtriser la pureté spectrale compte tenu du ratio de la bande utilisable à la fréquence d’échantillonnage de l’étage suivant.

A titre d'illustration, trois modes de réalisation sont décrits plus en détails dans la suite du document.

Un premier mode de réalisation, donné à titre d'exemple, présente un interpolateur à rang élevé (4096), comprenant trois étages d'interpolation cascadés.

1- étage d'interpolation 101. de type sur-échantillonnaae et filtrage :

Pour limiter l’ordre (c'est-à-dire la longueur) du filtre du premier étage d'interpolation, on choisit d’utiliser 80% de la bande de Nyquist à la fréquence d'échantillonnage d'entrée (fe). Ainsi, la fréquence passante Fpass du filtre doit valoir Fpass = 0,4/e. Pour optimiser le repliement, il est souhaitable d'avoir une fréquence d'arrêt Fstop symétrique par rapport à Fe/ 2, soit Fstop = 0,6/e.

Un but du premier étage d'interpolation est de monter la fréquence d’échantillonnage à la valeur minimale permettant de ne pas dépasser la largeur de bande utilisable par le deuxième étage d'interpolation linéaire. Comme vu précédemment, et en anticipant une valeur de % élevée, pour atteindre 50dB d'atténuation minimale des répliques périodiques du spectre sur-échantillonné dans le deuxième étage d'interpolation, la bande utile du signal doit être inférieure à 5% de bande relative tolérée par l’étage suivant d'interpolation linéaire.

Ainsi, Fpass doit être inférieure ou égale à 0,05% fe. On en déduit alors = 8.

La valeur de %, ainsi que les valeurs de Fpass et Fstop permettent de déterminer le gabarit du filtre du premier étage d'interpolation, selon des moyens connus de l'homme du métier. Un tel filtre peut être réalisé par exemple avec 80 coefficients. L'implémentation d'un tel filtre est peu coûteuse car il fonctionne à basse fréquence (à la fréquence d’échantillonnage fe ₁ = 8 fe).

2— étage d'interpolation 102. de type interpolateur linéaire :

De manière identique au premier étage de l'interpolateur, et afin de respecter une contrainte d'atténuation supérieure à 50dB des répliques périodiques du spectre dues à l'interpolation, le deuxième étage d'interpolation linéaire monte la fréquence d’échantillonnage à la valeur minimale pour ne pas dépasser les 0,3% de bande relative tolérées par l’étage final d'interpolation par interpolateur bloqueur.

Ainsi, en anticipant une valeur de n ₃ élevée, la bande utile Fpass du signal à interpoler doit être inférieure ou égale à 0,003% % fe, soit n ₂ 16,7. Le deuxième étage d'interpolation peut être réalisé en utilisant un rapport de fréquences % = 17. Cependant, il est préférable d'utiliser une puissance de 2 pour optimiser la parallélisation des calculs dans le composant. On choisira donc n ₂ = 32, qui est la première puissance de 2 supérieure à 16,7.

3— étage d'interpolation 103. de type bloqueur :

Cet étage monte la fréquence d’échantillonnage à la valeur finale Fe. Ainsi, pour n = 4096, et avec = 8 et n ₂ = 32 , on trouve n _s = 16.

L'interpolateur à rang élevé selon ce mode de réalisation présente les caractéristiques suivantes :

- un rapport d’interpolation n = 2 ¹² = 4096 donné par trois étages d'interpolations 101 , 102 et 103 ayant respectivement des rapports d'interpolation valant = 8, n ₂ = 32 et n _s = 16,

- une utilisation de 80% de la bande d'échantillonnage du signal d’entrée,

- une atténuation des répliques périodiques du spectre liées au sur échantillonnage du signal supérieure à 50dB,

- une ondulation dans la bande inférieure à 0,5dB, et

- une phase linéaire.

L'interpolateur proposé dans ce mode de réalisation répond donc à l'ensemble des exigences posées, et peut être implémenté à faible coût dans un composant numérique. L'utilisation d'un FIR dans le premier étage d'interpolation ne pose pas de problèmes d'implémentation car la fréquence d'échantillonnage de sortie de cet étage est faible. Par rapport à un interpolateur "classique" réalisant l'interpolation par 4096 en une seule étape de sur-échantillonnage et filtrage, la complexité du premier étage de l'interpolateur selon l'invention est divisée par un rapport n ₂ n _s grâce à la présence des deux étages suivants. Donc, pour une même bande de transition du filtre et une même atténuation, l'ordre du filtre utilisé, c'est-à-dire son nombre de coefficients, est divisé environ dans le même rapport.

La figure 4 représente trois niveaux de zoom de la réponse en fréquence normalisée d'un l'interpolateur tel que celui décrit ci-dessus, de rang 4096. La valeur 1 correspond à /e.

La représentation 401 est la réponse en fréquence entre la fréquence 0 et la fréquence Fe/2 (2048/e). On peut y voir en particulier que les répliques périodiques du spectre aux alentours des points 256, 512, ..., 2048, qui correspondent au sur-échantillonnage par n ₃ réalisé par le troisième étage d'interpolation, sont bien atténuées de plus de 50dB après leur filtrage par un filtre ayant une réponse fréquentielle en (sin(7r/)/(7r/)) ² .

La représentation 402 est un zoom sur la réponse en fréquence entre la fréquence 0 et la fréquence 4 fe ₁ (soit 32/e). On peut y voir en particulier que les répliques périodiques du spectre aux alentours des points 8, 16, ... 32, qui correspondent aux effets du sur-échantillonnage par n _x et n ₂ des deux premiers étages d'interpolation, -sont bien atténuées de plus de 50dB après leur filtrage par un filtre ayant une réponse fréquentielle

Enfin, la représentation 403 est un zoom sur la réponse en fréquence entre la fréquence 0 et la fréquence fe . On peut y observer que dans la bande d'intérêt du signal d'entrée, qui correspond à 0,4/e, le signal n'est que très peu atténué, alors qu'il est atténué de plus de 50dB dans la bande rejetée, qui démarre à 0,6/e.

Un deuxième mode de réalisation, donné à titre d'exemple, présente un interpolateur dont le rang (32) est inférieur à celui du précédent. Cet interpolateur ne comprend que deux étages d'interpolation cascadés.

1- étage d'interpolation 101. de type sur-échantillonnaae et filtrage : Comme dans l'exemple précédent, afin de limiter l'ordre du filtre d'interpolation du premier étage, 80% de la bande de Nyquist du signal d'entrée est utilisée, soit Fpass = 0,4/e. Pour optimiser le repliement, on choisit également Fstop = 0,6/e. Pour respecter la contrainte de 50dB d'atténuation minimale des répliques périodiques du spectre générées par le sur-échantillonnage du signal dans le deuxième étage d'interpolation linéaire, et en anticipant une valeur de n ₂ élevée, il faut que Fpass £ 0,05 fe, ce qui donne = 8.

Comme précédemment, cette valeur détermine le gabarit du filtre du premier étage d'interpolation, comme par exemple un FIR à 80 coefficients, qui ne pose pas de problèmes d'implémentation particuliers à la fréquence d'échantillonnage fe ₁ .

2— étage d'interpolation 102. de type interpolateur linéaire :

Ce étage monte la fréquence d'échantillonnage à la valeur finale Fe. On a donc nécessairement n ₂ 4.

Dans cet exemple, il n'est pas possible d'implémenter d'étage de type bloqueur car la bande utile Fpass du signal d'entrée serait nécessairement supérieure à 0,3% de la fréquence d'échantillonnage finale, et ne respecterait donc pas la contrainte d'atténuation des répliques périodiques du spectre d'au moins 50dB.

L'interpolateur donné dans ce mode de réalisation possède donc les caractéristiques suivantes :

- un rapport d’interpolation n = 2 ⁵ = 32 donné par deux étages d'interpolations 101 et 102 ayant respectivement des rapports d'interpolation valant = 8 et n ₂ = 4,

- une utilisation de 80% de la bande d'échantillonnage du signal d’entrée, - une atténuation des répliques périodiques du spectre liées au sur échantillonnage du signal supérieure à 50dB,

- une ondulation dans la bande inférieure à 0,5dB, et

- une phase linéaire.

Un troisième mode de réalisation, donné à titre d'exemple et représenté en figure 5, présente un dispositif destiné à moduler un signal C échantillonné à la fréquence Fe par le produit de deux signaux modulants, un premier signal à la fréquence Fe/ 4096 (signal modulant A) et un deuxième à la fréquence Fe/ 32 (signal modulant B). Multiplier le signal A par le signal B et utiliser le produit de ces deux signaux pour moduler le signal C nécessite au préalable l'harmonisation de leur fréquence d'échantillonnage respective. Le mode de réalisation décrit en figure 5 correspond alors à une combinaison des modes de réalisation présentés à deux et trois étages présentés précédemment.

Une manière de réaliser le produit des deux signaux modulants est représentée à la figure 5. Elle consiste à amener le signal modulant A à la fréquence Fe/ 4 par le biais d'un interpolateur à trois étages tel que celui décrit précédemment pour un rapport 4096, et qui comprend un premier étage 501 d'interpolation d'un rapport 8 par sur-échantillonnage et filtrage, un deuxième étage 502 d'interpolation linéaire d'un rapport 32 et un troisième étage 503 d'interpolation par interpolateur bloqueur. Un tel interpolateur respecte l'ensemble des exigences données précédemment en ce qui concerne la préservation du signal dans sa bande utile et l'atténuation des répliques périodiques du spectre générées par le sur-échantillonnage du signal. Le signal modulant B est également amené à la fréquence d'échantillonnage Fe/ 4 par le biais d'un sur-échantillonnage d'un rapport 8 et filtrage. Le produit 505 des deux signaux interpolés à Fe/ 4 est alors réalisé, et le signal résultant est porté à la fréquence d'échantillonnage Fe par un étage d'interpolation linéaire 506 d'un rapport 4. Un tel étage d'interpolation est possible car l'ensemble 504-506 se rapporte au cas de l'interpolateur à deux étages décrit précédemment pour un rapport 32. La bande utile du signal modulant A est très inférieure à celle de B : elle respecte donc nécessairement la contrainte sur la bande d'échantillonnage utilisable par l'étage d'interpolation linéaire 506. Enfin, le produit des deux signaux modulants est utilisé pour moduler 507 le signal C à la fréquence Fe.

L'invention porte également sur un procédé d'interpolation par un rapport n de la fréquence d'échantillonnage d'un signal. Ce procédé réalise les fonctions décrites par le dispositif selon l’invention, et l’ensemble des modes de réalisation décrits en lien avec le dispositif peuvent être appliqués mutatis mutandis au procédé. La figure 6 représente les différentes étapes de ce procédé. Il comprend :

- une première étape 601 d'interpolation du signal d'entrée. Cette interpolation est réalisée par sur-échantillonnage du signal d'entrée par un rapport , n _x étant un sous-multiple de n, puis par le filtrage du signal sur-échantillonné, et

- une deuxième étape 602 d'interpolation par interpolation linéaire du signal résultant de la première étape d'interpolation. L'interpolation linéaire est d'un rapport n ₂ , n ₂ étant un sous-multiple de n.

Selon le mode de réalisation envisagé, le procédé selon l'invention peut ne comprendre que ces deux étapes. Dans ce cas, le rapport d'interpolation total n vaut n = ^■ n ₂ .

Dans un autre mode de réalisation, le procédé selon l'invention comprend une troisième étape 603 d'interpolation du signal résultant de la deuxième étape d'interpolation. L'interpolation se fait par interpolation par bloquage d'un rapport n ₃ , % étant un sous-multiple de n. Dans ce cas, le rapport d'interpolation total n de l'interpolateur vaut n = n ₂ n ₃ .

L'invention porte enfin sur un procédé de dimensionnement d'un interpolateur comprenant plusieurs étages d'interpolation cascadés tel que celui représenté en figure 1.

Lorsque l'interpolateur ne comprend que deux étages, un étage 101 d'interpolation par sur-échantillonnage et filtrage et un étage 102 d'interpolation linéaire, le procédé de dimensionnement selon l'invention comprend :

- une première étape 701 de détermination du rapport d'interpolation du premier étage. Cette détermination se fait à partir :

o d'une largeur de bande utile du signal d'entrée, c'est-à-dire la largeur de bande Fpass du signal d’entrée devant être préservée lors de l’interpolation (par exemple, Fpass = 0,4/e), et

o d'une capacité de l'interpolateur linéaire du deuxième étage à atténuer les répliques périodiques du spectre liées à l'interpolation par le rapport n ₂ , c'est-à-dire la taille des (n ₂ - 1) bandes de fréquences positionnées autour des fréquences fe ,

2 fe , 3 fe , ..., (n ₂ - 1 )fe ₁ garantissant une atténuation donnée (par exemple, choisir de manière à ce que Fpass £ 0,05 fe garantit une atténuation minimale de 50dB des répliques du signal utile autour des zéros de l'interpolateur linéaire), et - une deuxième étape 702 de détermination du rapport d'interpolation du dernier étage de l'interpolateur à partir du ou des rapports d'interpolation des étages le précédant, c'est-à-dire dans le cas d'un interpolateur à deux étages, n ₂ = n/n . Lorsque l'interpolateur comprend trois étages, un étage 101 d'interpolation par sur-échantillonnage et filtrage, un étage 102 d'interpolation linéaire, et un étage 103 d'interpolation par interpolateur bloqueur, le procédé de dimensionnement selon l'invention comprend les deux étapes 701 et 702 décrites précédemment, ainsi qu'une étape intermédiaire 703 de détermination du rapport d'interpolation n ₂ du deuxième étage à partir :

- d'une largeur de bande utile du signal d’entrée, c'est-à-dire la largeur de bande Fpass du signal d’entrée devant être préservée lors de l’interpolation, et

- d'une capacité de l'interpolateur bloqueur du troisième étage à atténuer les répliques périodiques du spectre liées à l'interpolation par le rapport n ₃ , c'est-à-dire la largeur des (n ₃ - 1) bandes de fréquence positionnées autour des fréquences fe ₂ , 2 fe ₂ , 3 fe ₂ , ..., (n ₃ - l)fe ₂ garantissant une atténuation donnée (par exemple, choisir n _x et n ₂ de sorte que Fpass £ 0,003 · h ₁ · h ₂ · fe garantit une atténuation minimale de 50dB des répliques du signal utile autour des zéros de l'interpolateur bloqueur).

Dans ce cas, l'étape 702 de détermination du rapport d'interpolation est réalisée en calculant le rapport n ₃ = n/(n n ₂ ).

Bien que certain modes de réalisation spécifiques aient été décrits par l'intermédiaire d'exemples précis comprenant de nombreux détails, en particulier concernant les caractéristiques des étages d'interpolation comme par exemple les rapports d'interpolation utilisés ou la largeur de la bande utile du signal dont les répliques peuvent être atténués dans des proportions précises par les différents étages d'interpolation, l'invention ne se limite pas à ces réalisations, mais recouvre tous les modes de réalisation pouvant être mis au point par l'homme du métier à la lumière des explications données précédemment dans la présente description.