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Patent Searching and Data


Title:
LOCK-IN AMPLIFIER HAVING OPTIMAL NOISE SUPPRESSION
Document Type and Number:
WIPO Patent Application WO/2021/233985
Kind Code:
A1
Abstract:
The invention relates to a lock-in amplifier, comprising a filter, wherein the filter is designed to filter out a signal from a measurement signal by means of a parameter-dependent filter function, which is limited to a time interval.

Inventors:
WIECK, Andreas (Hattingen, DE)
LUDWIG, Arne (Witten, DE)
HÄGELE, Daniel (Bochum, DE)
Application Number:
PCT/EP2021/063265
Publication Date:
November 25, 2021
Filing Date:
May 19, 2021
Export Citation:
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Assignee:
RUHR-UNIVERSITÄT BOCHUM (Bochum, DE)
International Classes:
G01R19/00; H03D3/24
Attorney, Agent or Firm:
MICHALSKI HÜTTERMANN & PARTNER PATENTANWÄLTE MBB (Düsseldorf, DE)
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Claims:
Patentansprüche

1 Lock-in- Verstärker, aufweisend ein Filter, wobei das Filter ausgebildet ist, ein Signal aus einem Messsignal herauszufiltem mittels einer parameterabhängigen Filter-Funktion, die auf ein zeitliches Intervall begrenzt ist.

2 Lock-In- Verstärker nach dem vorgehenden Anspruch, wobei das Filter ausgebil- det ist, seine Funktion für ein weißes Hintergrundrauschen im Messsignal zu ei- nem Rechteck werden zu lassen.

3. Lock-In- Verstärker nach mindestens einem der vorgehenden Ansprüche, wobei das Filter ausgebildet ist, seine Funktion für ein Rauschen im Messsignal nahe ei- ner Referenzfrequenz zu einer Sinus-Funktion werden zu lassen. 4. Lock-In- Verstärker nach mindestens einem der vorgehenden Ansprüche, wobei das Filter durch ein parameterabhängiges Soft-Rectangle Filter realisiert ist.

5. Lock-In- Verstärker nach mindestens einem der vorgehenden Ansprüche, wobei das Filter, welches ausgebildet ist, ein Signal aus dem Messsignal herauszufiltem mittels der parameterabhängigen Filterfunktion, die auf das zeitliche Intervall be- grenzt ist, mit einem oder mehreren weiteren, von dem Filter verschiedenen Fil- tern in Reihe geschaltet ist.

6 Lock-In- Verstärker nach mindestens einem der vorgehenden Ansprüche 4 oder 5, ausgestaltet mit einer digitalen approximierenden Realisierung des Soft- Rectangle-Filters durch einen iterativen Algorithmus.

7. Lock-In- Verstärker nach Anspruch 6, wobei die digitale approximierende Reali- sierung des Soft-Rectangle-Filters durch den iterativen Algorithmus auf einer analytischen Formel für das Soft-Rectangle Filter beruht, wobei die Formel als Summe von drei komplex-wertigen Filtern interpretierbar ist, wobei die komplex-wertigen Filter alle einzeln über den iterativen Algorith- mus analog zu einer Sliding discrete fourier transform, sliding DFT, realisierbar sind und wobei ß (Beta) eine Verstärkung, - ß (Beta) eine Dämpfung, π (Pi) eine Frequenz mit dem Wert Pi und x mit 0 <= x <=1 eine skalierte Zeit der analytischen Formel ist.

8. Lock-In- Verstärker nach mindestens einem der vorgehenden Ansprüche, ausge- staltet zum Überwachen eines Hintergrundrauschspektrums und zum Anpassen einer Integrationszeit zum Erreichen eines vorgegebenen Signal-zu-Rausch-Ver- hältnis, SNR.

9. Lock-In- Verstärker nach mindestens einem der vorgehenden Ansprüche, ausge- staltet zum Ausgeben von einer Amplitude und/oder einer Phase und/oder Koor- dinaten X und Y von zumindest einer höheren Harmonischen.

10. Lock-In- Verstärker nach mindestens einem der vorgehenden Ansprüche, einstell- bar auf einen Modus, der einen Lock-in- Verstärker mit einem oder mehreren seri- ellen RC-Filtern nachahmt.

11. Lock-In- Verstärker nach mindestens einem der vorgehenden Ansprüche, wobei der Lock-In- Verstärker ausgestaltet ist, zu jedem Messwert einen Fehlerwert aus- zugeben.

12. Lock-In- Verstärker nach mindestens einem der vorgehenden Ansprüche, ausge- staltet zum Ausgeben einer Amplitude, Phase oder Koordinaten X und Y wie ein Lock-In- Verstärker nach einem der vorgehenden Ansprüche und ausgestaltet, si- multan Amplitude, Phase oder Koordinaten X und Y wie ein Lock-In Verstärker mit einem oder mehreren RC-Filtern auszugeben.

Description:
Lock-In- Verstärker mit optimaler Rauschunterdrückung

Die Erfindung betrifft einen Lock-In -Verstärker mit optimaler Rauschunterdrückung.

Ein Lock-in- Verstärker ist ein Verstärker zur Messung eines schwachen elektrischen Wechsel Signals, das mit einem in Frequenz und Phase bekannten Referenzsignal phasen- starr verbunden ist. Ein Lock-In- Verstärker stellt ein schmalbandiges Bandpassfilter dar und verbessert dadurch das Signal-Rausch-Verhältnis.

Lock-In- Verstärker sind weit verbreitet, um kleine Signale über einem rauschenden Hin- tergrund zu messen. Das Signal wird absichtlich periodisch über einen externen Parame- ter in der Zeit moduliert, wobei die Modulation phasenstarr mit einer bekannten Referenz verbunden ist.

Der Lock-In- Verstärker bestimmt die Amplitude des Signals bei der Frequenz der Refe- renz und seine relative Phase zur Referenz. Alle kommerziellen Lock-In- Verstärker ver- wenden eine Filterfunktion, die das Zeitintervall bestimmt, das zur Schätzung von Amplitude und Phase des Signals, bei Verwendung von Polarkoordinaten, beziehungs- weise von X und Y des Signals, bei Verwendung kartesischen Koordinaten, benötigt wird.

Die Filterfunktion eines einfachen RC-Filters ist eine abklingende Exponentialfunktion mit einer Zeitkonstante. Der Lock-In-Ausgang zum Zeitpunkt t enthält daher auch Bei- träge des Signals, die mehreren Zeitkonstanten vor der Zeit t am Eingang anlagen. Insbe- sondere erreichen die RC -basierten Filterfunktionen nie einen konstanten Nullwert. Unter einem RC-Filter versteht man Schaltungen, die aus einem ohmschen Widerstand R, für das englische Wort „resistor“, und einem Kondensator C, für das englische Wort „capaci- tor“, aufgebaut sind. In modernen Lock-In- Verstärkern werden RC-Filter digital reali- siert.

US 2017/153279 Al betrifft einen Lock-In- Verstärker enthaltend einen Taktsignalgene- rator, der so konfiguriert ist, dass er ein erstes Demodulationstaktsignal und ein zweites Demodulationstaktsignal mit einer Phasendifferenz von 90 Grad und derselben Demodu- lationsfrequenz erzeugt; und einen Detektor, der so konfiguriert ist, dass er auf der Grundlage eines Eingangssignals, des ersten Demodulationstaktsignals und des zweiten Demodulationstaktsignals eine Offset- Spannung entsprechend einem Offset des Lock-In- Verstärkers in einem ersten Betriebsmodus bereitstellt und eine erste Ausgangsspannung und eine zweite Ausgangsspannung bereitstellt, von denen jede einer Demodulationsfre- quenzkomponente des Eingangssignals in einem zweiten Betriebsmodus entspricht.

EIS 2014/218103 Al betrifft eine Kombination aus einer Lock-In- Verstärkereinheit und einer phasensynchronen Verarbeitungseinheit. Diese Kombination führt zu einer Vielzahl von Möglichkeiten der Signalanalyse und -aufbereitung. Zu diesen Möglichkeiten gehö- ren unter anderem (i) die Extraktion von Zeitbereichseigenschaften des Eingangssignals, (ii) die Extraktion statistischer Eigenschaften des Eingangssignals, (iii) die Extraktion von Frequenzbereichseigenschaften des Eingangssignals und (iv) die Vorkonditionierung des Lock-In-Eingangssignals.

DE 102007 015 913 Al betrifft einen Lock-In -Verstärker, der eine Steuergröße ermit- telt, um die Integrationsdauer T oder Zeitkonstante anzupassen. Die Druckschrift hat kei- nen Bezug zur Optimierung von Rauschunterdrückung mittels eines geeignet geformten Filters. Das Signal-zu-Rauschverhältnis wird ausschließlich durch die Verlängerung der Integrationsdauer verbessert.

Die Publikation Ayat M. [u. a.]: „Design of Multiple Modulated Frequency Lock-In Amplifier for Tapping-Mode Atomic Force Microscopy Systems“, IEEE Transactions On Instrumentation And Measurement; Vol. 65; Nr. 10; 2016; S. 2284 - 2292 betrifft ei- nen Lock-In- Verstärker, der ein einfaches „moving-average-Filter“ mittels einer kaska- dierten Kammstruktur realisiert. Dieses Rechteckfilter wird in der Länge aber nicht in der Form verändert und bietet keine Möglichkeit die RMS-Schmalbandigkeit für eine vorge- gebene Integrationszeit zu verbessern.

MATLAB: Tukey (tapered cosine) window bezieht sich auf eine Dokumentation der Syntax „w = tukey win(L,r)“ von MATLAB. ZÜRICH INSTRUMENTS: Principles of lock-in detection and the state of the art; White Paper, November 2016 beschreibt die Funktionsweise von Lock-In Verstärkern.

Ein ernsthaftes Problem entsteht, wenn ein externer Parameter des Experiments geändert wird, für das der Lock-In- Verstärker verwendet wird. Die neue Lock-In-Ausgabe wird immer unerwünschte Beiträge des Signals aus Zeiten vor der Änderung des externen Pa- rameters enthalten. Üblicherweise werden RC -basierte Filter verwendet und es wird um eine Zeitspanne entsprechend mehreren Zeitkonstanten abgewartet, bis die Kontamina- tion durch das vorherige Signal unter einem gewissen Wert liegt.

Davon ausgehend ist es die Aufgabe der Erfindung, eine unnötige Erhöhung der Messzeit zu vermeiden.

Diese Aufgabe wird durch den Gegenstand des Patentanspruchs 1 gelöst. Bevorzugte Weiterbildungen finden sich in den Unteransprüchen.

Erfmdungsgemäß ist ein Lock-in- Verstärker angegeben, aufweisend ein Filter, wobei das Filter ausgebildet ist, ein Signal aus einem Messsignal herauszufiltern mittels einer para- meterabhängigen Filter-Funktion, die auf ein zeitliches Intervall begrenzt ist. Die Wahl des Parameters erlaubt es dem Benutzer zwischen einem Rechteckfilter und einem Sinus- filter zu interpolieren und damit eine optimale Unterdrückung für Rauschsituationen zu erhalten, die zwischen den Extremfällen von breitbandigem beziehungsweise schmalban- digem Rauschen liegen. Mit Vorteil kann durch ein Filter des erfindungsgemäßen Lock- in- Verstärkers ein Messsignal ohne Verzögerung gemessen werden.

Grundidee der Erfindung ist es also, Filter zu verwenden, die nach einiger Zeit den kon- stanten Wert Null annehmen. Solche Filter werden als Filter mit endlicher Impulsantwort (FIR-Filter) bezeichnet. Der erfindungsgemäße Lock- In- Verstärker ermöglicht, eine Kontamination durch ein Vorgängersignal vollständig zu vermeiden. Der Lock-In-Ver- stärker mit dem erfmdungsgemäßen Filter ist ein bestmöglicher Kompromiss aus Filtern, die eine sehr gute Unterdrückung von weißem Hintergrundrauschen bieten, und Filtern mit einem schmalen Frequenzgang darstellen. Ein spektral schmales Filter unterdrückt starke Störsignale bei Frequenzen nahe der Signalfrequenz. Es wird eine gute Fre- quenzauflösung bei guter Rauschunterdrückung erreicht.

Die Verwendung optimaler Filter bevorteilt einen Zeitgewinn um bis zu einem Faktor von etwa 3.4. Weiterhin gilt, dass mit längerer Messzeit pro Sweep-Parameter ein besse- res Signal-zu-Rausch Verhältnis generiert werden kann.

Gemäß einer modifizierten Ausführungsform der Erfindung ist vorgesehen, dass das Fil- ter ausgebildet ist, seine Funktion für ein weißes Hintergrundrauschen im Messsignal zu einem Rechteck werden zu lassen. In dieser Weise kann mit Vorteil ein Großteil des wei- ßen Hintergrundrauschens aus dem aufgenommen Messsignal herausgefiltert werden.

Gemäß einer modifizierten Ausführungsform der Erfindung ist vorgesehen, dass das Fil- ter ausgebildet ist, seine Funktion für ein Rauschen im Messsignal nahe einer Referenz- frequenz zu der Sinus-Funktion werden zu lassen. Mit Vorteil kann somit zielgerichtet bei Frequenzen nahe der Referenzfrequenz ein schmalbandiges Filter angewandt werden.

Gemäß einer modifizierten Ausführungsform der Erfindung ist vorgesehen, dass das Fil- ter durch ein parameterabhängiges Soft-Rectangle Filter realisiert ist. Ein Soft-Rectangle- Filter, zu Deutsch: „Soft-Rechteck"-Filter, oder weiches Rechteckfilter, ist ein Filter mit endlicher Impulsantwort (FIR-Filter). Hierbei kann vorgesehen sein, dass die Filter- Funktion des Filters einen Verlauf eines Rechtecks mit abgerundeten Kanten hat, wobei eine Abrundung der Kanten sich mit einer Zunahme eines Anteils eines Hintergrundrau- schens, verringert, und wobei sich die Abrundung der Kanten mit einer Nähe eines Rau- schens nahe der Referenzfrequenz vergrößert. Beispielsweise kann das Rechteck-Filter (alpha=0) bei einem weißen Rauschen angewandt werden. Wenn das Störsignal schmal - bandig ist, kann auch das Soft-Rectangle-Filter schmalbandiger gewählt werden (Para- meter alpha > 0), um das Störsignal spektral zu separieren. Mit Vorteil realisiert das Soft- Rectangle Filter für eine vorgegebene Unterdrückung von weißem Rauschen immer eine bessere RMS Schmalbandigkeit als ein Tukey-Filter und alle anderen denkbaren FIR-Fil- ter. Diese Eigenschaft wird durch eine Optimierungsmethode erreicht, wobei bezüglich einem Ausführungsbeispiel der Optimierung auf Gleichung (41) dieses Beschreibungs- textes verwiesen wird. Bei dem Soft-Rectangle-Filter erfolgt somit gemäß diesem Ausfühmngsbeispiel die Berechnung der Filterfunktion unter Verwendung von Matrixbe- rechnungen. Eine analytische Formel für das Soft-Rectangle-Filters erlaubt eine schnelle und direkte Berechnung ohne Verwendung von Matrixberechnungen, wobei auf den Be- schreibungstext verwiesen wird.

Gemäß einer modifizierten Ausführungsform der Erfindung ist vorgesehen, dass das Fil- ter, welches ausgebildet ist, ein Signal aus dem Messsignal herauszufiltem mittels der pa- rameterabhängigen Filterfunktion, die auf das zeitliche Intervall begrenzt ist, mit einem oder mehreren weiteren, von dem Filter verschiedenen Filtern in Reihe geschaltet ist.

Beispielsweise kann vorgesehen sein, dass das Filter, welches ausgebildet ist, ein Signal aus dem Messsignal herauszufiltern mittels der parameterabhängigen Filterfunktion, die auf das zeitliche Intervall begrenzt ist, ebenfalls ausgebildet ist, seine Funktion für ein weißes Hintergrundrauschen im Messsignal zu einem Rechteck werden zu lassen. Vor dieses Filter kann ein Filter in Reihe geschaltet sein, welches ausgebildet ist, eine zu ver- arbeitende Datenmenge des Messsignals zu reduzieren.

In anderen Worten kann das vorgeschaltete Filter ausgebildet sein, Fluktuationen in den Messdaten zu verringern. Dieses Filter ist als eine Art „Decimation-Filter“ ausgebildet.

In anderen Worten, Fluktuationen in den Messdaten nach dem ersten Filter werden lang- samer, so dass die hohe Datenrate des Eingangs nach dem Filter reduziert werden kann (in Englisch: decimation). Das auf das Decimation-Filter folgende Filter, welches bei- spielsweise das Soft-Rectangle-Filter ist, kann mit einem langsameren Algorithmus und mit geringerem Speicheraufwand realisiert werden.

Auch kann beispielsweise vorgesehen sein, dass das Filter, welches ausgebildet ist, ein Signal aus dem Messsignal herauszufiltern mittels der parameterabhängigen Filterfunk- tion, die auf das zeitliche Intervall begrenzt ist, ebenfalls ausgebildet ist, seine Funktion für ein weißes Hintergrundrauschen im Messsignal zu einem Rechteck werden zu lassen. Vor dieses Filter kann ein Filter in Reihe geschaltet sein, welches ausgebildet ist, eine zu verarbeitende Datenmenge des Messsignals zu reduzieren. Die obigen Ausführungen zu dem Filter, welches Fluktuationen in den Messdaten reduziert, gelten für dieses Beispiel analog. Auch kann beispielsweise vorgesehen sein, dass das Filter, welches ausgebildet ist, ein Signal aus dem Messsignal herauszufiltern mittels der parameterabhängigen Filterfunk- tion, die auf das zeitliche Intervall begrenzt ist, und dass das Filter durch ein parameter- abhängiges Soft-Rectangle Filter realisiert ist. Vor dieses Filter kann ein Filter in Reihe geschaltet sein, welches ausgebildet ist, eine zu verarbeitende Datenmenge des Messsig- nals zu reduzieren. Die obigen Ausführungen zu dem Filter, welches Fluktuationen in den Messdaten reduziert, gelten für dieses Beispiel analog.

Bei allen zuvor beschriebenen Ausführungsformen kann der Berechnungsaufwand für die Filterung verkleinert werden. Die zuvor beschriebenen Beispiele beziehen sich auf zwei in Reihe geschaltete Filter. Es ist denkbar, dass weitere Filter hierzu in Reihe ge- schaltet werden.

Gemäß einer modifizierten Ausführungsform der Erfindung ist vorgesehen, dass das Fil- ter ausgestaltet ist mit einer digitalen approximierenden Realisierung des Soft-Rectangle- Filters durch einen iterativen Algorithmus, wobei auf den Beschreibungstext verwiesen wird. Mit Vorteil kann eine Rechenzeit bei der Anwendung des Soft-Rectangle-Filters auf die Messwerte erheblich verkürzt werden gegenüber einer gewöhnlichen Berechnung über eine Faltungssumme. Unter Umständen ist in einem solchen Fall eine Reihenschal- tung mehrerer Filter, beispielsweise eines Filters zur Reduzierung der Datenmenge vor ein Soft-Rectangle-Filter, nicht mehr erforderlich, um den Berechnungsaufwand gering zu halten. Betreffend eine mögliche Ausführungsform zu einer approximierenden Reali- sierung des Soft-Rectangle-Filters durch einen iterativen Algorithmus wird auf die Glei- chungen (42) bis (44) und die zugehörigen Ausführungen verwiesen.

Gemäß einer modifizierten Ausführungsform der Erfindung ist vorgesehen, dass die digi- tale approximierende Realisierung des Soft-Rectangle-Filters durch den iterativen Algo- rithmus auf einer analytischen Formel für das Soft-Rectangle Filter beruht. In der obigen Formel ist ß (Beta) eine Verstärkung und - ß (Beta) eine Dämpfung. Wei- terhin ist p (Pi) eine Frequenz mit dem Wert Pi und x mit 0 <= x<= 1 ist die skalierte Zeit einer Filterfunktion. Diese Filterfunktion ist die zuvor beschriebene analytische Formel.

Die Formel ist als Summe von drei komplex-wertigen Filtern interpretierbar, wobei die komplex-wertigen Filter alle einzeln über einen effizienten iterativen Algorithmus analog zu einer Sliding discrete fourier transform, sliding DFT, realisierbar sind. Bezüglich der Sliding DFT wird auf die Ausführungen aus der Veröffentlichung von Jacobsen, E. und Lyons, R. zu The Sliding DFT in IEEE SIGNAL PROCESSING MAGAZINE (März 2003), Seiten 74 bis 80 verwiesen. Hierbei entspricht die Gleichung 7 aus dieser Veröf- fentlichung der Gleichung (44).

Gemäß einer modifizierten Ausführungsform der Erfindung ist vorgesehen, dass der Lock-In- Verstärker ausgestaltet ist zum Überwachen eines Hintergrundrauschspektrums und zum Anpassen einer Integrationszeit an ein zu erreichendes Signal-zu-Rausch-Ver- hältnis (SNR).

Gemäß einer modifizierten Ausführungsform der Erfindung ist vorgesehen, dass der Lock-In- Verstärker ausgestaltet ist, zu jedem Messwert einen Fehlerwert auszugeben. Hiermit kann beispielsweise die Qualität der Methode und der Messdaten beurteilt wer- den. Dabei sei anzumerken, dass das RC-Filter nach Stand der Technik neben einem sta- tistischen Fehler einen systematischen Fehler enthält, welcher von den vorherigen Mess- werten abhängt. Die erfmdungsgemäße Methode erzeugt allerdings ausschließlich statis- tische Fehler.

Gemäß einer modifizierten Ausführungsform der Erfindung ist vorgesehen, dass der Lock-In- Verstärker ausgestaltet ist zum Ausgeben von einer Amplitude und/oder einer Phase und/oder Koordinaten X und Y von zumindest einer höheren Harmonischen. Für bestimmte Experimente, z. B. betreffend das Quantentunneln oder Wärmemessungen, ist die Auswertung auch von höheren Harmonischen erforderlich. Die höheren Harmoni- schen können somit zusammen mit der „Grund-Harmonischen“ aufgenommen werden und es müssen keine Messungen zu diesem Zweck wiederholt werden. Es sei klargestellt, dass das Ausgeben zumindest einer Harmonischen ausdrücklich das Ausgeben einer Vielzahl von Harmonischen je nach Bedarf, d. h. je nach Experiment, ausdrücklich um- fasst.

Gemäß einer modifizierten Ausführungsform der Erfindung ist vorgesehen, dass der Lock-In- Verstärker einstellbar ist auf einen Modus, der einen Lock-in- Verstärker mit ei- nem oder mehreren seriellen RC-Filter nachahmt. Insbesondere ist der Lock-In- Verstär- ker ausgebildet, mit den RC-Filtern gleichzeitig zu messen wie mit dem erfindungsgemä- ßen Filter oder einem Filter nach einer modifizierten Ausführungsform oder einer Kom- bination hiervon.

Gemäß einer modifizierten Ausführungsform der Erfindung ist vorgesehen, dass der Lock-In- Verstärker ausgestaltet ist zum Ausgeben einer Amplitude, Phase oder Koordi- naten X und Y wie ein Lock-In- Verstärker nach einer der vorgehenden modifizierten Ausführungsformen oder gemäß der Erfindung und ausgestaltete ist, simultan Amplitude, Phase oder Koordinaten X und Y wie ein Lock-In Verstärker mit einem oder mehreren RC-Filtern auszugeben.

Bei den vorbeschriebenen RC-Filtern kann es sich um solche mit mehreren Filterstufen handeln.

In den Zeichnungen zeigen

Fig. 1 schematisch eine zeitliche Antwortfunktion von einem, zwei, drei und vier sequenziell verwendeten RC-Filtern;

Fig. 2 schematisch eine Charakteristik eines Soft-Rectangle-Filters für ver- schiedene Parameterwerte Alpha;

Fig. 3 schematisch Verlaufskurven für eine RMS Bandbreite eines Tukey-

Fenster-Filters und eines Soft-Rectangle-Filters für verschiedene Werte des Parameters alpha N zur Unterdrückung des weißen Rau- schens (white noise Suppression parameter) und Fig: 4 schematisch zeitliche Verlaufskurven für einen Lock-In-Output eines

24 dB RC-Filters und eines Soft-Rectangle-Filters. RC-Filter

Fig. 1 zeigt schematisch eine zeitliche Antwortfunktion von einem, zwei, drei und vier sequenziell verwendeten RC-Filtern. Hierbei wird eine Gewichtung des Messignals in der Vergangenheit aufgrund verschiedener RC-Filterstufen dargestellt. Die Vergangen- heit bezieht sich auf eine Zeit vor dem Zeitpunkt der Messung, welcher in dem Graph der Fig. 1 am Punkt „0“ in der x-Achse angezeigt ist. Der Graph der Fig. 1 geht bis 10 Zeit- konstanten in die Vergangenheit, um zu veranschaulichen wie viel Signal aus der Ver- gangenheit bei den verschiedenen Filterstufen mitgemessen wird. Es entspricht die Ver- laufskurve mit dem Bezugszeichen „A“ einer zeitlichen Antwortfunktion von einem ver- wendeten RC-Filter von 6 dB. Die Verlaufskurve mit dem Bezugszeichen „B“ entspricht einer zeitlichen Antwortfunktion von zwei sequenziell verwendeten RC-Filtern von je- weils 6 dB, d. h. insgesamt von 12 dB. Die Verlaufskurve mit dem Bezugszeichen „C“ entspricht einer zeitlichen Antwortfunktion von drei sequenziell verwendeten RC-Filtern von jeweils 6 dB, d. h. insgesamt von 18 dB. Die Verlaufskurve mit dem Bezugszeichen „D“ entspricht einer zeitlichen Antwortfunktion von vier sequenziell verwendeten RC- Filtern von jeweils 6 dB, d. h. insgesamt von 24 dB.

Ein einfacher analoger Lock-In- Verstärker realisiert ein Tiefpassfilter mit einem Konden- sator, der vom Eingangssignal x(t) über einen Widerstand aufgeladen wird. Der Filteraus- gang y(t) erfüllt die Differentialgleichung

(1)

Hierbei ist g (Gamma) eine Konstante. Für konstantes x(t) = xo finden wir für große Zeitspannen t. Die allgemeine Lösung ist durch eine Faltung gegeben:

(2) mit der Filterfunktion io

(3) wobei Θ(t) (Theta(t)) die Heaviside-Funktion (Einheitssprungfunktion) ist. Die Funktion fällt mit der Zeitkonstanten T_LI = gamma ^ (-l) exponentiell ab. Die Funktion f(t) hat eine auf 1 normierte Fläche

(4)

Die Fourier-Transformation von f(t) ist

(5) Das durch f(Q) (f(Omega)) realisierte Filter wird oft als 6dB-Filter bezeichnet, da seine Steilheit mit etwa 6dB pro Oktave abfällt:

(6)

Daher wird definiert:

(7)

Die Ausgabe y2(t) mit zwei aufeinanderfolgenden 6dB Filtern ist gegeben durch:

(8) wobei eine Berechnung ergibt:

B)

Für drei und vier aufeinander folgende Filter erhält man:

(10)

(11)

Das Integral jeder Filterfunktionen ergibt eins. Das Standford Research Handbuch für den SR830 Lock-In Verstärker empfiehlt für den 6dB Filter eine Wartezeit (12) für die Messung, damit sich ein vertrauenswürdiger Wert von y(t) einstellen kann. Gene- rell hängt eine sinnvolle Wartezeit vom Typ der Filter ab.

Der Fehler einer Lock-In-Messung

Die Ausgabe y(t) soll eine Schätzung für den Durchschnittswert xflj sein. Der Durch- schnittswert von y(t) ist (13) was bedeutet, dass y(t) ein erwartungstreuer Schätzer von <x(t)> für jede Filterfunktion mit Flächen eins ist. Die Varianz σ y 2 (Sigma_y ^ 2) von y(t) ist ein Maß für den Fehler der Messung. Die Varianz lässt sich am besten im Frequenzraum interpretieren

(14)

Man beachte, dass das Spektrum S auf Kumulanten basiert. Für einen Rauschhintergrund mit weißem Spektrum (so genanntes weißes Rauschen) S x (Ω) (S_x(Omega)) = So findet man

(15) wobei ω enbw (Omega_{enbw}) die sogenannte äquivalente Rauschbandbreite ist, die eine wichtige Größe in der Signalverarbeitung darstellt. Für findet man: (16) d.h. die Varianz verbessert sich linear mit der Zeitkonstante (17) des Lock-In- Verstärkers. Die Varianzen für die höherwertigen 12dB, 18dB und 24dB

Filter sind

In einem tatsächlichen Experiment führt eine längere Wartezeit T W zu weniger Rau- sehen σ y 2 (Sigma_y ^ 2) da

(19)

Folglich verhält sich die Varianz wie

(20) wobei die folgende dimensionslose Größe eingeführt wird:

(21)

Die Größe (α N (Alpha N) ist entscheidend für den Vergleich verschiedener Arten von Fil- tem. α N (Alpha_N) wird im Kontext dieser Anmeldung als "Rausch-Zeit- Bandbreitenprodukt" bezeichnet. Je kleiner α N (Alpha_N) für einen zu charakterisieren- den Filter ist, desto stärker ist die Unterdrückung eines weißen Hintergrundrauschens. Der Wert von (α N hängt nur vom Verhältnis von Tw und Tu ab, da ω enbw (Omega_{enbw}) mit Tu -1 skaliert.

Die Wartezeiten von bekannten RC-Filtern auf das Einschwingen auf 99% und 95% des Endwertes sind in den Spalten zwei und drei der Tabelle 1 in Einheiten der Zeitkonstante g '1 (Gamma A {-l}) angegeben. Die Rausch-Zeit-Bandbreitenprodukte α N (Alpha_N) sind in den Spalten vier und fünf angegeben.

Tabelle 1: Eigenschaften von Filtern (RC, Butterworth, und Zeit-Rechteck).

Bei besseren Lock-In- Verstärkern des Standes der Technik finden Benutzer beispiels- weise die niedrigsten α N (Alpha_N) = 1.570 für ein 24dB Filter. Um eine etwa gleich starke Unterdrückung des weißen Rauschens zu erreichen, ist es bei anderen Lock-In- Verstärkern des Standes der Technik notwendig, eine längere Wartezeit hinzunehmen.

Für ein 6dB RC-Filter wäre die Wartezeit beispielsweise 2.303/1.570, d. h. etwa 1.47- fach, länger gegenüber eines 24dB-Filters eines besseren Fock-In- Verstärkern, wobei Be- nutzer zusätzlich unter einer schlechteren Seitenbandunterdrückung durch das 6dB RC- Filter im Vergleich zum 24dB RC-Filter leiden.

Als nächstes zeigen wir, dass ein einfaches Rechteck-Filter (22)

(und sonst Null) eine viel besseres Rausch-Zeit-Bandbreitenprodukt alpha N ergibt als die oben genannten RC-Filter oder Butterworth-Filter. Man findet für die Varianz des Rechteck-Filters

(23)

Nach einer Wartezeit Tw = T r hat das Filter bereits 100% des Endwertes abgedeckt (d.h. der Filter ist auf Null abgeklungen) und das Rausch-Zeit-Bandbreitenprodukt wird

(24) was einer Verbesserung von etwa einem Faktor 2.3 gegenüber z.B. dem 99% Fall des 6dB Filters entspricht.

Soft-Rectangle-Filter zur Verwendung in Lock-In- Verstärkern

Es wird eine Familie von Filtern hergeleitet, die das Fenster mit der geringsten Rausch- zeitbandbreite und das Fenster mit der geringsten RMS-Bandbreite enthalten. Ein Filter- Parameter α (Alpha) wird so definiert, dass die Fenster f(α) (f_{Alpha}(t)) für α (Alpha) = 0 und α (Alpha) = 1 diesen beiden Fällen entsprechen und alle anderen Fenster für 0<a<l glatt zwischen ihnen interpolieren. Wir führen eine Funktion g(t) mit

(25) ein, wobei g(t) so normalisiert wird, dass

(26)

Die Flächeneinheitsbedingung für f(t) wird

(27) und das auf Tw =1 und So normierte Rausch-Zeit-Bandbreitenprodukt wird

(28)

Die RMS-Bandbreite ist gegeben durch

(29)

Ein kleines RauschproduktI I 2 erfordert ein kleines k (Kappa), das für ein großes Integral F 1 erhalten wird (30)

Das Funktional

(31) wird nun durch Variation von g(t) und unter Einhaltung der Bedingung (27) minimiert. Die Minimierung von

(32) anstatt von

(33) erlaubt es beide Terme von in Gleichung (32) als quadratische Formen auszudrücken. Das Problem wird diskretisiert, um es numerisch zu lösen. Mit

(34) wobei

(35) und unter Verwendung von Starosielecs Matrix P 2 (siehe S. Starosielec and D. Hägele, „Discrete-time Windows with minimal RMS bandwidth for given RMS temporal width“, Signal Processing (Elsevier), vol. 102, pp. 240, 2014): (36) um I 3 auszudrücken, findet man

(37) mit der Nebenbedingung

(38) wobei R eine NxN- Matrix ist, die mit 1 in j edem Eintrag gefüllt ist. Die Methode der Langrange-Multiplikatoren wird verwendet, um die Nebenbedingung in ein einziges Mi- nimierungsproblem einzubeziehen

(39) bei dem g v (g_Nü) und der Langrange-Multiplikator l (Lambda) variiert werden. Verschwindende Ableitungen von £ in Bezug auf g v (g_Nü) führen zu der notwendigen Bedingung (40) was ein Eigenwertproblem für darstellt. Der Eigenvektor (Alpha) mit dem nied- rigsten Eigenwert ergibt den gewünschten FIR-Filter f α (t) (f_Alpha(t)) mit

(41)

Fig. 2 zeigt die (FIR) Soft-Rechteck-Filter, die zwischen einem Rechteck für α (Alpha) = 0 und einem Sinus-Fenster für α (Alpha) = 1 interpolieren. Die zeitlichen Verläufe der Funktion des Soft-Rechteck-Filters sind hierbei normiert. Es entspricht die Verlaufskurve mit dem Bezugszeichen „E“ einer Amplitude einer Funktion eines Soft-Rechteck-Filters für α (Alpha) = 0. Die Verlaufskurve mit dem Bezugszeichen „F“ entspricht einer Amplitude einer Funktion eines Soft-Rechteck-Filters für α (Alpha) = 0,0001. Die Ver- laufskurve mit dem Bezugszeichen „G“ entspricht einer Amplitude einer Funktion eines Soft-Rechteck-Filters für α (Alpha) = 0,001. Die Verlaufskurve mit dem Bezugszeichen „H“ entspricht einer Amplitude einer Funktion eines Soft-Rechteck-Filters für α (Alpha) = 0,01. Die Verlaufskurve mit dem Bezugszeichen „I“ entspricht einer Amplitude einer Funktion eines Soft-Rechteck-Filters für α (Alpha) = 1.

Das Erscheinen eines Sinus-Fensters ist vorteilhaft, denn dieses besitzt die bestmögliche RMS-Frequenzbandbreite eines FIR-Filters (vergleiche Starosielec und Hägele in Signal Processing 2014). Das Rausch-Zeit-Bandbreitenprodukt (XN (Alpha N) ergibt 1.0 für das Rechteck und Pi ^ 2/8, was etwa 1.234 entspricht, für das Sinusfilter. Ein kleineres (α N (Al- pha_N) bedeutet dabei eine bessere Unterdrückung von weißem Rauschen. (α N (Alpha_N) sollte nicht mit dem Parameter α (Alpha) des Soft-Rectangle-Filters verwechselt werden.

Für α (Alpha) zwischen 0 und 1 gibt es einen weichen Übergang vom scharfen Rechteck zur Sinuskurve. Die tatsächliche Einstellung von α (Alpha) in einem zukünftigen Lock- In-Verstärker orientiert sich am Charakter des Hintergrundrauschens. Ein weißer Rausch- untergrund wird am besten von der Rechteckform unterdrückt. Ein spektral enges Rauschen nahe der Referenzfrequenz wird am besten von dem spektral engere Sinusfilter unterdrückt.

Fig. 3 zeigt schematisch Verlaufskurven für die RMS Bandbreite (sigma omega in Ein- heiten von (1/T_W)) der Tukey-Fenster-Filter und der Soft-Rectangle-Filter aufgetragen über die verschiedenen Werte ihrer Parameter alpha N, welche die Unterdrückung des weißen Rauschens charakterisieren (white noise Suppression parameter). Figur 3 dient zum Vergleich der Leistungsfähigkeit der Tukey-Filter mit den erfindungsgemäßen Soft- Rectangl e-Filtem .

In der Figur 3 ist ein Vergleich von Tukey-Filtem und Soft-Rectangle-Filtern gezeigt. Das Verhalten der Tukey-Filter für verschiedene alpha N ist in gestrichelten Linien dar- gestellt und die entsprechende Verlaufskurve ist mit dem Bezugszeichen „J“ versehen. Das Verhalten der Soft-Rectangle-Filter für verschiedene alpha N ist mit durchgezoge- ner Linie dargestellt und die entsprechende Verlaufskurve ist mit dem Bezugszeichen „K“ versehen. Das Soft-Rectangle Filter umfasst in diesem Ausführungsbeispiel für ei- nen Parameter das cosine-window (Cosinusfilter). Das Tukey-Filter umfasst für einen Parameter das Hann-window (Cosinusquadrat-Fenster). Der Vergleich zeigt die RMS (root mean square) Bandbreite (Schmalbandigkeit) für ein vorgegebenes alpha N der Unterdrückung von weißem Rauschen. Hierbei sind eine kleine Bandbreite und ein klei- nes alpha_N günstiger.

Aus der Figur ist ersichtlich, dass das Soft-Rectangle-Filter für verschiedene Parameter des Filters immer ein besseres Verhalten als das Tukey-Filter zeigt. Dabei ist das Tukey (tapered cosine) window bzw. Filter ein endliches Filter, das parameterabhängig zwi- schen einem Rechteckfilter und einem Cosinusquadrat-Filter interpoliert. Es besitzt für eine vorgegebene Integrationsdauer und Unterdrückung von weißem Rauschen immer eine schlechtere RMS Bandbreite als das Soft-Rectangle-Filter. Das Rechteckfilter wird für alpha N = 1 erreicht und besitzt eine divergierende RMS Bandbreite.

In Fig. 4 ist ein zeitlicher Verlauf für einen Lock-In-Output (zu Deutsch: „Lock-In Aus- gang“) eines 24 dB RC-Filters verglichen mit einem zeitlichen Verlauf für einen Lock- In-Output eines Soft-Rectangle-Filters dargestellt. Hierbei ist der Lock-in-Ausgang nach einem Schaltvorgang im Experiment dargestellt. Das zeitliche Verhalten des Soft- Rectangle-Filters ist mit durchgezogener Linie dargestellt und die entsprechende Ver- laufskurve ist mit dem Bezugszeichen „M“ versehen. Das zeitliche Verhalten des RC-Fil- ters mit 24 dB ist mit gestrichelter Linie dargestellt und die entsprechende Verlaufskurve ist mit dem Bezugszeichen „L“ versehen. Das Soft-Rectangle-Filter ist bei gleichem Rauschpegel s (sigma) im Ausgang 1,52-mal schneller als ein 24dB-RC -Filter. Es ist so- gar 2,4-mal schneller als ein 6dB-RC -Filter und 3,2-mal schneller als ein Butterworth- Filter vierter Ordnung.

Soft-Rectangle-Filter zur Verwendung in Lock-In- Verstärkern

Die gebräuchlichsten digitalen Lock-in- Verstärker (Firmen Zürich Instruments und Stan- ford Research) verwenden RC-Filter (6dB bis 48dB) oder (Firma Anfatec) Butterworth Filter (6dB, 12dB und 24dB). Alle Filter haben eine unendliche Impulsantwort (englisch: „infinite impulse response“, oder abgekürzt „IIR“) mit langen Wartezeiten und subopti- maler Unterdrückung von weißem Hintergrundrauschen. Die Firma Zürich Instruments benutzt zur Berechnung des Ausgangs X[n] eines 6dB RC-Filters aus dem Filtereingang s[n], einen üblichen Iterationsalgorithmus X[n] = exp(-TS/TN)*X[n-l] + (1- exp( - TS/TN))*s[n] (siehe MFLI User Manual, Zürich Instruments AG, Revision 20.07.0, Seite 319). TS bezeichnet die Zeit zwischen zwei Datenpunkten. TN bezeichnet die Zeitkon- stante des RC-Filters. Allgemeine Filter f[n] der Länge N können immer durch einen nu- merisch aufwändigeren Faltungsalgorithmus realisiert werden ( X[n] = Summe(s[n- j]*f[j], j=0,. . . , N-l)). Das Soft-Rectangle Filter kann mit einem Faltungsalgorithmus oder mit einem schnelleren Iterationsalgorithmus realisiert werden.

Insbesondere ist der Lock-In- Verstärker ausgestaltet mit einer digitalen approximieren- den Realisierung des Soft-Rectangle-Filters durch einen iterativen Algorithmus. Eine mögliche Ausführungsform für eine solche approximierende Realisierung des Soft- Rectangle-Filters durch einen iterativen Algorithmus ist nachfolgend beschrieben. Allgemeine Filter f[n] der Länge N können immer durch einen numerisch aufwändigeren Faltungsalgorithmus realisiert werden (X[n] = Summe(s[n-j]*f[j], j=0,. . . , N-l)), bzw. (42) mit Eingangssignal ξ (xi) und Ausgangssignal X. Der Berechnungsaufwand steigt linear mit der Filterlänge N.

Das Soft-Rectangle Filter kann mit einem Faltungsalgorithmus oder mit einem schnelle- ren Iterationsalgorithmus realisiert werden. Der Rechenaufwand ist für den folgenden Ite- rationsalgorithmus unabhängig von N und damit sehr effizient.

Die einmalige Berechnung des Soft-Rectangle-Filters aus der Lösung von Gleichung (40) ist numerisch relativ aufwändig. Eine genaue Betrachtung der Soft-Rechteck-Filter für verschiedene Werte von Alpha ergibt, dass sich alle Filter für kleine Alpha zu frühen Zei- ten exponentiell dem Plateauwert annähern. Zu späten Zeiten erfolgt ein zeitsymmetri- sches Abklingen. Für Alpha nahe 1 wird das Soft-Rectangle-Filter zu einem Sinus. Folgende Formel konnte als analytische Darstellung des Soft-Rectangle Filters nachge- wiesen werden:

(43) wobei

(44) und v (Nu) hier von 0 bis N-l verläuft. Re[] bedeutet den Realteil des Arguments. Der Parameter ß (Beta) bezieht sich auf die Steilheit des Anstiegs des Soft-Rectangle Filters zu frühen Zeiten (x nahe 0) bzw. auf die Steilheit des Abfalls der Soft-Rectangle Filters zu späten Zeiten (x nahe 1). Der Normierungsfaktor A wird so gewählt, dass (45) erfüllt ist.

Das Analytische Soft-Rectangle Filter zeigt in einer numerischen Simulation für ver- schiedene Beta >=0 die gleiche Verlaufskurve für die RMS Bandbreite gegen alpha_N (vergleiche Fig. 3) wie das Soft- Rectangle Filter, das aus Gleichung (40) berechnet wird. Die praktische Berechnung von Soft-Rectangle Filtern in Abhängigkeit von N und Beta kann demnach ohne Verwendung von Gleichung (40) schnell über die Gleichungen (43) und (44) erfolgen. Für Beta = 0 folgt das Sinus-Filter, für größer werdende Beta wird der Grenzfall des Rechteck-Filters erreicht.

Die drei Summanden im Argument des Realteils der rechten Seite von Gleichung (44) können als drei komplexwertig (FIR) Filter interpretiert werden: ein Rechteckfilter, ein komplexer (FIR) Frequenzfilter für Frequenz Pi und Dämpfung Beta (in Einheiten von 1/T_W) und ein komplexer (FIR) Frequenzfilter für Frequenz -Pi und Verstärkung Beta. Alle drei Teil-Filter besitzen den Vorteil, dass sie mit einem iterativen Algorithmus im- plementiert werden können.

Alle drei Teil-Filter für das analytische Soft Rectangle Filter (Gleichung 44) sind von der Form g_nu = exp(C * (nu +1)/(N+1) ), wobei C = 0 für das Rechteckfilter und C = -(Beta - i Pi) bzw. C = (Beta - i Pi) für die beiden anderen Filter. Für aufeinanderfolgende Fil- terkoeffizienten g_nu gilt daher der einfache Zusammenhang

(46) wobei u ein komplexwertiger Faktor ist.

Die Faltungssumme für ein Filter g_nu kann folgendermaßen umgeschrieben werden: (47)

(48)

(49)

(50)

Man erkennt im letzten Term eine Faltungssumme für X_(n-1), der der letzte Term (nu = N-l) fehlt und die mit dem Faktor u multipliziert wurde. Man kann diesen Term dem- nach durch die Faltungssumme für X_(n-1) ersetzen, indem man den Term für (nu = N- 1) ab zieht. Es folgt die Iterationsformel

(51)

In der letzten Zeile konnte u*g_(N-l) durch g_0 u ^ N ersetzt werden.

Dieser Algorithmus folgt analog aus einem bekannten Schema, das zur Implementation einer Diskreten Fourier-Transformierten (DFT) in der Signaltechnik verwendet wird und unter dem Namen Sliding DFT bekannt ist. Eine Beschreibung der Sliding DFT ist veröf- fentlicht in Eric Jacobsen and Richard Lyons, “The sliding DFT”, IEEE SIGNAL PRO- CESSING MAGAZINE , March, Page 74, 2003. In der Sliding DFT werden effektiv Filter der Form e ^ (i Omega nu) für reellwertige

Omega realisiert. Die Iterationsvorschriften der komplexen Filter für die Realisierung des Soft-Rectangle Filters ergeben sich, wenn man Omega durch entsprechende komplexen Werte Pi + i Beta bzw. Pi - i Beta ersetzt, womit Beta aus Gleichung (44) korrekt be- rücksichtigt wird.

Die Geschwindigkeit iterativer Algorithmen nimmt nicht mit der Filterlänge N ab. Der Speicherbedarf für die Zwischenspeicherung von Messwerten s[n] bzw. xi[n] wächst al- lerdings linear mit N. Die gewöhnlichen Faltungsalgorithmen werden im Gegensatz dazu um den Faktor N langsamer, der Speicherbedarf wächst ebenfalls linear mit N.

Ein Filter mit endlicher Impulsantwort (englisch: „finite impulse response“, oder abge- kürzt „FIR“), kurz: FIR-Filter wurde in einem selbstgebauten Lock-In- Verstärker von Qin et al. (Jianhuan Qin, Zhiming Huang, Yujian Ge, Fun How, and Junhao Chu, „Tan- dem demodulation lock-in amplifier based on digital processor for dualmodulated spec- troscopy,” Rev. Scientific Instruments, vol. 80, pp. 033112, 2009) verwendet. Als Filter wurde das Blackman-Fenster verwendet, das im Hinblick auf das Rausch-Zeit-Bandbrei- tenprodukt (XN (Alpha_N) bei weitem nicht optimal ist. Es liegt mit alpha_N = 1,73 und sigma omega = 4,235 (in Einheiten von 1/T_W) weit außerhalb des optimalen Bereichs für Rauschunterdrückung (siehe Figur 3 und die Ausführungen zu Figur 3). Hofmann et al. (Maximilian Hofmann, Rudolf Dr. Bierl, and Thomas Rück, „Implementation of a dual-phase lock-in amplifier on atms320c5515 digital signal processor“, 2012 5th Euro- pean DSP Education and Research Conference (EDERC), pp. 20-24, 2012) benutzten ein Kaiser-Fenster als FIR-Filter, fügten aber einen weiteren RC-Filter hinzu, der die endli- che Impulsantwort zerstörte.

Ähnlich kann ein Gaußscher FIR-Filter in den Lock-In- Verstärkern SR860 und SR865 der Firma Stanford Research vom Benutzer verwendet werden. Der Einsatz ist jedoch auf Zeitkonstanten unter 3s beschränkt. Auch hier ist das Gaussfilter nicht optimal in Bezug auf (αN (Alpha_N).

Anwendung

Die Erfindung lässt sich auf einer Vielzahl von Gebieten anwenden, wie zum Beispiel allgemeine Spektroskopie- Anwendungen (Mikrowellen, Infrarot, Sichtbar, UV, xuv, ...) Medizintechnik

- Laserspektroskopie Nanoelektronik Quantenelektronik

- thermoelektrische und (Quanten-)Transportmessungen Photolumineszenzmessungen mit einem Monochromator und einer Photodiode

- Pump-Probe-Messungen (z.B. ultraschnelle optische Zeitbereichsspektroskopie) Störstellenspektroskopie (Deep-level transient spectroscopy)

- Kapazitäts-Spannungs-Spektroskopie

- Rasterkraftmikroskopie

- Rastertunnelmikroskope

Appendix

Der Butterworth -Filter der n-ten Ordnung im Fourier-Bereich ist gegeben durch

Die Varianz des Filterausgangs y ist für den Fall eines weißen Hintergrundrauschens

(54)

Ein einzelner Faktor dieser Gleichung hat die Form mit der Fouriertransformation (56)

Findet man für t > 0

(57) wobei (58) und (59)

Wir unterscheiden eine Funktion f(t) und ihre Fourier-Transformation f ' (Ω) (f(Omega)) nur durch ihr Argument. Sie sind verwandt durch

(60) Die Faltung in der Zeit sei definiert als

(61) und die Faltung der Frequenz als

(62) mit dem zusätzlichen Vorfaktor 1/(2 Pi). Daraus ergeben sich folgende Beziehungen für die Fourier-Transformationen von Faltungen und Funktionsprodukten: Das Rauschspektrum eines Signals x(t) ist

(64) Bezugszeichenliste

A-D zeitliche Antwortfunktion von einem, zwei, drei und vier sequenziell verwende- ten RC-Filtern (6dB, 12dB, 18dB, 24dB) E-I Verlaufskurve einer Amplitude einer Funktion eines Soft-Rechteck-Filters (Soft- Rectangle-Filter) für einen Wert von a

J Verlaufskurve für eine RMS Bandbreite eines Tukey -Fenster-Filters für ver- schiedene Werte des Parameters alpha N zur Unterdrückung des weißen Rau- schens (white noise Suppression parameter) K Verlaufskurve für eine RMS Bandbreite eines Soft-Rectangle-Filters für ver- schiedene Werte des Parameters alpha N zur Unterdrückung des weißen Rau- schens (white noise Suppression parameter)

L zeitlicher Verlauf für einen Lock-In-Output eines 24 dB RC-Filters

M zeitlicher Verlauf für einen Lock-In-Output eines Soft-Rectangle-Filters