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Title:
METHOD FOR DETERMINING KALMAN FILTER PARAMETERS, ARMA MODEL PARAMETERS AND ASSOCIATED DEVICES
Document Type and Number:
WIPO Patent Application WO/2017/129569
Kind Code:
A1
Abstract:
Method and device for determining the parameters of an adaptive Kalman filter from an ARMA model of data from a time series and method and device for determining an ARMA model approximating a time series.

Inventors:
PUY JEAN-PHILIPPE (FR)
MAUREL JULIE (FR)
OUZEAU CHRISTOPHE (FR)
Application Number:
PCT/EP2017/051439
Publication Date:
August 03, 2017
Filing Date:
January 24, 2017
Export Citation:
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Assignee:
ALTRAN TECH - ALTRAN (FR)
International Classes:
H03H21/00
Foreign References:
US20040081230A12004-04-29
Other References:
ROBERT STINE: "Predicting ARMA Processes", 31 December 2011 (2011-12-31), pages 10 - 1, XP055309922, Retrieved from the Internet [retrieved on 20161012]
JULIE DICKERSON: "Signal Modeling", 23 October 2006 (2006-10-23), XP055309912, Retrieved from the Internet [retrieved on 20161012]
None
Attorney, Agent or Firm:
PONTET ALLANO & ASSOCIES (FR)
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Claims:
Revendications

Procédé de détermination des paramètres φ et Γ d'un filtre de Kalman adaptatif vérifiant les équations :

Xk = 0fc. ¾_! + rkek

Yk = Hk. Xk + vk

où 0fc est la matrice de transition à un instant k , rk est le vecteur dynamique de transition à l'instant k, ek est le vecteur des erreurs, Hk est la matrice d'observation à l'instant k et vk est un bruit blanc à l'instant k, ledit procédé comprenant :

- une détermination (El, E2, E3, E4, E5, E6) des paramètres p, q,^ et bi d'un modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordre p et q approchant une suite temporelle notée y, où p est l'ordre de la partie autorégressive de coefficients at pour i e [l, p] , et q est l'ordre de la partie moyenne-mobile de coefficients bt pour i e H, ql

- une détermination (E7) des paramètres φ et Γ du filtre de Kalman adaptatif par résolution de l'équation :

Η θ - - ζ-1)-1 ^ z-1 = Z -^( ,

Z(a)

où Z(u) est la transformée en Z de la suite u.

Dispositif comprenant :

- une entrée pour recevoir une suite temporelle notée y,

- une sortie générant des paramètres d'un filtre de Kalman adaptatif en temps réel de la suite temporelle,

- un micro-processeur configuré pour mettre en œuvre le procédé de détermination selon la revendication 1.

Procédé de détermination des paramètres p, q, at et bt d'un modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordre p et q approchant une suite temporelle notéey, où p est l'ordre de la partie autorégressive de coefficients at pour i e [l, p] , et q est l'ordre de la partie moyenne- mobile de coefficients bt pour i e l. qj, le procédé comprenant : - une détermination (El) des paramètres p et q,

- une détermination (E2) d'un paramètre n plus grand que la somme des paramètres p et q, i.e. : n>p + q,

- une détermination (E3) d'un modèle autorégressif long d'ordre n et de coefficients r(i,n) pour ie [l,n] approchant le modèle autorégressif et moyenne-mobile,

- une détermination (E4) d'une modèle moyenne-mobile d'ordre n et de coefficients f(i,n) approchant le modèle autorégressif et moyenne-mobile à partir des coefficients déterminés r(i,n),

- une détermination (E5) des coefficients an dudit modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordres p et q à partir des coefficients r(i,n) du modèle autorégressif long d'ordre n,

- une détermination (E6) des coefficients bnde la partie moyenne- mobile dudit modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordres p et q en résolvant le système Z{b] = Z{a}.Z{f] , où Z(u) est la transformée en Z de la suite u,

- la détermination (E5) des coefficients an résolvant de manière approchée m1 équations de Yules Walker modifiées, avec m1 strictement supérieur à p : m1>p, et/ou la détermination des coefficients ènrésolvant de manière approchée m2 équations dudit système avec m2 strictement supérieur à q : m2 > q.

Procédé selon la revendication 3, caractérisé en ce que les coefficients r(i,n) sont déterminés par la formule :

V (ί,;) e [0; n - 1]X[1, i] , r(i + = r i,j) + Ki+1. r i, i - j + 1),

r(n, 0) = 1,

Où VÎ 6 [0;n- l]Kl+1 = -

L J 1 + 1 Ryy( )+∑Jl=1r(i,j).RyyU)

avec VA: E NRyy(k) = E [yiyi+k]. 5. Procédé selon la revendication 3 ou 4, caractérisé en ce que les coefficients f n,j) sont déterminés par :

7-1

V 6 M f(n,j) = vk + ^ f(n, i) r(n,j— 1) et f(n, 0) = 1.

i = l Procédé selon l'une quelconque des revendications 3 à 5, caractérisé en ce que les coefficients an du modèle autorégressif long d'ordre nsont déterminés par :

A = {φτφ)~1φτΓ,

avec VA: e M i¾yy(fc) = £" [ iyi+fc] .

7. Procédé selon l'une quelconque des revendications 3 à 6, caractérisé en ce que les coefficients bn sont déterminés par :

B = [mat1 * mat]'1, mat1. col

min(i,p)

Vi 6 [ + 2, m2 + 1] et j 6 [1, q] matl(i,j) =— ^ ak matl(i— k,j)si i < k k = l

et

min(i,p)

Vi 6 \j + 2, m2 + 1] et 6 [1, q] mat(i,j) =— ^ ak mat(i— k,j)si i > k k = l

et

Vi 6 [1, m2] coi(i) =—mat\{i + 1,1) + r(n, i).

8. Dispositif comprenant :

- une entrée pour recevoir une suite temporelle notée y,

- une sortie générant des paramètres d'un filtre Arma en temps réel de la suite temporelle, - un micro-processeur configuré pour mettre en œuvre le procédé de détermination des paramètres p , q , at et bt d'un modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordre p et q approchant une suite temporelle notée y , où p est l'ordre de la partie autorégressive de coefficients at pour i e [l, p] , et q est l'ordre de la partie moyenne-mobile de coefficients bt pour i e l. qj selon l'une quelconque des revendications 3 à 7.

Description:
« Procédés de détermination de paramètres de filtres de Kalman, de paramètres de modèle ARMA et dispositifs associés »

Domaine de l'invention

La présente invention a pour objet un procédé de détermination en temps réel de paramètres de filtres de Kalman. La présente invention a également pour objet de proposer un nouveau procédé de détermination de paramètres d'un modèle ARMA. La présente invention a en outre pour objet de proposer une méthode de détection d'un séisme.

La présente invention a également pour objet des dispositifs associés à la détermination en temps réel de paramètres de filtres de Kalman, à la détermination en temps réel de paramètres d'un modèle ARMA, à la détection d'un séisme.

Art antérieur

On connaît un procédé de détermination de filtre de Kalman adaptatif. Un tel procédé est basé sur des méthodes bayésiennes. Ce procédé consiste à choisir en temps réel le filtre le mieux adapté en fonction de critères de coûts calculés parmi un ensemble de filtres de différents modèles.

Un inconvénient de l'utilisation de méthodes bayésiennes dans la détermination de paramètres de filtres de Kalman adaptatif est qu'il faut déterminer, a priori, cet ensemble de filtres pour des modèles difficiles à déterminer et qui approximent grossièrement la réalité.

Un but de l'invention est de proposer un nouveau procédé de détermination de coefficients d'un filtre de Kalman adaptatif qui soit plus performant que celui qui vient d'être décrit.

On connaît un procédé de détermination de coefficients notés p, q, a t et b t d'une suite temporelle notée y par un modèle autorégressif et moyenne- mobile d'ordre p et q, où p est l'ordre de la partie autorégressive de coefficients a t pour i e [l, p] et q est l'ordre de la partie moyenne-mobile de coefficients b t pour i e l, q .

Le procédé selon l'art antérieur a pour but de déterminer les coefficients a t et bi de la série temporelley de sorte que cette série vérifie l'équation :

Le procédé selon l'art antérieur comporte :

- une détermination des paramètres p et q ; une détermination d'un paramètre n plus grand que la somme des paramètres p et q : n>p+q ;

une détermination d'un modèle autorégressif long d'ordre n et de coefficients r n approchant le modèle autorégressif et moyenne- mobile,

une détermination d'un modèle moyenne-mobile d'ordre n et de coefficients f n approchant le modèle autorégressif et moyenne-mobile à partir des coefficients déterminés r n ,

une détermination des coefficients a t de la partie autorégressive dudit modèle autorégressif et moyenne-mobile à partir des coefficients en résolvant l'équation R.A = Γ où

l|)

2|)

R =

<Pyy(Q - ζ^ e^t R" y y y y(<k) = E [ i i+ f c],

- une détermination de la partie moyenne-mobile dudit modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordres p et q en résolvant l'équation

Z{b n } = Z{a n }.Z{r n }.

Un but de l'invention est de proposer un nouveau procédé de détermination de coefficients d'un modèle ARMA d'un processus et un dispositif mettant en œuvre ce procédé.

Exposé de l'invention

Selon un premier aspect de l'invention, on atteint au moins l'un des buts précités avec un procédé, de détermination des paramètres H, φ et G d'un filtre de Kalman adaptatif vérifiant les équations :

X k = 0 fc .¾_ ! + r k e k

Yk = H k .X k + v k

où 0 fc est la matrice de transition à un instant k , r k est le vecteur dynamique de transition à l'instant k, H k est la matrice d'observation à l'instant k et v k est un bruit blanc à l'instant k, ledit procédé comprenant : - une détermination des paramètres p , q , a t et b t d'un modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordre p et q approchant une suite temporelle notée y , où p est l'ordre de la partie autorégressive de coefficients a t pour i e [l, p] , et q est l'ordre de la partie moyenne- mobile de coefficients b t pour i e l, q ,

- une détermination des paramètres H, φ et G du filtre de Kalman adaptatif par résolution de l'équation : f c k k Z(a)

Selon un deuxième aspect de l'invention, il est proposé un dispositif comprenant :

- une entrée pour recevoir une suite temporelle notée y,

- une sortie générant des paramètres d'un filtre de Kalman adaptatif en temps réel de la suite temporelle

- un micro-processeur configuré pour mettre en œuvre le procédé de détermination selon le premier aspect de l'invention.

On entend par temps réel un algorithme capable de proposer une sortie en un temps inférieur à celui correspondant à une fréquence d'échantillonnage générant la suite y en entrée.

Selon un troisième aspect de l'invention, il est proposé un procédé de détermination des paramètres p , q , a t et b t d'un modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordre p et q approchant une suite temporelle notée y, où p est l'ordre de la partie autorégressive de coefficients a t pour i e [l, p] , et q est l'ordre de la partie moyenne-mobile de coefficients b t pour i e l. qj.

Selon l'invention, le procédé comprend :

- une détermination des paramètres p et q,

- une détermination d'un paramètre n plus grand que la somme des paramètresp et q, i.e. : n > p + q,

- une détermination d'un modèle autorégressif long d'ordre n et de coefficients pour i e [l,n] approchant le modèle autorégressif et moyenne-mobile.

On appellera ci-après « procédé du type spécifié » un procédé répondant à cette définition.

On atteint au moins l'un des buts précités avec un procédé du type spécifié pour lequel, selon un quatrième aspect de l'invention, est mis en œuvre : - une détermination d'un modèle moyenne-mobile d'ordre n et de coefficients f(i, n) approchant le modèle autorégressif et moyenne- mobile à partir des coefficients déterminés r(i, n),

- une détermination des coefficients a n dudit modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordres p et q à partir des coefficients r(i, n) du modèle autorégressif long d'ordre n,

- une détermination des coefficients b n de la partie moyenne-mobile dudit modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordres p et q en résolvant l'équation Z{b] = Z{a}. Z{f], où Z(u) est la transformée en Z de la suite u.

La transformation en Z est une application qui transforme une suite s (définie sur les entiers) en une fonction S d'une variable complexe nommée z, telle que

lorsque la série r n =- r s(ri)z ~n ) r converge lorsque r tend vers l'infini.

Selon l'invention, la détermination des coefficients a n résout de manière approchée m 1 équations de Yules Walker modifiées, avec m 1 strictement supérieur à p : m 1 > p, et/ou la détermination des coefficients b n résolvant de manière approchée m 2 équations du système avec m 2 strictement supérieur à q : m 2 > q.

La détermination des paramètres p et q peut avantageusement être réalisée au moyen d'une méthode MINIC (pour l'anglais Minimum Information Criterion).

Deux critères peuvent être mis en œuvre par la méthode MINIC :

- le critère BIC (pour l'anglais « Bayesian Criterion Indice »),

- le critère AIC (pour l'anglais « Akaike Information Criterion »).

Avantageusement, n peut être déterminé dans l'intervalle [3(p+q),4(p+q)] . En combinaison ou alternativement, n peut être déterminé en utilisant le critère d'Aikaike ou celui de Rissanen.

La détermination du modèle autorégressif long d'ordre n et de coefficients r(i, n) peut avantageusement mettre en œuvre :

- des filtres en treillis ; - l'algorithme de Levinson ;

- l'algorithme de Burg , q ui garantit un filtre à réponse impulsionnelle infinie à minimum de phase ;

- un algorithme des moind res carrés.

L'algorithme des moindres carrés peut être mis en œuvre en utilisant la corrélation . Celle-ci minimise la puissance de l 'erreur de prédiction l inéaire. La méthode des corrélations est une méthode avec fenêtrage . Dans ce cas, on peut util iser l 'algorithme de Levinson- Durbin pour résoudre l'équation obtenue.

L'algorithme des moindres carrés peut être mis en œuvre en utilisant la méthode des covariances. Celle-ci minimise la puissance de l 'erreur de prédiction l inéaire. La méthode des covariances est une méthode sans fenêtrage. On peut util iser des méthodes en 0(p 2 ) pour résoud re le système obtenu par cette méthode. On peut par exemple utiliser un algorithme développé par Morf et Al pour résoudre le système obtenu .

L'algorithme des moindres carrés peut être mis en œuvre en utilisant la méthode des covariances mod ifiées. Cel le-ci minimise la puissance de la demi-somme des erreurs de prédiction arrière et avant. On peut par exemple utiliser u n algorithme développé par Marple pour résoud re le système obtenu .

Avantageusement, la détermination d u modèle autorég ressif long d 'ord re n et de coefficient r(i, n) est calculée à l 'aide de l 'algorithme de Levinson . Dans ce cas, les coefficients r(i, n) sont déterminés par la formule :

V (ί,;) e [0; n - 1]X[1, i] , r(i + = r(i,j) + K i+1 . r(i, i - j + ï)

avec VA: e M R yy (k) = E [yiy i+k ]

De préférence, les coefficients r n,j) sont déterminés par :

Vy 6 M r(n,j) = v k + r(n, i) r(n,j— 1) et r(n, 0) = 1 La détermination des coefficients a n à partir des coefficients du modèle autorégressif long d'ordre n en résolvant de manière approchée m 1 équations de Yules Walker modifiées à p inconnues, où m 1 est strictement supérieur à p, c'est à dire m 1 > p, peut mettre en œuvre une pseudo inverse des moindres carrés.

La pseudo inverse des moindres carrés d'une matrice A est le produit, d'une part de l'inverse du produit de la transposée de A par elle même et d'autre part, de la transposée de A :

pseudo inverse (A) = (A T Â) ~ 1 A T

Lorsque la détermination des coefficients a n résout de manière approchée m 1 équations de Yules Walker modifiées à p inconnues, où m 1 est strictement supérieur à p, i.e. m 1 > p, et qu'il est mis en œuvre une pseudo inverse des moindres carrés, on peut avoir :

A = (φ τ φΥ 1 φ τ Γ

( Pyy (<Ù <Pyy(l<7 - 11) <Pyy (\ q - p + il)

et φ = <Pyy(l<7 + 11) <Pyy {<Ù <P yy (\ q - p + 2|)

(p yy (\ q + m 1 - 1|) (P yy Oq + τπ 1 - 2|) ··· q>yy (q + m 1 - p)

La détermination des coefficients b n de la partie moyenne-mobile du modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordres p et g en résolvant le système Z{b] = Z{a}.Z{f], où Z(u) est la transformée en Z de la suite u, peut résoudre de manière approchée m 2 équation à m 2 inconnues avec m 2 > q .

Lorsque c'est le cas, cette détermination peut mettre en œuvre une pseudo inverse des moindres carrés, telle que définie ci-dessus.

Lorsque la détermination des coefficients b n résout de manière approchée m 2 équations du systèmeZ{b] = Z{a}.Z{f], où m 2 est strictement supérieur à q, i.e. m 2 > q, et qu'il est mis en œuvre une pseudo inverse des moindres carrés, on peut avoir :

B = [mat 1 * mat] '1 . mat 1 . col

min(i,p)

Vi 6 \j + 2, m 2 + l]et j 6 [1, q] matl(i,j) =— ^ a k matl(i— k,j)si i < k

k=l

et

min(i,p)

Vi 6 \j + 2, m 2 + l]et j 6 [1, q] mat(i,j) =— ^ a k mat(i— k,j)si i > k

k=l

et

Vi 6 [1, m 2 ] coi(i) =—mat\{i + 1,1) + r(n, i).

Alternativement, on atteint au moins l'un des buts précités avec un procédé du type spécifié pour lequel, selon un cinquième aspect de l'invention, est mis en œuvre :

- une identification des coefficients b n du modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordres p et q en utilisant des méthodes classiques de factorisation spectrale de la fonction d'autocorrélation.

- une détermination des coefficients a n du modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordres p et q en résolvant l'équation Z{b} = Z{a}.Z{r], où Z(u) est la transformée en Z de la suite u.

De préférence, l'identification des coefficients b n du modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordres p et q utilisant des méthodes classiques de factorisation spectrale de la fonction d'autocorrélation peut mettre en œuvre une estimation en temps réel de la fonction d'autocorrélation du signal qui permet de produire un polynôme symétrique en z puis d'effectuer une factorisation spectrale ou déconvolution de ce polynôme pour déterminer la partie moyenne-mobile.

La détermination des coefficients a n du modèle autorégressif et moyenne- mobile d'ordres p et q en résolvant l'équation Z{b] = Z{a}.Z{f}, où 2T(u) est la transformée en Z de la suite u, peut mettre en œuvre une convolution numérique entre les deux séries de coefficients. Description des figures

D'autres particularités et avantages de l'invention apparaîtront à la lecture de la description détaillée de mises en œuvre et de modes de réalisation nullement limitatifs, au regard de la figure annexée sur lesquelles :

la figure 1 est une vue schématique d'un procédé selon l'invention.

Description de l'invention

Ces modes de réalisation n'étant nullement limitatifs, on pourra notamment réaliser des variantes de l'invention ne comprenant qu'une sélection de caractéristiques décrites par la suite, telles que décrites ou généralisées, isolées des autres caractéristiques décrites, si cette sélection de caractéristiques est suffisante pour conférer un avantage technique ou pour différencier l'invention par rapport à l'état de la technique.

Il est maintenant décrit en référence à la figure 1 un mode de réalisation d'un procédé P, dit direct, selon l'invention.

L'entrée du procédé selon l'invention est une suite temporelle notée y. La sortie du procédé selon l'invention comprend les paramètres k , H k , r k et d'un filtre de Kalman adaptatif. 0 fc est la matrice de transition à un instant k, r k est le vecteur dynamique de transition à l'instant k, H k est la matrice d'observation à l'instant k et v k est un bruit blanc à l'instant k

Le filtre de Kalman adaptatif vérifie donc les équations :

X k = 0 fc .¾_ ! + r k e k

Y k = H k . X k + v k

Lors d'une étape illustrée par les blocs El, E2, E3, E4, E5 et E6, le procédé comprend une détermination des paramètres p , q , ^ et d'un modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordre p et q approchant la suite temporelle notée y , où p est l'ordre de la partie autorégressive de coefficients α ; pour i e [l, p], et q est l'ordre de la partie moyenne-mobile de coefficients b t pour i e l, q .

Lors d'une étape illustrée par l'étape E7, le procédé comprend une détermination des paramètres H, φ et G du filtre de Kalman adaptatif par résolution de l'équation :

ZW La détermination des paramètres du filtre de Kalman suppose d'avoir modélisé la suite temporelle y par une équation différentielle.

Il est maintenant décrit un premier mode de réalisation, aussi appelé procédé direct, d'un procédé de détermination des paramètres p, q, a t et b t d'un modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordre p et q approchant une suite temporelle notée y , où p est l'ordre de la partie autorégressive de coefficients a t pour i e [l, p], et q est l'ordre de la partie moyenne-mobile de coefficients b t pour i e l, q .

La suite vérifie l'équation y k b i v k _ i .

v est un bruit blanc discret de moyenne nulle et de variance σ¾ .

En notant Z{s} la transformée en Z d'une suite s, on peut associer le modèle ARMA à un filtre de réponse impulsionnelle infinie de fonction de transfert Z{b}/Z{a}.

Selon une étape El, le procédé selon l'invention comprend une détermination des paramètres p et q.

Selon une étape E2, le procédé selon l'invention comprend une détermination d'un paramètre n plus grand que la somme des paramètres p et q, i.e. : n > p + q .

Selon une étape E3, le procédé selon l'invention comprend une détermination d'un modèle autorégressif long d'ordre n et de coefficients pour i e [l, n] approchant le modèle autorégressif et moyenne-mobile. Le modèle autorégressif long d'ordre n peut être représenté par une fonction de transfert 1/Z{r] avec Z{r] vérifiant l'équation 1/Z{r] = Z{b}/Z{a}.

Les coefficients r(i, n) sont déterminés par la formule :

V (i,y) e [0; n - l]X[l, i] ,

r(i + = r(i,j) + K i+1 . r(i, i - j + 1),

r(n, 0) = 1,

Où V l e [0; n - 1] K l+1 = - ^ ^ i -n

L J 1 + 1 Ryy( )+∑ J l = 1 r(i,j).RyyU)

avec vfc e M R yy (k) = E [yiy i+k ] .

Selon une étape E4, le procédé selon l'invention comprend une détermination d'un modèle moyenne-mobile d'ordre n et de coefficients f(i, n) approchant le modèle autorégressif et moyenne-mobile à partir des coefficients déterminés r(i, n) . Le modèle moyenne-mobile long d'ordre n peut être représenté par une fonction de transfert Z{f] avec Z{f] vérifiant l'équation Z{f] = 1/Z{r}.

Les coefficients f(i, n) sont déterminés par la formule :

Vy 6 M r(n,j) = v k + r(n, i) r(n,j— 1) et r(n, 0) = 1.

Selon une étape E5, le procédé selon l'invention comprend une détermination des coefficients a n du modèle autorégressif et moyenne- mobile d'ordres p et q à partir des coefficients r(i, n) du modèle autorégressif long d'ordre n.

Selon une étape E6, le procédé selon l'invention comprend une détermination des coefficients b n de la partie moyenne-mobile dudit modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordres p et q en résolvant l'équation2T{ô) = z{a}.Z{f], où Z(u) est la transformée en Z de la suite u.

La détermination des coefficients a n , selon l'étape E5, résout de manière approchée m 1 équations de Yules Walker modifiées, avec m 1 strictement supérieur à p : m 1 > p, et la détermination des coefficients b n , selon l'étape E6 résout de manière approchée m 2 équations du système avec m 2 strictement supérieur à q : m 2 > q .

L'étape E5 comprend une sous étape de détermination d'un nombre En particulier, les coefficients de l'étape E5 sont déterminés par :

A = (φ τ φ)- ί φ τ Γ, J

La matrice Γ étant de taille (m 1( 1) et la matrice (φ τ φ) ~ 1 φ τ étant de taille . m- , on vérifie bien que la matrice A est de taille (p, 1) .

En particulier, les coefficients de l'étape E6 sont déterminés par :

B = [mat 1 * mat] '1 . mat 1 . col

min(i,p)

Vi 6 \j + 2, m 2 + l]et j 6 [1, q] matl(i,j) =— ^ a k matl(i— k,j)si i < k

k = l

et

min(i,p)

Vi e \j + 2, m 2 + l]et j 6 [1, q] mat(i,j) =— ^ a k mat(i— k,j)si i > k

k = l

et

Vi 6 [1, m 2 ] coi(i) =—matl(i + 1,1) + f(n, i)

La matrice col étant de taille (m 2 , l) et la matrice [mat* * mat] '1 , mat* étant de taille {q, m 2 ), on vérifie bien que la matrice A est de taille {q, 1) .

Il est maintenant décrit un deuxième mode de réalisation, aussi appelé procédé dual, d'un procédé de détermination des paramètres p, q,ai et d'un modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordre p et q approchant une suite temporelle notéey, où p est l'ordre de la partie autorégressive de coefficients ; pour i e [l, p], et q est l'ordre de la partie moyenne-mobile de coefficients b t pour i e l. qj.

La suite vérifie l'équation y k b i v k _ i .

v est un bruit blanc discret de moyenne nulle et de variance Oy .

En notant Z{s} la transformée en Z d'une suite s, on peut associer le modèle ARMA à un filtre de réponse impulsionnelle infinie de fonction de transfert Z{b}/Z{a}.

Selon une étape E'1, le procédé selon l'invention comprend une détermination des paramètres p et q.

Selon une étape E'2, le procédé selon l'invention comprend une détermination d'un paramètre nplus grand que la somme des paramètres p et q, i.e. : n > p + q .

Selon une étape E'3, le procédé selon l'invention comprend une détermination d'un modèle autorégressif long d'ordre n et de coefficients pour i e [l, n] approchant le modèle autorégressif et moyenne-mobile. Le modèle autorégressif long d'ordre n peut être représenté par une fonction de transfert 1/Z{r] avec Z{r] vérifiant l'équation 1/Z{r] = Z{b}/Z{a}. Les coefficients r(i, n) sont déterminés par la formule :

V (i,y) e [0; n - l]X[l, i] ,

r(i + 1,; ' ) = r(i,; ' ) + K i+1 . r(i, i - j + 1),

= 1,

avec VA: e M R yy (k) = E [yiy i+k ] .

Selon une étape E'6, le procédé selon l'invention comprend une détermination des coefficients b n de la partie moyenne-mobile dudit modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordres p et q en utilisant des méthodes classiques de factorisation spectrale de la fonction d'autocorrélation.

Selon une étape E5, le procédé selon l'invention comprend une détermination des coefficients a n du modèle autorégressif et moyenne- mobile d'ordres p et q à partir des coefficients r(i, n) du modèle autorégressif long d'ordre n.

Le procédé dual comprend une détermination des coefficients de la partie moyenne-mobile en fonction de la fonction d'autocorrélation du signal puis une détermination des coefficients du modèle autorégressif en fonction de la partie moyenne-mobile déterminée précédemment.

Les équations sont similaires à la méthode directe sauf que l'on remplace le modèle autorégressif long par le modèle moyenne-mobile long et qu'on intervertit l'ordre de détermination autorégressif et moyenne-mobile.

Dans l'exemple décrit, les coefficients sont p et q sont choisis respectivement strictement supérieurs à m 1 et m 2 .

L'invention s'étend aux cas pour lesquels m 1 = p et q > m 2 ou m 2 = q et m 1 > p .

L'invention s'étend notamment aux cas pour lesquels m 1 = m 2 = m et m > p et m > q . II est maintenant explicité un exemple d'application de l'invention pour la détermination des paramètres β et ω , respectivement appelés coefficient d'atténuation et pulsation fondamentale, du modèle oscillateur amorti. L'équation différentielle du deuxième ordre ou modèle oscillateur amorti qui régit le paramètre de grandeur physique x, lorsque x est la phase est la suivante :

x t) + 2βχ(ί) + ω%χ(ί) = e(t)

• e(t) est un bruit blanc dynamique de moyenne nulle et de variance

_ 2

6o 0 est la pulsation .

β est le coefficient d'atténuation (dans le cas multicanal

d'une matrice) .

La pulsation fondamentale du système a pour expression : ω = 7 ω ο ~~ β 2

La suite temporelle notée y, où y est un vecteur formé par les estimée de x et x. peut être approchée par un modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordre (2,2) de paramètres a l r a 2 , a 3 f 4 .

Cette équation différentielle peut par ailleurs se mettre sous la forme d'un système d'état continu :

En notant les matrices :

0 1

A

2.β

et ^ ^ 1 1] ,

on peut encore écrire sous forme matricielle

X = A.X + B.e

Y = H.X + u où u et un bruit blanc de mesure de moyenne nulle et de variance " . Ce système d'état continu se met sous la forme d'un système d'état discret dont les équations sont données ar les expressions ci-dessous :

Y k = H.X k + v k La matrice de transition ^ et le vecteur de transition Γ de l 'équation d 'état du filtre de Kal man discret étant déterminés par :

ou

-β.τ

-.[co.cos(ct)J) + j8.sin(ct)J)] φ 2 = .[ct) 0 2 .sin(ct)J)] φ 4 = .[ro. cos(ro.7^- p.sin(co.7 ~ )]

o ω

où T est la période d'échantillonnage.

On pourrait aisément établir un modèle de Kal man prenant en outre en compte, toutes dérivées d 'ord re supérieur à au Doppler de la phase pour affiner le modèle .

Comme il a été rappelé précédemment, le développement de l'éq uation

permet d 'établ ir un lien entre les coefficients ARMA et le modèle de Kal man associé. On a : ω =—Arccos

T 2Vô

Kl = 1 -—

= b t — a t

[K - K 2

K = φ 2 Κ 1 + ψ Κ 2

On peut ainsi déterminer les paramètres de l'oscillateur amorti à partir des paramètres ARMA(2,2) déterminés et des paramètres d u filtre de Kal man associé au modèle ARMA déterminé. Bien sûr, l'invention n'est pas limitée aux exemples qui viennent d'être décrits et de nombreux aménagements peuvent être apportés à ces exemples sans sortir du cadre de l'invention. De plus, les différentes caractéristiques, formes, variantes et modes de réalisation de l'invention peuvent être associés les uns avec les autres selon diverses combinaisons dans la mesure où ils ne sont pas incompatibles ou exclusifs les uns des autres.




 
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