EINES PHYSIKALISCHEN SYSTEMS

MITTELS EINES QUANTENCOMPUTERS

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Bestimmung von Grundzustandsenergien eines physikalischen Systems mittels eines Quantencomputers.

Ein typischer Anwendungsfall für Quantencomputer ist die Bestimmung der Grundzustandsenergie des Hamiltonoperators eines quantenmechanischen Systems. Die zwei verbreitetsten Methoden, um die Grundzustandsenergie auf dem Quantencomputer zu bestimmen, sind variationelle Ansätze und Quantum- Phase-Estimation (QPE).

In einem Variationellen Quantum-Eigensolver (VQE) werden verschiedene Testzustände, abhängig von klassischen Parametern, erzeugt. Die Energie der Testzustände wird gemessen und mithilfe der klassischen Parameter minimiert. Der Testzustand mit der kleinsten Energie liefert einen genäherten Grundzustand. Die Genauigkeit der Variationellen Methoden hängt stark vom gewählten Ansatz für die Testzustände, die auf dem Quantencomputer präpariert werden, ab.

Weit verbreitete Ansätze reichen von sehr allgemeinen Testzuständen mit vielen freien klassischen Parametern in uCCSD (Romero, J. u. a. Strategies for quantum computing molecular energies using the unitary coupled cluster an- satz. Quantum Science and Technology 4, 014008, Oktober 2018) bis hin zu sehr problemspezifischen Ansätzen mit wenigen freien Parametern im Variatio- nal-Hamiltonian-Ansatz (VHA) (Wecker, D., Hastings, M. B. & Troyer, M. Progress towards practical quantum variational algorithms. Phys. Rev. A 92, 042303 (4 Okt. 2015)).

Die Präparation der Testzustände kann allgemein geschrieben werden als, wobei 9 der Vektor der klassischen Parameter ist, die U^di) unitäre Transformationen sind, die auf dem Quantencomputer durchgeführt werden und von 6 abhängen und ein Anfangszustand ist, der auf dem Quantencomputer effizient initialisiert werden kann.

Die Minimierung über 6 ergibt die genäherte Grundzustandsenergie,

Bei der Bestimmung der optimalen klassischen Parameter 6 _opt können unter anderem folgende Probleme auftreten:

1. Die Anwendung der unitären Transformationen U^di) auf NISQ- Quantencomputern erfolgt nicht fehlerfrei, wobei NISQ für Noisy-Intermediate- Scale Quantum steht und logikgatterbasierte Quantencomputer bezeichnet.

2. Dissipationsprozesse und andere Fehler können den verfügbaren Raum von Testzuständen verändern, sodass keine gute Näherung des Grundzustandes gefunden wird. Ein Beispiel ist der Verlust von Elektronen bei der Simulation eines teilchenzahlerhaltenden Elektronensystems auf einem Quantencomputer mit Dissipation.

3. Mit steigender Anzahl von klassischen Variablen wird die klassische Optimierung von 9 zunehmend schwerer. Es ist aus McClean et al. (McClean, J. R., Boixo, S., Smelyanskiy, V. N., Babbush, R. & Neven, H. Barren plateaus in quantum neural network training landscapes. Nature Communications 9, 4812. issn: 2041-1723, 2018) bekannt, dass die Potentiallandschaft E(ö) mit Bestimmung der Grundzustandsenergie durch Funktionalkonstruktion basierend auf Messungen eines Quantencomputers wachsender Dimension von 6 flach wird und die Wahrscheinlichkeit einen nicht verschwindenden Gradienten zu finden exponentiell klein wird.

4. Unabhängig von der Größe von 0, muss auf NISQ-Quantencomputern mit statistischen Schwankungen der gemessenen Energie gerechnet werden. Die Energiemessung erfolgt durch wiederholtes projektives Messen der Qubits und die endliche Zahl von Messungen führt zu einer begrenzten Auslesegenauigkeit.

5. Durch die statistischen Schwankungen ist die Anwendung von gradientenbasierten Optimierungsmethoden, wie das “conjugate gradient” (CG) Verfahren oder Quasi-Newton-Verfahren wie beispielsweise der Broyden-Fletcher- Goldfarb-Shanno (BFGS) Algorithmus, äußerst schwierig und es muss auf weniger performante, gradientenfreie Optimierungsverfahren, wie zum Beispiel das “Constrained optimization by linear approximation” (COBYLA) Verfahren zurückgegriffen werden.

6. Selbst wenn gradientenbasierte Optimierer benutzt werden, sind die Ergebnisse stark von den gewählten Startwerten der klassischen Parameter, 0 _O , abhängig und man benötigt erfahrungsgemäß zehn oder mehr Wiederholungen des Optimierungsverfahrens, beginnend mit unterschiedlichen Startwerten der klassischen Parameter, um verlässlich ein gutes Ergebnis zu erhalten.

Einigen der oben genannten Problemen, insbesondere denen unter Punk 4 bis 6 genannten, kann prinzipiell durch eine größere Anzahl von Messungen entgegengewirkt werden.

Allerdings ist auf NISQ-Quantencomputern, insbesondere auf Hardware mit langsamen Gattern und Messungen wie lonenfallen, die Anwendbarkeit der va- riationellen Ansätze durch die benötigte große Gesamtzahl der unitären Operationen und Messungen deutlich begrenzt.

Eine übersichtliche Zusammenfassung der zuvor genannten Punkte findet sich in dem Übersichtsartikel von McArdle et al. (Sam McArdle, Suguru Endo, Alan Aspuru-Guzik, Simon Benjamin & Xiao Yuan. Quantum computational chemistry. arXiv: 1808.10402 [quant-ph], arXiv: 1808. 10402. http://arxiv.org/abs/1808.10402 (2018) (30. Aug. 2018)).

Mit Hilfe von Quantum-Phase-Estimation (QPE) können bessere Ergebnisse als mit Variationellen Ansätzen erzielt werden, der Ressourcenbedarf ist allerdings deutlich größer. Um QPE auf ein quantenmechanisches System mit m Basiszuständen anzuwenden, werden neben m System-Qubits, in denen der Zustand des quantenmechanischen Systems gespeichert wird, n Anzillaqubits benötigt. Die Anzillaqubits werden mit Hadamard-Gattern in einen Überlagerungszustand gebracht und für jedes Anzillaqubit wird eine kontrollierte Zeitentwicklung auf die m Qubits angewandt,

Am Ende wird eine Quantenfouriertransformation auf die Anzillaqubits angewandt. Mit einer Wahrscheinlichkeit, die von dem Anfangszustand der m System-Qubits abhängt, erhält man nach der Messung der Anzillaqubits einen Zu- stand in dem die m System-Qubits den Grundzustand enthalten. In diesem Fall ergibt die Messung der Anzillaqubits eine binäre Repräsentation der Phase Eoto, aus der man die Grundzustandsenergie Eo erhält.

Auf klassischen Computern kann ab einer gewissen Größe des quantenmechanischen Systems der Zustandsvektor nicht mehr gespeichert werden (“exponential wall”). Zur Berechnung der Grundzustandsenergie sind Näherungsmethoden notwendig. Eine der wichtigsten Näherungsmethoden im Allgemeinen und die mit Abstand wichtigste Methode in der Quantenchemie ist die Dichtefunktionaltheorie (DFT).

Im Rahmen der DFT wird, basierend auf dem Hohenberg-Kohn-Theorem (Hohenberg, P. & Kohn, W. Inhomogeneous Electron Gas. Phys. Rev. 136, B864- B871 (3B Nov. 1964)), beispielsweise die Grundzustandsenergie durch Minimierung eines Energiefunktionals berechnet. Formal ist die DFT eine Legendre- transformierte Beschreibung des quantenmechanischen Problems, bei der ein Wechsel von den lokalen Potentialen zu den lokalen Dichten als Parameter des Systems vorgenommen wird. Die Energie wird nicht mehr als Funktional der lokalen Potentiale, sondern als Funktional der lokalen Dichten betrachtet. Im Gegensatz zu herkömmlichen Variationellen Verfahren in der Quantenmechanik sind die Variationellen Parameter nicht externe Größen, welche beispielsweise ein Klasse von Wellenfunktionen charakterisieren, sondern Erwartungswerte des quantenmechanischen Problems selbst, die Elektronendichte im Falle der DFT. Da nicht alle Beiträge zum Energiefunktional explizit bekannt sind, müssen diese genähert werden.

Näherungen von explizit unbekannten Energiebeiträgen werden vornehmlich aus Folgenden zwei Methoden gewonnen:

1. Berechnung mit Hilfe eines effektiven, nicht-wechselwirkenden Quantensystems (Kohn-Sham-Konstruktion (Kohn, W. & Sham, L. J. Self-Consistent Equa- tions Including Exchange and Correlation Effects. Phys. Rev. 140, A1133- Al 138 (4A Nov. 1965))), z.B. für die kinetische Energie.

2. Berechnung aus expliziten Näherungsformeln von variabler Komplexität, z.B. für die sogenannte Austauschkorrelationsenergie.

Des Weiteren kann DFT verallgemeinert werden um, unter anderem, die zu nähernden Beiträge im Energiefunktional zu reduzieren. Neben der Elektronendichte können Spinmagnetisierung, Elektronen- und Spinstrom, kinetische Energiedichte, Spannungstensor, Doppelbesetzung, etc. als zusätzliche variati- onelle Parameter betrachtet werden.

Im Folgenden wird der Begriff Funktionaltheorien verwendet, um Methoden zu bezeichnen, die physikalische Systeme durch die Extremalisierung eines Funktionals beschreiben, welches von intrinsischen Systemgrößen oder Kombinationen von intrinsischen und externen Größen abhängt. Das schließt DFT und oben genannte Verallgemeinerungen sowie zeitabhängige Dichtefunktionaltheorie (Time-Dependent DFT, TD-DFT), DFT bei endlicher Temperatur (Finite- Temperature / Thermal-DFT, FT-DFT) und Ansätze aus der Vielteilchentheorie, z.B., Vielteilchenstörungstheorie (MBPT), Dynamical-Mean-Field-Theory (DMFT) und Einbettungsmethoden, wie beispielsweise Density-Matrix- Embedding-Theory (DMET), mit ein.

Des Weiteren wird der Begriff „Funktionaltheorien“ verwendet, um inverse Mean-Field Methoden zu bezeichnen, bei denen die optimalen Werte für die Parameter direkt anhand der Vielteilchenwellenwellenfunktionen, insbesondere auf dem Quantencomputer, gemessen werden, ohne eine explizite Minimierung des Funktionals durchzuführen.

Die Aufgabe der Erfindung ist unter anderem die Bestimmung von Grundzustandsenergie eines physikalischen Systems mit Hilfe eines Quantencomputers unter Verwendung einer besonders geringen Zahl von Messungen auf dem Quantencomputer.

Diese Aufgabe wird mit einem Verfahren gemäß des geltenden Anspruchs 1 gelöst. Vorteilhafte Ausgestaltungen des erfindungsgemäßen Verfahrens können den abhängigen Ansprüchen entnommen werden.

Erfindungsgemäß handelt es sich um ein Verfahren zur Bestimmung von Grundzustandsenergien eines physikalischen Systems mittels eines Quantencomputers. Das Verfahren zeichnet sich dadurch aus, dass für das physikalische System ein Testzustand auf dem Quantencomputer präpariert, wenigstens ein Erwartungswert zusammen mit kommutierenden Teilbeträgen des wenigstens einen Erwartungswertes des Testzustandes sowie wenigstens ein Erwartungswert einer Observablen bestimmt werden, wobei mittels des wenigstens einen bestimmten Erwartungswert der Observablen die Grundzustandsenergien der Testzustände dadurch bestimmt werden, dass aus dem wenigstens einen bestimmten Erwartungswert der Observablen und des wenigstens einen Erwartungswert des Testzustandes ein Funktional des Erwartungswert des Testzustandes in Abhängigkeit von den Erwartungswerten der Observablen für das physikalische System erzeugt und durch Anwendung einer Energieminimierung auf das Funktional die Grundzustandsenergie bestimmt wird.

Mit anderen Worten: In der hier vorgeschlagenen Erfindung werden die im Rahmen einer Quantensimulation gewonnen Energie und Erwartungswerte von (lokalen) Observablen im Sinne einer Funktionaltheorie zueinander in Bezug gebracht. Das heißt, dass aus den Messdaten ein Funktional konstruiert wird, dessen Minimierung einen neuen Näherungswert für die Grundzustandsenergie liefert. Im Unterschied zu bisherigen Methoden werden die externen variationel- len Parameter dabei durch systeminterne Erwartungswerte ersetzt. Beispiele für solche Observablen sind weiter unten aufgeführt und näher beschrieben. Um die Grundzustandsenergie zu bestimmen wird das konstruierte Funktional minimiert. Die Auswahl der Erwartungswerte stellt dabei eine Stellschraube dar, welche es erlaubt die Erfindung an das spezifische Problem anzupassen. Im Wesentlichen beeinflusst die Auswahl der Observablen die Komplexität des zu nähernden Funktionals und der sogenannten N-Darstellbarkeitsbedingungen, welche garantieren, dass der Erwartungswert einer Observablen durch einen Quantenzustand \ip) realisierbar ist.

Die Benutzung bekannter N-Darstellbarkeitsbedingungen zur Reduktion der benötigten Anzahl von Messungen ist insbesondere in der internationalen Patentanmeldung PCT/US2017/067095 vorgeschlagen worden: Bekannte N- Darstellbarkeitsbedingungen werden benutzt, um die Anzahl der Messungen zu verringern. In dieser hier dargestellten Erfindung wird eine andere, komplementäre Strategie verfolgt, welche sich dadurch unterscheidet, dass aus den Messungen von Variationellen Quantenzuständen der funktionale Zusammenhang der Grundzustandsenergie und einer Auswahl von Observablen konstruiert wird. Dies bedeutet, dass unter der Annahme gearbeitet wird, dass die synthetisierten Quantenzustände per Konstruktion die N-Darstellbarkeitsbedingungen erfüllen und es dadurch ermöglichen, den Raum der physikalischen Erwartungswerte aufzuspannen. Insbesondere schließen die sich aus der internationalen Patentanmeldung PCT/US2017/067095 vorgeschlagene Strategie und das hier beschriebene Verfahren nicht gegenseitig aus, sondern können sogar kombiniert werden.

Nach dem erfindungsgemäßen Verfahren wird zunächst ein Startzustand I 'init) auf einem Qubitregister des Quantencomputers initialisiert. Zur Bestimmung der Grundzustandsenergie eines quantenmechanischen Systems wählt man idealerweise einen Zustand, der schon einen großen Überlapp mit dem echten Grundzustand hat, aber effizient mit wenigen Gattern auf dem Quantencomputer initialisiert werden kann. Ein Beispiel ist der Grundzustand eines wechselwirkenden Elektronensystems beschrieben im Rahmen einer sogenannten Me- an-Field-Näherung, welche aus Funktionaltheorien gewonnen werden kann. Die Grundzustände von quadratischen Mean-Field-Hamiltonoperatoren können effizient auf dem Quantencomputer hergestellt werden (siehe beispielsweise Jiang, Z., Sung, K. J., Kechedzhi, K., Smelyanskiy, V. N. & Boixo, S. Quantum Algorithms to Simulate Many-Body Physics of Correlated Fermions. Phys. Rev. Applied 9, 044036 (Apr. 2018).

Nach der Präparation des Testzustandes durch die Anwendung einer Sequenz von unitären Transformationen auf den gewählten Grundzustand werden verschiedene Erwartungswerte verschiedener Observablen in Bezug auf den Testzustand gemessen. Für die gängigen Variationellen Verfahren genügt es, den Erwartungswert der Energie zu messen.

Die vorgestellte Erfindung hat im Vergleich zu üblichen Variationellen Ansätzen mehrere Vorteile, welche sich aus der Kombination von Variationellen Quantencomputer-Algorithmen mit Methoden aus der Funktionaltheorie ergeben.

Variationelle Ansätze wie VQE sind auf den Fockraum der möglichen Testzustände beschränkt, die durch die unitären Transformationen Ui ß ) vom Startzustand \ipintt) erreicht werden können. Durch die Auswertung des Funktionals ist die vorgestellte Erfindung nicht strikt auf den Fockraum der Testzustände beschränkt und kann prinzipiell auch die Grundzustandsenergie finden, wenn der Grundzustand keinem der möglichen Testzustände entspricht. Da aber für eine präzise Bestimmung der Grundzustandsenergie Zustände nah am Grundzustand abgetastet werden müssen, gilt dies nur für Grundzustände mit kleinen Abweichungen von möglichen Testzuständen. Eine Extrapolation ist zum Beispiel nicht möglich, wenn der wahre Grundzustand und die möglichen Testzustände völlig unterschiedliche Symmetrien haben.

Die Möglichkeit Minima außerhalb der Fockraums der Testzustände zu finden, hilft auch bei der Fehlertoleranz der vorgestellten Erfindung. Durch Fehler in NISQ-Quantencomputern während der Präparation der Testzustände kann es vorkommen, dass sich der Fockraum der Testzustände von dem wahren Grundzustand entfernt.

Ein Beispiel hierfür ist die Teilchenzahlerhaltung in Elektronensystemen. In vielen Fällen, beispielsweise in der Quantenchemie, soll der Grundzustand eines Systems mit einer fest gegebenen und bekannten Zahl von Elektronen bestimmt werden. Initialisiert man den Anfangszustand so führt in der Jor- dan-Wigner-Repräsentation die Depolarisation der Elektronenorbitale auf dem Quantencomputer dazu, dass sich die Zahl der Anregungen ändert und die Teilchenzahl in den Testzuständen nicht erhalten ist. Ein üblicher variationeller Ansatz kann in diesem Fall nicht die gesuchte Grundzustandsenergie finden, da kein Zustand mit richtiger Teilchenzahl gefunden werden kann. Im Vergleich dazu ist es mit der vorgestellten Erfindung möglich, zur Grundzustandsenergie bei korrekter Teilchenzahl unter Benutzung des konstruierten Energiefunktionals zu extrapolieren, solange die Teilchenzahlerhaltung nicht so stark verletzt ist, dass die Qualität des Energiefunktionals kompromittiert wird.

Ein weiteres Problem für konventionelle variationelle Ansätze sind nichtstatische Fehler. Dabei verändern sich die Fehler auf dem Quantencomputer zwischen zwei Präparationen von Testzuständen, sodass selbst bei gleichen klassischen Parametern 6 unterschiedliche Testzustände präpariert werden. Durch die Schwankungen der Testzustände schwankt auch die gemessene Energie und der klassische Optimierer hat Probleme das Minimum zu finden. Der Hauptteil der Fehler treten während der Initialisierung des Startzustandes und den unitären Transformationen auf, da beide im Allgemeinen eine große Zahl von Quantengattern enthalten. Die vorgestellte Erfindung wird von diesen Fehlem wenig beeinflusst. Jeder Testzustand der auf einem Quantencomputer mit zeitabhängigem Fehler präpariert wird, kann für die Konstruktion des Energiefunktionals herangezogen werden, auch wenn er nicht dem Zustand ) entspricht, solange die N-Darstellbarkeitsbedingungen nicht zu stark verletzt sind. Damit produziert auch eine Messung von valide Daten für die Konstruktion des Funktionals. Für den Fall, dass die N- Darstellbarkeitsbedingungen für einen bestimmten Zustand verletzt sind, so kann der Zustand auch einfach verworfen werden. Dies gilt insbesondere für die Bestimmung des Grundzustandes von Spin-Problemen, wie sie zum Beispiel für den Quantum-Approximate-Optimization-Algorithm (QOAO) notwendig ist. In Spin-Systemen ist jeder Zustand des Quantencomputers ein valider Zustand des simulierten Spin-Systems und kann zur Bestimmung des Grundzustandes benutzt werden.

Der Hauptvorteil der Erfindung gegenüber üblichen Variationellen Ansätzen besteht in der schnelleren Konvergenz der Methode, d.h. mit einer geringen Zahl von Messungen auf dem Quantencomputer. Typische variationelle Ansätze benötigen einen großen Teil der Messungen für die letzten Optimierungsschritte, welche die genäherten Grundzustandsenergie nur minimal verbessern. Insbesondere Blackbox-Optimierer benötigen am Ende der Optimierung viele Schritte, um die Existenz eines tieferen lokalen Minimums auszuschließen. Außerdem benötigen sowohl gradientenbasierte als auch Blackbox-Optimierer mehrere Läufe mit unterschiedlichen Startparametern, um mit hoher Wahrscheinlichkeit ein gutes Ergebnis zu erhalten.

Die hohe Schwierigkeit der klassischen Optimierung ist verständlich, wenn man sich beispielsweise die Idee des VHA genauer betrachtet. Im VHA werden die unitären Transformationen in der Präparation des Testzustandes so gewählt, dass sie der Zeitentwicklung eines Elektronensystems unter einem graduellen Einschalten der Wechselwirkung zwischen Elektronen entsprechen. Die klassischen Parameter 9 entsprechen dabei Pseudozeitschritten in der Zeitentwicklung. Der klassische Optimierer soll dann eine optimierte quasi-adiabatische Zeitentwicklung finden, die das System vom nicht-wechselwirkenden in den wechselwirkenden Grundzustand überführt. Hieran sieht man, warum es für den Optimierer nicht einfach ist, ein eindeutiges Optimum der Parameter 9 zu finden. Per Definition kann eine adiabatische Zeitentwicklung beliebig viele Um- wege durch den Fock- beziehungsweise Hilbertraum nehmen, solange sie adiabatisch genug ist und der Anfangs-Hamiltonoperator dem nichtwechselwirkenden und der End-Hamiltonoperator dem wechselwirkenden System entspricht, wird man den wechselwirkenden Grundzustand erhalten. Analog kann es prinzipiell viele Parametersätze 6 geben, die den Anfangszustand in den korrekten Grundzustand oder einen sehr ähnlichen Zustand überführen.

Im Gegensatz dazu verwendet die Erfindung physikalische Observablen zur Minimierung des Energiefunktionals. Das konstruierte Energiefunktional kann zum einen durch Extrapolation einen besseren Näherungswert für die Grundzustandsenergie liefern, zum anderen können die Gradienten des Energiefunktionals bezüglich der Observablen in einem Feedback-Mechanismus die Optimierung der klassischen Parameter beschleunigen. Des Weiteren hat kann mit Hilfe des Energiefunktionals und Methoden der Funktionaltheorie eine Stagnation der Minimierung frühzeitig erkannt werden und damit überflüssige Messungen des Quantenregisters vermieden werden.

In einer vorteilhaften Ausgestaltung des Verfahrens wird dabei der Hamilton- operator H des untersuchten physikalischen Systems in eine Summe von Produkten von Paulioperatoren für alle Qubits des Quantenregisters des Testzustandes umgeschrieben, wobei ( _i ,X _i , Y _i ,Z _i ') die Identitäts- beziehungsweise Paulioperatoren sind, die auf das (/)-te Qubit wirken. (N) ist die Zahl der Qubits im Quantenregister, die benutzt werden, um die Basiszustände des simulierten Systems zu speichern. Die Erwartungswerte der einzelnen Produkte von Paulioperatoren können einfach durch Anwendung maximal einer Ein-Qubit-Rotation für jedes Qubit und mehrfacher projektiver Messung der Qubits in der Z-Basis gemessen werden. Anschließend wird der Erwartungswert der Energie des Systems im Testzustand durch Messungen des Quantencomputers bestimmt. Dazu werden “kompatible” (kommutierende) Teilbeiträge der Energie simultan ermittelt, um die Anzahl der benötigten Messungen zu optimieren. Aus der Gesamtheit aller - im Allgemeinen nicht kommutierenden - Teilbeiträgen, wird der Erwartungswert der Energie im Testzustand bestimmt.

Die zentrale Idee der Erfindung ist es, für die Minimierung der Energie - und damit die Näherung der Grundzustandsenergie - nicht die klassischen Parameter 9 der Testzustände zu verwenden, sondern die gemessenen Erwartungswerte der Observablen in Bezug auf den Testzustand, zum Beispiel die lokalen Dichten des Systems. Gleichzeitig kann dabei eine Optimierung der gemessenen Observablen durchgeführt werden.

In Anlehnung an die oben beschriebenen allgemeinen Ideen einer Funktio- naltheorie, kann aus den gemessenen Observablen und der Energie einer Vielzahl vom Quantencomputer erzeugter Testzustände ein Funktional der Energie in Abhängigkeit von den Erwartungswerten der Observablen für das betrachtete System erzeugt werden.

Zur Konstruktion des Funktionals müssen somit von jedem Testzustand nicht nur der Erwartungswert der Energie, sondern auch die Erwartungswerte der Observablen gemessen werden. Sind diese beiden Messungen vollkommen unabhängig, so entsteht durch die Messung der Observablen ein erheblicher Mehraufwand, der dem erfindungsgemäßen Ziel zu wider läuft, nämlich mit weniger Messungen auszukommen, als in den bekannten Variationellen Ansätzen.

Um somit ein Funktional zu konstruieren, dass eine gute Basis für die Minimierung der Energie liefert, werden allerdings physikalisch motivierte Observablen gewählt. Durch die Messung des Energieerwartungswertes über die oben erwähnte Zerlegung des Hamiltonoperators in Pauliprodukte können diese Ob- servablen, die ebenfalls in Pauliprodukte zerlegt werden können, in den meisten Fällen automatisch mitgemessen werden und es entsteht somit kein zusätzlicher Messaufwand.

Betrachtet man zum Beispiel das Hubbard Modell, wobei t die Hoppingstärke, U die Dichte-Dichte Wechselwirkungsstärke, p das chemische Potential und c _{x n} der elektronische Vernichter eines Elektrons im Orbital x mit Spin Up oder Down ist, so werden während der Messung von (H) automatisch die lokalen kinetischen Erwartungswerte (ct _a cj _a + h. c. ) gemessen, um die gesamte kinetische Energie zu bestimmen, und die lokalen Dichten werden gemessen, um den Beitrag des chemischen Potentials zur Gesamtenergie zu erhalten.

Observablen, die für die Konstruktion eines Funktionals genutzt werden können, sind beispielsweise:

- Lokale Dichten: Beispielsweise die lokalen Dichten eines Elektronensystems. Hier bestehen die größten Ähnlichkeiten zur Standard-DFT, die Dichtefunktionale verwendet.

- Lokale Magnetisierungsdichten: Zur Beschreibung von Spin-Systemen kann die lokale Magnetisierungsdichte und/oder Magnetisierungsstrom herangezogen werden.

- Kinetische Energien: Die Erwartungswerte der lokalen kinetischen Energien zwischen verschiedenen Plätzen in einem Gittersystem. Hier bestehen Ähnlichkeiten zu sogenannten kinetischen Funktionaltheorien (siehe beispielsweise in Löpez-Sandoval, R. & Pastor, G. M. Densitymatrix functional theory of strongly correlated lattice fermions. Phys. Rev. B 66, 1551 18 (15 Okt. 2002), Tokatly, I. V. Time-dependent current density functional theory on a lattice. Phys. Rev. B 83, 035127 (3 Jan. 2011), Theophilou, I., Buchholz, F., Eich, F. G., Ruggenthaler, M. & Rubio, A. Kinetic-Energy Density-Functional Theory on a Lattice. Journal of Chemical Theory and Computation 14. PMID: 29969552, 4072-4087 (2018) sowie Schmitteckert, P. Inverse mean field theories. Phys. Chem. Chem. Phys. 20, 27600-27610 (43 2018))

- Einteilchen-reduzierte Dichtematrix: Lokale Dichten, kinetische Energie und allgemeine Erwartungswerte der Einteilchen-reduzierten Dichtematrix, siehe beispielsweise Gilbert, T. L. Hohenberg-Kohn theorem for nonlocal external potentials. Phys. Rev. B 12, 21 11 (1975).

- Dichte-Dichte-Korrelatoren: Die Doppelbesetzung oder auch lokale Dichte-Dichte-Korrelation, spielt eine wichtige Rolle in der Beschreibung von stark korrelierten Zuständen, beispielsweise im Hubbard-Modell.

- Spin-Spin-Korrelatoren: Die Korrelatoren der Spinoperatoren, insbesondere (S?S2) und spielen eine wichtige Rolle in der Beschreibung von magnetischen Zuständen.

- Paarhüpfen: Das Paarhüpfen spielt eine wichtige Rolle in der Beschreibung von Hochtemperatursupraleiter.

- anormale 1RDM: Für die Beschreibung von Supraleitung im Rahmen einer BCS-Theorie sind anormale 1 RDM-Erwartungwerte (1 RDM= one- particle reduced density matrix) von zentraler Bedeutung.

- Verschränkungsentropien: Verschränkungsentropien basieren auf der Partitionierung des Systems in lokale Umgebungen. Sie können zur Charakterisierung der Informationsausbreitung im System herangezogen werden.

- Einbettungsmethoden: Funktionaltheorien, welche auf einer selbstkonsistenten Beschreibung von lokalen Clustern eingebettet in effektive Umgebungen beruhen, zum Beispiel DMET oder (Cluster-)DMFT.

Im Unterschied zur üblichen DFT gibt es für allgemeine Funktionaltheorien unter Umständen kein Hohenberg-Kohn-Theorem, d.h. keine eindeutige Abbildung von Grundzustandsdichten zu entsprechenden Kopplungspotentialen. Allerdings ist es möglich, ein Energiefunktional über ein sogenanntes “Constrained- Search”-Verfahren zu definieren. Dazu wird lediglich der variationelle Charakter der Grundzustandsenergie, Eo, ausgenutzt, d.h., gleichbedeutend mit der Aussage, dass die Grundzustandsenergie durch den kleinsten Erwartungswert des Hamiltonoperators des Systems bezüglich aller Quantenzustände \ip) gegeben ist. In einem zweiten Schritt werden alle Quantenzustände durch ihre Erwartungswerte bestimmter, generischer Dichteoperatoren oder Observablen p _t , klassifiziert und die Optimierung zunächst innerhalb dieser Klassen durchgeführt,

Dabei zerfällt die Minimierung in Terme, welche explizit durch die Erwartungswerte der Observablen gegeben sind, in der zuvor genannten Gleichung dargestellt durch Ei Pi * h _t , und einen Rest, definiert in der zuvor genannten Gleichung als Infimum des Erwartungswertes von H _w über alle Quantenzustände, welche die geforderten Erwartungswerte { liefern. Hierbei ist H _w der Hamil- tonoperator ohne Terme, welche explizit an die Observable koppeln,

Dieser Operator wird eingeführt, um vom Infimum über Testzustände zum Infimum über Erwartungswerte zu gelangen. Dieser Beitrag ist im Allgemeinen nicht explizit bekannt und muss daher genähert werden. Die Wahl der Observablen p beeinflusst also wesentlich, welche Bestandteile der Energie näherungsweise betrachtet werden. Prinzipiell ist es möglich alle für die Berechnung der Energie relevanten Observablen als fundamentale Variable zu betrachten und damit alle Energiebeiträge explizit zu berechnen. Allerdings ist zu beachten, dass die N-Darstellbarkeitsbedingungen im Allgemeinen nicht hinreichend bekannt sind oder eine komplexe numerisch Implementierung erfordern. Dies bedeutet, dass es die Wahl der Observablen erlaubt Komplexität der Energiebeiträge gegen Komplexität in den N- Darstellbarkeitsbedingungen einzutauschen. Durch die Auswahl der Observablen kann also die Funktionaltheorie an das spezifische Problem angepasst werden. Die eigentliche Energieminimierung basierend auf den gemessenen Daten kann auf unterschiedliche Weise erfolgen.

Hier werden drei mögliche Strategien vorgeschlagen:

- Einhüllende: Plottet man die gemessene Energie über die Observablen so erhält man eine (potenziell hochdimensionale) Punktewolke. Ein Beispiel für ein Hubbard-Modell ist in der nachfolgenden Figur 1 zu sehen. Diese zeigt Samplingdaten einer VHA-Optimierung des Grundzustandes eines 6 x 1 Hubbardmodells mit periodischen Randbedingungen bei halber Füllung und U/t = 1 . Im oberen Plot ist die Energiedifferenz zur exakten Grundzustandsenergie E _gs über die Abweichung der lokalen Energie vom exakten Wert 0.5 aufgetragen. Der untere Plot zeigt die Energiedifferenz über die Differenz zwischen der lokalen kinetischen Energie und der exakten lokalen kinetischen Energie im Grundzustand. In beiden Fällen sieht man Punktewolken der Messdaten, welche sich verdichten, während sie zum exakten Grundzustand hinzulaufen. Aus dieser hochdimensionalen Punktewolke kann eine konvexe Einhüllende konstruiert werden, welche eine Näherung des inneren Optimierungszyklus im Constrained-Search-Verfahren darstellt. Das Minimum des so konstruier- ten Energiefunktionals produziert eine neue Abschätzung für die Grundzustandsenergie.

- Multidimensionaler Fit: Aus den Energien und dem kompletten Satz gemessener Observablen kann, beispielsweise mit Hilfe von Techniken aus dem Maschinellen-Lernen, eine multidimensionale Fitfunktion erstellt werden, deren globales Minimum bestimmt werden kann. Die Fitfunktion zur Bestimmung des Minimums selbst kann beispielsweise durch ein neuronales Netzwerk dargestellt werden, welches auf den gemessenen Daten trainiert wurde. Das daraus hervorgehende Energiefunktional kann mit klassischen Optimierungsmethoden minimiert werden.

- Physikalisch motiviertes Funktional: Des Weiteren kann für ein konkretes zu untersuchendes Systems ein physikalisch motiviertes Funktional erstellt werden, auch unter Benutzung bereits bekannter Näherungen für spezifische Modelle im Rahmen der DFT. Diese Funktionale haben Parameter, welche mit Hilfe der gemessenen Daten näherungsweise bestimmt werden können. Aus den Funktionalen mit den gefitteten Parametern kann schließlich das Minimum der Energie und damit die Grundzustandsenergie berechnet werden.

Eine Möglichkeit, um die große Zahl von Testzuständen festzulegen, durch deren Messungen das Funktional, beispielsweise entlang der oben vorgeschlagenen Strategien, konstruiert wird, ist die Kombination der Konstruktion des Funktionals mit den bekannten Variationellen Ansätzen. Mit einem klassischen Optimierer wird die Energie der Testzustände über die klassischen Parameter 9 optimiert. Bei jeder Energiemessung werden aber auch die Observablen gemessen und gespeichert, um so sukzessive das Funktional aufzubauen.

Dieser Weg wird gewählt, um möglichst viele Testzustände mit niedriger Energie zur Konstruktion des Funktionals zu verwenden. Bei rein zufällig gewählten Testzuständen wäre die Streuung zu groß, um ein sinnvolles Funktional aufzubauen. Es ist allerdings nicht unbedingt notwendig die Optimierung der klassischen Parameter 9 bis zur Konvergenz laufen zu lassen, solange genug Testzustände ausgewertet werden, um die gewünschte Genauigkeit in der Funktio- nalkonstruktion zu erhalten. Des Weiteren kann das sukzessiv verbesserte

Funktional in die Optimierung der klassische Parameter 9 rückgekoppelt werden, um diese zu beschleunigen.