L'objet de la présente invention concerne notamment un procédé permettant de déterminer de manière optimale la position de capteurs dans un réseau comportant plusieurs capteurs utilisés pour effectuer de la goniométrie. Le procédé concerne les réseaux homogènes composés de capteurs identiques où la réponse du réseau à une direction Θ dépend uniquement du vecteur d'onde k(Θ) et des positions p _n des capteurs.

L'invention trouve son application pour définir un système de goniométrie et un réseau de capteurs en particulier, à partir d'un cahier des charges de performances données, techniques, économiques. Elle concerne la définition de produits permettant de faire de la goniométrie dans les gammes Haute fréquence HF et très haute fréquence V/UHF ainsi que les produits IFF. Elle trouve son utilisation dans des systèmes de goniométrie radio- cellulaire où les réseaux sont souvent des patchs de taille non négligeable que l'on souhaite installer sur une plaque de dimension finie.

De manière plus générale, le domaine concerné par la présente invention est celui du traitement d'antennes qui traite les signaux de plusieurs sources émettrices à partir des observations provenant de plusieurs capteurs.

Elle trouve aussi son application dans les procédés de localisation en imagerie médicale pour la localisation de tumeurs ou de foyers épileptiques, dans des applications de sondage pour la recherche pétrolière et minière dans le domaine de la sismique, dans la localisation de sources dans un contexte urbain ou sous-marin.

Un ensemble de capteurs est appelé réseau d'antennes 1 ou réseau de capteurs. Dans un contexte électromagnétique, les capteurs sont des antennes et les sources radioélectriques se propagent selon une polarisation. La figure 1 montre un exemple de système 2 de traitement d'antennes où un réseau de capteurs Ci reçoit les signaux de plusieurs sources d'incidences Ei sources d'incidence Θ _mp . Un système de traitement d'antennes comprend notamment une unité de traitement comprenant un ou plusieurs processeurs, ce type de système étant connu de l'Homme du métier. Les techniques de traitement d'antennes exécuté par un processeur P ont pour objectif de séparer ou d'extraire des informations associées à chacune des sources en exploitant la diversité spatiale dépendante de la géométrie du réseau d'antennes et de l'incidence Θ _mp des sources. Le domaine est plus particulièrement celui de la goniométrie qui consiste à estimer les directions Θ _mp de chacune des sources.

Les capteurs élémentaires du réseau reçoivent les sources avec une phase et une amplitude dépendantes en particulier des incidences des trajets et de la position des capteurs.

D'après la figure 2, l'incidence d'un trajet est soit définie par des paramètres de direction Θ _m = {θ _m et/ou Δ _m } soit par le vecteur d'onde k (Θ _m )= [u _m v _m ι/ι/ _m ] ^r qui est de norme unité. Les angles θ _m et Δ _m sont respectivement l'azimut et l'élévation. Une technique de goniométrie a pour objectif d'estimer les composantes soit de Θ _m soit de k(Θ _m ). Une goniométrie est dite q-D lorsque le nombre de paramètres à estimer vaut q. Les autres paramètres sont soit connus a priori soit indéterminés. D'après la figure 1 , le vecteur p _n =[x _n y _n z _n ] ^τ est le vecteur de position du n-ième capteur par rapport à un point d'origine O. Un réseau de N antennes est dit d-D, lorsque l'espace engendré par les vecteurs de position p _n (1 <n≤Λ/) est de dimension d. En conséquence un réseau linéaire est de dimension 1 (1 -D) et un réseau plan de dimension 2 (2-D).

L'un des problèmes techniques à résoudre est celui de l'optimisation de la goniométrie d'un réseau d'antennes. Plus particulièrement, l'un des objectifs est de déterminer la position p _n des N capteurs pour (1 <n≤Λ/) à partir de critères de performances contenus dans un cahier des charges tel que : la précision mono- source ou bi-sources, la résolution de deux sources, sous des contraintes telles que par exemple: un nombre N d'antennes donné, le caractère plus ou moins omnidirectionnel du réseau d'antennes dans une certaine zone de l'espace, un encombrement maximal donné, des positions admissibles et non admissibles d'implantation des capteurs, une distance minimale entre capteurs pour minimiser le couplage mutuel entre antennes, un niveau maximal d'ambiguïtés donné. La définition des positions optimales des capteurs dans un réseau donné permettra ainsi l'obtention d'un réseau optimisé en performances.

Notons qu'un réseau est dit omnidirectionnel lorsque les performances mono-source du réseau sont indépendantes de la direction d'arrivée.

La littérature concernant les calculs de performances théoriques est très abondante. Ces performances sont généralement des variances ou biais des paramètres à estimer tels que Θ _m ou k (Θ _m ). Dans les articles de performances, à la connaissance du Demandeur, un seul ayant pour auteurs H. Gazzah et S. Marcos, intitulé « Cramer-Rao Bounds for Antenna Array Design » et publié au journal IEEE Trans. Signal Processing, 54(1 ):336-345, Jan. 2006, établit un lien entre la borne stochastique et les positions p _n des N capteurs en situation mono-source pour une goniométrie 2-D avec un réseau 2-D. Les auteurs de cet article utilisent ce lien pour établir un critère analytique de directivité dépendant de l'angle formé par les deux branches d'un réseau deux dimensions en V, le réseau est comprend N=2M+1 capteurs et il est composé de deux branches avec un réseau linéaire uniforme ayant le premier capteur en commun.

Malgré les avantages qu'elle apporte, la technique développée par l'art antérieur présente notamment les inconvénients suivants :

• d'avoir établi le lien analytique entre les performances et les positions des capteurs uniquement à partir de la borne stochastique en mono-source,

• de ne pas avoir établi de critère reliant la résolution de deux sources et la géométrie des capteurs,

• de traiter une seule famille de réseaux 2-D très particulière qui sont les réseaux en V composés de deux sous-réseaux linéaires uniformes respectant le critère de non-ambiguïté.

Dans la suite de la description, la notation Δ avec un seul indice comme Δ _m est utilisée pour désigner des angles, alors que la notation Δ avec deux indices comme A ₁₂ est relative à une distance dans l'espace du vecteur d'onde ou encore la norme de Δk qui est la différence entre les vecteurs d'onde de deux sources.

L'objet de l'invention concerne un procédé pour déterminer la position optimale de capteurs identiques de dimension d-D (1 <d<3) destiné à effectuer des mesures de goniométrie au sein d'un réseau de communications minimisant les ambiguïtés, en tenant compte de paramètres d'un cahier des charges tels que l'ouverture physique D _ph d'un réseau, caractérisé en ce qu'il comporte au moins les étapes suivantes : 0 - initialisation d'un ensemble Ψ de réseaux et d'une valeur i correspondant à l'indice d'un réseau,

1 - sélectionner par un processus de tirage un réseau /-ième initial d-D

(P _d,« ^im P ^our (l≤ra≤ N) ) ledit réseau comprenant N capteurs de position p _n 2 - déterminer l'ouverture physique du réseau sélectionné en exécutant les étapes suivantes :

Etape n °1 (DPH) : initialisation d'une valeur pour l'ouverture physique: D _ph =0 pour tous les d-uplets p _{d n} où (l≤i≤d +1) sachant que (l≤n _t ≤ N)

Etape n°2 (DPH) : calcul de :

— la distance Di entre les deux capteurs lorsque d=1

— du diamètre Di du cercle passant par les trois capteurs lorsque d=2

— du diamètre Di de la sphère passant par les 4 capteurs lorsque d=3

Etape n °3 (DPH) : calcul du centre p ₀ du cercle ou de la sphère lorsque d>1 , pour d=1 calcul de la position moyenne des deux capteurs,

si (p _d>B -p _o ) ^fl (p _d>B -p _o )≤D/2 pour (l≤n≤N) alors D _p/1 =D

Etape n °4 (DPH) : passage aux d-uplets suivants et retour à l'étape n°2 (DPH)

3 - transformation du réseau initial en un réseau d'ouverture physique D _ph en effectuant : p _d>B = {D _ph / D _ph ° )(p _d ; ^m -p ₀ ) pour (l≤n≤N)

4- Calculer les valeurs de D ₁ à partir des valeurs propres de , à partir des valeurs de D ₁ déterminées, calculer les paramètres σ _θ et σ _θ en utilisant σ _{d ï} = σ _ι cos(Δ _m )| et σ _{d d}

où σ _θ et σ _θ sont les valeurs minimale et maximale de la précision en azimut à l'élévation A _1n ainsi qu'une précision σ _Δ en Δ _m = 0. ,

5 - tester si la valeur du rapportσ _θm lσ _θ vérifie les critères techniques donnés par le cahier des charges, si oui, alors définir un réseau avec les valeurs des d-uplets si non, exécuter une boucle sur un ensemble de / vecteurs de paramètres d'une famille de réseaux, retour à l'étape n°1 pour le tirage d'un autre réseau avec /=/+1 Le test de vérification des critères peut être le suivant : si σ _θ lσ _θ n'est pas inférieur à la valeur donnée p _θ , exécuter une boucle sur un ensemble de / vecteurs de paramètres d'une famille de réseaux, retour à l'étape n °1 pour le tirage d'un autre réseau avec /=/+1.

D'autres caractéristiques et avantages du dispositif selon l'invention apparaîtront mieux à la lecture de la description qui suit d'un exemple de réalisation donné à titre illustratif et nullement limitatif annexé des figures qui représentent :

• La figure 1 représente un réseau de capteurs ainsi que les signaux émis par l'émetteur et se propageant vers un réseau de capteurs,

• La figure 2, la représentation d'une incidence d'une source,

• La figure 3, un exemple de schéma simplifié du fonctionnement du procédé selon l'invention,

• La figure 4, un réseau circulaire uniforme à deux dimensions,

« La figure 5, un exemple de réseau en cercles concentriques à deux dimensions

• La figure 6, un exemple de réseau en V avec 2 branches identiques de capteurs paramétrés par l'angle δ entre les 2 branches

• La figure 7, la représentation d'une ouverture physique d'un réseau à deux dimensions.

La description qui suit va être donnée dans le cadre de l'optimisation d'un réseau homogène composé de N capteurs identiques en présence de plusieurs sources.

Modélisation du signal et formulation du problème

En présence de M sources, le signal en sortie du réseau de N capteurs s'écrit de la façon suivante : x(0 = =∑â(ΘJ s _m (0 + n(0 (1 )

Où x _n (t) est le signal reçu sur le nième capteur, s _m (t) est le signal de la m-ième source, n(t) est le bruit additif, Θ _m est la direction d'arrivée de la source définie (figure 1 ) et â(Θ _m ) est le vecteur directeur observé. En présence d'erreur de modèle le vecteur â(Θ _m ) s'écrit

â(ΘJ = a(ΘJ + e _m (2)

Où a(Θ _m ) est le vecteur directeur théorique tel que a(Θ ) ^H a(Θ ) = N et e _m est l'erreur de modèle. Selon la figure 1 et sachant que les capteurs sont identiques (ou homogènes), la nième composante de a(Θ) s'écrit

( IM T

α _H (Θ) = expl j— k (Θ) p _H (3)

Où P _n = [^c _n y _n z _n ] est le vecteur de position, λ est la longueur d'onde et k (Θ) est le vecteur d'onde tel que (Δ)

k (Θ) = (4)

Où Θ = {#,Δ} dépend de l'azimut θ et de l'élévation Δ. L'objectif de la goniométrie est d'estimer les paramètres Ψ _m pouvant être égaux soit à la direction Θ _m soit au vecteur d'onde k (Θ _m ) . Un algorithme de goniométrie donne les estimées Ψ _m des sources de direction Ψ _m à partir d'un critère dépendant des paramètres Ψ = Θ ou k (Θ) . Les performances peuvent être données en terme • de précision avec

• le biais E[ψ _m ]-Ψ _m

« la variance ou EQM qui s'écrit

MS ^ψ _œm =E ΔΨ mΔΨ m avec ΔΨ = Ψ -Ψ

• de résolution entre deux sources : présence de deux estimés Ψ _: et Ψ ₂ non associées à un lobe secondaire du critère de goniométrie. La résolution sera définie en fonction de la distance Δ ₁₂ =|k (Θ ₂ ) -k (Θ _l )| entre 2 sources. • d'ambiguïté d'ordre M: un réseau est ambiguë mathématiquement lorsqu'il existe au moins une incidence ψ ^ambιg ≠Ψ _m dont le vecteur directeur a(Ψ ^ambιg ) appartient à l'espace engendré par les vecteurs directeurs a(Ψ _m ) pour λ≤m≤M.

Les conditions de directionalité et de précision du cahier des charges en mono-source donneront la forme de l'ellipse d'incertitude. Cette ellipse dépend des statistiques d'ordre 2 des vecteurs de position p _n , ce qui permet alors de transformer un réseau initial suivant les statistiques du cahier des charges par un processus de blanchiment puis coloration.

La résolution de deux sources dépend des statistiques d'ordre 4 de la position des capteurs. De fait des réseaux ayant des performances identiques en mono-source peuvent avoir des performances différentes en résolution. En conséquence, parmi une famille de réseaux à performance identique en monosource le procédé pourra classer les réseaux en fonction de leurs performances de résolution.

D'autre part, on sait que dans une famille de réseaux ayant des performances identiques en mono-source et bi-sources, tous les réseaux n'ont pas la même robustesse aux ambiguïtés. Il faudra alors classer les réseaux de cette famille suivant un critère d'ambiguïtés défini.

En pratique et au regard des objectifs de la goniométrie, le seul paramètre qui donne la direction d'une source n'est pas autre chose que le vecteur d'onde k(Θ) .

Dans ces conditions le processus d'optimisation de réseaux sera basé sur les statistiques de bonne estimation de ce vecteur. Une hypothèse est de poser

Ψ = k(Θ) . Dans le cas d'un réseau d-D on s'intéressera uniquement aux composantes du vecteur d'onde se projetant dans l'espace engendré par les positions des capteurs. En conséquence

• Pour un réseau plan 2-D: L'ellipse d'incertitude sera caractérisée par son grand axe, petit axe et son angle d'orientation.

• Pour un réseau linéaire 1 -D : L'ellipse d'incertitude sera caractérisée uniquement par l'écart type et le biais de la précision d'estimation de la composante du vecteur d'onde se projetant sur la ligne.

• Pour un réseau linéaire 3-D : L'ellipse d'incertitude est dans le cas général un ellipsoïde qui contient 3 axes et deux angles. On peut aussi dans ce cas caractériser les performances pour les composantes du vecteur d'onde se projetant dans le plan le plus proche du réseau 3D. En effet comme le vecteur d'onde est norme la 3-ième composante se déduit des autres.

Outils de base permettant l'optimisation de réseau

Outils d'omni-directionalité et de précision déduites des performances monosource

La matrice de corrélation de ΔΨ _m = Ψ _m -Ψ _m a l'expression suivante en monosource

avec

a(Ψja(Ψj ^g

π( ^ψ _m K a(Ψj ^fl a(Ψj

Sachant que Ψ _m est un vecteur de dimension dxl . Les valeurs du coefficient α indiquées dans le tableau suivant dépendent du type de performances considérées.

Tableau 1 - Tableau des paramètres à associer aux critères de précision mono-source sachant E[n(t)n(t) ^H l = σ ² l _N

Généralement en présence d'un paramètre multi-dimensionnel Ψ _m , les performances sont données suivant un ellipsoïde d'incertitude qui dépend des éléments propres de la matrice MS _Ψ ce qui revient à décomposer la variable ΔΨ _m en d variables indépendantes ΔΨ _m ⁽⁰ telles que :

^MS _Ψ =∑K _ω ) ² h _{ψ ω} h _{ψ W} *

où (6)

ΔΨ _m ^(O =h _ψm( ,,"ΔΨ _m avec (σ _ψjl) f = E[(ΔΨ _m «) ² ]

Où ( σ _{ψ ω} j et h _{ψ w} sont respectivement les valeurs propres et vecteurs propres de MS _Ψ . Lorsque d=2 on obtient une ellipse ayant pour grand axe σ _ψm<ta) = max(σ _ψJιi ⁾ j , pour petit axe σ _ψm<Imn) = mp(σ _ψ>(1) ) et une orientation par rapport à la première composante de ΔΨ _m valant φ = angle l h _{ψ (0} ,[l O] j . Dans la suite du paragraphe le lien entre la matrice MS _Ψ (matrice dont les éléments propres déterminent l'ellipsoïde d'incertitude) et les positions p _n des capteurs est établi afin d'obtenir une relation avec les paramètres de l'ellipse. Le lien est établi dans un premier temps pour Ψ _m = k (Θ _m ) . La matrice H (k (Θ _m )) s'écrit

Cette dernière expression montre que la matrice MS _{k(Θ (} est indépendante de la valeur du vecteur d'onde k (Θ _m ) en dépendant des statistiques d'ordre deux ( O _pp ) des positions p _n des capteurs. Un réseau est d-D lorsque le rang de la matrice O _pp vaut d. Sans rien changer à la généralité du problème, un réseau est dit une dimension ou 1 -D lorsque y _n = z _n =0 et deux dimensions ou 2-D lorsque z _n =0. Pour un réseau d-D, on ne s'intéressera qu'à la version projetée k _d (Θ _m ) du vecteur d'onde k (Θ _m ) sur l'espace engendré par les positions des capteurs. Dans le tableau suivant, on résume quelques exemples pour les expressions des vecteurs d'onde k _d (Θ _m ) et des positions des capteurs p _n

Tableau 2 - Valeur de k _d (Θ _m ) et p _n pour 1<d<3

Suivant le Tableau 2, l'expression du vecteur directeur devient

Les matrices de corrélation des p _d „ et p _n sont notées de la même manière, en conséquence

avec (9)

la matrice de corrélation de l'expression (5) devient donc :

La décomposition en éléments propres de MS _{k (Θ} , dépend directement des éléments propres ( (D ₁ ) ² et h _; ) de O _pp . Plus précisément on obtient

Sachant que la décomposition en éléments propres de O _pp est la suivante

D^=∑(A ) ² hÂ" (12) ι=l

où (D ₁ ) et h _; sont respectivement les valeurs propres et les vecteurs propres de O _pp . L'objectif est de calculer les valeurs de σ _d, , et les h, qui définissent les axes des ellipses d'incertitude à partir des performances techniques données dans le cahier des charges. La description qui suit établit le lien entre σ _d ,, et les h, et les performances du cahier des charges.

On dira que l'on est en présence d'un réseau omni-directionnel lorsque

D ₁ = - - - = D,=D ₀ et donc que D^ = (D ₀ ) ² I, (13) Dans l'équation (13) la notion d'omnidirectionnalité est définie à partir des deux critères suivants sur la précision d'estimation du vecteur d'onde

• les composantes de l'erreur d'estimation du vecteur d'onde sont indépendantes.

• les composantes de l'erreur d'estimation du vecteur d'onde ont la même variance.

II est possible de montrer que ce critère d'omni-directionnalité est équivalent à dire que la moyenne statistique de l'angle formé entre les vecteurs k _d (Θ) et k _d (Θ) est indépendante du vecteur d'onde k _d (Θ) . Plus précisément en notant k = k _d (Θ) et k = k _d (Θ) , le critère C(k) suivant

est indépendant de k = k _d (Θ) . Cela est équivalent à dire que les valeurs propres de MS _{k (Θ j} sont identiques et donc que D ₁ = - - = D _d . Dans la suite du développement les éléments propres de MS _{k (Θ} , permettent de définir entièrement les ellipses (ou ellipsoïdes) d'incertitudes qui définissent entièrement la directionalité d'un réseau de capteurs.

Sachant que pour un réseau omnidirectionnel :

• UCA (Uniform Circular Array) de diamètre D _ph où d=2 que D ₀ = D _ph I Vδ

• USA (Uniform Spherical Array) de diamètre D _ph où d=3 que D ₀ = D _ph /VÎ6

On en déduit que l'ouverture équivalente du réseau de dimension d, D _{d e} où l'indice e est équivalent à UCA (ou USA), est l'ouverture physique D _ph du réseau d-D uniforme omni-directionnel équivalent. En conséquence

Lorsqu'un réseau est omni-directionnel cela veut dire que chacune des composantes du vecteur d'onde a la même variance d'estimation et que les estimés des différentes composantes sont indépendantes. En conséquence les performances d'un réseau omni-directionnel vérifient

MS. k _{d l} ( _n ^@ _{m λ} ) = ( ^\ σ _d ^d Ϋ ^j l ^d . où σ ^d . = ( ₇ D r λ- (~\ 6\

Cette dernière expression montre que l'erreur quadratique moyen ou EQM σ _d de chacune des composantes du vecteur d'onde est inversement proportionnel à l'ouverture équivalente D _{d e} du réseau. En conséquence, pour transformer un réseau de capteurs de dimension d-D ayant chacun une position p _{d n} avec une matrice de corrélation O _pp en un réseau de capteurs de position p _d / ^mm omnidirectionnel ayant une ouverture équivalente D _{d e} fixant la précision, il suffit d'effectuer la transformation matricielle suivante

Toutefois suivant les requêtes du cahier des charges il n'est pas forcément souhaitable de concevoir des réseaux omni-directionnels. Ainsi il est possible d'optimiser un réseau ayant une directivité plus ou moins importante dans une direction Θ _m . Le cahier des charges peut donner, par exemple, un écart type minimal et maximal de l'azimut pour une source dont l'élévation d'arrivée vaut Δ _m . Pour cela il est nécessaire de revenir à la notion d'ellipse d'incertitude dans l'espace des angles d'arrivées Θ _m qui dépend des éléments propres de la matrice MS _0^ . L'objectif est alors de calculer la matrice O _pp qui permet d'obtenir la matrice de performances ^^Θ _m dans l'espace des angles d'arrivées. Sachant que les équations (10)(1 1 ) ont établi le lien entre les éléments propres de O _pp et ceux de la matrice définissant l'ellipse d'incertitude dans l'espace du vecteur d'onde, il suffit d'établir la relation entre les éléments propres de ^^ _kd ( _Θm ) ^et MS _Θm pour obtenir le lien entre MS^ et O _pp . Plus particulièrement le procédé définira des paramètres de directivité qui conditionneront les éléments propres des matrices = άR (Θ _m ) ^~l . La matrice

H(Θ _m ) s'écrit de la manière suivante en fonction de la matrice H(k _d (Θ _m )) qui est de rang plein

H(Θj = J, (Θj" H(k, (Θj)j, (Θj (18) Où J _d (Θ _m ) est le Jacobien. Afin que la matrice H(Θ _m ) soit de rang plein, le nombre de paramètres angulaire de Θ _m doit être inférieur ou égal à d, en conséquence

• Cas des réseaux 3-D (d=3): Θ _m = {θ _m ,A _m } • Cas des réseaux 2-D (d=2): Θ _m = {θ _m ,A _m )

• Cas des réseaux 1 -D (d=1 ): Θ _m = Θ _mΛ = {θ _m ] sachant que A _1n = A ₀

• Cas des réseaux 1 -D (d=1 ): Θ _m = Θ _{m θ} = {A _m } sachant que θ _m = θ ₀

Le cas d=1 est en réalité un cas dégénéré. Dans le tableau suivant, on résume les valeurs possibles du Jacobien en fonction de la dimension d du réseau

Tableau 3 - Valeur du Jacobien en fonction de la dimension du réseau

La matrice MS ₀ peut alors s'écrire

MS _Θ .

Dans le cas omni-directionnel où σ _{d ι} = σ _d pour 1 </<d (voir (16)), l'expression (19) ci-dessus devient : ^MS _Θ

car les matrices K _d (Θ _m ) sont unitaires. Sachant que les matrices A _d sont diagonales, les estimations des azimuts et des élévations sont indépendantes (ou découplées) pour des réseaux omni-directionnels lorsque d>1. Dans ces conditions, les axes de l'ellipse d'incertitude dans l'espace des angles d'azimuth θ _m et d'élévation Δ _m , Θ _m = {θ _m ,A _m ) sont définis par les écarts types respectivement des azimuts et des

élévations. Le tableau suivant résume les différentes valeurs possibles de σ _θ et σ _Λ pour un réseau omni-directionnel en fonction de la dimension du réseau

Tableau 4 - Précision en azimut et élévation d'un réseau omni-directionnel

Dans le cas où les réseaux sont non omnidirectionnels, la directionalité sera définie à partir des incidences Θ _m où l'estimation de l'azimut et de l'élévation sont découplées. Ce découplage est vérifié lorsque

K^Θj' h^ e^ pour l≤i≤d (21 )

Lorsque la condition de l'équation (21 ) est obtenue, alors

Dans le cas du réseau 2-D, la condition de l'équation (21) est vérifiée lorsque h ₍ est orthogonal à k ₂ \ θ _m +— ,0 ou k ₂ (6' _m ,0) . En posant It ₁ =k ₂ 0 _m +— ,0 et h ₁ =k ₂ (6 _B ,0),pour Θ _B ={6 _B ,Δ _11I }

(23)

etpourΘ _m ={^+^/2,Δj

MS (24)

D'après (23)(24) en fixant l'élévation à A _m , on montre que l'écart type en azimut σ _θ est bornée de la manière suivante

Lorsque σ _dl ≤σ _d2 . On peut alors envisager un processus de transformation d'un réseau quelconque en un réseau directif. Le cahier des charges peut donner les valeurs minimale et maximale σ _θ et σ _θ de la précision en azimut à l'élévation A _1n . Il est à noter que le rapport σ _θ lσ _θ^ est un facteur de directivité car lorsque σ _θ =σ _θ le réseau est omni-directionnel. En conséquence, les étapes de transformation d'un réseau initial de dimension 2-D composé de N capteurs de position p _{2 n} en un réseau de directivité choisie sont alors les suivantes. Les deux paramètres du cahier des charges du processus détaillé ci-dessous sont les valeurs minimale et maximale σ _θ^ et σ _θ de la précision en azimut à l'élévation A _1n . Le cahier des charges donne l'azimut θ _dιrectιf = θ _m +— pour lequel la précision en azimut σ _θ est minimal. Il est à noter que le processus décrit ci-dessous comprend le cas des réseaux omni-directionnels avec σ _a = σ _a .

Etape (T-2D) n° 1 : Calcul de la matrice de corrélation D™' des p _{2 n} selon l'équation

(9).

Etape (T-2D) n° 2 : Calcul de σ _{d l} = σ _θmm cos (Δ _m )| et σ _da = σ _θ cos(Δ _m )| en utilisant

(25).

Etape (T-2D) n°3 : Calcul des tailles de réseau D ₁ selon l'équation (1 1 ) en effectuant

D ₁ =[^aIW)I σ _d, )λ

Etape (T-2D) n° 4 : Calcul de la matrice de corrélation D PP ^Λrec " ^f en utilisant (12)

(26) . (Les directions des Axes de l'ellipse d'incertitude sont données par le cahier des charges avec θ _dιrectιf = θ _m +— qui donne la direction dans laquel la précision en azimut est minimale)

Etape (T-2D) n° 5 : Calcul de la position des capteurs du réseau directif en effectuant

P ₂ .- ^W = (D _W ^W ) ^1/2 D _W - ^1/2 (P ₂₁₁₁ -P)

(27) .

Le réseau donnant les perfomances est déterminé à partir de la position des capteurs trouvés à l'étape (27) Dans le cas du réseau 3-D, la condition de l'équation (21 ) est vérifiée lorsque h ₍ est orthogonal à k 0 _m +—,O ou k 0 _m ,Δ _m +— . En posant Fi ₁ = k 0 _m +—,O , h ₂

'<i,l

σ« =

S '& _m ={θ _m ,Aj = K f e _β e/ + ( σ _Δ] f e _Δ e/ avec COS (ΔJ| (28) σ _A = V(σ _(i,2 ) ² cos(Δ _m ) ² + (σ _{(i 3} ) ² sin (Δ _m ) ² Et pour Θ _m = {0 _m +^/2,Δj

(29)

D'après (28)(29) en fixant l'élévation à A _m , on peut montrer que l'écart type σ _θ vérifie

Lorsque σ _d>1 < σ _{d 3} . On remarque de plus que σ _Aι = σ^ = σ _{d 2} en A _m = O. Un processus de transformation d'un réseau quelconque en un réseau directif peut alors être envisagé et défini dans un cahier des charges. Le cahier des charges peut donner les valeurs minimale et maximale σ _θ^ et σ _θ de la précision en azimut à l'élévation A _m ainsi qu'une précision σ _Λ en A _1n = 0. Le cahier des charges donne l'azimut θ _dιrectιf = θ _m +— pour lequel la précision en azimut σ _θ^ est minimal.

En conséquence les étapes de transformation d'un réseau initial de dimension 3-D composé de N capteurs de position p _{3 n} en un réseau de directivité choisi sont alors les suivantes : Etape (T-3D) n° 1 : Calcul de la matrice de corrélation D™' des p _{3 n} selon l'équation

(9).

Etape (T-3D) n° 2 : Calcul de σ _dχ = σ _θ cos(Δ _m )| et σ _{d 3} = σ _θ cos (Δ _m )| en utilisant (30).

Etape (T-3D) n° 3 : Calcul de <7 _{d 2} = σ _A pour que la précision en élévation en

Δ _m = 0 soit σ _& .

Etape (T-3D) n°4 : Calcul des tailles de réseau D ₁ selon l'équation (1 1 ) en effectuant D ₁

Etape (T-3D) n° 5 : Calcul de la matrice de corrélation B P _m P ^ώrec " ^f en utilisant (12)

+ (D ₃ ) k (0 _m ,θ)k (0 _m ,θ)

(31 ) - (Les directions des Axes de l'ellipse d'incertitude sont données par le cahier des charges avec θ _dmctιf = θ _m -\— qui donne la direction dans laquel la précision en azimut est minimale)

Etape (T-3D) n°6 : Calcul de la position des capteurs du réseau directif en effectuant

(32) Le réseau optimal est défini à partir des positions des capteurs trouvés à cette étape.

Processus de transformation d'un réseau 3- D en un réseau de directif Dans le cas du réseau 1-D, on est dans un cas dégénéré car il faut fixer un des deux paramètres azimut ou élévation. Dans ce cas deux situations d'optimisation de réseau sont envisagées :

• Cas où l'élévation est fixée à Δ _o

• Cas où l'azimut est fixé à θ ₀ Lorsque l'élévation est fixée à Δ _o , un cahier des charges donne la précision en azimut σ _θ . En conséquence les étapes de transformation d'un réseau initial de dimension 1 -D composé de N capteurs de position p _{l n} en un réseau de précision choisie sont alors les suivantes :

Etape (T-1 D-Θ) n° 1 : Calcul de la matrice de corrélation D^' = D^' des p _{l n} selon l'équation (9).

Etape (T-1 D-Θ) n° 2 : Calcul de σ _{d l} = σ _θ cos (Δ _o )sin (0 _m )| en utilisant les données contenues dans le Tableau 4.

Etape (T-1 D-Θ) n ³ 3 : Calcul des tailles de réseau D ₁ selon l'équation (1 1 ) en effectuant D ₁ = H \ lal%N)lσ _dλ }λ

Etape (T-1 D-Θ) rT ^> 4 : Calcul de la matrice de corrélation B _pp ^dιrec " ^f = D _pp ^dιrecUf en utilisant (12)

D^ = (D ₁ ) ²

(33) .

Etape (T-1 D-Θ) n ⁰ 5 : Calcul de la position des capteurs du réseau directif en effectuant

Déterminer un réseau comprenant des capteurs définis par ces positions

(34) .

Processus de transformation d'un réseau 1-D lorsque l'élévation est fixée

Lorsque l'azimut est fixé à θ ₀ , un cahier des charges donne la précision en élévation σ _Λ . En conséquence les étapes de transformation d'un réseau initial de dimension 1 -D composé de N capteurs de position P _{1 n} en un réseau de précision choisie sont alors les suivantes : Etape (T-1 D-Δ) n° 1 : Calcul de la matrice de corrélation O _pp = D _pp des p i _« selon l'équation (9).

Etape (T-1 D-Δ) n° 2 : Calcul de σ _{d l} = σ _A sin (Δ _m )cos (6> ₀ )| ^en utilisant Tableau 4.

Etape (T-1 D-Δ) n ° 3 : Calcul des tailles de réseau D ₁ selon l'équation (1 1 ) en effectuant D ₁ =

Etape (T-1 D-Δ) n = 4 : Calcul de la matrice de corrélation O _pp ^ώnc " ^f = D _pp directif _en utilisant (12)

D^ = [D ₁ ) ²

(35) .

Etape (T-1 D-Δ) n ° 5 : Calcul de la position des capteurs du réseau directif en

T-v directif

effectuant P _{1 n} ^{Λrectιf p} _D ^p C InPi » n Pi)

Déterminer un réseau comprenant des capteurs définis par ces positions

(36) .

Processus de transformation d'un réseau 1-D lorsque l'azimut est fixé

La figure 3 représente un schéma fonctionnel du procédé selon l'invention. Ainsi, la première étape consiste à réaliser le tirage au hasard d'un réseau dans une famille de réseau de capteurs, 10, ce qui conduit à disposer d'une matrice de corrélations des positions p _n initiales des capteurs que l'on note p _n ^ιnι , puis l'étape suivante 1 1 , consiste à effectuer une transformation linéaire du réseau initial en tenant compte des contraintes techniques données dans le cahier des charges 12 (par exemple une ouverture physique maximale), ce qui génère une matrice composée des positions des capteurs pi ^(k) . Une étape suivante 13 peut consister à vérifier si d'autres critères imposés dans le fonctionnement du système, par exemple les critères techniques d'encombrement et/ou de résolution et/ou de précision (par exemple un rapport d'omnidirectionnalitéσ, lσ _θ inférieur à une valeur p _θ ou encore un σ _θ borné par une valeur maximal donnée dans le cahier des charges ) sont vérifiés. Si ces critères ne sont pas vérifiés, 14, alors le procédé va procéder au tirage d'un autre réseau de la famille et va lui appliquer toutes les étapes du procédé. Si au contraire, les critères sont respectés, 15, alors le procédé va effectuer un calcul du niveau d'ambiguïté 16 et classer 17 les réseaux suivant, par exemple, le niveau d'ambiguïtés. Le procédé va exécuter des itérations 19, pour trouver les meilleurs réseaux des réseaux qui ont des caractéristiques identiques en terme de précision, résolution, etc .. en ayant des caractéristiques différentes en ambiguïté. Le tirage dépend de la famille de réseau. Par exemple si on prend les réseaux en V de la figure 6 ou l'angle initial est fixé à δ, le réseau initial est composé de deux branches identiques dont la répartition des capteurs suit une loi normal.

A ce niveau, le procédé a déterminé un ensemble des « nb » meilleurs réseaux appartenant à une famille de réseau, c'est-à-dire la position de capteurs dans un réseau. Les meilleurs réseaux sont les réseaux les moins ambiguës qui vérifient les performances du cahier des charges. La suite du procédé comprend, par exemple, l'intégration d'éventuelles contraintes supplémentaires pouvant être des critères d'encombrement, des critères de résolution, ou encore d'autres critères relatifs au réseau de capteurs. Le processus qui vient d'être décrit peut aussi être mis en œuvre avec une contrainte d'encombrement maximal donné dans le cahier des charges.

Outil de résolution

Dans ce paragraphe, un critère permettant de quantifier la capacité de résolution d'un réseau est construit. Ce critère est, par exemple, établi à partir des performances de résolution de l'algorithme connu MUSIC en présence de deux sources. En présence de /W=2 sources, la méthode MUSIC appliquée aux observations de l'équation (1 ) a pour objectif de chercher les /W=2 minima du critère J(Θ) tels que

(O ₁ et/ou Θ, 1 = min J (Θ) avec J (Θ) (37)

Où U _b est le projecteur bruit de la matrice de covariance R _x^ tel que

Où \>--->λ _N sont les valeurs propres avec A ₁ la valeur propre associé au vecteur propre e ₍ . On considère que deux sources sont résolues, par exemple, lorsque

J _m oy - ^χσ moy > Jl2+ ^Xσ i2

OÙ

Où ( J _moy , σ _moy ) représente la moyenne et l'écart type du critère de MUSIC sur l'incidence moyenne et (J ₁₂ ,σ ₁₂ ) représente la moyenne et l'écart type de J ₁₂ =(J(Θ ₁ ) + J(Θ ₂ ))/2. On sait qu'en l'absence d'erreur de modèle pour AC infini J ₁₂ =O et J _moy > J ₁₂ . On définit la distance entre deux sources d'incidence Q ₁ et Θ ₂ par aveck ₁₂ =k(Θ ₁ )-k(Θ ₂ ) = Δ ₁₂ k(Ψ__J (40) Où Ψ _onentatιon est l'angle d'orientation entre les deux sources. Pour un réseau 2-D ^ _onentatwn ={^O} ^{OU a est un} àn9\e d'orientation dans le plan azimutal et pour un réseau 3-D Ψ _oπentatιon ={a,β} où β est un angle d'orientation de type élévation dans la direction a. La limite de résolution A ₁₂ ^m est la valeur minimale de Δ 12 dans la direction Ψ _oπentoton pour laquelle la condition (39) est vérifiée. L'expression de la limite de résolution est la suivante

Où les valeurs de σ _emr résumées dans le tableau suivant dépendent du type de performances considérées.

Tableau 5 - Valeur du σ _erreur du critère de résolution en fonction du type de

performances

Les paramètres D _pp (Ψ _onentatwn ) et ρ(Ψ _onentatιon ) sont liés de la manière suivante aux statistiques d'ordre 2 et 4 de la répartition des capteurs pp V orientation } » τ / i n \ orientation }

N n=

(42) r P( V ¹ V orientation Y )

Les positions d _n (Ψ) sont les positions des capteurs projetés sur un axe d'orientation k _d (Ψ _onentatιon ) . L'expression (41 ) permet de

• Définir une omnidirectionnalité en résolution pour un réseau d-D : Le coefficient P {*V _or i _entat i _on ) ^est indépendant de la direction Ψ . Un réseau circulaire uniforme est omni-directionnel en résolution avec />(Ψ _oπentofœn ) ² = 1.5 .

• Définir un critère de pouvoir de résolution où l/(/>(Ψ _oπentof∞n ) ² -l) doit être proche de 0. Dans la suite du paragraphe des critères plus précis sont établis sur l'omnidirectionalité en résolution et la capacité de résolution. Les expressions de

^D _pp (^ O _r i _entat i _on ) ^ P { ^ψ _or i _entat i _on ) ^ l' ^β Xpr ^β SSiOn (42) p ^β UV ^β nt S'éCHr ^β \

T) pp ( Vψ orientation ) î = k d ( Vψ orientation ) î ^H D pp k d ( Vψ orientation ) î

Où D _pp est la matrice de covariance des positions définie par l'équation (9), ® est le 5 produit de Kronecker et k ^®2 = k ®k . Plus précisément le coefficient p(Ψ ^' _onmtation f est le rapport de forme quadratique suivant

On peut alors définir des critères d'omnidirectionalité et de pouvoir de résolution à partir des valeurs propres suivantes de la matrice Q _pp de l'équation (44).

Où les valeurs Q ₁ sont les valeurs propres associées aux vecteurs propres v, . Le0 critère d'omnidirectionnalité en résolution est le suivant

En conséquence le réseau est omnidirectionnel lorsque R _omm est minimal, c'est à dire que /? _omnî =1. Sachant qu'un réseau aura un fort pouvoir de résolution lorsque

) J ² _i est grand, on définit alors le pouvoir de résolution par

R _power = min | _/? (ψ) ² - l| = min |ρ _î -l| (46') En conséquence les critères de résolution sont liés aux statistiques d'ordre 4 de la répartition des capteurs Q _pp . Dans un processus d'optimisation de réseau, l'objectif sera de minimiser le critère R ₁ et de maximiser R _power . Les calculs de ces deux critères à partir des positions p _{d n} des capteurs d'un réseau sont résumés dans les étapes suivantes :

Etape n°1 (Res) : A partir des positions des capteurs p _{d n} calcul de D _pp selon (9).

Etape n°2 (Res) : A partir des p _{d n} calcul de Q _pp selon (43).

Etape n°3 (Res) : A partir de O _pp et Q _pp , calcul de Q _pp selon (44).

Etape n°4 (Res) : Décomposition en éléments propres de Q _pp soit :

~ -r-i dxd / χH

^PP ' ' _T -I ^! ! V ! /

Etape π°5 (Res) : Calcul du critère d'omnidirectionalité en résolution R _omm selon

(46) à partir des Q ₁ .

Etape n°6 (Res) : Calcul du pouvoir de résolution R _power selon (46') à partir des Q ₁ .

Processus de calcul de critères permettant d'optimiser le pouvoir de

résolution ainsi que l'omni-directionalité en résolution

Ambiguïté de réseau

L'objectif est d'établir un contraste entre le niveau des lobes principaux et celui des lobes secondaires du critère MUSIC ou d'un autre critère équivalent. La goniométrie est ambiguë lorsque l'algorithme donne les incidences d'un des lobes secondaires à la place de l'un des lobes principaux. Les critères d'ambiguïtés se feront dans l'espace des composantes du vecteur d'onde.

Ambiguïtés d'ordre 1

En présence d'une source d'incidence Q ₁ , un réseau est mathématiquement ambigu à l'ordre 1 lorsqu'il existe une incidence Θ pour laquelle les vecteurs a(k _d (Θ _j )) et a(k _d (Θ)) snt colinéaires. Dans ces conditions la projection du vecteur directeur a(Θ) sur le vecteur a(Θ _j ) est maximale

Diag _À ( _az (k _d {Θ ₁ )),k _d {Θ)) = l (47)

N où I- Diag _À (a (k _{ ),k ₂ ) est une distance entre les vecteurs 3(Ii ₁ ) et a(k ₂ ))

où π(A) est le projecteur sur l'espace engendré par les colonnes de A tel que

et où a _λ (u,v) est le vecteur directeur pour la longueur d'onde λ tel que

*A(K) = (49)

Comme Diαg _λ (A,k _d (Θ)) est compris entre O et 1 et qu'il existe une ambiguïté mathématique lorsque Diαg _λ (A,k _d (Θ))=1 (la distance entre a(k _d (Θ)) et A est nulle), le critère de robustesse aux ambiguïtés d'ordre 1 noté η _γ (X) dépendant de la longueur d'onde λ de la manière suivante :

η _ι (Â) = minη _ι (Â,Θ _ι ) {\-Diαg _λ (a _λ (k _d (ΘjJ.k,)) ⁽⁵⁰⁾

car k _d (Θ) ^H k _d (Θ)≤l. D'un point de vue pratique, on considère que les ambiguïtés d'ordre 1 sont faibles lorsque η _ι (Â)<0A.

Méthode classique pour obtenir η _γ (λ) selon l'art antérieur

La méthode classique selon l'art antérieur pour obtenir la robustesse aux ambiguïtés consiste à tirer aléatoirement des incidences Θ/ et à calculer le critère suivant

η _v (Xf = η _v (/L, Q ₁ * ) pour 1≤k≤nb (51 )

Où nb est le nombre de réalisations permettant d'établir la fonction de répartition de

V ₁ (Xf - La robustesse aux ambiguïtés d'ordre 1 η _{ (X) pour la longueur d'onde λ doit alors vérifier

Vτ{ _ηi (Xf < _ηi (λ)) = P _fα pouM≤A≤rΛ (52)

Où Pr(.) est une probabilité et où p _fα vaut typiquement 5%. Méthode optimisée pour obtenir /;, (À) selon l'invention

Comme l'optimisation de réseau consiste à chercher le meilleur réseau dans une bande de fréquence large, on souhaite obtenir en une seule fois toutes les valeurs de η^c/ f ) pour / _mn ≤/≤/ _max où / _mn et / _^x sont les fréquences minimales et maximales d'utilisation d'un réseau. L'optimisation qui va être décrite plus loin est basée sur le fait que

On en déduit tout d'abord la propriété n°1 suivante

Ou O^ = [O ^••• Of . Sachant que k^Θj^ k^Θj≤l et que k/k _d ≤l , on en déduit que

Δk ^H Δk < 2 (55)

Ou bien Δk ^H Δk la distance au carré entre k _d et k _d (Θ _: ) est bornée par ( 2) (56) En conséquence on obtient η _γ (À) en effectuant min (l- Diag _λ (a _λ {0 _d ),Ak)) ₍₅₇₎

Λk ^H Λk≤2

De l'équation (53) on en déduit la propriété n °2 suivante (58)

On en déduit que f _Ak V ^Ô 4,ax V" / ' // (59) Δk ^w Δk≤2-

⁷ L:

C ¹ U /I _1111x = c/ / _max sachant que /≤/ _max . En conséquence, le critère de robustesse aux ambiguïtés d'ordre 1 dans une gamme de fréquence où / < Z _1111x est tel que

Car η _γ (/L _max ) < η _γ (À) lorsque / _max > / .

Ambiguïtés d'ordre P>1

Un réseau est mathématiquement ambigu à l'ordre P lorsque le vecteur directeur a(k _d (Θ)) est engendré par une base de vecteurs directeurs a(k _d (Q ₁ )) jusqu'à a(k _d (Θ _p )). En conséquence la projection suivante du vecteur directeur a(k _d (Θ)) sur l'espace engendré par les vecteurs a(k _d (Θ _p π pour l≤p≤P (P vecteurs indicés p) est nulle :

_/ , _{x x} a,(k _J (0)fπ(A,(Φ ^f ))a,(k _J (0))

^Dia _8λ ( ^A _λ ( ^Φ η ^,k Λ ^® )) = ^ ^[ „ ^{)] (61)} où le projecteur π(A) est défini par l'équation (48) et où

A _x (Φ ^p )≈faΛMΘj) - a^k^Θ,))] et Φ'≈fk, Ce ₁ ) - k,(Θ _P )} (62)

Comme Diag _λ {A,k _d (Θ)) est compris entre 0 et 1 et qu'il existe une ambiguïté mathématique lorsque Dïαg _Λ (A,k _d (Θ))=1, on définit la robustesse aux ambiguïtés d'ordre P pour la longueur d'onde λ , par le paramètre η _P [X) suivant :

η _p (λ) = Ωήnη _p (λ,Φ ^p )

D'un point de vue pratique, on considère que l'on n'a pas d'ambiguïté d'ordre P lorsque η _p {λ,Φ ^p }<QΛ. D'un point de vue statistique on remarque souvent que

L'estimation optimisée de P= 1 de η _P (λ) pour toutes les incidences n'est pas applicable pour P>1. C'est ainsi que la méthode classique ci-après est appliquée à la fréquence maximale. Cette méthode consiste à tirer aléatoirement P couples d'incidences

Φ ^pk = {k _d (Θ ₁ ^k ) ••• k _d (Θ/ )J pour ensuite calculer η _p (λ) ^k = η _p (λ,Φ ^pk ) pour λ≤k≤nb (65) où nb est le nombre de réalisations permettant d'estimer la fonction de répartition de η _p (λ) ^k . La robustesse aux ambiguïtés d'ordre P η _P (λ) ^k pour la longueur d'onde λ doit alors vérifier

Vx[η _P {λ) ^k < η _P {λ)) = _Pfa pour i≤/e≤nb (66) où Pr(.) est une probabilité et où p _fa vaut typiquement 5%.

Conclusion

Dans le processus d'optimisation de réseau, on estimera les critères d'ambiguïté η _P (λ) pour chaque réseau où les positions des capteurs sont paramétrés par p _B . Lorsque P= 1 on dispose d'un seul critère (60) qui permet d'obtenir la robustesse aux ambiguïtés η "" ¹ ^ dans une gamme de fréquence de fréquence maximale / _max et indépendamment de la direction des sources.

Optimisation de réseau

Le (ou les) processus d'optimisation sont initialisés par des familles de réseaux dont on fait varier les paramètres caractéristiques. Ces réseaux peuvent être

• Des réseaux aléatoires d-D (linéaire, plan ou 3-D dans l'espace). La répartition des capteurs suit une loi qui peut être gaussienne, uniforme ou etc..

• Des réseaux 2-D composés de deux sous réseaux 1 -D ayant un écart d'orientation de δ. Il s'agit en particulier des réseaux en V figure 5. Ces réseaux ne sont pas tous omnidirectionnels. Le caractère plus ou moins omni-directionnel dépend de la position relative des deux branches linéaires du V ainsi que de l'angle δ entre les branches.

• Des réseaux 2-D composés de plusieurs cercles concentriques figure 4. Les paramètres caractéristiques sont par exemple les rayons, le nombre de capteurs et l'orientation de chaque cercle. Ces réseaux ont la caractéristique d'être omni- directionnels en précision. Dans cette famille de réseaux on a les réseaux circulaires uniformes figure 3.

• Les réseaux linéaires 1 -d peuvent être

— Des ULA où les capteurs sont équi-espacés ( p _{l n} = d (n -l) ) — Homothétiques avec p _{l n} = dxp ^n~1 où p est le rapport homothétique

— Aléatoire

Un cahier des charges peut aussi donner des contraintes d'encombrement comme : l'ouverture physique D _ph : Diamètre du plus petit cercle (réseau 2-D voir ou plus petite sphère (réseau 3-D) qui englobe tous les capteurs du réseau. Pour un réseau 1 -D il s'agit de la distance entre les deux capteurs les plus éloignés, le processus permettant de calculer l'ouverture physique d'un réseau d-D est décrit ci-après, sachant qu'il est possible de définir un cercle à partir de 3 points et qu'une sphère se construit avec 4 points.

Etape n°1 (DPH) : Initialisation : D _ph =0

Pour tous les d-uplets p _{d n} où (l≤i≤d + l) sachant que (l≤^≤N)

Etape n°2 (DPH) : Calcul de

— La distance Di entre les deux capteurs lorsque d=1

— Du diamètre Di du cercle passant par les trois capteurs lorsque d=2

— Du diamètre Di de la sphère passant par les 4 capteurs lorsque d=3

Etape n°3 (DPH) : Calcul du centre p ₀ du cercle ou de la sphère lorsque d>1. Pour d=1 calcul de la position moyenne des deux capteurs

:Si (p _d>B -p _o ) ^fl (p _d>B -p _o )≤D/2 pour (l≤n≤N) alors D _p/1 =D

Etape n°4 (DPH) : Passage aux d-uplets suivants et retour à l'étape n °2

Processus de calcul d'une ouverture physique d'un réseau d-D

• Distance minimael entre capteurs qui peut être due soit à l'encombrement du capteur élémentaire soit à un souhait de minimiser un inter-couplage.

• Zone 1 -d, 2-d ou 3-d dans laquelle les capteurs peuvent être installés.

Dans l'exemple de réalisation donné ci-après l'optimisation de réseau prend en compte le critère d'encombrement pour obtenir des réseaux ayant les performances optimales pour l'encombrement donné.

Le processus suivant permet de trouver les nb meilleurs réseaux d-D omni- directionnel (ou directionnel) permettant de réaliser une goniométrie P sources à partir :

— d'une ouverture physique D _ph .

— d'un rapport d'omnidirectionalité maximale p _θ = σ _θ^ lσ _θ

— d'une famille de réseau qui peut être aléatoire ou paramétrée Ainsi les étapes résumées mises en œuvre par le procédé selon l'invention sont les suivantes :

Etape n°B.O : Initialisation de l'ensemble Ψ = 0 , /=0

Boucle sur un ensemble de / vecteurs de paramètres d'une famille de réseaux

Etape n°B.1 : sélectionner par un procédé de tirage un réseau /-ième initial d-D

(Pr _f,« ^™ P ^our {l≤n≤N) ) suivant le jeu de paramètres de la famille de réseaux choisis, ledit réseau étant constitué notamment de N capteurs de position p _{d n} Etape n°B.2 : Calcul de l'ouverture physique D _ph ° selon les étapes suivantes :

Etape n°1 (DPH) : Initialisation : D _ph =0

Pour tous les d-uplets p _{d n} où (l≤i≤d + 1) sachant que (l≤^≤N)

Etape n°2 (DPH) : Calcul de

— La distance Di entre les deux capteurs lorsque d=1

— Du diamètre Di du cercle passant par les trois capteurs lorsque ά=2

— Du diamètre Di de la sphère passant par les 4 capteurs lorsque d=3

Etape n°3 (DPH) : Calcul du centre p ₀ du cercle ou de la sphère lorsque d>1. Pour d=1 calcul de la position moyenne des deux capteurs

Si (p _d>B -p _o ) ^fl (p _d>B -p _o )≤D/2 pour (l≤n≤N) alors D _ph =D

Etape n°4 (DPH) : Passage aux d-uplets suivants et retour à l'étape n °2

Etape n°B.3 : Transformation du réseau initial en un réseau d'ouverture physique D _ph en effectuant : p _d>B P ^our {l≤n≤N)

Etape n°B.4 : Calculer les valeurs des tailles de réseau D ₁ à partir de la valeur de à

D« _> ⁼ ∑(A ) h,h ₍ ^H (12) connue, à partir des valeurs de D ₁ déterminées, calculer les paramètres σ _θ et σ _θ selon les équations (25) ou (30) en Δ _m suivant la dimension du réseau,

Etape n°B.5(Option) : Si σ _θ lσ _θ < p _θ alors retourner à l'étape n °1 pour le tirage d'un autre réseau avec /=/+1.

Etape n°B.6(Option) : Si le réseau ne vérifie pas certaines contraintes d'encombrement comme la distance minimale entre 2 capteurs alors retourner à l'étape n °1 pour le tirage d'un autre réseau avec /=/+1 .

Etape n°B.7 : Calcul des paramètres de résolution R _omm (facteur d'omni- directionalité en résolution) et R _pσwer (Pouvoir de résolution).

Etape n°B.8(Option) : Si R _omm >R _omr T ^{^ alors} retour à l'étape n°1 pour le tirage d'un autre réseau avec /=/+1.

Etape n°B.9(Option) : Si R _power >R _power ^msκ alors retour à l'étape n°1 pour le tirage d'un autre réseau avec /=/+1.

Etape n°B.10(Option) : Si σ _θ > σ _θ ^{1^} alors retour à l'étape n °1 pour le tirage d'un autre réseau avec /=/+1.

Etape n°B.11 : Calcul du critère η^ de la robustesse aux ambiguïtés d'ordre 1 de l'équation (59) à partir de la connaissance de Z _1111x . Etape n°B.12 : Stockage du réseau Ψ = {ψ (η ""*' ⁸ ,p _d „ pour (l≤n≤N))}

Etape n° B.13 : Classement des éléments de Ψ suivant le niveau des ambiguïtés d'ordre 1 tel qu'au final

ψ ₌ j _pour (l _≤k≤K ) _{ayec η™} biim > ... > _η amb _lg( K) j .

Classement du réseau le plus robuste aux ambiguïtés d'ordre 1 au réseau le moins robuste.

Etape n°B.14 : /=/+1 Si /</ alors retour à l'étape n°1.

Etape n°B.15 : Stockage des nb meilleurs réseaux, c'est-à-dire un ensemble de réseaux composés chacun de N capteurs vis à vis des ambiguïtés d'ordre 1 tel que Ψ _opt Œ Ψ avec Ψ _opt Pour (l≤k≤nb)}

Etape n°B.16 : Calcul des ambiguïtés d'ordre P des réseaux de Ψ _opt selon (66) pour obtenir Ψ^ ={( _7l —^,^ (c// _max f ,p, _,H « ) pour (l≤k≤nb)} .

Etape n° B.17 : Classement des éléments de Ψ _opt suivant le niveau des ambiguïtés d'ordre P tel qu'en final pour (l≤k≤nb) avec η _p ^m ≥-≥η™} :

Classement du réseau le plus robuste aux ambiguïtés d'ordre P au réseau le moins robuste. Eventuellement choix des « meilleurs réseaux ». On retient le réseau dont les positions des capteurs permettant d'obtenir la meilleure performance.

Le procédé selon l'invention permet par rapport à l'art antérieur de résoudre les problèmes suivants :

• la généralisation du calcul des performances en mono-source à une seule expression,

« le calcul de performances mono-source pour des réseaux 2-D, 1 -D et 3-D quelconques en fonction de la géométrie du réseau,

• rétablissement d'un critère reliant la résolution de deux sources et la géométrie des capteurs,

• rétablissement d'un critère de directivité pour des réseaux d-D quelconques, • l'optimisation de réseau de capteurs quelconques à nombre de capteurs fixés à partir d'un cahier des charges donnant la précision mono-source, la résolution sous les contraintes d'encombrement maximal, d'omnidirectionalité ou de zones dans lesquelles les antennes sont installâmes.