MéTODO Y SISTEMA PARA ANáLISIS DE SINGULARIDADES EN

SEñALES DIGITALES

CAMPO DE LA INVENCIóN La presente invención concierne al análisis de señales digitales, es decir señales que están muestreadas a intervalos regulares, aplicando para Ia puesta en práctica del método propuesto análisis de wavelets (ondículas o pequeñas ondas) que permite identificar algunos subconjuntos de puntos particulares en el espacio a una escala y posición que son más informativos acerca de Ia señal que otros.

La invención hace referencia igualmente a un sistema para Ia implementación del método propuesto.

En esta memoria descriptiva se entenderá como señal digital cualquier colección estructurada de datos muestreada uniformemente que se pueda representar mediante una matriz multidimensional cuyas posiciones se denominan puntos de Ia señal.

La invención aporta técnicas y herramientas útiles para el procesado, reconstrucción y compresión de señales digitales a partir de información parcial acerca de su gradiente y en particular operando sobre Ia base de medidas basadas en gradientes obtenidos por incrementos finitos. Dichas técnicas y herramientas son implementables de manera ventajosa mediante algoritmos automáticos materializados en programas de ordenador ejecutables en entornos computacionales.

La invención, dada Ia gran eficiencia que proporciona principalmente en tareas de reconstrucción de señales digitales, en particular representativas de imágenes, encuentra aplicación en numerosos campos entre los cuales cabe citar como aplicaciones específicas Ia compresión de señales digitales (incluyendo Ia compresión de imagen) y Ia evaluación de líneas de flujo en señales referidas a fluidos (incluyendo Ia determinación de líneas de corriente en imágenes de fenómenos físicos); y como aplicaciones más generales Ia detección de

estructuras y el reconocimiento de patrones en imágenes de entornos reales tales como imágenes fotográficas, geofísicas, biomédicas y de otros tipos.

La invención concierne señales definidas en cualquier número de dimensiones, aunque una vez descrito el método para un número determinado de dimensiones (por ejemplo dos), resultará bastante evidente para un experto en el sector generalizarlas para señales definidas en cualquier número de dimensiones. Por ello, en aras de simplicidad, muchas de las ecuaciones y derivadas presentadas a Io largo de esta memoria descriptiva se han escrito para señales 2D, es decir bidimensionales, susceptibles de constituir elementos tales como imágenes. Sin embargo, también se han obtenido resultados útiles en otros números de dimensiones y en particular en el procesamiento de señales 1 D, como las series temporales de Ia bolsa (ver referencias [16], [17]).

ANTECEDENTES DE LA INVENCIóN

Las patentes US-A-5901249, US-A-6141452 y US-A-6865291 se refieren a técnicas de compresión de señales digitales utilizando análisis de wavelets.

La patente US-A-6434261 describe un método para detección y segmentación de imágenes digitales para localizar objetivos en dichas imágenes basado en una determinación de un umbral adaptativo para realizar un análisis de wavelets de las imágenes digitales que son descompuestas en diferentes canales de escala.

La patente US-A-7181056 concierne a un método para Ia detección automática de regiones de interés en una imagen digital representativa de al menos una porción de un tejido biológico, en donde se genera una representación basada en wavelets de las regiones a explorar. La patente US-A-7062085 se refiere a un método para detectar aspectos en regiones de imágenes en color en donde se hace

referencia a unas características de textura materializadas mediante coeficientes derivados de una transformada wavelet basada en análisis de multiresolución de Ia imagen digital en color.

La solicitud de patente US-A-2005/0259889 hace referencia a un método para Ia eliminación de ruido de una imagen radiológica comprendiendo Ia aplicación de una transformación wavelet compleja a Ia imagen portadora de un motivo, operando con los coeficientes wavelet para reducir el ruido.

La solicitud de patente WO-A-2004/068410 concierne a un método para Ia detección de puntos de interés en una imagen digital que implementa una transformación wavelet, asociando una imagen sub- muestreada con una imagen origen.

El análisis de singularidad (ver referencia [14]) que implementa el concepto de caracterizar el comportamiento local de una función f(x) estimada en R ^m y definida sobre R ^d alrededor de cada uno de sus puntos de dominio x de acuerdo con el denominado exponente de singularidad de Holder, o exponente Hurst, denotado por h(x), es muy útil para muchas tareas de procesado de señales, y en particular, es muy relevante para fines de compresión y como herramienta de reconocimiento de patrones, y, dependiendo del contexto, puede ser utilizado también para revelar información sobre Ia evolución y dinámica de señales complejas.

La patente US-A-6745129 concierne a un método basado en wavelets para el análisis de singularidades en datos sísmicos a partir del procesado de una serie temporal representativa de un registro del fenómeno. El objeto de esta patente es calcular el exponente de Holder sobre registros sísmicos a través de una transformada de wavelet continua. Mediante ese método, al realizar el análisis de Ia señal (según se muestra en Ia Figura 2b de dicha patente), se producen inestablilidades que repercuten tanto en Ia resolución espacial como en Ia calidad de Ia determinación del exponente de Holder de cada punto (ver discusión de esta cuestión en Ia referencia [111). Esta problemática imposibilita de

hecho Ia utilización del método de Ia US-A-6745129 para tareas de reconstrucción de señales digitales a diferencia de las propuestas del método de Ia presente invención. La presente invención proporciona una determinación más precisa de los exponentes de singularidad, tanto en cuanto a su posición, como en cuanto a su valor. La diferencia de precisión entre Ia presente invención y Ia US-A-6745129 es debida al uso de medidas de gradiente (que elimina las fluctuaciones indeseables asociadas a las wavelets complejas, ver referencia [17]) y también por incorporar dicha medida un indicador del grado de reconstructibilidad. En base a Io anterior, Ia presente invención permite además reconstruir una señal con gran calidad a partir de información parcial, al contrario del método de Ia patente US-A-6745129 (ver referencia [11]).

Dentro del campo del análisis de señales basado en wavelets y en particular aplicado al procesado de señales digitales uno de los métodos utilizados más conocidos es el denominado Máximos del Módulo de Ia Transformada de Wavelet (conocido como WTMM, por sus siglas en inglés) que está determinado por el máximo local de las proyecciones de wavelet. Mallat y Zhong (ver referencias [4], [5] y [6]) conjeturaron que este conjunto puede ser utilizado para reconstruir de manera completa Ia señal. Con posterioridad se ha verificado que el conjunto conduce a una señal atenuada y que se han de introducir varios coeficientes empíricos para poder reproducir las amplitudes correctas de Ia señal. Desde Ia publicación del documento de Mallat y Zhong ha habido múltiples intentos de obtener reconstrucción de alta calidad a partir de WTMM. En cualquier caso, Io mas interesante acerca del método WTMM es que en el caso de imágenes Ia mayor cantidad de líneas están concentradas alrededor de los bordes y contornos; y puesto que desde hace años se conoce (ver referencia JT]) que los bordes y contornos contienen Ia mayoría de Ia información de una escena visual, el WTMM se ha evidenciado como un buen candidato para extraer información perceptual (bordes) utilizando un algoritmo automático canónico basado en dicho método.

Otra rama de investigación también centrada en el uso del WTMM fue iniciada por Arneodo y colaboradores (ver referencias [1] y [21) que reconocieron Ia capacidad de que el WTMM pueda tratar con señales multiescala, centrando sus estudios en sistemas en los que se conocía que presentaban propiedades de invariancia de escala, tales como flujos turbulentos y sistemas caóticos.

El principal inconveniente de todas las propuestas basadas en el

WTMM es Ia imposibilidad de extraer de manera sistemática los máximos cuando éstos se acumulan (topológicamente), situación que ocurre siempre cuando se trata de señales reales, como se discute en [171. En

[101 se estudió el problema y se propusieron soluciones parciales.

Al margen del uso del WTMM, se conocen en este campo de Ia técnica las investigaciones recientes del presente inventor, A. Turiel, relativas al análisis de singularidades basado en medidas de gradiente. En dichos trabajos se define Ia medida de gradiente μ asociada a una señal s(x) sobre un conjunto arbitrario A como Ia integral del módulo de gradiente sobre ese conjunto:

Dichas investigaciones de A. Turiel muestran que cuando se trabaja sobre datos reales, discretizados y con ruido, es necesario operar con transformadas de wavelets de las medidas de Ia manera siguiente: dada una wavelet ψ, Ia transformada de wavelet de Ia medida de gradiente μ a una escala r y en un punto x viene dada por Ia expresión:

donde d es Ia dimensión de Ia señal.

La transformada de wavelet de Ia medida μ permite determinar el exponente de singularidad local, ya que el término dominante cuando Ia

escala r es pequeña depende de r como una ley de potencias (ver referencia [141)

^{V β} O)

Con Ia introducción de medidas de gradiente es posible mejorar Ia resolución espacial de los exponentes de singularidad (ver referencias [111 y [141). De este modo en lugar de tener un exponente de singularidad cada diez píxeles o de precisar un control de las oscilaciones debidas a Ia wavelet, es posible asignar un exponente de singularidad a cada píxel con un mínimo de dispersión del punto. Se aprecia que existen diferencias en las capacidades de resolución de las diferentes wavelets, por Io que se ha reconocido Ia necesidad de buscar una wavelet optimizada apta para tratar con datos discretizados.

Un elemento importante en Ia construcción de wavelets con capacidad de resolución optimizada es el concepto de reconstrucción de señales a partir de información parcial acerca de su gradiente. Los planteamientos teóricos e implementaciones prácticas acerca de un algoritmo de reconstrucción de gradiente aparecen introducidos en Ia referencia [121, donde se presenta una discusión acerca de Ia estructura de señales multifractales (ver referencias [8], £31 sobre Ia estructura multifractal de los fluidos turbulentos). Para señales con estructura multifractal, el conjunto asociado al vértice superior de Ia jerarquía es bien conocido, al menos desde un punto de vista teórico, y se denomina Ia Variedad Más Singular (MSM, por sus siglas en inglés), que es el conjunto que comprende los puntos con valores más singulares (es decir, más negativos) de h (x).

En Ia referencia [121 antes mencionada se sostuvo Ia tesis de que Ia MSM contiene suficiente información para reconstruir de manera completa Ia señal, analizándose Ia reconstrucción de imágenes, aunque las fórmulas son válidas para cualquier número de dimensiones. La fórmula de

reconstrucción que se obtuvo en [121 para dominios infinitamente grandes es Ia siguiente:

donde : - s es una señal dada, r - ' ^v es Ia variedad más singular o MSM de dicha señal s es el vector de gradiente esencial de s, es decir, el gradiente restringido a Ia MSM, cuyas

componentes son ^• N. ' " - i f _t - S (X. ) = ¡* M X T / ^" _N . f% _γ >\X ) = t VM' X ' Si X t ,F _V ^ ; ^{* •} ^

. ^íí l^ ^f — ¹ X y> ^ι,x ¡Wv' ^{x 1 i} es el kernel vectorial de reconstrucción universal, que en el espacio de Fourier viene dado por Ia expresión:

- i ^{> k}

y

- Ia notación • significa producto escalar de convolución, es decir, donde * significa el producto de convolución ordinario de funciones.

De los estudios realizados por el presente inventor (ver referencia [121) tomando en consideración las medidas de gradientes se ha concluido que, de existir, hay únicamente un posible algoritmo para reconstruir señales a partir del gradiente basado en MSM en dominios infinitamente grandes. Asimismo es conocido que el MSM conduce a muy buenas

reconstrucciones con este algoritmo (ver referencias [111 y [121 para imágenes, y [151 , [161 para series temporales).

BREVE EXPOSICIóN DE LA INVENCIóN

La presente invención propone un método para análisis de singularidades en señales digitales que comprende a) determinar para cada punto de Ia señal un entorno de primeros vecinos; y b) calcular para cada punto x de Ia señal una medida de reconstructibilidad o capacidad de reconstrucción que proporciona el entorno (a Ia que llamaremos, indistintamente, "medida de singularidad") a partir del mencionado entorno, construida a partir de Ia inferencia del valor de Ia señal en x a partir del valor de Ia señal en los puntos de dicho entorno de x utilizando Ia función de reconstrucción explicada en Ia referencia [121 e indicada en Ia fórmula (4) anterior, pero adaptada al entorno, de manera que se obtiene una medida de singularidad que contiene Ia diferencia entre el valor medido del punto y el valor inferido a partir de su entorno. El método propuesto comprende además ventajosamente una tercera etapa c) en Ia cual se realiza al menos una transformación logarítmica sobre dicha medida de reconstructibilidad que suprime Ia dependencia de Ia medida del número total de puntos de Ia señal, obteniéndose así un exponente de singularidad para cada punto de Ia señal.

En una realización mejorada el método propuesto comprende las siguientes etapas: a1) obtener una función derivada estable de una señal digital, que está muestreada a intervalos regulares; b1) obtener para cada punto de dicha señal digital, una medida de singularidad de Ia función en ese punto, ponderando las contribuciones de

un entorno local del punto (utilizando una función de reconstrucción como se ha indicado antes) y el valor de Ia derivada en todos los puntos de dicho entorno local, y d ) realizar al menos una transformación logarítmica sobre dicha medida de singularidad con el fin de obtener una medida independiente de Ia amplitud de Ia señal digital muestreada y que varíe de una manera controlada bajo cambios de resolución.

La invención comprende también Ia generalización de Ia medida de singularidad según Io descrito en el apartado de antecedentes anterior, al proponer una nueva medida de singularidad basada en el conjunto o variedad de puntos impredecibles, UPM por sus siglas en inglés; es decir, se parte de considerar Ia agrupación de todos los puntos impredecibles, en oposición a los otros puntos que son predecibles.

EXPOSICIóN DETALLADA DE LA INVENCIóN

El objeto de Ia presente invención, tal como se ha indicado en el apartado anterior, comprende el cálculo de una medida de reconstructibilidad para calcular de manera precisa los exponentes de singularidad de una señal digital, y que dichos exponentes permitan obtener reconstrucciones de gran calidad. Los requisitos básicos para definir una medida de singularidad μ basada en el conjunto de puntos impredecibles UPM son los siguientes:

i) La medida μ debe hacer referencia al comportamiento singular local de las funciones. ii) La medida μ debe conducir a una variedad más singular MSM tan cercana al conjunto de puntos impredecibles UPM como sea posible.

Las medidas del conjunto de puntos impredecibles son medidas de singularidad que también tienen en cuenta el grado de predecibilidad de los puntos según Ia ecuación

div V * = 0

V W (5) donde F es Ia UPM y el superíndice "c" denota el conjunto complementario, es decir, los puntos predecibles; esta ecuación {5} es una consecuencia de Ia ecuación {4} tal como se describe en [121. Por tanto, Ia ecuación (5) muestra que Ia divergencia del gradiente tomado sólo sobre los puntos predecibles se anula. El inventor propone aquí que Ia mejor manera de continuar trabajando sobre singularidades es definir las medidas basadas en el conjunto de puntos impredecibles como proyecciones de wavelets de medidas de gradiente estándar. De este modo, Ia medida del conjunto de puntos impredecibles es una proyección de wavelet de Ia medida de gradiente expresamente diseñada para que se penalice Ia impredecibilidad. Ello conlleva generalizar el concepto de proyección de wavelet, a fin de producir proyecciones de wavelet con valores vectoriales. El uso de proyecciones de wavelet con valores vectoriales es bien conocido desde hace algún tiempo y no introduce especiales complejidades en Ia forma de abordar el problema.

Otra diferencia principal en relación con el análisis de singularidad estándar detallado en los antecedentes referidos es que en Ia propuesta de Ia presente invención no se realizan proyecciones de wavelet de Ia medida de singularidad a diversas escalas r para extraer los exponentes de singularidad mediante una regresión logarítmica aplicada a Ia ecuación mi

V ^J (6)

Ha de destacarse que proyectar Ia medida sobre una wavelet a diversas escalas es costoso en tiempo de computación y sólo sirve para

mejorar Ia resolución de las estructuras menos singulares a expensas de empeorar Ia de las más singulares (véase Ia argumentación al respecto en Ia referencia [171). Dado que el objetivo fundamental en relación con Ia presente invención es extraer las estructuras más singulares, resulta perjudicial realizar las proyecciones a Io largo de múltiples escalas; en lugar de ello, se propone utilizar un estimador puntual (ver referencias [171, [91) de los exponentes de singularidad, a saber:

U _Xλ

donde {Tψ μ(-,r ₀ )} es Ia media de Ia proyección de wavelet a Io largo de toda Ia señal y sirve para disminuir Ia amplitud relativa de Ia corrección o(1/log r ₀ ). Al aplicar Ia ecuación £7), se precisa que r ₀ sea Io suficientemente pequeño para despreciar esta corrección. La escala /Ό se define como Ia menor accesible, es decir, Ia escala de un píxel. Convencionalmente se asigna una medida de Lebesgue de 1 a Ia totalidad del dominio espacial, con Io que, para el caso de una imagen de N x M píxeles, el valor de /Ό se fijaría en:

rϋ = ^' (8)

INM

así que, en general, se precisa que las imágenes sean Io suficientemente grandes para hacer del primer término de Ia parte derecha de Ia ecuación (7) una buena aproximación al exponente de singularidad. Esto implica típicamente tener imágenes de al menos 100 píxeles en una de las direcciones.

Un aspecto importante de Ia presente invención reside en el diseño de wavelets numéricas para implementar medidas de singularidad basadas en variedades de puntos impredecibles. Más adelante se

presentan dos implementaciones de medidas basadas en variedades de puntos impredecibles de este tipo, que proporcionan un buen resultado en aplicaciones prácticas. El diseño está orientado, en su conjunto, al procesamiento de señales digitales y, en consecuencia, las wavelets se definen (implícitamente) mediante unos pesos numéricos, aunque Ia presentación está basada en una teoría y es fácil de generalizar a un esquema continuo.

Otro elemento importante del método propuesto reside en Ia manera de definir y/o establecer estimaciones numéricas estables del gradiente Fs para que el núcleo de reconstrucción sea estable numéricamente. Para ello se proponen dos opciones posibles: diferencias de un píxel o punto hacia Ia derecha y diferencias de medio píxel, es decir, las diferencias de valor al desplazarse una posición a Ia derecha en el primer caso, o Ia interpolación equivalente a Ia diferencia que se obtendría al desplazarse media posición a Ia derecha y a Ia izquierda del punto, en el segundo caso. Ambas están definidas por núcleos de derivación descritos en el espacio de Fourier.

Es decir Ia derivada estable de Ia etapa a1 ) del método, antes referida, se obtiene por derivada de incrementos hacia Ia derecha de un punto o centrados de medio punto.

En las fórmulas que siguen se caracterizará d _x , aunque Ia caracterización de d _γ es análoga. Este operador actúa sobre una señal digital multiplicando simplemente Ia transformada de Fourier de Ia señal por el núcleo de derivación, y luego anti-transformando el resultado. Se asume que hay N _x píxels o puntos en Ia dirección x y N _y en Ia dirección y. Diferencia de un píxel/punto hacia Ia derecha:

Diferencia de medio píxel/punto:

Otro aspecto básico del método propuesto consiste en Ia introducción del nuevo concepto de transformada de Fourier en cruz. Para estimar el grado de predecibilidad de un punto dado, se aplica una fórmula de reconstrucción, que viene expresada por Ia siguiente ecuación (11 ) para el menor número de vecinos posible de un punto, concretamente sus primeros vecinos. En 2D (siendo d Ia dimensión de Ia señal; por tanto, d = 2 en este caso) esto consiste en 4 puntos vecinos, que forman, junto con el punto original, una cruz. Para cualquier cantidad p{x) se representan los vecinos de cualquier punto Xo mediante un vector de 5 componentes que comprende dicho punto y sus cuatro vecinos más cercanos, siguiendo Ia convención de indexación señalada en el siguiente dibujo que ilustra Ia representación esquemática de Ia indexación de los puntos en Ia cruz de 2D. De este modo se asignará al punto central el índice 0, al punto de su derecha el índice 1 , al punto de su izquierda el índice 2, al punto de encima suyo el índice 3 y al punto de debajo suyo el índice 4. Así, se convierte el entorno de primeros vecinos del punto en estudio en el vector

Es decir, respecto al centro de Ia cruz, Ia posición del resto de puntos se corresponde con los desplazamientos de ±1 (en unidades de punto) ya sea en Ia dirección x o en Ia dirección y. Para definir una transformada de Fourier especializada o adaptada a esta configuración en cruz, se ha de tener en cuenta que Ia frecuencia básica de Nyquist en cada dirección es de 2π/3. Para simplificar Ia notación se introduce el elemento complejo básico ζ: ζ = ζ + iζ = e ^2m / ³ = COS(2λ-/3) + zsin(2λ-/3)

' R (12)

Conforme a Ia invención, se define Ia transformada directa de Fourier en cruz de cualquier vector de 5 componentes

P = {p _ϋ ,p _λ , P ₂ , P ₃ , P ₄ ) como el vector complejo de 5 componentes

P = (P _V P^ P _I ' P _I ' P _A ) obtenido según Ia siguiente fórmula:

p = Fp (13) donde F es Ia siguiente matriz compleja de 5 x 5:

Esta matriz representa Ia combinación lineal de los armónicos asociados a los desplazamientos en Ia cruz y está diseñada para representar con Ia máxima fidelidad Ia composición en el centro de Ia cruz, a partir de los puntos más cercanos. La inversa de esta matriz se puede calcular fácilmente,

y esta última matriz es necesaria para realizar Ia anti-transformada de Fourier en cruz.

Se precisa definir implementaciones del gradiente y Ia fórmula de reconstrucción restringida a Ia cruz, a fin de evaluar rápidamente el grado de predecibilidad del punto central en función de los vecinos. Por este motivo, esta invención propone unas implementaciones adecuadas del gradiente y de Ia fórmula de reconstrucción de dicho gradiente, sobre Ia base de Ia transformada de Fourier en cruz.

Una primera implementación es Ia del operador de gradiente en cruz en funciones de operador de gradiente local, que es el operador (^ _x , 9^)= F ^"1 - ψ _x ,d _y )- F . En el espacio de Fourier, dicho operador actúa simplemente multiplicando cualquier función por las funciones d _x y d _y para obtener las coordenadas x e y, respectivamente. La función B _x se define para entornos en cruz como sigue:

y, de manera análoga, se tiene:

4 = (0, G, 0, ^ή /3, -/ v3) _((|7) que se definen de tal manera que representan diferencias de medio píxel; de hecho V3 = 2sin(;r/3) .

Una segunda implementación es Ia del operador de reconstrucción en cruz, que es una de las inversas del operador de gradiente en cruz. Como el operador de gradiente elimina cualquier constante sumada a cada

componente del vector de 5 componentes que representa los vecinos, Ia reconstrucción está completamente definida excepto por un cambio de esa constante; nuestra implementación del operador de reconstrucción en cruz que se propone es tal que el vector de 5 componentes resultante tiene una media de cero, ∑^_ _{0 J} p, = 0 . Por ello, las señales deben tener Ia media sustraída antes de aplicarse estos dos operadores. Para ello se aplican los elementos de matriz de Ia primera línea de Ia transformada de Fourier en cruz inversa para no introducir armónicos cuando se aplique el operador de reconstrucción. Como Ia suma de los elementos de esa primera línea es (2 x d) -1 (cuyo resultado es 3 en el caso de señales 2D), para sustraer Ia media se suman todos los valores del vector entorno (primeros vecinos) y se divide por ((2 x d) -1), y al resultado se Ie suma Ia primera componente del vector de entorno y se Ie restan las otras componentes.

La reconstrucción en cruz es el operador R = F ' ^" ' - R - F . En el espacio de Fourier R tiene dos componentes funcionales, R = [R _x , R J; el operador actúa como Ia suma del producto de cada componente con Ia componente correspondiente (x e y) del gradiente sobre el que opera. La componente R _x se define para un entorno de cruz como sigue:

R _r = { {), - / v % i , \ X 0. o) (18) y, de manera análoga para R _y ,

(19)

De este modo Ia medida de singularidad definida en Ia etapa b1) del método de esta invención puede detallarse mediante los siguientes pasos para una señal genérica definida en un espacio de dimensión d arbitraria:

- se extrae el entorno de los (2 χ d) primeros vecinos de un punto de base x, obteniendo los primeros vecinos del punto x, modificando

consecutivamente cada uno y sólo uno de los índices de coordenadas de dicho punto x, primero sumando -1 y luego sumando +1 , formando un vector de (2 x d)+1 componentes, cuya primera componente es el valor de Ia señal en el punto x, Ia segunda el valor de Ia señal en el punto obtenido al modificar Ia primera coordenada sumándole -1 , Ia tercera el valor de Ia señal en el punto obtenido al modificar Ia primera coordenada sumándole +1 , Ia cuarta el valor de Ia señal en el punto obtenido al modificar Ia segunda coordenada sumándole -1 y así sucesivamente; - se extrae Ia tendencia de este vector, que se define como Ia suma de sus valores dividido por ((2 x d)-1) y esta tendencia se aplica al vector, añadiéndola a Ia componente referida al punto de base x y sustrayéndola de las otras componentes, de manera que de este modo el nuevo vector obtenido tiene media nula; - se aplica un operador de gradiente local sobre el citado vector de media nula, Io cual devuelve (2 x d)+λ vectores de gradiente cada uno de ellos de d componentes, que definen el gradiente local:

- se anulan las componentes de dicho gradiente local asociadas al punto x, - se aplica al gradiente local, con las componentes anuladas, un operador de reconstrucción asociado unívocamente al citado operador de gradiente local obteniendo un vector de (2 x d)+1 componentes, que se denomina señal estimada;

- se aplica una vez más el operador de gradiente local sobre dicho vector de (2 x d)+1 componentes o señal estimada y se obtienen (2 x d)+1 vectores de d componentes, que definen el gradiente local estimado;

- se obtienen (2 x d)+1 vectores de d componentes que expresan Ia diferencia de gradientes entre dicho gradiente local y dicho gradiente local estimado, y a partir de estos (2 x d) +1 vectores de

diferencia de gradientes se obtiene Ia medida de Ia singularidad asociada al punto x.

Los operadores de gradiente en cruz y de reconstrucción en cruz son dos de los procedimientos incluidos en esta invención susceptibles de implementarse mediante algoritmos básicos materializados de manera ventajosa en programas de ordenador ejecutables en un entorno computacional, para el diseño y cálculo de las medidas de singularidad basadas en variedades de puntos impredecibles. En particular tales programas o partes de los mismos pueden incluirse en rutinas almacenadas en microprocesadores o microchips. Estos operadores pueden simplificarse a una forma matricial de ((2 x d)+1 ) x ((2 x d)+1 ), para una implementación numérica más rápida.

A continuación se describen dos medidas de singularidad diseñadas de acuerdo con los principios de Ia presente invención:

- medida de singularidad de correlación local (Icsm por sus siglas en inglés); y

- medida de singularidad de correlación global (gcsm por sus siglas en inglés) Ambas medidas pueden implementarse mediante algoritmos específicos materializados de manera ventajosa en programas de ordenador ejecutables en un entorno computacional. En particular tales programas o partes de los mismos pueden incluirse en rutinas almacenadas en microprocesadores o microchips. La medida de singularidad de correlación local se ha concebido para medir Ia impredecibilidad de un punto dado, simplemente calculando Ia diferencia entre el valor real de Ia señal sin media (es decir, una vez suprimida Ia media) en un punto dado y el valor inferido a partir de sus cuatro vecinos (cuando d=2). Esta medida tiene como objetivo evaluar T _% μ(χ _o ,r _o ) en un punto dado Xo y en el caso d=2 comprende los siguientes pasos:

1. Se convierten los vecinos de Xo en un vector de 5 componentes s = (s ₀ , s _v s ₂ , s ₃ , S ₄ ) según el esquema de indexación en cruz del gráfico antes presentado.

2. Se rectifica el vector convenientemente: en primer lugar se obtiene S = - ^' ^ _ι _ _ι s _ι , y el vector rectificado, p = (p _o ,p _ι ,p ₂ ,p ₃ ,p ₄ ), se define como:

P ₀ = s _o + S

P ₁ ^ s ₀ - S, / = 1,...,4 (20)

3. Se aplica el operador de gradiente en cruz a p para obtener los vectores g _x y g _y .

4. Se conserva el valor de las componentes asociadas al índice 0 de dichos vectores para su uso posterior, A _x = g _{x 0} , A _y = g _{y 0} .

5. Se ajustan dichas dos componentes a cero, g _{x 0} = g _{y 0} = 0 .

6. Se aplica el operador de reconstrucción en cruz a los vectores resultantes g _x y g , para obtener Ia señal reconstruida f .

7. Se aplica de nuevo el operador de gradiente en cruz a F para obtener los gradientes estimados p _x y p _y .

8. Se define Ia medida de singularidad de correlación local como el módulo de Ia diferencia de los gradientes en cruz en el centro de dicha cruz, a saber:

De hecho, este último paso significa conservar el módulo de una proyección de wavelet con valores vectoriales, pero para simplificar Ia notación se deja tal cual está.

9. A continuación se obtiene el exponente de singularidad h(xo) aplicando Ia ecuación (7).

Es decir, Ia medida de Ia singularidad asociada al punto x comprende:

- retener de los (2 x d) + 1 vectores de diferencia de gradiente local obtenidos las d componentes asociadas al punto x, y - obtener Ia medida de singularidad como Ia raíz cuadrada de Ia suma de los cuadrados de estas d componentes con Io que se obtiene una medida de singularidad de correlación local apta para medir Ia impredecibilidad de un punto dado.

La medida de singularidad de correlación global mejora Ia de correlación local teniendo en cuenta no sólo el tamaño de las desviaciones entre las señales estimadas y las reales, sino también Ia diferencia entre las direcciones de los gradientes obtenidos. Por este motivo, los datos iniciales no son solamente Ia señal s(x) , sino también el gradiente Vs(Jc) .

Es muy importante proporcionar una caracterización estable de Vs(Jc) ; para ello se han utilizado los dos núcleos mencionados anteriormente: un núcleo de diferencias de un píxel hacia delante y un núcleo de incrementos de medio píxel.

La medida de singularidad de correlación global tiene una estructura más compleja; sin embargo, el inventor ha comprobado que es Ia más eficaz para evaluar singularidades y a Ia vez garantizar una gran calidad de reconstrucción. La obtención de esta medida se realiza en dos etapas: en primer lugar, se obtiene una diferencia de gradiente para todos los puntos; a continuación, se construye Ia medida en cada punto X ₀ combinando las diferencias de gradiente asociadas a dicho punto y el gradiente Vs en cada grupo de vecinos de dicho punto.

Esta medida tiene como objetivo evaluar T _ψ μ(χ _o ,r _o ) en un punto dado Xo y comprende los siguientes pasos:

Primera etapa: obtener las diferencias de gradiente en cada punto Xo.

1. Se convierten los vecinos de Xo en un vector de 5 componentes s = (s ₀ , s _v s ₂ , s ₃ , S ₄ ) según el esquema de indexación en cruz del gráfico antes presentado.

2. Se rectifica el vector convenientemente: en primer lugar se obtiene S = - ^' ^ _ι _ _ι s _ι , y el vector rectificado, p = (p _o ,p _ι ,p ₂ ,p ₃ ,p ₄ ), se define como:

P ₀ = s _o + S

P ₁ = S ₀ - S, i = \,...,4 (22)

3. Se aplica el operador de gradiente en cruz a p para obtener los vectores g _x y g _y .

4. Se conserva el valor de las componentes asociadas al índice 0 de dichos vectores para su uso posterior, A _x = g _xfi , A _y = g _yfi .

5. Se ajustan dichas dos componentes a cero, g _{x 0} = g _{y 0} = 0.

6. Se aplica el operador de reconstrucción en cruz a los vectores resultantes g _x y g , para obtener Ia señal reconstruida f .

7. Se aplica de nuevo el operador de gradiente en cruz a F para obtener los vectores de gradiente estimado p _x y p _y .

8. Se genera Ia diferencia de gradiente asociada al punto central,

[ε _x ,ε _y )= {p _x - A _x , p _y - A _y ).

Segunda etapa: se evalúa Ia medida de singularidad de correlación global combinando las diferencias de gradiente y los gradientes del grupo de vecinos de cada punto conforme a los siguientes pasos:

1. Para cada punto Xo, se considera Ia ventana de 3 x 3 centrada a su alrededor. En esta ventana, cada punto tiene unas coordenadas x ₀ + (d _x ,d ), donde d _x ,d pueden tomar los valores -1 , 0, 1.

2. Se calcula la autoproyección de las diferencias de gradientes en esta ventana, S(x ₀ ):

S(x _o ) = ε _x (x _o ) ∑ ε _x (x ₀ + (d _x ,d _y ))+ ε _y (x ₀ ) ∑ ε _y (x ₀ + (d _x , d _y )) (23) d _x ,d _y =-l,ϋ,l d _x ,d _y =-l,0,l Es decir, Ia medida de Ia singularidad asociada al punto x comprende:

- tomar el hipercubo d-dimensional que rodea a un punto x dado, formado por los puntos obtenidos cuando se suma -1 , 0 ó +1 a los índices de coordenada, Io que proporciona 3 ^d puntos;

- retener para cada punto de dicho hipercubo el vector d dimensional Ia diferencia de gradiente local de ese punto, y

- sumar estos 3 ^d vectores de d dimensiones, y calcular el producto escalar del vector resultante con el vector d dimensional de diferencia de gradiente asociado al punto x, Io que proporciona un índice de alineación de diferencias de gradiente local. El índice de alineación de diferencias de gradiente permite deducir

Ia existencia de una coherencia espacial entre los errores cometidos al prescindir del punto central cuando Ia señal es reconstruida, Io cual permite diferenciar entre ruido (de orientación aleatoria) y señal coherente. 3. Se obtiene Ia energía del gradiente asociada a esta ventana, E(X ₀ ) :

* ⁽ *<, ⁾ = + fcλ)) ^{2 +} M*o + fcλ)) ² ) ⁽ 24 ⁾

4. Se obtiene Ia energía de diferencia de gradiente del punto Xo, e(x _o ) \ e(x ₀ ) = ε _x (x ₀ f + ε _y (x ₀ f (25)

5. Finalmente se define Ia medida de singularidad de correlación global como:

^τ ψ _gcsm M*o , r ₀ ) = (26)

En este caso, Ia definición es mucho más compleja y Ia linealidad se ha perdido por completo, incluso si se consideran las proyecciones de wavelet con valores vectoriales. Se observa que se ha obtenido Ia energía de gradiente del citado hipercubo como Ia suma de los módulos al cuadrado de los gradientes de cada punto del hipercubo.

Por otro lado se observa que Ia medida de singularidad global es el producto de Ia medida de singularidad de correlación local obtenida según Io anteriormente explicado, por Ia raiz cuadrada del valor absoluto del índice de alineación de diferencias de gradiente local dividido por Ia energía de gradiente del hipercubo.

6. A continuación se obtiene el exponente de singularidad h(x¿) aplicando Ia ecuación £7] .

La invención descrita hasta este punto puede ponerse en Ia práctica mediante técnicas de computación que se ejecutaran en unidades operativas o de cálculo. La implementación del método comprende un sistema para análisis de singularidades en señales digitales caracterizado por comprender en una versión básica:

- medios para obtener para cada punto de Ia señal un entorno local que comprende los primeros vecinos; y

- medios para calcular para cada punto x de Ia señal una medida de reconstructibilidad, o medida de singularidad, a partir del correspondiente entorno asociado a cada punto, construida a partir de Ia inferencia del valor de cada punto a partir del valor de los puntos de dicho entorno utilizando para el cálculo Ia siguiente función o fórmula de reconstrucción

SiX) = ((J-V^ :χ)

donde

- s es una señal dada,

:F V es Ia variedad más singular o MSM de dicha señal s,

- ^' - es el gradiente esencial de s,

- g es el kernel de reconstrucción universal, y

- el símbolo • significa producto escalar de convolución, conteniendo dicha medida de singularidad Ia diferencia entre el valor medido y el valor inferido para cada punto. Conforme a una realización mejorada, el sistema comprenderá además medios para realizar al menos una transformación logarítmica sobre dicha medida de reconstructibilidad destinada a suprimir Ia dependencia del número de puntos de Ia señal y proporcionando un exponente de singularidad para cada punto de Ia señal y en general: medios para obtener una función derivada estable de una señal digital, muestreada a intervalos regulares; medios para obtener para cada punto de dicha señal digital muestreada una medida de singularidad de Ia función en ese punto, ponderando las contribuciones de un entorno local del punto y el valor de Ia derivada en todos los puntos de dicho entorno local; y medios para realizar al menos una transformación logarítmica sobre dicha medida de singularidad con el fin de obtener una medida independiente de Ia amplitud de Ia señal digital muestreada y que varíe de una manera controlada bajo cambios de resolución. Los citados medios comprenderán en general unidades de cálculo o de procesamiento de datos integradas en el sistema o materializadas en forma de circuito integrado o unidad de procesado dedicada. Las instrucciones para Ia ejecución de las etapas del método estarán grabadas

en programas cargables en las unidades operativas o integradas en circuitos electrónicos.

Se detallan a continuación unos ejemplos, que han de ser tomados a título no limitativo de aplicación del método conforme a Ia invención en diferentes campos. Todas las señales digitales procesadas en los ejemplos siguientes han sido obtenidas de bases de datos públicas, menos las correspondientes a las figuras 5 y 10. Todas las señales han sido procesadas utilizando un programa escrito por el inventor en lenguaje

C y ejecutado en un ordenador personal con sistema operativo Linux. Los exponentes de singularidad obtenidos han sido convertidos en imágenes digitales por el mismo programa.

Ejemplo 1 : Detección de estructuras y reconocimiento de patrones

Los exponentes de singularidad permiten reconocer estructuras muy sutiles que son difíciles de detectar a simple vista. Esto es así porque los exponentes miden el grado de transición (es decir, su brusquedad) de Ia señal en cada punto independientemente de su amplitud real. Esto se puede utilizar para detectar pequeñas modificaciones en un medio y para evidenciar Ia existencia de nuevas estructuras en imágenes. El rango de aplicaciones cubre todo tipo de imágenes, desde imaginería médica hasta teledetección, así como para detectar fotografías manipuladas.

En Ia Figura 1 de los dibujos se indica Ia detección de ondas internas oceánicas a partir de una imagen de satélite MeteoSat (ver referencia [141). La imagen de Ia izquierda muestra una porción de una imagen del canal visible del satélite MeteoSat V adquirida el 27 de diciembre de 2004 sobre Ia cresta submarina de Mascarene (área al Nordeste de Madagascar); Ia imagen tiene una resolución de 2.5 kilómetros x 2.5 kilómetros aproximadamente, y comprende 500x500 píxeles (Io que corresponde a un área de 1250 km x 1250 km). Las nubes aparecen como áreas blancas, borrosas, mientras que el mar es el fondo oscuro. La imagen de Ia derecha muestra los exponentes de singularidad

asociados, representados con una paleta que asigna a los valores menores los colores más brillantes. La obtención de dichos exponentes de singularidad llevó alrededor de 10 segundos en un ordenador portátil con dos procesadores Centrino a 1.8 Mhz (los tiempos de los otros ejemplos están referidos al mismo ordenador). Además de una estructura más rica asociada a las nubes y a los flujos atmosféricos, se reveló Ia existencia de frentes concéntricos oceánicos de hasta 500 km de largo, probablemente ondas internas, en el centro de Ia imagen. Hoy en día se sabe que tener un buen conocimiento de las ondas internas oceánicas es clave para conocer los procesos de disipación de energía y de mezcla (de nutrientes, dispersión de contaminantes, etc) en los océanos; a pesar de ello, existe muy poca información, y poco sistemática, sobre las zonas del planeta afectadas por estas ondas. Por ejemplo, las citadas en Ia imagen de Ia derecha, a pesar de su enorme extensión (diversos frentes de hasta 500 km de longitud separados hasta 300 km) no se habían publicado hasta Ia fecha.

En Ia Figura 2 en Ia parte superior se muestra una imagen de una proliferación de algas en el lago Mendota (Suiza) en falso color, como una combinación de varios canales para incrementar el contraste de dicha proliferación de algas. En Ia parte inferior de Ia figura se muestran los exponentes de singularidad, que fueron obtenidos tras apenas 3 segundos de cálculo, representados con una paleta de niveles de gris en Ia que los valores menores son más brillantes.

En Ia Figura 3 en Ia parte superior se muestra una vista de Ia bahía de los Alfacs (NE España, en el Delta del Ebro) registrada por Ia banda 8 del LandSat, en fecha indefinida. La resolución de esta imagen es de 2.5 metros, y Ia zona representada cubre 500x500 píxeles. En Ia parte de debajo de Ia figura se muestran los exponentes de singularidad (tiempo de cálculo: 10 segundos). Algunas embarcaciones apenas evidentes en Ia

imagen de arriba aparecen con contornos bien cerrados en Ia imagen de abajo; se observan también algunos frentes de olas.

En Ia Figura 4 a Ia izquierda se muestra una mamografía de formato digital con una resolución de 1976x4312 píxeles, extraída de un archivo público de mamografías en formato digital (USF Digital Mammography Home Page, http://marathon.csee.usf.edu/Mammography/Database.html) al que se accedió el 10 de Octubre de 2008. En Ia parte derecha de Ia misma figura se muestran los exponentes de singularidad asociados (tiempo de cálculo: alrededor de cuatro minutos). El análisis pone en evidencia Ia estructura de los diferentes tejidos que conforman Ia mama. Dicho análisis puede permitir una detección más precoz de lesiones. Por otra parte, Ia capacidad de detección de las líneas de singularidad independientemente del contraste hace posible reducir Ia exposición radiológica necesaria para Ia detección de los patrones.

En Ia Figura 5 en Ia parte superior se muestra una imagen de 200x200 píxeles del núcleo de una célula de cebolla en interfase, obtenida por microscopía óptica (imagen cortesía de Elisenda Gendra i Mónica Pons, Instituto de Biología Molecular de Barcelona, Consejo Superior de Investigaciones Científicas). Esta imagen fue adquirida a partir de un microscopio confocal SP1 de Leica, en modo transmisión (Nomarski), con iluminación por láser de argón a 488nm de longitud de onda. En Ia parte inferior de Ia misma figura se muestran los exponentes de singularidad asociados (tiempo de cálculo: alrededor de dos segundos). El análisis de singularidades revela Ia existencia de líneas coherentes dentro del núcleo y en su periferia, posiblemente asociadas a estructuras relacionadas con elementos del núcleo tales como Ia cromatina y Ia membrana nuclear, siendo dichas estructuras difíciles o imposibles de resolver o evidenciar por medios ópticos, en particular en ausencia de cualquier tipo de tinción o mareaje. Los exponentes de singularidad parecen evidenciar por ejemplo

Ia estructura de doble membrana del núcleo periféricamente, y también estructuras asociadas con las fibras de cromatina que llenan el núcleo.

Ejemplo 2: Compresión de imágenes y eliminación de ruido Debido a Ia fórmula de reconstrucción, es posible regenerar una imagen a partir del conjunto de los puntos más singulares con gran calidad. Dicho conjunto suele estar bastante disperso, constituyendo el 20- 30% de los puntos totales. Para completar Ia descripción, se debe registrar y almacenar el gradiente sobre dichos puntos, y se debe codificar de manera compacta. Se ha constatado que los gradientes cambian con suavidad por las líneas de variedad más singular MSM y se estima factible poder codificarlos de manera compacta. Por Io tanto, Ia reconstrucción de imágenes a partir de Ia variedad más singular MSM ha evidenciado tener el potencial de proporcionar códigos de compresión de alta calidad para imágenes.

En Ia Figura 6 en Ia parte superior se muestra una imagen de van Hateren identificada en Ia referencia [181 como imkO1O2O.imc. Esta imagen ha sido obtenida con una cámara CCD con distancia focal de 28 mm y está definida por una matriz de 1536 x 1024 píxeles; los datos están codificados como niveles de gris en 12 bits nominales. La obtención de los exponentes de singularidad llevó unos 50 segundos. En Ia parte central de Ia figura se muestra el 30% de puntos más singulares. En Ia parte inferior se ha reconstruido Ia imagen a partir de los gradientes sobre Ia MSM mostrada en Ia parte central, obteniéndose una calidad medida por el Peak Signal-to-Noise Ratio (PSNR) de 37 dB, Io que indica alta calidad.

En Ia Figura 7 se muestra cómo Ia reconstrucción a través de Ia MSM permite reducir el ruido presente en Ia señal. En Ia parte de arriba de Ia figura se muestra Ia imagen original (imagen de Lena, estándar IEEE en procesamiento de imagen) de una resolución de 200 x 200 píxeles; en Ia parte inferior, Ia reconstrucción a partir de Ia MSM asociada. Los contornos y bordes contenidos en Ia MSM son preservados en Ia reconstrucción,

pero las transiciones asociadas al ruido, que no forman frentes coherentes, son mayoritariamente eliminadas, Io cual es particularmente perceptible en algunas áreas de Ia cara, en Ia imagen reconstruida

Ejemplo 3: Determinación de líneas de flujo en imágenes geofísicas y de otros tipos

Debido a las raíces teóricas en las que se fundamenta Ia definición de exponentes de singularidad, los mismos son particularmente útiles cuando se utilizan para analizar imágenes de variables escalares en flujos turbulentos. La teoría predice que las singularidades son advectadas (esto es, arrastradas por el fluido), cosa que puede utilizarse para trazar las líneas de corriente. En esencia, se puede seguir el camino de las corrientes analizando simplemente las imágenes asociadas a Ia temperatura, Ia concentración de clorofila y otros indicadores análogos. Los resultados de las singularidades derivadas de Ia temperatura de Ia superficie del mar estimados por sensores de microondas (MW SST) embarcados en los satélites Modis Acqua y TRMM se comparan con los mapas de altimetría.

Los datos de altimetría son difíciles de producir y tienen una resolución espacial muy mala, que se ha de filtrar mediante un filtro de paso bajo. Además, para producir mapas de altimetría de calidad, se deben combinar diversos altímetros activos, pero desde 2003 sólo siguen en funcionamiento dos satélites, y pronto sólo uno de ellos estará activo, o incluso ninguno. Por el contrario, Ia MW SST es mucho más económica, se obtiene sinópticamente en grandes zonas y es fácil de procesar. Tal como muestra Ia comparación, las singularidades delinean bastante bien los patrones de circulación, demostrando que están canalizadas por el flujo. Por Io tanto, determinar corrientes utilizando el análisis de singularidades emerge con fuerza como una alternativa interesante para

sistemas oceanógraficos operacionales para Ia gestión del riesgo medioambiental.

La Figura 8 muestra en Ia parte inferior los exponentes de singularidad derivados de una imagen de temperatura de Ia superficie del mar obtenida mediante microondas (MW SST) - AMSR-E-TMI mostrada en Ia parte superior, correspondiente al 1 de Febrero del 2003 (imagen descargada de Remote Sensing Systems, http://www.ssmi.com/; tiempo de cálculo del análisis de singularidades: unos 5 segundos). La zona mostrada corresponde a Ia corriente del Golfo de México. El mapa de temperaturas está dado en una malla en proyección cilindrica con una resolución angular constante de VA de grado. En Ia Figura 9, arriba, se muestra el campo de corrientes geostrófico obtenido por Ia interpolación de cuatro satélites altimétricos, para Ia misma fecha del 1 de Febrero de 2003; en Ia parte inferior de Ia figura se muestra Ia superposición de los dos campos (exponentes de singularidad de Ia temperatura de Ia figura anterior y campo de velocidades geostrófico del panel superior de esta figura).

Ejemplo 4: Análisis dinámico de secuencias de variables en fluidos turbulentos.

Hoy en día Ia simulación numérica de fluidos es una herramienta indispensable en tareas como Ia predicción meteorológica y oceanógrafica, el prototipado aerodinámico de modelos o diversos problemas de análisis de reacciones químicas y combustión, de interés industrial. Sin embargo, dado el carácter caótico de los fluidos en régimen de turbulencia no es posible hacer una descripción de precisión acotada con un número finito de grados de libertad como los que imponen las mallas discretizadas que se usan en simulación numérica. Este problema es consecuencia de que cuando se describe un fluido con un paso de malla de tamaño determinado

no se pueden resolver los movimientos que tienen lugar a escalas más pequeñas, que por el carácter caótico del fluido no se pueden predecir.

La estrategia habitual para tratar estas escalas no resueltas es Ia introducción de unos coeficientes de viscosidad empírica (para el campo de velocidad) y difusividad empírica (para cada variable considerada en Ia simulación), también llamados coeficientes de viscosidad turbulenta y difusividad turbulenta (en inglés, eddy viscosity y eddy diffusivity). Estos coeficientes representan Ia dispersión más o menos aleatoria y homogénea de Ia variable considerada en estas escalas sin resolver. Dichos coeficientes sirven para modelizar el efecto de las escalas no resueltas sobre las escalas resueltas por Ia simulación bajo ciertas circunstancias; por ejemplo, si Ia turbulencia está completamente desarrollada o si el tiempo de integración de Ia simulación es suficientemente grande comparado con el tiempo típico de dispersión de las escalas no resueltas.

La determinación de los coeficientes de viscosidad y difusividad turbulentas en fluidos es fundamental para describir Ia evolución de los fluidos turbulentos mediante modelos numéricos con suficiente calidad. Una buena determinación de estos coeficientes es crucial para tener mayor precisión sobre las variables predichas con Ia simulación numérica, así como para extender el horizonte temporal de validez de estas predicciones. Sin embargo, en Ia mayoría de los modelos numéricos que se utilizan hoy en día se toman estos coeficientes como una constante en todo el dominio del fluido. Dicha constante se estima de manera heurística para cada realización numérica, aunque se suele comparar su valor con un valor experimental evaluado del análisis dinámico de secuencias, de acuerdo a Ia fórmula siguiente:

donde ^{íVi i} es el coefic ( χ?$ _(j j2) rico global, ^f; 'o es Ia variable analizada, el subíndice u iiaue inenuiun a ιa escala a Ia cual se está

procesando y los paréntesis triangulares significan promedio sobre todo el dominio espacial del fluido. Si en lugar de ^O se toma Ia función de corriente Io que se evalúa es Ia viscosidad, en vez de Ia difusividad.

En realidad, se puede pasar de Ia estimación global de Ia difusividad discutida arriba a una estimación local de este coeficiente para cada punto del dominio. Para ello, los promedios de derivadas temporales y gradientes de Ia expresión anterior se sustituyen por promedios ponderados con un peso decreciente con Ia distancia al punto de evaluación. Sin embargo, si Ia fórmula de evaluación global presentada arriba ya tiene cierta inestabilidad, Ia fórmula local es extremadamente inestable, dando lugar a valores de Ia difusividad local negativos en ciertos puntos, Io cual es físicamente inaceptable. La aplicación del método de Ia presente invención permite obtener una variable más estable (Ia densidad de Ia MSM), a partir de Ia cual se obtienen evaluaciones de Ia difusividad global muy estables y evaluaciones de Ia difusividad local que no son negativas en ningún punto.

Como muestra de ejemplo, se han evaluado las difusividades locales a partir de imágenes de un colorante dispersado en una experiencia de laboratorio. En Ia fila superior de Ia figura 10 se muestra un colorante dispersado en un medio en turbulencia 2D en laboratorio en dos instantes de tiempo, t=Os para Ia columna izquierda y t=10s para Ia columna derecha. (Imágenes de Ia fila superior, cortesía de Patrick Tabeling, école Nórmale Supérieure, París). En Ia fila central de Ia misma figura se muestra Ia evaluación de Ia difusividad turbulenta local para todos los puntos en los mismos instantes de las imágenes de Ia fila superior, usando como variable #0 Ia concentración de colorante, Ia cual se estima a partir del nivel de gris de las figuras de dicha fila superior. Los valores de difusividad local así obtenidos se han representado usando una paleta de dos colores extremos (rojo para los negativos, azul para los negativos), con un color intermedio (blanco) para los valores próximos a cero. Para facilitar Ia comprensión de Ia figura se ha superpuesto una trama de trazo

grueso y oblicuo a las zonas con valores negativos de mayor magnitud, y una trama horizontal y más fina a las zonas de mayores valores positivos. Como muestran las imágenes de esta fila central, Ia estimación de Ia difusividad a partir de Ia concentración da lugar a amplias zonas con valores negativos; además, cuando se procesa Ia secuencia se puede ver que Ia determinación es muy inestable, ya que los valores estimados de difusividad local de algunas zonas cambian de manera brusca en determinados instantes de tiempo. Por último, en Ia fila inferior se presentan las evaluaciones de difusividad local para los dos mismos instantes de tiempo obtenidas a partir de Ia función de densidad de Ia MSM, Ia cual se calcula a partir de los exponentes de singularidad evaluados usando Ia presente invención. Como muestra Ia figura, en estas evaluaciones de Ia difusividad local no se presentan regiones con valores negativos; además, Ia observación de Ia secuencia entera muestra una evolución suave y continua de los valores de difusividad local en todos los puntos.

Se incluyen a continuación una serie de referencias a publicaciones científicas del estado de Ia técnica que reflejan aspectos explicados en Ia presente invención.

Referencias

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