PRÉDICTION DE LA FORME D'UN OBJET TRIDIMENSIONNEL SOUMIS À UN PROCESSUS

DE DIFFUSION

DOMAINE TECHNIQUE

La présente invention concerne de manière générale le domaine de la fabrication d'objets tri-dimensionnels à partir d'une forme initiale destinée à subir un processus de diffusion, et plus particulièrement une méthode de prédiction de la forme de tels objets au terme dudit processus. ÉTAT DE LA TECHNIQUE ANTÉRIEURE

De nombreuses techniques de fabrication additive d'objets tri-dimensionnels ont vu le jour ces dernières années. Ces techniques font généralement appel à un dépôt de couches successives subissant une transformation physique telle qu'une polymérisation par exemple. Ainsi, la demande EP-A-820855 décrit une méthode de fabrication d'objets tri-dimensionnels à partir de couches successives obtenues par stéréolithographie et subissant une polymérisation sous l'effet d'un rayonnement énergétique.

Quelle que soit la technique utilisée, il est connu de procéder à une refusion (reflow) de l'objet formé par ces couches successives. Toutefois, la forme finale de l'objet après refusion est difficile à déterminer à l'avance, a fortiori lorsque le coefficient de diffusion du matériau et le temps de refusion sont élevés. Il est donc nécessaire de procéder à des campagnes d'essais longues et coûteuses, avec des couches de formes différentes et de positions relatives différentes avant d'atteindre la forme finale souhaitée.

Un but de la présente invention est par conséquent de proposer une méthode de prédiction de la forme d'un objet tri-dimensionnel après que celui-ci a subi un processus de diffusion. Un but subsidiaire de la présente invention est de proposer une méthode de fabrication d'un objet tri-dimensionnel de forme de consigne prédéterminée et de matériau donné, à partir d'une forme initiale donnée. EXPOSÉ DE L'INVENTION

La présente invention est définie par une méthode de prédiction de la forme d'un objet tri-dimensionnel soumis à un processus de diffusion pendant une durée prédéterminée, ladite méthode comprenant :

- une phase de calibration dans laquelle une pluralité d'échantillons de formes initiales différentes subissent, pendant ladite durée déterminée, le processus de diffusion, au terme duquel les échantillons adoptent des formes finales, et dans laquelle, pour chaque échantillon :

a) on mesure la hauteur initiale de l'échantillon et l'on acquiert les premiers contours d'une pluralité tranches horizontales de l'échantillon dans sa forme initiale, à des hauteurs normalisées par la hauteur initiale ;

b) on mesure la hauteur finale de l'échantillon et l'on acquiert des seconds contours d'une même pluralité de tranches horizontales de l'échantillon dans sa forme finale, à des hauteurs normalisées par la hauteur finale, égales aux dites hauteurs normalisées par la hauteur finale ;

c) on estime les paramètres d'une loi de morphing verticale permettant de passer de la hauteur initiale à la hauteur finale et on estime les paramètres d'une loi de morphing latérale permettant de passer d'une représentation, dans un espace de Fourier, des premiers contours à une représentation, dans ce même espace, des seconds contours ;

une phase de prédiction dans laquelle : d) on estime la hauteur finale dudit objet à partir de sa hauteur initiale et des paramètres de la loi de morphing verticale ;

e) on obtient une représentation dans ledit espace de Fourier d'une pluralité de contours des tranches de l'objet dans sa forme initiale, aux dites hauteurs normalisées ;

f) on obtient une représentation dans ledit espace de Fourier d'une pluralité de contours des tranches de l'objet dans sa forme finale, aux hauteurs normalisées, à partir de ladite représentation des tranches de l'objet dans sa forme initiale et des paramètres de la loi de morphing latérale ;

g) on détermine les contours de la pluralité de tranches dudit objet dans sa forme finale, aux hauteurs normalisées, à partir de la représentation des contours de ces tranches dans ledit espace de Fourier obtenue à l'étape (f) ;

h) on obtient la forme finale de l'objet tridimensionnel à partir de la hauteur finale dudit objet et des contours des tranches dudit objet dans sa forme finale, précédemment déterminées aux hauteurs normalisées.

Selon un premier mode de réalisation la représentation dans ledit espace de Fourier des premiers et seconds contours à l'étape (c) ainsi que la représentation, dans ce même espace, des contours des tranches de l'objet dans sa forme initiale à l'étape (f), est obtenue par une transformée de Fourier curviligne de ces contours.

Réciproquement, à l'étape (g), la détermination des contours de la pluralité de tranches dudit objet dans sa forme finale est obtenue par une transformation de Fourier curviligne inverse de la représentation des contours de ces tranches dans ledit espace de Fourier obtenue à l'étape (f).

Selon un second mode de réalisation la représentation dans ledit espace de Fourier des premiers et seconds contours à l'étape (c) ainsi que la représentation dans cet espace des contours des tranches de l'objet dans sa forme initiale à l'étape (f), est obtenue en effectuant les étapes suivantes :

(fl) on sélectionne une pluralité de points de ce contour, et on détermine les normales de ce contour en ces points ;

(f2) on calcule les coefficients d'une transformée de Fourier spatiale bidimensionnelle d'une fonction de courbe de niveau prenant une valeur nulle aux points ainsi sélectionnés et dont les normales en ces points sont respectivement égales aux normales du contour en ces mêmes points.

Réciproquement, à l'étape (g), la détermination des contours de la pluralité de tranches dudit objet dans sa forme finale est obtenue en effectuant une transformée de Fourier spatiale bidimensionnelle inverse des coefficients calculés à l'étape (f2).

L'invention est également définie par une méthode de fabrication d'un objet tri dimensionnel de matériau donné et ayant une forme de consigne donnée, la méthode de fabrication comprenant une phase de calibration dans laquelle on construit à partir de mesures d'échantillons de ce matériau, avant et après un processus de diffusion de durée T, une base de données de paramètres d'une loi de morphing verticale et d'une loi de morphing latérale pour une pluralité de hauteurs normalisées desdits échantillons, puis on applique une méthode de prédiction telle que définie ci-dessus à une pluralité de formes initiales pour prédire leurs formes finales respectives au terme du processus de diffusion, et l'on sélectionne la forme initiale dont la forme finale correspondante est la plus proche de ladite forme de consigne au sens d'une distance prédéterminée, on réalise un objet tridimensionnel ayant la forme initiale ainsi sélectionnée et l'on applique enfin le processus de diffusion pendant la durée T pour obtenir un objet tridimensionnel ayant ladite forme de consigne.

BRÈVE DESCRIPTION DES DESSINS

D'autres caractéristiques et avantages de l'invention apparaîtront à la lecture d'un mode de réalisation préférentiel de l'invention, décrit en référence aux figures jointes parmi lesquelles :

[Fig. 1] représente, de manière schématique, la forme initiale d'un objet tridimensionnel ;

[Fig. 2] représente, de manière schématique, la forme de l'objet tri-dimensionnel de la Fig. 1 après que celui-ci a subi un processus de diffusion ;

[Fig. 3A] et [Fig. 3B] représentent l'ordinogramme d'une méthode de prédiction, selon un premier mode de réalisation, de la forme d'un objet tri-dimensionnel ayant subi un processus de diffusion ;

[Fig. 4A] et [Fig. 4B] représentent l'ordinogramme d'une méthode de prédiction de la forme d'un objet tri-dimensionnel ayant subi un processus de diffusion, selon une variante du premier mode de réalisation ;

[Fig. 5A] et [Fig. 5B] représentent l'ordinogramme d'une méthode de prédiction, selon un second mode de réalisation, de la forme d'un objet tri-dimensionnel ayant subi un processus de diffusion ; [Fig. 6A] et [Fig. 6B] représentent l'ordinogramme d'une méthode de prédiction de la forme d'un objet tri-dimensionnel ayant subi un processus de diffusion, selon une variante du second mode de réalisation ;

[Fig. 7] représente l'ordinogramme d'une méthode de fabrication d'un objet tri dimensionnel de matériau donné et de forme de consigne prédéterminée.

EXPOSÉ DÉTAILLÉ DE MODES DE RÉALISATION PARTICULIERS

Nous considérerons dans la suite un objet tri-dimensionnel de forme initiale donnée et de matériau donné. Cet objet peut par exemple avoir été réalisé au moyen d'une technique de fabrication additive ou par photolithographie 3D. Le matériau peut être par exemple un polymère.

On a représenté en Fig. 1 une vue en perspective d'un tel objet, de hauteur totale Cet objet peut être divisé en tranches horizontales successives désignées par ^ «, chaque tranche étant caractérisée par son propre contour dans le plan horizontal.

On suppose que cet objet subit une transformation au moyen d'un processus de diffusion d'origine physique voire physico-chimique. Ce processus de diffusion peut être par exemple une refusion (reflow), telle qu'une refusion thermique du matériau constitutif de l'objet ou encore une érosion de ce matériau en présence d'un solvant en phase gazeuse.

La Fig. 2 représente l'objet tri-dimensionnel de la Fig. 1 après que celui-ci a subi un processus de diffusion pendant un temps T . En raison du processus de diffusion et de la gravité, la forme de l'objet s'est modifiée : la forme s'est globalement affaissée et les zones correspondant à des fréquences spatiales élevées ont été lissées.

L'idée à la base de la présente invention est de modéliser la transformation de forme (encore dénommée morphing) de l'objet tri-dimensionnel. Il est important de comprendre que cette modélisation n'a pas pour objectif de modéliser le processus physique sous-jacent mais simplement le changement de forme résultant de l'application du processus. De manière originale, l'évolution de la forme de l'objet est modélisée, d'une part, par une première loi donnant la hauteur totale de l'objet dans le temps et, d'autre part, par une seconde loi décrivant l'évolution du contour d'une tranche horizontale de l'objet dans le temps.

La hauteur de l'objet tri-dimensionnel dépend du temps et est notée pour cette raison - h _max désignant la hauteur initiale de l'objet et KO la hauteur de ce même objet après qu'il a subi un processus de diffusion pendant un temps T .

On a pu montrer que, lorsque l'objet présente un axe de symétrie vertical, la hauteur de l'objet au terme du processus de diffusion variait en fonction de la hauteur initiale de l'objet et du rayon ^r o du cercle équivalent à la base de cet objet. Par cercle équivalent à la base de l'objet, on entend un cercle dont l'aire est égale à la surface de la base de cet objet. h(T) = h(0)H (r ₀ , T ) (1) avec :

H (r ₀ , T ) = a(T)r ₀ exp (-b(T)r ₀ ) (2)

où ^a Q\Kl ) sont des coefficients strictement positifs dépendant du matériau utilisé et de la durée du processus de diffusion, T, notés plus simplement dans la suite ^a ,b. dénommée dans la suite facteur de morphing vertical relatif à la durée T.

On considère ensuite une tranche horizontale de l'objet, située à une hauteurs par rapport à sa base. On note z = z i h la hauteur normalisée de la tranche. Cette hauteur normalisée reste inchangée au cours du processus de diffusion. On note F( le contour de la tranche, celui-ci évoluant pendant l'application du processus de diffusion. Le contour F( est représenté comme une fonction de son abscisse curviligne u et peut être développé en série de Fourier curviligne, à savoir : où _S ont les coordonnées cartésiennes d'un point P( ^u > du contour F( d'abscisse curviligne u et ^a iL0, ¾( , ^c *( , sont les coefficients de Fourier correspondant à la fréquence spatiale k . On notera que ces coefficients de Fourier dépendent du temps dans la mesure où le contour F{ de la tranche évolue dans le temps en raison de l'application du processus de diffusion.

Les équations (3-1) et (3-2) peuvent être exprimées de manière plus compacte au moyen de coordonnées complexes : où ( - ^c o(0 ⁺ .ΰ ^; o(0 représente l'évolution dans le temps du centre de gravité du contour, ( représente l'évolution dans le temps de l'ellipse équivalente, c'est-à-dire approximant au mieux le contour de la tranche.

Lorsque la tranche est isolée, le centre de gravité du contour n'a pas de raison de se déplacer et l'on peut supposer, sans perte de généralité, que celui-ci est confondu avec l'origine, autrement dit ( - 0.

Le processus de diffusion a tendance à rendre le contour de la tranche circulaire. Autrement dit, l'ellipse équivalente tend vers un cercle et :

4 (°°) = ^r o= (¾ 1+ (5)

V Î2 où ^r « ( ² ) est le rayon du contour de la tranche considérée à la hauteur normalisée z au bout d'un temps infini. De manière plus générale, on suppose qu'au bout d'un temps infini la tranche se contracte latéralement d'un coefficient ^s i ^z ) :

Le coefficient ^s (¾) sera dénommé dans la suite coefficient de contraction. Le coefficient de contraction dépend de la hauteur normalisée à laquelle se trouve la tranche dans l'objet tri-dimensionnel. En effet, en raison du processus de diffusion la forme de l'objet au bout d'un temps infini est celle d'une sphère tronquée. Il en résulte que ^v ( - 0 , puisque le sommet de la sphère peut être considéré comme une tranche de taille nulle. En revanche, le coefficient ^(0) peut être supérieur à 1, autrement dit la base peut se dilater dans le temps.

Le contour de la tranche tendant vers un cercle, la puissance des harmoniques de rang H > ¹ tend vers zéro lorsque le temps tend vers l'infini, c'est-à-dire :

(¾ ( ) = 0 , /k, \k\ > l (7)

On suppose que la puissance des harmoniques décroît de manière exponentielle dans le temps, la rapidité de la décroissance dépendant du rang k de l'harmonique, à savoir : où a et/" sont des réels strictement positifs.

En résumé, nous pouvons donc écrire de manière condensée :

F ^t ) = <¾ (0) ecr (-a | ⁷ /) + ^ ( )(1 - ecr (-a | ⁷ , Vfc, |fc| > l (9)

symbole de Dirac. De manière équivalente, on a :

où ; est dénommé facteur de morphing latéral pour l'harmonique de rang 1^1.

Si l'on considère maintenant non plus une tranche isolée mais l'ensemble des tranches de l'objet, il faut tenir compte du fait que les centres de gravité de ces différentes tranches, notés F ( , où £ représente l'indice de la tranche, ne sont pas alignés à l'instant initial = 0. De surcroît, les tranches peuvent interagir entre elles et les centres de gravité des différentes tranches peuvent dériver dans le temps.

Dans des cas de formes simples, on peut légitimement supposer que les tranches sont indépendantes et leurs centres de gravité restent fixes dans le temps. Il est alors possible de décrire l'évolution de ces tranches dans le temps par :

! ₍ / est le facteur de morphing relatif à la tranche l et où et et Ÿ ^{' }} sont les coefficients a et Y relatifs à la couche £, _et contraction relatif à la couche £ .

Cependant, dans d'autres cas, notamment lorsque les contours des tranches sont concaves, par exemple se présentent sous la forme de U, l'hypothèse d'indépendance des tranches n'est pas réaliste. Dans des cas extrêmes, cette hypothèse d'indépendance conduit à des résultats aberrants comme celui par exemple où une tranche supérieure ne serait pas supportée entièrement par une tranche inférieure. De manière originale, la dépendance entre tranches est traitée comme un problème de minimisation d'énergie, l'énergie d'interaction entre deux tranches successives étant élevée quand celles-ci ne se chevauchent pas et faible lorsqu'elles se chevauchent.

On note que, lorsque les tranches sont indépendantes, l'évolution dans le temps des harmoniques curvilignes des différents contours peut être obtenue à partir de l'équation (8) :

En revanche, lorsque deux tranches successives ^ et ^ 2 sont couplées entre elles, l'évolution des contours de ces tranches est régie par les équations différentielles couplées :

Ces équations peuvent s'écrire de manière plus compacte sous la forme matricielle : teur de taille L dont les éléments sont les harmoniques curvilignes de est _{une ma} t _rjce symétrique tri-diagonale de taille L x L dont les termes de la diagonale principale sont égaux à ^~a r l et dont les termes de la diagonale inférieure ainsi que de la diagonale supérieure sont égaux à ¹ ¾, où et G sont des paramètres strictement positifs et ^ t est un coefficient de couplage pour l'harmonique de rang k entre deux tranches successives de l'échantillon.

En absence de couplage, c'est-à-dire lorsque les tranches sont indépendantes, la matrice se réduit à une simple matrice diagonale. A l'inverse, le couplage peut s'étendre au-delà de la tranche immédiatement inférieure et de la tranche immédiatement supérieure, auquel cas la matrice comporte des sous-diagonales supérieures et inférieures composées de termes non nuis. En pratique, toutefois, un couplage avec la tranche immédiatement inférieure et de la tranche immédiatement supérieure est généralement suffisant pour décrire l'évolution des contours des différentes tranches de l'objet.

Il résulte de l'équation (14) que : avec ^x matrice identité de taille L x L .

De manière similaire, avec les mêmes conventions que précédemment :

F _c ( = exp( A _1/ )F ₁ (0) + (I _L - exp( A _1/ ))F ₁ ( ) (16)

Le modèle ci-dessus permet de prédire la forme d'un objet tri-dimensionnel, après avoir subi un processus de diffusion pendant un temps prédéterminé T .

Les Fig. 3A-3B représentent l'ordinogramme d'une méthode de prédiction, selon un premier mode de réalisation, de la forme d'un objet tri-dimensionnel ayant subi un processus de diffusion pendant un temps prédéterminé.

La méthode de prédiction comporte tout d'abord une phase de calibration comprenant les étapes 310-345 en Fig. 3A.

A l'étape 310, on dispose d'une pluralité d'échantillons d'objets tri-dimensionnels de hauteurs différentes. Ces échantillons présentent également avantageusement des profils différents. A l'étape 315, on mesure la forme initiale de chacun des échantillons, par exemple au moyen d'un microscope à force atomique (AFM). La hauteur de chaque échantillon est mesurée et divisée en L intervalles, chaque intervalle définissant une tranche horizontale ^ f de l'objet située à une hauteur normalisée, ^z e. On obtient à partir de la mesure de la forme initiale, le contour de chaque tranche £— — _> £ . A l'étape 320, on effectue une décomposition de Fourier curviligne du contour de chacune de ces tranches.

A l'étape 325, on applique aux différents échantillons le processus de diffusion pendant une durée T.

A l'étape 330, on mesure la forme finale de chacun des échantillons, de préférence par les mêmes moyens que précédemment. On en déduit les nouvelles hauteurs des échantillons et les contours des tranches situées aux mêmes hauteurs normalisées que précédemment.

A l'étape 335, on estime les coefficients de la loi de morphing verticale. Plus précisément, à partir des hauteurs mesurées à l'étape 330 et des rayons équivalents des tranches formant la base des échantillons, obtenues à l'étape 315, on détermine les coefficients a, b de l'expression (2), à l'aide d'une technique d'ajustement de courbe.

On estime ensuite la loi de morphing latérale.

Pour ce faire, on effectue à l'étape 340 une décomposition de Fourier curviligne de chacun des contours des tranches q _U 'obtenus à l'étape 330, ce pour chacun des échantillons.

A l'étape 345, on détermine par une technique d'ajustement de courbe ( curve fitting) pour chaque tranche l les paramètres s ^' a g ^{' ·} q _U j minimisent l'erreur quadratique entre les valeurs C données par le modèle (expression (11) et les valeurs expérimentales correspondantes. On obtient ainsi une estimation de ces paramètres

Avantageusement, on pourra utiliser une régression polynomiale pour estimer ces paramètres. Plus précisément, on a observé de manière heuristique que les paramètres ^{s a} Y pouvaient s'exprimer en fonction de la hauteur normalisée ^{2 ~ z} ^ où 2G est la hauteur de la tranche considérée et Oax ⁼ O) est la hauteur de l'échantillon initial. a = P ₂ {z ) (17-1) r = P (z) (17-2) s = P (î) ï^¥ (17-3) sont respectivement des polynômes de degré 2, 3 et 4 de la hauteur normalisée z . On remarque que, dans l'expression (17-3), le coefficient de contraction s'annule pour z = l. Autrement dit, dès lors que la durée T est suffisamment longue, la tranche au sommet de l'objet tri-dimensionnel se réduit à un point.

En pratique, les valeurs des paramètres sont estimées pour une pluralité L de hauteurs normalisées (le cas échéant plusieurs estimations relatives à une même hauteur normalisée pouvant être issues de différents échantillons) et les coefficients des polynômes sont ensuite calculés pour minimiser l'écart quadratique moyen aux valeurs des paramètres ainsi estimées.

La phase de calibration est suivie d'une phase de prédiction proprement dite, comprenant les étapes 350-370 en Fig. 3B.

La phase de prédiction vise à prédire la forme d'un objet tri-dimensionnel (de forme initiale donnée) lorsque celui-ci aura subi le processus de diffusion pendant une durée T. La forme initiale de l'objet est caractérisée par sa hauteur totale, ^ma , d'une part, et par les contours des tranches horizontales de l'objet situées aux valeurs de hauteurs normalisées ^z , d'autre part.

A l'étape 350, on calcule le rayon équivalent, ^r o, de la tranche ( i = 1) à la base de l'objet et l'on détermine, à partir de la loi de morphing verticale, la hauteur de l'objet au terme du processus de diffusion :

A l'étape 355, on considère les tranches ^ aux hauteurs normalisées ^å c, — 1 A cette étape, on effectue une transformée de Fourier curviligne des contours de ces tranches et l'on obtient les coefficients complexes F'I^, k——N,.., N _r A l'étape 360, on détermine à partir de la loi de morphing latérale, les contours des tranches ( au terme du processus de diffusion. Plus précisément, on calcule les coefficients F ΊCI ) des harmoniques de rang Kl ¹ au moyen de : ont été obtenus dans la phase de calibration.

De manière similaire, on calcule les coefficients F la fréquence fondamentale l ^{= 1} :

F'{ _i {T) = :F ^, - ⁾ f ' ^, _±i { o) où les coefficients de contraction i ^{( >} , ont été obtenus dans la phase de calibration.

A l'étape 365, on effectue une transformée curviligne inverse pour calculer le contour de chaque tranche : Enfin, à l'étape 370, on reconstruit la forme de l'objet-tridimensionnel à partir des contours des tranches ⁽ t, (— obtenus à l'étape 365, ces tranches étant désormais situées respectivement aux hauteurs h (T)z _t/ t— 1 ,--,L , Les Figs. 4A-4B représentent de manière schématique l'ordinogramme d'une méthode de prédiction de la forme d'un objet tri-dimensionnel ayant subi un processus de diffusion, selon une variante du premier mode de réalisation.

Dans cette variante, on ne suppose plus que les tranches d'un l'objet tri dimensionnel sont indépendantes et l'on effectue la calibration conjointement sur toutes les tranches de chaque échantillon. Comme précédemment, la méthode de prédiction comporte une phase de calibration (Fig. 4A) avant la phase de prédiction proprement dite (Fig. 4B).

Les étapes 410-440 sont respectivement identiques aux étapes 310-340 et leur description ne sera donc pas reprise ici.

A l'étape 445, on estime les coefficients ^a 7 , &— vérifiant pour chacun des échantillons :

F,(G) = _ec r(A,G)F, (0)

où la matrice tri-diagonale a pour termes diagonaux ^ rl et pour éléments de la diagonale inférieure et de la diagonale supérieure, le terme constant *- est un vecteur de taille L dont les éléments sont les harmoniques curvilignes de rang k des contours des différentes tranches de l'échantillon au terme de l'application du processus de diffusion et est un vecteur de taille L dont les éléments sont les harmoniques curvilignes de rang k des contours des différentes tranches de l'échantillon initial.

En pratique, la résolution du système d'équations (22) se fait par ajustement de courbe en ne considérant que les premiers termes du développement en série de exp( A ) .

La phase de prédiction proprement dite comprend les étapes 450-470. Elle vise comme précédemment à prédire la forme d'un objet tri-dimensionnel (de forme initiale donnée) lorsque celui-ci aura subi le processus de diffusion pendant une durée T.

L'étape 450 de détermination de la hauteur de l'objet tri-dimensionnel, au moyen de la loi de morphing verticale dont les coefficients ont été estimés dans la phase de calibration, est identique à l'étape 350.

A l'étape 455, on obtient les coefficients complexes ~— N,.., A ^r ί— d _e | _a transformée de Fourier curviligne des contours des tranches *- i, t— de l'objet tri-dimensionnel comme à l'étape 355, puis on forme des vecteurs

\ ^k \ > dont les éléments sont les coefficients A l'étape 460, on détermine à partir de la loi de morphing latérale, les contours des tranches ^ ?, ^— _au terme du processus de diffusion. Plus précisément, on calcule les vecteurs > ¹ au moyen de :

F, ( = ecr(A _A 3G)f (0) (23) où la matrice a été déterminée dans la phase de calibration.

Les éléments de chaque vecteur \ ^{> l} , donnent les coefficients des harmoniques de rang , des différentes tranches ^ ?,

Par ailleurs, on calcule les coefficients des différentes tranches ^ t = 1 pour la fréquence fondamentale à partir de l'expression (20) comme à l'étape 360.

Les étapes 465 et 470 sont respectivement identiques aux étapes 365 et 370. Autrement dit, on calcule en 465 la transformée de Fourier curviligne inverse de ^ ), k——N,.. _> N _r p _0ur obtenir les contours des différentes tranches et on reconstruit enfin la forme de l'objet en 470.

Selon un second mode de réalisation de l'invention, la représentation des contours des tranches de l'objet tri-dimensionnel ne fait pas appel à une décomposition en série de Fourier curviligne mais à une méthode de surfaces de niveau, développées en coefficients de Fourier. De manière générale, les méthodes par surfaces de niveau permettent de représenter l'évolution d'une interface dans le temps. Une interface G à une dimension ou ligne de niveau, bornant à l'instant t une région W dans un plan est définie par une équation du type : ( jy) = 0 (24) où la fonction F est une fonction lisse, positive à l'intérieur de la courbe G (donc sur W) et négative à l'extérieur de celle-ci .

On considère maintenant un instant ^r o donné et l'on note /( ) la fonction définissant la courbe G à cet instant. Connaissant un certain nombre de points appartenant à cette courbe et les normales à la courbe en ce point, il est possible de calculer les coefficients de Fourier (spatiaux) de la fonction f( ^x _> ÿ) .

En effet, soit un ensemble de N points 4, ¹ — de coordonnées appartenant à la courbe G et soient les vecteurs normaux à cette courbe en ces points, la fonction doit vérifier les contraintes : f(x _i , y _i ) = 0 ; Vi = ,N (25-1) La fonction j( ^x - _> ÿ) peut être développée en série de Fourier spatiale : avec 4 où 4 et 4 sont les dimensions d'un rectangle incluant la courbe, autrement dit 4- et 4 les fréquences spatiales les plus basses selon l'axe des x et des y pour décrire la courbe G

Il résulte de l'expression (26) que :

et

Les contraintes (25-1) et (25-2) peuvent alors se réécrire sous la forme de 3 N équations que doivent vérifier les coefficients de Fourier -4,« _: Si le nombre N de points est suffisant, on peut déterminer les coefficients pour un nombre prédéterminé d'harmoniques. Plus précisément, si l'on souhaite aller jusqu'aux harmoniques de rang on aura besoin de points sur la courbe G .

On supposera dans la suite que ^a >- ^~ A et l'on notera Q ^{~ 2a} -'· ^{~ 2} L· .

Les équations précédentes (28-1), (28-2), (28-3) peuvent être représentées sous une forme matricielle plus compacte :

où F est une matrice de taille Q ^X Q dont les éléments sont les coefficients de Fourier, t _{est une ma} t _rjce d _e taille Q Q dont les éléments sont les valeurs c _e de taille Q Q dont les éléments sont les valeurs _ma trice de taille Q Q dont les éléments sont les valeurs J ^k y ^nex P{j ^k x ^mx i + Jk y ^, ), 0 , _{est un vec eur} de taille Q dont les éléments sont nuis, ^v ; est un vecteur de taille Q dont les éléments sont tous égaux à ^v ; , ⁿ ί est un vecteur de taille Q dont les éléments sont tous égaux à ^v > .

Lorsque la courbe G évolue dans le temps, les coefficients de Fourier /»>,« sont également fonction du temps et sont alors notés

Si la courbe G est le contour d'une tranche horizontale d'un objet tri dimensionnel, le phénomène de diffusion induit un lissage de la courbe de sorte que la puissance des harmoniques ,»( tend vers zéro, autrement dit, dès lors que Comme dans le premier mode de réalisation, on suppose que la puissance des harmoniques décroît de manière exponentielle dans le temps, la rapidité de la décroissance dépendant du rang de l'harmonique, à savoir :

Ceci conduit à une évolution des harmoniques du type de celle de l'équation (10) :

où (z) est le facteur de contraction de la tranche comme dans le premier mode de réalisation, et où le facteur de morphing latéral ^ _{m est} donné par :

Lorsque Ton peut considérer les tranches e l'objet tri-dimensionnel comme indépendantes, l'évolution dans le temps des harmoniques des différents contours peut être obtenue à partir de l'équation (30) :

est le coefficient de Fourier du contour d'une tranche £ de l'échantillon .

En revanche, lorsque les tranches sont dépendantes, on peut utiliser un modèle de couplage entre harmoniques de même rang de tranches successives, de manière similaire à (13-1) et (13-2) : qui peut également s'écrire sous forme matricielle : où est un vecteur de taille L dont les éléments sont les harmoniques spatiales d'indices ^m - ⁿ des différentes couches est une matrice symétrique tri- diagonale de taille L x L dont les termes de la diagonale principale sont égaux à

-a | ^/ c| ^~ C„.„ et dont les termes de la diagonale inférieure ainsi que de la diagonale supérieure sont égaux

Il en résulte que le vecteur peut s'écrire :

De manière similaire, avec les mêmes conventions que précédemment :

F _0,i ( = exp( A _{0 l/} )F _{0 1} (0) + (I _L - exp( A _{0 l/} ))F _{0 1} ( ) (37-1) Fi _,0 ( = exp( A _{l 0i} )F _{1 0} (0) + (I _L - exp( A _{1 0i} ))F _{1 0} ( ) (37-2)

Ce modèle, comme celui à la base du premier mode de réalisation, permet de prédire la forme d'un objet tri-dimensionnel, après avoir subi un processus de diffusion pendant un temps prédéterminé T. Les Figs. 5A-5B représentent l'ordinogramme d'une méthode de prédiction, selon le second mode de réalisation, de la forme d'un objet tri-dimensionnel ayant subi un processus de diffusion pendant un temps prédéterminé.

La méthode de prédiction comporte tout d'abord une phase de calibration comprenant les étapes 510-545 en Fig. 5A.

A l'étape 510, on dispose d'une pluralité d'échantillons tri-dimensionnels de hauteurs différentes. Ces échantillons présentent également avantageusement des profils différents.

A l'étape 515, on mesure la forme initiale de chacun des échantillons, par exemple au moyen d'un microscope à force atomique (AFM). La hauteur de chaque échantillon est mesurée et divisée en L intervalles, chaque intervalle définissant une tranche horizontale ( ? de l'objet située à une hauteur normalisée, 4. On choisit sur le contour 4 de chaque tranche 4, Z— 4··>4 une pluralité N de points 4 , i— de coordonnées appartenant à la courbe ^4 _e t on détermine les vecteur normaux les vecteurs normaux à la courbe ^ i en ces points. On choisira avantageusement les points 4 équidistribués le long du contour .

A l'étape 517, on détermine les courbes de niveau f ^' ( ^x y), — vérifiant les contraintes :

A l'étape 520, on calcule, pour chacun des échantillons, les coefficients de Fourier spatiaux ./ <X’), où la valeur 0 indique que l'objet tri-dimensionnel est considéré à l'instant initial avant l'application du processus de diffusion. Pour le calcul des coefficients de Fourier, on choisit les fréquences spatiales fondamentales 4 ^~ ^ ^J y ou et 4 sont les dimensions d'un rectangle incluant la projection de l'objet sur un plan horizontal. A l'étape 525, on applique aux différents échantillons le processus de diffusion pendant une durée T. A l'étape 530, on mesure la forme finale de chacun des échantillons par les mêmes moyens que précédemment. On en déduit les nouvelles hauteurs des échantillons et les contours des tranches situées aux mêmes hauteurs normalisées que précédemment.

A l'étape 535, on estime les coefficients de la loi de morphing verticale. Plus précisément, à partir des hauteurs mesurées à l'étape 530 et des rayons équivalents des tranches formant la base des échantillons, obtenues à l'étape 515, on détermine les coefficients e,b de l'expression (2), à l'aide d'une technique d'ajustement de courbe.

On estime ensuite la loi de morphing latérale.

Pour ce faire, à l'étape 540, on choisit à nouveau sur le contour ^ f de chaque tranche *- _'? , _U ne pluralité N de points A , — de coordonnées (AA’, )

ΊC

appartenant à courbe ¹ ? et on détermine les vecteur normaux - les vecteurs normaux à la courbe ^ e en ces points. On comprendra, bien que nous ayons ici adopté pour des raisons de simplification les mêmes notations qu'à l'étape 515, qu'il s'agit ici des contours après diffusion, à l'instant r = J . On détermine les courbes de niveau f ( ^x ,y) _r f = _f vérifiant les contraintes (38-1) et (38-2), cette fois ci pour les points A ^' et les vecteurs normaux obtenus à cette même étape, c'est à dire ceux relatifs aux contours des tranches à l'instantr - T .

A l'étape 543, on calcule les coefficients de Fourier spatiaux A( ) des fonctions / ( ^l 5> , où la valeur T indique que l'objet tri-dimensionnel est considéré après l'application du processus de diffusion. On utilise à cette fin les mêmes fréquences spatiales

Ir k

fondamentales ^L ^ ^L n qu'à l'étape 520.

A l'étape 545, on détermine par une technique d'ajustement de courbe ( curve fitting) pour chaque tranche ( les paramètres qui minimisent l'erreur quadratique entre les valeurs _»,« CO données par le modèle (expression (31) et les valeurs expérimentales correspondantes. On obtient ainsi une estimation de ces paramètres :

Â- ^(f) ,â ^{( (} .

Avantageusement, on pourra utiliser une régression polynomiale comme dans le premier mode de réalisation pour estimer ces paramètres. Cette variante ne sera pas à nouveau décrite ici.

La phase de calibration est suivie d'une phase de prédiction proprement dite, comprenant les étapes 550-570 en Fig. 5B. La phase de prédiction vise à prédire la forme d'un objet tri-dimensionnel (de forme initiale donnée) lorsque celui-ci aura subi le processus de diffusion pendant une durée T.

A l'étape 550, on calcule le rayon équivalent, ^r o , de la tranche {i = 1) à la base de l'objet et l'on détermine, à partir de la loi de morphing verticale, la hauteur de l'objet au terme du processus de diffusion, comme dans l'expression (18).

A l'étape 553, on considère les tranches ? aux hauteurs normalisées ^z t, tape, pour chaque tranche ^ t, on sélectionne une pluralité N de , de coordonnées ( ^X > ' sur le contour de chaque tranche et Ton détermine les vecteurs normaux à la courbe / en ces points. On choisira avantageusement les points angulairement équidistribués sur [A^l

A l'étape 555, on détermine les courbes de niveau î ' ^' ( ^' ), vérifiant les contraintes :

./ ' t -v , r '; ) 0 ; Vi = l..,N (39-1)

A l'étape 557, on calcule les coefficients de Fourier spatiaux / «, _* (0 des fonctions f " ( ^x , y), où la valeur 0 indique que l'objet tri-dimensionnel est considéré à l'instant initial avant l'application du processus de diffusion. Les fréquences spatiales fondamentales utilisées pour le calcul des coefficients de Fourier sont les mêmes que la phase de calibration.

A l'étape 560, on détermine à partir de la loi de morphing latérale, les contours des tranches ?— au terme du processus de diffusion. Plus précisément, on calcule les coefficients ^{( / )} des harmoniques de rang + zr > 1 au moyen de (32) c'est à dire : avec ont été obtenus dans la phase de calibration.

De manière similaire, on calcule les coefficients / Ί.^ ^t ) et / Ίo(7 ) par : f ₀ (T) = S ^(e) .f ₀ (0) (41-1)

/ _ -j r

où les coefficients de contraction L ^' , ^t — ₀ nt été obtenus dans la phase de calibration.

A l'étape 565, on effectue une transformée de Fourier spatiale inverse des coefficients / Z ^{( /} ) pour calculer la courbe de niveau ./’ ( ^x -. y) :

Enfin, à l'étape 570, on reconstruit la forme de l'objet-tridimensionnel à partir de courbes de niveau des tranches ^ i, ^ ^~ obtenues à l'étape 565, ces tranches étant désormais situées respectivement aux hauteurs ^ W ^Z ,

Les Figs. 6A-6B représentent l'ordinogramme d'une méthode de prédiction de la forme d'un objet tri-dimensionnel ayant subi un processus de diffusion, selon une variante du second mode de réalisation.

Dans cette variante, on ne suppose plus que les tranches de l'objet tri dimensionnel sont indépendantes et l'on effectue la calibration sur l'ensemble des tranches de chaque échantillon. Comme précédemment, la phase de calibration (Fig. 6A) est suivie de la phase de prédiction proprement dite (Fig. 6B).

Les étapes 610-643 sont respectivement identiques aux étapes 541-543 du second mode de réalisation et leur description sera donc omise. A l'étape 645, on estime les paramètres vérifiant pour chacun des échantillons:

F _{0 1} (r) = exp(A _{0 1} i)F _{0 1} (0) + (I _i - exp(A _{0 i} r))F _{0 1} ( ) (43-2)

F _i o(T) = exp(A _{i 0} i)F _{1 0} (0) + (I _i - exp(A _{1 0} r))F _{1 0} ( ) (43-3) est le vecteur de taille L dont les éléments sont (resp. fmJX ¹ )) obtenus dans la phase de calibration et est la matrice symétrique tri- diagonale de taille L x L dont les termes de la diagonale principale sont égaux à et dont les termes de la diagonale inférieure ainsi que de la diagonale supérieure sont égaux à est un coefficient de couplage pour l'harmonique spatiale d'indices ^m -- ⁿ entre deux tranches successives de l'échantillon . En pratique, la résolution du système d'équations (43-1), (43-2), (43-3) se fait par ajustement de courbes en ne considérant que les premiers du développent en série des exponentielles de matrices.

On obtient ainsi une estimation de ces paramètres : ^$ " ^' ,a , 7 ^' .

La phase de calibration est suivie d'une phase de prédiction proprement dite, comprenant les étapes 650-670 en Fig. 6B.

La phase de prédiction consiste à prédire, à partir de la forme d'un objet tri dimensionnel à un instant t = 0, la forme de ce dernier après application d'un processus de diffusion pendant une durée T .

Les étapes 650-657 sont respectivement identiques aux étapes 550-557 du second mode de réalisation.

En bref, on calcule le rayon équivalent, ^r o, de la tranche ( i ^~ 1) à la base de l'objet et l'on détermine, à partir de la loi de morphing verticale, la hauteur de l'objet au terme du processus de diffusion selon (18).

On calcule ensuite les coefficients de Fourier spatiaux / «,»(°) des tranches*- t aux hauteurs normalisées ^z On obtient ainsi une pluralité Q ^~ vecteurs de taille L où Q est le nombre d'harmoniques pris en considération dans la transformée de Fourier.

A l'étape 660, on détermine, à partir de la loi de morphing latérale, les contours des tranches ^' — au terme du processus de diffusion. Plus précisément, on calcule les coefficients / des harmoniques de rang \lm ² + n ² > 1 au moyen de (36) c'est à dire :

F’ (O = exp(A T)F’ (0) (44) est le vecteur des coefficients de Fourier spatiaux des tranches ^ ; aux hauteurs normalisées ;

et pour les fondamentaux , à partir de (37-1) et (37-2) :

F’ _{0 1} (T) = exp(A _{0 1} T)F’ _{0 1} (0) + (I _L - exp(A _{0 i} r))F’ _{0 1} (°°) (45-1)

F’ _{1 0} (T) = exp(A _{l o} r)F ₀ (0) + (I _L - exp( A _{1 o} r))F’ _{1 0} (°°) (45-2)

A l'étape 665, on effectue une transformée de Fourier spatiale inverse des coefficients / obtenus à l'étape précédente.

Enfin, à l'étape 670, on reconstruit la forme de l'objet-tridimensionnel à partir de courbes de niveau des tranches ^ r, ^— obtenues à l'étape 665, ces tranches étant désormais situées respectivement aux hauteurs ^ ^z i,

La méthode de prédiction de la forme d'un objet tri-dimensionnel, selon les premier et second modes de réalisation ainsi que leurs variantes exposées ci-dessus, permet de réduire considérablement les campagnes de mesure car la modélisation des lois de morphing verticale et latérale ne nécessite qu'un nombre d'échantillons relativement faible.

La Fig. 7 représente l'ordinogramme d'une méthode de fabrication d'un objet tri- dimensionnel de matériau donné et de forme de consigne prédéterminée. La méthode de fabrication comporte une phase de calibration, une phase de prédiction, une phase d'optimisation et une phase de fabrication proprement dite.

Dans la phase de calibration, 710, on construit à partir de mesures d'échantillons avant et après un processus de diffusion de durée T, une base de données contenant les pour une pluralité de hauteurs normalisées ^, Cette phase de calibration peut être celle du premier mode de réalisation ou du second mode de réalisation, ou encore de leurs variantes. Le cas échéant, la base de données peut contenir ces paramètres pour une pluralité de valeurs de durée.

Une fois la base construite, on teste en 720 une pluralité de formes initiales d'un objet tri-dimensionnel et l'on applique à chacune de ces formes, la méthode de prédiction décrite dans les étapes 350-370 ou 450-470 ou 550-570 ou 650-670 selon le mode de réalisation choisi, pour prédire les formes au bout du processus de diffusion (le cas échéant en prenant en compte différentes durées de diffusion), dites formes finales.

Dans une phase d'optimisation, 730, on détermine la forme finale, dite optimale, qui se rapproche le plus de la forme de consigne au sens d'une distance prédéterminée.

Le cas échéant, on peut sélectionner une pluralité de formes finales se rapprochant le plus de la forme de consigne et interpoler les formes initiales correspondantes pour obtenir une nouvelle forme initiale à tester en 720. On peut ainsi, par itérations successives, obtenir une forme initiale optimale telle que la distance entre la forme finale correspondante et la forme de consigne soit alors inférieure à un seuil prédéterminé.

Quelle que soit la manière dont la forme finale optimale est obtenue, dans la phase de fabrication, 740, on réalise un objet tri-dimensionnel ayant la forme initiale correspondante, par exemple par lithographie 3D ou fabrication additive, et l'on applique le processus de diffusion pendant la durée stockée dans la base de données. Au terme du processus, on obtient un objet tri-dimensionnel dont la forme est identique à ou proche de la forme de consigne.