Die Erfindung betrifft ein Bauelement mit Gleichrich- tungsfunktion mit Hilfe von Ladungstransport durch Io- nen gemäß dem Oberbegriff des Anspruchs 1.

Die Erfindung beinhaltet insbesondere einen Vorschlag für die Entwicklung von Gleichrichtern für Teilchen, die entweder dünne Schichten in Festkörpern oder dünne Membranen benützen.

Als Stand der Technik ist es bekannt, Gleichrichter für Elektronen auf Halbleiterbasis zu bilden. Sie sind wohlbekannt und in den Lehrbüchern über Halbleiterphy- sik und-technologie beschrieben.

In der Fachliteratur wurden in den letzten Jahren Vor- schläge für Gleichrichter für Ionen gemacht, die in Analogie zu den Gleichrichtern für Elektronen auf Halb- leiterbasis konzipiert sind. In Laborversuchen konnten Gleichrichtungseffekte nachgewiesen werden.

Es ist Aufgabe der Erfindung ein Bauelement mit Gleich- richtungsfunktion mit Hilfe von Ladungstransport durch Ionen zu schaffen, bei dem auf andere Weise als in der bekannten Art der Ionentransport erreicht wird.

Die Aufgabe wird gelöst durch ein Bauelement gemäß der Gesamtheit der Merkmale nach Anspruch 1. Weitere zweck-

mäßige oder vorteilhafte Ausführungsformen finden sich in den auf diesem Anspruch rückbezogenen Unteransprü- chen.

Es wurde folgendes erkannt : Das erfindungsgemäß vorgeschlagene Bauelement mit Gleichrichterfunktion beruht auf anderen Prinzipien als die als bekannt beschriebenen, oben erwähnten Gleich- richter für Ionen. Die Basis für das erfindungsgemäße Bauelement bildet eine exakte Theorie der nichtlinearen Mobilität von Teilchen in Potentialen ohne Inversions- symmetrie. Das erfindungsgemäße Bauelement läßt sich aber ohne diese mathematische Beschreibung darstellen.

Es wird die Mobilität der Ionen/Teilchen aufgrund von atomaren Hüpfprozessen von Potentialminimum zu Poten- tialminimum betrachtet. Das Potential für die Teilchen soll nun die Form einer Treppenstufe haben, wobei von der letzten Stufe aus ein scharfer Abfall auf das Aus- gangsniveau erfolgt. Die Mobilität von Teilchen bei dem Hüpfprozeß unter dem Einfluß einer Kraft ist für kleine Kräfte in beiden Richtungen gleich (dies würde dem ohm- schen Bereich beim elektrischen Transport entsprechen).

Für sehr starke Kräfte in einer Richtung wird die Mobi- lität durch das Inverse des Mittels der inversen Sprungraten in die entsprechende Richtung bestimmt. Das Mittel von inversen Sprungraten, die alle gleich sind ("'Treppe aufwärts"') ist viel kleiner als das Mittel der Inversen einer sehr kleinen und mehreren großen Sprungraten ("Treppe abwärts"'). Folglich ist die Mo- bilität als Inverse dieser beiden Mittel unter dem Ein- fluß einer starken Kraft groß treppauf und klein in der Richtung treppab. Die hier gegebene Erklärung bezieht

sich auf eindimensionale Potentiale, die gegebenenfalls auch in Kanälen in Membranen realisierbar sind. Sie lassen sich aber übertragen auf dreidimensionale Schichtstrukturen, wenn die Schichten in den Richtungen senkrecht zur Bewegungsrichtung gleichförmig sind.

Bezogen auf das Schutzbegehren wird im Detail folgendes ausgeführt : Es wurde zur Lösung der Aufgabe gemäß Patentanspruch 1 gefunden, das erfindungsgemäße Bauelement mit einem Schichtpaket aus mehreren Schichten, die aufeinander- folgend einen asymmetrischen Verlauf des Energieniveaus aufweisen, sowie ein an dieses Schichtpaket angelegtes elektrisches Feld auszubilden.

Vorteilhafterweise kann dabei das erfindungsgemäße Bau- element gemäß Patentanspruch 2 eine Mehrzahl aufeinan- derfolgender Schichtpakete aufweisen.

Dabei können in besonders vorteilhafter Weise beim er- findungsgemäßen Bauelement nach Patentanspruch 3 eine oder mehrere Schichten des Schichtpakets, insbesondere alle Schichten aus einer Monolage aufgebaut sein.

In Ausbildung der Erfindung gemäß Patentanspruch 4 weist das erfindungsgemäße Bauelement sehr vorteilhaft einen derart ausgebildeten, asymmetrischen Energieni- veauverlauf auf, daß in den aufeinanderfolgenden Schichten in der jeweiligen Schicht das Energieniveau den Wert des Energieniveaus der vorangegangenen Schicht nicht unterschreitet, insbesondere von Schicht zu Schicht im Wert zunehmend ausgebildet ist. Auf diese Weise wird eine Gleichrichtfunktion positiv begünstigt.

Gemäß Patentanspruch 5 kann das erfindungsgemäße Bau- element zur Bildung des Schichtpakets halbleitendes Ma- terial aufweisen. Es ist jedoch anderes Material zur Bildung des Schichtpakets oder deren Schichten vor- stellbar.

Ausführungsbeispiele Die oben geschilderten, erfindungsgemäßen Potentiale werden durch das Auftragen von mono-atomaren Schichten unterschiedlicher Atomsorten realisiert. Dabei kann es zweckmäßig oder sogar vorteilhaft sein, in Abhängigkeit der Potentialstruktur konkreter Materialien eine auf die gewählten Randbedingungen entsprechend optimierte Auswahl der Materialien zu treffen. Eine andere vor- teilhafte Ausbildung des erfindungsgemäßen Bauelements ist durch die Bildung von Kanälen in geeigneten Membra- nen gegeben.

Das erfindungsgemäße Bauelement mit der vorgeschlagenen Gleichrichterfunktion kann im Bereich der Sensortechnik Anwendung finden. Dabei werden bestimmte Teilchen durch eine Sperrschicht getrieben werden, die sie dann nicht mehr in umgekehrter Richtung überwinden könnten. Vor- stellbar sind dabei erfinsdungsgemäß ausgebildete Bau- elemente mit Schalteffekten durch zeitliche Änderungen der Kräfte. In Abhängigkeit der Bildung der Schichtstrukturen mit entsprechender lateraler Ausdeh- nung ist es dabei vorstellbar, auch größere Mengen von Ionen/Teilchen zu transportieren.

Die Erfindung beinhaltet Gleichrichtungseffekte für Teilchen, insbesondere Ionen, in Schichtstrukturen oder

Membranen, die aus der Benutzung von nicht inversions- symmetrischen Potentialverläufen herrühren, sowie die Verwendung von relativ starken Kräften auf die Teil- chen, derart, daß man im nichtlinearen Bereich der Be- weglichkeiten der Teilchen, insbesondere Ionen, arbei- tet.

Gleichförmige Schichtstrukturen lassen sich zum Beispiel mittels Molekularstrahlepitaxie (MBE)-Techniken herstellen.

In der Figur 1 ist in einem Modell mit Schwoebel Barrieren mit N = 10 Plätzen der Teilchenstrom J als Funktion des Bias b dargestellt (siehe Einsatz). Die relativen Sprungraten nach rechts sind e-2 an der Barriere und aus der Haftstelle heraus, die Rate aus der Haftstelle nach links ist e-4. Die Punkte zeigen Simulationen, die vollen Linien die vollständige Theorie und die gestrichelten Linien die asymptotische Theorie.

In der Figur 2 ist der Teilchenstrom J als Funktion des Bias b in einem Treppenstufen-Modell mit N = 5 Plätzen gezeigt. Die relativen Sprungraten haben einen Wert von e-2 nach rechts, die relative Sprungrate nach links über die Barriere beträgt e~10. Die Punkte zeigen Simulationen, die vollen Linien die vollständige Theorie und die gestrichelten Linien die asymptotische Theorie.

Das erfindungsgemäße Bauelement kann aus Festkörperschichten und Elektroden aufgebaut sein. Als Materialklasse für die Festkörperschichten können auch alle Festkörpermaterialien in Frage kommen, die auch

für Brennstoffzellen diskutiert werden, insbesondere Perowskite. Wesentlich dabei ist, daß es sich um elektronische Isolatoren handeln muß. Die Transportströme sind die der Ionen, insbesondere Wasserstoff (H) und Sauerstoff (O). Das Bauelement ist in der Figur 3 an Hand einer Prinzipskizze wie folgt aufgebaut : Es folgen sich periodisch wiederholende Schichtenfolgen mit drei verschiedenen Schichten A, B, und C, deren Eigenschaften unten besprochen werden. Im Rahmen der Erfindung kann es genügen, daß eine einzige Schichtfolge gewählt wird. Praktische Erwägungen können allerdings mehrere Schichtfolgen nahelegen und sogar vorteilhaft sein. Die Dicke der einzelnen Schichten A, B und C sollte jeweils mindestens einige atomare Monolagen betragen. Solche Schichten lassen sich zum Beispiel durch MBE-Techniken oder durch Sputtern herstellen. Die Festlegung der Schichtdicke erfordert Untersuchungen zur Optimierung des angestrebten Bauelements.

Über die Elektroden wird eine Spannung V angelegt. Die Elektroden bestehen aus einem porösen Material, das für die betreffende Ionensorten durchlässig ist, wie z. B. poröses Platin. Solche Elektroden sind zum Beispiel bekannt aus dem Bereich der Brennstoffzellentechnologie. Die Spannungen kann in einem Bereich bis zu 0.05 V (nm)-1 liegen.

Wesentlich für die angestrebte Gleichrichtungsfunktion des Bauelementes ist ein Potentialverlauf für die betreffenden Ionen in der in der Figur 4 dargestellten

prinzipiellen Form, in Richtung senkrecht zu den Schichten A, B, und C aus der Figur 3.

Die Potentialmulden entsprechen den Gleichgewichtsenergien der Ionen, während die Potentialberge Barrieren für die Diffusionssprünge darstellen. Es ist bekannt, daß die Mulden in verschiedenen Materialien verschiedene Tiefen haben.

Als konkrete Materialien seien beispielhaft die Protonenleiter SrTi03, SrCeO3, und SrZr03 genannt, die z. B. mit Y203 dotiert werden und dann Wasserdampf aufnehmen können, der in Form von (OH)-Ionen eingebaut wird. Die Lösungswärme für Wasserdampf variiert zwischen-2 eV im ersten und-0.5 eV im dritten System ; sie ist ein Mass für die Tiefe der Potentialmulden. Die Diffusionsbarrieren variieren zwischen etwa 0.6 eV (erstes und zweites System) und 1.2 eV (drittes System). Die Gleichrichtungseffekte treten auf, wenn eine erfindungsgemäße Schichtenfolge aus diesen drei Materialien aufgebaut wird. Diese Materialen sind aber hier nur beispielhaft für viele andere Kombinationen genannt. Es sei auch noch darauf hingewiesen, daß eine Aufeinanderfolge von diskreten Schichten der drei Materialien nicht zwingend nötig ist, ebenso könnte man auch kontinuierliche Legierungsschichten zwischen mindestens zwei Systemen aufbauen, in den oben genannten Beispielen etwa Legierungsschichten von SrTi03 nach SrZrO3.

Eine mögliche Anwendung des Bauelementes wäre ein löschbares, nichtflüchtiges Speicherelement. Der Zustand"0"wäre der Zustand, wo sich die Ionen auf der

einen Seite des Kondensators befinden, der Zustand"l" der, wo sie sich auf der anderen Seite befinden. Der Vorteil der Gleichrichtungsfunktion wäre der, daß sich die Information mit relativ kleiner Spannung einschreiben läßt, während zum Löschen eine entgegengesetzte, höhere Spannung notwendig wäre.

Durch folgende Informationen wird die Erfindung und das erfindungsgemäße Bauelement näher erläutert : Die Bewegung von Teilchen in nichtsymmetrischen Potentialen unter dem Einfluss von stochastischen Kräften ist aus verschiedenen Gründen von grossem aktuellen Interesse. Ein Problem ist ein Verständnis der Bedingungen, unter de- nen gerichtete Bewegung von Teilchen auftreten kann. Offensichtlich gibt es eine Verbindung dieses Problems mit dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik [1,2]. Zusätzlich gibt es interessante Beziehungen dieses Modells zu biologischen Systemen [2-8] oder zu Oberflächen-Diffusionsproblemen [9,10]. Es besteht Über- einstimmung darüber, dass ein Teilchen, welches in einem statischen nichtsymme- trischen Potential ohne Bias unter dem Einfluss von thermischem Rauschen steht, sich nicht gleichförmig in eine Richtung bewegen wird. In der Gegenwart von fluk- tuierenden externen Kräften mit genügend langen Korrelationszeiten kann jedoch gerichtete Bewegung auftreten, das heisst, solche Potentiale zeigen Gleichrich- tungseffekte bezüglich der langsam veränderlichen Komponenten der äusseren Kraft. Die meisten der vorhergehenden Arbeiten in diesem Gebiet beruhten auf kontinuierlichen Diffusionsmodellen, die durch Bewegungsgleichungen vom Typ der Langevin-Gleichung definiert sind [2-5,7,8,11-13]. Die offensichtliche Rele- vanz von solchen Modellen für Transportprobleme auf mikroskopischen Skalen legt jedoch eine Behandlung nahe, die wenigstens im Prinzip eine spezifische mi- kroskopische Umgebung berücksichtigen kann. Die einfachsten miksokopischen Modelle können als Hüpfmodelle für Teilchen auf linearen Ketten mit diskreten Bindungsplätzen und Potentialbarrieren dazwischen definiert werden.

Von diesem Blickpunkt aus untersuchen wir in dieser Veröffentlichung die Hüpfbewegung von Teilchen in einem eindimensionalen diskreten Modell ohne Inversionssymmetrie unter dem Einfluss eines beliebigen Bias in eine Richtung.

Wir werden eine quantitative Beschreibung der Gleichrichtungseffekte geben, die in dem Bereich der nichtlinearen Antwort auftreten können. Gleichrichtungsef- fekte aus einem Ratengleichungsmodell für Transport durch Kanäle in biologi- schen Membranen, der durch Träger vermittelt wird, sind schon früher diskutiert worden [14]. Wir behandeln hier das Hüpfen von Teilchen in einer beliebigen Fol- ge von Barrieren und Haftstellen, mit periodischen Randbedingungen. Deshalb sind unsere Rechnungen auch gültig für periodische Wiederholungen von Poten- tialstrukturen ohne Inversionssymmetrie. Wir betonen, dass unsere Ableitungen eine mikroskopische Beschreibung der Gleichrichtungseffekte bei der Hüpfbewe- gung durch nichtsymmetrische Potentiale geben. Mögliche Anwendungen unseres Modells werden am Ende dieser Veröffentlichung skizziert.

Wir betrachten eine Kette, die aus N+1 Plätzen l = 0,..., N besteht, mit Platzenergien El, wobei wir annehmen dass Eo = EN In der stationären Situation ist der Strom zwischen Platz 1 und 1 + 1 durch die Besetzungswahrscheinlichen Pi gegeben als Jl=#l+1,leK/2pl-#l,l+1e-K/2Pl+1.(1) $#l+1,1 ist die Sprungrate für einen Übergang von Platz 1 zum Platz 1 + 1, die mit dem Bias-Faktor eK/2 multipliziert ist. Die Rate fAr den umgekehrten Sprung r,, ist mit dem inversen Bias-Faktor multipliziert. Es wird angenommen, dass ein Gleichgewichtszustand existiert im Falle der Abwesenheit eines Bias, b = 1.

Für den Gleichgewichtszustand gilt die Bedingung des detaillierten Gleichge- wichts, #l,l+1Pl+1eq(2)#1+1,lPleq= mit den Besetzungswahrscheinlichkeiten im Gleichgewicht In der stationären Situation muss der Strom zwischen irgendeinem Paar von Nachbarplätzen gleich sein, J = J/für alle. Wir drücken den Strom durch die Ubergangsraten nach rechts aus, γ1 # #l+1,l, wobei wir die Bedingung des detaillierten Gleichgewichts (2) benützen, und führen die Zerlegung Pl = Pleqh ein. Wir erhalten J (eK/2hl-e-K/2hl+1).(4)γLPLeq Aus dieser Gleichung folgt die Rekursionsrelation <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> JeK/2<BR> hl+1=eKhl-(5)<BR> <BR> <BR> γlPleq Diese Rekursionrelation kann in folgende Form gebracht werden =-e-J,(6) wobei Wir möchten ho durch SN eliminieren. Dies kann erreicht werden, indem die Gl. (6) für 1 = N angeschrieben und nach ho aufgelöst wird. Man beachte, dass h0 # hN als Konsequenz der periodischen Randbedingungen gilt. Durch Einsetzen <BR> <BR> <BR> des Resultates in g1. (6) und Multiplizieren mit Pl q erhalten wir<BR> SN<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> pleqe(l-½)KJ[-Sl].(8)hlPleq= <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> 1-exp(-NK) Gleichung (8) stellt die Wahrscheinlichkeit dar, das Teilchen in der stationären Situation auf Platz l zu finden ; diese Grosse muss auf Eins normiert werden. Aus der Normierungsbedingung folgt der Ausdruck für den Strom pro Teilchen Die Grosse fi ist definiert durch fl # PleqelK. Der Ausdruck (9) kann als das dis- krete Analogon des stationären Stroms betrachtet werden, der von Ambegaokat and Halperin [15] in ihren klassischen Arbeit über ein getriebenes Smoluchowski System hergeleitet wurde.

Ein tranparentere Form für J kann durch Rearrangieren der Summen erreicht werden, mit wobei der letzte Term Null gesetzt werden muss wenn 1 = N-1. Gleichung (10) ist das Endresultat der formellen Ableitungen. Man prüft leicht anhand einfacher Beispiele nach, dass die Anordnung der Barrieren-und Platzenergien für die Grosse des resultierenden Stromes im Falle beliebigen Bias relevant ist.

Das wohlbekannte Resultat für den Bereich der linearen Antwort [16, 17] kann leicht aus Gln. (10) und (11) hergeleitet werden, Als Folge des detaillierten Gleichgewichts, Gl. (2), kann der Strom Gl. (12) auch durch die Ubergangsraten nach links ausgedrückt werden. Im Bereich der linea- ren Antwort sind keine Gleichrichtungseffekte vorhanden, d. h. der Strom (12) wechselt einfach das Vorzeichen, wenn das Vorzeichen von K umgedreht wird.

Man beachte auch, dass die Terme unter der Summe beliebig umgeordnet werden konnen.

Als nächstes betrachten wir den nichtlinearen Transport in dem Barrieren- modell mit konstanten Platzenergien El = 0, in dem die Ubergangsraten sym- metrisch sind, r+l, = rx+l, vgl. auch Gl. (2). Aus (10) und (11) erhalten wir unmittelbar die Gleichung K N-1 J=2smh (\-. (13) 1=0 die zuvor im Zusammenhang mit dem Transport in Systemen mit eingefrorener Unordnung abgeleitet wurde [18]. Offensichtlich können auch in diesem Ausdruck die Beiträge der einzelnen Barrieren umgeordnet werden, was die Abwesenheit von Gleichrichtungseffekten impliziert. Für das Auftreten von Gleichrichtungsef- fekten werden deshalb Modelle benötigt, die variierende Platzenergien El enthal- ten.

Bevor wir spezielle Fälle von Gleichrichtung diskutieren, finden wir eine Be- merkung bezüglich der Sprungmodelle für den Strom durch Membrankanäle an- gebracht, die in biologisch motivierten Arbeiten studiert wurden [19,20,21]. Die dort benützen Randbedingungen sind verschieden von den hier benützten. In den Arbeiten zum Transport durch Membranen sind die Konzentrationen Po and PN auf beiden Seiten der Membran die gegebenen Grosse, was einem chemischen Bias entspricht. In Ref. [21] wurden Sättigungseffekte in den Kanälen mitgenom- men, mit der Einschränkung dass höchstens ein Teilchen pro Kanal vorhanden ist, wohingegen in dieser Arbeit der Strom auf genau ein Teilchen pro"Kanal"nor- miert wurde. Einige formale Ähnlichkeiten zwischen dem Audruck für den Strom in [21] und unseren Resultaten können im Falle grosser KonzentrationenPo and PN gefunden werden, wenn jeder Kanal durch ein Teilchen besetzt ist.

Wir wenden uns nun dem Vergleich unserer allgemeinen Formel Gl. (10) und (11) mit numerischen Simulationen zu. Wir untersuchen zuerst das Modell der Teilchendiffusion in einem Potential, das Schwoebel-Barrieren darstellt, die für Diffusion an Oberflächen relevant sind [9,10]. Das Modell ist in Fig. 1 (siehe Einsatz) dargestellt ; es hat keine Inversonssymmetrie. In dieser Abbildung sind Resultate der numerischen Simulation gezeigt, zusammen mit dem analytischen Resultat nach Gl. (10). Man erkennt eine perfekte Übereinstimmung zwischen Theorie und Simulationen.

Man sieht, dass die Ströme linear in dem Bias-Parameter b#exp(|K|/2) für b » 1 sind. Diese Verhalten kann leicht aus den Rekursionsrelationen Gl. (1) her- geleitet werden. Wir nehmen einen so starken Bias an, dass wir die gegenläufigen Sprungprozesse vernachlässigen können. Mit dieser Annahme vereinfachen sich die Rekursionsrelationen zu Jl = al exp (K/2) PI (14) Wir nehmen Jl = J und lösen die Gleichung nach Pl auf. Normierung der P ergibt In dem Bereich eines starken Bias ist der Strom duch das Inverse der Summe über die inversen Sprungraten in Richtung des Bias bestimmt. Wenn die Richtung umgekehrt wird, K < 0, haben wir wobei γl' # #l,l+1 die Ubergangsraten nach links sind. Die Gleichungen (15) and (16) sind in Fig. 1 durch gestrichelte Linien dargestellt ; die vollständige Theorie und die numerischen Resultate nähern sich dem asymptotischen Verhalten an.

Das Resultat für starken Bias legt unmittelbar nahe, dass ein grosses Verhält- nis zwischen dem Strom nach rechts und dem nach links durch die Wahl ei- nes Potentials erreicht wird, wie es in dem Einsatz von Fig. 2 gezeigt wird. Die Ströme nach links und nach rechts in einem solchen Modell wurden durch nume- rische Simulationen bestimmt und in Fig. 2 zusammen mit den vollständigen und asymptotischen Resultaten dargestellt. Es besteht Übereinstimmung der Simula- tionen mit dem vollständigen Resultat und man erkennt, dass das asymptotische Verhalten für genügend starken Bias erreicht wird.

Die diskrete Natur unseres Modells ermöglicht es uns auch, eine allgemeine Abschätzung des Ubergangs-Bias zu geben, jenseits von dem der induzierte Strom zu dem begrenzenden Verhalten getrieben wird, das durch die Gln. (15) und (16) impliziert wird. Man beachte, dass in Figs. 1 and 2 der Übergang zum asym- ptotischen Verhalten bei grösseren Werten von b für die Bias-Richtung mit dem grösseren Strom erfolgt, und bei kleineren Werten von b für die entgegengesetzte Richtung. Die Korrektur zum asymptotischen Verhalten wird durch Sprungpro- zesse entlang der Kette bestimmt, bei denen alle bis auf einen Sprung in Bias- Richtung erfolgen. Zieht man alle Möglichkeiten für keinen oder einen Sprung in die dem Bias entgegengesetzte Richtung in Betracht, erhält man den folgenden Strom für K > 0 wobei die Myl, yl wie oben definiert sind. Die entsprechende Formel für K < 0 kann leicht angegeben werden. Gleichung (17) sagt Bias-Werte voraus, bei denen der Strom 90 % des asymptotischen Stroms beträgt : für das Beispiel von Fig. 1 b=3 (Strom nach rechts), b = 1.48 (Strom nach links), und für das Beispiel von Fig.

2 b = 7.31 (Strom nach rechts), b = 1.53 (Strom nach links). Die Abbildungen verifizieren die Vorhersagen.

Zusammenfassend können wir sagen, dass wir eine mikroskopische Beschrei- bung von Gleichrichtungseffekten bei der Hüpfbewegung von Teilchen durch nicht- symmetrische Potentiale unter dem Einfluss von starkem Bias gaben. Die Ver- bindung unserer Ableitungen zum Teilchentransport durch Kanäle in Membranen wurde schon erwähnt. Wir weisen darauf hin, dass die Anwendbarkeit dieser Un- tersuchung nicht auf lineare Systeme, wie z. B. Kanäle mit nichtsymmetrischen Potentialen, beschränkt ist. Die Resultate können auch auf zwei-und dreidimen- sionale Systme ausgedehnt werden, zum Beispiel auf gestufte Oberflächen oder auf geschichtete Systeme. Wenn die zugrundeliegende Struktur ein unsymmetri- sches Potential in xc-Richtung, und periodische, gleichförmige Potentiale in y-und z-Richtung hat, können die Resultate direkt angewandt werden. Der Grund dafür ist, dass die Sprungbewegung von Teilchen in diese Richtungen unabhängig von der x-Richtung ist. Wenn ein Bias in die z-Richtung angewandt wird, wird der Strom dann die oben diskutierte nichtlineare Abhängigkeit zeigen, während in die beiden anderen Richtungen nur Diffusion auftritt. Die Situation würde völlig verschieden sein, wenn in der Struktur Defekte vorhanden wären. Auch der Ein- fluss von vielen Teilchen, die im Wettbewerb um die Besetzung der Platz stehen, ist nicht bekannt. Siehe aber in diesem Zusammenhang [22,23], wo schon die Bewegung von vielen Teilchen in nichtlinearen Potentialen betrachtet wird.

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