In den meisten Fällen arbeiten Fuzzy-Controller (FCs) so, daß auf der Basis von scharfen (crisp) Sollwerten und Regelgrößen das System mit ebenfalls scharfen Stellgrößen beaufschlagt wird (siehe Figur 1). In diesem häufigsten Anwendungsfall ist die Fuzziness ausschließlich auf den Regler beschränkt, der hinsichtlich Parameteränderungen und schnellen Sollwertwech- sein robuster als konventionelle Regler ist- Es wurde festge¬ stellt, daß Systeme mit nichtlinearer Charakteristik und kom¬ plizierter Struktur durch FCs besser steuerbar sind als durch konventionelle Regler. Verglichen mit adaptiven Reglern er¬ fordern FCs einen weitaus geringeren Implementationsaufwand und sind robuster bzgl. Unsicherheiten in der Modellierung. Wenn die Fuzziness ausschließlich auf den Regler beschränkt ist, kann der FC unter Einschluß der ihm vor- bzw. nachge- schalteten Fuzzifizierung bzw. Defuzzifizierung nach außen hin als konventioneller nichtlinearer Regler aufgefaßt wer- den.

Die Arbeit mit FCs dieses Typs erfordert die Fuzzifizierung der Eingangsgrößen (z.B. Fehler und Fehlergeschwindigkeit) : Jede scharfe Eingangsgröße ist einer Untermenge von Zugehö- rigkeitsgraden zugeordnet, die von einer a priori ausgewähl¬ ten Menge von Zugehörigkeitsfunktionen abhängen. Der Einfach¬ keit halber sind in den meisten Fällen die Zugehörigkeits¬ funktionen innerhalb eines normierten Intervalls (universe of discourse) definiert. Deshalb müssen vor der Fuzzifizierung die Eingangsgrößen so normiert (skaliert) werden, daß sie in das Standardintervall hineinpassen. Eine optimale Auswahl von Skalierungsfaktoren ist deshalb wesentlich, weil eine schlecht gewählte Skalierung zu einer Verschiebung des Ar¬ beitsbereiches an die Ränder des Standardintervalls führt. Allgemein geeignete Skalierungsvorschriften sind aus der Li¬ teratur bekannt (M.Braae, D.A. Rutherford: Selection of Para¬ meters for a Fuzzy Logic Controller, Fuzzy Sets and Systems 2

(1979) , North -Holland pp . 185-199 ; Peng Xian-Tu : Generating Rules for Fuzzy Logic Controllers by Functions , Fuzzy Sets and Systems 36 (1990) , North -Holland pp . 83-89 ; T . J . Procyk, E . H . Mamdani : A Linguistic Self-Organizing Process Control- 1er , Automatica Vol . 15 (1979) , Pergamon Press Ltd. pp . 15- 30 ) .

Bei. diesen Verfahren hängt ein optimales Skalieren nicht nur von den Eigenschaften der Eingangsgrößen, sondern auch in ge¬ wissen Maße von der Form und Anordnung der Zugehörigkeits- funktionen und natürlich auch der Systemdynamik ab . Der Nach¬ teil einiger bisheriger Verfahren liegt darin, daß sie auf der Methode von Versuch und Irrtum beruhen (A. Boscolo, F. Drius : Computer Aided Tuning and Validation of Fuzzy Systems . IEEE Int . Conf. on Fuzzy Systems 1992 San Diego März 1992 , pp . 605-614 ) . Die bekannten Verfahren, die mit Kostenfunktio¬ nalen arbeiten, haben den Nachteil ist, daß sie sich auf PID- ähnliche FCs beschränken (Li Zheng : A Practical Guide to Tune Pl-like Fuzzy-Controllers , IEEE Int . Conf. on Fuzzy Systems 1992 San Diego März 1992 , pp . 633-640 ) .

Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, eine Methode zur optimalen Einstellung von Skalierungsfaktoren in FCs anzuge¬ ben. Ein Fuzzy-Regler mit Crisp-Eingangsgrößen und Crisp-Aus- gangsgrößen kann als ein mehrdimensionales, nichtlineares Übertragungsglied mit unteren und oberen Grenzen angesehen werden, das in einem Regelkreis eingesetzt wird, in dem das zu regelnde System sowohl lineare als auch nichtlineare An¬ teile besitzt. Fuzzy-Regler werden i. allg. so entworfen, daß sie einerseits den Nichtlinearitäten und Parameterfluktuatio- nen des Systems durch eine hohe Robustheit Rechnung tragen. Andererseits sollen Führungsgroßen entsprechend ihrer unter¬ schiedlichen Qualität adäquat behandelt werden, z.B. sollte ein überproportionales, nichtlineares .Ansteuern eines ent¬ fernt liegenden Zielpunktes und lineares Ausregeln von Feh- lern in der Nähe des Zielpunktes angestrebt werden. Die Reg¬ ler-Eingangsgröße muß nun so skaliert werden, daß sie beide Forderungen erfüllt.

Diese Methode soll sowohl für FCs mit einfacher Aufσabenstel- lung gelten, die ihr konventionelles Gegenstück m Zustands- reglern und nichtlinearen Reglern haben, als auch für Satze von Fuzzy-Entscheidungsregeln, denen konventionell scharfe neuristische Regeln entsprechen.

Diese Aufgabe wird durch ein Verfahren zur Einstellung von Skalierungsfaktoren von nichtlmearen Reglern mit Merkmalen nach Anspruch 1 gelost. Vorteilhafte Weiterbildungen der Er¬ findung sind Gegenstand von Unteranspruchen.

Bei dem erfindungsgemaßen Verfahren zur Einstellung von Ska- lierungsfaktoren von nichtlmearen Reglern werden diese Ska- lierungsfaktoren so gewählt, daß eine normierte Kreuzkorrela- tionsfunktion eines skalierten Eingangssignals mit einem zugehörigen Ausgangssignal optimiert wird.

Ein Vorteil des Verfahrens liegt darin, daß die Einstellung von Eingangsgroße-Skalierungsfaktoren nur durch Berücksichti¬ gung des nichtlinearen Reglers vorgenommen werden kann, ohne die Regelschleife zu schließen. Das Verfahren st für belie¬ bige nichtlineare Regler, also auch konventionelle Regler, anwendbar.

Figur 1 zeigt das Blockschema eines (Fuzzy-) Reglers.

Figur 2 zeigt eine Regelschleife mit einem (Fuzzy-) Control¬ ler FC und dem zu regelnden System.

Figur 3 eine typische symmetrische Ubertragungsfunktion eines

FC.

Figur 4 zeigt schematisch den typischen Verlauf einer nor- mierten Kreuzkorrelation in Abhängigkeit vom mittleren Fehler und dessen Standardabweichung.

Figur 5 zeigt ein Blockschema für das erfindungsgemäße Ver¬ fahren.

Figur 6 zeigt den typischen Verlauf der Übertragungsfunktion eines linearen Systems mit oberer und unterer Begrenzung sowie eine typische GAUSS-Verteilung der Eingangssignale.

Figur 7 zeigt zwei numerische Beispiele von GAUSS-Verteilun- gen von Eingangssignalen für eine lineares bzw. eine nichtli- neares, begrenztes System.

Figur 8 zeigt schematisch die Verhältnisse bei der Bewegung eines redundanten Roboterarms.

Figur 9 zeigt Simulationsergebnisse eines Demonstrationsbei- spiels des erfindungsgemäßen Verfahrens.

Figur 10 zeigt Simulationsergebnisse eines Demonstrationsbei¬ spiels des erfindungsgemäßen Verfahrens.

Im folgenden wird die Erfindung anhand bevorzugter Ausfüh- rungsbeispiele und mit Hilfe der Figuren näher beschrieben.

Das Verfahren basiert auf einer Methode der nichtlinearen Re- gelungstechnik, bei der für einen GAUSS-verteilten Eingangs¬ größe ein vorgegebener FC unter bestimmten Annahmen durch ei¬ nen sogenannten Äquivalenten Verstärkungsfaktor gedanklich ersetzt wird, dessen Größe von der nichtlinearen Eingangs- Ausgangs-Charakteristik des FC abhängt. Das Ziel der Methode ist die Ausnutzung der linearen Systemtheorie im Falle des Vorhandenseins nichtlinearer Elemente in der Regelschleife. Die geeignete Wahl des Äquivalenten Verstärkungsfaktors hat daher einen großen Einfluß auf das Systemverhalten, wie Sta¬ bilität, Einschwingverhalten u.s.w. Der Äquivalente Verstär- kungsfaktor kann durch die Standardabweichung des Eingangs¬ größe-Signals und die Eingangsgröße-Ausgangsgröße-Kreuzkorre- lationsfunktion ausgedrückt werden. Die Grundannahme für das

erfmdungsgemaße Verfahren ist, daß für stationäre Eingangs¬ großen ein bestimmter Anteil ihrer Signalamplituden in der Nahe des Arbeitspunktes des FCs linear durch den FC übertra¬ gen werden sollen. Ein Maß für die lineare Eingangs-Ausgangs- Abhängigkeit ist die Kreuzkorrelation bzw. der Kreuzkorrela- tionskoeffizient. Das bedeutet: wenn eine spezielle Lineari- tat zwischen Eingangsgroße und Ausgangsgroße gefordert ist, so muß die Standardabweichung der skalierten Eingangsgroßen so verändert werden, daß sich der gewünschte Korrelations- koeffizient einstellt. Für einen vorgegeben FC ist der ein¬ zige Parameter zur Beeinflussung der Äquivalenten Verstärkung der Skalierungsfaktor für das Eingangssignal. Das erfmdungs¬ gemaße Verfahren behandelt somit die optimale Einstellung von Skalierungsfaktoren mit Hilfe von Korrelationsfunktionen. Der Vorteil des Verfahrens liegt darin, daß das Einstellen von Eingangsgroße-Skalierungsfaktoren nur durch Berücksichtigung des nichtlmearen FCs vorgenommen werden kann, ohne die Re¬ gelschleife zu schließen.

Äquivalente Verstärkung

Das mit dem FC zu steuernde System sei im Arbeitspunkt als linear angenommen und mit einer Tiefpaßcharakteristik behaf¬ tet (siehe Figur 2) .

Weiterhin sei die Führungsgroße w als GAUSS-verteilt angenom¬ men. So sei beispielsweise der betrachtete Regelkreis ein Servoregelkreis eines Roboters, der in einem hierarchischen Steuerungssystem eingebettet ist und der aufgrund von Sensor- Informationen standig Sollwertanderungen angeboten bekommt. Große Sollwertanderungen sollen seltener auftreten als kleine Änderungen, wobei das gesamte Ensemble der Sollwertanderungen als GAUSS-verteilt angenommen sei. Am Ausgang des FCs erhalt man wegen der nichtlmearen Uber- tragungscharakteristik eine nicht-GAUSSsche Verteilung. Wegen seiner Tiefpaßcharakteristik nehmen wir an, daß das zu steu¬ ernde System alle Frequenzen herausflltert, die die GAUSSsche

Verteilung verzerren, so daß man am Ausgang des Systems wie¬ der ein GAUSS-verteiltes Signal erwarten kann. Damit gibt es an der Additionsstelle sowohl für die Führungsgröße w als auch für die Regelgröße x und damit auch für den Fehler e=w-χ GAUSS-verteilte Signale. Mit diesen Annahmen ist auch das skalierte Signal e _s = (w - x) s _c ( s _c = Skalierungsfaktor) auch vom GAUSS-Typ. Aus der nichtlinearen Systemtheorie sind die Termini Beschreibungsfunktion für sinusförmige Signale bzw. Äquivalente Verstärkung für GAUSSsche Signale bekannt (siehe H. Schu tt : Stochastische Vorgänge in linearen und nichtlinea¬ ren Regelkreisen, Vieweg & Sohn GmbH, Verlag, Braunschweig 1968) . Das Ziel dieser Methoden ist, das nichtlineare Element in einem geschlossenen Regelkreis rechnerisch durch ein li¬ neares Element zu ersetzen, dessen Verstärkung von der Ampli- tude eo (für sinusförmige Signale) oder von der Varianz σ _e (für GAUSS-verteilte Signale) der Regler Eingangsgrößen (Regelfehler) abhängt.

Beschränken wir uns auf GAUSSsche Signale so erhält man für die Äquivalente Verstärkung

wobei, e _s -= s _c e , u die crispe bzw. defuzzifizierte Stellgröße (Reglerausgangsgröße) ,

⁽ 2 ⁾ ^, (θ-e _J )= ^)- , ⁽ ] ⁾ -(2 ^?( -φ()] ⁾ ]

die lineare Kreuzkorrelationsfunktion für r=0 ist und E [ x (t) } der Erwartungswert eines Signals x (t) bedeutet.

Eingangsgrößen-Skalierung

Das Ausgangssignal des FCs sei ü . Die Standardabweichungen des skalierten Signals e _s (t) und des nicht-skalierten Signals

e(t) sind auf dieselbe Weise verbunden, wie die Signale selbst:

.3) σ _e = s _c ^• σ _e

Aus (1) und (3) ergibt sich

Sowohl die äquivalente Verstärkung K als auch die Kreuzkor¬ relationsfunktion ^j7 erreichen ihr Maximum in dem Fall, für den Eingangsgröße und Ausgangsgröße linear miteinander ver¬ koppelt sind. Die normierte Korrelationsfunktion

:β) - .ü ~-

und ihr Minimum bei

falls die Ubertragungscharakteπstik des Reglers symmetrisch zum Mittelwert e _s des Eingangsgrößen angeordnet ist (siehe Figur 3) .

Optimales Skalieren bedeutet: Suche eines optimalen σ _e hin¬ sichtlich des Intervalls [-A, +A] des FCs.

Eine solche optimale Skalierung wird z.B. durch folgende Ver¬ fahrensschritte erzielt:

1. Start der Suchprozedur mit einem großen Skalierungsfaktor s _c , was einer maximalen Standardabweichung σ _e$ = σ _{βs max} ent¬ spricht.

2. Schrittweise Änderung des Mittelwertes e _s durch Addition einer Änderung bei konstanter Standardabweichung σ _e . Dieses entspricht einer Verschiebung der Wahrscheinlichkeitsvertei¬ lung des Eingangssignals gegenüber der Ubertragungskennlinie des FC entlang der e _s -Achse. Das Ergebnis ist eine Kurve R(e _s , σ _e ) mit einem Maximum R(e _s , ^σ e _s )xnax ^{in nu} r einem Punkt mit

8) ≥ q > 0 für alle e _s ' in einer Umgebung von e _s

und σ _P = consi.

Hierbei ist q ein vorgegebenes Maß für die minimale Sensiti- vität der normierten Kreuzkorrelation auf Änderungen des mittleren Regelfehlers (der mittleren Reglereingangsgröße) .

3. Verringerung des Skalierungsfaktors s _c um As _c mit dem Er¬ gebnis einer Verringerung von σ _e um Aσ _e und Wiederholung der Schritte 1 und 2 für R(e _s , σ _e - Aσ _e ). Wegen der Monotonie der Funktion R(e _s ,σ _e )g -=. _C onst wird damit ein höheres Maximum erreicht, als im vorherigen Schritt:

(9) R(^τ. <~e _s - ^σ e _s )max ^x^e _s )max ^•

4. Die Prozedur wird gestoppt für einen Wert σ _e mit

(10) R(e _s , σ _{es opt} ) ≥ \ - a σe(0,l)

mit der Bedingung (8) . Der diesem Wert von σ _e . entspre¬ chende Wert s _{c opt} ist der gesuchte optimale Skalierungsfaktor.

5. Wird Bedingung (8) nicht erfüllt, so erhält man anstatt eines eindeutigen Maximums ein Plateau, was einer ungenügen¬ den Ausnutzung der Domäne [-A,+A] des FCs bei einer gegebenen Standardabweichung σ _e des Eingangssignals entspricht. In diesem Fall muß der Skalierungsfaktor s _c erhöht werden, und es müssen die Schritte 1 bis 3 gegebenenfalls mit kleinerer Schrittweite As _r und damit auch kleineren Werten für Δσ„ so- lange durchlaufen werden, bis die Bedingung (8) erfüllt ist. Figur 4 zeigt einen typischen R(e _s , σ _e )-Verlauf und Figur 5 das entsprechende Blockschema. Andere Vorgehensweisen oder abgewandelte Algorithmen zur Suche optimaler Skalierungsfak¬ toren kann der Fachmann anhand dieses Beispiels ohne Mühe auffinden.

Der freie Parameter a wird vorzugsweise so gewählt, daß für eine lineare FC-Charakteristik zwischen oberer und unterer Grenze (siehe Figur 6.) die Standardabweichung σ _e des Input- signals dem Intervall A des FCs gleich gesetzt wird:

Das bedeutet, daß bei einer nichtlinearen Charakteristik

(siehe Figur 3.) der Skalierungsfaktor s _c automatisch zu ei¬ nem σ _e „ < A führt.

Beispiel

Es sei eine Standardabweichung σ _e = \ angenommen. Für einen FC mit einer Charakteristik wie in Figur 7a. gezeigt erhält man

R(e _s ,σ _e ) | =0.95 und damit ein cr=0.05. Dieses entspricht ^e s ~ einem Skalierungsfaktor von 5 _C =10. Für einen FC mit einer si- nusförmigen Charakteristik (siehe Figur 7b.) erhält man mit demselben α=0.05 einen Skalierungsfaktor s _c = 7 .

Das folgende Beispiel soll zeigen, daß die Korrelationstech¬ nik auch in solchen Fällen angewandt werden kann, wo es auf eine äquivalente Verstärkung überhaupt nicht ankommt. Es be¬ trifft Inputsignale, deren Vorzeichen sich während des Rege-

lungsprozesses nicht ändern. Hier geht es darum, daß bei ei¬ ner Veränderung des Skalierungsfaktors für den Eingangsgröße nicht nur die Streuung des Eingangssignales verändert sondern auch sein Mittelwert verschoben wird. Diese Verschiebung kann dazu führen, daß die Signale statt im Arbeitsbereich des Con¬ trollers stets in dessen Grenzbereichen agieren, was wegen der Unempfindlichkeit dieser Bereiche zu einem Fehlverhalten des Systems führt. Die Grundannahme ist, daß der entspre¬ chende Skalierungsfaktor dann optimal eingestellt ist, wenn sich bei geschlossenem Regelkreis eine maximale statistische Abhängigkeit zwischen Eingangsgröße und Ausgangsgröße des Controllers ergibt:

abs(R)^o → max .

Der Absolutwert von R wurde deshalb genommen, um von einer VorZeichenumkehr in der Regelschleife unabhängig zu sein. Im folgenden Beispiel wird gezeigt, daß das Verfahren auch bei mehrfachen Eingangsgößen erfolgreich ist

Demonstrationsbeispiel

Das folgende numerische Bespiel beschreibt die kinematische Steuerung eines redundanten Manipulatorarmes (R.Palm: Control of a Redundant Manipulator Using Fuzzy Rules, Fuzzy Sets and Systems (1992) , Vol . 45 No. 3, North -Holland pp.279-298) . Der Effektor (Greifer oder Werkzeug) des ebenen Roboters soll ei¬ ner vorgeschriebenen Bahn folgen (siehe Figur 8) . Die Robo¬ terkinematik ist so konstruiert, daß der Manipulator in der Lage ist, sowohl externe Hindernisse als auch interne Re¬ striktionen der einzelnen Gelenke (z.B. Endlagen) zu vermei¬ den.

In dem vorliegenden Beispiel ist die Bewegung jedes Gelenks zusätzlich zu der vorgegebenen Effektoraufgabe durch folgende Νebenbedingungen bestimmt:

- Distanz h zur Mittellage

- Distanz s zur Wand

- Distanz d zum Hindernis .

Die Distanzen h, s und d werden durch Fuzzy-Attribute wie s = Positive Small und ihre Zugehörigkeitsfunktionen bestimmt. Für jedes Gelenk erzeugt eine Fuzzy-Regel eine entsprechende Korrektur des Gelenkwinkels. Die Aktionen (Gelenkkorrekturen) z jedes Gelenks werden ebenfalls durch Fuzzy-Attribute wie z = Positive Big bewertet. Die Distanzen h, s und d werden zu- nächst so skaliert, daß sie in die vorbestimmten Standardin¬ tervalle (universes of discourse) passen.

Für die interne Restriktion "Skalierte Distanz zwischen dem i-ten Gelenk und seiner Mittelstellung" ftj=h wurden folgen¬ de Fuzzy-Sets formuliert:

h negative big: HNB-{μff]ιfß(h)lh). h negative small: HNS = (μHNS(hl h h positive big: HPB = (μffPB(h)l ' h), h positive small: HPS = (μfjps(h)l h\ fh ^~ H

Für die externe Restriktion "Skalierte Distanz zwischen dem i-ten Gelenk und einer Wand" Sjjf = s wurden folgende Fuzzy- Sets formuliert:

s big: SIB = (μ _S lB(s)>'s\ s small : SIS = (μ$js(s)l s),

V5€S.

Für die externe Restriktion "Skalierte Distanz zwischen dem i-ten Gelenk und einem Hindernis" djtf=d wurden folgende Fu¬ zzy-Sets formuliert:

d big: DIB = (μ _DIB (d)ld), d small: DIS = (μr)is(d)l d), /d D.

Für die "Skalierte Ausgangsgröße" r =r bezüglich des i-ten Gelenks wurden folgende Fuzzy-Sets formuliert:

z negative big: ZNB -- (μ ^ i')! ∑)- z negative small : ZNS = (μZNS( ^r ) - ^{1 r} )> z negative zero: ZNZ = (_u2f^~ (∑)/ ∑), z posi tive big: ZPB = (μzpß(z)l ∑), z posi tive small : ZPS = ( ZPSi ² )^ ² - z positive zero : ZPZ= (μzPZ( ^∑ V ^∑ ) ' VΣ G Z .

Alle Zugehörigkeitsfunktionen μ variieren ausschließlich in¬ nerhalb des Standardintervalls h , s, d, z e [MAX, MIN] . Außer¬ halb dieses Intervalls sind die ü-Werte entweder 0 oder 1. Weiterhin seien alle Fuzzy-Sets normal , d.h. es gibt immer ein h , s, d oder z mit μ = \ .

Um eine geeignete Bewegung für jedes Gelenk mit Berücksichti¬ gung der externen und internen Restriktionen zu erzeugen wurde der folgende Regelsatz angewendet:

IF(SISANDDISAND(HNSORHPS))OR(SISANDHNBANDDIB) THENZNZ

IF(SISANDHPBANDDIS)OR(SIBANDHPSANDDIB) THENZNS

IF(SISANDDIBAND(HNSORHPS))OR((SISORSIB)ANDHPBANDDIB) THENZNB IFSISANDHNBANDDIS THENZPZ

IF(SIBANDDISAND(HPSORHPB))OR(SIBANDHNSANDDIB) THENZPS

IF(SIBANDDISAND(HNSORHNB))OR(SIBANDHNBANDDIB) THENZPB

Der skalare Ausgangswert wurde über das "center of gravity" berechnet:

-•πιax

\∑ μ _τ dz

'min

Für AND und OR wurden der MAX bzw. MIN Operator benutzt. Für die Distanz s lautet der Korrelationskoeffizient für den dis¬ kreten Fall:

Figur 9 zeigt die Änderung des Korrelationskoeffizienten R in Abhängigkeit von s _s , dem Skalierungsfaktor für s.

Die anderen Skalierungsfaktoren sind 5^=20 und J,/=120. Der Gipfel von R liegt bei etwa 5 ₅ =80. Figur 10 zeigt dieselbe Situation nur für sf,=100 und s, =60. Der Gipfel von R liegt wieder bei ,%=80. Figur 11 zeigt den Korrelationskoeefizien- ten R für s/,=20 und sj =60 wobei der Gipfel von R wiederum bei Sy=80 liegt. Das Ergebnis zeigt, daß trotz einer unter- schiedlichen Wahl der anderen Skalierungsfaktoren sj und -s, und einer damit verbundenen Änderung der R(5 ₅ )-Kurve das Ex- tremum von R sich stets an derselben s ₅ -Stelle befindet. Die¬ ses Beispiel illustriert schließlich die Unabhängigkeit der Lage der Maxi a der Korrelationskoeffizienten.

Im Rahmen dieser Beschreibung wurden die folgenden Veröffent¬ lichungen zitiert:

M.Braae, D.A. Rutherford: Selection of Parameters for a Fuzzy Logic Controller, Fuzzy Sets and Systems 2 (1979) , North-Hol ¬ land pp.185-199

Peng Xian-Tu: Generating Rules for Fuzzy Logic Controllers by Functions, Fuzzy Sets and Systems 36 (1990) , North -Holland pp.83-89

T.J. Procyk, E.H. Mamdani: A Linguistic Self-Organizing Process Controller, Automatica Vol . 15 (1979) , Pergamon Press Ltd. pp. 15-30

A. Boscolo, F. Drius: Computer Aided Tuning and Validation of Fuzzy Systems. IEEE Int . Conf. on Fuzzy Systems 1992 San Diego März 1992, pp. 605-614

Li Zheng: A Practical Guide to Tune Pl-like Fuzzy-Control- lers, IEEE Int . Conf. on Fuzzy Systems 1992 San Diego März 1992, pp. 633-640

H. Schli tt : Stochastische Vorgänge in linearen und nichtlinea¬ ren Regelkreisen, Vieweg & Sohn GmbH, Verlag, Braunschweig 1968

R. Palm: Control of a Redundant Manipulator Using Fuzzy Rules , Fuzzy Sets and Systems (1992) , Vol . 45 No. 3, North-Holland pp.279-298.

Das Buch von H. Schlitt ist ein Lehrbuch, welches ausschlie߬ lich zur Rekapitulation des allgemeinen Fachwissens eines Durchschnittsfachmanns auf dem Gebiet der Regelungstechnik, insbesondere als Referenz für den Begriff des Äquivalenten Verstärkungsfaktors zitiert worden ist.