DU DÉCADRAGE

Domaine technique de l'i nvention

La présente invention concerne le domaine de la réalisation de pièces en matériau composite tissé, après mise en forme d’un ou plusieurs plis de tissu 2D ou 3D.

Arrière-plan technique

De manière classique et bien connue en soi, une pièce en matériau composite tissé comporte une préforme tissée, servant de renfort, et une matrice polymère, servant de liant. Classiquement, les fibres de la préforme tissée sont en fibres de carbone, en verre, en kevlar ou en lin.

La préforme tissée, lorsque le positionnement des fibres au sein de la préforme n’est pas aléatoire mais présente deux directions privilégiées, comporte deux types de fils formant un réseau : les chaînes (qui s’étendent le long de la direction de tissage) et les trames (qui s’étendent transversalement à la direction de tissage). Les chaînes sont souvent sensiblement parallèles entre elles et les trames sont souvent sensiblement parallèles entre elles. Chaînes et trames se croisent généralement à angle sensiblement droit. Le repère chaînes-trames est généralement considéré comme orthogonal. Il est alors commode et courant de considérer que le matériau composite homogène équivalent est orthotrope. C’est par exemple le cas des préformes en sortie des métiers à tisser.

Toutefois, lorsque qu’une préforme tissée est mise en forme, par exemple pour former un carter ou une aube, les chaînes et les trames glissent et pivotent les unes par rapport aux autres et on observe, localement, une perte d’orthogonalité du repère chaînes-trames. On appelle cette perte d’orthogonalité le décadrage. Le matériau ne peut plus être considéré orthotrope ; il devient anisotrope. L’angle a mesurant l’écart entre la position décadrée d’un fil de trame et sa position d’origine est appelé « angle de décadrage ».

Suivant les pièces (ou les zones de pièces) considérées, certains angles de décadrage peuvent atteindre jusqu’à 45°, avec des valeurs plus couramment comprises entre 0° et 25°.

On établit classiquement, pour chaque matériau utilisé dans la fabrication d’une pièce de moteur, une loi dite de comportement. Une loi de comportement d’un matériau vise à modéliser le comportement (états de déformation et de contrainte) dudit matériau en fonction de différentes conditions appliquées audit matériau (traction, pressions, etc...) et s’identifie de manière empirique en soumettant ledit matériau à des expériences de tractions, par exemple. Un même matériau peut suivre plusieurs lois de comportement. Or, le nombre de lois de comportement demeurant valides lorsque l’orthogonalité du matériau se perd, va en diminuant. Ce nombre tend même à s’annuler lorsque les lois en question sont non-linéaires. En outre la valeur des angles de décadrage est souvent inhomogène dans la pièce. S’il existe une loi de comportement anisotrope, les paramètres matériau devront alors être identifiés pour chaque angle de décadrage puisqu’ils dépendront intrinsèquement de cette valeur, ce qui en pratique, n’est pas réalisable.

Un angle de décadrage important modifie considérablement les propriétés mécaniques du matériau tissé considéré. En traction et compression, un matériau dit décadré est plus souple dans le sens des trames, et plus rigide dans le sens des chaînes. En l’absence de loi permettant de modéliser le comportement d’un matériau dont les fibres ont perdu leur orthogonalité, il faudrait alors tester mécaniquement chaque pièce produite. Ceci étant impossible, il est prévu une marge dans la fabrication des pièces, c’est-à-dire qu’on sur dimensionne volontairement certaines zones de certaines pièces, comme par exemple des brides de carters. Classiquement, on dimensionne le carter pour prendre en compte jusqu’à 60% de perte de propriétés dans le sens trame pour un angle de décadrage de 30 degrés de perte de propriétés, donc ladite bride est conçue pour être environ deux fois plus épaisse que ce qu’elle devrait être sans décadrage. Ceci induit un fort taux de gaspillage de matière et un ajout de masse non négligeable pour le moteur.

Il est actuellement possible de prédire les angles de décadrage mais il n’est pas possible d’en tenir compte lors de la fabrication des pièces. En effet, la quantité de lois de comportement toujours valides lorsque l’orthogonalité des fibres du matériau tissé est perdue, s’amenuise et tend à s’annuler lorsque les lois en question sont non-linéaires. En outre, la valeur des angles de décadrage est souvent inhomogène dans la pièce. S’il existe une loi de comportement anisotrope, les paramètres du matériau tissé doivent alors être identifiés pour chaque angle de décadrage puisqu’ils dépendront intrinsèquement de cette valeur, ce qui en pratique n’est pas réalisable.

Le présent déposant s’est donc fixé notamment comme objectif de fournir une méthode de réalisation de pièce en matériau composite tissé permettant de prévoir et de tenir compte du décadrage du repère chaînes-trames lors de la mise en forme du renfort tissé de la pièce.

Résumé de l'i nvention On parvient à cet objectif conformément à l’invention grâce à un procédé de réalisation d’une pièce en matériau composite à partir d’une préforme tissée destinée à être mise en forme, la préforme comportant des fibres de chaîne et des fibres de trame tissées formant réseau, ladite préforme étant destinée à être imprégnée d’une matrice polymère de manière à former un matériau composite tissé, le réseau de fibres présentant, avant la mise en forme de la préforme, deux directions privilégiées sensiblement perpendiculaires entre elles, et présentant après mise en forme de la préforme, au moins un angle de décadrage a, le matériau composite tissé suivant en outre, sans mise en forme particulière de la préforme, une loi de comportement générale connue, le procédé étant caractérisé en ce qu’il comporte les étapes suivantes :

- définition d’un repère local orthogonal par rapport au réseau avant mise en forme de la préforme,

- définition d’un repère local naturel par rapport au réseau après mise en forme de la préforme,

- définition d’un repère lié par rapport au réseau,

- expression d’un tenseur des rigidités du matériau composite tissé dans ledit repère local naturel, le tenseur des rigidités étant connu dans le repère local orthogonal et inchangé quel que soit l’angle de décadrage,

- construction d’un tenseur des déformations dans le repère local orthogonal,

- expression, dans le repère lié, du tenseur des déformations précédemment construit dans le repère local orthogonal,

- calcul d’un tenseur des contraintes dans le repère local naturel à partir de la loi de comportement qui est fonction du tenseur des rigidités exprimé dans le repère local naturel F^ et du tenseur de déformation exprimé dans le repère lié,

- expression, dans le repère local orthogonal, du tenseur des contraintes calculé précédemment par la loi de comportement,

- expression du tenseur des rigidités C, déjà exprimé dans le repère local naturel, dans le repère local orthogonal,

- construction d’un opérateur tangent pour une résolution numérique par la méthode des éléments finis comprenant des composantes qui sont égales à celles du tenseur de rigidité précédemment exprimé dans le repère local orthogonal,

- établissement d’une configuration optimisée du réseau de fibres avant mise en forme de la préforme en fonction au moins du tenseur de contraintes exprimé dans le repère local orthogonal,

- adaptation locale des fibres du réseau lors d’un tissage avant l’imprégnation dudit réseau de fibres par la matrice, de manière à figer lesdites fibres dans la configuration optimisée, - mise en place de la préforme dans un moule,

- imprégnation de la préforme par la matrice polymère,

- démoulage de la pièce.

La solution technique proposée permet de prendre en compte les différents angles de décadrage à partir de considérations géométriques et d’optimiser la fabrication de la pièce en incluant (et plus précisément en tenant compte de) ces différents angles de décadrage post mise en forme dans la conception et la production de ladite pièce. Cette solution s’applique à toutes les lois de comportement (linéaires comme non-linéaires) sans qu’il soit nécessaire de les reformuler. De plus, l’identification des paramètres matériaux reste inchangée. Seule la connaissance de l’ange de décadrage est requise pour sa mise en œuvre. Il devient par conséquent aisé de faire varier continûment l’objet « loi de comportement » avec le champ des angles de décadrage et d’ainsi anticiper le comportement mécanique du matériau tissé en fonction de l’angle de décadrage. Il est ainsi possible d’adapter l’angle de décadrage lors de la réalisation de la pièce, en fonction des propriétés mécaniques locale attendues. De même en tenant compte des angles de décadrage pour prédire le comportement mécanique de la pièce en matériau composite tissé, le délai et les coûts de fabrication sont raccourcis. En effet, de manière générale, pour arriver à sortir une pièce finale en matériau composite tissé qui réponde au cahier des charges en termes de comportement mécanique et de durée de vie, une durée d’au moins un s’écoule à force de modélisations, de prototypes, de tests sur ces prototypes et de reconceptions tenant compte des résultats des tests. La réalisation de ces tests sur chaque pièce est très coûteuse. Avec ce procédé de fabrication, le délai de fabrication (avec toutes les étapes de modélisations, conceptions, tests, etc) peut être raccourci d’au moins 30% ce qui impacte positivement le coût, et le design de la pièce finale en matériau composite est conforme aux attentes. Les pièces obtenues sont plus performantes car il n’est plus nécessaire d’appliquer un coefficient de sécurité aléatoire lequel impliquait de la matière en sus non négligeable sur les dimensions, la masse et le coût de la pièce. Enfin, la durée de vie des pièces est mieux calculée et optimisée.

Le procédé selon l’invention peut comprendre une ou plusieurs des caractéristiques suivantes, prises isolément les unes des autres ou en combinaison les unes avec les autres :

- le repère naturel local est défini comme le repère attaché aux directions privilégiées des fibres du réseau décadré, le repère local naturel étant non-orthogonal en présence d’un angle de décadrage a non nul,

- le repère local naturel est défini comme un repère local covariant et que le repère lié est défini comme le repère local contravariant, dual du repère local naturel, - le passage du repère local orthogonal au repère local naturel se fait au moyen d’une matrice de passage définie comme :

- la loi de comportement générale est une loi de comportement élastique linéaire et que l’opérateur tangent est un tenseur des rigidités élastiques,

- la pièce est une aube,

- la pièce est un carter.

L’invention concerne également un pli d’une préforme tissée (3D) sèche, comportant un réseau de fibres, ledit réseau présentant localement, au moins une zone dans laquelle il n’est pas orthogonal, cette zone ayant été définie par le procédé décrit ci-dessus.

Le pli peut constituer une préforme telle qu’évoquée précédemment ou une pluralité de plis associés par exemple par contact peuvent constituer une telle préforme.

L’invention concerne finalement une pièce de turbomachine en matériau composite tissé réalisée par mise en forme d’une préforme tissée comportant un réseau de fibres imprégnées d’une matrice polymère, ledit réseau présentant, avant la mise en forme de la préforme, au moins une zone dans laquelle il n’est pas orthonormé, cette zone ayant été définie par le procédé décrit ci-dessus.

Brève description des figures

D'autres caractéristiques et avantages de l'invention apparaîtront au cours de la lecture de la description détaillée qui va suivre pour la compréhension de laquelle on se reportera aux dessins annexés dans lesquels :

- la figure 1 est une vue de face d’un métier à tisser classique, permettant de tisser une préforme tissée,

- la figure 2 est une vue schématique en coupe d’une préforme tissée avant mise en forme de ladite préforme,

- la figure 3 est une aube de turbomachine réalisée au moyen d’une mise en forme et d’une imprégnation de matrice d’une préforme telle qu’illustrée au figures précédentes,

- la figure 4a est une vue schématique des déformations du réseau de la préforme une fois mise en forme,

- la figure 4b est une vue semblable à celle de la figure 4a, mais les variations de l’angle de décadrage a sont indiquées numériquement, - la figure 5 est une vue schématique du changement de l’angle de décadrage a avant et après mise en forme de la préforme,

- la figure 6 est une illustration d’un ensemble de repères basés sur le repère local orthonormé selon l’invention,

- la figure 7 est un résumé schématique des quatre premières étapes du procédé selon l’invention,

- la figure 8 est une série d’aubes de turbomachine schématisées et réalisées au moyen du procédé selon la présente invention.

Description détaillée de l'invention

Le procédé proposé dans la présente invention consiste à, dans un premier temps, modéliser la pièce 10 à fabriquer, par exemple une aube de soufflante d’une turbomachine. La modélisation est réalisée à l’aide par exemple d’un logiciel de calcul par la méthode des éléments finis assisté par un ordinateur et équipant ledit ordinateur.

Cette pièce 10 est fabriquée à partir de la mise en forme d’une préforme 12 tissé . Cette préforme 12 tissée comporte des fibres tissées et est classiquement, comme illustré sur la figure 1 , tissée sur un métier à tisser permettant d’obtenir soit une préforme à partir d’une seule nappe ou pli, soit à partir de plusieurs nappes ou plis qui sont arrangés entre eux pour constituer une préforme conformée. La ou les pli(s) qui forment la préforme sont dites sèches. En effet, le ou les pli(s) ne sont pas encore imprégné(s) d’une matrice destinée à densifier la préforme tissée.

En sortie de métier à tisser, la préforme 12 présente ainsi un ensemble de fibres tissées selon deux directions privilégiées sensiblement perpendiculaires entre elles, comme visible sur la figure 1 . On distingue deux types de fibres ou fils : les fibres de chaînes 16a qui s’étendent dans la direction du tissage 17 et les fibres de trames 16b qui s’étendent sensiblement perpendiculairement à la direction de tissage 17, et donc aux chaînes 16a. Cet ensemble de chaînes 16a et de trames 16b forme donc un réseau 18 sensiblement orthogonal, comme visible sur la figure 2.

La préforme 12 tissée est ensuite mise en forme, (comme visible sur la figure 3) pour donner, après imprégnation de matrice et cuisson, la pièce 10. La mise en forme est réalisée typiquement dans un moule d’injection dans laquelle la matrice est injectée. On constate cependant, comme illustré aux figures 4a et 4b que cette mise en forme de la préforme 12 induit une série de déformations du réseau 18. Le réseau 18 n’est plus orthogonal : il est décadré. C’est-à-dire qu’un angle de décadrage a est apparu entre la direction initiale (pré mise en forme) et la direction finale (post mise en forme) des fibres de trame 16b (voir figure 5). Après la mise en forme, les fibres de trame 16b du réseau 18 ne sont plus perpendiculaires à la direction de tissage 17. On peut voir sur la figure 4b, que l’angle de décadrage a varie localement le long de la surface de la pièce 10. Sur la figure 5 on voit ainsi l’évolution du réseau 18 avant mise en forme de la préforme 12 (zone Zi - orthonormée) et après mise en forme de la préformel 2 (zone Z ₂ - décadrée).

Une fois mise en forme, la préforme 12 est classiquement imprégnée d’une matrice polymère, puis cuite dans un autoclave, pour former la pièce 10 en matériau composite tissé 14. On définit, en effet, un matériau composite comme étant une préforme 12 tissée imprégnée de matrice polymère. Ce matériau composite tissé 14 présente des propriétés mécaniques connues. Ces propriétés mécaniques s’expriment par une loi de comportement générale L connue. Il peut par exemple s’agir d’une loi de comportement élastique linéaire. Il est important de noter que la loi de comportement mentionnée ici caractérise le comportement du matériau composite tissé 14 (préforme et matrice), et non de la préforme elle-même. Le comportement mécanique d’un matériau composite tissé 14 est influencé par les angles de décadrage a. De même, le comportement mécanique d’un matériau composite tissé est différent de celui d’une préforme (renfort fibreux sec).

Ces angles de décadrage a induisent une variation des propriétés mécaniques du matériau composite tissé 14 en fonction des différentes zones Z ₂ de la pièce 10. Ces variations des propriétés mécaniques induisent des faiblesses et obligent à concevoir des pièces 10 avec certaines parties surdimensionnées de manière à pallier les faiblesses mécaniques du matériau composite tissé 14 décadré. On appelle « matériau composite tissé 14 décadré » un matériau composite tissé 14 dont la préforme 12 tissée présente un réseau 18 de fibres avec un angle de décadrage a non nul. Autrement dit, on appelle « matériau composite tissé 14 décadré », un matériau composite tissé 14 dont la préforme 12 tissée présente un réseau 18 décadré.

Comme pour tout réseau, les orientations des fibres 16a, 16b du réseau 18 peuvent être exprimées par décomposition sur les vecteurs d’une base. En mathématique, une base d'un espace vectoriel V est une famille libre de vecteurs de V qui engendre V. On peut donc exprimer les directions des fibres 16a, 16b du réseau 18 initial (pré mise en forme) dans une base Bi d’un repère local orthogonal Ri. Ceci permet de définir, entre autres, une loi de comportement L générale. Cette loi de comportement générale L peut être classiquement composée de tenseurs ayant pour valeurs numériques des coordonnées dans la base Bi considérée. Afin de remédier à ces problèmes de surdimensionnement, il s’agit, selon la présente invention, de modéliser le comportement du matériau composite tissé 14 décadré dans une base B ₂ d’un repère local R ₂ dit naturel (ou décadré). Ce repère local naturel R ₂ est lié aux directions des fibres 16, 16b du réseau 18 après décadrage. Cette modélisation se fait de manière identique à la modélisation du comportement du matériau composite tissé 14 orthotrope (avec un angle de décadrage a nul) dans la base Bi du repère local orthogonal Ri. On considère, en effet, que le réseau 18 conserve ses symétries matérielles dans le repère local naturel R ₂ : on considère que le réseau 18 décadré se comporte comme un matériau orthotrope dans le repère local naturel R ₂ . Ce repère local naturel R ₂ permet ainsi de modéliser le comportement d’un matériau composite 14 décadré par un ensemble de lois de comportement fiables, dites définitives, quels que soient les différents angles de décadrage a locaux. Cette modélisation implique que :

- les composantes des différents tenseurs (projetés dans le repère naturel R ₂ et) intervenants dans ladite loi de comportement générale L sont identiques pour les matériaux composites tissés 14 orthotropes et décadrés (c’est-à-dire avant et après mise en forme de la préforme 12),

- seules les bases Bi, B ₂ des repères Ri, R ₂ sur lesquelles sont projetés ces tenseurs sont différentes,

- tout comme pour les fibres 16a, 16b du réseau 18 initial, la base B ₂ décadrée n’est plus orthogonale en présence de décadrage.

On modélise la mise en forme de la préforme 12 tissée de la pièce 10 à réaliser de manière à prédire localement les déformations et les angles de décadrage a du réseau 18 de fibres 16a, 16b en fonction de la mise en forme de la préforme 12. Dans le cadre de la présente invention, cette modélisation est géométrique et est obtenue par une simulation numérique de la mise en forme de la préforme suivant un algorithme du filet amélioré. Puis, les angles de décadrage permettent la modélisation de la pièce 10 par la méthode des éléments finis.

Dans une première étape, on définit le repère local orthogonal Ri par rapport au réseau 18 avant mise en forme de la préforme 12.

Au cours d’une deuxième étape du procédé, on définit le repère local naturel R ₂ . Cette définition du repère R ₂ permet d’exprimer un tenseur des rigidités C du matériau composite tissé 14 décadré. Dans le cas d’un matériau composite tissé 14 non décadré, ce tenseur des rigidités C est classiquement défini dans le repère local orthogonal Ri. Les composantes du tenseur des rigidités C sont connues dans le repère local orthogonal Ri. Tout tenseur de rigidité est obtenu expérimentalement par des essais expérimentaux sur un matériau composite tissé (sous la forme d’une éprouvette) et dans le repère local orthogonal Ri (sans décadrage). Chaque tenseur de rigidité est lié à un matériau défini. Dans le cas d’un matériau composite tissé décadré, les composantes du tenseur C sont supposées connues et inchangées (ou invariant) dans le repère naturel R2 quelle que soit la valeur de l’angle de décadrage a. Ce point (expression du tenseur des rigidités C du matériau composite tissé 14 dans ledit repère local naturel R2) est le cœur et la nouveauté de la solution technique proposée.

Au cours d’une troisième étape, on définit ou construit, dans un premier temps, un tenseur des déformations E dans le repère local orthogonal Ri Le tenseur des déformations est fourni par une personne du métier et/ou de préférence un logiciel utilisé pour réaliser la modélisation par la méthode des éléments finis. Le tenseur des déformations est connu dans le sens mathématique du terme. Dans un second temps, le tenseur des déformations E est exprimé dans un repère lié R ² . Le repère lié R ² est défini par rapport au réseau de fibres. L’expression ou le calcul est réalisé au moyen d’une matrice de passage J ^T comme cela est visible sur la figure 7. Ici, ce repère lié R ² est le repère local contravariant R ² , dual du repère local naturel R2, dit repère covariant. Finalement, la loi de comportement du matériau composite tissé est utilisée pour, au moyen des tenseurs C et E, calculer un tenseur des contraintes p dans le repère local naturel R2.

Au cours d’une quatrième étape, on exprime le tenseur des contraintes p obtenu ci-avant dans le repère local orthogonal Ri au moyen d’une matrice de passage J ^j .

Au cours d’une cinquième étape, on construit un opérateur tangent (élément nécessaire) pour une résolution numérique par la méthode des éléments finis comprenant des composantes qui sont égales à celles du tenseur de rigidité précédemment exprimé dans le repère local orthogonal Ri. En particulier, et autrement dit, on calcule numériquement les composantes du tenseur des rigidités C dans le repère local orthogonal Ri . Dans le cas d’un calcul élément fini linéaire, l’opérateur tangent est égal à C exprimée dans Ri. Dans le cas d’un calcul élément fini non-linéaire, l’expression de l’opérateur tangent est plus complexe et dépend de la nature de la non-linéarité.

Afin de permettre une compréhension simplifiée des cinq premières étapes du procédé de la présente invention, le cas de la dimension 2 est développé dans ce qui suit. La solution technique proposée par la présente invention reste cependant tout à fait applicable en dimension 3.

Plus précisément, on considère le repère local orthogonal Ri représenté sur la figure 6 par les deux vecteurs dXi et dX2. Le repère local orthogonal Ri s’écrit mathématiquement comme Ri=dXrdX ₂ . Il correspond au repère dans lequel les déformations (tenseur E) et les contraintes (tenseur TT) doivent être exprimées dans le cadre de l’utilisation de la méthode des éléments finis. Ces déformations E et ces contraintes p sont fournies respectivement en entrée et sortie de la loi de comportement générale L.

On considère ensuite le repère local naturel R ₂ . Le repère local naturel R ₂ s’écrit mathématiquement R ₂ =dMrdM ₂ . Il est représenté, sur la figure 6, par les deux vecteurs dMi et dM ₂ . Le repère local naturel R ₂ est le repère attaché aux directions privilégiées des fibres 16a, 16b du réseau 18 décadré. Le repère local naturel R ₂ est non-orthogonal en présence d’un angle de décadrage a non nul, c’est-à-dire quand a est différent de 0.

En mathématiques, on appelle « repère » une collection d'éléments de référence dont l’un est désigné comme étant l’origine, ces éléments permettant de désigner de manière simple n'importe quel objet d'un ensemble donné. En géométrie, un repère permet de définir les coordonnées de chaque point. Les repères sont par exemple utilisés pour représenter graphiquement des données.

L’angle de décadrage a est ainsi défini comme l’angle formé entre dM ₂ et dX ₂ (voir figure 6).

Avec la définition de l’angle de décadrage a montrée sur la figure 6, la matrice de passage /du repère local orthogonal Ri au repère local naturel R ₂ a pour expression :

Rappelons que le résultat du produit de deux tenseurs ne doit pas dépendre des repères dans lesquels ils sont exprimés. Il s’agit du principe d’objectivité des lois physiques. Pour cela, il est donc nécessaire que les deux tenseurs E et C soient exprimés dans des bases duales.

Plus généralement, en mathématique, on appelle « espace dual d'un espace vectoriel V » l'espace des formes linéaires sur V. On appelle « formes linéaires » un type particulier d'applications linéaires. Une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire mais beaucoup d'auteurs réservent le mot de « transformation » à celles qui sont bijectives) est une application entre deux espaces vectoriels sur un corps K ou deux modules sur un anneau qui respecte l'addition des vecteurs et la multiplication scalaire définie dans ces espaces vectoriels ou modules, ou, en d'autres termes, qui « préserve les combinaisons linéaires ». Afin d’exprimer deux tenseurs E et C dans des bases duales (l’une par rapport à l’autre) (en particulier C est dans une base et E est exprimé dans une base duale de celle de C), le formalisme mathématique suivi dans la solution technique proposée est celui de l’algèbre linéaire. L’algèbre linéaire permet en outre d’accéder aux notions de base covariante et de base contravariante. Ces notions de base covariante et de base contravariante sont appliquées au cas de matériau composite tissé 14 décadré dont il est question dans la présente invention : ainsi, le repère local naturel R2 associé à la base B ₂ (représenté par les vecteurs dMi et dM ₂ sur la figure 6) est-il défini comme covariant. Ce repère change avec a, et est confondu avec le repère orthogonal Ri (représenté par les vecteurs dXi et dX ₂ sur la figure 6) lorsque l’angle de décadrage a est nul. On définit également un repère dual R ² . Ce repère est défini comme le repère dual du repère local naturel R ₂ . Ce repère dual R ² est associé à une base B ² dite contravariante (représentée par les vecteurs dM ¹ et dM ² sur la figure 6). Ce repère dual R ² change aussi avec l’angle de décadrage a, et est aussi confondu avec le repère local orthogonal Ri lorsque l’angle de décadrage a est nul. On définit donc mathématiquement le repère dual R ² comme R ² =dM ¹ -dM ² . Chacun de ses vecteurs dM' du repère dual R ² est orthogonal au vecteur dM _j du repère local naturel R ₂ correspondant, avec i ¹ j = 1,2. Notons qu’un repère est identique à son dual s’il est orthogonal. Il est à noter également que lorsqu’une base est orthogonale, elle est confondue avec sa base duale et les bases covariante B ₂ et contravariante B ² sont identiques.

Afin de mieux expliciter la présente invention, il est proposé, dans la suite, un exemple concret des cinq premières étapes du procédé de la présente invention, basée sur les notions définies plus haut. L’exemple se base sur une loi de comportement générale L particulière : une loi de comportement élastique linéaire. En l’absence de décadrage, rappelons que cette loi permet de calculer le tenseur des contraintes p par produit doublement contracté du tenseur des rigidités C et du tenseur des déformations E. On exprime ainsi p = C:E. Les cinq étapes détaillées ci-après sont illustrées en figure 7.

• Etape 1 : on modélise la mise en forme du renfort tissé de la pièce 10 à réaliser de manière à prédire localement les déformations et les angles de décadrage a du réseau 18 de fibres 16a, 16b en fonction de la mise en forme de la préforme 12.

(en résumé, on obtient ainsi les angles de décadrage a)

• Etape 2 : les composantes du tenseur des rigidités du matériau C sont supposées connues et inchangées dans le repère local naturel R ₂ quelle que soit la valeur de l’angle de décadrage a. On exprime ainsi le tenseur C dans le repère local naturel R ₂ . (en résumé, on construit les repères R2 et R ² en fonction des angles de décadrage a précédemment obtenus et on exprime C)

• Etape 3 : le tenseur des déformations E est fourni (par une personne du métier) en entrée de la loi de comportement L dans le repère local orthogonal Ri. Le tenseur E est ensuite exprimé dans le repère dual R ² avec E=/E/ ^T (avec f, la matrice de passage du repère local orthogonal Ri au repère local naturel R2). Le tenseur E étant exprimé dans le repère dual R ² et le tenseur C étant exprimé dans le repère local naturel R2, les tenseurs C et E sont ainsi exprimés dans des repères duals l’un de l’autre (R2 et R ² ) : leur produit tensoriel est donc objectif, au sens du principe d’objectivité des lois physiques. On peut ainsi calculer les composantes du tenseur des contraintes p (p=0 : E) dans la base covariante B ₂ du repère local naturel R2.

(en résumé, on exprime le tenseur E dans le repère R ² (dit contravariant), puis la loi de comportement est utilisée pour obtenir p dans R2 (dit covariant))

• Etape 4 : le tenseur des contraintes TT,qui a été calculé préalablement, est exprimé dans le repère local orthogonal Ri (expression attendue par la personne du métier) avec p =/tt/ ^t (avec ] ^J , la matrice de passage du repère local orthogonalRi au repère local naturel R2).

• Etape 5 : résolution numérique au moyen d’un opérateur tangent. Les composantes de l’opérateur tangent sont calculées au moyen de la loi de comportement général L. Dans le cas présent, ces composantes sont calculées dans le repère local orthogonal Ri. Dans le cas d’une loi de comportement générale L élastique linéaire, l’opérateur tangent est égal au tenseur des rigidités élastiques et ses composantes dans le repère Ri sont calculées par une opération de changement de base appliquée à un tenseur d’ordre 4 dont l’expression est la suivante :

C[v(p, q), v(r, s)] = J ^T [p, i\.J ^T [q,j].J ^T [r, k].J ^T [s, l]. C[v(i,j ), v(k, l)], avec : p, q, r, s, i,j, k, l étant des indices entiers chacun dans [1,2,3], ] ^T étant la matrice de passage de Ri à R2 (définie ci-dessus) et v étant la fonction [1,2,3] ² ® [1,2, 3, 4, 5, 6] permettant de faire le lien entre les composantes d’un tenseur 3x3x3x3 et les composantes du même tenseur écrit sous une forme matricielle 6x6 grâce à l’exploitation des deux symétries mineure et majeure, propriétés que possède le tenseur des rigidités élastiques. En d’autres termes, le tenseur des rigidités C (qui avait déjà été exprimé dans le repère R2), est exprimé dans le repère local orthogonal Ri. Cette étape est illustrée sur la figure 7 par la flèche numéro 4 qui symbolise le passage du repère local naturel R2 au repère local orthogonal Ri On accède ainsi au tenseur des contraintes p dans le repère local orthogonal Ri et on peut ainsi prédire l’état de contrainte local du matériau composite tissé 14 décadré, peu importe la valeur de l’angle de décadrage a. On peut alors anticiper l’impact de l’angle de décadrage a et orienter les fibres 16a, 16b du réseau 18 de la préforme 12 avant imprégnation par la matrice polymère. Les cinq dernières étapes du procédé de la présente demande sont ainsi :

- l’établissement d’une configuration optimisée du réseau 18 de fibres 16a, 16b en fonction au moins du tenseur de contraintes exprimé dans le repère local orthogonal Ri _, avant mise en forme de la préforme 12 ; l’orientation des fibres est optimisée partout dans le profil numérique pour améliorer la réponse mécanique de la pièce finale qui sera obtenue ,

- l’adaptation locale des fibres 16a, 16b du réseau 18 avant l’imprégnation dudit réseau 18 de fibres 16a, 16b par la matrice, de manière à figer les fibres 16a, 16b dans la configuration optimisée avant la mise en forme de la préforme 12 ; cette adaptation intervient ici lors du tissage de la préforme en tenant compte de la configuration optimisée du réseau en amont,

- la mise en forme de la préforme 12 dans un moule, après sa mise en place dans le moule ; Alternativement, la mise en place de la préforme est faite dans le moule, après sa mise en forme,

- l’imprégnation de la préforme par une matrice polymère (par exemple de la résine),

- le démoulage de la pièce 10 après cuisson de la préforme 12 imprégnée de matrice polymère.

On peut ainsi prédire les propriétés mécaniques de la pièce 10 en chaque endroit et adapter le tissage de la préforme 12. Cette adaptation du tissage peut se faire par un réarrangement local des directions des et/ou une modification localisée de l’épaisseur des fibres 16a, 16b et/ou de leur espacement, par exemple. Cette adaptation est alors figée, avant l’imprégnation de la préforme par la matrice polymère. Ceci permet de conserver les propriétés attendues du matériau composite tissé 14 malgré la mise en forme, et permet de s’affranchir des marges dimensionnelles liées à l’incertitude sur les propriétés mécaniques du matériau composite tissé 14 après mise en forme de la préforme 12. En d’autres termes, le métier à tisser est reparamétré pour réaliser une préforme fibreuse dont l’orientation des fibres de trame et de chaîne permet d’anticiper le comportement du matériau composite tissé avec des angles de décadrage. On peut voir sur la figure 8 que lorsqu’on modifie l’angle de décadrage a le long de la surface de la pièce 10, on observe une différence sur la réponse modale de ladite pièce 10 (ici une aube de soufflante). Par exemple, la réponse modale est déterminée en soumettant la pièce à des ondes (par exemple sonores) : les vibrations de la pièce, en réponse à ces ondes, sont mesurées via des capteurs et/ou des caméras. Suivant les pourcentages de décadrages, les propagations vibratoires sont différentes dans la pièce tel que schématisé par des traits dans les aubes dessinées à la figure 8. La réponse vibratoire est différemment conforme à différents modes et la pièce peut ainsi être caractérisée dans des prévisions de son comportement en particulier lors de sollicitations aéro-élastiques.

La solution technique présentée ici, présente des avantages très pratiques. Elle peut s’appliquer à tout type de loi de comportement L générales et son implémentation est simple et rapide. L’utilisation du procédé est immédiate et ne nécessite aucune identification, l’angle de décadrage a étant la seule donnée d’entrée supplémentaire nécessaire. De plus, cette approche n’a aucun impact sur le temps de calcul, les transformations sur les tenseurs des déformations et des contraintes 3x3 étant quasi- instantanées.