Die gegenständliche Erfindung betrifft ein Verfahren zur Diagnose eines technischen Systems, das ein Eingangssignal auf ein Ausgangssignal abbildet, wobei dem Eingangssignal im Betrieb des technischen Systems ein Anregesignal mit zumindest einer Anregefrequenz überlagert wird und zur Diagnose das Eingangssignal und/oder das Ausgangssignal analysiert wird, um einen Fehlerzustand des technischen System festzustellen.

Es gibt verschiedene bekannte Diagnoseverfahren zur Diagnose eines galvanischen Elements, insbesondere einer Brennstoffzelle. Einen guten Überblick über bekannte Verfahren kann aus Jinfeng Wu, et al.,„Diagnostic tools in PEM fuel cell research: Part I Electrochemi- cal techniques", Int. Journal of Hydrogen Energy 33 (2008), S.1735-1746 entnommen werden. Ein sehr einfaches Verfahren ist die Messung der Polarisationskurve in Form eines statischen Zusammenhanges zwischen Strom und Spannung. Zur Ermittlung der Polarisationskurve wird der Strom in Abhängigkeit von einer sich ändernder Spannung, oder umgekehrt, gemessen. Polarisationskurven liefern Information über das allgemeine Verhalten von galva- nischen Elementen bei bestimmten Betriebszuständen. Mit der Auswertung einer Polarisationskurve können allerdings nicht verschiedene, gleichzeitig auftretende Zustände analysiert werden, ebenso wenig wie dynamische Prozesse. Einzelne Fehlerzustände können jedoch dieselbe Wirkung auf die Polarisationskurve haben, sodass einzelne Fehlerzustände unter Umständen nicht unterschieden werden können. Um eine Fehlerunterscheidung zu vereinfa- chen oder überhaupt zu ermöglichen, können dynamische Effekte mitberücksichtigt werden. Ein wesentlicher Nachteil dieser Methode ist aber, dass die Analyse der Polarisationskurven zeitaufwendig ist und nicht im laufenden Betrieb des galvanischen Elements eingesetzt werden kann.

Eine andere oftmals verwendete Methode ist die Elektrochemische Impedanzspektroskopie, die es erlaubt das dynamische Verhalten des galvanischen Elements zu erfassen. Dazu wird dem galvanischen Element ein kleiner Wechselstrom oder eine kleine Wechselspannung mit bekannter Amplitude und Anregefrequenz (auch mehrere Anregefrequenzen) eingeprägt und die Antwort (in Amplitude und Phase) in Abhängigkeit von der Anregefrequenz gemessen und ausgewertet. Die Auswertung erfolgt durch Analyse der Grundwelle, bzw. der Grundwel- len bei mehreren Anregefrequenzen. Mit der Elektrochemischen Impedanzspektroskopie können auch verschiedene Einflüsse auf den aktuellen Betriebszustand diagnostiziert werden und die Methode kann auch im Realbetrieb des galvanischen Elements eingesetzt werden.

Ein anderes bekanntes, als Total Harmonie Distortion Analysis (THDA) bezeichnetes, Ver- fahren baut auf der Elektrochemischen Impedanzspektroskopie auf und analysiert das Verhältnis der Grundschwingung zu deren Oberwellenanteilen. Dieses Verfahren ist in der EP 1 646 101 B1 oder in Ramschak E., at el.,„Detection of fuel cell critical Status by Stack voltage analysis", Journal of Power Source 157 (2006), S.837-840 beschrieben.

Sowohl die Elektrochemische Impedanzspektroskopie als auch THDA beruhen allerdings darauf, dass die Anregefrequenz vorab bekannt ist, mit der ein bestimmter Zustand des gal- vanischen Elements bestmöglich angeregt werden kann, um eine aussagekräftige Diagnose zu ermöglichen. Das„gesunde", d.h. fehlerfreie, galvanische Element liefert eine andere Antwort auf ein Anregesignal, als ein galvanisches Element mit einem fehlerhaften Zustand. Das Anregesignal, insbesondere die Anregefrequenz, soll diesen Fehlerzustand besonders gut anregen, um den fehlerbehafteten Zustand diagnostizieren zu können. Im Wesentlichen bedeutet das, dass die Amplitude der Antwort des galvanischen Elements auf ein Anregesignal ausreichend hoch sein muss, um sicher messtechnisch erfasst und ausgewertet werden zu können. Das Problem hierbei ist jedoch, dass eine bestimmte Anregefrequenz nicht jeden Fehlerzustand gleichermaßen anregt. Damit ist es notwendig bestimmte Fehlerzustände mit verschiedenen Anregefrequenzen anzuregen. Allerdings sind diese optimalen Anrege- frequenzen für ein bestimmtes galvanisches Element vorab nicht bekannt, sondern müssen bisher aufwendig empirisch ermittelt werden.

Die Verwendung eines breiten Anregefrequenzbandes löst diese Problematik nicht oder nur bedingt, da es, vor allem aufgrund des nichtlinearen Verhaltens des galvanischen Elements, zu Frequenzüberlagerungen und Intermodulationen kommt. Das kann dazu führen, dass die messtechnische erfasste Antwort des galvanischen Elements auf das Anregesignal nicht mehr oder nicht mehr eindeutig ausgewertet und einem bestimmten Fehlerzustand zugeordnet werden kann. Bei Verwendung mehrere Anregefrequenzen sollten diese daher so ausgewählt werden, dass sich die einzelnen Anregefrequenzen nicht gegenseitig beeinflussen, was bei einem ganzen Frequenzband nicht gegeben ist. Daraus folgt aber, dass zur Anre- gung an sich nur diskrete Anregefrequenzen geeignet sind und kein kontinuierliches Frequenzspektrum.

Die obigen Ausführungen können auch auf technische Systeme verallgemeinert werden, deren Funktion diagnostiziert werden soll, indem die Antwort des technischen Systems (Ausgangsgröße) auf eine bestimmte Anregung (Eingangsgröße) mit einer bestimmten An- regefrequenz ausgewertet wird. Als technisches System kommen hierbei insbesondere galvanische Elemente oder Elektrolyseure in Frage. Ein galvanisches Element ist beispielsweise eine Batterie, ein Akkumulator oder eine Brennstoffzelle. Eine Brennstoffzelle kann dabei beispielsweise eine Alkalische Brennstoffzelle (AFC), eine Polymerelektrolyt-Brennstoffzelle (PEMFC), eine Direktmethanol-Brennstoffzelle (DMFC), eine Phosphorsäure-Brennstoffzelle (PAFC), eine Schmelzkarbonat-Brennstoffzelle (MCFC) oder eine Festoxid-Brennstoffzelle (SOFC) sein. Ein Elektrolyseur kann dabei beispielsweise ein Polymerelektrolyt- Elektrolyseur, ein Festoxid-Elektrolyseur oder ein Alkaline-Elektrolyseur sein. Es ist daher eine Aufgabe der gegenständlichen Erfindung, eine Anregefrequenz für ein Diagnoseverfahren eines technischen Systems auf Basis der Anregung des technischen Systems mit einem Anregesignal mit der Anregefrequenz auf einfachere Weise zu ermitteln.

Diese Aufgabe wird erfindungsgemäß dadurch gelöst, dass das technische System als Vol- terra-Reihe mit Volterra-Kernel modelliert wird, im fehlerfreien Zustand des technischen Systems ein Volterra-Kernel n-ter Ordnung für den fehlerfreien Zustand ermittelt wird, für einen definierten Fehlerzustand des technischen Systems ein Volterra-Kernel n-ter Ordnung für den fehlerbehafteten Zustand ermittelt wird, aus dem Volterra-Kernel n-ter Ordnung für den fehlerfreien Zustand und dem Volterra-Kernel n-ter Ordnung für den fehlerbehafteten Zu- stand ein Differenzkernel n-ter Ordnung gebildet wird und der Differenzkernel n-ter Ordnung ausgewertet wird, um einen Frequenzbereich zu bestimmen, in dem die Verstärkung des Differenzkernels einen vorgegebenen Grenzwert übersteigt und die Anregefrequenz für das Anregesignal aus diesem Frequenzbereich gewählt wird. Diese Vorgehensweise erlaubt eine systematische, einfache Bestimmung der für einen bestimmten Fehlerzustand optimalen Anregefrequenzen des technischen Systems.

Vorzugsweise wird die Anregefrequenz für das Anregesignal ausgewählt wird, bei der die Verstärkung des Differenzkernels n-ter Ordnung einen Maximalwert annimmt. Auf diese Weise kann mit der bestmöglichen Anregung zur Diagnose gerechnet werden. Darüber hinaus lässt sich eine Maximalwertsuche auch einfach automatisieren, um die Anregefrequen- zen vollständig automatisiert zu ermitteln.

Da eine direkte Schätzung der Volterra-Kernel aus Eingangs-/ Ausgangsdaten im Allgemeinen nicht möglich ist, wird vorzugsweise ein parametrisches Modell verwendet, beispielsweise ein nicht-lineares, polynomiales NARMAX oder NARX Modell, von dem die Volterra- Kernel analytisch abgeleitet werden können. Das parametrische Modell wird dabei vorzugs- weise im Zeitbereich aus bekannten Daten geschätzt. Vom parametrischen Modell werden die Volterra Kernels bevorzugt mittels Harmonie Probing Algorithm analytisch abgeleitet.

Die gegenständliche Erfindung wird nachfolgend unter Bezugnahme auf die Figuren 1 bis 6 näher erläutert, die beispielhaft, schematisch und nicht einschränkend vorteilhafte Ausgestaltungen der Erfindung zeigen. Dabei zeigt

Fig.1 einen Volterra-Kernel 2. Ordnung des technischen System im fehlerfreien Zustand,

Fig.2 einen Volterra-Kernel 2. Ordnung des technischen System im fehlerbehafteten Zustand,

Fig.3 den sich daraus ergebenden Differenzkernel-Kernel 2. Ordnung,

Fig.4 eine Brennstoffzelle als Beispiel eines zu diagnostizierenden technischen Systems, Fig.5 ein beispielhaftes APRBS Eingangssignal und

Fig.6 die Reaktion des technischen Systems darauf in Form des Ausgangssignals.

Die Erfindung beruht auf der Modellierung des nichtlinearen Übertragungsverhaltens eines technischen Systems, beispielsweise eines galvanischen Elements oder eines Elektroly- seurs. Das Übertragungsverhalten ist bekanntermaßen die Antwort (Ausgangssignal y(t)) des technischen Systems auf eine bestimmte Anregung (Eingangssignal u(t)). Bei einem galvanischen Element ist das Eingangssignal u(t) beispielsweise ein elektrischer Strom I und das Ausgangssignal y(t) eine sich einstellende elektrische Spannung U, oder umgekehrt. Ein technisches System hat jedoch oftmals ein (hochgradig) nichtlineares Eingangs-/Ausgangs- verhalten. Solche nichtlinearen technischen System werden oftmals mittels einer bekannten Volterra-Reihe modelliert, in der Form y(t) = y ₁ (t) + y ₂ (t) + ... y _n (t) mit der n-ten nichtlinea- ren Teildynamik y _n (t) = J _··· J ι _Ί1 (τ _ι ,..., τ _Ί1 )\ι(ί - τ _ι ) · ... · \ι(ί - τ _Ί1 )άτ _ι ... άτ _Ί1 . Theoretisch reicht n von 1 bis unendlich, praktisch ist für die allermeisten Anwendungen bzw. technischen Systeme n<5 ausreichend. Beispielsweise kommt man bei einem galvanischen Elementmit n=3 aus. Für ein lineares System (n=1 ) ergibt sich dann die bekannte Faltung für lineare, zeitin-

Variante Systeme y(t) = j ^" h(x)u(t - τ)άτ , mit der Impulsantwort h. Die Funktionen n, h _n

—co

sind die nichtlinearen Impulsantworten (im Zeitbereich) (h1 ist die lineare Impulsantwort), die das nichtlineare System beschreiben und als Volterra-Kernel bezeichnet werden.

Der Ansatz über eine Volterra-Reihe hat den Vorteil, dass die Volterra-Reihe mit der multidi- mensionalen Fouriertransformation einfach in den Frequenzbereich transformiert werden kann. Das Übertragungsverhalten im Frequenzbereich ist durch die Übertragungsfunktionen H _n (joo) gegeben und ergibt sich aus der multidimensionalen Fouriertransformation zu

H^jco _! ,... , jcoj = { . · · { h _n (x ₁ , . . . , T _n )e ^~i ^ ⁺ - ^"+ ^ ^{Tl )} dT ₁ . . . d'c _n , was dem Volterra-Kernel n-ter

Ordnung im Frequenzbereich entspricht. Für n=1 ist h _n die lineare Impulsantwort und H _n die lineare Übertragungsfunktion und entspricht dem Spektrum, das bei der Elektrochemischen Impedanzspektroskopie eines galvanischen Elements als technisches System ausgewertet wird. Mit der Fouriertransformierten der Eingangsfunktion U(jco) ergibt sich die Ausgangs- funktion y(t) zu y(t) =

Zusammenhänge sind aus dem Stand der Technik hinreichend bekannt, z.B. aus Kapitel 6 von Billings, S.A.,„Nonlinear System Identification : NARMAX methods in the time, fre- quency, and spatio-temporal domains", Wiley Verlag, 2013, ISBN 978-1 -1 19-94359-4 oder Shan-Jen Cheng, et al.,„Nonlinear modeling and Identification of proton exchange membra- ne fuel cell (PEMFC)", Int. Journal of Hydrogen Energy 40 (2015), S.9452-9461 .

Der Vorteil einer Volterra-Reihe ist die direkte Interpretierbarkeit der Volterra-Kernel. Mit einer beispielhaften Eingangsfunktion u(t) = cos(co _a t) + cos(co _b t) ergibt sich beispielsweise allePermutationeno^ ₂

der Volterra-Kernel 2. Ordnung (n=2) aus y ₂ (t) = ^ H(ro ₁ , ro ₂ )e ^j(c0l+C ° ^2)t . Damit sind im Frequenzspektrum enthalten:

H(+(o _a , +(o _a )e ^J ^ ^i+0,i ^ als 2. Harmonische Frequenz bei (co _a + co _a )

H(+ro _a , -ro _a )e^ ^COi_co ^ ^t als konstante Verstärkung

H(+co _a , +(o _b )e ^J ^ ^öi+Cö ^ ^t als Intermodulation der Frequenzen co _a , co _b H(+co _a , -(o _b )e ^J ^ ^i~Cö ^ ^t als Intermodulation der Frequenzen co _a , co _b usw.

Beispielsweise kann man den Volterra-Kernel 2. Ordnung als Konturplot für die Verstärkung auf einer Frequenzebene ω _{1 ?} ω ₂ darstellen, woraus sich direkt die nichtlinearen Zusammenhänge zwischen Eingang und Ausgang erkennen lassen. Auch das ist aus den oben genann- ten Kapitel 6 von Billings, S.A. oder aus Shan-Jen Cheng, et al. grundsätzlich bekannt.

Das Problem bei einer Volterra-Reihe als mathematisches Modell für ein gegebenes technisches System (beispielsweise ein galvanisches Element) ist jedoch, dass die Volterra-Kernel für das technische System in der Regel nicht oder nur sehr schwer direkt bestimmt oder aus bekannten Daten (beispielsweise am technischen System gemessenen Daten) identifiziert werden können.

Um dieses Problem zu beheben wurde bereits vorgeschlagen, das nichtlineare System im Zeitbereich mittels parametrischer Modelle zu beschreiben, die dann analytisch in den Frequenzbereich überführt werden können. Ein parametrisches Modell ist ein Modell, das den aktuellen Systemausgang aus den mit Parametern gewichteten vergangen Ein- und Aus- gängen ermittelt. Das parametrische Modell liegt zur Identifikation und Strukturerkennung in einer„linear-in-den-Parametern" Form vor, wobei die vergangenen Ein- und Ausgängen jedoch nichtlinear miteinander kombiniert werden können, z.B. in der Form y(t)= 9i ^* y(k-1 ) ^* y(k- 2) + 9i ^* u(k-1 ) ^* y(k-1 ) +..., mit den Parametern Θ. Auch das wurde bereits ausführlich in der zitierten Literatur, also beispielsweise Kapitel 2 und 3 von Billings, S.A. oder Shan-Jen Cheng, beschrieben und kann daher als bekannt vorausgesetzt werden. Dieses bekannte Vorgehen wird zum besseren Verständnis trotzdem nachfolgend kurz erläutert. Das System wird mit einem polynomialen NARMAX Modell, als Beispiel eines parametrischen Modells, modelliert, in der Form y(k) = θ ₀ + X θ _ίΛ (k) +Σ Σθ _ίιί2 ^χ _;ι (k)x _i2 (k) +... + £- £ 0.. , _... .. x.. (k)x _i2 (k)- · · x _it (k) +

ii=ü ₂ =l ii=l i _< =i _< _i

Werden die Störungen e(k) weggelassen, spricht man auch von einem NARX Modell. Mit den Modellparametern θ _{; ; ;} , j=j _y ⁺ ju+je und y(k -m) l < m < j _y

x _m (k) u(k - (m -j _y )) j _y + l < m < j _y + j _u

e(k - (m - j - j _u )) j + j _u + 1 < m < j + j _u + j _e j bezeichnet dabei die Anzahl der vergangenen Ausgangsgrößen j _y , die Anzahl der vergangenen Eingangsgrößen j _u und die Anzahl der vergangenen Störgrößen j _e , die im NARMAX Modell berücksichtigt werden, j, bzw. j _y , j _u und j _e , sind dabei Parametrierungsmöglichkeiten und können gewählt werden. Für ein galvanisches Element als technisches System ist beispielsweise die Wahl von j _y = j _u = j _e ^ 5 ausreichend.

Um das parametrische Modell, beispielswiese das NARMAX-Modell, für das technische System zu identifizieren, werden N bekannte Datenpunkte herangezogen. Ein Datenpunkt ist dabei die Ausgangsgröße y(N) bei einer bestimmten Eingangsgröße u(N), und gegebenenfalls Störgröße e(N). Ein Datenpunkt kann am technischen System gemessen werden, oder kann bekannt sein. Diese Darstellung ist linear in den Parametern Θ, womit das polynomiale

NARMAX oder NARX Modell in die Matrixform Y = P9[+e] gebracht werden kann, mit dem Ausgangsvektor Y = [y(l), y(2),... , y(N)] ^T , dem Parametervektor θ = [θ ₁ , θ ₂ ,... , θ _ρ ] , ge- gebenenfalls einem Störvektor e = [e(l), e(2),... , e(N)] ^T , und der Regressormatrix P, die vergangene Ausgangsgrößen y(k-m) und vergangene Eingangsgrößen u(k-(m-j _y )) enthält. Dieses lineare Gleichungssystem kann beispielsweise mit der Least-Mean-Square Methode gelöst werden: θ = (P ^T P) ¹ P ^T Y , woraus sich die p Parameter Θ des polynomialen NARMAX Modells ergeben.

Eine bessere Modellgüte kann erreicht werden, indem die Regressormatrix P mit einem bekannten Orthogonalisierungsverfahren, beispielsweise dem Gram-Schmidtschem Orthogo- nalisierungsverfahren, in eine orthogonale Matrix W und eine Dreiecksmatrix A zerlegt wird. Die Matritzen W und A ergeben sich dabei aus dem jeweiligen Orthogonalisierungsverfahren. Die derartige Transformation in den orthogonalen Raum ist vorteilhaft, weil ein parametrisches Modell, wie das polynomiale NARMAX oder NARX Modell, eine sehr große Anzahl an potentiellen Parametern Θ enthalten kann, wobei viele davon zum Beschreiben des Ein- gangs-/Ausgangsverhalten des technischen Systems überhaupt nicht relevant sind. Eine Lösung von diesem überbestimmten Gleichungssystem ist oftmals numerisch schwierig oder sogar unmöglich, da die Regressormatrix P sehr schlecht konditioniert ist. Die Transformation erlaubt hingegen neben der Berechnung der unbekannten Parameter Θ auch eine Bewertung welche der Parameter Θ wichtig sind und welche der Parameter Θ nicht benötigt werden (eine sogenannten Strukturselektion)

Daraus kann ein Ersatzproblem formuliert werden in der Form

y = (PA ¹ )(A0)[+e] = Wg[+e] .

Durch die Transformation bildet die Regressormatrix P eine orthogonale Basis und die Parameter g, können unabhängig voneinander durch obige Gleichung berechnet werden. Die einzelnen Regressoren (Elemente der Regressormatrix P) können dabei hinsichtlich Signifi- kanz beurteilt werden mit einem Fehleranteil ERR, der Form ERR = - ^L -j— ''. xl00% ,

(y, y)

wobei w, die Spalten der Matrix W sind und (·, ·) das innere Vektorprodukt zweier Vektoren ist. Damit können die einzelnen Regressoren nach Wichtigkeit beurteilt werden, beispielsweise in dem nur Regressoren verwendet werden, die einen vorgegebenen Fehleranteil ER- R, aufweisen. Alternativ dazu könnten die einzelnen Regressorkandidaten nach absteigender Wichtigkeit (gemessen am Fehleranteil ERR,) sortiert werden und in absteigender Reihenfolge hinzugefügt werden, bis ein vorgegebener Gesamtfehler ERR _G erreicht ist, also z.B. ERR = Σ, ERR, > ERR _G (beispielsweise 99,9%) erreicht ist. Die anderen Regressoren werden auf Null gesetzt. Danach kann das Ersatzproblem mit den ausgewählten Regressoren im orthogonalen Raum gelöst werden. Die Lösung ergibt sich beispielsweise in der Form g. = . Die Parameter g, müssen dann nur mehr zurücktransformiert werden, indem

das Gleichungssystem A9=g gelöst wird. Auch das ist grundsätzlich bekannt, beispielsweise aus Kapitel 3.2 von Billings.

Aus dem derart identifizierten NARMAX oder NARX Modell des technischen Systems, beispielsweise des galvanischen Elements, können die Volterra-Kernel direkt analytisch abge- leitet werden. Ein Beispiel dafür ist der sogenannte bekannte Recursive Probing Algorithmus (oftmals auch als Harmonie Probing Algorithmus bezeichnet), beschrieben in Kapitel 6 von Billings. Dabei nutzt man aus, dass man durch die Volterra-Reihe bei gegebenem harmoni- sehen Input (Ansatzfunktionen) die prinzipielle Antwort des technischen Systems (Harmonische, Intermodulationen, etc.) weiß. Man setzt nun jetzt den Modellausgang y(t) von Volter- ra-Reihe und parametrischen (NARMAX, NARX) Modell gleich. Für die Terme des parametrischen Modells (vergangene Outputs und Inputs) werden nun diese bekannten Ansatzfunk- tionen eingesetzt. Als einzige unbekannte im Gleichungssystem verbleiben dabei die Volter- ra-Kernel, nach denen aufgelöst werden kann, wobei der Volterra-Kernel n-ter Ordnung abhängig ist vom Volterra-Kernel (n-1 )-ter Ordnung, usw. Daraus können die Volterra-Kernel rekursiv ermittelt werden.

Das führt zu einer analytischen Lösung für die gesuchten Volterra-Kernel H _n (jco ₁₅ ... , jco _n ) (der Einfachheit halber auch oft als Η _η (ω ₁₅ ... , ω _η ) bezeichnet) im Frequenzbereich, d.h. dass die Volterra-Kernel als Funktionen der Frequenzen ω _η dargestellt werden können. Ein Volterra-Kernel, als komplexe Funktion, hat damit eine Verstärkung (Amplitude) und Phase. Alternativ könnte auch bereits ein NARMAX oder NARX Modell des technischen System bekannt sein, das dann verwendet werden kann, um die Volterra-Kernel H _n (jco ₁₅ ... , jco _n ) abzuleiten.

Zur erfindungsgemäßen Ermittlung der optimalen Anregefrequenz(en) oo _m zur Diagnose des technischen Systems werden zuerst die Volterra-Kernel H _n,nom (ooi, ω ₂ ,..., ω _η ) n-ter Ordnung mit n>1 , insbesondere der Volterra-Kernel 2. Ordnung (n=2) H _2,nom (ooi, ω ₂ ), für einen fehlerfreien Betrieb des technischen Systems identifiziert. D.h., es wird ein parametrisches Modell für einen fehlerfreien Betriebszustand wie oben beschrieben identifiziert und daraus die Volterra-Kernel Hn,nom(wi, oo ₂ ,..., ω _η ) n-ter Ordnung bestimmt. Danach wird das technisches System gezielt in einen definierten Fehlerzustand geführt und erneut die Volterra-Kernel H _n ,fauit(wi, ω ₂ ,..., ω _η ), insbesondere der Volterra-Kernel 2. Ordnung (n=2) H ₂ , _fau it((j0i, ω ₂ ), für einen fehlerbehafteten Betrieb des technischen Systems identifiziert. Nun wird erfindungs- gemäß der Unterschied zwischen dem fehlerfreien Kernel H _{n nom} n-ter Ordnung und dem fehlerbehafteten Kernel H _n ,f _aU | _t n-ter Ordnung ausgewertet. Dazu wird ein Bewertungskernel H _n ,diff n-ter Ordnung als Funktion des fehlerfreien Kernel H _{n nom} n-ter Ordnung und des fehlerbehafteten Kernel H _n ,fauit n-ter Ordnung, also

^H n,dif _f , co ₂ , ... , coj = f (H _{n fault} (ω, , ω ₂ , ... , ω _η ), Η _η ^(ω, , ω ₂ , ... , ω _η )) , ermittelt und ausge- wertet. Es kann beispielsweise ein Bewertungskernel H _n ,diff n-ter Ordnung als Quotient aus dem fehlerfreien Kernel H _{n nom} n-ter Ordnung und dem fehlerbehafteten Kernel H _n ,f _aU | _t n-ter

H _f ,. (co, , co ₂ , ... , o )

Ordnung H _{n diff} (ω _{1 ?} ω ₂ ,... , co _n ) =—— — , beispielsweise der Bewertungs-

H _{2 f} , (co, , co ₂ )

kernel 2. Ordnung H _{2 d ff} (ω ₁ , ω ₂ ) =— ^■ , bestimmt werden. Ebenso könnte als Be-

^H 2,no _m («l > « ₂ ) wertungskernel H _n ,diff n-ter Ordnung die Differenz aus dem fehlerfreien Kernel H _{n nom} n-ter Ordnung und de el H _n ,fauit n-ter Ordnung > «2

Bewertungskernel 2. Ordnung H _{2 diff} (ω ₁₅ ω ₂ ) = |Η _{2 &ιι1ί} (ω ₁ , ω ₂ ) - Η _{2 ηοηι} (ω ₁ , ω ₂ )| , bestimmt werden. Der Quotient H _n ,f _aU | _t /H _n,nom beschreibt die relative Veränderung bei einem Fehlerfall und die Differenz H _n ,f _aU i _r H _n,nom die absolute Größe der Veränderung. Die beiden Größen können sowohl einzeln als auch in Kombination bewertet werden.

Der Bewertungskernel H _n ,diff kann nun dahingehend ausgewertet werden, dass die Frequenzbereiche gesucht werden, in denen eine Verstärkung des Bewertungskernel H _n ,diff vor- liegt, die eine definierte Grenzverstärkung überschreitet. Vorzugsweise wird die Frequenz gesucht, wo sich die maximale Verstärkung ergibt. Der Differenzkernel 2. Ordnung ist hierbei besonders vorteilhaft, da dieser noch einfach grafisch als 3D-Plot oder als Konturplot der Verstärkung dargestellt werden kann, was die Auswertung vereinfacht. Das wird anhand der Figuren 1 bis 3 am Beispiel eines Volterra-Kernels 2. Ordnung und dem Quotienten als Be- wertungskernel H ₂ ,diff erläutert.

Fig.1 zeigt die Verstärkung des Volterra-Kernels 2. Ordnung H ₂ , _n om eines technischen Systems, beispielsweise eines galvanischen Elements, im fehlerfreien Zustand. Fig.2 zeigt die Verstärkung des Volterra-Kernels 2. Ordnung H ₂ ,fauit desselben technischen Systems im fehlerbehafteten Zustand, d.h. in einem konkreten, eindeutigen Fehlerfall. Dargestellt ist jeweils der Volterra-Kernel 2. Ordnung H ₂ , _n om als zweidimensionaler Konturplot der Verstärkung in Abhängigkeit von den Frequenzen ω-ι , ω ₂ , die in den Figuren wie in diesen Zusammenhang oftmals üblich als mit der halben Abtastfrequenz normalisierte Frequenz aufgetragen ist. Nachdem die Volterra-Kernel komplexe Funktionen sind, kann für einen Volterra-Kernel die Verstärkung (als Betrag der komplexen Funktion, also des Volterra-Kernels) und die Phase, jeweils als Funktion der Frequenzen (ω-ι , ω ₂ , ... , ω _η ), berechnet und dargestellt werden.

H? fi»,,it ( ^ω ι * ^ω ? )

In Fig. 3 ist der Bewertungskernel H _{2 d ff} (ω _ι , ω ₂ ) = ' — -—— der Volterra-Kernel

^H 2

2. Ordnung des technischen Systems dargestellt. Die größte Verstärkung des Bewertungskernels (wieder als Betrag des komplexen Bewertungskernel) kann bei den auftretenden harmonischen Frequenzen erwartet werden, also bei ωι = ω ₂ , die durch eine Diagonale im Bewertungskernel _d m repräsentiert wird. Die größte Verstärkung muss aber nicht unbedingt bei den harmonischen Frequenzen auftreten, sondern kann z.B. auch bei Intermodulationen auftreten. Die größte Verstärkung tritt im dargestellten Beispiel im Bereich von ωι = ω ₂ = [0,01 , 0,02] auf. Wird also die Anregefrequenz oo _m des technischen Systems in diesem Bereich gewählt, kann mit einer guten Anregung des zugrundeliegenden Fehlerzustandes, der den fehlerbehafteten Volterra-Kernel H ₂ ,fauit hervorgerufen hat, gerechnet werden. Diese Auswertung erfolgt am einfachsten manuell, kann aber natürlich auch durch Maximalwertsuchen (auch als Bereichssuchen) automatisiert werden.

Damit ist aber auch ersichtlich, dass optimale Anregefrequenzen oo _m des technischen Sys- tems für verschiedene Fehlerzustände ermittelt werden können.

Wenn nun dem Eingangssignal u(t) des zugrunde liegenden technischen Systems im Normalbetrieb ein Anregesignal a(t) mit einer derart ermittelten Anregefrequenz oo _m überlagert wird, kann im Fehlerfall mit einer bestmöglichen, für den Fehlerzustand charakteristischen Anregung des Ausgangssignals y(t) gerechnet werden.

Wenn die Volterra-Kernel 2. Ordnung für die Bestimmung der Anregefrequenzen verwendet werden, ergeben sich somit zwei Anregefrequenzen (oo _m i , u ), die beispielsweise mit einem Anregesignal a(t) = A _l cos(co _ml t) + A ₂ cos(co _m2 t) eingebracht werden könnten. Wenn oo _m i =

Ü = oo _m ist, dann kann als Anregesignal beispielsweise auch a(t) = A cos(co _m t) verwendet werden.

Das Anregesignal a(t) ist im Vergleich zu den Amplituden des Eingangssignals von geringer Amplitude (z.B. A, A-i , A ₂ kleiner 10%, vorzugsweise kleiner 5%, der zu erwartenden maximalen Amplitude des Eingangssignals), um den Normalbetrieb des technischen Systems nicht zu stören. Die laufende Diagnose des Betriebs des technischen Systems kann dann beispielsweise in bekannter Weise laufend mit der Elektrochemischen Impedanzspektroskopie oder der Total Harmonie Distortion Analysis durchgeführt werden.

Selbstverständlich können auf diese Weise mit dem Anregesignal a(t) gleichzeitig durch verschiedene weitere Anregefrequenzen oo _m auch verschiedene Fehlerzustände angeregt werden. Die verschiedenen Fehlerzustände können dann im Frequenzspektrum der Ausgangsgröße festgestellt werden, je nachdem in welchem Frequenzbereich des Frequenzspektrums eine Reaktion festgestellt wird.

Wenn mehrere Anregefrequenzen oo _mp , p>1 , im Anregesignal a(t) enthalten sind, dann ist es wichtig, dass sich die Anregefrequenzen oo _mp nicht gegenseitig im Frequenzspektrum beeinflussen, was durch geeignete Auswahl einfach sichergestellt werden kann. Auf eine saubere Trennung der sich ergebenden Frequenzspektren ist daher zu achten, um die verschiedenen Fehlerzustände sauber auseinander halten zu können.

Quasi als„Abfallprodukt" der erfindungsgemäßen Methode erhält man durch die Identifikation der Volterra-Kernel auch ein nicht-lineares, genaues Zeitmodell (polynomiales NARMAX oder NARX Modell). Damit ergeben sich Möglichkeiten für eine Fülle an weiteren Diagnosemöglichkeiten auf Basis des Zeitmodells, die unter dem Sammelbegriff Model-based Fault Diagnosis and Isolation (FDI) bekannt sind. Das identifizierte Zeitmodell kann dabei auch im online Betrieb des technischen Systems laufend mitgerechnet und aktualisiert werden.

Das parametrische Modell des technischen Systems, z.B. ein NARMAX oder NARX Modell, kann vorliegen, oder kann vorab identifiziert werden, wie nachfolgend anhand eines galvani- sehen Elements als technisches System 1 beschrieben wird. Das beispielhafte technische System in Form des galvanischen Elements ist in Fig.4 dargestellt.

An das galvanische Element in Form einer Brennstoffzelle sind elektrische Verbraucher 2a, 2b, wie z.B. ein Hybridantriebsstrang oder eine Fahrzeugbatterie, angeschlossen. Zwischen Brennstoffzelle und den Verbrauchern 2a, 2b kann in bekannter Weise auch ein Leistungsteil 3 angeordnet sein, um den Energiefluss sowie die Spannungs- und Strompegel zu regeln. Das galvanische Element kann auch, insbesondere im Fall einer Brennstoffzelle, an eine, nicht näher beschriebene, hinlänglich bekannte, Gaskonditionierung 4 angeschlossen, die dazu dient, die Reaktionsgase für die Brennstoffzelle bedarfsgerecht aufzubereiten, insbesondere betreffend, Druck, Feuchtigkeit, Temperatur, Massenfluss. Es kann auch eine Gas- quelle 5, z.B. für Wasserstoff, vorgesehen sein. Die Gaskonditionierung ist schematisch dargestellt und wird nicht im Detail beschrieben. Fehler in der Gaskonditionierung können zu fehlerhaften Betriebszuständen im galvanischen Element führen. Ein Reaktionsgas kann beispielsweise zu feucht oder zu trocken sein, der Druck eines Reaktionsgases kann zu hoch sein, der Massenfluss eines Reaktionsgases kann zu nieder sein, usw. Ebenso können im galvanischen Element Schädigungen, z.B. eine beschädigte lonenaustauschmembran einer Zelle, oder Veränderungen auftreten, die als Fehlerzustände erkannt werden können. Solche Fehlerzustände führen zu suboptimalem Betrieb des galvanischen Element s und können sogar zur Beschädigung oder Zerstörung des galvanischen Elements führen. Es ist daher wichtig, den Betriebszustand des galvanischen Elements laufend zu überwachen, um im Fehlerfall rasch entsprechende Gegenmaßnahmen ergreifen zu können. Die Überwachung soll anhand des Strom- und Spannungsverlaufs des galvanischen Elements, also den Eingangs- und Ausgangsgrößen des technischen Systems 1 , erfolgen.

Es wird nun das galvanische Element in einen fehlerfreien Betriebszustand geführt, d.h. dass z.B. die Gaskonditionierung fehlerfrei arbeitet und alle Reaktionsgase ausreichend und rich- tig konditioniert vorliegen und dass kein anderer Fehlerzustand vorliegt. In diesem Zustand wird dem galvanischen Element ein Eingangssignal u(t), hier z.B. in Form eines zeitlichen Stromverlaufs l(t), eingeprägt, das das galvanische Element möglichst gut anregen soll, um das statische und dynamische Verhalten des galvanischen Elements möglichst gut erfassen zu können. Ein geeignetes Eingangssignal u(t) ist beispielsweise ein Stromverlauf l(t) in Form eines amplitudenmodulierten Pseudo Random Binary Sequence (APRBS) Signals, wie in Fig.5 dargestellt, oder ein Random Gaussian Sequence Signal. Das sich daraus ergebende Ausgangssignal y(t), hier z.B. in Form des zeitlichen Spannungsverlaufs U(t), ist in Fig.6 für eine kurze Zeitspanne dargestellt. Das Eingangssignal u(t) und Ausgangssignal y(t) werden mit einer vorgebebenen Abtastrate, z.B. 100Hz, abgetastet, woraus sich die Datenpunkte ergeben und woraus wie oben skizziert ein NARMAX oder NARX Modell identifiziert wird. Das identifizierte NARX Modell ergibt sich beispielsweise in der Form

y(k) = -0.4453u(k - 2) + 0.0059y(k - 4) + 1.2348y(k - 1) + 0.5177u(k - 3) +

+ 0.0015y(k 1) u(k - 2) - 0.0018y(k - l)u(k - 3) - 0.0004u(k - 2)u(k - 2)

- 0.0323y(k 2) - 0.0121y(k - 5) + 0.0407 + 0.0003u(k - 2)u(k - 3) -

- 0.0005y(k - l)y(k - 1) - 0.2171y(k - 3) + 0.0003y(k - l)y(k - 3) -

- 0.0874u(k - 5) + 0.0004y(k - 3)u(k - 5) - 0.0002y(k - 3)u(k - 3)

Dieses parametrische Modell kann dann wie oben ausgeführt analytisch in den Frequenzbereich transformiert werden, woraus sich die Volterra-Kernel im Frequenzbereich ergeben. Das wird wiederholt, wobei das galvanische Element nun in einem definierten Fehlerzustand betrieben wird, beispielsweise mit zu niedriger relativer Feuchtigkeit eines Prozessgases. Aus dem Bewertungskernel wird dann die zumindest eine Anregefrequenz oo _m identifiziert, mit der das technisches System 1 angeregt werden muss, um diesen Fehlerzustand im laufenden Betrieb des technischen Systems 1 bestmöglich anzuregen und so diagnostizierbar zu machen.