PROCEDE D'ESTIMATION DES ANGLES D'ARRIVEES DE SOURCES

COHERENTES PAR UNE TECHNIQUE DE LISSAGE SPATIAL SUR UN

RESEAU DE CAPTEURS QUELCONQUE

L'invention concerne notamment un procédé permettant d'interpoler des vecteurs directeurs d'un réseau de capteurs quelconques en utilisant des fonctions modales omnidirectionnelles .

Elle concerne aussi un procédé et un système permettant, notamment, d'estimer des angles d'arrivée de sources cohérentes par une technique de lissage sur un réseau de capteurs quelconque.

Elle est utilisée, par exemple, dans tous les systèmes de localisation dans un contexte urbain où le canal de propagation est perturbé par un grand nombre d'obstacles comme les immeubles.

De manière générale, elle peut être utilisée pour localiser des émetteurs dans un contexte de propagation difficile, urbain, semi-urbain (aéroport), à l'intérieur des bâtiments, etc.

Elle peut aussi être utilisée dans des procédés d'imagerie médicale, pour localiser des tumeurs ou des foyers épilep tiques.

Elle s'applique dans des systèmes de sondage pour la recherche minière et pétrolière dans le domaine sismique. Ces applications nécessitent des estimations d'angles d'arrivées avec des multi-trajets dans le milieu de propagation complexe de la croûte terrestre.

Le domaine technique est celui du traitement d'antennes qui traite les signaux de plusieurs sources émettrices à partir d'un système de réception multi-capteurs. Dans un contexte électromagnétique, les capteurs sont des antennes et les sources radio- électriques se propagent suivant une polarisation. Dans un contexte acoustique les capteurs sont des microphones et les sources sont sonores. La figure 1 montre qu'un système de traitement d'antennes est composé d'un réseau de capteurs recevant des sources avec des angles d'arrivées θ _mp différents. Le domaine est, par exemple, celui de la goniométrie qui consiste à estimer les angles d'arrivées des sources.

Les capteurs élémentaires du réseau reçoivent les sources avec une phase et une amplitude dépendant en particulier de leurs angles d'incidences et de la position des capteurs. Les angles d'incidences sont paramétrés en ID par l'azimut θ _m et en 2D par l'azimut θ _m et l'élévation δ _m . D'après la figure 2, une goniométrie ID est définie par des techniques qui estiment uniquement l'azimut en supposant que les ondes des sources se propagent dans le plan du réseau de capteurs. Lorsque la technique de goniométrie estime conjointement l'azimut et l'élévation d'une source il est question de goniométrie 2D. Les techniques de traitement d'antennes ont pour objectif d'exploiter la diversité spatiale qui consiste à utiliser la position des antennes du réseau pour mieux utiliser les différences en incidence et distance des sources.

La figure 3 illustre une application à la goniométrie en présence de multi-trajets. La m-ième source se propage suivant P trajets d'incidences θ _mp (l≤p≤P) qui sont provoqués par P-I obstacles dans l'environnement radioélectrique. Le problème traité dans le procédé selon l'invention est, notamment, le cas des trajets cohérents où l'écart de temps de propagation entre le trajet direct et un trajet secondaire est très inférieur à l'inverse de la bande du signal.

Le problème technique à résoudre est aussi celui de la goniométrie de trajets cohérents avec un coût de calcul réduit et un réseau de capteurs à géométrie quelconque.

Sachant que les techniques de goniométrie avec un coût de calcul réduit sont adaptées aux réseaux de capteurs linéaires equi-espacés, l'un des objectifs du procédé selon l'invention est de mettre en œuvre ces techniques sur des réseaux de capteurs quelconques. Les algorithmes permettant de traiter le cas des sources cohérentes sont, par exemple, les algorithmes du Maximum de Vraisemblance [2] [3] qui sont applicables sur des réseaux de capteurs à géométrie quelconques. Toutefois ces algorithmes nécessitent des estimations multi-paramètres qui induisent une mise en œuvre avec un coût de calcul élevé. La technique du maximum de vraisemblance est adaptée aux cas des réseaux de capteurs linéaires équi-espacés par les méthodes IQML ou MODE [7] [8]. Une autre

alternative est celle des techniques de lissage spatial [4] [5] qui ont l'avantage de traiter les sources cohérentes avec un faible coût de calcul. Les techniques de goniométrie à faible coût de calcul adaptées aux réseaux linéaires sont soit la méthode ESPRIT [9] [10] soit des techniques de type Root [11] [12] revenant à chercher les racines d'un polynôme.

Les techniques permettant de transformer des réseaux à géométrie quelconques en des réseaux linéaires sont décrites, par exemple, dans les documents [6] [5] [H]. Ces méthodes consistent à interpoler sur un secteur angulaire la réponse du réseau de capteurs à une source : Table de Calibration. Le document de B. Friedlander et A. J. Weiss intitulé "Direction Finding using spatial smoothing with interpolated arrays", IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, Vol. 28, No. 2, pp. 574-587, 1992 divulgue un procédé qui consiste à:

• interpoler le réseau de capteur par un réseau linéaire dans un secteur angulaire déterminé avec une fonction d'interpolation non omnidirectionnel en azimut,

• décorréler les trajets par une technique de lissage spatial.

Cette technique, bien que performante présente comme inconvénients :

• De traiter le cas de sources cohérentes présentent dans le même secteur angulaire, donc de traiter un seul secteur angulaire ; • D'interpoler avec une fonction non omnidirectionnelle en azimut.

L'invention concerne un procédé pour déterminer des angles d'arrivées de sources cohérentes dans un système comprenant plusieurs capteurs quelconques, les signaux se propageant selon des trajets cohérents ou sensiblement cohérents entre une source et les dits capteurs de réception du réseau. Il est caractérisé en ce que l'on utilise au moins une fonction d'interpolation modale z(θ) omnidirectionnelle en azimut où z(θ) = Qxp(jθ) avec θ correspondant à un secteur d'angle sur lequel est effectuée l'interpolation des vecteurs directeurs a (θ) du réseau de capteurs pour traiter les signaux émis par les sources et reçues sur le réseau de capteurs et on applique une

technique de lissage spatial pour dé-corréler les sources cohérentes, la fonction d'interpolation W e(θ) s'exprime de la manière suivante : z (β)- ^L

&(θ) ≈ W e(0) avec e(#) = pour 0 ≤ θ < 360 ^e

Z (of exp(jLθ)

La matrice W de dimension Nx(2L + l) est obtenue en minimisant au sens des moindres carrés l'écart a(#) -We(#) pour des azimuts vérifiant 0 ≤ θ < 360° , la longueur de l'interpolation 2L+1 dépend de l'ouverture du réseau.

Le procédé selon l'invention offre notamment les avantages suivants :

• II interpole le réseau de capteurs avec des fonctions omnidirectionnelles en azimut. • II traite le cas des sources cohérentes sur des secteurs angulaires différents.

• II met en œuvre l'algorithme de 0 à 360° en azimut.

• II applique une technique de lissage spatial pour dé-corréler les sources cohérentes.

D'autres caractéristiques et avantages de la présente invention apparaîtront mieux à la lecture de la description qui suit d'un exemple de réalisation donné à titre illustratif et nullement limitatif annexé des figures qui représentent :

• La figure 1 un exemple de signaux émis par un émetteur et se propageant vers un réseau de capteurs, • La figure 2 la représentation de l'incidence d'une source sur un plan de capteurs,

• La figure 3 la propagation de signaux en multi-trajets,

• La figure 4 un exemple de réseaux de capteurs de position (x _n ,y _n ),

• La figure 5 un réseau de capteurs composé de deux sous-réseaux invariant par translation, • La figure 6 la longueur d'interpolation avec des fonctions modales en fonction du rapport R/λ du réseau,

• La figure 7 l'erreur en amplitude pour R/λ=0.5 où δθ= 50°,

• La figure 8 l'interpolation selon l'invention sur deux secteurs angulaires,

• La figure 9 une zone d'interpolation sur deux secteurs.

• La figure 10 le maillage complet de l'espace pour le calcul des matrices Wjk Avant de détailler un exemple de mise en œuvre du procédé selon l'invention, quelques rappels sur la modélisation du signal en sortie d'un réseau de capteurs sont donnés.

Modélisation du signal en sortie de réseau de capteurs En présence de M sources avec P _1n multi-trajets pour la m-ième source, le signal en sortie, après réception sur l'ensemble des capteurs du réseau.

X(O = P _mp α(θ _mp ) s _m (t - τ _mp ) + n(t) = A s(t) + n(t) (1) . où x _n (t) est le signal en sortie du «-ième capteur, A=[ A ₁ ... A _M ], A _m =[ a(6> _ml )... a(θ _m pm)], s _m (t-τ _mï )... s _m (t- τ _mPm )] ^τ , n(t) est le bruit additif, Ά(θ) est la réponse du réseau de capteurs à une source de direction θ et p _mp , Q _mp , imp sont respectivement l'atténuation, la direction et le retard du /?-ième trajets de la m-ième source. Le vecteur a(θ) qui s'appellent aussi vecteur directeur dépend des positions {x _n ,y _n ) des capteurs (voir figure 4) et s'écrit :

(2)

Où λ est la longueur d'onde et R le rayon du réseau. Dans le cas d'un réseau linéaire équi-espacé le vecteur Ά(θ) s'écrit : 1 L{θ) = avec z _Zm (#) = exp| j2π— sin(#) (3)

N-I n _n {θ)

Où d est la distance inter-capteurs.

En présence de trajets cohérents, les retards vérifient τ _ml =...=τ _m p _m . Dans ces

conditions le modèle de signal de l'équation (1) devient :

M x(0 = ∑a(θ _m , p _m ) s _m (0 + n(0 avec a(θ _m ,p _m ) = ∑p _mp a(θ _mp ) (4) . m=\ ρ=l où a(θ _m ,p _m ) est la réponse du réseau de capteurs à la m-ième source, ^θ _m = Ki ^{• • •} θ _mPm ] ^r et ρ _m = [ρ _ml ^{• • •} p _mPm } . Le vecteur directeur de la source n'est plus a(6> _ml ) mais un vecteur directeur composite a(θ _m ,p _m ) qui est différent et qui dépend d'un nombre de paramètres plus importants.

Problématique des algorithmes de l'état de l'art en présence de sources cohérentes

L'algorithme MUSIC [1] est une méthode à haute résolution basée sur la décomposition en éléments propres de la matrice de covariance R _x =Ef \(t) \(t) ^H ] du signal multi-capteurs x(t) ( E[.] est l'espérance mathématique ). D'après le modèle de l'équation (1), l'expression de la matrice de covariance R _x est la suivante :

L'alternative à MUSIC pour les sources cohérentes est l'algorithme du Maximum de vraisemblance [2][3] qui nécessite l'optimisation d'un critère multi-dimensionnel dépendant des directions d'arrivées θ _mp de chacun des trajets. Cette dernière estimation θ _mp pour (l ≤ m ≤ M) et P _1n dimensions nécessite un coût de calcul élevé.

Techniques de lissage spatial Les techniques de lissage spatial ont notamment pour objectif d'appliquer un prétraitement sur la matrice de covariance R _x du signal multi-capteurs qui augmente le rang de la matrice K _s de covariance des sources afin de pouvoir appliquer des algorithmes de type MUSIC ou tout autre algorithme présentant des fonctionnalités équivalentes en présence de sources cohérentes sans avoir besoin d'appliquer un algorithme de type maximum de vraisemblance.

Lorsqu'un réseau de capteurs contient des sous-réseaux invariants par translation comme dans la figure 5, les techniques de lissage spatial [4] [5] sont alors envisageables. Dans ce cas le signal reçu sur le i-ième sous réseau s'écrit :

M P _m i'(0 = ∑∑P^ mp a'(^ mp ;) s _ffl (t -τ m _m p _p >) + n(t) = A' s(t) + n(t) (6) . m=\ p=l

Où & (θ) est le vecteur directeur de ce sous-réseau qui a la particularité de vérifier :

*'(θ) = a'(θ)* ¹ (θ) avec a'(θ) = (7) . La matrice de mélange A' de l'équation (6) s'écrit alors A' = A ^ι φ _{t α} y _Q c φ _ι = diag{a\θ _n ) • • • a'(θ _1Pi ) • • • a'(θ _M1 ) • • • a'(θ _MP j} (8) .

Sachant que A'=[ A ₁ '... A _M '] et A _m '=[ Ά ¹ (θ _m\ )... a ¹ (θ _mPm )]. Dans le cas du réseau linéaire de l'équation (3) on obtient

^X1 W = = z(θ) (9)

La technique du lissage est basée sur la structure de la matrice de covariance

R _X '=E[ \(t) ' \(t) ' ] qui d'après (6)(8) s'écrit de la manière suivante :

R^A^ R. φ/V+ σ ² L« (10) La technique de lissage spatial permet alors d'appliquer un algorithme de goniométrie tel que l'algorithme MUSIC sur la matrice de covariance suivante :

Où / est le nombre de sous-réseaux. En effet cette technique permet de décorréler au maximum /trajets cohérents car

Et ainsi rang { R ₅ }<rang{ R^ }< min(/xrang{ R J, ∑ ^M _m=λ P _1n ). La technique de lissage spatial par Forward-Backward [4] nécessite un réseau de

capteurs ayant un centre de symétrie. Dans ces conditions le vecteur directeur vérifie :

0 0 1 â(0) = Z a(0) ^* = β{θ) a(θ) avec Z = 0 . - ^" 0 (13)

1 0 0

_\ -N

Le réseau linéaire de l'équation (3) vérifie cette condition avec β{θ) = z _Lin (θ) " . La technique de lissage par Forward-Backward consiste à appliquer un algorithme de goniométrie tel que MUSIC sur la matrice de covariance suivante :

Cette technique permet de décorréler au maximum 2 trajets cohérents car

R _x ^FB = AR _s ^FB A ^H + σ% où R _S ^FB = R _S H- φ^R, φ _F / (15)

Ainsi rang { R ₅ }<rang{ R^ }< min(2xrang{ R J, ∑ ^M _m=λ P _1n ) avec

φ _FB = diag{β{θ _n ) . - β(θ _1Pi ) . - β(θ _M1 ) . - β(θ _MP j] (16)

Les techniques de lissage spatial et Forward-Backward peuvent se combiner pour accroître la capacité de décorrélation en nombre de trajets. Ces techniques de lissage permettent de traiter les sources cohérentes avec un coût de calcul voisin de la méthode MUSIC. Toutefois ces techniques nécessitent des géométries de réseaux de capteurs très particuliers. Il faut noter que ces géométries de réseaux particuliers sont quasiment impossibles à concevoir en présence de couplage mutuel entre les capteurs ou de couplage avec la structure porteuse du réseau de capteurs. Techniques d'interpolation d'un réseau de capteurs

Comme il a été explicité ci-dessus, il existe des techniques de goniométrie des sources cohérentes à faible coup de calcul sur des réseaux particuliers. L'objet de la présente invention concerne notamment l'application de ces techniques à des réseaux à géométrie quelconque. Pour cela, il est nécessaire de réaliser des transformations du vecteur directeur a(θ) pour obtenir les propriétés remarquables des équations (7) et/ou (13). Ces transformations sont réalisées par un processus d'interpolation selon l'invention comprenant les étapes décrites ci-après à titre illustratif et nullement limitatif. La transformation s'effectue, par exemple, en

appliquant une matrice d'interpolation sur les signaux capteurs (signaux reçus par les capteurs d'un réseau) et permet d'obtenir un vecteur directeur équivalent e(6>) qui vérifie les propriétés remarquables des équations (7) et/ou (13). L'invention concerne aussi un procédé permettant d'interpoler des vecteurs directeurs, vecteurs dépendant des positions des capteurs d'un réseau qui reçoit des signaux.

Interpolation avec des fonctions modales

Afin de réaliser une interpolation avec une fonction omni-directionnelle en θ , où θ correspond à la direction d'une source émettrice, le procédé utilise des fonctions modales z(θ) où z(θ) = Qxp(jθ) , par exemple. La fonction d'interpolation du vecteur directeur peut s'exprimer sous la forme suivante :

a.(θ) ≈ W e(0) avec t{θ) = pour 0 ≤ θ < 360° (17)

La matrice W de dimension Nx(2L + l) , non forcément carrée, est obtenue en minimisant au sens des moindres carrés l'écart a(#) -We(#) pour des azimuts vérifiant 0 ≤ θ < 360° . La longueur de l'interpolation 2L+1 dépend de l'ouverture du réseau. Le paramètre L est déterminé, par exemple, à partir du critère d'erreur d'amplitude suivant :

A_dB( a(#),We(#) ) où L est la valeur minimale vérifiant A dB inférieur à O.ldB. En effet, A dB est nul lorsque l'interpolation est parfaite et donc lorsque a(#) = We(#) . Cette valeur est associée à une erreur en phase de 0.7° qui correspond à une incertitude sur la mesure des vecteurs directeurs a (θ) lors d'une phase de calibration. Dans le cas particulier d'un réseau circulaire de rayon R avec N=5 capteurs où

<θ) = with a _n {θ) = (19)

La dépendance entre le paramètre L de l'interpolation et le rapport R/λ est illustrée figure 7. Cette figure 7 montre qu'un réseau de rayon R nécessite 2L+l=2l/λ coefficients pour une interpolation sur 360°.

En présence de M sources avec P _1n multi-trajets pour la m-ième source, le signal de l'équation (1) s'écrit de la façon suivante :

M P _m i(0 = ∑∑P _v à(θ _mp ) s _m (t-τ _mp ) + n(t) = λ _S (t) + n(t)

»=i P=I (20) avec a(θ) = W e{θ) et A = W E

où E=[ E ₁ ... E _M ] et E _m =[ e(6> _ml )... e(θ _mPm )]. Cette dernière expression s'écrit : i(0 = W y(0 + n(0 où y(0 = E s(0 (21)

Où la relation entre x(t) Qt y(t) est linéaire.

Adaptation du lissage spatial sur des réseaux interpolés par des fonctions modales

Les méthodes de type MUSIC [1] ou ESPRIT sont basées sur le modèle des équations (l)(20). Dans la problématique de l'interpolation d'un réseau par des fonctions modales, deux cas sont envisagés:

• N≥2L+l : Le signal y (t) peut directement être obtenu à partir du signal x(^) en effectuant : y(0 ⁼ (w ^ff w) . Tous les algorithmes adaptés au réseau linéaire sont applicables sur le signal y(^) : il est ainsi possible d'appliquer une technique de lissage spatial pour décorréler les multi-trajets, telle que décrite, par exemple, précédemment.

• N<2L+l : Le signal y (t) ne peut pas être directement obtenu à partir de x(0 - Les algorithmes applicables sur les réseaux linéaires ne sont plus directement applicables, le procédé selon l'invention propose une méthode permettant de remédier à ce problème.

Traitement du cas où N<2L+1

Comme la matrice W contient moins de lignes que de colonnes, il est envisagé dans ce procédé d'interpoler le réseau par K secteurs de largeur δθ = 180 / K avec des matrices d'interpolation Wk carrés où exp(-7A>#) a(θ) = W _k e(0) avec e(#) = : pour θ-θ,, < δθ (22) exp(jL _o θ)

Où les K matrices W _k sont carrées avec N = 2L ₀ +l et W _k e(#) est la fonction d'interpolation sur un secteur. On remarque que Ά(θ) ≠ Wk e{θ) pour θ-θ _k ≥ δθ .

Les matrices W _k sont obtenues en minimisant l'écart a(#) - W^e (#) au sens des moindres carrés l'écart pour θ — θ _k < δθ . La largeur du cône d'interpolation δθ est déterminée à partir du critère d'erreur en amplitude suivant :

A dB(a(0),W.e(0) ) = max 201og 10 avec W _k t{θ) = (23)

- ^V ' ^{k V} ' θ _k -δθ≤θ≤θ _k -δθ,n ' où δθ est la valeur minimale vérifiant que A dB soit inférieur à O.ldB car A dB est nul lorsque a(#) = W^e^) . En reprenant le réseau circulaire de l'équation (19), la largeur d'interpolation δθ dépend de la manière suivante du rapport R l λ et du nombre K = 180 / δθ de secteurs (Tableau 1 qui donne la Largeur du cône d'interpolation en fonction de R l λ avec A dB=O.1).

Tableau 1

La figue 7 représente l'erreur en amplitude A_dB(θ)

= max{|201og ₁₀ (|α _B (6>)/â _B (6>)|)|} pour R l λ =0.5 et montre que A dB(θ) est bien

inférieur à O.ldB pour |6>-180°| < 33° .

Selon une variante de mise en œuvre du procédé, on applique une technique de lissage spatial sur un réseau interpolé, par secteur. Ainsi le vecteur suivant :

doit vérifier les propriétés des équations (7)(13) pour toutes les incidences θ _mp des sources cohérentes de l' équations (1). En conséquence en posant

Les incidences des sources cohérentes doivent vérifier è ^k {θ _mp ) = a ^k (θ _mp )ë ¹ (θ _mp ) avec a ^k (θ) = ex _V {jkθ) (26) Et/ou vérifier que ë(θ _mp ) = Z ê(θJ = β(θ _mp ) ë(θ _mp ) avec β(θ) = \ (27)

Les conditions des équations (26)(27) sont valables uniquement lorsque les incidences θ _mp des sources cohérentes sont dans le même secteur d'interpolation en

vérifiant: θ _mp ^~ θ _k < δθ . En conséquence le procédé traite les deux situations suivantes:

• Les sources cohérentes sont dans le même secteur d'interpolation

• Les sources cohérentes sont dans des secteurs d'interpolations différents.

Pour traiter les situations de sources cohérentes présentent dans des secteurs différents, il est envisagé en mettant en œuvre le procédé selon l'invention d'interpoler conjointement le vecteur directeur a (θ) sur plusieurs secteurs.

Interpolation conjointe sur P = 2 secteurs.

L'interpolation conjointe sur P = 2 secteurs de largeur δθ s'effectue avec la matrice d'interpolation Wy carrée où exp(-A)#) a{θ) = Wij t{θ) avec t{θ) = pour θ-θ, < δθ et θ- θ. < δθ (28) exp(A)#)

Où la matrice Wy est de dimension NxN avec N = 2L ₀ + 1 et les intervalles θ-θ, < δθ et θ-θ. < δθ sont disjoints (voir figure 8 et figure 9). Wy e(θ) est la fonction d'interpolation du vecteur directeur a(#) sur deux secteurs car a(#) ≠ Wy e(6>) lorsque θ-θ _t ≥ δθ ou θ-θ. ≥ δθ . Les matrices Wn sont obtenues en

minimisant l'écart a (#) - W^e (#) au sens des moindres carrés pour θ-θ _t < δθ et θ-θ, < δθ . La largeur du cône d'interpolation δθ est déterminée à partir de

A_dB(a(0),W ₉ e(0) )

où δθ est la valeur minimal pour laquelle l'erreur en amplitude A dB est inférieure à IdB. Sachant que W _y =Wμ, le nombre de matrices W _y nécessaires vaut (âT X (âT + 1)) / 2 avec K = 90/δθ (voir figue 10). En reprenant le réseau circulaire

de l'équation (19), la largeur d'interpolation δθ et le nombre de secteurs ij ((Kx(K + 1)^12 ) dépendent du rapport Rl λ selon le tableau 2 qui regroupe la largeur des P=2 secteurs disjoints d'interpolation en fonction de Rl λ avec A dB=I

Tableau 2

La largeur du cône d'interpolation δθ peut aussi être établie en tenant compte de la technique de lissage spatial nécessitant la relation de l'équation (24)(25)(26). En prenant N' = N-I , la largeur du cône δθ est déterminée à partir de :

A_dB(ë ¹ (θ),è ² (θ) )

où δθ est la valeur minimale pour laquelle l'erreur en amplitude A dB est inférieure à IdB.

Tableau 3 - Largeur des P=2 secteurs disjoints d'interpolation pour le lissage spatial en fonction de Rl λ avec A dB=I

Ainsi en présence d'un maximum de P=I sources cohérentes on effectue dans chaque secteur θ-2ixδθ < Sθ et θ - Ij x δθ\ < δθ la transformation suivante sur le signal de l'équation (1) :

(31)

Qui s'écrit aussi :

M P _m y' ^J (t) = ∑∑ _Pmp Kθ _mp ) s _n (t-τ ) + n(t) = ε s(t) + n(t) m=\ p=l exp(-A>#) (32) avec ê(#) = lorsque \θ-2ixδθ\ < δθ et \θ-2jxδθ\ < δθ où E=[ E ₁ ... E _M ] et E _m =[ è(θ _ml ) ... è(θ _mP ) ]. Tous les algorithmes adaptés au réseau linéaire sont applicables sur le signal y' ^J (t) : une technique de lissage spatial peut être utilisée pour décorréler les multi-trajets cohérents dans l'intervalle

θ-2ix δθ\ < δθ et θ - 2j x δθ\ < δθ puis appliquer un algorithme de goniométrie tel que ESPRIT. Toutefois, seules les estimées θ vérifiant θ m_p -2ix δθ < δθ et

L ~2jxδθ < δθ sont des solutions. Pour obtenir l'ensemble des estimées il faut appliquer un lissage spatial et une goniométrie dans tous les secteurs indicés par (ij) Interpolation conjointe sur P secteurs.

L'interpolation conjointe sur P secteurs de largeur δθ s'effectue avec la matrice d'interpolation Wu... _IP carrés où exp(-A>#) a(θ) = Wii... _iP e(6>) avec e(#) = : pour θ- θ < δθ et l ≤ p ≤ P (33) exp(jL _o θ)

Où Wu...ip e(#) correspond à une fonction d'interpolation (a(#) ≠ Wn...i _P e(#) lorsque θ-θ < δθ pour l ≤ p ≤ P n'est pas vérifié),

Où la matrice Wn... _IP est carré avec N = 2L ₀ +1 et les intervalles θ-θ < δθ et l ≤ p ≤ P sont disjoints. Les matrices d'interpolation Wu...ip sont obtenues en minimisant l'écart E(^) -W, _t e(#) au sens des moindres carrés l'écart pour

θ- θ < δθ et 1 < p ≤ P . La largeur du cône d'interpolation δθ est déterminée à partir de

où δθ est la valeur minimale pour laquelle l'erreur en amplitude A dB est inférieure à une valeur A_dB_ref. Typiquement A dB ref vaut IdB. Les étapes pour évaluer les matrices d'interpolation Wn...ip ainsi que la largeur d'interpolation δθ de chaque

secteur sont les suivantes.

Etape n°A.l : <S0 =18O7P et θ _lp = 2δθ(p -l) pour l ≤ p ≤ P

Etap * e n°A.2 : Calcul de la matrice W h ¹ P en minimisant au sens des moindres carrés

Etape n°A.3 : Calcul du critère A_dB( ê ¹ (θ) , ê ² (θ) ) de l'équation (34).

Etape n°A.4 : Si A dB(I ¹ {θ),ë ² (θ) )>A_dB_ref alors δθ = δθ /2 et retour à l'étape

A.2

Etape n°A.5 : Calcul de K = lS0/(Pδθ)

Etape n°A.6 : Pour tous P-uplets (I ₁ ...i _p ) vérifiant 0 < I ₁ ≤ ... ≤ i _p < K : Etape n°A.6.1 : Calcul des θ = 2δθxi _p pour l ≤ p ≤ P

Etape n°A.6.2 : Calcul de la matrice W en minimisant au sens des

moindres carrés < δθ et l ≤ p ≤ P .

Etape n°A.6.3 : Retour à l'étape n° A.6.1 si tous les P-uplets (i _v ..i _P ) vérifiant 1 ≤ Z ₁ ≤ ... ≤ i _p ≤ K ne sont pas explorés. Les étapes pour effectuer la goniométrie avec une interpolation sur P secteurs utilisent les matrices d'interpolation calculées lors des étapes A. Les étapes de la goniométrie sont alors les suivantes : Etape n°B.O : Initialisation de l'ensemble θ à 0 Etape n°B : Pour tous P-uplets (i _v ..i _P ) vérifiant 0 ≤ Z ₁ ≤ ... ≤ i _p < K : Etape n°B.l : Calcul de y' ^{1 lp} (t) = W _h ,/ ¹ X(O

Etape n°B.2 : Calcul des θ _lp = 2δθxi _p pour l ≤ p ≤ P

Etape n°B.3 : Application d'une technique de lissage spatial et/ou Forward- Backward sur l'observation y' ^{1 lp} (t) puis application d'une goniométrie de type ESPRIT pour obtenir les incidences θ _k pour 1 ≤ k ≤ K _{h lp} . Etape n°B.4 : Sélection des incidences estimée θ, G θ où θ ={

θ, ~ θ. < δθ pour l ≤ p ≤ P et J _MUSIC [θ\ <η selon le critère suivant de

MUSIC[I] où

a(0) a(0) où n^ est le projecteur bruit extrait de la matrice de covariance R _x .

(l'équation (7) fait partie du passage en orange qui a été supprimé. ) donc la proposition ; selon une équation connue des méthodes de goniométrie de type

MUSIC. (Le seuil η est choisi typiquement à 0.1).

Etape n°B.5 : θ = θu θ ensembles des angles d'incidence vérifiant l'étape B.4 pour tous les secteurs associés aux P-uplets (i _v ..i _P ) traité par l'algorithme. Etape n°B.6 : Retour à l'étape n° B.l tant que tous les P-uplets (Z ₁ ..i _p ) vérifiant 0 < Z ₁ < ... < i _p < K ne sont pas explorés.

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