Solche mechatronischen Systeme weisen wenigstens eine mecha- nische und elektrotechnische/elektronische Komponente auf, die sich im Hinblick auf Konstruktion, Aufbau und Funktion zu einem einheitlichen System zusammenfügen. Diesem Sachverhalt wird durch den Kunstbegriff"mechatronisch"Ausdruck verlie- hen.

Herkömmlicherweise erfolgt eine Modellierung einer Mechanik entweder durch Mehrmassenmodelle, also Modelle mit konzent- rierten Federn und Massen, deren Differentialgleichungen qua- si"von Hand"aufgestellt werden, oder vorzugsweise mit soge- nannten FEM-Modellen. Solche FEM-Modelle bzw. Finite-Element- Modelle werden dabei aufgrund deren größerer Genauigkeit be- vorzugt, sind jedoch sehr rechenaufwendig.

Bei letzteren lautet eine grundlegende Bewegungsgleichung wie folgt : M##(t) + D##(t) + C##(t) = #(t) (1) Hierbei sind Al die Massenmatrix, D die Dämpfungsmatrix, C die Steifigkeitsmatrix, F die Knotenpunktkräfte, ii der Knotenverschiebungsvektor und t die Zeit.

Diese Berechnungsvorschrift wird auf dem Fachmann bekannte Weise in ein solches Finite-Element-Modell integriert.

Zur Lösung der grundlegenden Bewegungsgleichung (1) existie- ren diverse Zeitintegrationsverfahren, die allesamt einen e- normen Zeitaufwand erfordern, da die Integrationsschrittweite sehr klein gewählt werden muss, um einen Integrationsfehler in akzeptablen Grenzen im Hinblick auf die geforderte Genau- igkeit zu halten.

Aufgabe der vorliegenden Erfindung ist es daher, ein Verfah- ren der eingangs genannten Art anzugeben, das bei gegenüber den vorangehend dargestellten, bekannten Methoden geringerem Rechenaufwand eine höhere Simulationsgenauigkeit liefert.

Gemäß der vorliegenden Erfindung wird dies erreicht, indem ausgehend von der grundlegenden Bewegungsgleichung (1) M (t) +1) ir (t) +Cü (t) =F (t) zur Modellierung des Systems die aufeinanderfolgenden Verfah- rensschritte durchgeführt werden : - Transformation der grundlegenden Bewegungsgleichung auf li- neare Differentialgleichungen erster Ordnung, - weitere Transformation der linearen Differentialgleichungen auf zeitdiskrete Zustandsgleichungen, - Bestimmung des Zeitverhaltens des Systems durch Aktualisie- rung der resultierenden algebraischen Differenzengleichun- gen im Abtastraster eines zugeordneten Regelungsprozessors.

Nach einer ersten vorteilhaften Ausgestaltung des Verfahrens gemäß der vorliegenden Erfindung erfolgt die Transformation der grundlegenden Bewegungsgleichung auf lineare Differenti- algleichungen erster Ordnung im Modalraum. Dadurch wird er- reicht, dass vorgebbare Eigenmoden selektiert oder deselek- tiert werden können, bevor eine Zeitdiskretisierung erfolgt.

Nach einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung des Verfah- rens gemäß der vorliegenden Erfindung werden zur Simulation zeitlicher Verzögerungen der Knotenpunktkräfte F entspre- chende Differentialgleichungen hinzugefügt und bei der Be- stimmung des Zeitverhaltens des Systems berücksichtigt. Da- durch lässt sich auf besonders effektive Weise der Erkenntnis Rechnung tragen, dass sich solche Kräfte in der Regel nur mit zeitlicher Verzögerung aufbauen.

Natürlich besteht auch die Möglichkeit, zusätzlich Kräfte im System ohne Zeitverzögerung einzuprägen, wenn die Realität es erfordert (z. B. Modellierung der Gravitation). Dies erfolgt vorzugsweise, indem zusätzliche nichtverzögerte Kräfte FD im System durch Aufspalten des Kraftvektors F in einen Anteil zeitverzögerter Kräfte FR und einen Anteil nicht zeitverzö- gerter Kräfte FD bei der Bestimmung des Zeitverhaltens des Systems berücksichtigt werden.

Es hat sich als besonders vorteilhaft herausgestellt, wenn die Differentialgleichungen zur Simulation zeitlicher Verzö- gerungen der Knotenpunktkräfte F mit einem PT1-Regelglied als Stellglied beschrieben werden, wobei die Sollkraft die Stellgröße dieses Reglers darstellt.

Prinzipiell können natürlich auch Stellglieder mit beliebiger Übertragungsfunktion verwendet werden.

Nach einer weiterhin vorteilhaften Ausgestaltung des Verfah- rens gemäß der vorliegenden Erfindung dienen zur Beschreibung des mechanischen Teils des mechatronischen Systems modale Ko- ordinaten und deren zeitliche Ableitungen, woraus die grund- legende Bewegungsgleichung ###(t) + ###(t) + ###(t) = #(t) resultiert, wobei

M=Jf'-M- die modale Massenmatrix, D =X'D X die modale Dämpfungsmatrix, C = X'C X die modale Steifigkeitsmatrix, X die Matrix der Eigenvektoren des ungedämpften Systems, die generalisierten modalen Koordinaten u= X q die Knotenpunktverschiebungen Q = X'F die generalisierten modalen Kräfte angibt.

Weitere Vorteile und Einzelheiten der Erfindung ergeben sich anhand der folgenden Darstellung der mathematischen Zusammen- hänge zur Berechnung und in Verbindung mit der Figur. Es zeigt in Prinzipdarstellung : FIG 1 ein Finite-Element-Modell einer mechanischen Brücke mit einem verfahrbaren Schlitten.

Die eingangs beschriebene grundlegende Bewegungsgleichung (1) wird erfindungsgemäß zunächst auf gewöhnliche Standard- Zustandsgleichungen transformiert, insbesondere auf lineare Differentialgleichungen erster Ordnung, vorzugsweise im Mo- dalraum. Diese werden anschließend zeitdiskretisiert, so dass zur Bestimmung des Zeitverhaltens des Systems anstelle der Differentialgleichungen nur noch algebraische Differenzen- gleichungen zu lösen sind, was mit den heutigen Rechnersyste- men einfacher und effektiver möglich ist.

Durch die Transformation ist nämlich zur Bestimmung des Zeit- verhaltens des simulierten Systems das Zeitraster, also die Berechnung der Differenzengleichungen, nur noch im Abtastras- ter des Regelungsprozessors zu aktualisieren. Dies ist der Fall, weil nur die Werte im Rechnertakt eines die Berechung ausführenden Computers von Bedeutung sind. Die Rechenschritt- weite kann so von typisch 1... 5 msec auf 100usec reduziert werden, je nach geforderter Genauigkeit.

Die so erzielte erfindungsgemäße Lösung der algebraischen Gleichungen ist exakt, während die herkömmliche Lösung von Differentialgleichungen zur Simulation nur eine Näherung dar- stellen.

Die wesentlichen Vorteile dieser Vorgehensweise sind die hö- here Simulationsgenauigkeit und die enorme Zeitersparnis, wo- durch die Simulation für den Anwender erheblich an Praxisre- levanz gewinnt. Im Allgemeinen beträgt der Faktor der Zeiter- sparnis gegenüber den eingangs geschilderten bekannten Ver- fahren mehr als 1000.

Wesentlich für die Erfindung ist dabei der"Zugang"des im Folgenden dargestellten Berechnungsgangs : Ausgehend von der grundlegenden Bewegungsgleichung (1) wird zunächst-aus Gründen der besseren Anschaulichkeit-folgen- des definiert : ii : = #1 und #1 := #2 (2) Damit erhält man aus der grundlegenden Bewegungsgleichung (1) folgendem Berechnungsvorschrift : M x2 +D x2 +C xl =F (3) Die beiden Gleichungen (2) und (3) können nun zusammengefasst werden : Da die Kraft in der Regel nur verzögert aufgebaut werden kann, wird dieses durch Hinzufügen entsprechender Differenti- algleichungen berücksichtigt. Im einfachsten Fall lässt sich

das Stellglied durch ein PT1-Glied beschreiben. Hierfür er- gibt sich dann für die Kraft : # = -1 .# + 1.#w ers, F ers, F wobei Terse die Zeitkonstante des PT1-Gliedes und Fw die Sollkraft (Stellgröße des Reglers) ist.

Die Berechnungsvorschrift (5) lässt sich nun mit der Berech- nungsvorschrift (4) zusammenfassen. Definiert man noch F : =£3, so folgt : Für den Fall, dass zusätzlich nichtverzögerte Kräfte FD im System wirken, werden diese durch Aufspalten des Kraftvektors in einen Anteil zeitverzögerter Kräfte FR und einen Anteil nicht zeitverzögerter Kräfte FD berücksichtigt. Die Berech- nungsvorschrift (6) ergibt sich dann zu Die Berechnungsvorschriften (6) oder (6a) stellen nunmehr je- weils eine Standard-Zustandsgleichung zur Beschreibung rege- lungstechnischer Vorgänge dar und lassen sich auf allgemein bekannte Weise auf die diskreten Zustandsgleichungen X(k+1)T = Ad#xkT+Bd#ukT

transformieren, wobei die diskreten Systemmatrizen Ad und Bd durch gegeben sind.

Da sich der Stellwert u nur im Abtastraster ändern kann, be- schreibt die vorstehende Berechnungsvorschrift (8) das Ver- halten des Systems zu den Abtastzeitpunkten exakt.

Zur Beschreibung der Zustände des mechanischen Systems werden zweckmäßigerweise modale Koordinaten und deren zeitliche Ab- leitungen verwendet. Nimmt man eine Koordinatentransformation eines Finite-Element-Systems gegeben in der Form der grundle- genden Bewegungsgleichung (1) mit der Matrix der Eigenvekto- ren X und den generalisierten modalen Koordinaten q vor, so lässt sich das System in den sogenannten "Modalraum" trans- formieren.

Mit der Substitution # = X## geht die grundlegende Bewegungs- gleichung (1) dann über zu ###(t) + ###(t) + ###(t) = #(t) (9).

Hierbei sind im einzelnen M =X'-M-X die modale Massenmatrix, b = X'D X die modale Dämpfungsmatrix, C = X'C X die modale Steifigkeitsmatrix, X die Matrix der Eigenvektoren des ungedämpften Systems, die generalisierten modalen Koordinaten u= X q die Knotenpunktverschiebungen Q =X'F die generalisierten modalen Kräfte.

Hierdurch wird sichergestellt, dass die Inverse M-1, die für Berechnung von Gleichung (6) benötigt wird, stets existiert, da die modale Massenmatrix M immer positiv definit ist.

Die Zustandsbeschreibung im Modalraum bietet ferner den Vor- teil, dass bestimmte, vorgebbare Eigenmoden (de) selektiert werden können, bevor die Zeitdiskretisierung erfolgt.

Die Darstellung gemäß FIG 1 zeigt ein Finite-Element-Modell einer einfachen mechanischen Brücke B, auf der ein Schlitten S in x-Richtung x verfahren werden kann. Ein skizziertes Ko- ordinatensystem zeigt die räumliche Ausrichtung in x-Richtung x, y-Richtung y und z-Richtung z. Des weiteren sind beispiel- haft Anbindungsknoten 1 bis 4, ein Messknoten 5 und ein Krafteinleitungsknoten 6 gezeigt, die zur Simulation dienen.

Die Steifigkeit an den Anbindungsknoten ist demnach in x- Richtung x gleich 0, während sie in y-und z-Richtung y, z durch die Steifigkeit der Führungen vorgegeben ist. Zur Ab- bildung des Strukturverhaltens werden Volumenelemente verwen- det.

Modelliert man dieses Finite-Element-Modell mit einem FEM- Programm, so können bedingt durch die Anzahl der Knoten bei diesem Modell ca. 200 Eigenfrequenzen auftreten, wovon aller- dings nur die unteren 20 für das Systemverhalten wesentlich sind. Deshalb werden auch nur diese Eigenfrequenzen selek- tiert und die entsprechenden Standard-Zustandsgleichungen in Form der Systemmatrizen herausgeschrieben.

Man erhält damit Systemmatrizen der Ordnung 43 : - 20 konjugiert komplexe Eigenwerte ergibt die Ordnung 40, - 1 Starrkörpermode mit doppeltem Pol im Ursprung, weil sich der Schlitten in x-Richtung frei bewegen kann, - 1 reeller negativer Eigenwert, bedingt durch die Modellie- rung des Stromregelkreises.

=> in Summe ergibt sich für die Berechnungsvorschrift (6)' eine Systemordnung von 43.

Entsprechend ist die Systemordnung nach der Diskretisierung gemäß den Berechnungsvorschriften (7) und (8) ebenfalls von der Ordnung 43.

Die Simulationsdauer einer Sprungantwort nach dem erfindungs- gemäßen Verfahren beträgt beispielsweise mit dem Programm , Matlab/Simulink/Realtime-Workshop' 130msec. Die Simulation desselben Vorgangs auf herkömmliche Weise dauert bei bei- spielhafter Verwendung des Softwareinstrumentes, R-PERMAS'11 min., d. h. die Simulationszeit kann durch Anwendung der vor- liegenden Patenanmeldung ca. um den Faktor 5000 verkürzt wer- den.