Tragstruktur für gekrümmte Hüllgeometrien:

Die Erfindung bezieht sich auf eine Tragstruktur für gekrümmte Hüllgeometrien, insbesondere in Bauwerken und dem Schiffsbau, wobei sich die gekrümmte Hüllgeometrie zumindest abschnittsweise einer Freiformfläche annähert, bestehend aus Verbindungselementen und von den Verbindungselementen aufgespannten Flächenelementen, gemäß dem Oberbegriff von Anspruch 1, sowie auf ein Verfahren zur Festlegung einer solchen Tragstruktur, gemäß dem Oberbegriff von Anspruch 6.

Gekrümmte Hüllgeometrien dieser Art werden im Bauwesen oder im Schiffsbau zur Verwirklichung von Freiformflächen verwendet, bei denen die Krümmung in zwei unterschiedlichen Raumrichtungen unterschiedlich ist, etwa bei Kuppelbauten, oder auch komplexeren Flächenformen. Freiformflächen dieser Art werden auch als nicht-abwickelbare Flächen, oder als doppelt bzw. zweifach gekrümmte Flächen bezeichnet, und im Zuge der architektonischen Planung zunächst im Computermodell als stetige Flächen entworfen. In der baulichen Umsetzung sind die stetigen Freiformflächen durch eine Vielzahl einzelner Flächenelemente zu approximieren, die in einer Tragstruktur gehalten sind. So ist es etwa möglich, auch komplexe Freiformflächen mit z.B. mehrschichtigen ebenen Glaselementen zu verwirklichen, die oberhalb, zwischen oder unterhalb einer Tragstruktur aus z.B. Stahl befestigt sind.

Für die Ausführung der Flächenelemente bestehen nun zwei prinzipielle Möglichkeiten. Einerseits kann angestrebt werden, die einzelnen Flächenelemente planar auszuführen, also als ebene Flächenelemente. In diesem Fall wird die Tragstruktur aus einzelnen Verbindungselementen gebildet, die jeweils zu N- Ecken, also etwa Dreiecke, Vierecke, Sechsecke usw., zusammengesetzt sind. Die N-Ecke spannen die Stützstruktur auf, wobei die Verbindungselemente als Träger ausgeführt sind, die in Knotenbereichen zusammenstoßen, wo sie miteinander befestigt sind. Eine besonders vorteilhafte Ausführungsform einer solchen Tragstruktur wird im österreichischen Patent Nr.

503.021 beschrieben, bei der insbesondere eine torsionsfreie Verwirklichung der einzelnen Träger ermöglicht wird. Diese Ausführungsform weist allerdings den Nachteil auf, dass mitunter sehr viele Verbindungselemente notwendig sind, die einerseits die Kosten erhöhen, und andererseits, insbesondere bei Bauwerken, auch ästhetische Nachteile mit sich bringen, da durch die Vielzahl an Verbindungselementen der optische Eindruck der „Leichtigkeit" der Hüllgeometrie verloren geht.

Eine andere Möglichkeit der Approximation von Freiformflächen durch einzelne Flächenelemente besteht des Weiteren darin, die Freiformfläche durch gekrümmte Flächenelemente anzunähern. Hierbei sind Methoden der Annäherung einer Freiformfläche mithilfe von doppelt gekrümmten Flächenelementen bekannt, die aber in der Praxis wesentliche Nachteile aufweisen, so unterliegt etwa die Materialwahl für die Flächenelemente in diesem Fall aufgrund der notwendigen Verformbarkeit in doppelt gekrümmte Flächen Einschränkungen. Des Weiteren gelingt es in der Regel nicht, mithilfe von doppelt gekrümmten Flächenelementen eine Verteilung der Verbindungselemente zu finden, bei der die als Träger ausgeführten Verbindungselemente im Zuge der Montage zwischen zwei Knotenbereichen keiner Torsion im geometrischen Sinne, also einer Verdrehung der Längsachse etwa im Knotenbereich, unterworfen werden müssen. Nur Verbindungselemente mit kreisförmigem Querschnitt können „torsionsfrei", im geometrischen Sinn, aneinandergereiht werden. Bei der Verwendung von nicht kreisförmigen Querschnitten entsteht bisher in der Tragstruktur eine Torsion (im geometrischen Sinne) im Knotenbereich. Dies führt zu ästhetisch und statisch unbefriedigenden Knotenbereichen. Vielmehr ergibt sich daraus auch das Problem, dass Mehrschichtstrukturen nicht oder nur mit erheblichem, zusätzlichem Aufwand zu verwirklichen sind. Es muss daher für jede Schicht ein eigenes Tragsystem vorgesehen werden, was die Materialkosten und den Montageaufwand wiederum um ein Vielfaches erhöht.

Es ist daher das Ziel der Erfindung, eine bauliche Umsetzung von Freiformflächen zu finden, die die technischen und ökonomischen Anforderungen verringert und ästhetische Ansprüche befriedigt. Insbesondere sollen Montageaufwand und - kosten möglichst gering gehalten werden. Ein weiteres Ziel der Erfindung ist es, dass die Tragstruktur zur Approximation von Freiformflächen auch die Möglichkeit eines problemlosen Mehrschichtaufbaus bietet, also die parallel versetzte Montage mehrerer Flächenelemente. Des Weiteren soll die Anzahl an Verbindungselementen im Vergleich zu bekannten Tragstrukturen auf Basis von planaren Flächenelementen in Dreiecks-, Vierecks- oder Sechseckform verringert werden. Diese Ziele werden durch die Maßnahmen von Anspruch 1 erreicht.

Anspruch 1 bezieht sich auf eine Tragstruktur für gekrümmte Hüllgeometrien, insbesondere in Bauwerken und dem Schiffsbau, wobei sich die gekrümmte Hüllgeometrie zumindest abschnittsweise einer Freiformfläche annähert, bestehend aus Verbindungselementen und von den Verbindungselementen aufgespannten Flächenelementen. Erfindungsgemäß sind hierbei Flächenelemente vorgesehen, die als einfach gekrümmte Streifenelemente ausgeführt sind, deren Krümmung jeweils in Längsrichtung der Streifenelemente verläuft, wobei jeweils zwei Streifenelemente entlang ihrer Längskanten über Längsverbindungselemente miteinander verbunden sind. Dabei stellt sich im Bereich der Längsverbindungselemente zwischen jeweils zwei aneinandergrenzender Streifenelemente ein Knick ein, also im mathematischen Sinn ein diskreter übergang, der bei der Auslegung der Streifenelemente so klein wie möglich gehalten wird, um die Hüllgeometrie der Freiformfläche bestmöglich anzunähern, und so den Eindruck einer kontinuierlichen Hüllgeometrie zu vermitteln. Es wird somit eine lückenlose Aneinanderreihung von Streifenelementen verwirklicht, die in ihrer Gesamtheit die Freiformfläche approximiert. Wie die Ermittlung geeigneter Streifenelemente gelingt, wird im Folgenden noch näher beschrieben werden. Die Krümmung der Streifenelemente kann dabei durch Krümmungslinien beschrieben werden, die somit in Längsrichtung der

Streifenelemente verlaufen. Aufgrund der einfach gekrümmten Ausführung der Streifenelemente existieren des Weiteren transversal zu den Krümmungslinien verlaufende Erzeugende, die geradlinig sind. Wahlweise können zusätzlich quer zu den Streifenelementen, etwa entlang von Erzeugenden der Streifenelemente, Querverbindungselemente vorgesehen sein, wobei im Bereich dieser Querverbindungselemente das Streifenelement auch unterbrochen ausgeführt sein kann, sodass eine Unterteilung eines Streifenelementes in einzelne Paneele erfolgt .

Eine solche Annäherung von Freiformflächen mithilfe lückenlos aneinander gereihter, einfach gekrümmter Flächenelemente wird im Folgenden auch als „Streifenmodell" bezeichnet. Im Rahmen der mathematischen Modellierung solcher Streifenmodelle werden die Kurven, längs der die Streifenelemente aneinandergereiht sind, auch „Kantenkurven" genannt. Diese Kantenkurven entsprechen den Längskanten der Streifenelemente in ihrer baulichen Verwirklichung, entlang derer erfindungsgemäß die Längsverbindungselemente angeordnet werden.

Im Rahmen der Erfindung wurde nun überraschender Weise festgestellt, dass sich solche Streifenmodelle auch für komplizierte Freiformflächen auffinden lassen, und eine Verwirklichung einer erfindungsgemäßen Tragstruktur ermöglichen. Im Rahmen der vorliegenden Erfindung soll daher unter dem Begriff „Freiformfläche" insbesondere eine Fläche verstanden werden, die die folgenden Bedingungen erfüllt. Sie ist

-) eine doppelt gekrümmte Fläche, und

-) sie besitzt keine kinematische Erzeugung durch Bewegung (eventuell inklusive Skalierung) einer Kurve so, dass diskrete Lagen der bewegten Kurve als Kantenkurven eines Streifenmodells dienen können.

Als ein Beispiel für Flächen, die somit erfindungsgemäß keine Freiformflächen sind, können die Drehflächen genannt werden.

Ein weiteres Beispiel sind die Schiebflächen, erzeugt durch Verschiebung einer Kurve längs einer anderen Kurve.

Gemäß einer vorteilhaften Ausführungsform der Erfindung kann des Weiteren vorgesehen sein, dass die Streifenelemente so ausgeführt sind, dass eine Schar Erzeugender in Querrichtung des Streifenelements existiert, wobei die Erzeugenden mit den beiden Längskanten des Streifenelements jeweils denselben Winkel einschließen. Die Auslegung der Streifenelemente erfolgt dabei über mathematische Optimierungsverfahren, die im Folgenden auch als „zirkuläre Modelle" bezeichnet werden, weil es bei Erfüllung dieser Bedingung in der Tangentialebene der Erzeugenden einen Kreis gibt, der die beiden Längskanten in den Endpunkten der Erzeugenden berührt. Darauf wird im Folgenden noch näher eingegangen werden.

Alternativ oder ergänzend kann auch vorgesehen sein, dass die Streifenelemente so ausgeführt sind, dass eine Schar Erzeugender in Querrichtung des Streifenelements existiert, wobei jeweils eine Erzeugende zweier nebeneinander liegender Streifenelemente, die sich tatsächlich oder in ihrer gedachten Verlängerung schneiden, mit der Tangente an die tatsächliche oder gedachte, gemeinsame Längskante in ihrem Schnittpunkt jeweils denselben Winkel einschließt. Die Auslegung der Streifenelemente erfolgt dabei über mathematische Optimierungsverfahren, die im Folgenden auch als „konische Modelle" bezeichnet werden, weil es bei Erfüllung dieser Bedingung in der Tangentialebene der Erzeugenden einen Drehkegel gibt, dessen Spitze im Schnittpunkt der beiden Erzeugenden liegt, und der die beiden nebeneinander liegenden Streifenelemente entlang der sich schneidenden Erzeugenden berührt. Auch darauf wird im Folgenden noch näher eingegangen werden. Auch die gleichzeitige Erfüllung der beiden genannten Bedingungen ist denkbar, indem sie als „weiche" Nebenbedingungen gefordert sein können, wobei mathematische Optimierungsverfahren dieser Art im Folgenden auch als „approximative Krümmungsstreifenmodelle" bezeichnet werden.

Gemäß einer vorteilhaften Weiterbildung der Erfindung können zumindest zwei voneinander beabstandete Hüllgeometrien vorgesehen sein, wobei ein Streifenelement einer zweiten Hüllgeometrie durch Parallelverschiebung eines Streifenelements einer ersten Hüllgeometrie gebildet wird. Sind nämlich eine der beiden, oder auch beide der oben genannten Bedingungen erfüllt, so kann ein lückenloses Netz von erfindungsgemäßen Streifenelementen in ein weiteres, lückenloses Netz von Streifenelementen parallel verschoben werden. Diese Parallelverschiebbarkeit wird im Folgenden auch als „Offset" bezeichnet. Entsprechende Erzeugende zweier parallel verschobener Streifenelemente, sowie entsprechende Längskanten-Tangenten sind dabei parallel.

Hinsichtlich der Ausführung der Längsverbindungselemente kann vorgesehen sein, dass die Längsverbindungselemente quaderförmig ausgeführt sind, deren Höhe dem Abstand zweier übereinander liegender Längskanten entspricht. Entsprechende Längskanten zweier parallel verschobener, erfindungsgemäßer Streifenelemente lassen sich nämlich durch einfach gekrümmte Flächen verbinden, anhand derer sich auf einfache Weise entsprechende Längsverbindungselemente fertigen lassen. Ebenso können auch Querverbindungselemente zwischen einander zugeordneten Erzeugenden zweier parallel verschobener Streifenelemente quaderförmig ausgeführt werden, deren Höhe dem Abstand der jeweiligen Erzeugenden entspricht. Diese Querverbindungselemente sind dabei nicht gekrümmt, und die auftretenden Knoten zwischen Längsträger- und Querverbindungselementen torsionsfrei. Das ermöglicht eine überaus einfache Ausführung der erfindungsgemäßen Tragstruktur .

Die Erfindung bezieht sich des Weiteren auf ein Verfahren zur Festlegung einer Tragstruktur für gekrümmte Hüllgeometrien, insbesondere in Bauwerken und dem Schiffsbau, bestehend aus Verbindungselementen und von den Verbindungselementen aufgespannten Flächenelementen, wobei die gekrümmte Hüllgeometrie zumindest abschnittsweise einer Freiformfläche

angenähert wird. Hierbei ist erfindungsgemäß vorgesehen, dass die Flächenelemente als, entlang ihrer jeweiligen Längskanten aneinander liegende, einfach gekrümmte Streifenelemente ausgeführt werden, und die entlang der gemeinsamen Längskanten zweier aneinander liegender Streifenelemente verlaufenden Längsverbindungselemente so ausgeführt werden, dass sie dem Verlauf der jeweiligen, gemeinsamen Längskante folgen. Die Festlegung der Streifenelemente kann konkret etwa so erfolgen, indem Folgen von Krümmungslinien der Freiformfläche ausgewählt werden, die sich durch einfach gekrümmte Streifenelemente, deren Krümmung jeweils in Längsrichtung der Streifenelemente verläuft, verbinden lassen, und zur bestmöglichen Annäherung an die Freiformfläche der Winkel zwischen den in ihrer gemeinsamen Längskante einander schneidenden Erzeugenden einer Schar von Erzeugenden in Querrichtung zweier aneinander liegender Streifenelemente minimiert wird. Darauf wird im Folgenden noch näher eingegangen werden.

Gemäß einer vorteilhaften Weiterbildung des erfindungsgemäßen Verfahrens kann vorgesehen sein, dass die Streifenelemente so ausgeführt werden, dass eine Schar Erzeugender in Querrichtung des Streifenelements existiert, wobei die Erzeugenden mit den beiden Längskanten des Streifenelements jeweils denselben Winkel einschließen.

Alternativ oder ergänzend hierzu kann aber auch vorgesehen werden, dass die Streifenelemente so ausgeführt werden, dass eine Schar Erzeugender in Querrichtung des Streifenelements existiert, wobei jeweils eine Erzeugende zweier nebeneinander liegender Streifenelemente, die sich tatsächlich oder in ihrer gedachten Verlängerung schneiden, mit der Tangente an die tatsächliche oder gedachte, gemeinsame Längskante in ihrem Schnittpunkt jeweils denselben Winkel einschließt.

Bei Erfüllung einer dieser beiden, oder auch beider

Bedingungen kann das erfindungsgemäße Verfahren auch so weitergebildet werden, dass zumindest zwei, voneinander beabstandete Hüllgeometrien festgelegt werden, wobei ein

Streifenelement einer zweiten Hüllgeometrie durch Parallelverschiebung eines Streifenelements einer ersten Hüllgeometrie gebildet wird.

Schließlich kann im Rahmen des erfindungsgemäßen Verfahrens auch vorgesehen sein, dass die Längsverbindungselemente quaderförmig ausgeführt werden, wobei ihre Höhe dem Abstand zweier übereinander liegender Längskanten entspricht.

Die Erfindung wird im Folgenden anhand von Ausführungsformen mithilfe der beiliegenden Zeichnungen näher erläutert. Hierbei zeigen die

Fig. 1 einen Ausschnitt eines Streifenmodells zur Erläuterung grundlegender Begriffe,

Fig. 2a die Winkelbedingungen und Normalen längs der Kantenkurven bei einem zirkulären Modell,

Fig. 2b die Winkelbedingungen und Normalen längs der Kantenkurven bei einem konischen Modell,

Fig. 3 einen Ausschnitt eines Streifenmodells mit Offset,

Fig. 4a-4c Abbildungen zur Erläuterung eines geodätischen Modells,

Fig. 5a-5c Abbildungen zur Erläuterung eines zylindrischen Modells zu verschiedenen Erzeugendenrichtungen, wobei die Erzeugenden zur besseren übersichtlichkeit nur auf jedem zweiten Streifen visualisiert sind,

Fig. 6 einen Schichtaufbau aus teilweise gekrümmten, quaderförmigen Elementen,

Fig. 7 einen Mehrschicht-Aufbau, der die Haupttragstruktur über ein Vierecksnetz mit ebenen Flächenelementen realisiert,

und darauf, eventuell zu beiden Seiten, Streifenmodelle aufsetzt,

Fig. 8 eine Verbindung von zwei Streifenmodellen, wobei die diskrete und die kontinuierliche Richtung in den beiden Schichten unterschiedlich gewählt sind,

Fig. 9 eine perspektivische Ansicht eines Ausschnitts einer Tragstruktur mit Verbindungselementen, die als I-Träger ausgeführt sind,

Fig. 10 eine Detailansicht zur Verwirklichung von I-Trägern im Rahmen einer erfindungsgemäßen Tragstruktur,

Fig. 11 eine Darstellung eines Trägerelements längs einer Kantenkurve eines geodätischen Modells,

Fig. 12 ein Trägerelement mit einem Kernteil aus mehreren Schienen,

Fig. 13 eine Darstellung eines Streifenmodells für den Einsatz ebener Paneele in schwach gekrümmten Bereichen,

Fig. 14 eine Darstellung eines Steifenmodells für den Einsatz doppelt gekrümmter Paneele in stark gekrümmten Bereichen, und die

Fig. 15 eine beispielhafte Darstellung einer Freiformfläche gemäß der Erfindung.

Die Umsetzung einer Freiformfläche, wie sie etwa in der Fig. 15 dargestellt ist, in eine erfindungsgemäße Tragstruktur etwa eines Bauwerks erfordert zwei grundlegende Schritte. Zunächst ist die vom Planer vorgegebene, zweifach gekrümmte Freiformfläche erfindungsgemäß in einfach gekrümmte Streifenelemente S umzurechnen, die jeweils entlang einer gemeinsamen Kantenkurve K lückenlos aneinander liegen. Diese einfach gekrümmten Streifenelemente S werden auch als

„abwickelbar" bezeichnet, weil sie verzerrungsfrei auf eine Ebene abgebildet werden können. In einem zweiten Schritt ist schließlich das Ergebnis dieser Umrechnung, das im Folgenden auch als „Streifenmodell", oder auch „Krümmungsstreifen- Modell" der Freiformfläche bezeichnet wird, in eine baulich umsetzbare Tragstruktur umzuwandeln, wobei die errechneten Streifenelemente S als Flächenelemente der Tragstruktur auftreten, und die Kantenkurven K als Längskanten L dieser Streifenelemente S. Schließlich sind die Verbindungselemente 1,2 hinzuzufügen, wobei Längsverbindungselemente 1 entlang der Längskanten L der Streifenelemente S verlaufen, und wahlweise Querverbindungselemente 2 quer zu den Längsverbindungselementen 1. Im Folgenden sollen nun beide Schritte näher erläutert werden, wobei zunächst auf die erfindungsgemäß festgelegten, abwickelbaren Streifenmodelle eingegangen wird.

Abwickelbare Streifenmodelle können als semi-diskrete Flächendarstellungen in folgendem Sinn verstanden werden: Eine Schar von Parameterlinien, die Kantenkurven K, tritt diskret auf, also in einer endlichen Anzahl; diese Kurven sind glatt. Als zweite Schar von Parameterkurven können die von den Erzeugenden E der Streifenelemente S gebildeten Polygone aufgefasst werden, wie anhand der Fig. 1 ersichtlich ist. Diese zweite Schar ist dicht, aber die Kurven sind „diskret", d.h. Polygone.

Aus theoretischer Sicht liegen diese semi-diskreten Darstellungen genau zwischen den diskreten Darstellungen und den glatten Flächen. Konkret hat man als diskrete Version eines Streifenmodells ein Vierecksnetz mit ebenen Maschen, wie sie im österreichischen Patent Nr. 503.021 beschrieben sind. Auf der kontinuierlichen Seite ergibt sich ein so genanntes konjugiertes Kurvennetz auf einer glatten Fläche. Dieser Sachverhalt kann für die eigentliche Berechnung insofern verwendet werden, als je nach Aufgabenstellung die Optimierung über die diskrete Version (Vierecksnetz mit ebenen Maschen) , oder die glatte Version (konjugiertes Netz) initialisiert

werden kann. Es wird im Folgenden auch noch beschrieben werden, dass ein Vierecksnetz mit ebenen Maschen und ein Streifenmodell in eine einzige architektonische Struktur eingebettet werden können.

Bei der Berechnung einer Approximation einer gegebenen Freiformfläche durch ein Streifenmodell ist insbesondere darauf zu achten, dass die Kantenkurven K die asymptotischen Richtungen der Freiformfläche vermeiden, weil diese Richtungen selbstkonjugiert sind. Dadurch erhält man transversale Erzeugendenpolygone, und so praktisch brauchbare Streifenmodelle .

Methoden und Algorithmen zur Berechnung von Streifenmodellen werden im Folgenden noch genauer beschrieben werden. Zunächst wird noch auf einige praktisch wichtige Klassen von Streifenmodellen eingegangen.

Krümmungsstreifen-Modelle sind das semi-diskrete Gegenstück zum Netz aus Krümmungslinien k auf einer glatten Fläche, oder auch zu den bekannten diskreten Versionen dieser Netze, wie z.B. die zirkulären oder konischen Vierecksnetze, wie sie im österreichischen Patent Nr. 503.021 beschrieben werden. Bei einem Krümmungsstreifen-Modell sind die Erzeugendenpolygone annähernd rechtwinklig zu den Kantenkurven K. Hat man eine glatte unterliegende Freiformfläche, so kann man sie dadurch konstruieren, dass man eine Folge von Krümmungslinien k auf der Freiformfläche auswählt, und diese dann durch abwickelbare Streifenelemente S verbindet. Ebenso kann man von einer diskreten Variante ausgehen und diese durch Verfeinerung und Optimierung zu einem Krümmungsstreifen-Modell machen. Folgende direkte Kennzeichnungen von Krümmungsstreifen- Modellen sind für deren Berechnung geeignet, wobei hierzu auch auf die Fig. 2a und 2b verwiesen wird.

(a) Zirkuläre Modelle. Hier trifft jede Erzeugende E eines Streifenelements S die beiden Kantenkurven K unter gleichem Winkel. Deshalb gibt es einen in der

Tangentialebene der Erzeugenden E liegenden Kreis, der die beiden Kantenkurven K in den Endpunkten der Erzeugenden E berührt.

(b) Konische Modelle. Hier hat man in jedem Punk p einer Kantenkurve K denselben Winkel zwischen der Tangente an die Kantenkurve K und den beiden dort endenden Erzeugenden E von Streifen. Daher gibt es einen Drehkegel mit Spitze p, welcher die anliegenden Streifenelemente S längs Erzeugenden E berührt.

(c) Approximative Krümmungsstreifen-Modelle . Für viele praktische Aufgaben wird es ausreichen, die Bedingungen

(a) und (b) , oder eine Kombination derselben, als "weiche" Nebenbedingungen mittels Penalty-Termen in einen Optimierungs-Algorithmus einzubauen. Die erhaltenen Streifenmodelle haben ähnliche Eigenschaften wie die Modelle in (a) oder (b) .

Ein Vorteil von Krümmungsstreifen-Modellen ist die Existenz von Offsets. Zur Erzeugung eines Offsets eines Modelles M kann man zuerst ein paralleles sphärisches Modell M _s berechnen . Dies ist ein Streifenmodell, welches eine Kugel S (vom Radius 1) approximiert und in einer eindeutigen Korrespondenz zu M so steht, dass entsprechende Erzeugenden E und Kantenkurven- Tangenten von M und M _s parallel sind. Bei einem zirkulären Modell M liegen die Kantenkurven K von M _s auf der Kugel S. Für ein konisches M sind die Streifen des parallelen Modells M _s der Kugel S berührend umschrieben. Im Falle eines approximativen Krümmungsstreifen-Modells nähert M _s die Kugel S gut an.

Nun lassen sich die Offsets leicht analytisch beschreiben. Hierbei sei S im Ursprung des verwendeten Koordinatensystems zentriert. Falls p den Koordinatenvektor eines Punktes einer Kantenkurve K von M bezeichnet und p _s den dazu gehörenden Punkt von M _s beschreibt, dann ist p _d = p + d p _s der entsprechende Punkt der Kantenkurve K des Offset-Modells M _d von M im Abstand d. Der Vektor p _s wird als Normalvektor von M in p verwendet. Bei einem konischen Modell liegt dieser Vektor in der Achse der oben beschriebenen berührenden Drehkegel.

Der konstante Offset-Abstand d wird wie folgt gemessen: Bei einem zirkulären Modell tritt er zwischen entsprechenden Punkten p und p _d auf Kantenkurven K des Ausgangsmodells und des Offsets auf. Bei einem konischen Modell M liegen entsprechende Erzeugenden E und Tangentialebenen der Streifenelemente S von M und M _d im konstanten Abstand d (siehe auch Fig. 3 ) .

Die von den Verbindungsstrecken entsprechender Punkte p und p _d gebildeten Regelflächen-Streifen zwischen entsprechenden Kantenkurven K („Normalenflächen") sind abwickelbar. Die daraus resultierenden bautechnischen Vorteile werden im Folgenden noch genauer beschrieben. Dies gilt auch für approximative Krümmungsstreifen-Modelle .

Des Weiteren ist anzumerken, dass man durch Optimierung auch Offsets und abwickelbare „Normalenflächen" (Verbindungsflächen von Kantenkurven K auf Basis und Offset) für beliebige abwickelbare Streifenmodelle berechnen kann. Es wird aber eventuell stärkere Abweichungen in den zwischen Basis und Offset auftretenden Abständen geben, bzw. werden die Normalenflächen nicht mehr annähernd rechtwinklig zu Basis und Offset stehen.

Eine Sonderform eines Streifenmodells stellt das geodätische Modell dar, wie es in der Fig. 4a abgebildet ist. Ein geodätisches Modell ist ein Streifenmodell, dessen abwickelbare Streifen den geodätischen Linien einer unterliegenden glatten Fläche folgen. Als Konsequenz ergibt sich, dass die Abwicklung der Streifenelemente S nahezu geradlinig ist. Solche Modelle können auch wie folgt direkt gekennzeichnet werden: In jedem Punkt p einer Kantenkurve K bilde die Schmiegebene der Kantenkurve K gleiche Winkel mit den Tangentialebenen der anliegenden Streifenelemente S (siehe hierzu auch Fig. 4b) . Daher hat die Kantenkurve K für die beiden Streifenelemente S denselben Betrag der geodätischen Krümmung und in der Abwicklung der beiden Streifenelemente S

wird die Kantenkurve K auf gegensinnig kongruente Kurven abgebildet (siehe Fig. 4c). Geodätische Modelle sind gut für die Bedeckung gekrümmter Freiformflächen mit langen Paneelen geeignet, etwa aus Holz, welche eine fast geradlinige Abwicklung besitzen. Dabei kann es notwendig sein, eine Freiformfläche mit mehreren geodätischen Modellen variierender Richtung zu überdecken.

Zylindrische Modelle besitzen Streifenelemente S aus allgemeinen Zylinderflächen (siehe auch Fig. 5a). Man kann diese Modelle durch Verschneidung berührend umschriebener Zylinder einer gegebenen Freiformfläche konstruieren, wie in den Fig. 5a-5c gezeigt ist. Die im Folgenden beschriebenen Optimierungs-Algorithmen sind ebenfalls dafür verwendbar.

Da Zylinder, insbesondere Drehzylinder, in gewissen Materialien (z.B. Glas) leichter herstellbar sind, als allgemeine abwickelbare Paneele, wird man gelegentlich versuchen, möglichst zylindrische Paneele zu verwenden. Es ist dafür nicht notwendig, ein zylindrisches Modell zu benutzen und eine einzige Zylinderfläche pro Streifenelement S vorzusehen. Vielmehr wird man ein allgemein abwickelbares Streifenelement S in Paneele zerlegen und jedes Paneel durch einen Zylinder (insbesondere Drehzylinder) approximieren. Dies ist insbesondere dann gut möglich, wenn die Gratpunkte des Streifenelements S weit vom Streifenelement S entfernt sind. Die Approximation mit Drehzylindern ist eine Standard-Aufgabe der geometrischen Datenverarbeitung und kann mittels bekannter Algorithmen für die Flächenapproximation und die Registrierung erfolgen. Letztgenanntes Verfahren ist dann einzusetzen, wenn man nur eine endliche fest vorgegebene Zahl möglicher Zylinderradien einzuhalten hat. Solange die Approximation innerhalb der Fertigungstoleranzen (oder der Toleranzen für die Kaltbiegung von Glas) liegen, ist diese Methode einwandfrei durchführbar.

Kegelige Modelle besitzen Streifenelemente S aus allgemeinen Kegelflächen. Es gilt hier ganz Analoges wie bei den

zylindrischen Modellen. Man kann kegelige Modelle durch Verschneidung berührend umschriebener Kegel einer gegebenen Freiformfläche konstruieren.

Will man aus fertigungstechnischen Gründen Drehkegel als Paneele einsetzen, so kann man wiederum allgemeine abwickelbare Streifenelemente S in Paneele zerlegen und pro Paneel mit bekannten Verfahren einen approximierenden Drehkegel berechnen. Es ist aus der Theorie der abwickelbaren Flächen bekannt (etwa wegen der Existenz des so genannten Krümmungskegels), dass eine Segmentierung in Drehkegel gut möglich ist.

Abschließend soll nun kurz auf Modelle mit ebenen Kantenkurven K eingegangen werden. Bei der Umsetzung der Kantenkurven K eines Streifenmodells in Verbindungselemente 1,2 ergeben sich nämlich Vorteile bei der Fertigung der Verbindungselemente 1,2, wenn diese in Ebenen liegen. Die Ebenheit von Kantenkurven K kann in die unten stehende Optimierung eingebaut werden. Es ergibt sich aber auch die Möglichkeit, eine Folge ebener Schnitte einer gegebenen Freiformfläche durch abwickelbare Streifenelemente S zu verbinden. Dabei ist zu beachten, dass ein Streifenmodell eine semi-diskrete Version eines konjugierten Kurvennetzes darstellt. Daher sollten ebene Schnitte vermieden werden, welche Schmiegrichtungen der Freiformfläche berühren (diese generieren Wendepunkte in den ebenen Schnitten) .

Stückweise ebene Kantenkurven K sind noch einfacher zu erzielen. Eine ganz einfache und praktikable Lösung wird die Kantenkurven K eines beliebigen Streifenmodells durch so genannte Kreis-Splines (arc splines) approximieren und dann eventuell neue, an die modifizierten Kantenkurven angepasste abwickelbare Streifenelemente S einfügen.

Im Folgenden werden nun mögliche Optimierungs-Algorithmen zur Berechnung von Streifenmodellen beschrieben. Die Berechnung eines Streifenmodells erfolgt mit Hilfe eines numerischen

Optimierungs-Algorithmus. Die i-te Kantenkurve K wird als B- Spline-Kurve, etwa vom Grad 3 und mit uniformen Knoten, angesetzt als

Aufeinanderfolgende Kantenkurven K werden durch lineare Interpolation der beiden Kurvendarstellungen zu einem Streifenelement S verbunden:

XiO, v) = (l - v)PiM 4- vPi+iM

Das so beschriebene System von Streifenelementen S aus Regelflächen wird einer Optimierung unterworfen, welche die Abwickelbarkeit, die Nähe zu einer Referenzfläche und die Glattheit des entstehenden Modells beschreibt. Damit ergibt sich für die Optimierung eine Zielfunktion der Gestalt

^F = + ™4/glatt

Die einzelnen Terme sind wie folgt definiert:

Die Abwickelbarkeit des i-ten Streifens wird durch Minimierung von

/ _Ab w = ∑iJδ _Pι , _Pτ+1 M ² du

erreicht. Der Integrand bezeichnet den quadrierten Abstand der Diagonalen im Viereck

Hierin deuten Punkte Ableitungen nach dem Kurvenparameter u an. Diese Vierecke müssen nämlich bei einer abwickelbaren Fläche eben ausfallen. Damit die Abweichung eine für die Konstruktion praktische Bedeutung erhält, werden die Punkte auf den Tangenten gleich der Länge der Erzeugendenstrecke gewählt, es wird also gesetzt:

II

Die Nähe zu einer Referenzfläche R wird durch

/Flaeche = ∑fc dist(x _fc , T _k ) ²

gesteuert. Hierin sind die Punkte x _k hinreichend dicht auf dem Streifenmodell gewählt und T _k bezeichnet die Tangentialebene der Referenzfläche R in dem zu x _k nächstgelegenen Punkt der Referenzfläche R. Es werden also quadrierte Abstände zu Tangentialebenen der Referenzfläche R minimiert. Dies muss nicht genau so geschehen, konvergiert aber schneller als quadrierte Abstände zu nächstgelegenen Punkten der Referenzfläche R. Um Ränder einzuhalten werden Tangenten t _k an die gegebenen Ränder der Referenzfläche R anstelle von Tangentialebenen verwendet,

/Rand = σfc Clist(x _fc , t _fc ) ²

Schließlich ist es vor allem in einer Anwendung wie in der Architektur, wo die ästhetik eine große Rolle spielt, wichtig, auch eine bestmögliche Glattheit (ästhetik) des Streifenmodells zu erzielen. Der dafür verantwortliche Term in der Optimierung ist eine Kombination eines Terms, der für die Glattheit der Kantenkurven K verantwortlich ist,

/g _l att/ ₁ = σ% S du

und eines Terms, der die ästhetik der dazu transversalen Erzeugendenpolygone positiv beeinflusst,

/glatt/2 = / ( ∑« I|P*+1 ^{~ 2} Pi + P*-l l| ² ) ^du

Hier wurden linearisierte Biegeenergien, also Integrale über die Quadrate der zweiten Ableitungen oder deren numerische Approximationen, verwendet. Es können aber auch dritte

Ableitungen, am besten Kombinationen von zweiten und dritten Ableitungen, zum Einsatz kommen.

Für spezielle Modelle, wie z.B. zirkuläre oder konische Modelle, muss natürlich noch ein Term hinzugefügt werden, der die kennzeichnende Eigenschaft des jeweiligen Modells beinhaltet. Exemplarisch sei dies für das zirkuläre Modell ausgeführt,

/zirk = /(Pi ₊ ¹ I ^" Pi, -fPzuII + |IiPz±+7l|lϊl} ² du

Ganz analog geht man in den anderen Fällen vor.

Zur eigentlichen numerischen Optimierung können verschiedene bekannte Verfahren der nichtlinearen Optimierung dienen. Dies hängt von der gewünschten Präzision ab, mit der die einzelnen Anfordernisse erreicht werden sollen. In vielen Fällen reicht es, den hier beschriebenen Penalty-Ansatz zu verfolgen. Man hat auf eine geeignete Steuerung der Gewichte W ₁ im Laufe des iterativen Verfahrens zu achten. Es können aber auch Verfahren der restringierten Optimierung eingesetzt werden.

Sehr wichtig ist eine geeignete Initialisierung der Optimierung. Diese kann von der diskreten Seite her oder von der kontinuierlichen Seite her erfolgen. Je nach Modelltyp legt man im erstgenannten Fall die Startversion des Streifenmodells mittels einer diskreten Version desselben fest (Vierecksnetz mit ebenen Maschen, konisches Netz, usw., wie im österreichischen Patent Nr. 503.021 beschrieben) . Im zweit genannten Fall verwendet man eine kontinuierliche Version (konjugiertes Netz, Netz der Krümmungslinien k, usw.) .

Hinsichtlich der Realisierung eines Streifenmodells etwa als architektonische Tragstruktur, oder im Boots- oder Schiffsbau gibt es verschiedene Möglichkeiten, Streifenmodelle einzusetzen. Diese hängen von den verwendeten Materialien, Kosten, vorhandenen Konstruktionstechnologien und auch ästhetischen und strukturellen überlegungen ab. Im Folgenden

werden einige Möglichkeiten angeführt, Mischformen sind dabei denkbar und werden nicht explizit beschrieben.

Zur Realisierung einer ersten Variante eines Mehrschicht- Aufbaus wird etwa von einem Streifenmodell M (am besten ein Krümmungsstreifen-Modell) ausgegangen, sowie von einem Offset M _d dieses Modells. Entsprechende Kantenkurven K von Basismodell und Offset lassen sich durch abwickelbare Flächen verbinden. Ebenso können auf dem Streifenmodell M eine Folge von Erzeugendenpolygonen ausgewählt werden, und durch Ebenenstücke mit den entsprechenden Erzeugendenpolygonen auf M _d verbunden werden. Dadurch ergibt sich ein Schichtaufbau aus zum Teil gekrümmten "quaderförmigen" Elementen, als deren Seitenflächen nur Ebenen und abwickelbare Flächen auftreten. Die auftretenden Knoten sind torsionsfrei. Ein solcher Mehrschicht-Aufbau ist etwa in der Fig. 6 gezeigt. Auch wenn die Fig. 6 nur 2 Schichten zeigt, können natürlich auch mehr Schichten in dieser Weise realisiert werden.

In modernen Konstruktionen werden allerdings oft verschiedene Funktionen (ästhetik, Struktur, Wasserdichtung, Isolierung, Lüftung, usw.) in verschiedene technische Elemente getrennt. Es ist dabei nicht notwendig, alle diese Elemente zu krümmen. Daher wird eine zweite Variante eines Mehrschicht-Aufbaus vorgeschlagen, bei der die Haupttragstruktur über ein Vierecksnetz mit ebenen Maschen realisiert wird, und darauf, eventuell zu beiden Seiten, Streifenmodelle aufgesetzt werden. Der natürliche, durch die geometrischen Sachverhalte begründete enge Zusammenhang zwischen Streifenmodellen und Vierecksnetzen mit ebenen Maschen legt es nämlich nahe, diese beiden Geometrien in einer einzigen Struktur zu verbinden, wie dies in der Fig. 7 dargestellt ist. Die Berechnung kann ausgehend von einem Vierecksnetz P mit ebenen Maschen, wie etwa im österreichischen Patent Nr. 503.021 beschrieben wurde, und einem Offset Pd von P erfolgen. Man konstruiert aus Pd ein Streifenmodell M durch den oben beschriebenen Optimierungsansatz, wobei man die Knoten von P _d (eventuell innerhalb einer gegebenen Toleranz) interpoliert. Es kann die

Optimierung auch so eingesetzt werden, dass sich konstante Abstände zwischen den Knotenpunkten von P und den entsprechenden Auflagerpunkten des Streifenmodells M ergeben. Die Haupttragstruktur kann nun durch die mit P verbundene torsionsfreie Auslegung geradliniger Verbindungselemente 1,2 realisiert werden.

In einer dritten Variante eines Mehrschicht-Aufbaus kann im obigen Mehrschichtaufbau das Netz P in der endgültigen Ausführung auch weggelassen werden, wobei die Streifenmodelle zu beiden Seiten von P in verschiedenen Richtungen ausgelegt werden (siehe Fig. 8). Hierbei ist interessant, dass sich die geradlinigen Elemente außen und innen in verschiedenen Richtungen anordnen, und sich so ein strukturell bemerkenswerter, völlig neuartiger Aufbau ergibt.

Im Folgenden wird nun näher auf die Konstruktion von Verbindungselementen 1,2 und Paneel-Fixierungen, welche die Kantenkurven K und damit verbundene abwickelbare Flächen berücksichtigen, eingegangen. Die Kantenkurven K der Streifenmodelle treten hierbei als Längskanten L der Tragstruktur auf. Zur Konstruktion der Tragstruktur für eine auf einem Streifenmodell beruhende Freiformfläche, etwa in einer architektonischen Anwendung, kann man nämlich die geometrischen Eigenschaften der Streifenmodelle zur Auslegung und Fertigung der Verbindungselemente 1,2, etwa als Träger, heranziehen. Diese beruht im Wesentlichen auf abwickelbaren Flächen, welche mit den Kantenkurven eines Streifenmodells verknüpft sind.

Eine Möglichkeit zur Verwirklichung der Verbindungselemente 1,2 besteht etwa in Form von I-Trägern. Ein I-Träger besteht aus drei Teilen, nämlich einem oberen Flansch 3 und einem unteren Flansch 4, die vor allem axialen Druck aufnehmen, und einem Kern 5, der vor allem Scherungsbelastung trägt (siehe Fig. 9 und 10) . Es ist möglich, einen gekrümmten Träger getrennt aus diesen drei Teilen zu fertigen. Dabei ist es von Vorteil, wenn alle drei Teile abwickelbar sind. Man schneidet

zuerst die Abwicklung des Verbindungselements 1,2 aus dem gewünschten Material (z.B. Stahl) aus, und biegt es dann in die endgültige Form. Das Moment der drei verbundenen Teile ist höher als das jedes einzelnen, und daher ist die getrennte Fertigung ein Vorteil.

Wie aus der Fig. 10 ersichtlich ist, liegen der obere Flansch 3 und der untere Flansch 4 annähernd tangential an Offsets des zugrunde liegenden Streifenmodells, der Kern 5 normal dazu. Die Streifenelemente S werden dabei eine Beschichtung 7 aufweisen, die an die geforderten baulichen Anforderungen anzupassen sein wird. Dabei ist es möglich, dass in der baulichen Umsetzung einer erfindungsgemäßen Tragstruktur die Streifenelemente S nicht gänzlich aneinander stoßen, sondern zwei aneinander liegende Streifenelemente S in einer Aufnahme 6 in geringem Abstand voneinander gehalten sind. Die Aufnahme 6 stellt dabei etwa auch die geforderte Wasserdichtheit sicher. In der Fig. 10 sind auch die gedachten Verlängerungen S' zweier aneinander liegender Streifenelemente S strichliert eingezeichnet, die sich in der Längskante L schneiden. Diese Längskante L entspricht der Kantenkurve K des zugrunde liegenden Streifenmodells.

Krümmungsstreifen-Modelle weisen hierzu eine Reihe von Vorteilen auf. Es existieren Offsets, und durch Verbindung entsprechender Kantenkurven K von Basis und Offset erhält man eine abwickelbare Fläche. Diese kann als Kern 5 des Verbindungselements 1,2 dienen. Die beiden Flansch-Teile 3,4 werden annähernd tangential an geeignete Offsets des Streifenmodells ausgebildet. Für die Biegung der Flansch-Teile 3,4 ist es von Vorteil, dass die Erzeugenden E des zugrunde liegenden Streifenmodells annähernd rechtwinklig zum Rand liegen .

Wenn ein Verbindungselement 1,2 einer Kantenkurve K eines geodätischen Streifenmodells folgt, besitzen die beiden Flansch-Teile 3,4 eine geradlinige Abwicklung. Dann ist jedoch der Kern 5 nur dann abwickelbar ausführbar, wenn er nicht

rechtwinklig zum Flansch 3,4 verläuft. Eine Verbindung der beiden Flansch-Teile 3,4 durch ein System von geraden Verbindungsbalken in einer gekreuzten Anordnung kann dann den Kern 5 ersetzen, wie in der Fig. 11 dargestellt ist. Für ein Modell mit ebenen Kantenkurven K kann jedenfalls der Kern 5 in dieser Ebene gewählt werden, sobald der Schnittwinkel zwischen der zugrunde liegenden Freiformfläche und der Ebene an keiner Stelle nicht zu flach wird. Dieser Winkel tritt nämlich auch als Winkel zwischen den Flansch-Teilen 3,4 und dem Kern 5 auf.

Schließlich kann der Kern 5 eines Verbindungselements 1,2 aus mehreren, aneinander gleitenden Schienenteilen 5a gefertigt werden, welche erst in der endgültigen Stellung fixiert werden (Fig. 12) . Je nach Belastung der Hüllgeometrie kann auch ein H-Träger besser eingesetzt werden als ein I-Träger. Hier gelten völlig analoge Betrachtungen. Es ist von Vorteil, wenn die drei Teile eines H-Trägers nicht stark gebogen werden müssen, also fast eben ausfallen. Gerade bei Modellen mit ebenen Kantenkurven K kann diese Variante von Interesse sein.

Eine weitere, mit Streifenmodellen gut zu verknüpfende Tragstruktur ist durch Rohrträger (mit kreisförmigem Querschnitt) gegeben. Man legt die Mittenlinie des Rohrs in konstantem Abstand zum Modell aus (etwa Kantenkurve K auf einem Offset) . Hier ist es ein Vorteil, wenn die Mittenlinie durch eine glatt aneinander gereihte Folge von Kreissegmenten ausgebildet ist, weil diese Rohre leicht erhältliche Standard- Teile sind.

Schließlich soll noch auf die Möglichkeit eingegangen werden, in schwach gekrümmten Bereichen ebene Paneele 8 einzusetzen (siehe Fig. 13) . Bei der Auswahl von Paneel-Typen für eine gegebene Freiformgeometrie spielen nämlich Kostenfragen eine wichtige Rolle. Daher ist es sinnvoll, in jenen Bereichen, in denen das abwickelbare Paneel nur sehr wenig von einer Ebene abweicht, ebene Paneele 8 vorzusehen. Der enge theoretische und algorithmische Zusammenhang zwischen Modellen aus abwickelbaren Streifen und ebenen Vierecksnetzen macht es

dabei sehr einfach, ebene Paneele 8 in den schwach gekrümmten Bereichen einzubauen. Ein Kriterium für die Wahl eines ebenen Flächenelements anstelle eines sehr schwach einfach gekrümmten Paneels 10 ist der längs der Längskanten L anschließender Paneele auftretende Knickwinkel. Wenn dieser unterhalb einer von den ästhetischen Ansprüchen und dem Oberflächenverhalten des Materials (Reflexionseigenschaften) abhängigen Schranke liegt, wird man ebene Paneele 8 vorsehen. Alle oben angegebenen Mehrschichtaufbauten und Trägerauslegungen lassen sich sinngemäß auch in diesem hybriden Fall (ebene und einfach gekrümmte Paneele) anwenden.

In stark gekrümmten Bereichen können hingegen auch zweifach gekrümmte Paneele 9 eingesetzt werden (siehe Fig. 14). Die erfindungsgemäße Tragstruktur schließt dabei nicht aus, dass abschnittsweise auch zweifach gekrümmte Panelle 9 eingefügt werden, wenn in einzelnen Bereichen die Krümmung in beiden Hauptrichtungen so stark ist, dass die längs der Kantenkurven K eines Streifenmodells auftretenden Knickwinkel zu groß werden. Die Geometrie kann grundsätzlich direkt von der unterliegenden Freiformgeometrie genommen werden. Falls die Fertigung der Paneele gewisse Typen zweifach gekrümmter Paneele 9 bevorzugt, kann man anstelle der gegebenen Freiformgeometrie auch ein zweifach gekrümmtes Paneel 9 verwenden, welches von diesem, einfacher herstellbaren Typ ist, und die gegebene Geometrie im Rahmen der gewünschten Toleranzen approximiert. Insgesamt sind alle oben angegebenen Mehrschichtaufbauten und Trägerauslegungen sinngemäß auch im hybriden Fall (ebene Paneele 8, einfach gekrümmte Paneele 10 und zweifach gekrümmte Paneele 9) anzuwenden.

Somit ist ersichtlich, wie vielfältig eine erfindungsgemäße Tragstruktur zur baulichen Realisierung von Freiformflächen angewendet werden kann. Die erfindungsgemäße Umsetzung von Freiformflächen verringert dabei die technischen und ökonomischen Anforderungen, und befriedigt dennoch ästhetische Ansprüche. Insbesondere können Montageaufwand und -kosten möglichst gering gehalten werden. Des Weiteren besteht auch

die Möglichkeit eines problemlosen Mehrschichtaufbaus, also eine parallel versetzte Montage mehrerer, ebener Flächenelemente. Des Weiteren wird die Anzahl an Verbindungselementen 1,2 im Vergleich zu bekannten Tragstrukturen auf Basis von planaren Flächenelementen in Dreiecks-, Vierecks- oder Sechseckform verringert.