次に、本発明を実施するための最良の形� ��を実施例を用いて説明する。

 図1は、本発明の第1実施例としてのロボ� �ト装置20の外観を示す外観図であり、図2は� �ロボット装置20の構成の概略を示す構成図で ある。第1実施例のロボット装置20は、二足歩 行を行なう二足歩行ロボット22と、二足歩行� ��ボット22を操作する操作装置30と、を備える 。

 二足歩行ロボット22は、kn個の関節と、各関 節k(kは1≦k≦knを満たす整数)の角度θ _k を変化させる図示しないアクチュエータ(例� �ば、電動モータなど)とを有し、アクチュエ� ��タの駆動により各関節kの角度θ _k を変化させて二足歩行を行なう。

 操作装置30は、主として二足歩行ロボット22 の歩容を生成する制御ユニット32と、二足歩� ��ロボット22の歩行指示を行なうために操作� �が操作するジョイスティック40と、を備える 。制御ユニット32は、中央処理演算回路とし� ��のCPU34を中心とするマイクロコンピュータ� �して構成されており、CPU34の他に、処理プロ グラムなどを記憶するROM36や一時的にデータ� ��記憶するRAM38,図示しない入出力ポートを備� ��る。制御ユニット32には、ジョイスティッ� �40の傾斜方向や傾斜角を検出する傾斜検出セ ンサ42からのジョイスティック40の傾斜方向� �傾斜角,二足歩行ロボット22の各関節kに取り� ��けられた角度センサからの各関節kの角度θ _k などが入力されており、制御ユニット32から� ��、二足歩行ロボット22の各関節kの角度θ _k を変化させる図示しないアクチュエータへの 駆動信号などが出力されている。第1実施例� �は、主として、制御ユニット32が歩容生成装 置に相当する。

 次に、こうして構成されたロボット装置20� �動作、特に、二足歩行ロボット22が停止して いる状態で操作者によりジョイスティック40� ��操作されて二足歩行ロボット22が歩行する� �の動作について説明する。図3は、制御ユニ� ��ト32により実行される歩容生成処理ルーチ� �の一例を示すフローチャートである。この� �ーチンは、操作者によりジョイスティック40 が操作されて傾斜検出センサ42から傾斜方向� ��傾斜角が入力されたときに実行される。以� ��、説明の都合上、ジョイスティック40から� �操作に応じて歩行を開始する歩行開始時刻� �時刻t ₀ ,歩行を終了する歩行終了時刻を時刻t _f とし、時刻t ₀ ~時刻t _f をM区間に分割したときの各区間の境界の時� �および歩行終了時刻を時刻t _j (jは1≦j≦fを満たす整数)とし、時刻t _j-1 ~時刻t _j を区間J(Jは1≦J≦Mを満たす整数)として説明� �る。また、区間の境界は、第1実施例では、� ��脚支持期から両脚支持期に移行する時刻を� ��いるものとした。したがって、例えば、5歩 の歩行を行なうときには、5区間に分割する� �とになる。

 歩容生成処理ルーチンが実行されると、制� ��ユニット32のCPU34は、まず、区間1~区間Mの各 区間Jの任意の時刻tにおける二足歩行ロボッ� ��22のゼロモーメント位置(ZMP)のx,y成分px ^(J) (t),py ^(J) (t)や、歩行開始時刻t ₀ および歩行終了時刻t _f における二足歩行ロボット22の重心のx,y成分x (t ₀ ),y(t ₀ ),x(t _f ),y(t _f ),歩行開始時刻t ₀ や時刻t ₁ ~歩行終了時刻t _f の各時刻t _j における重心のz成分z(t ₀ ),z(t _j )(1≦j≦f)およびその変化速度(z(t ₀ )の一階微分),(z(t _j )の一階微分),二足歩行ロボット22の足の位置� ��ど制御に必要などデータを入力する処理を� ��行する(ステップS100)。これらのデータは、� ��1実施例では、図4に例示するゼロモーメン� �位置等設定処理により設定されたものを入� �するものとした。図4のゼロモーメント位置� ��設定処理では、傾斜検出センサ42からジョ� �スティック40の傾斜方向や傾斜角を入力し(� �テップS200)、入力したジョイスティック40の� ��斜方向や傾斜角に基づいて歩幅δxaや両足の 間隔δya,歩行周期(単脚指示時間と両脚指示時 間との和に応じた時間)δTなどを設定し(ステ� ��プS210)、設定した歩幅δxaや両足の間隔δyaに 基づいて二足歩行ロボット22の足の位置を設� ��し(ステップS220)、設定した足の位置や歩行� ��期δTなどに基づいて区間1~区間Mの各区間Jの 任意の時刻tにおけるゼロモーメント位置(ZMP) のx,y成分px ^(J) (t),py ^(J) (t)をそれぞれ式(33),(34)により表わされるn1次� ��,n2次式(n1,n2は値0以上の整数)として設定す� �と共に(ステップS230)、歩幅δxaや両足の間隔� �ya,歩行周期δTなどに基づいて歩行開始時刻t ₀ および歩行終了時刻t _f における二足歩行ロボット22の重心のx,y成分x (t ₀ ),y(t ₀ ),x(t _f ),y(t _f )や、歩行開始時刻t ₀ や時刻t ₁ ~歩行終了時刻t _f の各時刻t _j における重心のz成分z(t ₀ ),z(t _j )およびその変化速度(z(t ₀ )の一階微分),(z(t _j )の一階微分)を設定して(ステップS240)、この� ��ーチンを終了する。図4のゼロモーメント位 置等設定処理のステップS220で設定された二� �歩行ロボット22の足の位置の一例を図5に示� �、ステップS230で設定されたゼロモーメント� ��置(ZMP)のx,y成分px(t),py(t)と時刻tとの関係の� �例を図6に示す。なお、両足の間隔δyaは、ジ ョイスティック40の傾斜方向や傾斜角に拘わ� ��ず一定の値を用いるものとしてもよい。ま� ��、歩行開始時刻t ₀ における重心のx,y,z成分x(t ₀ ),y(t ₀ ),z(t ₀ )は、二足歩行ロボット22の重心の位置を検出 する図示しないセンサからの重心のx,y,z成分x (t ₀ ),y(t ₀ ),z(t ₀ )を用いるものとしてもよい。

 こうしてデータを入力すると、区間Jに値1� �設定すると共に(ステップS110)、時刻t _j-1 ,t _j における重心のz成分z(t _j-1 ),z(t _j )およびその変化速度(z(t _j-1 )の一階微分),(z(t _j )の一階微分)と次式(35)とに基づいて図6に例� �する重心z成分演算処理により区間Jの任意の 時刻tにおける重心のz成分z ^(J) (t)を演算する(ステップS120)。図7の重心z成分� ��算処理では、時刻t _j-1 ,t _j における重心のz成分z(t _j-1 ),z(t _j )を式(35)の右辺の「t」を「t-t _j-1 」に置き換えた式(36)に代入した2つの方程式� ��、時刻t _j-1 ,t _j における重心のz成分z(t _j-1 ),z(t _j )の変化速度(z(t _j-1 )の一階微分),(z(t _j )の一階微分)を式(35)の両辺を「t」で微分し� �ものの右辺の「t」を「t-t _j-1 」に置き換えた式(37)に代入した2つの方程式� ��、の4つの方程式を連立して解くことにより 、区間Jの「C _z1 ^(J) 」,「C _z2 ^(J) 」,「a ₁ ^(J) 」,「a ₀ ^(J) 」を演算すると共に(ステップS300)、演算した 区間Jの「C _z1 ^(J) 」,「C _z2 ^(J) 」,「a ₁ ^(J) 」,「a ₀ ^(J) 」を式(36)に代入して区間Jの任意の時刻tにお ける重心のz成分z ^(J) (t)を演算して(ステップS310)、重心z成分演算� �理を終了する。ここで、式(35)~(37)中、「I」, 「K」は、それぞれ第1種変形Bessel関数,第2種� �形Bessel関数であり、式(35),(36)中、「I ₁ 」,「K ₁ 」は、式(38),(39)における「ν」に値1を設定し たものにより表わされ、式(37)中、「I ₀ 」,「K ₀ 」は、式(38),(39)における「ν」に値0を設定し たものにより表わされる。また、式(38),(39)に おける「φ ₁ 」は、式(40)により表わされる。さらに、式(3 8)中、「γ」はGamma関数である。各区間Jの任� �の時刻tにおける重心のz成分z ^(J) (t)の演算の際に式(35)を用いる理由について� �後述する。なお、ステップS300の連立方程式� ��解く処理は、例えば、Newton法などにより行� ��うことができる。こうして区間Jの任意の時 刻tにおける重心のz成分z ^(J) (t)を演算すると、区間Jが区間Mであるか否か� ��判定し(ステップS130)、区間Jが区間Mでない� �きには、区間Jに値1を加えて(ステップS140)、 ステップS120に戻る。このようにして、区間1~ 区間Mの各区間Jの任意の時刻tにおける重心の z成分z ^(J) (t)を演算するのである。

 そして、ステップS130で区間Jが区間Mである� ��判定されると、演算した区間1~区間Mの各区� ��Jの「a ₁ ^(J) 」,「a ₀ ^(J) 」と、各区間Jの任意の時刻tにおけるゼロモ� ��メント位置(ZMP)のx成分px ^(J) (t)と、時刻t ₀ ,t _f における重心のx成分x(t ₀ ),x(t _f )と、次式(41)とに基づいて図7に例示する重心 x成分演算処理により各区間Jの任意の時刻tに おけるx成分x ^(J) (t)を演算すると共に(ステップS150)、各区間J� �「a ₁ ^(J) 」,「a ₀ ^(J) 」と、各区間Jの任意の時刻tにおけるゼロモ� ��メント位置(ZMP)のy成分py ^(J) (t)と、時刻t ₀ ,t _f における重心のy成分y(t ₀ ),y(t _j )と,式(42)とに基づいて図示しない重心y成分� �算処理により各区間Jの任意の時刻tにおける 重心のy成分y ^(J) (t)を演算する(ステップS160)。各区間Jの任意� �時刻tにおける重心のx,y成分x ^(J) (t),y ^(J) (t)は、前述の式(41),(42)が同様の構造の式であ り、同様に演算することができるため、ここ では、重心のx成分x ^(J) (t)の演算処理について説明し、重心のy成分y ^(J) (t)の演算処理の詳細な説明は省略する。なお 、式(41),(42)中、「B1 _i 」,「B2 _i 」は、それぞれ式(43),(44)により表わされる。 図8の重心x成分演算処理では、式(41)の右辺の 「t」を「t-t _j-1 」に置き換えた式(45)に歩行開始時刻(区間1の 開始時刻)t ₀ における重心のx成分x(t ₀ )を代入すると共にその式(45)の「j」と「J」� �に共に値1を設定した式(46)と、式(45)に歩行� �了時刻(区間Mの終了時刻)t _f における重心のx成分x(t _f )を代入すると共にその式(45)の「j」,「J」に� ��れぞれ「f」,「M」を設定したした式(47)と、 連続する二つの区間の境界における重心のx� �分x(t)が連続する条件を満たす式(48)により表 わされる(M-1)個の式と、同じく連続する二つ� ��区間の境界における重心のx成分x(t)の変化� �度(x(t)の一階微分)が連続する条件を満たす� �(49)により表わされる(M-1)個の式と、の2M個の 方程式を連立して解くことにより、各区間J� �「C _x1 ^(J) 」,「C _x2 ^(J) 」を演算すると共に(ステップS400)、演算した 各区間Jの「C _x1 ^(J) 」,「C _x2 ^(J) 」と「a ₁ ^(J) 」,「a ₀ ^(J) 」とを式(45)に代入して各区間Jの任意の時刻t における重心のx成分x ^(J) (t)を演算して(ステップS410)、重心x成分演算� �理を終了する。ここで、式(41),(42),(45)~(48)中� ��「I ₁ 」,「K ₁ 」は、式(38),(39)における「ν」に値1を設定し たものにより表わされ、式(49)中、「I ₀ 」,「K ₀ 」は、式(38),(39)における「ν」に値0を設定し たものにより表わされる。また、式(38),(39)に おける「φ ₁ 」は、式(40)により表わされる。ステップS400� ��連立方程式を解く処理は、前述のステップS 300の処理と同様にNewton法などにより行なうこ とができる。このように連続する二つの区間 の境界における重心のx成分x(t)およびその変� ��速度(x(t)の一階微分)が連続する式を用いて� ��区間Jの「C _x1 ^(J) 」,「C _x2 ^(J) 」を演算すると共にこの「C _x1 ^(J) 」,「C _x2 ^(J) 」を用いて各区間Jの任意の時刻tにおけるx ^(J) (t)を演算することにより、連続する二つの区 間の境界やその近傍における重心のx成分x(t)� ��よびその変化速度(x(t)の一階微分)を連続的� ��ものにすることができる。同様の手法によ� ��、各区間Jの「C _y1 ^(J) 」,「C _y2 ^(J) 」を演算して各区間Jの任意の時刻tにおける� ��心のy成分y ^(J) (t)を演算することができる。各区間Jの任意� �時刻tにおける重心のx,y成分x ^(J) (t),y ^(J) (t)の演算の際に式(41),(42)を用いる理由につい ては後述する。

 こうして区間1~区間Mの各区間Jの任意の時刻 tにおける重心のx,y,z成分x ^(J) (t),y ^(J) (t),z ^(J) (t)を演算すると、演算した重心のx,y,z成分x ^(J) (t),y ^(J) (t),z ^(J) (t)や時刻t _j-1 ,t _j における二足歩行ロボット22の足の位置など� ��基づいて各区間Jの任意の時刻tにおける二� �歩行ロボット22の各関節kの目標角度θ _k ^(J) (t)を演算して(ステップS170)、歩容生成処理ル ーチンを終了する。各関節kの目標角度θ _k ^(J) (t)の設定については、例えば、下記の引用文 献1,2に記載されている方法などと同様に行な うことができる。制御ユニット32は、こうし� ��演算された各区間Jの任意の時刻tにおける� �足歩行ロボット22の各関節kの目標角度θ _k ^(J) (t)や現在の角度(現在θ _k )などを用いて二足歩行ロボット22の各関節k� �角度θ _k を変化させる図示しないアクチュエータを駆 動して二足歩行ロボット22に歩行を行なわせ� ��。二足歩行ロボット22の歩行の様子の一例� �図9および図10に示す。図9および図10の例で� �、一歩目で上体を屈ませ、二歩目で上体を� �している。任意の時刻tにおける重心のz成分 z(t)を演算することにより、こうした重心のz� ��分z(t)の変化を伴う歩行を行なうことができ る。
  引用文献1:梶田,金広,金子,藤原,原田,横井, 比留川,「分解運動量制御:運動量と角運動量� ��に基づくヒューマノイドロボットの全身運� ��生成」,日本ロボット学会誌,Vol.22,No.6,pp.772-7 79,2004
  引用文献2:T. Sugihara and Y. Nakamura, Whole-bo dy Cooperative Balancing of Humanoid Robot using COG� �Jacobian, In Proc.of IEEE/RSJ Int. Conf. on Intellig ent Robots and Systems, pp. 2575-2580, 2002.

 次に、各区間Jの任意の時刻tにおける重心� �z,x,y成分z ^(J) (t),x ^(J) (t),y ^(J) (t)の演算処理(ステップS120,S150,S160)において� �式(35),(41),(42)を用いることができる理由につ いて説明する。tを時刻,px(t),py(t),pz(t)を任意� �時刻tにおけるゼロモーメント位置(ZMP)のx,y,z 成分,Mを二足歩行ロボット22の全質量,gを重力 加速度,x(t),y(t)を任意の時刻tにおける二足歩� ��ロボット22の重心のx,y成分,Px(t),Py(t),Pz(t)を� �意の時刻tにおける二足歩行ロボット22の運� �量のx,y,z成分,Lx(t),Ly(t)を任意の時刻tにおけ� �二足歩行ロボット22の角運動量のx,y成分とし たときに、任意の時刻tにおけるゼロモーメ� �ト位置(ZMP)のx,y,z成分px(t),py(t),pz(t)と重心のx, y成分x(t),y(t)との関係を示す運動方程式は式(5 0),(51)により表わされるが、式(50),(51)におい� �、任意の時刻tにおけるゼロモーメント位置� ��z成分pz(t)を値0とすると共に角運動量のx,y成 分Lx(t),Ly(t)のうち二足歩行ロボット22の重心� �りの変化の影響を重心の水平成分の影響に� �して十分に小さいとして無視し、z(t)を任意� ��時刻tにおける重心のz成分とすると、運動� �程式は、式(52),(53)のように書き直すことが� �きる。従来は、この式(52),(53)において、重� �のz成分z(t)を定数、即ち、重心のz成分z(t)を� ��定とするまたはその変化を無視して定数Zc� �置いて式(52),(53)を式(54),(55)のように書き直� �て重心のx,y成分x(t),y(t)を演算していた。し� �しながら、二足歩行ロボット22は、重心のz� �分z(t)の運動を加味したより多様な運動を行� ��うことが望まれる。したがって、第1実施例 では、式(52),(53)における重心のz成分z(t)に関� ��る項を式(56)で示したように1次式(a ₁ t+a ₀ )で置き、この式(56)を解析的に解くことによ� ��式(35)により表わされる任意の時刻tにおけ� �重心のz成分z(t)の一般解を得ると共に、式(52 ),(53)における重心のz成分z(t)に関する項を式( 56)で示した1次式(a ₁ t+a ₀ )で置き換えた式(57),(58)を解析的に解くこと� �より式(41),(42)により表わされる任意の時刻t� ��おける重心のx,y成分x(t),y(t)の一般解を得て� ��式(35),(41),(42)における「a ₁ 」,「a ₀ 」,「C _z1 」,「C _z2 」,「C _x1 」,「C _x2 」,「C _y1 」,「C _y2 」を決定し、任意の時刻tにおける重心のz,x,y 成分z(t),x(t),y(t)を演算するものとした。以下� ��式(56)~(58)の解法について説明する。なお、� ��1実施例では、式(56)が本発明の補助方程式� �相当する。

 まず、式(56)の解法について説明する。式(56 )を解く際には、式(56)を式(59)のように変形し 、変形した式(59)の右辺を値0と置いた同次方� ��式を解く。この際、式(59)を式(60),(61)を用い て変形すると、同次方程式は式(62)により表� �される。この方程式は変形Bessel方程式と呼� �れるものであり、その解は式(63)により表わ� ��れる。ここで、式(63)中、「Cα ₁ 」,「Cβ ₁ 」は積分定数である。また、式(63)中、「I ₁ 」,「K ₁ 」は、それぞれ式(38),(39)における「ν」を値1 とすると共に「φ ₁ 」を「τ」に置き換えたものにより表わされ� ��。したがって、式(59)の同次方程式の同次解 は、式(64)により表わされる。また、式(59)の� ��解は式(65)により表わされる。これらより、 式(59)の一般解は、式(35)のように表わすこと� ��できる。次に、式(57)の解法について説明す る。この式を変形すると式(59)と同様の構造� �式になるから、重心のx成分x(t)の同次解は式 (64)と同様になる。また、重心のx成分のx(t)の 特解は、ゼロモーメント位置(ZMP)のx成分px(t)� ��式(33)により表わされるものとすると、式(66 )により表わされる。式(66)中、「B1 _i 」は、式(43)により表わされる。これらより� �重心のx成分x(t)の一般解は、式(41)のように� �わすことができる。次に、式(58)の解法につ� ��て説明する。式(58)は、式(57)と同様の構造� �式であるから、同様に解くことができ、重� �のy成分y(t)の一般解は、式(42)のように表わ� �ことができる。こうした式(35),(41),(42)を用い て得られる任意の時刻tにおける重心のx,y,z成 分x(t),y(t),z(t)を用いて二足歩行ロボット22の� �容を生成することにより、重心のz成分z(t)の 変化を伴って歩行することができる。これに より、より多様な歩行を行なうことができる 。なお、式(38)や式(39)により表わされる第1種 変形Bessel関数や第2種変形Bessel関数は、GSL(例� ��ば、引用文献3参照)等のライブラリで精度� �く高速に演算することができる。
  引用文献3:GSL-GNU Scientific Library, http://www. gnu.org/software/gsl/

 以上説明した第1実施例のロボット装置20� ��よれば、運動方程式のうち任意の時刻tにお ける重心のz成分z(t)に関する項を1次式に置き 換えたものと、重心のz成分z(t)に関する項と1 次式とからなる補助方程式と、を用いて任意 の時刻tにおける重心のx,y,z成分x(t),y(t),z(t)を� ��算すると共に演算した重心のx,y,z成分x(t),y(t ),z(t)を用いて二足歩行ロボット22の歩容を生� ��するから、重心のz成分z(t)の変化を伴った� �容を生成することができる。この結果、よ� �多様な歩容を生成することができるから、� �足歩行ロボット22はより多様な歩行を行なう ことができる。

 第1実施例のロボット装置20では、図3の歩容 生成処理ルーチンのステップS120で演算した� �間1~区間Mの各区間Jの「a ₁ ^(J) 」,「a ₀ ^(J) 」や、各区間Jの任意の時刻tにおけるゼロモ� ��メント位置(ZMP)のx成分px ^(J) (t),時刻t ₀ ,t _f における重心のx成分x(t ₀ ),x(t _f ),式(41)に基づいて重心x成分演算処理により� �区間Jの「C _x1 」,「C _x2 」を演算して各区間Jの任意の時刻tにおけるx 成分x ^(J) (t)を演算すると共に、各区間Jの「a ₁ ^(J) 」,「a ₀ ^(J) 」や、各区間Jの任意の時刻tにおけるゼロモ� ��メント位置(ZMP)のy成分py ^(J) (t),時刻t ₀ ,t _f における重心のy成分y(t ₀ ),y(t _f ),式(42)に基づいて各区間Jの「C _y1 」,「C _y2 」を演算して各区間Jの任意の時刻tにおける� ��心のy成分y ^(J) (t)を演算するものとしたが、各区間Jの任意� �時刻tにおける重心のx,y成分x ^(J) (t),y ^(J) (t)の演算方法はこれに限られず、例えば、各 区間Jの「a ₁ ^(J) 」,「a ₀ ^(J) 」と時刻t _j-1 ,t _j (1≦j≦f)における重心のx成分x(t _j-1 ),x(t _j )と式(41)とに基づいて各区間Jの「C _x1 」,「C _x2 」を演算して各区間Jの任意の時刻tにおける� ��心のx成分x ^(J) (t)を演算すると共に、各区間Jの「a ₁ ^(J) 」,「a ₀ ^(J) 」と時刻t _j-1 ,t _j における重心のy成分y(t _j-1 ),y(t _j )と式(42)とに基づいて各区間Jの「C _y1 」,「C _y2 」を演算して各区間Jの任意の時刻tにおける� ��心のy成分y ^(J) (t)を演算するものとしてもよい。

 第2実施例のロボット装置20Bは、図1およ� �図2に例示した第1実施例のロボット装置20と� ��一のハード構成をしている。したがって、� ��複した説明を回避するため、第2実施例のロ ボット装置20Bのハード構成については、第1� �施例のロボット装置20のハード構成と同一の 符号を付し、その詳細な説明は省略する。

 第2実施例のロボット装置20Bでは、図3の歩� �生成処理ルーチンに代えて、図11の歩容生成 処理ルーチンを実行する。図11のルーチンは� ��図3のルーチンのステップS100の区間1~区間M� �各区間Jの任意の時刻tにおけるゼロモーメン ト位置のx,y成分x ^(J) (t),y ^(J) (t)を変更した点や、ステップS120,S150,S160で二� ��歩行ロボット22の重心のz,x,y成分z ^(J) (t),x ^(J) (t),y ^(J) (t)の演算に用いられる式を変更した点を除い て図3のルーチンと同一である。したがって� �以下、異なる処理を中心に説明する。なお� �同一の処理については同一のステップ番号� �付した。

 図11の歩容生成処理ルーチンが実行される� �、図3の歩容生成処理ルーチンのステップS100 の処理と同様に、区間1~区間Mの各区間Jの任� �の時刻tにおける二足歩行ロボット22のゼロ� �ーメント位置(ZMP)のx,y成分px ^(J) (t),py ^(J) (t)や、歩行開始時刻t ₀ および歩行終了時刻t _f における二足歩行ロボット22の重心のx,y成分x (t ₀ ),y(t ₀ ),x(t _f ),y(t _f ),歩行開始時刻t ₀ や時刻t ₁ ~歩行終了時刻t _f の各時刻t _j における重心のz成分z(t ₀ ),z(t _j )(1≦j≦f)およびその変化速度(z(t ₀ )の一階微分),(z(t _j )の一階微分),二足歩行ロボット22の足の位置� ��ど制御に必要などデータを入力する処理を� ��行する(ステップS100b)。ここで、各区間Jの� �意の時刻tにおけるゼロモーメント位置(ZMP)� �x,y成分px ^(J) (t),py ^(J) (t)として、図3の歩容生成ルーチンではそれ� �れ式(33),(34)で表わされるn1次式,n2次式を用い るものとしたが、このルーチンでは、それぞ れ式(67),(68)により表わされる1次式を用いる� �のとした。

 こうしてデータを入力すると、区間Jに値1� �設定すると共に(ステップS110)、時刻t _j-1 ,t _j における重心のz成分z(t _j-1 ),z(t _j )およびその変化速度(z(t _j-1 )の一階微分),(z(t _j )の一階微分)と次式(69)とに基づいて図12に例� ��するの重心z成分演算処理により区間Jの任� �の時刻tにおける重心のz成分z ^(J) (t)を演算する(ステップS120b)。図12の重心z成� �演算処理では、時刻t _j-1 ,t _j における重心のz成分z(t _j-1 ),z(t _j )を式(67)の右辺の「t」を「t-t _j-1 」に置き換えた式(70)に代入した2つの方程式� ��、時刻t _j-1 ,t _j における重心のz成分z(t _j-1 ),z(t _j )の変化速度(z(t _j-1 )の一階微分),(z(t _j )の一階微分)を式(69)の両辺を「t」で微分し� �ものの右辺の「t」を「t-t _j-1 」に置き換えた式(71)に代入した2つの方程式� ��、の4つの方程式を連立して解くことにより 、区間Jの「C _z3 ^(J) 」,「C _z4 ^(J) 」,「a ₃ ^(J) 」,「a ₂ ^(J) 」を演算すると共に(ステップS500)、演算した 区間Jの「C _z3 ^(J) 」,「C _z4 ^(J) 」,「a ₃ ^(J) 」,「a ₂ ^(J) 」を式(70)に代入して区間Jの任意の時刻tにお ける重心のz成分z ^(J) (t)を演算して(ステップS510)、重心z成分演算� �理を終了する。ここで、式(69),(70)中、「AiryA i」,「AiryBi」は、Airy関数であり、それぞれ式 (72),(73)により表わされる。また、「Gi」は、S corer関数であり、式(74)により表わされる。さ らに、式(72)~(74)中、「φ ₂ 」は式(75)により表わされる。式(72)中、「K」 は第2種変形Bessel関数であり、「K _1/3 」は式(76)における「ν」に1/3を設定したもの により表わされる。式(73),(76)中、「I」は第1� ��変形Bessel関数であり、式(73)中、「I _1/3 」,「I _-1/3 」は、それぞれ式(77)における「ν」に1/3,-1/3� ��設定したものにより表わされる。式(74)中、 「γ」はGamma関数である。式(76),(77)中、「φ ₃ 」は式(78)により表わされる。式(71)中、「Airy AiPrime」,「AiryBiPrime」,「GiPrime」は、それぞれ 「AiryAi」,「AiryBi」,「Gi」の微分である。各� �間Jの重心のz成分z ^(J) (t)の演算の際に式(69)を用いる理由について� �後述する。なお、ステップS500の連立方程式� ��解く処理は、第1実施例と同様に、Newton法な どにより行なうことができる。こうして区間 Jの任意の時刻tにおける重心のz成分z ^(J) (t)を演算すると、区間Jが区間Mであるか否か� ��判定し(ステップS130)、区間Jが区間Mでない� �きには、区間Jに値1を加えて(ステップS140)、 ステップS120bに戻る。このようにして、区間1 ~区間Mの各区間Jの任意の時刻tにおける重心� �z成分z ^(J) (t)を演算するのである。

 そして、ステップS130で区間Jが区間Mである� ��判定されると、演算した区間1~区間Mの各区� ��Jの「a ₃ ^(J) 」,「a ₂ ^(J) 」と、各区間Jの任意の時刻tにおけるゼロモ� ��メント位置(ZMP)のx成分px ^(J) (t)と、時刻t ₀ ,t _f における重心のx成分x(t ₀ ),x(t _f )と、次式(79)とに基づいて図13に例示する重� �x成分演算処理により各区間Jの任意の時刻t� �おけるx成分x ^(J) (t)を演算すると共に(ステップS150b)、各区間J� ��「a ₃ ^(J) 」,「a ₂ ^(J) 」と、各区間Jの任意の時刻tにおけるゼロモ� ��メント位置(ZMP)のy成分py ^(J) (t)と、時刻t ₀ ,t _f における重心のy成分y(t ₀ ),y(t _j )と、式(80)とに基づいて図示しない重心y成分 演算処理により各区間Jの任意の時刻tにおけ� ��重心のy成分y ^(J) (t)を演算し(ステップS160b)、演算した重心のx, y,z成分x ^(J) (t),y ^(J) (t),z ^(J) (t)や時刻t _j-1 ,t _j における二足歩行ロボット22の足の位置など� ��基づいて各区間Jの任意の時刻tにおける二� �歩行ロボット22の各関節kの目標角度θ _k ^(J) (t)を演算して(ステップS170)、歩容生成処理ル ーチンを終了する。各区間Jの任意の時刻tに� ��ける重心のx,y成分x ^(J) (t),y ^(J) (t)は、前述の式(79),(80)が同様の構造の式であ り、同様に演算することができるため、ここ では、重心のx成分x ^(J) (t)の演算処理について説明し、重心のy成分y ^(J) (t)の演算処理の詳細な説明は省略する。図13� ��重心x成分演算処理では、式(79)の右辺の「t� ��を「t-t _j-1 」に置き換えた式(81)に歩行開始時刻(区間1の 開始時刻)t ₀ における重心のx成分x(t ₀ )を代入すると共にその式(81)の「j」と「J」� �に共に値1を設定した式(82)と、式(81)に歩行� �了時刻(区間Mの終了時刻)t _f における重心のx成分x(t _f )を代入すると共にその式(81)の「j」,「J」に� ��れぞれ「f」,「M」を設定した式(83)と、連続 する二つの区間の境界における重心のx成分x( t)が連続する条件を満たす式(84)により表わさ れる(M-1)個の式と、同じく連続する二つの区� ��の境界における重心のx成分x(t)の変化速度(x (t)の一階微分)が連続する条件を満たす式(85)� ��より表わされる(M-1)個の式と、の2M個の方程 式を連立して解くことにより、各区間Jの「C _x3 ^(J) 」,「C _x4 ^(J) 」を演算すると共に(ステップS600)、演算した 各区間Jの「C _x3 ^(J) 」,「C _x4 ^(J) 」と「a ₃ ^(J) 」,「a ₂ ^(J) 」とを式(81)に代入して各区間Jの任意の時刻t における重心のx成分x ^(J) (t)を演算して(ステップS610)、重心x成分演算� �理を終了する。ここで、式(79)~(84)中、「AiryA i」,「AiryBi」は、それぞれ前述の式(72),(73)に� ��り表わされる。また、式(72),(73)中、「φ ₂ 」は式(75)により表わされる。式(72)中、「K _1/3 」は式(76)における「ν」に1/3を設定したもの により表わされる。式(73)中、「I _1/3 」,「I _-1/3 」は、それぞれ式(77)における「ν」に1/3,-1/3� ��設定したものにより表わされる。式(76),(77)� ��、「φ ₃ 」は式(78)により表わされる。式(85)中、「Airy AiPrime」,「AiryBiPrime」は、それぞれ「AiryAi」,� ��AiryBi」の微分である。ステップS600の連立方 程式を解く処理は、第1実施例と同様に、Newto n法などにより行なうことができる。このよ� �に連続する二つの区間の境界における重心� �x成分x(t)およびその変化速度(x(t)の一階微分) が連続する式を用いて各区間Jの「C _x3 ^(J) 」,「C _x4 ^(J) 」を演算すると共にこの「C _x3 ^(J) 」,「C _x4 ^(J) 」を用いて各区間Jの任意の時刻tにおけるx ^(J) (t)を演算することにより、連続する二つの区 間の境界やその近傍における重心のx成分x(t)� ��よびその変化速度(x(t)の一階微分)を連続的� ��ものにすることができる。同様の手法によ� ��、各区間Jの「C _y3 ^(J) 」,「C _y4 ^(J) 」を演算して各区間Jの任意の時刻tにおける� ��心のy成分y ^(J) (t)を演算することができる。

 次に、各区間Jの任意の時刻tにおける重心� �z,x,y成分z ^(J) (t),x ^(J) (t),y ^(J) (t)の演算処理(ステップS120b,S150b,S160b)におい� �、式(69),(79),(80)を用いることができる理由に ついて説明する。第2実施例では、前述の式(5 2),(53)により表わされる運動方程式における� �心のz成分z(t)に関する項を式(86)で示したよ� �に1次式の逆数(1/(a ₁ t+a ₀ ))で置き、この式(86)を解析的に解くことによ り式(69)により表わされる任意の時刻tにおけ� ��重心のz成分z(t)の一般解を得ると共に、式(5 2),(53)における重心のz成分z(t)に関する項を式 (86)で示した1次式の逆数(1/(a ₁ t+a ₀ ))で置き換えた式(87),(88)を解析的に解くこと� ��より式(79),(80)により表わされる任意の時刻t における重心のx,y成分x(t),y(t)の一般解を得て 、式(69),(79),(80)における「a ₃ 」,「a ₂ 」,「C _z3 」,「C _z4 」,「C _x3 」,「C _x4 」,「C _y3 」,「C _y4 」を決定し、任意の時刻tにおける重心のz,x,y 成分z(t),x(t),y(t)を演算するものとした。以下� ��式(86)~(88)の解法について説明する。なお、� ��2実施例では、式(86)が本発明の補助方程式� �相当する。

 まず、式(86)の解法について説明する。式(86 )を解く際には、式(86)を式(89)のように変形し 、変形した式(89)の右辺を値0と置いた同次方� ��式を解く。この際、式(89)を式(90),(91)を用い て変形すると、同次方程式は式(92)により表� �される。この式(92)は、Airy方程式と呼ばれる ものであり、解は式(93)により表わされる。� �こで、式(93)中、「Cα ₂ 」,「Cβ ₂ 」は積分定数である。また、式(93)中、「AiryA i」,「AiryBi」は、それぞれ式(72),(73)の「φ ₂ 」を「τ」に置き換えたものにより表わされ� ��。したがって、式(89)の同時方程式の同次解 は、式(94)により表わされる。また、式(86)を� ��(95),(96)を用いて変形すると式(97)が得られ、 この解は式(98)により表わされる。ここで、� �(98)中、「Gi」は、式(74)の「φ ₂ 」を「τ」に置き換えたものにより表わされ� ��。したがって、式(89)の特解は、式(99)によ� �表わされる。これらより、式(86)の一般解は� ��式(69)のように表わすことができる。次に、 式(87)の解法について説明する。この式を変� �すると、式(89)と同様の構造の式になるから� ��重心のx成分x(t)の同次解は式(94)と同様にな� ��。また、重心のx成分のx(t)の特解は、ゼロ� �ーメント位置(ZMP)のx成分px(t)が式(67)により� �わされるものとすると、式(100)により表わさ れる。これらより、重心のx成分x(t)の一般解� ��、式(79)のように表わすことができる。次に 、式(88)の解法について説明する。式(88)は、� ��(87)と同様の構造の式であるから、式(87)と� �様に解くことができ、重心のy成分y(t)の一般 解は、式(80)のように表わすことができる。� �うした式(69),(79),(80)を用いて得られる任意の 時刻tにおける重心のx,y,z成分x(t),y(t),z(t)を用� ��て二足歩行ロボット22の歩容を生成するこ� �により、重心のz成分z(t)の変化を伴って歩行 することができる。これにより、より多様な 歩行を行なうことができる。

 以上説明した第2実施例のロボット装置20B によれば、運動方程式のうち任意の時刻tに� �ける重心のz成分z(t)に関する項を1次式の逆� �に置き換えたものと、重心のz成分z(t)に関す る項と1次式の逆数とからなる補助方程式と� �を用いて任意の時刻tにおける重心のx,y,z成� �x(t),y(t),z(t)を演算すると共に演算した重心の x,y,z成分x(t),y(t),z(t)を用いて二足歩行ロボッ� �22の歩容を生成するから、第1実施例と同様� �、重心のz成分z(t)の変化を伴った歩容を生成 することができる。この結果、より多様な歩 容を生成することができるから、二足歩行ロ ボット22はより多様な歩行を行なうことがで� ��る。

 第2実施例のロボット装置20Bでは、各区間J� �任意の時刻tにおけるゼロモーメント位置(ZMP )のx,y成分px ^(J) (t),py ^(J) (t)として、1次式を用いるものとしたが、そ� �ぞれn1次式,n2次式を用いるものとしてもよい 。

 第2実施例のロボット装置20Bでは、図11の歩� ��生成処理ルーチンのステップS120bで演算し� �区間1~区間Mの各区間Jの「a ₃ ^(J) 」,「a ₂ ^(J) 」や、各区間Jの任意の時刻tにおけるゼロモ� ��メント位置(ZMP)のx成分px ^(J) (t),時刻t ₀ ,t _f における重心のx成分x(t ₀ ),x(t _f ),式(79)に基づいて重心x成分演算処理により� �区間Jの「C _x3 」,「C _x4 」を演算して各区間Jの任意の時刻tにおけるx 成分x ^(J) (t)を演算すると共に、各区間Jの「a ₃ ^(J) 」,「a ₂ ^(J) 」や、各区間Jの任意の時刻tにおけるゼロモ� ��メント位置(ZMP)のy成分py ^(J) (t),時刻t ₀ ,t _f における重心のy成分y(t ₀ ),y(t _f ),式(80)に基づいて各区間Jの「C _y1 」,「C _y2 」を演算して各区間Jの任意の時刻tにおける� ��心のy成分y ^(J) (t)を演算するものとしたが、各区間Jの任意� �時刻tにおける重心のx,y成分x ^(J) (t),y ^(J) (t)の演算方法はこれに限られず、例えば、各 区間Jの「a ₃ ^(J) 」,「a ₂ ^(J) 」と時刻t _j-1 ,t _j (1≦j≦f)における重心のx成分x(t _j-1 ),x(t _j )と式(79)とに基づいて各区間Jの「C _x3 」,「C _x4 」を演算して各区間Jの任意の時刻tにおける� ��心のx成分x ^(J) (t)を演算すると共に、各区間Jの「a ₃ ^(J) 」,「a ₂ ^(J) 」と時刻t _j-1 ,t _j における重心のy成分y(t _j-1 ),y(t _j )と式(80)とに基づいて各区間Jの「C _y3 」,「C _y4 」を演算して各区間Jの任意の時刻tにおける� ��心のy成分y ^(J) (t)を演算するものとしてもよい。

 第2実施例のロボット装置20Bでは、二足歩 行ロボット22の両足のうち少なくとも一方の� ��を床面に接触させながら(以下、この状態を 接地状態という)二足歩行ロボット22を歩行さ せる際の歩容の生成について説明したが、接 地状態と両足とも床面から離れる離床状態と を含んで二足歩行ロボット22を走行させる際� ��は、接地状態の歩容の生成について実施例� ��同様に行なうことができる。なお、離床状� ��の歩容の生成については、例えば、式(101)~( 103)と、離床を開始する離床開始時刻,離床を� ��了する離床終了時刻の重心と、離床中の所� ��時刻における重心および速度の連続条件と� ��を用いて行なうことができる。したがって� ��この変形例では、こうして生成した接地状� ��の歩容と離床状態の歩容とを組み合わせる� ��とにより、二足歩行ロボット22を走行させ� �際の歩容を生成することができる。なお、� �足歩行ロボット22を歩行させるか走行させる かは、例えば、操作者によるジョイスティッ ク40の操作の程度などに応じて選択すること� ��できる。

 第1実施例のロボット装置20では、運動方� ��式のうち任意の時刻tにおける重心のz成分z( t)に関する項を1次式に置き換えたものと、重 心のz成分z(t)に関する項と1次式とからなる補 助方程式と、を用いて任意の時刻tにおける� �心のx,y,z成分x(t),y(t),z(t)を演算するものとし� ��第2実施例のロボット装置20Bでは、運動方程 式のうち任意の時刻tにおける重心のz成分z(t) に関する項を1次式の逆数に置き換えたもの� �、重心のz成分z(t)に関する項と1次式の逆数� �からなる補助方程式と、を用いて任意の時� �tにおける重心のx,y,z成分x(t),y(t),z(t)を演算す るものとしたが、操作者によるジョイスティ ック40の操作の程度に応じてこれらのうちい� ��れかを選択して任意の時刻tにおける重心の x,y,z成分x(t),y(t),z(t)を演算するものとしても� �い。

 第1実施例や第2実施例のロボット装置20,20 Bでは、二足歩行ロボット22が停止している状 態で操作者によりジョイスティック40が操作� ��れたときの二足歩行ロボット22の歩容を生� �する処理について説明したが、ジョイステ� �ック40が操作されて二足歩行ロボット22が歩� ��している最中にジョイスティック40が再操� �されたときには、その再操作に応じて二足� �行ロボット22の歩容を再生成する処理を実行 するものとしてもよい。

 第1実施例や第2実施例のロボット装置20,20 Bでは、式(56)や式(86)に示したように、式(52),( 53)により表わされる運動方程式のうち二足歩 行ロボット22の重心のz成分z(t)に関する項を� �刻に対する1次式またはその逆数で置くもの� ��したが、1次以外のn次式(nは値0以上の整数)� ��たはその逆数で置くものとしてもよい。こ� ��場合、nが値0のときであっても、重心のz成� ��z(t)そのものを定数として置く訳ではないた め、重心のz成分z(t)の運動を加味することが� ��きる。

 第1実施例や第2実施例のロボット装置20,20B� �は、区間の境界として、単脚支持期から両� �支持期に移行する時刻を用いるものとした� �、これに限られず、如何なる時刻を用いる� �のとしてもよい。また、第1実施例や第2実施 例のロボット装置20,20Bでは、式(6),(9),(12),(13), (35)~(37),(40)~(42),(45)~(49),(60)の分母の「a ₁ 」,「a ₁ ^(J) 」,「a ₁ ^(J+1) 」,「a ₁ ^(M) 」については根号に入れないものとしたが、 これらの分母を2乗して根号の内側に入れる� �のとしてもよい。これにより、プログラム� �析上で解がより得やすくなると考えられる� �

 第1実施例や第2実施例のロボット装置20,20B� �は、操作者によるジョイスティック40の操作 、即ちジョイスティック40の傾斜方向や傾斜� ��に応じて二足歩行ロボット22に歩行を行な� �せるものとしたが、操作者は、ジョイステ� �ック40の操作に代えてまたは加えて、歩行開 始時刻t ₀ や歩行終了時刻t _f ,連続する2つの区間の境界の時刻,これらの各 時刻における重心のz成分やその変化速度,歩� ��開始時刻t ₀ や歩行終了時刻t _f における重心のx,y成分なども図示しないスイ ッチ等により設定できるものとしてもよい。

 第1実施例や第2実施例のロボット装置20,20 Bでは、制御ユニット32は、ジョイスティック 40と共に操作装置30が備えるものとしたが、� �ョイスティック40と一体でないもの、例えば 、二足歩行ロボット22に搭載されるものとし� ��もよい。

 ここで、実施例や変形例の主要な要素と課� ��を発明の開示の欄に記載した発明の主要な� ��素との対応関係について説明する。第1実施 例では、式(52),(53)により表わされる運動方程 式における二足歩行ロボット22の重心のz成分 z(t)に関する項と1次式(a1t+a0)とからなる式(56)� ��解としての式(35)を用いて区間1~区間Mの各区 間Jの任意の時刻tにおける二足歩行ロボット2 2の重心のz成分z ^(J) (t)を演算すると共に式(52),(53)における重心の z成分z(t)に関する項を1次式(a1t+a0)で置いた式( 57),(58)の解としての式(41),(42)を用いて区間1~� �間Mの各区間Jの任意の時刻tにおける二足歩� �ロボット22の重心のx,y成分x ^(J) (t),y ^(J) (t)を演算する処理を実行する制御ユニット32� ��「目標位置演算手段」に相当し、演算した� ��心のx,y,z成分x ^(J) (t),y ^(J) (t),z ^(J) (t)を用いて二足歩行ロボット22の各関節kの目 標角度θ _k ^(J) (t)を演算する処理を実行する制御ユニット32� ��「歩容生成手段」に相当する。第2実施例で は、式(52),(53)により表わされる運動方程式に おける二足歩行ロボット22の重心のz成分z(t)� �関する項と1次式の逆数(1/(a1t+a0))とからなる� ��(86)の解としての式(69)を用いて区間1~区間M� �各区間Jの任意の時刻tにおける二足歩行ロボ ット22の重心のz成分z ^(J) (t)を演算すると共に式(52),(53)における重心の z成分z(t)に関する項を1次式の逆数(1/(a1t+a0))で 置いた式の解としての式(79),(80)を用いて区間 1~区間Mの各区間Jの任意の時刻tにおける二足� ��行ロボット22の重心のx,y成分x ^(J) (t),y ^(J) (t)を演算する処理を実行する制御ユニット32� ��「目標位置演算手段」に相当し、演算した� ��心のx,y,z成分x ^(J) (t),y ^(J) (t),z ^(J) (t)を用いて二足歩行ロボット22の各関節kの目 標角度θ _k ^(J) (t)を演算する処理を実行する制御ユニット32� ��「歩容生成手段」に相当する。なお、実施� ��や変形例の主要な要素と課題を発明の開示� ��欄に記載した発明の主要な要素との対応関� ��は、実施例が課題を発明の開示の欄に記載� ��た発明を実施するための最良の形態を具体� ��に説明するための一例であることから、課� ��を発明の開示の欄に記載した発明の要素を� ��定するものではない。即ち、課題を発明の� ��示の欄に記載した発明についての解釈はそ� ��欄の記載に基づいて行なわれるべきもので� ��り、実施例は課題を発明の開示の欄に記載� ��た発明の具体的な一例に過ぎないものであ� ��。

 実施例では、ロボット装置20の形態とし� �説明したが、二足歩行ロボットの歩容を生� �する歩容生成装置の形態や歩容生成方法の� �態として用いるものとしてもよい。

 以上、本発明を実施するための最良の形� ��について実施例を用いて説明したが、本発� ��はこうした実施例に何等限定されるもので� ��なく、本発明の要旨を逸脱しない範囲内に� ��いて、種々なる形態で実施し得ることは勿� ��である。