DE VAGUES DANS UN LIQUIDE [001] L'invention concerne un procédé de conception assistée par ordinateur d'un dispositif pour dévier, par diffraction sur des colonnes situées à l'intérieur d'une zone de déviation, la trajectoire de vagues dans un liquide. L'invention concerne également :

- un procédé de construction d'un tel dispositif,

- un support d'enregistrement d'informations et un calculateur pour la mise en œuvre de ce procédé de conception, et

- le dispositif pour dévier la trajectoire des vagues.

[002] De tels dispositifs dévient la trajectoire des vagues de manière à modifier la hauteur des vagues à l'intérieur d'une zone cible qui est au moins en partie entourée par et attenante à la zone de déviation. La modification de la hauteur des vagues consiste soit à dévier la trajectoire des vagues pour qu'elles contournent cette zone cible de manière à diminuer la hauteur des vagues à l'intérieur de cette zone cible soit, au contraire, à dévier la trajectoire des vagues vers cette zone cible de manière à augmenter la hauteur des vagues à l'intérieur de cette zone cible par rapport à la hauteur des vagues situées en dehors de la zone de déviation.

[003] De façon connue, des vagues sont des ondes de surface qui se propagent à la surface d'un liquide, tel qu'un milieu océanique ou maritime.

[004] On connaît des dispositifs pour dévier, par diffraction, la trajectoire de vagues, généralement dans le but de protéger une structure maritime contre des vagues. Un exemple d'un tel dispositif est décrit dans l'article de M. Farhat et al, « Broadband Cylindrical Acoustic Cloak for Linear Surface Waves in a Fluid », Physical Review Letters, 101, 134501, Juillet 2008.

[005] Ces dispositifs connus présentent de nombreux avantages. Par exemple, puisqu'ils diffractent les vagues, chacune des colonnes est très petite devant la longueur d'onde des vagues et donc plus facile à fabriquer. Ils ne réfléchissent pas ou très peu les vagues ce qui limite l'amplitude des vagues devant ces dispositifs. Enfin, les vagues exercent moins de pression sur chaque colonne et il n'est donc pas nécessaire que ces colonnes soient aussi solides qu'une digue.

[006] Un inconvénient notable de ce dispositif est qu'il n'est conçu pour fonctionner que pour des vagues linéaires dans des milieux de faible profondeur constante.

[007] Typiquement, un milieu marin dit de faible profondeur (« shallow water » en langue anglaise) est un milieu pour lequel la quantité hk, connue sous le nom de profondeur relative, est inférieure ou égale à ττ/10. Cette quantité correspond au produit entre h et k, où h est la profondeur de l'eau et k est le nombre d'onde de la vague. Dans cette description, la profondeur est mesurée le long d'un axe vertical, depuis la surface de l'eau en l'absence de vague, jusqu'au fond du milieu marin.

[008] Ainsi, ce dispositif n'est pas adapté pour protéger des régions et des structures situées en eaux plus profondes, telles que des plate-formes pétrolières.

[009] En outre, ce dispositif n'est applicable que pour des vagues dites linéaires. Par vagues linéaires, on désigne des vagues dont la propagation est régie par la théorie de propagation linéaire des vagues. Il s'agit typiquement de vagues périodiques et d'amplitude faible, telles que de la houle. Un tel modèle n'est pas toujours réaliste en milieu maritime ou océanique, dans lesquels peuvent survenir des vagues non linéaires et/ou d'amplitude importante, telles que les vagues déferlantes ou les vagues connues sous le terme de vagues scélérates (« rogue waves » en langue anglaise).

[0010] De l'état de la technique est également connu de :

- G. Dupont et Al, « Numerical and expérimental study of an invisibility carpet in a water channel », Physical Review E (Statistical, Nonlinear, and soft matter physics), vol. 91, n°2, Février 2015,

- J.N. Newman, « Cloaking a circular cylinder in water waves », European Journal of Mechanics B. Fluids, Vol. 47, Septembre 2014, pages 145-150,

- R. Porter et Al, « Cloaking of a vertical cylinder in waves using variable bathymetry », J. Fluid Mech. , vol. 750, 30/05/2014.

[0011] Il existe donc un besoin pour un dispositif qui puisse dévier la trajectoire de vagues dans un milieu autre qu'un milieu peu profond et applicable à des vagues de forme quelconque. Il existe donc aussi un besoin pour un procédé de conception assistée par ordinateur d'un tel dispositif .

[0012] L'invention concerne donc un procédé de conception assistée par ordinateur, conforme à la revendication 1, d'un dispositif pour dévier, par diffraction sur des colonnes situées à l'intérieur d'une zone de déviation, la trajectoire de vagues dans un liquide.

[0013] Le procédé revendiqué permet de concevoir des dispositifs pour dévier des vagues dans des milieux non linéaires et de profondeur plus importante, c'est-à-dire des milieux de profondeur intermédiaire. De plus, comme ce dispositif dévie les vagues par diffraction comme les dispositifs connus, il conserve aussi les avantages de ces dispositifs connus. La conception et la réalisation des dispositifs revendiqués ont été rendus possibles grâce à plusieurs découvertes :

1) Il faut au moins deux régions de profondeurs différentes dans la zone de déviation, et

2) Dans chaque région, il faut ajuster la section transversale de chaque colonne en fonction du produit [c _p c _g ] transformé.

[0014] On remarquera que la découverte 1) est contre-intuitive. En effet, pour concevoir simplement un tel dispositif, il semble naturel d'imposer une profondeur constante dans toute la zone de déviation afin de limiter la complexité du problème à résoudre. En particulier, les équations qui modélisent la propagation des vagues sont bien plus complexes lorsque la variation de la profondeur du milieu est prise en compte.

[0015] Les modes de réalisation de l'invention peuvent présenter en outre les avantages suivants :

- utiliser l'équation qui relie le produit [c _p c _g ] transformé à la surface de la section transversale des colonnes facilite la conception du dispositif en évitant de rechercher par tâtonnement la section transversale des colonnes qui convient ;

- l'utilisation d'une transformation conforme permet de déterminer efficacement la section des colonnes dans une région non rectangulaire de la zone de déviation.

[0016] L'invention concerne également un procédé de construction d'un dispositif pour dévier, par diffraction sur des colonnes, la trajectoire de vagues dans un liquide, ce procédé comportant :

- la conception assistée par ordinateur, à l'aide du procédé revendiqué, de l'emplacement et des dimensions de chaque colonne, puis

- la construction de chaque colonne conçue à l'emplacement prévu sur le fond du milieu liquide.

[0017] L'invention concerne aussi un support d'enregistrement d'informations comportant des instructions pour l'exécution du procédé revendiqué, lorsque ces instructions sont exécutées par un calculateur électronique.

[0018] L'invention concerne aussi un calculateur électronique programmé pour mettre en œuvre le procédé revendiqué.

[0019] L'invention concerne aussi un dispositif pour dévier la trajectoire des vagues .

[0020] L'invention sera mieux comprise à la lecture de la description qui va suivre, donnée uniquement à titre d'exemple non limitatif et faite en se référant aux dessins sur lesquels :

- la figure 1 est une illustration schématique, selon une vue de dessus, d'un milieu marin comportant un dispositif pour dévier la trajectoire des vagues ;

- la figure 2 est une illustration schématique, selon une vue en coupe transversale, du milieu de la figure 1 ;

- les figures 3A et 3B sont des illustrations schématiques de direction de propagation des vagues dans des zones du milieu marin respectivement sans et avec le dispositif de protection de la figure 1 ;

- les figures 4 et 5 illustrent schématiquement des paramètres utilisés lors de la construction de la structure du dispositif de la figure 1 ;

- les figures 6 et 7 illustrent schématiquement, en vue de dessus, une disposition spatiale des éléments de protection du dispositif de la figure 1 selon deux représentations géométriques différentes ; - les figures 8A et 8B illustrent l'amplitude de vagues dans le milieu marin de la figure 1, respectivement, sans et avec le dispositif de la figure 1 ;

- les figures 9A et 9B illustrent la partie complexe de la fonction de l'élévation d'eau due aux vagues dans le milieu marin de la figure 1, respectivement, sans et avec le dispositif de la figure 1 ;

- les figures 10 et 11 illustrent plus en détail les variations d'amplitude des vagues dans des régions des figures 8B et 9B ;

- la figure 12 est une illustration schématique d'un dispositif de calcul automatique ;

- la figure 13 est un ordinogramme d'un procédé de conception assisté par ordinateur du dispositif de la figure 1 ;

- la figure 14 est un ordinogramme d'un autre mode de réalisation du procédé de la figure 13;

- la figure 15 illustre schématiquement la forme d'une zone de déviation pour la mise en œuvre du procédé de la figure 14 ;

- la figure 16 est une illustration schématique d'un ensemble de cellules élémentaires utilisées pour réaliser une étape d'homogénéisation.

[0021] Dans ces figures, les mêmes références sont utilisées pour désigner les mêmes éléments.

[0022] Dans la suite de cette description, les caractéristiques et fonctions bien connues de l'homme du métier ne sont pas décrites en détails.

[0023] La figure 1 représente schématiquement un milieu marin 2 comportant un liquide 4, tel que de l'eau de mer. Des vagues sont aptes à se propager à la surface de ce milieu 2. Ce milieu 2 comporte ici :

- une zone 6 cible ;

- une zone 8 de déviation, qui entoure complètement la zone 6 et qui comporte un dispositif 10 pour dévier les vagues ;

- une structure 12 à protéger, située à l'intérieur de la zone 6.

[0024] Dans cet exemple, les zones 6 et 8 présentent des formes cylindriques à base circulaire, concentriques et centrées autour d'un même centre O. La zone 6 est délimitée par un cylindre 14 à base circulaire de centre O et de rayon Ri. La zone 8 est délimitée d'un côté intérieur par le cylindre 14 et, de l'autre côté, à l'extérieur, par un cylindre 16 à base circulaire de centre O et de rayon R ₂ , le rayon R ₂ étant strictement supérieur au rayon Ri.

[0025] Dans cet exemple, on souhaite que la structure 12 soit protégée contre les vagues et donc qu'aucune vague ne puisse se propager à l'intérieur de la zone 6. Ainsi, le dispositif 10 est configuré pour dévier les vagues autour de la zone 6 sans qu'elles puissent se propager à l'intérieur de la zone 6, comme on le verra plus en détail dans ce qui va suivre. Dans ce qui suit, la zone 6 pourra ainsi être nommée « zone à protéger » et la zone 8 « zone de protection » ou « cape de protection ». [0026] La section horizontale de la structure 12 a une forme quelconque et doit seulement être entièrement incluse à l'intérieur de la zone 6. En particulier, elle n'a pas besoin d'être identique à la section horizontale de la zone 6. Par exemple, la structure 12 est une plate-forme maritime de forage d'hydrocarbures.

[0027] Le dispositif 10 comporte une pluralité de colonnes 20 de protection (aussi nommées « inclusions ») qui sont immergés dans le liquide 4 et réparties à l'intérieur de la zone 8 suivant une disposition particulière qui sera décrite plus en détail. Les colonnes 20 ont pour fonction de diffracter les vagues de manière à dévier leur trajectoire pour qu'elles contournent la zone 6.

[0028] Ainsi, le principe physique utilisé par le dispositif 10 pour dévier les vagues n'est pas le même que celui utilisé par une digue. Dans ce dernier cas, la digue a pour fonction d'arrêter et de réfléchir les vagues. La vague rebondit donc sur la digue et repart en arrière. A cause de cela, elle doit être très solide pour résister à la pression des vagues. De plus, la digue doit avoir une dimension transversale au moins égale et, généralement très supérieure, à la longueur d'onde des vagues que l'on cherche à arrêter. A l'inverse, le dispositif 10 a pour fonction de diffracter les vagues. A cause de cela, chacune des colonnes est très petite devant la longueur d'onde des vagues. De plus, à cause de leur disposition particulière, les vagues ne se réfléchissent pas ou très peu sur le dispositif 10. Ainsi, les vagues exercent très peu de pression sur chaque colonne. Dès lors, il n'est pas nécessaire que ces colonnes soient aussi solides qu'une digue. Par exemple, la pression exercée par les vagues sur chaque colonne est deux fois plus faible que celle exercée sur une digue placée au même emplacement.

[0029] Dans cet exemple, les colonnes 20 s'étendent verticalement. Dans ce qui suit, ces colonnes sont désignées sous la référence 20 de façon générique. Toutes les colonnes 20 sont situées à l'intérieur de la zone 8. En particulier, la zone 6 ne contient pas de colonnes 20.

[0030] La figure 2 représente une section verticale du dispositif 10. Les colonnes 20 s'étendent verticalement et parallèlement les unes aux autres depuis un fond 22 du milieu 2 et font saillie au-delà de la surface 24 du liquide 4. Sur cette figure la verticale est repérée par la direction Z. Ici, la surface 24 correspond à la surface horizontale du liquide 4 lorsqu'il n'y a aucune vague dans le liquide 4. Elle s'étend dans un plan horizontal défini par deux axes A et B orthogonaux entre eux et perpendiculaires à la direction Z. Ici, ces axes A et B définissent un repère orthonormé, noté R, de coordonnées cylindriques. Les axes A et B tiennent ici respectivement le rôle d'axes d'abscisse et d'ordonnée. L'origine du repère R est confondue avec le centre O. On note (r, Θ) les coordonnées polaires d'un point du repère R dans le plan horizontal.

[0031] Avantageusement, les colonnes 20 s'étendent en dehors du liquide 4 au- dessus de la surface 24. De préférence, elles s'étendent avec une élévation au- dessus de la surface 24 qui est supérieure ou égale à la valeur maximale d'élévation des vagues se propageant dans le milieu 4 et que le dispositif 10 doit dévier.

[0032] Généralement, lorsqu'on construit le dispositif 10, on ne sait pas à l'avance jusqu'à quel niveau s'élèveront les vagues. Néanmoins, l'homme du métier sait qu'il existe des spectres de houle qui, pour une région maritime ou océanique donnée, fournissent les valeurs d'élévation maximale observées sur des périodes de plusieurs décennies voire plusieurs siècles. Ainsi, une valeur probable de cette valeur maximale peut être définie. Typiquement, les colonnes 20 dépassent la surface 24 d'au moins 1 m ou 2 m ou 5 m.

[0033] Le niveau du fond 22 n'est pas constant dans tout le milieu 2 et, en particulier, à l'intérieur de la zone 8. On note h(x) (ou tout simplement « h ») la hauteur du liquide 4, mesurée selon l'axe Z entre la surface 24 et le fond 22. Cette hauteur h(x) est une fonction du vecteur « x » de position qui a pour coordonnées r, Θ dans le repère R. Cette variation de hauteur du liquide est connue sous le nom de « bathymétrie ». Dans cet exemple, la bathymétrie à l'intérieur de la zone 8 varie uniquement radialement en fonction de la coordonnée « r ». Par exemple, cette variation est linéaire. Dans ce qui suit, cette hauteur est aussi désignée sous le terme de « profondeur ».

[0034] Ici, la profondeur correspond à un milieu marin dit de profondeur faible ou de profondeur dite intermédiaire (« intermediate depth » en langue anglaise). Le produit hk entre la bathymétrie h(x) et le nombre d'onde k de la vague est inférieur ou égal à 1 ou à 1/10.

[0035] De façon connue, le nombre d'onde k d'un phénomène oscillatoire est relié à la longueur d'onde de ce phénomène par la relation k = 2ττ/λ où λ est la longueur d'onde des vagues. Par exemple, le produit hk est égal à 0,56.

[0036] La forme et la disposition géométrique des colonnes 20 sera décrite plus en détail dans ce qui suit.

[0037] Dans ce mode de réalisation, toutes les colonnes 20 qui sont disposées le long d'un même cercle de centre O sont régulièrement espacées les unes des autres le long de ce cercle. Par la suite, on dit que cette disposition des colonnes présente un périodicité circulaire. De même, dans chaque direction radiale, les colonnes sont espacées les unes des autres selon une loi prédéfinie qui sera décrite dans ce qui suit. On dit que cette disposition des colonnes 20 est radialement pseudo-périodique.

[0038] Chaque colonne 20 présente une section transversale 26 (Figure 1) de profil constant sur toute sa hauteur. Les sections 26 de toutes les colonnes 20 qui se situent sur un même cercle de centre O sont toutes identiques. Ici, chaque section 26 est une portion d'un anneau de centre O. Plus précisément, ici, la section 26 correspond à un rectangle que l'on a incurvé pour que ses plus grands côtés définissent chacun un arc de cercle de centre O. Ainsi, chaque section 26 est définie par des paramètres L _r et L _e qui définissent respectivement les dimensions radiale et angulaire de la section 26. Le paramètre L _r correspond à la longueur du côté de cette section 26, mesurée selon une direction radiale depuis le centre O. Le paramètre L _e correspond à la longueur du côté de cette section 26 le plus proche du centre O.

[0039] La plus grande largueur de la section 26 dans le plan horizontal est inférieure ou égale à 3λ ₀ , où λ ₀ est la plus petite longueur d'onde des vagues dans le liquide 4 que le dispositif 10 doit dévier. Comme précédemment, cette longueur d'onde λ ₀ est, par exemple, déterminée à partir des spectres de houle de la région maritime ou océanique où doit être installée le dispositif 10. Ainsi, typiquement, la plus grande largeur de la section 26 des colonnes 20 est inférieure à 5 m ou 3 m ou 2 m. La plus grande largeur de la section horizontale 26 correspond à la distance, mesurée le long d'une ligne droite, entre les deux points les plus éloignés de cette section 26.

[0040] Les colonnes 20 sont ici réalisées en un matériau rigide et résistant à l'eau de mer, tel que du béton armé, de la roche, ou du bois traité. Elles sont ancrées dans le fond 22.

[0041] La figure 3A représente schématiquement la propagation des vagues en l'absence du dispositif 10. Les traits 40 représentent des trajectoires suivies par les vagues lorsqu'elles se propagent en surface du liquide 4. Les vagues qui pénètrent dans la zone 8 transitent au travers de la zone 6. Ce faisant, elles peuvent endommager la structure 12.

[0042] La figure 3B représente la propagation souhaitée des vagues en présence du dispositif 10 pour protéger la structure 12. Dans cette figure, les traits 42 représentent les trajectoires déviées des vagues qui évitent la zone 6. Plus précisément, les vagues qui pénètrent dans la zone 8 sont déviées par le dispositif 10, de sorte qu'elles contournent la zone 6 sans jamais y pénétrer. Dans cet exemple, lorsque ces vagues quittent la zone 8, elles retrouvent une trajectoire orientée suivant une direction essentiellement identique aux trajectoires 40.

[0043] La configuration du dispositif 10 dépend notamment de la géométrie des zones 6, 8 et des propriétés de propagation des vagues dans le liquide 4. Lorsque le dispositif 10 est présent dans la zone 8, il modifie la façon dont les vagues se propagent dans le liquide 4 au sein de cette zone 8.

[0044] En fait, le dispositif 10 fonctionne comme les capes d'invisibilité connues dans le domaine de l'électromagnétisme, dans lesquelles la propagation d'ondes électromagnétiques est déviée par un dispositif de protection, typiquement réalisé au moyen d'un métamatériau. Un tel exemple est décrit dans l'article de J. B. Pendry et al., « Controlling Electromagnetic Fields », Science, vol. 312, p. 1780-1782, juin 2006. Par la suite, cet article est désigné sous la référence « Pendry2006 ».

[0045] Ainsi, en appliquant la méthodologie décrite dans Pendry2006 au cas des vagues de surface, il est possible d'établir les propriétés que doit avoir le milieu à l'intérieur de la zone 8 pour dévier la trajectoire des vagues comme décrit en référence à la figure 3B. Cette méthodologie étant connue, celle-ci n'est pas expliquée en détail ici. On rappelle simplement, que dans le cadre de ce mode de réalisation, il faut d'abord construire une transformation géométrique, notée « f », qui transforme :

- un ensemble formé de la réunion des zones 6 et 8,

- en un ensemble formé de la seule zone 8.

[0046] Dans cet exemple, la transformation f est choisie parmi les transformations de la forme suivante, exprimée en coordonnées polaires :

(r' = f{r) = a x r + fi avec :

R<— R , Ri— r<-¾

« = ; = R_ ^"

R'2 — Γί) 2 — <}

et r ₀ un paramètre de réglage strictement positif et qui est inférieur ou égal à R i/10. Le rôle du paramètre r ₀ sera précisé dans ce qui suit. Cette transformation f transforme les coordonnées (r, Θ) en coordonnées (r', θ'). Plus précisément, cette transformation f transforme ici un disque de rayon R ₂ et de centre O en un anneau de centre O délimité par des cercles concentriques de rayon intérieur Ri et de rayon extérieur R ₂ .

[0047] Dans cet exemple, pour les applications numériques données par la suite, on choisit Ri = lm et R ₂ = 3m.

[0048] La transformation f peut s'exprimer sous la forme de la matrice suivante (notée T ou [T]) dans une base en coordonnées polaires du repère R :

[0049] Le déterminant de la matrice jacobienne [J] associée à la matrice T est donné par l'équation suivante :

[0050] De façon générale, la matrice [T] et la matrice [J] sont reliées par la relation [T] = [J] ^_1 .[J] ^"T .det([J]), où det([J]) est le déterminant de la matrice [J], [J] ^~T désignant la transposée inverse de la matrice [J].

[0051] Ensuite, cette transformation f est appliquée aux équations de propagation des vagues dans le milieu 4. Cela permet de définir les paramètres physiques d'un milieu dit transformé qui est situé au sein de la zone 8 et qui dévie les vagues comme représenté sur la figure 3B. Du point de vue de la propagation des vagues, ce milieu transformé est caractérisé par des paramètres physiques dits transformés.

[0052] Par exemple, dans le cas d'ondes électromagnétiques, la propagation des ondes dans un milieu dépend des valeurs de perméabilité magnétique μ et de permittivité diélectrique ε de ce milieu. Le milieu transformé est alors caractérisé par des valeurs transformées de perméabilité magnétique μ' et de permittivité diélectrique ε' qui sont différentes des paramètres ε et μ. Ces paramètres transformés présentent une anisotropie au sein de la zone 8, qui est à l'origine des trajectoires 42 déviées.

[0053] Dans le cas présent, la propagation des vagues dans le liquide 4 est modélisée à l'aide de l'équation dite de Mild-Slope. L'équation Mild-Slope est par exemple décrite dans l'article de D. Porter, « The mild-slope équations », Journal of Fluid Mechanics, vol. 494, p. 51-63, 2003, doi:10.1017/S0022112003005846. Ce modèle permet notamment de prendre en compte les variations de profondeur h(x).

[0054] L'équation de propagation des vagues de ce modèle s'écrit comme suit :

où :

- V- désigne l'opérateur divergence et V l'opérateur gradient ;

- Φ(χ) est le potentiel des vitesses des vagues ;

- ω ² est le carré de la fréquence angulaire ω des vagues, qui est définie au moyen de la loi de dispersion suivante : ω ² = g*k*tanh(k*h(x)) où « tanh() » désigne la fonction trigonométrique tangente hyperbolique ;

- « g » est la constante d'accélération de la pesanteur ;

- c _p est la vitesse de phase scalaire des vagues, donnée par la formule c _p = ω/k ;

- c _g est la vitesse de groupe scalaire des vagues, donnée par la formule c _g = dco/dk, où dco/dk est la dérivée de la fréquence angulaire ω par rapport au nombre d'onde k.

[0055] Dans cet exemple, compte tenu de la loi de dispersion décrite précédemment, les vitesses scalaires c _g et c _p s'expriment comme suit :

c ² _p = (g/k)*tanh(k*h(x)), et

c _g = (c _p / 2)*[l+k*h*(l- tanh ² (k*h(x)))/ tanh(k*h(x)))].

[0056] Dans cette description, sauf précision contraire, le symbole « * » désigne une multiplication entre deux nombres réels.

[0057] Le potentiel Φ(χ) est relié à l'amplitude u(x) par la formule suivante :

u(x) = (-l/g)*(d t>/dt), où d /dt est la dérivée du potentiel Φ(χ) par rapport à la variable temps notée t.

[0058] En régime harmonique, cette formule se simplifie comme suit :

u(x) = (i*G)/g)* t>, où « i » est le nombre imaginaire. [0059] L'amplitude u(x) est ici définie comme la hauteur de la vague, mesurée selon l'axe Z, par rapport à la surface 24.

[0060] Les paramètres physiques pertinents pour la propagation des vagues sélectionnés ici sont le produit c _p *c _g , et le rapport c _g /c _p des vitesses c _g et c _p .

[0061] Il peut être montré que, lorsqu'on applique la transformation f à l'équation de Mild-Slope, l'équation (0.1) conduit à l'expression suivante :

[0062] On obtient alors les paramètres physiques transformés, c'est-à-dire ici le produit [CpCg] transformé et et le rapport [c _g /c _p ] transformé qui permettent d'obtenir les trajectoires 42. Le produit [c _p c _g ] transformé et et le rapport [c _g /c _p ] transformé sont égaux, respectivement, à c _p c _g [T] et c _g /c _p det([J]) . Le produit [c _p c _g ] est donc une matrice à deux lignes et deux colonnes. On note que la valeur du produit [c _p c _g ] transformé dépend de la valeur du produit c _p c _g des vitesses scalaires c _p et c _g et donc de la période T ou de la longueur d'onde λ des vagues. Lors de la conception du dispositif 10, la valeur de cette longueur d'onde λ est fixée pour respecter la relation kh<l. De plus, ici , cette valeur est choisie de manière à ce que les courbes 51 et 51', décrites plus loin en référence à la figure 4, soient des fonctions monotones.

[0063] A ce stade, on décrit des modifications apportées au produit [c _p c _g ] pour faciliter la conception du dispositif 10.

[0064] On note λι et λ ₂ les valeurs propres de la matrice [T] et det _A le déterminant de cette matrice :

[0065] Avantageusement, les valeurs propres λι, λ ₂ et le déterminant det _A sont adaptés en ajustant le paramètre r ₀ pour éviter que les quantités λι et detx ne tendent vers zéro et que la quantité λ ₂ ne tende vers l'infini , lorsque la coordonnée r tend vers [0066] De plus, il faut toujours satisfaire l'inégalité suivante : c _g /c _p ≤l

[0067] Dans cet exemple, les conditions aux limites imposent les conditions suivantes sur le contour cylindrique 16 :

où c _p0 et c _g o sont des nombres réels strictement positifs.

[0068] Par exemple, en profondeur intermédiaire, pour h*k égal à 1 (à 5 % près), on a le produit c _p0 Cgo égal à 2,8485 et le rapport c _g o/c _p o = 0,7696. Ces valeurs sont obtenues à partir de valeurs de c _p0 et c _g0 tirées de l'équation (0.1) pour des valeurs de la bathymétrie h et de la période des vagues fixées (la période T étant reliée à la longueur d'onde de façon connue) pour le contour cylindrique 16.

[0069] Ici, on définit des paramètres dits réduits des valeurs propres λι et λ ₂ et du déterminant det _A , qui sont notées respectivement λΊ, λ' ₂ et det' _A et qui permettent de satisfaire les conditions aux limites exposées précédemment. Ces paramètres réduits sont définis comme suit :

^A max (det _A ) ^" min( /. _: )

et λΊ= λι. Ces paramètres réduits permettent de vérifier les conditions aux limites tout en satisfaisant à la condition c _g /c _p ≤l.

[0070] On définit également des paramètres réduits supplémentaires A ^mse i, A ^mse ₂ et det ^mse A à partir de ces paramètres réduits.

[0071] Plus précisément, les paramètres A ^mse i, A ^mse ₂ et det ^mse _A sont obtenus en réduisant les variations de λΊ, λ' ₂ et det' _A lorsque la variable r s'approche de Ri pour éviter des valeurs nulle ou presque infinie pour, respectivement, ΛΊ et λ' ₂ . En faisant cela, on évite que les variations de bathymétrie deviennent négligeables, ce qui n'aurait pas de sens physique. L'utilisation par la suite des paramètres A ^mse i, A ^mse ₂ et det ^mse _A à la place des paramètres λΊ, λ' ₂ et det' _A empêche d'obtenir exactement les trajectoires 42 représentés sur la figure 3B. Toutefois, comme le montrent les résultats obtenus par simulation, le dispositif 10 ainsi conçu permet de s'en rapprocher très fortement.

[0072] La figure 4 représente l'évolution des paramètres, exprimés en unités arbitraires, en fonction de la variable « r », exprimée en mètres. Les courbes 50, 51 et 52 représentent respectivement l'évolution des paramètres λΊ, λ' ₂ et det . Les courbes 50', 51' et 52' (en traits discontinus) représentent respectivement l'évolution des paramètres A ^mse i, A ^mse ₂ et det ^ms \.

[0073] On voit sur la figure 4 que les paramètres A ^mse i, A ^mse ₂ et det ^ms \ varient continûment à l'intérieur de la zone 8 au fur et à mesure que l'on s'éloigne du centre O.

[0074] Avantageusement, pour simplifier la conception des colonnes 20, l'évolution des valeurs propres A ^mse i, A ^mse ₂ et du déterminant det ^ms \ est discrétisée. A cet effet, on divise la zone 8 en plusieurs régions contiguës. La réunion de ces régions recouvre plus de 95 % ou plus de 98 % de la zone 8. Chaque région présente une profondeur constante. Mais, au moins deux de ces régions présentent des profondeurs différentes, comme on le verra ci-après. Dans chacune de ces régions les valeurs propres A ^mse i, A ^mse ₂ et le déterminant det ^ms \ sont approximés par des constantes.

[0075] Dans cet exemple, ces régions sont des anneaux concentriques centrés en O, d'épaisseur constante, et répartis les uns après les autres entre les cylindres 14 et 16. Ici, la zone 8 est découpée en un nombre N de telles régions, où N est un entier supérieur à deux ou trois.

[0076] A l'intérieur de chaque région, les valeurs des paramètres A ^mse i, A ^mse ₂ et det ^ms \ qui varient en fonction de r sont approximées par une constante numérique. On dit alors que les valeurs de ces paramètres sont discrétisées. Par exemple, dans chaque région, la valeur discrétisée du paramètre est prise égale à la moyenne du paramètre continu correspondant dans cette même région.

[0077] Plus le nombre de régions choisi est grand, plus il sera possible de se rapprocher de l'évolution continue idéale des paramètres A ^mse i, A ^mse ₂ et det ^ms \ et donc du produit [c _p c _g ] transformé souhaité. Ainsi, ce nombre N de régions est, de préférence, supérieur à cinq ou dix. Dans cet exemple, le nombre N est choisi égal à dix.

[0078] La figure 5 représente un exemple de découpage de la zone 8 en dix régions de même épaisseur. Les courbes 50", 51" et 52" représentent respectivement les valeurs discrétisées des paramètres A ^mse i, A ^mse ₂ et det ^mse A. Sur cette figure, les courbes 50', 51' et 52' correspondent à celles illustrées sur la figure 4.

[0079] Ensuite, il faut déterminer une configuration du dispositif 10 (et donc des colonnes 20) qui permette d'obtenir ce produit [c _p c _g ] transformé.

[0080] Pour cela, dans ce mode de réalisation, on utilise un ensemble (A) d'équations mathématiques qui relient :

- d'un côté les dimensions de la section transversale des colonnes à l'intérieur d'une zone rectangulaire, et

- de l'autre côté, le produit [c _p c _g ] à l'intérieur de cette même zone.

[0081] Dans cette description, un carré est considéré comme un rectangle particulier. Ainsi, les expressions « zone rectangulaire » ou « section rectangulaire » couvrent également les cas, respectivement, d'une zone carrée et d'une section carrée.

[0082] L'ensemble (A) d'équations est le suivant :

où :

- « i » et « k » sont des indices entiers égaux à 1 ou à 2 ;

- [CpCg] _ik sont les coefficients de la matrice du produit [c _p c _g ] transformé acquis pour cette région, - CpCg(y) est le produit de la vitesse de phase scalaire c _p par la vitesse de groupe scalaire c _g au niveau du point de coordonnée y,

- Y* désigne un domaine rectangulaire horizontal entourant entièrement au moins une section transversale d'une colonne de la zone rectangulaire et auquel est retranché la surface de la section transversale de chaque colonne contenue à l'intérieur de ce domaine, le domaine Y* étant caractérisé par une largeur di et une longueur d ₂ , au moins l'un au l'autre du domaine Y* ou de la section transversale de colonne présentant une longueur plus grande que sa largeur,

- I Y* | est la surface du domaine Y*,

- y désigne le point de coordonnées (yi, y ₂ ) dans le domaine Y* et exprimé dans un repère orthogonal R' du domaine Y*,

- d I dy désigne l'opérateur différentiation partielle par rapport à la variable y ;

- w ^k (y) est une fonction périodique, de période di pour la coordonnée yi et de période ant solution de l'équation suivante :

où :

- « V- » désigne l'opérateur divergence et « V » l'opérateur gradient , et

- e _k sont des vecteurs de la base propre du repère R'.

[0083] La détermination de ces équations est décrite dans l'annexe 1 à la fin de cette description et explique plus précisément à quoi correspondent les différentes inconnues qui apparaissent dans cet ensemble d'équations.

[0084] L'ensemble (A) d'équations relie, pour une zone rectangulaire, la valeur du produit [CpCg] à l'intérieur de cette zone rectangulaire, la bathymétrie de cette zone rectangulaire et la surface de la section transversale de chaque colonne dans cette zone rectangulaire. A partir du moment où les valeurs du produit [c _p c _g ] et la bathymétrie h(x) sont données pour cette zone rectangulaire, l'ensemble (A) d'équations permet donc de déterminer la surface de la section transversale des colonnes à implanter dans cette zone rectangulaire pour obtenir cette valeur du produit [CpCg] .

[0085] Dans cet exemple, on utilise d'abord l'ensemble (A) d'équations pour déterminer les dimensions des sections transversales des colonnes à l'intérieur d'une zone rectangulaire puis on en déduit la section transversale des colonnes 20 situées à l'intérieur d'une région en forme d'anneau. Cette façon de procéder simplifie les calculs. Cela va être décrit plus en détail en référence aux figures 6 et 7.

[0086] Pour cela, à la zone 8 (Figure 6), on fait correspondre une zone rectangulaire 60 (Figure 7). Cette correspondance est ici obtenue au moyen d'une transformation géométrique conforme te qui transforme une zone rectangulaire en un anneau de rayon intérieur Ri et de rayon extérieur R ₂ .

[0087] De façon connue, une transformation conforme (« conformai map » en langue anglaise) est une transformation de l'espace qui préserve les angles. Cette propriété est importante car elle permet d'éviter d'introduire de l'anisotropie liée à un changement de coordonnées.

[0088] Les transformations conformes sont connues et sont par exemple définies dans l'ouvrage de W. Rudin, « Real and complex analysis » (3° édition), New York: McGraw-Hill Book Co., (1987), ISBN 978-0070542341.

[0089] Dans cet exemple, on choisit la transformation géométrique conforme te suivante :

où :

- [a ; b] est la longueur de la zone rectangulaire ;

- [-ττ/α _ζ ; π/α _ζ ] est la largeur de la zone rectangulaire ;

- « log » est la fonction logarithme décimal,

- « e » désigne la fonction exponentielle,

- « a » et « b » sont deux nombres réels prédéterminé ; et

- z est une coordonnée complexe, notée z = x + i*y, d'un point de coordonnées (x, y) dans le repère R, i désignant le nombre imaginaire ;

- w représente la coordonnée d'un point dans un repère cartésien de la zone rectangulaire.

[0090] On définit dans cette zone 60 deux axes orthogonaux Xi et X ₂ horizontaux et parallèle, respectivement, à la longueur et la largeur de la zone 60. Ces axes Xi et X ₂ définissent un repère orthogonal R' de coordonnées cartésiennes. Cette zone rectangulaire présente une longueur, mesurée selon l'axe Xi, comprise au sein de l'intervalle [a,b] et une largeur, mesurée selon l'axe X ₂ , comprise dans l'intervalle [- π/α _ζ ; π/α _ζ ].

[0091] La zone 60 est divisée en N bandes parallèles rectangulaires de même largeur que les régions concentriques décrites précédemment pour la zone 8. Ces N bandes s'étendent successivement parallèlement au côté vertical [-π/α _ζ ; π/α _ζ ] de la zone 60. Le nombre N de bandes est identique au nombre N de régions définies pour discrétiser les valeurs propres A ^mse i, A ^mse ₂ et le déterminant det ^ms \. Ici, comme on l'a vu précédemment, N est égal à dix. Ainsi chacune des N bandes de la zone 60 est transformée en une région correspondante de la zone 8 après transformation par la transformation conforme te.

[0092] Dans cet exemple, la bande la plus proche de l'abscisse « a » correspond à la région concentrique la plus proche du centre O de la zone 8. A l'inverse, la bande la plus proche de l'abscisse « b » correspond à la région la plus éloignée du centre O.

[0093] Ensuite, pour chaque bande on procède aux opérations suivantes :

1) on résout l'ensemble (A) d'équations utilisé pour déterminer l'emplacement et les dimensions de la section transversale de chacune des colonnes dans cette bande, puis

2) L'emplacement et les dimensions de la section transversale de chaque colonne dans la région de la zone 8 correspondant à cette bande sont obtenus en appliquant la transformation conforme te.

[0094] Pour réaliser, l'opération 1) la bathymétrie de la bande est prise égale à celle de la région correspondante dans la zone 8. Ainsi, dans ce mode de réalisation la profondeur est constante dans chaque bande. De plus, on choisit la profondeur dans chaque région de manière à ce que les écarts de profondeurs entre deux régions contiguës de la zone 8 soient petits, c'est-à-dire que la norme |Vh| du gradient Vh soit telle que le rapport |Vh|/(kh) soit cent fois ou mille fois plus petit que 1.

[0095] Dans cet exemple, la profondeur d'eau dans chaque régions est choisi pour diminuer au fur et à mesure que l'on s'éloigne du centre O. A titre d'illustration, la profondeur d'eau dans chaque région, et donc dans chaque bande, est donnée dans le tableau n°l ci-dessous.

[tableau n° 1]

[0096] Dans ce tableau, les régions sont numérotées par ordre croissant depuis le bord 14 vers le bord 16 et correspond donc à une numérotation des bandes depuis l'abscisse a vers l'abscisse b.

[0097] Pour simplifier, on va décrire dans ce qui suit la détermination de l'emplacement et des dimensions de la section transversale de chaque colonne dans une seule des N bandes. Cette bande est désignée par la référence 64 sur la figure 7. Ce qui est décrit dans le cas particulier de la bande 64 s'applique à l'identique aux autres bandes.

[0098] Un pavage périodique de la bande 64 avec des cellules rectangulaires 66 est d'abord choisi. Ces cellules 66 ont les mêmes caractéristiques que celles définies pour les cellules élémentaires 406 dans l'Annexe 1. En particulier chaque cellule 66 contient entièrement la section transversale d'une colonne. Ainsi, le choix du nombre de cellules 66 détermine le nombre de colonnes dans la bande 64 et donc le nombre de colonnes 20 dans la région correspondante de la zone 8.

[0099] En pratique, le nombre de colonnes par bande est supérieur à deux et, de préférence, supérieur à quatre. De plus, le nombre de colonnes dans chaque bande est choisi pour que le nombre total de colonnes dans la zone 60 soit de préférence supérieur à 50 ou 100. Ici, le nombre de colonnes dans chaque bande est choisi pour augmenter au fur et à mesure que l'on se rapproche du cylindre 16.

[00100] Par exemple, le nombre de colonnes dans chaque bande est choisi comme indiqué dans le tableau n°2 ci-dessous :

[tableau n° 2]

[00101] Dans cet exemple, les cellules de chaque bande sont disposées les unes à côtés des autres le long de l'axe X ₂ . Ainsi, sur la figure 7, le pavage de la bande 54 forme une colonne verticales de huit cellules. Après ce choix du nombre de colonnes contenues dans la bande 64, les dimensions di et d ₂ de la cellule 66 sont connues.

[00102] Ensuite, l'ensemble (A) d'équations est résolu dans le cas particulier où l'on connaît la bathymétrie, les dimensions di et d ₂ de la cellule 66 et les valeurs des coefficients [c _p Cg] _ik du produit [c _p c _g ] dans cette bande. Les coefficients [c _p Cg] _ik de la bande 64 sont pris égaux aux coefficients [c _p Cg] _ik de la région de la zone 8 correspondant à cette bande. La résolution de l'ensemble (A) d'équations permet alors d'obtenir la surface de la section transversale 62 de la colonne contenue dans chacune des cellules 66 qui permet d'obtenir le produit [c _p c _g ].

[00103] Une fois que la surface de la section transversale 62 a été obtenue, la forme de la section 62 est choisie. Il existe très peu de contraintes sur le choix de la forme de la section 62. Il faut seulement que la cellule 66 soit anisotrope. Cela se traduit par le fait qu'il n'est pas possible de choisir une section transversale circulaire si la cellule 66 est carrée. Dans cet exemple, pour simplifier les calculs, la section 62 est choisie de forme rectangulaire avec un côté plus long que l'autre. Une fois la forme de la section 62 choisie, les dimensions de la section 62 sont choisies pour qu'elle ait la surface déterminée grâce à l'ensemble (A) d'équations.

[00104] Ensuite, dans un deuxième temps, on applique à la bande 64, et donc aux sections 62 des colonnes de cette bande, la transformation géométrique conforme te. Cela transforme la bande 64 en la région correspondante de la zone 8 et chaque section 62 rectangulaire en une portion d'anneau comme décrite en référence à la figure 1. Ainsi, on obtient l'emplacement de chaque colonne à l'intérieur de la région correspondante et la valeur des deux paramètres L _r et L _e qui caractérisent complètement les dimensions de la section transversale de chaque colonne 20 dans cette région.

[00105] Les dimensions des colonnes 20 dans chaque région obtenues avec les valeurs numériques précédentes sont données dans le tableau n°3 ci-dessous.

[Tableau n°3]

[00106] A partir de ces valeurs, on obtient le dispositif 10 illustré à la figure 6. A ce stade, on dispose de toutes les informations nécessaires sur la disposition des colonnes 20 pour construire le dispositif 10 qui permette de dévier la trajectoire des vagues.

[00107] Les figures 8A à 9B illustrent des résultats, obtenus par simulation, sur la propagation des vaques en présence et en absence du dispositif 10 dans le milieu 2. Ces simulations ont été faites à l'intérieur d'un volume à base carré du milieu 2 de longueur égale à 8 mètres et qui a pour centre le centre O et pour la longueur d'onde λ des vagues fixées lors de la conception. La structure 12 est ici représentée par un objet dur à base cylindrique situé au centre de la zone 6. La structure 12 occupe ici la totalité de la zone 6. Elle apparaît sous la forme d'un cercle blanc sur les figures 8A à 9B. Pour ces simulations, la structure 12 est donc approximée par un cylindre rigide plein de rayon Ri. Dans ces simulations, on a pris Ri = lm et R ₂ = 3m. La profondeur relative du milieu 2 est égale à hk = 0,5622.

[00108] Ces données ont été ici obtenues par simulation numérique, par exemple au moyen du logiciel Comsol™. Les coordonnées en abscisses (notées x) et en ordonnées (notées y) sont exprimées dans le repère R mais en coordonnées cartésiennes avec pour origine le centre O. Le module et la partie imaginaire de l'amplitude sont exprimés en valeur relative par rapport à l'amplitude des vagues incidentes. Ainsi, une valeur égale à 1 correspond à une absence de déplacement vertical du liquide 4, une valeur supérieure à 1 indique une élévation de hauteur du liquide 4 et une valeur inférieure à 1 indique un creux ou une dépression par rapport à la surface du liquide 4. Les vagues incidentes présentent une forme périodique et se propagent dans le sens indiqué par la flèche 70.

[00109] La figure 8A représente le module de l'amplitude u(x), noté Mod(u), de vagues dans le liquide 4 en l'absence du dispositif 10. La figure 8B représente la partie imaginaire de l'amplitude u(x), notée lm(u), également en absence du dispositif 10. Cette partie imaginaire donne une information sur la phase des vagues.

[00110] En l'absence du dispositif 10, les vagues incidentes sont réfléchies par la structure 12.

[00111] La figure 9A représente le module de l'amplitude u(x) des vagues pour le même milieu, mais dans lequel le dispositif 10 précédemment calculé est présent dans la zone 8. On constate que les fluctuations de l'élévation de surface du liquide 4 sont moins importantes. La figure 9B représente la partie imaginaire de l'amplitude u(x) dans ce même cas de figure. On constate que les vagues se reforment à leur sortie de la zone 8 et retrouvent une trajectoire alignée avec leur direction de propagation initiale.

[00112] La figure 10 représente un extrait de l'évolution de ces amplitudes dans le plan de coupe 72 de la figure 9A. Le plan 72 est parallèle à la flèche 70 et donc à la direction de propagation des vagues et passe par le centre O.Les courbes 80 et 82 correspondent respectivement au cas sans et avec le dispositif 10 et sont extraites des données des figures 8A et 9A précédentes.

[00113] On constate qu'en l'absence du dispositif 10, il y a une différence d'élévation du liquide 4 entre le bord de la structure 12 situé du côté où arrivent les vagues incidentes (flèche 84) et le bord qui lui est opposé (flèche 86). Cette différence d'élévation crée un effort dans le sens de propagation des vagues incidentes, qui tend à déplacer la structure 12. Au contraire, en présence du dispositif 10, cette différence est très réduite, voire inexistante. Les vagues incidentes n'induisent donc que peu, voire pas d'effort de déplacement sur la structure 12. La structure 12 est ainsi protégée des vagues.

[00114] La figure 11 représente l'évolution de ces amplitudes dans le plan de coupe 74 de la figure 9A. Le plan 74 est perpendiculaire à la flèche 70 et passe par le centre O. De même que pour la figure 10, les courbes 90 et 92 correspondent respectivement au cas sans et avec le dispositif 10 et sont extraites des données des figures 8A et 9A précédentes.

[00115] On constate que, même en l'absence de dispositif 10, le profil d'élévation du liquide 4 est relativement symétrique de part et d'autre de la structure 12. Avec ou sans dispositif 10, les vagues incidentes n'induisaient pas de déplacement de la structure 12 selon une direction perpendiculaire à la flèche 70. Ainsi, la structure 10 ne dégrade pas la situation dans cette direction.

[00116] Dès résultats similaires ont été obtenus dans une large plage de longueurs d'onde pour les vagues située autour de la longueur d'onde λ fixée lors de la conception. En particulier, les résultats ont tendance à être encore meilleurs pour des longueurs d'onde supérieures à la longueur d'onde λ fixée. [00117] La figure 12 représente un dispositif 100 de calcul automatique apte à déterminer la configuration spatiale des colonnes 20 du dispositif 10. Par exemple, le dispositif 100 comporte :

- un support 102 d'enregistrement d'informations tel qu'une mémoire non volatile; - un calculateur 104 électronique programmable tel qu'un microprocesseur ;

- une interface 106 d'échange de données.

[00118] Le support 102 comporte les instructions pour exécuter le procédé de la figure 13. Le calculateur 104 lit et exécute les instructions enregistrées sur le support 102. L'interface 106 permet d'échanger et de transférer des données. Par exemple, le calculateur 104 est un microprocesseur de la famille 8086 de la société INTEL®.

[00119] Le dispositif 100 est ici un micro-ordinateur.

[00120] Un exemple de fonctionnement d'un procédé de conception assistée par ordinateur du dispositif 10 va maintenant être décrit, en référence à la figure 13 et à l'aide des figures 1 à 12.

[00121] D'abord, lors d'une étape 200, les données géométrique sur les zones 6 et 8 sont acquises par l'interface 106. Plus précisément, ces données acquises comportent la géométrie des zones 6 et 8. Dans le cas des zones 6 et 8, ces données géométriques se limitent aux valeurs des rayons Ri et R ₂ .

[00122] Ensuite, lors d'une étape 202, le calculateur 104 acquière une division de la zone 8 en une pluralité de régions dans lesquelles les paramètres du problème prennent une valeur constante. Ces régions ont été précédemment décrites en références aux figures 4 à 6. Par exemple, lors de cette étape 202, le calculateur 104 acquiert seulement le nombre N de régions par l'intermédiaire de l'interface 106 puis découpe la zone 8 en N anneaux concentriques. Lors de cette étape, le calculateur 104 acquière également pour chacune des régions :

- sa profondeur h, et

- le nombre de colonnes 20 à l'intérieur de cette région.

[00123] Dans ce mode de réalisation, on suppose que la section transversale de chaque colonne 20 est rectangulaire et que cette information est déjà pré-enregistrée dans la mémoire 102 de sorte que l'utilisateur n'a pas à la fournir. Ainsi, dans ce cas, cette information est acquise par le calculateur 104 à partir du contenu de la mémoire 102..

[00124] Lors d'une étape 204, le calculateur acquière pour chacune de ces régions les valeurs du produit [c _p c _g ] transformé à l'intérieur de cette région. Par exemple, pour chaque région, le calculateur 104 calcule automatiquement les valeurs du produit [CpCg] à l'intérieur de cette région à l'aide de l'équation (0.2). Typiquement, le produit [CpCg] est calculé à l'aide de la relation [c _p c _g ] = c _p c _g [T]. Puis, il calcule les valeurs propres A ^mse i, A ^mse ₂ et du déterminant det ^ms \ discrétisés dans cette région. Enfin, le calculateur 104 en déduit la valeur du produit [c _p c _g ] transformé pour cette région et acquière cette valeur. [00125] Enfin, lors d'une étape 206, le calculateur 104 calcule automatiquement l'emplacement et les dimensions de chaque colonne 20 à l'intérieur de la zone 8 à partir des valeurs des produits [c _p c _g ] transformés acquis lors de l'étape 204. Plus précisément, comme expliqué précédemment, chaque région de la zone 8 correspond à une bande de la zone rectangulaire 60. Ainsi, le calculateur 104 résout d'abord l'ensemble (A) d'équations pour chaque bande de la zone rectangulaire 60 en tenant compte des données acquises lors des étapes précédentes. Il détermine ainsi la surface de la section transversale 62 des colonnes ainsi que leur emplacement à l'intérieur de cette bande. Ensuite, il calcule la longueur et la largeur de la section 62 de chaque colonne à partir de la surface transversale déterminée. Par exemple, le calculateur 104 résout automatiquement l'ensemble (A) d'équations au moyen d'une méthode de calcul numérique par éléments finis. L'emplacement et les dimensions L _r et L _e des colonnes 20 de chaque région sont ensuite déduits de l'emplacement et des dimensions des colonnes de la bande correspondante dans la zone 60. A cet effet, le calculateur 104 applique la transformation conforme te à la zone 60. Les dimensions L _r et L _e de chaque colonne 20 ainsi que son emplacement à l'intérieur de la zone 8 sont alors obtenus.

[00126] On obtient ainsi les caractéristiques du dispositif 10. Finalement, le dispositif 10 ayant les caractéristiques déterminées lors des étapes précédentes est construit dans le milieu 2 autour de la structure 12 à protéger. A cet effet, les techniques conventionnelles de construction d'ouvrages maritimes sont mises en œuvre. Si nécessaire, le fond 22 du milieu 2 est nivelé pour que la profondeur de chaque région de ce fond 22 corresponde à celle utilisée lors des étapes 202 à 206.

[00127] Le dispositif 10 ainsi construit présente dans chaque région, un produit [c _p c _g ] homogénéisé à l'intérieur de cette région égale à plus ou moins 5 % ou 10 % ou 20 % près à la moyenne des produits [c _p c _g ] transformés obtenus pour cette même région. Le produit [c _p c _g ] homogénéisé est celui obtenu en résolvant l'ensemble (A) d'équations pour la bande correspondante de la zone 60. Le produit [c _p c _g ] transformé est celui égal à c _p c _g [T].

[00128] Étant donné le grand nombre de paramètres qu'il est possible de choisir lors de la conception du dispositif 10, le dispositif 10 conçu peut présenter des structures très différentes les unes des autres mais qui dévient toutes les vagues par diffraction comme souhaité. Pour rappel, il est possible de choisir avec une grande marge de latitude les paramètres suivants lors de la conception : dimensions de la zone 8, nombre N de régions, bathymétrie de chaque région, discrétisation des paramètres A ^mse i, A ^mse ₂ et det ^mse _A dans chaque région, nombre de colonnes par région, périodicité de l'agencement des colonnes dans chaque région, et forme de la section transversale de chaque colonne.

[00129] De façon générale, pour vérifier si un dispositif 10 donné a été conçu à l'aide du procédé ci-dessus, il est possible de procéder de la façon suivante : - On identifie les zones correspondant aux zones 6 et 8 et on relève leurs dimensions.

- On relève les dimensions et les positions des sections transversales des colonnes dans la zone 8.

- On relève la bathymétrie à l'intérieur de la zone 8.

- On identifie les différentes régions de la zone 8 et leur nombre.

- Dans le cas où les régions identifiées ne sont pas rectangulaires, on détermine la ou les transformations conformes qui permettent de transformer chaque région non- rectangulaire en une bande rectangulaire correspondante. Puis, pour chaque région, on applique la transformation conforme déterminée à cette région pour en déduire l'emplacement des colonnes et les dimensions de la section transversale des colonnes à l'intérieur de la bande rectangulaire correspondante. Si la région identifiée est déjà rectangulaire, alors la transformation conforme est la transformation identité.

- Dans chaque bande rectangulaire correspondante, on détermine la taille des cellules élémentaires rectangulaires à partir de l'espacement entre les colonnes à l'intérieur de cette bande.

- Pour chaque bande rectangulaire, on résout l'ensemble (A) d'équations pour déterminer le produit [c _p c _g ] homogénéisé dans cette bande rectangulaire. Lors de cette résolution de l'ensemble (A) d'équations, les inconnues sont les coefficients [CpCg] _ik alors que la surface des sections transversale des colonnes et les périodes di et d ₂ sont connues.

- On détermine la matrice [T] de la transformation f qui transforme la réunion des zones 6 et 8 en seulement la zone 8. On peut alors calculer le produit [c _p c _g ] transformé à l'aide de la relation [c _p c _g ] = c _p c _g [T]. Puis on calcule la moyenne du produit [CpCg] transformé dans chacune des régions. La moyenne est calculée en affectant un même coefficient de pondération à la valeur du produit [c _p c _g ] transformé en chaque point de la région.

- Enfin, pour chaque région, on compare la moyenne du produit [c _p c _g ] transformé pour cette région au produit [c _p c _g ] homogénéisé déterminé pour la même région. Si le produit [c _p c _g ] homogénéisé ainsi déterminé est égal à la moyenne du produit [c _p c _g ] transformé souhaité à une marge d'erreur près, alors il s'agit d'un dispositif conforme à l'enseignement donné dans cette description. La marge d'erreur introduite par la discrétisation de paramètres est inférieure à 20 % ou 10 % ou 5 % de la valeur de la moyenne du produit [c _p c _g ] transformé pour cette région.

[00130] La figure 14 représente un autre procédé de conception assisté par ordinateur du dispositif 10. Le procédé de la figure 14 est applicable même lorsque la zone de déviation présente une forme compliquée et non régulière. En effet, dans ce cas il peut être difficile de trouver une transformation conforme adéquate qui fait correspondre la zone 60 à cette zone 8. [00131] L'étape 300 est identique à l'étape 200 sauf que la forme géométrique de la zone de déviation acquise par le calculateur est beaucoup plus complexe. Par exemple, la zone 8 est remplacée par la zone 8' illustrée sur la figure 15.

[00132] Ensuite, lors de l'étape 302, la zone 8' est découpée en régions rectangulaire contiguës les unes aux autres. La réunion de ces régions rectangulaires recouvre plus de 95 % de la section horizontale de la zone 8'. Puis on résout le problème indépendamment dans chaque région rectangulaire.

[00133] La figure 15 représente un exemple d'un tel pavage rectangulaire de la zone 8'. Ce pavage est formé d'une pluralité de régions rectangulaires 301 contiguës dont la réunion approxime la zone 8'.

[00134] Lors de d'une étape 304, la calculateur 104 acquière pour chacune de ces régions 301 les valeurs du produit [c _p c _g ] transformé à l'intérieur de cette région. Cette étape est réalisée comme l'étape 204 sauf que la forme des régions n'est pas la même. En effet, quelle que soit la forme de la région 8', il est toujours possible de trouver une transformation géométrique f qui transforme un premier ensemble de régions rectangulaires qui approxime la réunion des régions 6 et 8' en un second ensemble de régions 301 qui approxime la région 8' de déviation. Typiquement, le second ensemble est divisé en autant de régions rectangulaires que le premier ensemble. Il est donc possible de calculer pour chaque région 301 le produit [c _p c _g ] transformé acquis pour cette région en appliquant cette transformation f à l'équation de Mild-Slope de façon similaire à ce qui a été décrit en référence à l'étape 204.

[00135] Ensuite, lors d'une étape 306, le calculateur 104 calcule les dimensions des sections transversales des colonnes à l'intérieur de chaque région rectangulaire 301. Dans ce cas, puisque chaque région 301 est rectangulaire, l'ensemble (A) d'équations peut directement être utilisé pour déterminer la section transversale des colonnes sans avoir à utiliser la transformation conforme. Si nécessaire, une fois que les dimensions de la section transversale d'une colonne ont été déterminées, différentes orientations de cette colonne à l'intérieur de sa région 301 peuvent être testées afin d'identifier celle qui se rapproche le plus du produit [c _p c _g ] transformé acquis pour cette région.

[00136] Ensuite, le dispositif conçu lors des étapes 300 à 308 est construit lors d'une étape 310.

[00137] De nombreux autres modes de réalisation sont possibles.

[00138] Le liquide 4 peut être autre chose que de l'eau de mer. Il s'agit par exemple d'eau douce.

[00139] Les formes des zones 6 et 8 peuvent être différentes. Par exemple, elles ont une forme de losange ou de quadrilatère. Les zones 6 et/ou 8 peuvent aussi avoir une forme non régulière. Pour chaque forme différente des zones 6 et 8, il faut alors en général adapter la transformation f. Il existe un très grand nombre de transformation f possibles. Par exemple, la transformation f n'est pas linéaire. A titre d'exemple, pour une zone en forme de losange, la transformation f suivante peut être utilisée :

où Jxx ^> désigne la matrice Jacobienne de la transformation et a = (y2-yl)/yl où yl et y2 sont ici des nombre réels prédéterminés.

[00140] Dans un autre exemple, pour une zone 8 de forme quelconque, on peut utiliser la transformation f suivante : où J _rr désigne la matrice Jacobienne de la transformation et où les coefficients a et β sont définis comme suit :

Ιϊ ) β (0) _ r O )

3 = E ₂ {

[00141] De plus, l'homme du métier sait que pour une géométrie donnée des zones 6 et 8, il peut exister plusieurs transformations géométriques équivalentes qui transforment l'ensemble formé par la réunion des zones 6 et 8 en l'ensemble formé de la seule zone 8. Par exemple, dans l'exemple décrit, la transformation f peut être remplacée par une transformation f dont la matrice est identique à la matrice [T] décrite, à ceci près que les coefficients (r- )/r et r/(r- ) de cette matrice sont remplacés, respectivement, par les coefficients (r ^m - )/r ^m et r ^m /(r ^m - ), où « m » est un entier naturel. Par exemple, lorsqu'il existe plusieurs transformations possibles pour une géométrie donnée, le calculateur 104 choisit aléatoirement l'une d'entre elles.

[00142] La zone 8 peut être découpée en régions qui présentent plusieurs formes différentes. Pour les régions de la zone 8 qui présentent une forme rectangulaire, alors il n'est pas nécessaire d'utiliser la transformation conforme. Pour les autres régions, une transformation conforme est utilisée pour calculer les dimensions et l'emplacement des colonnes.

[00143] Les colonnes 20 peuvent être réalisées dans un matériau différent, tel que du métal ou une céramique ou un matériau à base de fibres de carbone.

[00144] La section transversale des colonnes 20 peut avoir une forme différente, telle qu'une forme de quadrilatère, de triangle, d'ellipse, de polygone, voire même de toute forme non régulière. Cependant, une forme régulière permet de fabriquer plus facilement les colonnes 20. La section transversale peut également ne pas présenter d'anisotropie. Dans ce cas, cependant, il est nécessaire que la cellule 66 présente une forme anisotrope. Par exemple, la section transversale est de forme circulaire mais la cellule 66 est de forme rectangulaire avec un côté plus long que l'autre. Une cellule 66 peut aussi contenir plusieurs colonnes. Dans ce cas, la résolution de l'ensemble (A) d'équations permet de déterminer le cumul des surfaces des sections transversales de toutes les colonnes contenues à l'intérieur de la cellule 66.

[00145] Les colonnes 20 ne sont pas toutes identiques entre elles. Leurs sections 26 peuvent changer de forme d'une colonne à l'autre. Par exemple, les colonnes 20 d'une des N régions présentent une section 26 de forme rectangulaire, et les colonnes 20 d'une des N-l autres régions présentent une section 26 de forme carrée.

[00146] En variante, au sein d'une même région, les colonnes ont des sections transversales de formes différentes mais qui présentent toutes la même superficie.

[00147] En variante, on ne cherche pas à dévier les vagues de la zone 6 mais, au contraire, à les faire converger vers la zone 6. On peut aussi chercher à amplifier leur amplitude dans cette zone 6. Par exemple, une centrale électrique houlomotrice qui tire son énergie du déplacement d'eau engendré par des vagues est placée à l'intérieur de la zone 6. Selon un autre exemple, la zone 6 peut être utilisée pour créer un site de pratique de sports aquatiques tels que du surf, du bateau, du jet-ski ou du canoë-kayak. Dans ce cas, par exemple, la transformation f transforme une zone circulaire de rayon R ₂ en une zone circulaire de rayon Ri plus petit, ce qui définit une transformation f qui concentre la trajectoire des vagues dans une zone plus petite. Cette transformation f permet alors comme décrit précédemment de déterminer le produit [CpCg] transformé que doit présenter la zone de déviation pour concentrer les vagues. Ensuite, la méthode décrite précédemment peut être adaptée, sans difficulté pour l'homme du métier, à ce cas de figure.

[00148] La structure 12 peut être différente. Il peut s'agir, de façon non exhaustive, d'une antenne, d'un bateau, d'un phare, d'une bouée, d'une zone côtière, d'une installation portuaire ou encore d'un site naturel à protéger.

[00149] S'il n'est pas nécessaire que les vagues se reforment derrière le dispositif 10 comme si celui-ci n'existait pas, alors, lors de l'étape 208 ou 308, seul un secteur du dispositif 10 conçu est construit. Dans ce cas, les vagues ne retrouvent pas nécessairement leur trajectoire en sortie comme illustré en référence à la figure 3B. Cependant, elles sont néanmoins suffisamment déviées pour ne pas traverser la zone 6. Ainsi, l'objet 12 est protégé. Cela est particulièrement intéressant lorsque l'objet 12 présente une forme linéaire, par exemple une portion côtière. Le dispositif 10 peut alors avantageusement remplacer une digue de protection côtière. Typiquement, le secteur du dispositif 10 est défini par deux demi-plans verticaux partageant un bord vertical commun passant par le centre O. L'angle entre ces deux demi-plans est par exemple supérieur à 45° ou 90°. Cet angle est également inférieur ou égal à 180°. Par exemple, pour protéger une portion de côte des vagues, seule la moitié avant du dispositif 10 est construite. La moitié avant du dispositif 10 est celle située du côté du plan 74 (figure 9A) où les vagues arrivent. Dans ce cas, l'angle entre les demi-plans est égal à 180°. La côte protégée se trouve alors à l'intérieur de la zone 6 ou en arrière de cette zone 6. Lorsque la zone de déviation présente une forme de losange, on peut ne sélectionneur qu'un quadrant de ce losange.

[00150] Le dispositif 100 peut être différent. Par exemple, il s'agit d'une station de travail ou d'un serveur de calcul.

[00151] La bathymétrie peut être choisie différemment. Par exemple, la bathymétrie h(x) peut varier différemment et pas forcément de façon linéaire. Cependant, pour que le modèle Mild-Slope soit applicable, il est préférable que cette variation soit faible par rapport à la distance d'une longueur d'onde, c'est-à-dire que la norme |Vh| du gradient Vh soit telle que le rapport |Vh|/(kh) soit cent fois ou mille fois plus petit que 1. En particulier, lors de la construction du dispositif 10, il n'est pas nécessaire que la profondeur varie brusquement entre deux régions de profondeurs différentes. Par exemple, en variante, ces variations brusques de profondeurs entre régions sont éliminées en les remplaçant par des pentes douces. Ainsi, la variation de profondeur en escalier décrite pour la zone 8 est remplacée par une variation douce et continue de la profondeur. Dans un cas particulier, cette variation douce de la profondeur ne comporte même plus de plateau horizontaux.

[00152] Les étapes du procédé de conception peuvent être réalisées différemment. Par exemple, le procédé peut être simplifié en limitant le nombre d'informations que doit fournir l'utilisateur. Par exemple, le nombre N de régions, le nombre de colonnes par région et la forme de la section transversale de chaque colonne sont des données préenregistrées que le calculateur 104 acquière directement dans la mémoire 102. De même, la profondeur h de chaque région et/ou la forme des zones 6 et 8 sont préenregistrées dans la mémoire 104. Dans ce dernier cas, l'utilisateur à juste à fournir, par l'intermédiaire de l'interface 106, les valeurs des rayons Ri et R ₂ . Dans une autre variante, l'utilisateur fournit par l'intermédiaire de l'interface 106 la valeur du produit [CpCg] transformé qu'il souhaite obtenir pour chaque région et le calculateur acquière ces données par l'intermédiaire de l'interface 106. Dans cette variante, le calculateur 104 ne calcule pas lui-même les valeurs du produit [c _p c _g ] transformé.

[00153] Une fois que la section transversale des colonnes a été déterminée par l'une des méthodes décrites précédemment, pour simplifier la construction du dispositif 10, celles-ci peuvent être légèrement adaptées. Ici, on considère que l'adaptation apportée est « légère » si, dans la région contenant ces colonnes de section transversale adaptée, le produit [c _p c _g ] homogénéisé calculé avec les colonnes dont la surface de la section transversale a été adaptée est compris entre 0,8[c _p c _g ] et l,2[c _p Cg] et, de préférence, compris entre 0,9[c _p c _g ] et l,l[c _p c _g ] ou entre 0,95[c _p c _g ] et l,05[c _p c _g ], où [c _p c _g ] est le produit transformé obtenu avec l'une des méthodes décrites ici pour cette région. Par exemple, les colonnes 20 représentées sur la figure 1 qui ont chacune une section transversale 26 en forme de portion d'anneau, peuvent être remplacées chacune par une colonne de section transversale rectangulaire de même surface et de même largueur L _r . Chaque colonne de section rectangulaire est centrée sur la colonne en forme de portion d'anneau qu'elle remplace. Pour cela, par exemple, le centre géométrique de la section transversale de la colonne de section rectangulaire est confondu avec le centre géométrique de la section transversale de la colonne 20 qu'elle remplace. Le centre géométrique d'une section transversale est défini comme étant égal au barycentre de tous les points de cette section transversale en affectant le même coefficient de pondération à chacun des points de cette section transversale. L'orientation de la colonne de section rectangulaire est telle que le plus grand côté de la section transversale rectangulaire soit tangent au milieu du plus grand côté de la section en portion d'anneau de la colonne qu'elle remplace. Des simulations numériques ont montré qu'une telle approximation permettait d'obtenir un dispositif qui fonctionne aussi bien que le dispositif 10 précédemment décrit mais en utilisant uniquement des colonnes de section rectangulaire. Les colonnes de section rectangulaire peuvent être plus faciles à construire que les colonnes ayant une section transversale en portion d'anneau.

[00154] Une autre adaptation possible des colonnes consiste à remplacer une colonne 20 qui a une section 26 en portion d'anneau par deux colonnes de section rectangulaire. Pour cela, par exemple, la section 26 est divisée en deux demi- colonnes symétriques l'une de l'autre par rapport à un plan vertical. Ensuite, chaque demi-colonne est approximée par une colonne respective de section rectangulaire. Par exemple, cette approximation est réalisée pour chaque demi-colonne comme décrit au paragraphe précédent en remplaçant la colonne 20 par la demi-colonne. Des simulations numériques ont montré que cette approximation fonctionne tout à fait correctement. De façon similaire, il est aussi possible de d'approximer une colonne 20 par NC colonnes de section rectangulaire, où NC est un entier strictement supérieur à deux. Dans ce dernier cas, on procède comme décrit juste avant sauf que la colonne 20 est divisée verticalement en NC parties qui sont ensuite chacune approximée par une colonne respective de section rectangulaire. Le nature et le nombre d'adaptations possibles par rapport aux dimensions calculées sont quasiment illimitées. Par exemple, la colonne 20 peut aussi être approximée par une juxtaposition de colonnes de section circulaire. En fait, tant que les adaptations apportées peuvent être considérées comme « légères », le dispositif obtenu fonctionne correctement.

[00155] Selon une variante, lors de l'étape 200, la transformation f est fournie par un utilisateur sur l'interface 106. Dans un autre mode de réalisation, le support 102 comporte une bibliothèque de transformations géométriques f prédéfinies. Pour une géométrie des zones 6 et 8 donnée, le calculateur 104 sélectionne automatiquement au sein de cette bibliothèque une transformation f adaptée qui transforme un ensemble formé de la réunion des zones 6 et 8 en un ensemble formé de la seule zone 8. [00156] La résolution de l'ensemble (A) d'équations peut être omise. Dans ce cas, lors de l'étape 206 une méthode de résolution d'un problème inverse est exécutée pour déterminer les dimensions L _r et L _e à partir des valeurs cibles du produit [c _p c _g ] dans chaque région. Par exemple, le calculateur 104 génère aléatoirement et automatiquement des configurations des colonnes 20 dans la zone 8. Pour chaque configuration générée, on vérifie si elle permet d'obtenir les valeurs cibles du produit [CpCg] . Par exemple, pour cela, le produit [c _p c _g ] homogénéisé de chaque région est calculé à l'aide de l'ensemble (A) d'équations. Lors de ce calcul les valeurs du produit [CpCg] sont les inconnues et les valeurs des surfaces des sections transversales des colonnes ainsi que des périodes di et d ₂ sont connues. Dans l'affirmative, cette configuration est retenue. Dans le cas contraire, une nouvelle configuration est générée.

ANNEXE 1 :

[00157] Pour établir l'ensemble (A) d'équations, la technique connue sous le nom de « homogénéisation » est utilisée. Cette technique est ici utilisée pour modéliser un milieu non-homogène, formé ici d'un mélange de liquide et de colonnes rigides, par un liquide homogène appelé « liquide effectif » qui a exactement les mêmes propriétés en terme de propagation des vagues. Plus précisément, ici, le milieu non homogène et celui contenu à l'intérieur d'une zone rectangulaire 404, représentée sur la figure 16, qui contient des colonnes de section transversale 402 et le liquide entre ces colonnes.

[00158] La technique de l'homogénéisation est décrite de façon générale dans l'ouvrage « Homogenization of differential operators and intégral functionals », VV. Jikov et al. , Springer Verlag, Berlin, 1994. Un exemple d'application de cette technique dans le cas d'ondes électromagnétiques est aussi décrit dans l'article de S. Guenneau et al , « Homogenization of 3D finite photonic crystals with heterogeneous permittivity and permeability », paru dans « Waves in Random and Complex Media », vol. 17:4, p. 653-697, Nov. 2007.

[00159] Initialement, la zone 404 est recouverte par un pavage périodique d'une pluralité d'exemplaires identiques d'une cellule élémentaire 406. Ici, la cellule élémentaire est un rectangle. La taille de cette cellule 406 est caractérisée par un paramètre η strictement positif qui définit le rapport entre la longueur d'onde de la vague et la longueur du plus grand côté de la cellule élémentaire. Ici, chaque cellule 406 présente une longueur di et une largeur d ₂ , où di est mesurée selon un axe Xi et d ₂ est mesurée selon un axe X ₂ . Les axes orthogonaux Xi et X ₂ horizontaux sont parallèles, respectivement, à la longueur et la largeur de la zone 404. Ces axes Xi et X ₂ définissent un repère orthogonal R' de coordonnées cartésiennes.

[00160] Chacune de ces cellules 406 contient ici entièrement une seule section transversale 402 d'une colonne. Le nombre de cellules 406 détermine donc le nombre de colonnes dans la zone 404.

[00161] Dans ce qui suit, on adopte les notations suivantes :

- Ω _η désigne le domaine de l'espace qui correspond au plus grand ensemble formé par la réunion des cellules 406 et correspond ici à la zone 404 ;

- dQ _n désigne le bord extérieur du domaine Ω _η ;

- le domaine Y correspond à la superficie d'une cellule 406 et est , ici, définie comme suit : Y = [0 ; djx[0 ; d ₂ ] ;

- le domaine S correspond à la superficie de la section 402 ;

- dS désigne le bord extérieur du domaine S ;

- le domaine Y* est égal au domaine Y privé du domaine S.

[00162] Lorsque l'on fait tendre la quantité η vers zéro, la cellule 66 ainsi que les sections 402 des colonnes 20 deviennent de taille négligeable devant les vagues. [00163] Ainsi, en faisant tendre la quantité η vers zéro, par approximation asymptotique, on obtient les paramètres physiques du liquide effectif qui occupe la zone 404 et qui est dépourvu des colonnes 20. Les propriétés de ce liquide effectif, en ce qui concerne la propagation des vagues, sont les mêmes que celles de la zone 404. On note Q _f le domaine de l'espace occupé par ce liquide effectif et dQ _f le bord extérieur du domaine Q _f .

[00164] L'homogénéisation permet ainsi de faire le lien entre les paramètres transformés précédemment définis et la géométrie des sections 402.

[00165] Dans cet exemple, la propagation des vagues dans la zone 404 est régie par les équations suivantes, que l'on nomme « problème principal » et que l'on note (P _n ) :

où les notations précédentes sont reprises et où :

- x désigne un point de coordonnées (Xi, x ₂ ) dans le repère R' ;

- u ⁿ (x) désigne l'amplitude u(x), l'exposant n'indiquant pas une loi de puissance mais étant utilisé pour noter que l'amplitude u(x) peut suivre un développement asymptotique suivant des puissances en η ;

- χ/η désigne le point de coordonnées (Χι/η, χ ₂ /η),

- d I dXi désigne l'opérateur de dérivée partielle d'une fonction par rapport à la variable Xi ;

- Ui r|dSi désigne la réunion de tous les bords extérieurs dS des domaines S contenus dans la zone 404, multipliée par le paramètre η ;

- les indices « i » et « j » sont des nombres entiers qui peuvent prendre, en alternance, les valeurs 1 et 2, et

- (ni, n ₂ ) est un vecteur du plan horizontal normal au bord dQ _n .

[00166] Le produit scalaire c _p c _g et le rapport scalaire c _g /c _p dépendent ainsi de la position x.

[00167] Pour des raisons de lisibilité pour la suite des calculs, l'opérateur V est remplacé par des dérivées partielles correspondantes selon les coordonnées Xi et x ₂ d'axes respectifs Xi et X ₂ .

[00168] Sur le domaine Y, le produit scalaire c _p c _g est une fonction périodique de la variable « y » où « y » est un vecteur de coordonnées (yi, y ₂ ) appartenant au domaine Y. On peut donc le noter c _p c _g (y). On a y = χ/η.

[00169] Plus précisément, le produit scalaire c _p c _g est périodique de période di selon l'axe Xi et périodique de période d ₂ selon l'axe X ₂ . De plus, le produit c _p c _g (y) satisfait à la condition de positivité suivante sur le domaine Y, « c » étant une constante réelle : <^d y) > > Q, ¾€ Y ·2)

[00170] Le problème (P _n ) peut se réécrire sous la forme suivante

(1.3)

- ⁿ (s )

: .> ^' r , en utilisant la convention de sommation d'Einstein sur les indices « i » répétés et en définissant la fonction σ, comme suit :

[00171] Cette équation 1.4 peut se simplifier en posant le développement asymptotique suivant pour la fonction u ⁿ (x) en fonction du paramètre η : où :

- u^x, y) et u ² (x, y) sont des fonctions périodiques de période (di, d ₂ ) en (yi, y ₂ ), les entiers « 0 » , « 1 », « 2 » placés en exposant ne désignant pas une puissance mais servant ici à indexer ces fonctions ;

- η ² désigne le paramètre η élevé au carré, et

- 0(η ³ ) désigne, suivant la notation dite du « grand O » de Landau, les termes infinitésimaux qui sont fonction du paramètre η et dont l'évolution est bornée asymptotiquement par une fonction d'ordre η ³ .

[00172] De plus, en réécrivant l'opérateur de différentiation d I dx, sous la forme suivante :

où Zi est une variable muette qui indique que la dérivée est évaluée au point z, = x, et en posant :

, o . _; , i . _{fl (} s , 0-7) on obtient alors, par identification des termes en puissances du paramètre η entre les équations 1.6 et 1.7, les valeurs des fonctions σ, :

[00173] Le problème (P _n ) conduit alors à l'équation suivante : _< - — 4- "~r— I { & -f- + {r } } =—{- ΐω" i ^' '{x ) 4- Oin) )

(1.9)

[00174] On en déduit les deux équations suivantes en identifiant les termes à l'ordre ° et ry ¹ :

- ₀ T ; 0-11)

[00175] Cette équation 1.10, dite équation homogénéisée, régit le comportement macroscopique des ondes dans la zone 404. La valeur de ses coefficients est obtenue en résolvant l'équation 1.11. L'équation 1.11 régit quant à elle le comportement des ondes à l'intérieur de la cellule. L'objectif est de résoudre cette équation pour calculer les les fonctions u°(y) et u^y) et donc calculer les premiers termes des fonctions u ⁿ et σ ^η .

[00176] Pour cela, on définit l'opérateur moyenne <.> comme suit :

où g est une fonction à moyenner.

[00177] En appliquant l'opérateur moyenne sur l'équation 1.10, on obtient l'équation suivante, en remarquant que l'opérateur moyenne <.> précédemment défini commute avec l'opérateur d I dz, :

(1.13)

— -— - ^ — .—— (. < u,- —— i l} ) > « [00178] De plus, on connaît le théorème de la divergence, qui, appliqué à l'équation 1.13, conduit au résultat suivant :

[00179] On note par ailleurs que la quantité suivante est nulle sur le bord du domaine S :

ce qui permet de simplifier l'équation (1.13) en notant que l'intégrale sur le bord dY* du domaine Y* est nulle, et donc que la quantité suivante est nulle : (1.16)

cm

[00180] De fait, l'équation (1.14) conduit au résultat suivant :

[00181] En combinant les équations 1.8 et 1.11, on aboutit alors à la relation suivante :

[00182] Cette équation est ici une équation pour l'inconnue u\x, y) paramétrée par x et de période di et d ₂ en, respectivement, yi et y ₂ . Elle peut se réécrire sous la forme compacte suivante :

ou :

- w ^k sont des fonctions de y périodiques de période (di, d ₂ ), k étant un indice entier (distinct du nombre d'onde k) égal à 1 ou à 2, et

- e _k =i,2 sont des vecteurs de la base canonique du repère R' tels que ei = (1, 0) et e ₂ = (0, 1).

[00183] En pratique, on résout d'abord l'équation 1.19 pour k=l sur Y, afin de calculer la solution w^y). La résolution est par exemple réalisée au moyen de méthodes de résolution numériques connues, telles que des méthodes aux éléments finis. Puis, on résout ensuite cette même équation pour k = 2 afin de calculer la solution w ² (y).

[00184] Une fois ces fonctions w ^k (y) connues, on peut réécrire l'équation 1.8 comme suit :

[00185] Ce qui permet de réécrire le problème (P _n ) de la façon suivante

où le produit c _p c _g est désormais exprimé sous forme d'une matrice [c _p c _g ], [c _p Cg] _ik désignant le coefficient de la i-ième ligne et de la k-ième colonne de la matrice, i et k étant ici, on le rappelle, des entiers égaux à 1 ou 2 et qui indexent les axes Xi ou X ₂ . Le coefficient [c _p Cg] _ik se calcule comme suit :

ce qui conduit à l'expression du produit [c _p c _g ] sous la forme suivante

(1.23)

où diw ¹ désigne la dérivée partielle âw ¹ (y)/âxi, diw ² désigne la dérivée partielle dw ² (y)/dxi, 2W ¹ désigne la dérivée partielle dw ¹ (y)/dx ₂ et d ₂ w ² désigne la dérivée partielle dw ² (y)/dx ₂ .

[00186] Ces équations définissent alors le produit [c _p c _g ] homogénéisé du liquide effectif qui régit les propriétés de propagation des vagues au sein de ce liquide effectif.

[00187] Cette méthode est ainsi appliquée à chacune des N bandes de la zone 60. Connaissant la valeur de ce paramètre homogénéisé associé à une des N bandes par la discrétisation précédemment réalisée et la relation entre ce paramètre homogénéisé et la section transversale d'une colonne, il est possible de calculer la longueur et la largeur de chaque colonne contenue dans cette bande. Ce calcul est ici effectué pour la totalité des N bandes.