L'invention concerne un procédé de goniométrie multi-paramètres par séparation de l'incidence et des autres paramètres tels que la largeur de bande, les coefficients de couplage, la largeur du cône de diffusion ou encore la distance source-capteur.

Elle s'applique dans le domaine du traitement d'antennes, où sur un système de plusieurs capteurs sont reçus les signaux provenant d'un ou de plusieurs émetteurs (sources). Les sources sont reçues sous des angles d'incidences différents.

Dans un contexte électromagnétique, les capteurs sont des antennes et les sources émettent un signal radio-électrique polarisé. Dans un contexte acoustique les capteurs sont des microphones et les sources sont sonores.

Les capteurs du réseau reçoivent les sources avec une phase et une amplitude dépendant de leur angle d'incidence ainsi que de la position des antennes en bande étroite, front d'onde plan et sans perturbations sur les voies de réception et les capteurs du réseau.

Les techniques de traitement d'antennes actuellement connues ont pour objectif principal d'exploiter la diversité spatiale. Plus particulièrement, la goniométrie ou la localisation de sources a pour objectif d'estimer les angles d'incidences des émetteurs à partir d'un réseau de capteurs.

De façon nominale, les méthodes de goniométrie comme MUSIC [1] supposent que le front d'onde est plan, que les sources sont bande étroites, ponctuelles, sans diversité de polarisation, sans trajet cohérent et sans perturbation de la réponse du réseau de capteurs à une source. Lorsque l'une de ces hypothèses n'est pas vérifiée, la réponse du réseau de capteurs à une source ne dépend plus uniquement de l'incidence mais d'autre paramètres tels que la largeur de bande, les coefficients de couplage, la largeur du cône de diffusion ou encore la distance source-capteur.

L'art antérieur décrit différentes techniques permettant de compenser certaines de ces perturbations. L'estimation des paramètres secondaires (paramètres autres que l'incidence) n'est pas envisagée dans la plus-part des techniques à l'exception de la référence [2] pour la diversité de polarisation. Il existe ainsi des techniques qui adaptent des algorithmes de goniométrie aux sources diffuses [3][4][5]. Pour le contexte large bande, il existe des techniques de focalisation [6][7] ou des techniques spatio-fréquentielles [8][9][10][ll]. Pour les techniques de compensation des distortions de la réponse du réseau la littérature est très riche [12][13] etc...

Dans l'état de l'art les techniques de compensation des distorsions de la réponse du réseau de capteurs traitent de façon isolée chacune des perturbations sans toutefois prendre en compte plusieurs perturbations à la fois. De telles techniques se révèlent donc insuffisantes, en particulier, dans de nombreuses applications acoustiques où l'onde est à la fois large-bande et est reçue en front d'onde courbe. Pour des sources radio-électriques, il est possible d'avoir un réseau d'antenne perturbé par le couplage avec des ondes en diversité de polarisation et des trajets cohérents.

L'objet de la présente invention repose notamment sur une approche différente. L'idée consiste notamment à estimer de manière séparée le paramètre incidence et les autres paramètres dits paramètres secondaires.

L'objectif de ce brevet est donc de mettre en œuvre un procédé pour réaliser une goniométrie des sources en présence de perturbations physiques rendant les techniques classiques non opérationnelles:

— » Goniométrie en azimut ou azimut-site avec un critère dépendant uniquement de la direction d'arrivée

→ Prise en compte d'une ou plusieurs perturbations physiques. — » Estimation des paramètres secondaires liés à la perturbation.

L'invention concerne un procédé de goniométrie multi-paramètres de plusieurs sources dans un réseau de N capteurs, un capteur recevant un mélange linéaire de M sources de direction d'arrivée ou DOA (θm avec l≤m≤M), le vecteur d'observation correspondant aux signaux reçus sur les capteurs s 'exprimant comme une combinaison linéaire des réponses au réseau de capteurs de chacun des émetteurs (qui est une combinaison linéaire de vecteurs dépendant de l'incidence θm et du vecteur de nuisance Φm pour le mιimc émetteur) avec l'enveloppe complexe du signal du /MIèrae émetteur caractérisé en ce qu'il comporte au moins les étapes suivantes :

o a) choisir un paramètre à déterminer, ou paramètre d'intérêt,

o b) exprimer le vecteur directeur (ou réponse du réseau de capteurs à une source d'incidence θ et de vecteur de nuisance Φo) sous la forme d'une relation linéaire entre le paramètre d'intérêt choisi et les paramètres secondaires, bc(θ,Φo)= Uo(θ) φo(Φo)

o c) appliquer une étape de goniométrie de type MUSIC en factorisant le critère servant à la détermination des angles d'incidence afin de déterminer au moins le paramètre incidence,

o d) à partir de la valeur d'incidence, déterminer le vecteur représentatif des paramètres secondaires et exprimer ce vecteur sous la forme d'une relation linéaire entre un paramètre choisi à déterminer et les autres paramètres secondaires ,

o e) appliquer une étape de goniométrie de type MUSIC en factorisant le critère servant à la détermination du paramètre choisi

f) réitérer les étapes d) à e) afin de déterminer la majorité ou l'ensemble des paramètres secondaires. La méthode de goniométrie du procédé selon l'invention estime pour un faible coût numérique les incidences conjointement aux paramètres secondaires.

D'autres caractéristiques et avantages de la présente invention apparaîtront mieux à la lecture de la description qui suit d'un exemple de réalisation donné à titre illustratif et nullement limitatif annexé des figures qui représentent :

o La figure 1 un exemple de système de traitement d'antennes,

o La figure 2 une représentation des incidences d'une source,

o La figure 3 la schématisation d'un front d'onde non plan,

o La figure 4 l'illustration d'une source émettant dans un cône de diffusion,

o La figure 5 le schéma d'un couplage entre les capteurs d'un réseau,

o La figure 6 l'illustration du couplage des capteurs avec une structure,

o La figure 7 le schéma de la propagation d'une source en multi-trajets,

o La figure 8 l'illustration du vecteur d'onde et du front d'onde.

Afin de mieux faire comprendre le principe mis en œuvre dans le procédé, l'exemple qui suit est donné pour effectuer une goniométrie de signaux radioélectriques dans un réseau de capteurs.

La figure 1 schématise un système de traitement d'antennes composé par exemple d'un réseau 1 avec plusieurs capteurs Ci recevant des sources sous des angles différents. Le réseau d'antennes comporte par exemple N capteurs élémentaires en liaison avec un dispositif de traitement d'antennes 2. Sur la figure on a représenté 2 émetteurs. Les angles d'incidences peuvent être paramétrés soh en ID en azimut θm (Δm=0) soit en 2D en azimut θm et élévation Δm. La figure 2 définit les paramètres azimut et élévation. La description utilise indifféremment le mot source ou émetteur pour désigner un même élément.

Avant d'expliciter les étapes mises en œuvre dans le procédé selon l'invention, quelques rappels sur les signaux sont donnés.

Modèle et formulation du problème

x(t) est le vecteur de dimension N*l composé des enveloppes complexes des signaux reçus xn(t) (l≤n≤N) à la sortie des N capteurs. Chaque capteur reçoit un mélange des M sources d'incidence θm (l≤rn≤M) . Sous ses hypothèses, le vecteur x(0 s'écrit :

x(0= ∑ b(Qm, Φm) sm(t) + n(t) (1) m=l

Où b(θ, Φ) est la réponse du réseau de capteurs à une source d'incidence θ et de vecteur de nuisance Φ, sm(t) est l'enveloppe complexe du signal du mιtmc émetteur d'incidence 0m et de paramètre de nuisance Φm et finalement n(f) est le vecteur bruit. Le vecteur Φ est composé des paramètres de nuisance tels que la bande fréquentielle des signaux, les coefficients de couplage du réseau, la largeur de cône des sources diffuses, la polarisation, etc.. L'expression (1) peut se re-écrire de la manière suivante :

x(0=B s(0 + n(0 (2)

Où:

B =[ b(θi, Φj)... b(0Λ,, ΦA/)] et s(0=[ 5,(0... SM(ή]τ (3)

Où (...)τ est l'opération de transposition d'un vecteur. Une méthode à sous-espace classique [1] reposant sur le modèle de l'équation (1) requière une estimation conjointe coûteuse de l'angle θm et du vecteur de nuisance Φm de chacune des sources. Un des objectifs du procédé est notamment de réduire la complexité à partir d'une modélisation particulière du vecteur directeur b(θ, Φ) (réponse du réseau de capteurs à une source d'incidence 0 et du vecteur de nuisance.

PROCEDE DE LOCALISATION MULTI-PARAMETRES Factorisation du vecteur directeur Le procédé selon l'invention comprend par exemple une première étape, où le vecteur directeur représentatif de la réponse du réseau de capteurs à une source d'incidence θ et des paramètres de nuisance, s'exprime comme une relation linéaire entre un paramètre d'intérêt (paramètre que l'on cherche à déterminer dans un premier temps) et les paramètres dits secondaires. Par exemple, le vecteur directeur b(θ, Φ) est factorisé de la manière suivante :

b(θ, Φ) =U(Θ) γ(Φ) (4)

Où γ(Φ) est un vecteur fonction de Φ .

Plus généralement l'idée est d'exprimer le vecteur directeur représentatif de la réponse du réseau de capteurs à une source d'incidence θ et des paramètres de nuisance, comme une relation linéaire entre un paramètre d'intérêt (paramètre que l'on cherche à détermine dans un premier temps) et les paramètres dits secondaires. Dans l'exemple donné, le paramètre d'intérêt est l'incidence 0 et les autres paramètres secondaires sont regroupés dans le vecteur Φ.

Le vecteur directeur étant factorisé, l'étape suivante consiste à réaliser une goniométrie. Dans le cas où le vecteur directeur b(θ, Φ) se trouve déjà sous la forme d'une combinaison linéaire du paramètre incidence U(θ) et d'un vecteur τ(Φ) qui est un vecteur fonction des paramètres de nuisance, l'étape de goniométrie expliquée ci-après s'applique directement.

Goniométrie sur les observations capteurs x(t)

Dans le cas général connu de l'Homme du métier, la méthode MUSIC [1] estime les Λ/minima (θm, Φm) du critère normalisé suivant : J(θ, Φ) = b(θ'Φ)*;> b(θ'Φ) avec (KJ(Θ, Φ)<1 (5) b(θ,Φ)" b(θ,Φ) " K }

Où (...)H est l'opérateur de transposition et conjugaison et est le projecteur orthogonal à la base des vecteurs b(θm, Φ m) (l≤m≤M) et est engendré par les colonnes de la matrice CΛM-I ... CΛΓ ] où (λ,, c,) est la ilème valeur propre et vecteur propre à l'ordre 2 de la matrice de covariance RXX=E[ x(t) x(t) H] avec λi>...≥λ*>...>λΛr. Dans la suite de la description, la matrice E& pourra être issue de l'espace bruit de la matrice flx(t)) Ax(O)"] à l'ordre 2 ou bien de la quadricovariance de x(f) (ou J[x(t)) à l'ordre 4. En insérant le modèle de b(θ, Φ) de l'équation (4) dans (5) le critère de MUSIC devient :

J(0, Φ)

Où :

Q1(G) = U(θ)H π* U(θ) et Q2(G) = U(Θ)H U(Θ) (7)

En utilisant la théorie des formes quadratiques [14], le critère de l'équation (6) peut être réduit de la manière suivante en fonction de l'incidence θ :

Jmin (G) =λ^ { Q,(Θ) , Q2(Θ)} (8)

Où λf { A , B} est la /Ième valeur propre généralisée des matrices carrés A et B où λ-ïήn (A , B} est la valeur propre minimale. D'après la définition de λf ( A , B) on obtient aussi que :

Jmin (G) =λmin { Q2(G)-1 Q1(G) } (9)

Où λ,{ A } est la ilème valeur propre de la matrice carrés A où λmin{A } est la valeur propre minimale.

Sachant que J(θm, Φ m)=0, le critère (9) vérifie aussi JnUn (θm)=0 et peut être remplacé par :

J,to(θ) ^t(Q2(O)1 Q1(O))= ^[^[3 II (10)

Finalement les M incidences 0m annulent le critère Jdet(O). D'après (8) et (9) l'estimé γm du vecteur γ(Φm) associé à l'incidence θm est le vecteur propre généralisé associé à la valeur propre λ^ {Qi(Om) , Q2(0ro)}.

Lorsque pour certaines applications γ(Φm) vérifie γ(Φm)=[l Φm]τ, les vecteurs de paramètres Φro sont directement déduits des estimés γm des

Pour les autres applications l'obtention des paramètres du vecteur Φm est obtenue en cherchant le vecteur qui annule le critère suivant :

C^Φ) - ^"" ^ avec Un= I - γm γm* (11) γ(φ) γ(φ)

Où (.)# désigne la pseudo-inverse et I la matrice identité. L'équation (11) montre que la;j détermination de Φm nécessite l'optimisation d'un critère multi-dimensionnel suivant les composantes de Φ. Pour réduire le coût de calcul le procédé suggère d'isoler un des paramètres de Φ pour ensuite modéliser γ(Φ) de la façon suivante :

γ(Φ) =G1(φ) γ1(Φ') où Φ=[φ Φ' τ]τ (12)

II sera donné des exemples du modèle de l'équation (12) dans la suite de la description. Sachant que Cm(Φm)=0 et en utilisant les résultats des équations (6) à (10), le critère de l'équation (11) se réduit de la façon suivante en φ (composante du vecteur Φ) :

<-m-det(φj -— — 7— J- TT (13) det(Qm2(φj)

Avec : Qmi(φ) = G,(φ)H πm G,(φ) et Qm2(φ) = G1(Cp)" G,(φ) (14)

La première composante φm du vecteur de paramètres Φm est estimée en cherchant le minimum du critère Cm-dct(φ)- Comme précédemment le vecteur γi(Φm') associé au paramètre φm est le vecteur propre généralisé associé à la valeur propre

Pour estimer les paramètres restant des vecteurs Φm' contenus dans les vecteurs Φm =[cpm ΦmT]T5 les opérations des équations (11) à (14) peuvent être réitérées de façon successive afin de réaliser à chaque fois une optimisation de critère mono-paramètre.

Goniométrie sur une transformation du vecteur x(t)

Les méthodes de goniométrie utilisant la matrice de covariance des observations Rxx=Ef x(t) x(t) H] permettent de réaliser la goniométrie jusqu'à N-I sources lorsque le vecteur observation x(f) est de dimension NxI. Afin de pouvoir estimer les incidences de plus de sources, il est nécessaire de constituer un vecteur observation y(t)=j{x(t)) de dimension plus grande que x(t). En particulier, le procédé comporte une étape de transformation spatio-temporelle, :r

Ceci revient à augmenter de manière virtuelle le nombre de capteurs et le nombre de sources en respectant le fait que le ratio nombre de capteurs/nombre de sources soit inférieur au ratio nombre de capteurs réels/nombre de sources réelles.

Le terme L est le facteur d'accroissement du nombre de capteurs virtuels en spatio-temporel. Les capteurs virtuels associés à l'observation x(t-τ) sont les capteurs réels placé derrière des lignes à retard de retard τ.

Il faut noter qu'en présence de M porteuses de signal le rang de la matrice de covariance Ryy=E[ y(t) y(t) H] vaut M. En conséquence, le vecteur observation y(f) permet d'effectuer une goniométrie jusqu'à NL-I porteuses. Lorsque les sources ont une bande plus large qu'une porteuse, le rang de R57 n'est plus supérieur à M et la goniométrie peut localiser moins que NL-I sources. Sans hypothèse particulière sur la largeur de bande des signaux incidents la méthode décrite précédemment peut être appliquée sur la matrice de covariance Ryy en remplaçant la matrice U(θ) de l'équation (4) par la matrice U/,(θ) suivante :

La matrice Ui(θ) est de dimension NLxPL lorsque la matrice U(θ) est de dimension NxP. L'espace signal de Ryy est engendré par des vecteurs em* = Ui(Gn,) γi(Φm,oc m*) où :

Où α est un vecteur de dimension LxI et ® désigne le produit de Kronecker. Afin d'exploiter la non circularité des signaux il peut être constitué le vecteur observation suivant :

En présence de M BPSK de fréquence centrale -β/2 (connu par l'homme du métier dans le domaine des télécommunications) le rang de la matrice de covariance Ryy vaut M et ainsi le vecteur y(i) permet de goniométrer jusqu'à 2N- 1 BPSK. Sans hypothèse particulière sur la circularité des signaux incidents la méthode décrite dans le paragraphe de la goniométrie sur les observations capteurs x(t) peut être appliquée sur la matrice de covariance Ryy en remplaçant la matrice U(θ) de l'équation (4) par la matrice Uc(θ) suivante : "U(θ ) 0 Uc<θ)= (19) 0 U(θ)<

L'espace signal de Ryy est engendré par des vecteurs cmjt = Uc{θm) ΥdΦm,<xmk) où :

γ(φ) γc(Φ,α)=α® (20) γ(φ)*

Où α est un vecteur de dimension 2x1. Pour exploiter conjointement la largeur de

bande des signaux avec leur non circularité, il faut construire le vecteur observation

suivant :

Sans hypothèse particulière sur la circularité et la largeur de bande des signaux

incidents la méthode décrite dans le paragraphe sur la goniométrie sur les observations capteurs x(t) peut être appliquée sur la matrice de covariance Ryy en

remplaçant la matrice U(θ) de l'équation (4) par la matrice Uz.c{θ) suivante :

"U1(G ) 0 UΛC(Θ)= (22) 0 U1(G )"

L'espace signal de R^ est engendré par des vecteurs em* = U/,c(θm) yιdΦm,θ!-mk) où :

Où α est un vecteur de dimension 2Lx 1.

En présence de signaux cyclo-stationnaires, le vecteur observation suivant

peut être constitué:

Sans hypothèse particulière sur la cyclo-stationnarité des signaux incidents la méthode décrite dans le paragraphe sur la goniométrie sur les observations capteurs x(t) peut être appliquée sur la matrice de covariance Ryy en remplaçant la matrice U(θ) de l'équation (4) par la matrice Ut(θ) de l'équation (16).

Pour exploiter conjointement la cyclo-stationnarité et la non circularité des signaux, il peut être construit le vecteur observation suivant :

Sans hypothèse particulière sur la circularité et la cyclo-stationnarité des signaux incidents la méthode décrite dans le paragraphe sur la goniométrie sur les observations capteurs x(t) peut être appliquée sur la matrice de covariance Ryy en remplaçant la matrice U(θ) de l'équation (4) par la matrice U/,c(θ) de l'équation (22).

Les méthodes ci-dessus transforment le vecteur x(f) en un vecteur y(t) allongé pour appliquer une méthode de goniométrie utilisant les statistiques d'ordre 2 de y(/) avec y(/)H]. De cette matrice il est extrait le projecteur bruit FIb de l'équation (5).

Pour accroître la capacité du réseau de capteurs en nombre de sources, il peut être appliqué sur le vecteur y(.) de dimension ΛTxl les statistiques d'ordre supérieur. Le cas où y(t)=x(t) est aussi envisagé pour la suite de la description. En 1

particulier à l'ordre 4, la méthode de goniométrie peut être appliquée sur la matrice de quadricovariance suivante :

QyJIJ) = CUmCy1(O, y/0*, y*W*, Y/W) (26)

Où y,{t) est la iιimc composante de y(t) et

I=N(i -\)+j et J=N(k-l)+l (27)

Où cum(x,y-z, w) désigne l'intercumulant des variables aléatoires x, y, z et w. En présence de M signaux le vecteur observation y(0 peut s'écrire comme le signal x(0 de l'équation (1) avec des vecteurs directeurs bjβm, Φm,}=UJβm) γ/Φmi) de dimension plus grande ou égale (y(0= x(0) <lue b(θm, Φm). Dans ces conditions y(0 s'écrit :

M I Y(O= ∑∑ *>y(Qm, Φmι) sJV) + n(0 (28) m=l ι=l

En présence de signaux statistiquement indépendants la matrice de l'équation (26) s'écrit:

M I Qyy = ∑ ∑ b,(θro, Φ™)02 Mθm, Φm.) ®2H δn où u®2= u®u (29) m=l i=l

avec δro = cum(sm,(0, sm,(0*, sm,(0*, sm,(t)). Sachant que la matrice de covariance x(0 x(0H] utilisé dans (0.0) s'écrit :

R≈ = ∑ b(θm, Φm) b(θm, Φm)H/;m + σ2I (30) m=l

avec pm = E[|sm(0|2], l'application de la goniométrie sur Q^, se fait avec le vecteur directeur bjβm, Φmι)®2 au lieu de b(θ, Φ) pour R^. La méthode MUSIC à l'ordre 4 estime les MxI minima (0m, Φmι) du critère normalisé suivant : J(Θ, Φ) = y ' /4 y avec (KJ(Θ, Φ)<1 (31)

Où U(^=EbEb 1 est le projecteur orthogonal à la base des vecteurs b^θm, Φm,)®2 (l≤m≤M) et est engendré par les colonnes de la matrice Ei=[ Cm+\ • • • CΛΓ2 ] où (λ,, c,) est la ιlème valeur propre et vecteur propre de la quadri-covariance Qyy avec λi>...>λ*>...≥λΛr2. Sachant que b^(0, Φ) γy(Φ), on en déduit que :

En conséquence, la méthode de goniométrie du paragraphe sur la goniométrie sur les observations capteurs x(t) est applicable sur la matrice Qyy au lieu de Rxx. Cette remarque montre qu'il est possible d'étendre la méthode MUSIC à l'ordre 4 en présence de sources large bande, de sources diffuses où encore avec un réseau de capteurs perturbé par des phénomènes de couplage.

MODÉLISATION AD-HOC DES DIVERSES APPLICATIONS PHYSIQUES

Le procédé selon l'invention peut s'appliquer dans différents cas d'applications dont les suivantes :

Modélisation directe

• Cas de la diversité de polarisation [2] : En présence d'une source Bande étroite à diversité de polarisation le vecteur b(θ, Φ) de l'équation (4) s'écrit :

b(θ, Φ) =P» a(0)1 + Fv a(θ)2 = U(θ) Φ (33)

Où Φ =[ P// VV ]T est le vecteur composé des deux composantes de la polarisation. La matrice U(θ)=[ a(θ)1 a(θ)2] est composé des réponses a(O)1 et a(0)2 du réseau de capteurs à respectivement la lIèrc et la seconde polarisation.

* Cas perturbations sur les capteurs (Figures 5 et 6) : Dans un contexte d'auto- calibration [13] le paramètre Φ caractérise les erreurs de modèle sur les antennes. En particulier en présence d'une source Bande étroite reçue sur un front d'onde plan dans le cas de couplage mutuel [15][16][17] le vecteur b(θ, Φ) s'écrit :

b(θ, Φ) = Z a(θ) (34)

Où Z est la matrice de couplage et a(0)=[ ai(0) a^(0)]τ est le vecteur directeur géométrique en front d'onde plan où :

aΛ(θ) = exp(-j2π ^ (k(θ)τ un) ) (35)

Où k(θ) est le vecteur d'onde présenté sur la fïgure-2 , Un=[Jrn yn zn] est le vecteur position du nlème capteur, / la fréquence centrale de la source bande étroite et c la vitesse de propagation de l'onde. Le vecteur d'onde vérifie toujours | k(θ) |=1 et vaut k(θ)=[-cos(θ) -sin(θ)]τ lorsque l'onde se propage dans le plan horizontal d'après la figure-3.

Dans le cas particulier du réseau circulaire de la figure-7, la matrice de couplage dépend des 3 paramètres α,β et γoù α est le coefficient de couplage entre le nième et le («+l)ième capteur , β est le coefficient de couplage entre le «ième et le (n+2)lème capteur et γ est le coefficient de couplage entre les capteurs et le mât centrale. Dans ces conditions,la matrice de couplage Z(α,β,γ) s'écrit :

Utilisant (34) et (36), le vecteur b(θ,Φ) peut s'écrire :

b(θ, Φ) =Z(α,β,γ) a(θ)= U(θ) Φ (37)

Avec : O1(Q) a2φ) + a5φ) Û3(θ) + α4(θ) α2(θ) O3(G) + U1(G) α4(θ) + fl5(θ) U(θ)= α3(θ) α4(θ) + α2(θ) α5(θ) + α, (θ) (38) aA(β) asφ) + a3φ) Ol(θ) + fl2(θ) Lα5(θ) α,(θ) + Û4(θ) α2(θ) + α3(θ)

Sachant que a^O) = exp(j2π (flc) (k(0)τ Iw) ) où umat = [0 0 0]τ est le vecteur de position du mât. D'un point de vue plus général le vecteur Φ dépend des coefficients de couplage entre les capteurs.

• Cas de multi-trajets cohérents (Figure 7) : En présence de multi-trajets cohérents le modèle de l'équation (1) devient :

x(0=∑ b^, Φm) sm(t) + n(t) (39) m=l

Où :

Où ... QnP ]τ est le vecteur composé des incidences des multi-trajets et

est le vecteur des atténuations. Le vecteur I)(Ojn, Φm) peut s'écrire

directement comme celui de l'équation (4) où :

b^ Φ^ U(O^n) Φm avec U^M a(θml) ... a(θmP)] (41)

Où a(θ) est la réponse du réseau de capteur à une source bande étroite reçue en front d'onde plan avec une incidence θ. Dans ce cas le critère Jdet(θ) dépend du vecteur θ=[ θi ... θp] des incidences des P multi-trajets cohérents. Il faut remarquer que

l'application directe de MUSIC avec le vecteur directeur a(θ) ne permet pas de déterminer l'incidence des multi-trajets cohérents. 1

Modélisation en utilisant un développement limité

Dans d'autre type de contexte tel que les sources en front d'onde courbe, large bande ou diffuse, le vecteur directeur ne peut pas se modéliser directement sous la forme b(θ, Φ) = U(O) γ(Φ). Pour revenir à cette modélisation le procédé propose de réaliser un Développement Limité (DL) autour d'un paramètre constant Φ=Φo. En particulier en présence de front d'onde courbe, le vecteur directeur sera développé autour du vecteur en front d'onde plan c'est à dire en Φo=l/Z>=O (Z) : Distance de la source). En présence de source large bande le développement se fera autour de Φo=fo (fo : fréquence centrale de la bande de signal reçues).

Ainsi en présence d'un vecteur de paramètres Φ scalaire, le Développement Limité (DL) d'ordre L de b(θ, Φ) autour de Φ=Φo donne :

b(θ, Φ) =u(θ) <p(Φ) (42)

Où :

Φ -Φo U(O) =[ b(θ,Φ0) b(I)(θ,Φ0) ... b(i)(θ,Φ0)] et η(Φ,Φ0)= (43) (Φ -Φo)£ U

Où b(0(θ,Φ0) est la dérivée ιième de b(θ, Φ) en Φ=Φ0. En présence de plusieurs paramètres physiques, le vecteur Φ a plusieurs composantes et l'on exécute les développements limités suivant chacune des composantes autour de Φ=Φ0- En présence d'un vecteur Φ=[Φi ... Φκ]τ composé de K composantes, il faut commencer par réaliser un DL d'ordre L de b(θ, Φ) suivant le paramètre Φi en Φi=Φoi pour obtenir :

b(θ, Φ) = Ui(O, Φ1) φ(Φ,) où Φ'=[Φ2... Φ*]τ (44)

Où : U1(G^1) =[ U,(0)(θ, Φ1) U,(1)(θ, Φ1) ... U,(i)(θ, Φ')] et

Où ui(0(θ, Φ1) est la dérivée partielle iièmc de b(θ, Φ) par rapport à Φ] en Φi=ΦOi. En réalisant un DL à l'ordre L des colonnes de suivant le paramètre Φ2 en Φ2=Φα2 on obtient :

ui .(w'V(θ5 Φ ^h') = = T UT-2 ( wO/(θ, Φ2) η(Φ2,Φo2) où Φ2=[Φ3 •-• ΦK? (46)

En reportant (45) (46) dans (44) on obtient :

b(θ, Φ) ≈ U2(θ, Φ2) η(Φi,Φoi)®η(Φ2,Φo2) où Φ2=[Φ3 ... Φκ]τ (47)

Où les colonnes de Uκ(θ) sont composées de toutes les dérivées partielles de b(θ, Φ) par rapport aux composantes du vecteur Φ en Φ=Φo. En final on obtient bien le modèle b(θ, Φ)=U(Θ) <p(Φ) avec :

b(θ, Φ) = Uκ(θ) [η(Φi,Φoi)®...® η(Φκ,Φoκ)] (48)

Où les colonnes de UK(O) sont composées de toutes les dérivées partielles de b(0, Φ) par rapport aux composantes du vecteur Φ en Φ=Φo. En final on obtient bien le modèle b(θ, Φ)=U(Θ) cρ(Φ) avec :

U(Θ) η(Φκ,Φoκ) (49)

Dans l'exemple explicité les développements limités sur chacune des composantes de Φ sont à l'ordre L. Sans sortir du cadre de l'invention, il est facile d'étendre la description avec des DL dont l'ordre est différent pour chacun des paramètres Φok. • Cas des sources en champ proche illustré (figures 3 et 8): Lorsque la source est reçue sur un front d'onde courbe le vecteur d'onde k dépend non seulement de l'incidence θ de la source mais aussi de sa distance D et de la position du capteur sur laquelle est reçu la source. On note ainsi kn(θ,D) le vecteur d'onde reçu sur le nlème capteur. Sur la figure suivante est représenté le vecteur d'onde par rapport à la source au point M et la position un du nlèmc capteur.

En hypothèse bande étroite la réponse géométrique du «lèmc capteur à une source d'incidence θ situé à une distance D s'écrit :

an(θ,D) = exp(-j2π L (k»(θ,D)τ un) ) -^- (50) n J

Et la réponse du réseau de capteurs s'écrit :

Pour transformer b(θ, Φ) en U(O) φ(Φ) le procédé suggère de réaliser un DL de b(θ, Φ) autour de Φo=O. En effet b(θ, Φ=0) est la réponse du réseau de capteurs en hypothèse de front d'onde plan.

• Cas des sources bandes étroites reçues sur une large bande de réception : Dans ce cas le modèle de l'équation (1) devient :

M X(0=£ ϋ(βm, fm) sm(t) + n(ή (52) m=l

Où le mlème source émet autour de la fréquence fm et où le vecteur a(θ, J) s'écrit en front d'onde plan: ûi (θ ,/) a(θ, /)= avec an(θ/)=exp(-j2π ^ (k(θ)τ un) ) (53) c

Après un DL de a(0,y) autour de la fréquence centrale f=fo, le vecteur a(0,/) s'écrit :

a(0, ./)= U,o(θ) φ,o(y) (54)

On obtient ainsi le modèle de l'équation (4).

• Cas des sources large bande : En présence de sources large bande le modèle de l'équation (1) devient :

fmk) sm(tfmk) + n(t) (55)

Où le signal de la mlèmc source se décompose en Km sources bande étroite d'amplitude complexe sm(tfmk). D'après (55), il existe Km vecteurs directeurs associés à la source d'incidence θm. Ces vecteurs ont l'expression suivante :

b(θm, pour l<i< Kn, (56)

D'après (54) et (56) les vecteurs b(θm, Φ mι) s'écrivent :

b(θm, Φm()= U(θm) φ(Φm,) pour \<i<Km (57)

Avec :

U(OmHϋ/o (θm) - UΛ (θjJ et φ(Φm/) (58)

L'expression (58) montre que les vecteurs de paramètres Φmi dépendent de la fréquence centrale fmc et de la bande Bm du signal de la m1 ième e source

(59)

En conséquence après une estimation des Φ mi et depmk il est

possible de déduire la fréquence centrale^ et la bande Bm de la mιème source .

• Cas des sources diffuses (figure 4): Dans le cas des sources diffuses une source se

décompose suivant plusieurs sources comme une source large bande. Toutefois cette décomposition ne se fait pas en fréquence mais se fait en incidence. En présence de sources diffuses le modèle de l'équation (1) devient :

M K, x(0= £ £ pm a(θm+ δθmJt) ^-δτTO*) + n(O (60) m=\ k=l

Où le signal de la mlème source se décompose en Km sources discrètes d'amplitude

complexe pm sm(t-bzm) et d'incidence θm+ δθm*. Après un DL de a(θ) autour de

l'incidence centrale θ= θo, le vecteur a(θo+δθ) s'écrit :

a(θo+δθ)= Uo(G0) φo(δθ) (61)

D'après (60), il existe Kn, vecteurs directeurs associés à la source d'incidence centrale θm. Ces vecteurs ont l'expression suivante :

b(θm, poxx l<i<Km (62)

D'après (61) et (62) les vecteurs b(θm, Φ „,) s'écrivent : b(θm, Φm,)= U(θm) φ(Φ mι) pour \<i< Km (63)

Avec :

U(GO (64)

L'expression (64) montre très clairement que les vecteurs de paramètres Φ mi dépendent de la largeur de cône Δθm du signal de la m ième source

Δθ 2 =

En conséquence après une estimation des Φm, et dβpmk il est possible de déduire la largeur de cône Δθm du signal de la mlème source.

Modélisation en Combinant les perturbations

Les perturbations de la réponse du réseau de capteurs cités ci-dessus peuvent toutes se combiner les unes avec les autres. Il est ainsi possible de combiner la diversité de polarisation avec le couplage inter-capteurs, les trajets cohérents , le front d'onde courbe, le large bande et les sources diffuses. C'est ainsi qu'il est donné ci-dessous des exemples de combinaisons. Les différents cas sont représentés par les figures 4 à 8.

• Exemple n°l : couplage (figures 5 et 6) et polarisation : En associant le couplage et la polarisation, le vecteur b(θ, Φ) s'écrit d'après (33) et (34):

b(θ, Φ) =Z (P* a(θ)1 + PK a(θ)2 )= U(θ) Φ (66)

Sachant que Z a(θ) \11 - = 1 U(θ)1 Φz et Z a(θ)2 = U(θ)2 Φz , la matrice U(G) et le vecteur Φ s'écrivent : U(θ)= Uoθ) U°(Θ) * φ=PΘΦz (67)

Où P =[ P# P^ ]τ est le vecteur des composantes de la polarisation.

• Exemple n°2 : Front d'onde courbe (figures 3 et 8) et large bande : Dans ce cas la réponse du nlèmc capteur à une source d'incidence θ dépend aussi de la distance D et de la fréquence/de l'émetteur d'après l'équation (50) :

an(θ,D/) = exp(-j2π L (k«(θ,D)τ un) ) -£— (68)

Le vecteur b(0, Φ=[ D/]τ) de l'équation (51) devient après un DL sur Φ=[ D/]:

a(θ, Φ=[ D/]τ) (pβ( O J) (69)

Et le vecteur de paramètre Φmi contenu dans b(θro, Φ mi) de l'équation (56) dépend non seulement des On,*, et fréquence fmk mais aussi de la distance Dm du mlèmc émetteur.

• Exemple n°3 illustré: Couplage (figures 5 et 6) et autres perturbations : Lorsque le réseau de capteurs couplés contient des capteurs dont la réponse a(θ,Φ) dépend d'un vecteur de paramètre Φ où a(θ,Φ)=Ui(θ) tpi(Φ), le vecteur directeur combiné b(0, Φ) s'écrit d'après (34) :

b(θ, Φ) = Z a(θ,Φ)=Z U,(θ) <Pi(Φ)=V(Z, θ) φi(Φ) (70)

La iiime colonne V1(Z, θ)= Z uu (θ) de V(Z, θ) peut s'écrire V«<Z, θ)= Un (θ) Φz d'après (37), le vecteur b(0, Φ) devient :

b(0, Φ) ≈ [Un (θ) ... UIΛ(Θ)] (φ,(Φ)®Φz) (71) 2

BIBLIOGRAPHIE

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