La présente invention concerne un procédé de goniométrie d'une ou de plusieurs sources radio-électriques diffuses, la source de direction donnée étant considérée par les récepteurs comme un cône de diffusion avec une certaine largeur et une incidence moyenne.

Une source diffuse est définie notamment comme une source qui se propage au travers d'un continuum de diffuseurs.

L'invention permet notamment de localiser en angles et/ ou en azimut une ou plusieurs sources radio-électriques diffuses. Elle a pour objet par exemple de déterminer l'incidence des centres des cônes de diffusions ainsi que leurs largeurs.

La goniométrie est réalisée soit en une dimension, ID, où les incidences sont paramétrées par l'azimut, soit en deux dimensions,2D, où l'incidence dépend des deux paramètres azimut et site.

Elle s'applique par exemple pour des signaux cohérents décorrélés ou partiellement corrélés provenant de diffuseurs.

La figure 1 schématise l'exemple de diffusion de l'onde d'un téléphone mobile M au travers d'une couche de neige N _G , par exemple vers les récepteurs Ci du système de réception d'un avion A. Le cône dit cône de diffusion a une certaine largeur et une incidence moyenne. Les grains de neige NG jouent le rôle de diffuseurs.

Dans le domaine du traitement d'antennes, un système de plusieurs antennes reçoit un ou plusieurs émetteurs de radiocommunication. Le traitement d'antennes exploite donc les signaux provenant de plusieurs capteurs. Dans un contexte électromagnétique, les capteurs sont des antennes. La figure 2 montre que tout système de traitement d'antennes est composé d'un

réseau 1 avec plusieurs antennes 2 (ou capteurs élémentaires) recevant les multi-trajets de plusieurs émetteurs radio-électrique 3, 4, sous des angles d'incidence différents et un dispositif de traitement d'antennes 5. On définit par « source » un multi-trajet d'un émetteur. Les antennes du réseau reçoivent les sources avec une phase et une amplitude dépendant de leur angle d'incidence ainsi que de la position des antennes. Les angles d'incidences peuvent être paramétrés, soit en ID en azimut θ _m , soit en 2D en azimut θ _m et élévation Δ _m . La figure 3 montre qu'une goniométrie s'effectue en ID lorsque les ondes des émetteurs se propagent dans un même plan et qu'il faut appliquer une goniométrie 2D dans les autres cas. Ce plan P peut être celui du réseau d'antenne où l'angle d'élévation est nul.

Les techniques de traitement d'antennes ont pour objectif principal d'exploiter la diversité spatiale, à savoir l'utilisation de la position spatiale des antennes du réseau pour mieux exploiter les divergences en incidence et distance des sources. Plus particulièrement, la goniométrie ou la localisation de sources radio- électriques a pour objectif d'estimer les angles d'incidences des émetteurs à partir d'un réseau d'antennes. Classiquement, les algorithmes de goniométrie tels que

MUSIC décrit par exemple dans la référence [1] (la liste des références est annexée) supposent que chaque émetteur se propage suivant un nombre discret de sources vers les récepteurs d'écoute. L'onde se propage soit avec un trajet direct soit suivant un nombre discret de multi-trajets. Sur la figure 2, le premier émetteur référencé 3 se propage suivant 2 trajets d'incidences θn et θu et le deuxième émetteur référencé 4 suivant un trajet direct d'incidence Θ2. Pour estimer les incidences de l'ensemble de ces sources discrètes il faut que leur nombre soit strictement inférieur au nombre de capteurs. Pour des sources ayant des cônes de diffusion de largeur non nul, les

méthodes de goniométrie décrites dans le document [1] se dégradent à cause de l'inadéquation du modèle de signal.

Les références [2] [3] [4] proposent des solutions pour la goniométrie de sources diffuses. Toutefois les algorithmes de goniométrie proposés sont uniquement en azimut : ID. D'autre part, les signaux temporels des diffuseurs provenant d'un même cône sont considérés, soit cohérents dans les références [2] et [3], soit incohérents dans les références [3] [4]. Physiquement les signaux des diffuseurs sont cohérents lorsqu'ils ne sont pas décalés temporellement et ne présentent pas de décalage doppler. A contrario, ces signaux sont incohérents lorsqu'ils sont fortement décalés dans le temps ou qu'ils présentent un décalage doppler important. Le décalage temporel des diffuseurs dépend de la longueur du chemin que suivent les ondes en passant par les diffuseurs et le doppler dépend de la vitesse de déplacement de l'émetteur ou des récepteurs. Ces remarques montrent que les références [2] [3] [4] ne traitent pas le cas intermédiaire le plus courant de diffuseurs dont les signaux sont partiellement corrélés. De plus, les algorithmes [2] [4] dépendent fortement d'un « a priori » sur la densité de probabilité des cônes de diffusion en angle. H suffit alors que ces densités soient légèrement différentes de l' « a priori » pour que les algorithmes [2] [4] ne soient plus adaptés.

L'objet de l'invention concerne notamment des sources diffuses qui sont reçues par le système d'écoute dans un cône dit de diffusion ayant une certaine largeur et une incidence moyenne tel que décrit par exemple à la figure 1.

Dans ce document, le mot « source » désigne un multi-trajet par diffusion d'un émetteur, la source étant vue par les récepteurs dans un cône de diffusion d'une certaine largeur et une incidence

moyenne. L'incidence moyenne est définie notamment par la direction de la source.

L'invention concerne un procédé de goniomêtrie d'une ou de plusieurs sources diffuses de directions données, la ou les sources étant caractérisées par une ou plusieurs directions données et par un cône de diffusion. Il est caractérisé en ce qu'il comporte au moins les étapes suivantes : a) décomposer le cône de diffusion en un nombre fini L de diffuseurs, à un diffuseur sont associés les paramètres {θ _m p, δθmpi _t Δnφ, SΛmpi), b) combiner les vecteurs directeurs a.(θ _mp +δθm≠ , A _mp +δA _m pi) associés aux L diffuseurs pour obtenir un vecteur ( D(0, A, δθ ,δΔ) α ou U(0, A) β(δθ ,δΔ, α)) dépendant au moins d'un des paramètres d'incidences et de déviation (θ, A, δθ, δΔ) et du vecteur de combinaison α , c) appliquer un critère de type MUSIC ou tout autre algorithme de goniomêtrie aux vecteurs D(0, A, δθ, δΔ) α ou U(â, A) β(δθ, δΔ, α) obtenu à l'étape b) afin de déterminer au moins un des paramètres d'incidences θ _mp , A _mp , δθ _mp ,δA _mp du cône de diffusion associé.

L'étape de niiniinisation est par exemple réalisée sur la matrice O(θ, A, δθ, δΔ) et mise en oeuvre en fonction des paramètres θ, A, δθ, δΔ.

L'étape de minimisation peut être effectuée sur la matrice O _Λ (Θ, A, δθ, δΔ) où les paramètres δθ et/ ou δΔ sont remplacés par leurs opposés. Selon une variante de réalisation, ralgorithme comporte une étape de développement limité des vecteurs directeurs autour de l'incidence centrale du cône afin de séparer les incidences {θ, A) et les déviations δθ, δΔ et en ce que l'étape de minimisation est réalisée en fonction des paramètres {θ, A) sur une matrice U(0, A) dépendant des incidences afin de déterminer les paramètres θm _P , A _mp minimisant le

critère puis dans un deuxième temps déterminer les paramètres de déviation δθ _mp , δΔmp à partir des paramètres θmp, Amp.

L'étape de minimisation est par exemple effectuée sur la matrice U ₈ (0, A) dépendante de U(0, A). La matrice D(0, δθ) peut être dépendante uniquement de l'angle d'azimut θ et du vecteur de déviation δθ de cet angle.

L'étape de minimisation est par exemple effectuée sur la matrice D _β (0, δθ) où le paramètre δθ est remplacé par son opposé.

Le procédé peut comporter une étape de développement limité des vecteurs de la matrice D(θ, δθ ), l'étape de minimisation étant effectuée sur une matrice U(θ) afin de déterminer les paramètres d'angle d'incidence θ _mp et à partir de ces paramètres les paramètres de décalage d'angle δθnφ.

L'étape de minimisation est effectuée sur la matrice U _s (0) dépendante de U(0 ) .

L'objet de l'invention présente notamment les avantages suivants ï-

• réaliser une goniomêtrie en azimut et/ ou en azimut-site, • réduire le coût de calcul de la méthode en utilisant un développement limité des vecteurs directeurs,

• prendre en compte tout type de diffuseurs, notamment les diffuseurs partiellement corrélés.

D'autres caractéristiques et avantages de l'invention apparaîtront mieux à la lecture de la description qui suit d'un exemple de réalisation non limitatif annexé des figures qui représentent :

• La figure 1 une représentation de la diffusion d*une onde d'un téléphone mobile au travers une couche de neige,

• La figure 2 un exemple d'architecture d'un système de traitement d'antennes,

• La figure 3 un exemple de goniométrie en azimut-site 2D,

• La figure 4 un schéma des étapes de la première variante de la goniométrie de sources diffuses en azimut-site,

• La figure 5 un schéma d'une variante de la figure 4 tenant compte de la symétrie angulaire des cônes de diffusion,

• La figure 6 une deuxième variante du procédé de goniométrie des sources diffuses en azimut-site, • La figure 7 la version symétrique de la variante de la figure 6,

• La figure 8 les étapes de la première variante de la goniométrie en azimut des sources diffuses,

• Les figures 9 et 10 des résultats de goniométrie en azimut d'une ou de plusieurs sources diffuses associés à la première variante de l'algorithme,

• La figure 11 la variante symétrique de la figure 8,

• La figure 12 les étapes associées à une deuxième variante du procédé de goniométrie en azimut,

• Les figures 13 et 14 deux résultats de goniométrie en azimut de sources diffuses,

• La figure 15 un schéma de la version symétrique de la deuxième variante de goniométrie en azimut.

De manière à mieux faire comprendre le procédé selon l'invention, la description qui suit est donnée, à titre illustratif et nullement limitatif, dans le cadre de la diffusion de l'onde d'un téléphone mobile au travers d'une couche de neige vers les récepteurs d'un avion, par exemple représentée à la figure 1. Les grains de neige jouent le rôle de diffuseurs.

Dans cet exemple, une source diffuse est caractérisée, par exemple, par une direction et un cône de diffusion.

Avant de détailler l'exemple de réalisation, quelques rappels pouvant être utiles à la compréhension du procédé selon l'invention sont donnés.

CAS GÉNÉRAL

En présence de M émetteurs se propageant suivant P _m multi-trajets non diffus d'incidences (θm _P , Δ _mp ) arrivant sur un réseau composé de N capteurs, on reçoit en sortie de ces capteurs le vecteur observation x(t) suivant :

où X _n (O est le signal reçu sur le n ^leme capteur, a(θ,A) est la réponse du réseau de capteurs a une source d'incidence θ, A, s _m (f) est le signal émis par le w ^leme émetteur, ^, f _mp et p _mP sont respectivement le retard, le décalage doppler et l'atténuation du p ^lème multi-trajet du m ^ième émetteur et x(f) est le bruit additif.

Pour déterminer les MT = P ₁ +...+ PM incidences {θm _P , A _mp ), la méthode MUSIC [1] recherche les M _T minimums (θ _mp ,2 _mp ) qui annulent le pseudo-spectre suivant :

où la matrice Ilb dépend des (N-MT) vecteurs propres GMT+Î (1< i < N- M _x ) associés aux plus faibles valeurs propres de la matrice de covariance R ₂₀₁ =E[X(O x(0 ^H ] : π _b = E _b E _b ^H où E _b =[eΛ/r ₊₁ ...e^]. On note aussi que u ^H est le transposé conjugué du vecteur u. La méthode

MUSIC est basée sur le fait que les M _τ vecteurs propres e,- (1< i < M _τ ) associés aux plus fortes valeurs propres engendrent l'espace défini par les M _τ vecteurs directeurs a(£b, _p ,Δ _mp ) des sources tel que :

et que les vecteurs e, sont orthogonaux aux vecteurs de l'espace bruit ^β i+MT-

En présence de M émetteurs se propageant suivant P _n multi-trajets diffus on obtient le vecteur observation x(t) suivant :

où (θ _m p^ _m p) et {δθ _m p,δΔ _m p) désignent respectivement le centre et la largeur du cône de diffusion associés au p ^ieme multi-trajet du »i ^ieme émetteur. Les paramètres τ(θ, A), f(θ, A) et p(θ, A) sont respectivement le retard, le décalage doppler et l'atténuation du diffuseur d'incidence (θ, A). En présence de diffuseurs cohérents, le retard τ(θ, A) et le décalage doppler j{θ, A) sont nuls. Principe du procédé selon l'invention

L'invention est basée notamment sur une décomposition d'un cône de diffusion en un nombre fini de diffuseurs. En notant par L le nombre de diffuseurs d'une source, l'expression (4) peut se réécrire sous l'expression (5) suivante :

L'expression (5) permet de se ramener au modèle de sources

discrètes (diffuseurs) de l'expression (1) en considérant que ,1a source élémentaire est le diffuseur d'incidence (θ _mp +δθm _P i , Δ _mp +δA _mpi ) associé au ï ^ième diffuseur du p ^ihme multi-trajet du /M ^ième émetteur. Dans ces conditions, l'espace signal de la matrice de covariance est engendré par les vecteurs a(Qnp+δθmpi , Δ _mp +δΔ _mp ï). En notant par K le rang de la matrice de covariance R _D , on en déduit que ses vecteurs propres e, (1< i ≤ K) associés aux plus fortes valeurs propres vérifient d'après (3) l'expression suivante :

En présence de diffuseurs cohérents où δτ _mpi =0 et δf _mpf =O, il fautiremarquer que le rang de la matrice de covariance vérifie : K= M _T =P ₁ +...+Pjf. Dans le cas général de diffuseurs partiellement corrélés où δτ _mp f≠0 et δfmpf≠Q, ce rang vérifie K > MT =P\+..ΛPM- Dans la présente invention on considère que C(^,, Δ _mp , δθ _mp , δA _mp , a _mp ) est un des vecteurs directeurs associé au p ^ieme multi-trajet du m ^ieme émetteur et que les paramètres inconnus sont l'incidence moyenne (θ _mP ,Δ _mp ), les écarts en angle des diffuseurs (δQ _mp , δA _mp ) et un des vecteurs a _mp \ CAS DE LA GONIOMETRIE EN AZIMUT ET EN SITE 1 ^iére variante

La figure 4 schématise les étapes mises en œuvre selon une première variante de réalisation du procédé.

En résumé, on décompose le cône de diffusion en L diffuseurs élémentaires (équation (5)), on combine les différents vecteurs directeurs a(θ _mp +δθ _mpi , A _mp +δA _mpi ) ce qui conduit à obtenir un vecteur D{θ, A, δθ ,δΔ) α sur lequel on applique un critère de type MUSIC ou de goniométrie afin d'obtenir les 4 paramètres θ _mp , Δ _mp , δθ _mp , δΔ _mp qui minimisent ce critère (le critère MUSIC est appliqué sur un vecteur résultant de la combinaison linéaire des différents vecteurs directeurs).

Pour déterminer ces paramètres avec un algorithme de type MUSIC [1] il faut, d'après les équations (2) et (6), chercher les rninimums qui annulent le pseudo-spectre suivant :

Où la matrice Il _b dépend des (N-K) vecteurs propres e _MT+i (1≤ i ≤ N- K) associés aux plus faibles valeurs propres de la matrice de covariance R _xx =E[x(t) x(t) ^H ] : Π _b = E _b E _b ^H où E _b =[e _K+1 .. e _N ]. En remarquant d'après l'expression (6) que le vecteur c(θ, Δ , δθ ,δΔ, α) peut s'écrire sous la forme suivante :

on peut en déduire que le critère J _{Music_diff} (θ, Δ, δθ, , δ αΔ ) devient :

La technique va tout d'abord consister à minimiser le critère J _{Music_diff} (0, Λ, δθ, δΔ, α ) avec α. D'après la technique décrite dans la référence [2], par exemple, on obtient le critère Jπdn_difi(0, Δ, δθ, δΔ ) suivant :

où λπu _n (Q) désigne la valeur propre minimale de la matrice Q. En remarquant que le critère Jmin_diff(0, A δθ, δΔ ) doit s'annuler pour les quadruplets de paramètres (θ _mp ,Δ _mp ,δQ _m p,δA _m p) et que det(AB ^"α )=det(A)/det(B), on en déduit que les quadruplets de paramètres (QnpΛnp,δ&mp,δΔmp) annulent aussi le critère suivant :

où det(Q) désigne le déterminant de la matrice Q. On cherche donc les M _T quadruplets de paramètres (é^Λi^δθ^δΔ _r op) qui minimisent le critère Jdi£&ision(0, Δ, δθ, δΔ). La figure 5 représente les étapes d'une variante de réalisation prenant en compte la symétrie de la solution en incidence.

En effet, si (0,Λδθ,δΔ) est solution, il en est de même pour

(0,A-δθ,δΔ), (6U,δθ,~δΔ) et (0,4-δθ,-δΔ). De cette remarque on en déduit que :

Où la matrice E _b dépend des (N-K) vecteurs propres ejtrm (1< î < N- K) associés aux plus faibles valeurs propres de la matrice de covariance

R _xx =E[x(0 x(f) ^H ] tel que : E _b =[em...e _w ]. A partir de l'expression (11-1) on

en déduit que pour estimer les paramètres (θ _mp ,Δ _mp ,δθ _mp ,δΔ _mp ), il faut chercher les minimums qui annulent le pseudo-spectre suivant :

D'après l'expression (8) , le vecteur c _s (θ, Δ , δθ ,δΔ, α) peut s'écrire de la façon suivante :

La minimisation de J _{Music_diff_sym} (θ, Δ, δθ, δΔ, α ) par rapport à α va conduire au critère J _{diffusion_sym} (θ, Δ, δθ, δΔ ). Pour obtenir J _{diffusion_sym} (θ, Δ, δθ, δΔ ), il suffit de remplacer dans les expressions (9)(11), D(θ, Δ , δθ ,δΔ) par son correspondant symétrique D _s (θ, Δ , δθ ,δΔ) et Π _b par Π _bs . On obtient ainsi :

et

On cherche donc les MT quadruplets de paramètres (θ _mp ,A _mp ,δQ _mp ,δA _mp ) qui minimisent le critère Jdiffusio _n -sym(0, A δθ, δΔ ). 2 ^ième variante La figure 6 représente une deuxième variante de la goniométrie des sources diffuses en azimut-site offrant notamment comme avantage de réduire les coûts de calcul.

La première variante de la goniométrie des sources fait intervenir le calcul d'un pseudo-spectre Jdiffusion dépendant de 4 paramètres (θ, A, δθ, δΔ ) dont 2 sont des vecteurs de longueur L. La deuxième variante a pour objectif de réduire ce nombre de paramètres en effectuant le développement limité suivant des vecteurs directeurs autour d'une incidence centrale (θ, A ) correspondant au centre du cône de diffusion :

où désigne une dérivée n ^ième du vecteur directeur a(θ,A ). Ceci correspond à un développement limité autour de l'incidence centrale (changement de base de la combinaison linéaire) suivant les dérivées des vecteurs directeurs dépendant de l'incidence centrale du cône. A partir de cette dernière expression, on peut séparer les incidences (Θ,A) et les déviations (δθ,SA) de la manière suivante :

D'après les expressions (6) (8) et (13), le vecteur c(θ, A , δθ ,δΔ, α) devient :

En remplaçant dans l'équation (9) D(0, A, δθ ,δΔ) par XJ(Θ, A) et α par β(δθ, δΔ, α), on en déduit d'après (9)(10)(l) que pour estimer les M _T incidences {θ _mP , A _mp ), il suffit de rninimiser le critère bi- dimensionnel suivant :

Pour déterminer les vecteurs δθ^ _p et δA _mp il faut estimer le vecteur β(δθ _mi , , δΔmp, α). Pour cela il suffit de chercher le vecteur propre associé à la valeur propre minimale de Δ _mp ).

La figure 7 représente une variante du procédé de la figure 6 qui tient compte de la symétrie des solutions afin de lever un certain nombre d'ambiguïtés. Pour cela il faut tout d'abord remarquer que d'après (13) (14) :

On en déduit d'après (11-2) une nouvelle expression du vecteur c _s (θ, Δ, δθ ,δΔ, α) :

En remplaçant dans l'équation (15) U _s (θ, Δ) par U(θ, Δ), on en déduit d'après (ll-2)(ll-4) que pour estimer les M _τ incidences (θ _mp ,Δ _mp ) il suffit de minimiser le critère bi-dimensionnel suivant :

CAS DE LA GONIOMETRIE 1D EN AZIMUT L'incidence d'une source dépend d'un seul paramètre qui est l'azimut θ. Dans ces conditions, le vecteur directeur a(θ) est une fonction de θ. En présence de M émetteurs se propageant suivant P _m multi-trajets diffus, le vecteur observation x(t) de l'équation (4) devient :

tel que où θ _mp et δθ _mp désignent respectivement le centre et la largeur du cône de diffusion associé au p ^ième multi-trajet du m ^ième émetteur. Les paramètres τ(θ), f(θ) et p(θ) dépendent uniquement de l'azimut θ du diffuseur. L'équation (5) modêlisant un cône de diffusion d'une source avec L diffuseurs devient :

1 ^iére variante

La figure 8 schématise les étapes du procédé pour la goniométrie des sources diffuses en azimut.

L'objectif de la goniométrie ID de sources diffuses est de déterminer les M _T doublets de paramètres (θ _mp , δθ _mp ) qui minimisent le critère J _diffusion (θ, δθ). Il faut rappeler que δθ _mp =[ δθ _mp1 ...δθ _mpL ] ^T sachant que u ^τ désigne le transposé de u. D'après les équations (11)(9) et (8) le critère J _diffusion (θ, δθ) devient :

Sur la Figure 9 on simule le cas d'une source diffuse d'incidence moyenne _θ11 =100° avec un cône de largeur δθ ₁₁ =20° sur un réseau circulaire à N=5 capteurs de rayon R tel que R/λ=0.8 (λ désigne la longueur d'onde). Sur la figure 9 on applique la méthode en décomposant le cône de diffusion en L=2 diffuseurs tel que δθ=[Δθ - Δθ] ^T . Dans ces conditions, le critère J _diffusion (θ, δθ) dépend seulement

des deux scalaires θ et Δθ. Sur cette figure 9 on trace la fonction - 10log10(J _diffiision (θ, Δθ)) où les maximums correspondent aux estimés des paramètres recherchés.

La Figure 9 montre que la méthode permet bien de trouver le centre du cône de diffusion en #π=100° et que le cône allant de l'incidence 80° à 120° se décompose suivant 2 trajets d'incidences θu- ^1=90° et θι\+ Δθu=lW. Sachant que le paramètre Δθn traduit une répartition barycentrique des diffuseurs, on en déduit qu'il est forcément inférieur à la largeur du cône δθu. Sur la Figure 10 avec le même réseau de capteurs, on simule le cas de deux sources diffuses d'incidences moyennes #u=100° et 6^ ₂ =150° avec des cônes de largeur respectif <5ifti=2O° et δθz ₂ =5°. Comme dans le cas de la simulation de la Figure 9, la goniométrie est appliquée avec L=2 diffuseurs où δQ=[ΔΘ -ΔΘ] ^Ύ . La Figure 10 montre que la méthode permet d'estimer avec précision les centres des cônes de diffusion θ\ _\ et ^ ₂ ainsi que les paramètres Δθu et .dépliés au largeur des cônes de diffusion tel que la largeur du cône vérifie : δθ _^ f^xΔΘ^. ' *

La figure 11 représente les étapes de la version symétrique de la variante décrite à la figure 8.

Pour une goniométrie en azimut la solution (0,δθ) entraîne obligatoirement la solution (0,-δθ). De cette remarque on en déduit les deux équations suivantes : c(0, δθ, α) ^H E _b = O,

c(0,~δθ, α) ^H E _b = O,

tel que d'après (6) (8) (18) :

Où la matrice E _b dépend des (N-K) vecteurs propres earru (1< i < N- K) associés aux plus faibles valeurs propres de la matrice de covariance R _xx =E[x(*) x(0 ^H ] tel que : Ε _b =[eκ+i...e _N ]. A partir de l'expression (18-1) on en déduit que pour estimer les paramètres (6^, δ& _mp ), il faut chercher les riiinirnurns qui annulent le pseudo-spectre suivant :

D'après les expressions (18- 1)(18-2) , le vecteur C ₈ (^, δθ , α) peut s'écrire de la façon suivante :

La rninimisation de JMusic_diff_sym(#, δθ, α ) par rapport à α va conduire au critère Jdiffii _S ion_ _sym ( ^β . δθ). Pour obtenir Jdiffii _S ion_ _sy m(0,δθ), il suffit de remplacer dans l'expression (18), D(6>,δθ) par D _s (0,δθ) et Il _b par Ilbs- On obtient ainsi :

On cherche donc les M _T doublets de paramètres (θ _w , δθ _mp ) qui minimisent le critère Jdifïusion-sym(0,δθ). 2 ^iéme variante

La figure 12 schématise les étapes de la deuxième variante

de la goniométrie des sources diffuses en azimut.

En effectuant un développement limité à l'ordre 7 de a(θ±δθή autour de l'incidence centrale θ, l'expression (13) devient la suivante :

On en déduit que le vecteur c(0, δθ, α ) de l'expression (18-1) s'écrit d'après (14) :

L'objectif de la 2 ^ième variante de la goniométrie ID de sources diffuses est de déterminer les M _T incidences θ _mp qui minimisent le critère Jdiffusion ^opt (0). D'après les équations (15) et (14) le critère Jdiffu _S ion° ^pt (0) devient :

Pour déterminer les vecteurs δQ _mp il faut estimer le vecteur β(δθ _mp , α) : Pour cela il suffit de chercher le vecteur propre associé à la valeur propre minimale de Q2° ^pt (^n _P ) ^"1 Qi° ^pt (^«p).

Sur la Figure 13 on compare les performances de MUSIC avec celles de la 2 ^ième variante de MUSIC diffus pour I=I et 1=2. Le réseau de capteurs est celui de la figure 9 et de la figure 10. On

simule le cas de deux sources diffuses d'incidence moyenne #1=100° et & ₂ =120° avec des cônes de largeur respective £6^=20° et £622=20°. On rappelle que les MT maximums de la fonction -lOloglO(Jdiffu _S ion ^opt (0)) sont les estimées des incidences θ _mP recherchées. Les courbes de la Figure 13 montrent que plus l'ordre / du développement limité augmente, plus les 2 maximums du critère ont un niveau fort car on se rapproche d'une bonne adéquation du modèle. Dans le tableau- 1 on donne les estimés des incidences pour les trois méthodes.

Tάbleau-1 : Goniométrie en azimut d'une source diffuse ^ _t =IOO ⁰

6 ₂₂ =120° avec un cône de largeur δθχ _\ =QQ° δ^. ₂ =20°) avec la 2l ^ème variante

Le tableau- 1 confirme que le biais d'estimation d'incidence le plus faible est obtenu pour 1=2, c'est à dire pour la méthode MUSIC diffus d'ordre d'interpolation du vecteur directeur le plus élevé. La simulation de la figure- 10 et du tableau- 1 est obtenue pour un étalement temporel des deux sources nul. Plus exactement les retards δTm et δvm de (17) des diffuseurs sont nuls. Dans la simulation du Tableau-2 et de la Figure- 11 on reprend la configuration précédente en introduisant un étalement temporel de 1 période d'échantillonnage T _e tel que : max (δτ _mtm )- min (δτ _mm i)=T _e

Tableau-2 : Goniométrie en azimut de sources diffuses partiellement corrélées θ ₁₁ =100° θ ₂₂ =120° avec un cône de largeur δθ ₁₁ =20° δθ ₂₂ =20° avec la 2 ^ième variante

Les résultats du Tableau-2 et de la figure 14 montrent que les méthodes envisagées dans cette invention prennent en compte les configurations de diffuseurs partiellement corrélés.

Dans cette deuxième variante on peut comme dans la première variante prendre en compte la symétrie des solutions afin de lever un certain nombre d'ambiguïtés. Pour cela il faut tout d'abord remarquer que d'après (19)(19-1) :

On en déduit d'après (18- 1)(18-2) une nouvelle expression du vecteur c _s (θ, δθ, α ) :

En remplaçant dans l'équation (20) U _s (θ) par U(θ) et Π _b par Π _bs , on en déduit d'après (18-2) (18-4) que pour estimer les M _T incidences (θ _mP ) il suffit de minimiser le critère mono-dimensionnel suivant :

avec

Cette version symétrique de la deuxième variante de la goniométrie des sources diffuses en azimut se résume dans la Figure

15.

[1] RO. SCHMIDT "A signal subspace approach to multiple emitter location and spectral estimation», PhD thesis, Stanford university CA, November 1981.

[2] FERRARA , PARKS "Direction fînding with an array of antennas having diverse polarizations", IEEE trans on antennas and propagation, mars 1983.

[2] S.VALAE, B.CHAMPAGNE and P.KABAL « Parametric

Localization of Distributed Sources » , IEEE trans on signal processing, Vol 43 n°9 septembre 1995. [3] D. ASZTELY, B.OTTERSTEN and AL. SWINDLEHURST « A

Generalized array manifold model for local scattering in wireless communications» , Proc of ICASSP, pp 4021-4024 , Munich 1997. [4] M.BENGTSSON and B.OTTERSΦEN « Low-Complexity

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